Matemática Financeira Fumec

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Matemática 
Financeira
SUMÁRIO
Introdução - Porcentagens e Regrade Três ...5
Operações Comerciais 
Transações envolvendo Lucro ................. 23
Operações Comerciais 
Transações envolvendo Prejuízo ............... 45
Sistema de Capitalização Simples - 
Juros e Montante .................................. 61
Desconto Bancário Simples ..................... 77
Regime de Capitalização Composta: 
Juros e Montante .................................. 93
Taxas .................................................. 111
Desconto Composto ............................ 127
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas ............................. 145
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Antecipadas .............................. 163
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias .. 179
Sistemas de Amortizações 
de Empréstimos .................................. 199
Matemática 
Financeira
REITORIA
Reitor
Prof. Fernando de Melo Nogueira
Vice-Reitor e Pró-Reitor de Graduação
Prof. Guilherme Guazzi Rodrigues
Pró-Reitor de Planejamento e Administração
Prof. Márcio Dario da Silva
Pró-Reitora de Pós-Graduação, 
Pesquisa e Extensão
Profª. Drª. Maria Lectícia Firpe Penna
FACULDADE DE CIÊNCIAS 
EMPRESARIAIS (FACE)
Diretor-Geral
Prof. Marco Túlio de Freitas
Diretora de Ensino
Profª. Renata de Sousa da Silva Tolentino
FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS, 
SOCIAIS E DA SAÚDE (FCH)
Diretor-Geral
Prof. Antônio Marcos Nohmi
Diretor de Ensino
Prof. João Batista de Mendonça Filho
FACULDADE DE ENGENHARIA 
E ARQUITETURA (FEA)
Diretor-Geral
Prof. Eduardo Georges Mesquita
Diretora de Ensino
Profª. Maria Silvia Santos Fiuza
BELO HORIZONTE 
2017
A REGRA DE TRÊS SIMPLES 
UTILIZANDO PROPRIEDADES 
DAS PROPORÇÕES
PORCENTAGENS NAS TRANSAÇÕES USUAIS 
FUNDAMENTANDO COM CÁLCULOS 
ALGÉBRICOS E TECNOLÓGICOS
Matemática 
Financeira
INTRODUÇÃO - 
PORCENTAGENS E 
REGRA DE TRÊS
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!Iniciaremos hoje a disciplina Matemática Financeira com o intuito de deixá-lo 
informado sobre a aplicação da matemática em seu cotidiano. 
Nosso curso irá direcioná-lo a solucionar cálculos específicos do mercado financeiro, 
trabalhando com o instrumento facilitador que é a calculadora HP-12C. Se você não 
conhece ainda esta máquina, não se preocupe, pois estaremos aqui para ajudá-lo. E se 
você não possui esta calculadora, não tem problema, pois existem sites que disponibilizam 
emuladores da mesma, para que você possa instalar no seu PC e com isto acompanhar o 
desenvolvimento desta disciplina. 
Conto com você, com muita disposição, compromisso, dedicação e disciplina para que 
juntos possamos realizar um excelente trabalho.
Estudar a distância é uma experiência fascinante. Estude bastante. Tenha uma ótima 
aprendizagem e muito sucesso!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você deverá ser capaz de:
• Identificar e distinguir regra de três simples utilizando propriedades das proporções;
• Calcular porcentagens nas transações usuais fundamentando com cálculos algébricos e 
tecnológicos;
• Manusear a HP-12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas 
operações com porcentagens estudadas nesse módulo.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógico
Pollyanna Barbieri Pazzini
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
INTRODUÇÃO - PORCENTAGENS 
E REGRA DE TRÊS
Introdução
CONCEITOS BÁSICOS
Nesse módulo você vai conhecer os principais conceitos “básicos” trabalhados na mate-
mática comercial. São eles: razão, proporção, regra de três e porcentagem.
Os conceitos matemáticos são importantes para saber aplicá-los em nosso cotidiano. 
Por exemplo: quando é divulgado nos jornais o índice para o aumento de taxas de juros, 
infrações e etc, utilizam-se cálculos de porcentagens
A seguir serão apresentados tópicos para iniciarmos essa teoria com exemplos que faci-
litarão sua aprendizagem:
Razão
Dados dois números inteiros a e b, com b ≠ 0, chamamos razão de a para b o quociente 
representado por:
 ou ou
A palavra razão tem origem latina e tem como significado “dividir, divisão”.
/ : aa b a b
b
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 7
IMPORTANTE
A leitura desta razão é: “a está para b” 
ou “a para b”
Os termos de uma razão são dados por:
numerador antecedente
=
denominador consequente
a
b
=
Veja os exemplos:
Exemplo 1:
Numa sala de aula do curso de computação há 35 rapazes e 5 moças. A razão entre o 
número de rapazes e o número de moças desta sala é dada por:
3535:5 35 / 5
5
ou ou
porque
35 7
5 1
= , ou seja, para cada 7 rapazes existe 1 moça correspondente, que será a razão 
 
encontrada entre o número de rapazes e moças existentes nessa sala de aula.
Notação: 
7
1
 a leitura desta razão é: 7 está para 1 ou 7 para 1
Você já percebeu que em seu cotidiano há exemplos de razão?
Por exemplo, nos mapas há representações de regiões preservando o formato original, 
mas apresentando-nos com tamanhos reduzidos. 
Assim, se a razão for 1/1000000, e medirmos com uma régua a distância entre duas 
cidades no mapa obtendo 3 cm, teríamos na realidade 3 vezes 1000000 cm. Ou seja, se 
formos de uma cidade à outra, percorreremos 3.000.000 cm ou 30 km.
Você sabe como se chama essa razão que é utilizada em mapas e miniaturas? Essa razão 
é denominada ESCALA.
Exemplo 2: Escala X medida real
Fonte: Google Maps
Introdução - Porcentagens e Regra de Três8
Qual a razão entre a medida representada no desenho e o correspondente na medida real?
Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real. 
A distância real entre essas cidades é de 60 km, que no desenho é representada por um 
segmento de 6 cm. Você pode calcular a escala deste mapa, usando a relação:
6
60
medida do desenho
escala=
medida real
cm
km
=
Como temos duas unidades de medidas diferentes, para fazermos a relação ou razão, 
teremos que utilizar uma única unidade de referência, nesse caso, optaremos para trans-
formar km em cm.
Assim:
60 km = 6.000 m= 6.000.000 cm, portanto, teremos:
escala (mesma unidade)
escala
 
Ou seja, para cada 1 cm tem-se a distância de 1.000.000 cm = 1km. Assim sendo, a 
escala é de 1:1.000.000
Exemplo 3:
Velocidade média, é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe 
que neste caso as unidades são diferentes).
distância
velocidade=
tempo
Pedro dirige de Belo Horizonte até a cidade de São Brás do Suaçuí gastando o tempo 
total de 1h15min. Sabendo-se que a distância entre estas cidades é de 110km, qual a sua 
velocidade média?
6 6
60 6000000
1
1000000
=
=
cm cm
km cm
=
São Brás do Suaçuí
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 9
110
1 15
distância
velocidade=
tempo
velocidade=
km
h min
Mas o tempo gasto é representado por duas unidades de referência: hora e minuto, e isso 
não pode acontecer. Portanto vamos transformá-las numa única unidade temporal, nesse 
caso utilizaremos horas.
Vejamos como:
1 60
15
15
60
0,25
minutos
minutos
h
x
x
x
⇒
⇒
=
=
Assim sendo teremos em 1h15min= 1,25h:
110
1,25
88
velocidade
velocidade
km
h
km
h
=
=
Portanto, a velocidade média do veículo de Pedro foi de 88km/h para este percurso.
Proporção
As proporções possuem uma enorme aplicabilidade em situações problema envolvendo 
informações comparativas e é definida como a igualdade entre duas razões. 
a c
b d
=
Que se lê: “a está para b assim como c está para d”
ATENÇÃO
Os termos da proporção são: 
Antecedentes: a e c
Consequentes: b e d
Meios: b e c
Extremos: a e d
Veja o exemplo: Os números 3, 7,9 e 21 são os termos dessa proporção onde 3 e 21 são os 
termos dos extremos e 7 e 9 são os termos dos meios.
3 : 7 = 9 : 21
MEIOS
EXTREMOS
Introdução - Porcentagens e Regra de Três10
Você sabe qual é a diferença entre razão e proporção?
Basicamente, razão é uma divisão, o quociente de dois números. Já a proporção consiste 
em relacionar duas razões dentro de uma igualdade, criando assim um elo entre elas.
a c
b d
a c
b d
=
À esquerda, dois exemplos de razões. À direita, as mesmas razões se ligam pela igualda-
de, formando uma proporção.
Aplicação 1:
Se um veículo consome um litro de combustível para percorrer 13km, para percorrer 26km 
serão necessários 2 litros do mesmo combustível, para percorrer 39km serão necessários 
3l, e assim sucessivamente nas mesmas condições para todos os casos.
Diante disso, pode-se representar cada situação da seguinte maneira:
1ª situação 1ª razão 1
13
1
r =
2ª situação 2ª razão 2
26 13
2 1
r = =
3ª situação 3ª razão 3
39 13
3 1
r = =
... ... ...
Você pôde observar que todas essas situações geraram a mesma razão, desse modo elas 
são chamadas razões equivalentes.
Ou seja:
Se r1 = r2 = r3 , então podemos formar as seguintes proporções: r1 = r2 ou r1 = r3 
ou r2 = r3
Note que:
Se 26 39
2 3
= , então podemos dizer que 26 x 3 = 2 x 39. Ou seja, 78 = 78
Numa proporção, podemos multiplicar os termos dos meios que o resultado será sempre 
igual ao produto dos termos dos extremos.
ATENÇÃO
Esse procedimento refere-se à utilização da propriedade fundamental das proporções: 
“Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.
Aplicação 2:
Marisa pagou R$ 31,25 por certa quantidade de um tipo de carne bovina que custa 
R$12,50 o quilograma. Qual a quantidade de carne que Marisa comprou?
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 11
Resolução:
Seja x a quantidade que iremos calcular para resolver o problema, assim temos os seguin-
tes dados:
QUANTIDADE (kg) PREÇO (R$)
1 12,50
x 31,25
Dessa forma observamos que esses dados podem ser componentes para formar a seguin-
te proporção:
1 12,50
31,25x
=
Para encontrarmos o valor de x, que é a incógnita do problema, poderemos utilizar a 
propriedade fundamental das proporções:
12,50. 1.31,25
31,25
12,50
2,50
x
x
x
=
=
=
Ou seja, a quantidade de carne comprada por Marisa é 2,5 kg.
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Esse assunto será muito importante para os nossos estudos. 
Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando o aumento (ou redução) de uma 
implica no aumento (ou redução) da outra. Assim ao alterar uma das grandezas, a outra 
também deverá ser alterada na mesma proporção.
ATENÇÃO
Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razão é sempre constante.
Aplicação:
Para fazer uma receita de pudim, Marly usa os seguintes ingredien-
tes: 2 (duas) latas de leite condensado, 6 ( seis) ovos e 2 (duas) 
latas (de mesma medida do leite condensado) de leite. Se ela 
quiser dobrar a receita para fazer duas receitas desse mesmo 
pudim, ela terá que dobrar a quantidade de cada ingrediente. 
No entanto, se fizer só meia receita de pudim, então terá que 
reduzir a quantidade dos ingredientes pela metade.
Sabendo-se que o preço final de cada receita desse pudim 
é R$ 7,20, podemos notar esta relação na tabela abaixo 
que relaciona o preço a pagar à quantidade de receitas de 
pudins:
Introdução - Porcentagens e Regra de Três12
PREÇO do Pudim (R$) 7,20 14,40 36,00 3,60 
Nº de receitas (pudins) 1 2 5 1
2 
Preço e quantidade de pudins são grandezas diretamente proporcionais. Portanto se 
produzo mais pudins, gasto mais, se produzo menos pudins, gasto menos. Observe que 
quando dividimos o preço pela quantidade de pudins obtemos sempre o mesmo valor. 
Assim verificamos a propriedade da razão constante.
7,20 14,40 36,00 3,60 7,20
1 2 5 0,5
= = = = (constante)
Portanto, neste caso temos grandezas diretamente proporcionais.
Regra de Três Simples
A Regra de Três, na matemática, é uma forma de se descobrir uma quantidade que tenha 
para outra conhecida a mesma relação que têm entre si entre outros dois valores numé-
ricos conhecidos. Existem dois tipos de Regra de Três: Simples e Composta. O nosso 
estudo se restringirá a Regra de Três Simples.
A regra de três simples é o processo prático para resolver problemas que envolvam 
somente duas grandezas, onde deveremos ter quatro valores dos quais conhecemos três 
deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. A Regra de 
Três é muito utilizada na Física e na Química para o cálculo de conversão de grandezas: 
velocidade, massa, volume, comprimento, área. 
Para se aplicar a Regra de Três Simples devemos construir uma tabela onde:
• as linhas representam as grandezas de espécies diferentes
• as colunas representam as de espécies iguais. 
• Equacionamos as grandezas (formamos a proporção);
• Aplicamos a regra de proporcionalidade “O produto dos termos dos meios é igual ao 
produto dos termos dos extremos”.
• Obtemos o resultado
Veja algumas aplicações:
Aplicação 1
Marcos comprou 3 bermudas e pagou a importância de R$ 150,00. Se ele comprar 5 
bermudas, do mesmo tipo, quanto pagará pela compra?
Resolução:
Inicialmente vamos construir a tabela relacionando as grandezas.
UNIDADES PREÇO (R$)
3 150
5 p
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 13
Essas grandezas são diretamente proporcionais, pois se aumentarmos a quantidade de 
unidades (bermudas), o preço a pagar pela aquisição das bermudas também aumentará.
 UNIDADES x PREÇO (R$)
3 150
5 p
Formamos a proporção:
3 150
5 p
=
Resolvendo a equação:
3. 150.5
3. 750
750
3
p
p
p
=
=
=
E obtemos o resultado: 
p = 250
Portanto se Marcos comprar 5 bermudas pagará o total de R$ 250,00.
Aplicação 2
Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60m² de parede. Quantos litros de tinta, 
nas mesmas condições, serão necessários para pintar 450 m²? 
Resolução: 
Inicialmente vamos construir a tabela relacionando as grandezas.
QUANTIDADE DE TINTA (l) ÁREA DE PAREDE (m2)
18 60
x 450
Essas grandezas são diretamente proporcionais, pois se aumentarmos a área de parede a 
ser pintada (m2), a quantidade de tinta (litros) também aumentará.
 QUANTIDADE x ÁREA
18 60
x 450
Formamos a proporção:
18 60
450x
=
Introdução - Porcentagens e Regra de Três14
Resolvendo a equação:
60. 18.450
60. 8100
8100
60
x
x
x
=
=
=
E obtemos o resultado: 
x = 135
Portanto para pintar 450 m2 de parede, ele gastará 135 litros de tinta. 
Porcentagem
O surgimento dos cálculos percentuais aconteceu por volta do século I a.C., na cida-
de de Roma. Nesse período, o imperador romano decretou inúmeros impostos para os 
comerciantes pagarem sobre as mercadorias negociadas. Entre esses impostos criados, 
um deles era denominado de centésimo "rerum venalium” que obrigava o comerciante a 
pagar um centésimo pela venda das mercadorias, como exemplo, o comércio de escravos.
Nessa época não existia o símbolo representativo de porcentagem, e os cálculos eram 
realizados de forma simples, com a utilização de frações centesimais, ou seja, dividiam 
em cem partes iguais e tomavam a parte desejada. 
No entanto, por volta do século XV, com a intensificação do comércio, apareceram situa-
ções de grande movimentação comercial, como o surgimento dos juros, lucros e prejuízos 
que obrigaram os matemáticos a fixarem uma base para o cálculo de porcentagens, e a 
base escolhida foi o número 100. 
Muitos documentos encontrados e registrados apresentam uma forma curiosa de expres-
sar porcentagens. Os romanos utilizavam os algarismos do seu sistema de numeração 
seguido de siglas como, “p cento” e “p c”. Por exemplo, a representação de 10% era 
escrita da seguinte forma: “10 p cento” ou “10 p c”. 
Atualmente, a porcentagem é estritamente importante para a Matemática financeira, 
dando suporte às inúmeras movimentações comerciais e financeiras como, por exemplo:
• Na representação do comércio de mercadoriascom: lucros ou prejuízos, e descontos 
ou acréscimos; 
• No mercado de ações envolvendo as operações de compra e venda; 
• Na construção de gráficos comparativos, qualitativos e quantitativos; 
• Na constituição de alíquotas de diversos impostos entre inúmeras outras situações. 
No nosso cotidiano é frequente usarmos utilizamos porcentagens para obter índices ou 
coeficientes, e é muito comum divulgações de índices ou porcentagens para os aumentos 
de mensalidades escolares, aluguéis, salários, prestações da casa própria, inflação, taxas 
de juros, e outros mais.
Veja os exemplos abaixo onde expressões refletem acréscimos ou reduções em preços, 
números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades:
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 15
• A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias 
adquiridas.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
• Dos atletas que jogam nos times mineiros, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores de Minas, 90 são craques.
Podemos mencionar também a Razão centesimal, ou seja, toda a razão que 
tem como denominador (consequente) o número 100 denomina-se razão 
centesimal. 
Veja alguns exemplos:
3 24 125, , ,
100 100 100
etc
A razão centesimal pode ser representada também na forma unitária (
100
i
 ) ou cente-
simal ( i%) , ou seja:
 que se lê "três por cento"
 que se lê "vinte e quatro por cento"
 que se lê "cento e vinte e 
 cinco por cento"
• Porcentagem é a fração cujo denominador é igual a 100 e o numerador 
é a parte tomada desse todo. 
• As frações que apresentam denominadores iguais a 100 são chamadas 
também de razões centesimais e podem ser representadas pelo 
símbolo %.
• Não esqueça que sempre que nos referirmos à porcentagem 
utilizaremos o símbolo %.
Porcentagem na verdade significa comparar números usando proporção direta, ou seja, o 
valor total se refere a 100%, enquanto o valor desejado se refere a uma porcentagem do 
todo.
Mas sempre que nos referirmos a porcentagem teremos que especificar sobre o que 
está sendo calculado nesta porcentagem, ou seja, qual é o referencial, o nosso total (os 
100%).
Mas como calcular porcentagem?
O cálculo percentual nada mais é que a multiplicação de um 
valor qualquer pelo percentual desejado.
3 0,03 3%
100
24 0,24 24%
100
125 1,25 125%
100
 
 
 
 
 
 forma unitária ou forma centesimal
forma unitária ou forma centesimal
forma unitária ou forma centesimal
=
=
=
3 0,03 3%
100
24 0,24 24%
100
125 1,25 125%
100
 
 
 
 
 
 forma unitária ou forma centesimal
forma unitária ou forma centesimal
forma unitária ou forma centesimal
=
=
=
3 0,03 3%
100
24 0,24 24%
100
125 1,25 125%
100
 
 
 
 
 
 forma unitária ou forma centesimal
forma unitária ou forma centesimal
forma unitária ou forma centesimal
=
=
=
Introdução - Porcentagens e Regra de Três16
DICA 
Uma boa dica para entender melhor porcentagem é saber o Fator de Multiplicação, ou seja, o 
coeficiente de proporcionalidade sobre o valor do produto, que poderá ser também um acrés-
cimo ou um decréscimo no valor do produto.
Para a utilização do fator de Multiplicação deveremos ter os seguintes dados:
Todo: Valor referencial (100%):
Porcentagem: (%) 
Parte: valor tomado do todo: ?
Vejamos algumas aplicações a seguir.
Aplicação 1
Carlos jogou no lixo, 20% das 30 laranjas que ele tinha. Quantas laranjas foram para o lixo?
Dados:
Todo: Valor referencial (100%): 30
Porcentagem (%): 20%
Fator de Multiplicação: 
220% 0,20
100
= =
Parte: valor tomado do todo: ?
Resoluções: você poderá fazer esse 
cálculo de várias maneiras
1ª Resolução: Algébrica - Fator de Multiplicação:
O fator de Multiplicação consiste em multiplicarmos o todo pelo coeficiente de propor-
cionalidade desejado (porcentagem dividida por 100), obtendo assim o valor desejado 
(parte).
Calculando o fator de Multiplicação temos: 
0,20 . 30 = 6
A parte encontrada é 6
2ª Resolução: Algébrica - Regra de Três Simples
Inicialmente vamos construir a tabela relacionando as grandezas.
QUANTIDADE PORCENTAGENS
30 100
x 20
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 17
Essas grandezas são diretamente proporcionais, pois se diminuirmos a percentagem, a 
quantidade de laranjas também diminuirá.
 UNIDADES x PREÇO (R$)
30 100
x 20
Formamos a proporção:
30 100
20x
=
Resolvendo a equação:
100. 30.20
100. 600
600
100
x
x
x
=
=
=
E obtemos o resultado:
x = 6
3ª Resolução - Tecnológica: Calculadora HP-12C
A calculadora HP-12C apresenta como comando principal a tecla %
Para usar esse recurso precisamos conhecer o Todo, ou seja, o referencial de 100%, e a 
porcentagem desejada, obtendo assim a parte que representa essa porcentagem.
O procedimento de entrada de dados na HP-12C respeitará a ordem abaixo:
• Informamos o Todo e apertamos o comando de entrada.
todo (nº) 
• Informamos a porcentagem desejada e acionamos o comando de porcentagem.
porcentagem ( nº) %
• E imediatamente aparecera o resultado: Parte desejada.
IMPORTANTE
Vamos inicialmente estabelecer o número de casas decimais a serem trabalhadas na HP-12C.
Para isso acionamos os comandos:
 e o nº desejado de casas decimais.
Ex: 2 0,00
Introdução - Porcentagens e Regra de Três18
No nosso exemplo, temos os dados: 
Todo: Valor referencial (100%): 30
Porcentagem (%): 20%
Parte: valor tomado do todo: ?
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
30 ENTER 30,00
20 % 6,00
Diretamente: 30 20 % 6,00 
Assim 6 laranjas foram jogadas no lixo.
Aplicação 2
Mariana recebe mensalmente, 20% a mais do que recebe Clara. Sabendo-se que Clara 
recebe mensalmente a importância de R$ 1.920,00, quanto receberá Mariana?
Dados:
Valor Referencial (Todo): salário de Clara: 1.920,00
Porcentagem de aumento: 20% do salário de Clara
Fator de Multiplicação: aumento de 20%, ou seja, 120100% 20% 120% 1,20
100
+ = = =
Parte desejada - Salário de Mariana: x 
Resoluções:
1ª Resolução: Algébrica - Fator de Multiplicação:
1,20 x 1920,00 = 2304,00
Esse cálculo na HP-12C: 1 20 1920 2.304,00 
2ª Resolução: Algébrica - Regra de Três Simples
1920 100%
(100 20)%
1920 100%
120%
x
x
→
 → +
→
 →
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 19
Equacionando e resolvendo:
1920 100
120
100 1920.120
1920.120
100
230400
100
2304
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
Portanto o salário de Mariana é igual a R$ 2.304,00.
3ª Resolução – Tecnológica: Calculadora HP-12C
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
1920 ENTER 1.920,00
120 % 2.304,00
Diretamente: 1920 120 % 2.304,00 
Outra opção na HP-12C: Como é um acréscimo poderemos proceder assim:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
1920 ENTER 1.920,00
120 % 384,00
+ 2.304,00
Diretamente: 1920 20 % 384,00 2.304,00 
Portanto o salário final de Mariana é de R$ 2.304,00.
Aplicação 3
José comprou um computador por R$1000,00 e depois de algum tempo, esse compu-
tador foi vendido com 8% de desvalorização. Por quanto foi vendido esse computador?
OBS: Nesse caso houve uma desvalorização, ou seja, uma perda.
Dados:
Valor Referencial (Todo): valor inicial do computador (compra): 1.000,00
Porcentagem de desvalorização: 8% 
Fator de Multiplicação: redução de 8%, ou seja, 100% - 8% = 92% = 92
100
= 0,92
Parte desejada - Valor final do computador (venda): x 
Introdução - Porcentagens e Regra de Três20
Resoluções:
1ª Resolução: Algébrica - Fator de Multiplicação:
0,92 x 1000,00 = 920
Esse cálculo na HP-12C: 0 92 1000 920,00 
2ª Resolução: Algébrica - Regra de Três Simples
1000 100%
(100 8)%
1000 100%
92%
x
x
→
 → −
→
 →
Equacionando eresolvendo:
 
100. 1000.92
100 92000
92000
100
920
 x
x
x
x
=
=
=
=
3ª Resolução – Tecnológica: Calculadora HP-12C
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
1000 ENTER 1.000,00
92 % 920,00
Diretamente: 1000 92 % 920,00 
Outra opção na HP-12C: Como é um decréscimo poderemos proceder assim:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
1000 ENTER 1.000,00
8 % 80,00
 - 920,00
Diretamente: 1000 8 % 80,00 920,00 
Portanto, o computador foi vendido por R$ 920,00.
PRATICANDO...
Então aluno, existem sites disponibilizados na Internet em que encontramos esses tipos de 
cálculos como simuladores ou jogos. Veja um exemplo disso a seguir:
www.porcentagem.org
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 21
Síntese
Neste módulo você pôde entender a importância do conceito de porcentagem e suas 
aplicabilidades nos negócios que realizamos no dia a dia. A partir destes conceitos pode-
mos criar formas de administrar e calcular nossas transações diárias, com muita clareza 
e precisão.
O cálculo de porcentagens o ajudará nos cálculos a serem realizados em “Operações 
Comerciais”, ou seja, as Transações Comerciais com Lucro e Prejuízo como também 
Descontos e Acréscimos. 
Bons estudos!
Referências
BRUNI, Adriano Leal et Rubens Fama. Matemática Financeira com HP-12C e Excel. São Paulo, Atlas, 2002.
FARIA, ROGÉRIO GOMES DE. Matemática Comercial e Financeira. 5ª ed. São Paulo, Makron Books, 2000.
FARIA, ROGÉRIO GOMES DE. Matemática Comercial e Financeira com exercícios e cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo, Ática, 2007. 
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira. 6ª ed. São Paulo, Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira. São Paulo, Atlas, 2001.
NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Matemática Comercial e Financeira. 1ªed., Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 
2010.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da HP-12C. 2ª ed. Edição Compacta. São Paulo, 
Atlas, 2009.
VERAS, Lílian Ladeira. Matemática Financeira. São Paulo, 4ª ed., Atlas, 2001.
22
Matemática 
Financeira
OPERAÇÕES COMERCIAIS 
TRANSAÇÕES ENVOLVENDO 
LUCRO
INCIDÊNCIA DOS CÁLCULOS NA FIXAÇÃO DE LUCRO
PORCENTAGENS NAS TRANSAÇÕES USUAIS DE 
COMPRA E VENDA
HP-12C E SEUS PRINCIPAIS COMANDOS 
ALGÉBRICOS E NAS OPERAÇÕES COM 
PORCENTAGENS
OS RESULTADOS DE LUCRO OBTIDOS EM 
OPERAÇÕES COMERCIAIS
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!Com o intuito de deixá-lo atualizado e informado, neste módulo você aprenderá 
a aplicar muitos conceitos matemáticos em seu cotidiano, muitos desses conceitos 
são vivenciados por você. Por exemplo para fixarmos preços ou para determinarmos 
os resultados das operações de lucro ou de prejuízo, há necessidade de realizarmos 
determinados cálculos, que envolvem regra de três simples e porcentagens. Então, é aí 
que aplicamos nossos conhecimentos matemáticos.
Conto com você, com muita disposição, compromisso, dedicação e disciplina para que 
juntos possamos realizar um excelente trabalho. Estudar a distância é uma experiência 
fascinante. Estude bastante, tenha uma ótima aprendizagem e muito sucesso!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você será capaz de:
• Identificar e distinguir a incidência dos cálculos na fixação de lucro;
• Calcular porcentagens nas transações usuais de compra e venda de mercadorias, com 
fundamentação de cálculos algébricos e tecnológicos;
• Manusear a HP-12C nos principais comandos algébricos e nas operações com porcenta-
gens, para determinação de preços e resultados das transações comerciais;
• Aplicar, no cotidiano, em situações relacionadas a transações comerciais, cálculos que 
envolvam lucro sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda;
• Verificar os resultados de lucro obtidos em operações comerciais.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógico
Tâmara Santos Soares
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias Nassif C. Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
OPERAÇÕES COMERCIAIS – 
TRANSAÇÕES ENVOLVENDO LUCRO
Introdução
OPERAÇÕES COMERCIAIS
Vamos começar nossos estudos analisando as Operações Comerciais. Você saberia defi-
nir que operações são essas? Pois bem, as Operações Comerciais são transações realiza-
das no comércio de mercadorias com a finalidade de obter lucro. No entanto, quando não 
são bem sucedidas, podem produzir resultados negativos, gerando prejuízos. Compras, 
vendas e permutas de mercadorias são alguns exemplos de operações comerciais. Para a 
realização dessas operações, é necessário determinar os cálculos para a fixação de preços 
ou para a determinação de resultados, seja lucro ou prejuízo. Dentre esses cálculos, apli-
caremos as porcentagens e a regra de três simples.
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 25
E por falar em porcentagens, é frequente no comércio e na contabilidade ocorrerem dúvi-
das sobre o referencial utilizado para aplicar as porcentagens de lucro ou prejuízo, ou seja, 
sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. Mas o que seria esse tal preço de 
custo e/ou preço de venda da mercadoria?
Bem, a compra de mercadoria é dada por um determinado preço, chamado de preço de 
custo (PC), já a realização da venda deste mesmo produto é dado por um preço denomi-
nado preço de venda (PV). Compreendeu?
TOME NOTA
Note que o resultado dessa negociação pode 
gerar lucro ou prejuízo, dependendo do preço 
que a mercadoria é repassada ao mercado 
para o consumidor.
SAIBA MAIS 
O preço de custo (PC) de uma mercadoria é composto por todas as despesas que são gera-
das como: aquisição de matéria prima, a fabricação (inclusive com custos das instalações), 
a estocagem, o transporte, a manutenção desse produto e até mesmo a promoção da sua 
venda.
O preço de venda (PV) é o valor cobrado ao consumidor e que deve cobrir o custo direto da 
mercadoria (ou produto ou serviço), as despesas variáveis, como impostos, comissões, etc., 
as despesas fixas proporcionais, ou seja, aluguel, água, luz, telefone, salários e outros custos.
Estudaremos a seguir como as vendas são realizadas sobre esses dois referenciais (preço 
de custo e preço de venda), onde teremos geração de lucro. Para verificar matematica-
mente o resultado das vendas, basta você subtrair o PC (preço de custo) do PV (preço 
de venda), ok?
Resultado = PV – PC
Note que quando o preço de venda é maior que o preço de custo, dizemos que a venda 
foi efetuada com lucro, pois o resultado dessa subtração será um valor positivo, ou seja, 
o lucro é positivo. Vamos conversar um pouco mais sobre o Lucro? Tenho certeza que este 
é um assunto que muito lhe interessa.
Transações Comerciais com Lucro
O que é Lucro?
Lucro, do latim lucrum, significa "ganho, vantagem". É o retorno posi-
tivo de um investimento, ou negócio, feito por um indivíduo ou uma 
pessoa. Simplificando, entenderemos o lucro como a diferença entre o 
preço de venda PV e o preço de Custo (compra) PC, ou seja:
lucro = preço de venda − preço de custo
lucro = PV − PC
Operações comerciais – Transações envolvendo lucro26
%
SAIBA MAIS 
Você sabia que na contabilidade o lucro bruto é a diferença positiva entre receita e custo?
As vendas realizadas com lucro acontecem quando o preço de venda (PV) é maior do 
que o preço de custo (PC), gerando resultado positivo. Você pode verificar este resultado 
através da fórmula:
L = PV – PC > 0
LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
Você sabe o que significa porcenta-
gem sobre o custo?
Pois é, quando o cálculo do lucro, 
em bases percentuais, incide sobre 
o preço de custo do produto adquiri-
do, temos o que é chamado de porcentagem 
sobre o custo, que é oprocesso normal adotado pelos 
comerciantes.
Se por exemplo, o preço de custo de certo produto foi de 
R$ 200,00, e na sua venda ganhássemos um lucro de 10%, 
então estaríamos vendendo-o por R$ 20,00 a mais, isto é, por 
R$220,00. Na resolução desse problema tomamos como refe-
rencial o preço de custo (que representa os 100% do referencial), 
e para calcular o preço de venda adicionamos 10% do preço do 
custo, assim o preço da venda correspondeu a 110% do Total dos 
100% ,ou seja, do valor do preço de custo. 
Assim, podemos concluir que ao final o preço total é de:
R$220,00 = 110% de R$200,00
ou
R$220,00 = 1,1 x R$200,00.
Outra lógica é calcular os 10% do valor do custo e adicioná-lo, ou seja, 10% de R$200,00 
corresponde a R$20,00, que adicionado ao valor inicial resulta em R$220,00.
Desta forma, se a compra de determinada mercadoria é vendida com um lucro de i%, 
podemos dizer que nesta operação o lucro em espécie da operação foi determinado sobre 
o preço de custo. Assim, quando o lucro incide sobre o Preço de Custo, tomamos como 
base de referência o preço de custo, ou seja, ele é o todo (100%). Então, por meio de 
regra de três simples temos:
100%
(100 )%
PC
PV i
→
→ +
Operações comerciais – Transações envolvendo lucro 27
Aplicando a proporcionalidade e equacionando, temos:
100
100
PC
PV i
=
+
Pela propriedade fundamental das proporções, que nos diz que produto dos meios é igual 
ao produto dos extremos, temos:
100. .(100 )
.(100 )
100
(100 ).
100
100.
100 100
PV PC i
PC iPV
iPV PC
iPV PC
= +
+
=
+
=
 = + 
 
Substituiremos a taxa centesimal por ic, ou seja, 100c
ii = . Portanto: .(1 )cPV PC i= + . 
 
A taxa ic é denominada “taxa unitária” de lucro sobre o preço de custo.
IMPORTANTE
O referencial preço de custo PC é 100% e como o resultado é lucro, então o preço de venda 
PV é maior que 100%, ou seja, (100+i ).
A seguir, veja algumas aplicações deste importante conceito.
Aplicação 1
Sabendo que uma calça jeans, cujo preço de custo é 
R$125,00, ao ser vendida, teve um lucro de 8%. 
Assim, qual seria o preço de venda dessa mercadoria?
Bem, os dados que temos são:
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) 125,00
Porcentagem de lucro sobre PC 8% = 0,08
Preço de venda (PARTE) ?
IMPORTANTE
Quando não for mencionado o referencial para 
o cálculo do lucro deveremos sempre considerar 
esse cálculo sobre o preço de custo, por que é o 
mais usado.
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro28
Resoluções
Você verá alguns tipos de resoluções, a 1ª resolução é Algébrica, por meio da Regra 
deTrês Simples. Veja só:
100%
(100% )%
125 100%
(100 8)%
125 100
108
PC
PV i
PV
PV
→
→ +
→
→ +
→
→
Substituímos os valores PC pelo preço de custo da mercadoria, que é R$125,00 e a 
porcentagem de lucro i pelos 8% de lucro da venda da mercadoria. 
100%
(100% )%
125 100%
(100 8)%
125 100
108
PC
PV i
PV
PV
→
→ +
→
→ +
→
→
Assim, aplicando a proporcionalidade, teremos:
125 100
108PV
=
Pela propriedade fundamental das proporções, na qual o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos, temos:
100. 125.108
13500
100
135
PV
PV
PV
=
=
=
Agora, acompanhe a 2ª resolução, onde substituiremos os dados diretamente na fórmula 
deduzida:
1= +.( )cPV PC i
E aí, fácil? Você gostou da forma que utilizamos os cálculos? Caso haja 
alguma dúvida, retorne ao início da 1ª resolução, e releia o conteúdo. Bem, 
se você preferir podemos também trabalhar o mesmo assunto utilizando 
a famosa calculadora HP-12C, fazendo os cálculos nessa calculadora. Veja 
na 3ª resolução os procedimentos para operar esta ferramenta, neste 
momento você verá o comando de porcentagem:
125.(1 0,08)
125.1,08
135
PV
PV
PV
= +
=
=
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 29
IMPORTANTE
Na HP-12C temos o comando % , que só poderá ser utilizado para efeitos de cálculos quan-
do se conhece o todo(100%), ou seja, o referencial e a porcentagem (%). No exemplo citado, 
sabemos que o referencial é o número 125 e a porcentagem é 8%,portanto, PC + L =PV.
O procedimento que você fará é o seguinte:
TODO PORCENTAGEM DADA % 
Ou seja, no exemplo apresentado será...
125 8 % 10,00 135,00
E o que isto significa? Na verdade, estas são as entradas dos dados do problema, desta 
forma, você viu exatamente como proceder na HP-12C. Observe que ao identificarmos 
o referencial (TODO) damos a entrada na HP (teclamos ENTER), logo após a taxa dada 
no exemplo ( i ) e adicionamos (teclamos +) para representar o valor final com o lucro. 
Entendido? Caso ainda exista alguma dúvida, veja o esquema na tabela, com certeza irá 
te ajudar.
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
125 125,00
8 % 10,00
135,00
Assim o preço de venda é R$ 135,00.
Aplicação 2
Pense agora em outra situação: Um celular foi vendido por R$ 150,00, com um 
lucro de 20% sobre o preço de custo. Qual foi o preço de custo desta mercadoria?
DADOS VALORES
Preço de venda (PARTE) 150,00
Porcentagem de lucro sobre PC 20%
Preço de custo (TODO) ?
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro30
Resoluções
Iniciemos agora com a resolução Tecnológica – HP-12C, utilizando o comando de porcen-
tagem do todo. Na HP-12C temos o comando , que tem duas formas de ser trabalhado:
• Quando se conhecem o todo e a parte, nesse caso, determinaremos a porcentagem:
TODO PARTE PORCENTAGEM
• Quando se conhece a porcentagem e a parte que ela representa, nesse caso, deter-
minaremos o todo:
PORCENTAGEM PARTE TODO
No nosso exemplo temos os seguintes dados:
TODO: PC → 100% (Porcentagem do todo)
PARTE: 150 → 120% (Porcentagem tomada do todo)
Portanto:
• A porcentagem correspondente a parte tomada do todo é 120%.
• A parte, ou seja, o valor tomado do todo é o PV = R$150,00.
• A porcentagem correspondente ao todo é 100%.
• O todo (100%) é o preço de custo PC.
Agora, pense um pouco... Se 120% representam R$150,00, 
então estamos procurando o referencial, ou seja, 100% que 
representará o TODO (PC), não é mesmo? Bem, vamos 
prosseguir com a resolução, me acompanhe!
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
120 120,00
150 125,00
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 31
PORCENTAGEM PARTE TODO
Neste caso, você fará o seguinte:
120 150 125
Assim, o preço de custo é R$ 125,00, que é o referencial do lucro obtido (100%).
REFLITA 
Você sabe verificar se o lucro de 20% sobre o preço de custo R$ 125,00, chega ao resultado 
da venda de R$ 150,00? Veja a seguir como fazer isso...
Muito bem, como você já sabe, nós temos os seguintes dados:
• Preço de custo =R$125,00
• Lucro sobre o preço de custo = 20%
Para calcularmos o total da venda basta aplicarmos a seguinte fórmula: PV= PC + L = ?
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
125 125,00
20 % 25,00
150,00
125 20 % 150
Assim fica confirmado que o preço de venda é R$ 150,00 como foi dado no enunciado.
Verificando os cálculos
Vamos agora conferir os cálculos deste 
problema, ou seja, vamos calcular de outras 
maneiras, utilizando outros procedimentos. 
Começaremos com a 1ª resolução algébrica, 
utilizando Regra de Três Simples.
Vamos lá?
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro32
Acompanhe a resolução...
100%
100% %
100%
150 (100 20)%
100
150 120
PC
PV i
PC
PC
→
→ +
→
→ +
→
→
Aplicando a proporcionalidade e equacionando, temos: 
100
150 120
PC
=
Pela propriedade fundamental das proporções, na qual o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos, temos:
120. 150.100
15000
120
125
PC
PC
PC
=
=
=
Assim, o preço de custo será de R$125,00.
Nesta 2ª resolução, vamos substituir, diretamente, os dados do problema na fórmula 
deduzida:
1= +.( )cPV PC i
Viu tivemos várias opções de resoluções? 
Bom, não é? Assim você terá condições 
de escolher qual método lhe agrada mais. 
Daremos continuidade verificando o 
percentual de lucro sobre o custo.
Aplicação 3
Um rádio relógiofoi comprado por 
R$ 75,00 e vendido por R$ 90,00. Qual foi 
o percentual de lucro sobre o custo?
150 .(1 0,20)
150 .1,20
150
1,20
125
PC
PC
PC
PC
= +
=
=
=
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 33
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) 75,00
Preço de venda (PARTE) 90,00
Porcentagem de lucro sobre PC %?
Resoluções
A 1ª resolução será através do comando de porcentagem do todo, o , que poderá 
ser acionado quando conhecemos o TODO e a PARTE, nesse caso, determinaremos a 
PORCENTAGEM QUE A PARTE REPRESENTA DO TODO:
TODO PARTE PORCENTAGEM DO TODO (100+i) 100 PORCENTAGEM 
No nosso exemplo temos: 
TODO: 75 → 100%
PARTE: 90 → (100 + i )%
Sabendo que a porcentagem que representa a parte tomada do todo é igual a (100+i )%, 
qual será a porcentagem ( i ) sobre o preço de custo? Vejamos como se calcula o i.
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
75 75,00
90 120,00
100 20,00
Se PC + L = PV, então L = PV - PC
Na HP-12C você fará assim:
75 90 100 20
Desta forma, o percentual de lucro sobre o preço de custo é 20%.
Agora na 2ª resolução, façamos o contrário, ou seja, vamos tirar a prova para verificar se 
o lucro de 20% sobre o preço de custo gera a venda no valor de R$ 90,00.
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro34
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) 75,00
Porcentagem de lucro sobre PC 20%
Preço de venda (PARTE) ?
Basta aplicar 20% sobre o preço de custo, adicioná-lo (porque é lucro) e, obteremos o 
preço de venda. Veja a seguir usando a HP-12C:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
75 75,00
90 120,00
100 20,00
Vamos calcular PC + L = PV, que corresponde a:
75 20 % 90
Assim, fica confirmado que o preço de venda é R$ 90,00, como foi dado no enunciado.
Muito bem, nesta 3ª resolução você aprenderá o Comando de Variação Percentual . 
Na HP-12C temos o comando que é usado quando são apresentados o TODO e a 
PARTE, e nesse caso queremos a variação percentual entre eles, ou seja, a PORCENTAGEM 
sobre o custo i:
TODO PARTE PORCENTAGEM i 
Para o exemplo citado temos:
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) 75,00
Preço de venda (PARTE) 90,00
Porcentagem de lucro sobre PC i %?
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 35
Assim, faça o seguinte:
75 90 20
Você pôde ver que a porcentagem de lucro sobre o preço de custo é de 20%.
Verificando os cálculos
Vamos agora conferir os cálculos acima utilizando outros 
procedimentos. A 1ª resolução será algébrica, onde utilizaremos 
Regra de Três Simples. Você se lembra como se faz esta 
operação? Vejamos a resolução a seguir...
( )
100%
100% %
75 100%
90 (100 )%
PC
PV i
i
→
→ +
→
→ +
Aplicando a proporcionalidade e equacionando, teremos
75 100
90 100 i
=
+
Pela propriedade fundamental das proporções, onde o produto dos meios é igual ao produ-
to dos extremos, teremos:
75.(100 ) 90.100
9000100
75
100 120
120 100
20
i
i
i
i
i
+ =
+ =
+ =
= −
=
Outra maneira de se resolver esta equação, consiste em substituir os dados na fórmula 
gerada. Observe:
1= +.( )cPV PC i
 0,20 = ic (taxa unitária: 100
i
)
90 75.(1 )
90 (1 )
75
1,20 1
1,20 1
c
c
c
c
i
i
i
i
= +
= +
= +
− =
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro36
TOME NOTA
Não se esqueça: quando a taxa unitária é multiplicada por 100 passa a ser a taxa centesimal 
(i %).
ic = 0,20.100
ic = 20%
LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA
Nem sempre aplicamos a taxa de lucro 
sobre o preço de custo, e isto é razoa-
velmente explicável porque na prática, é 
mais fácil, ou cômodo, para o comerciante 
aplicar o lucro sobre o preço de venda, que 
geralmente está representado na tabela de 
uso comercial, ou até mesmo nas etique-
tas das mercadorias, enquanto que o custo 
nem sempre é de fácil acesso.
Sendo assim, o nosso referencial agora é 
o preço de venda (PV ), que representará 
o nosso todo (100%), e o preço de custo 
(PC ) será a parte tomada do todo. Então, 
para começar, vamos relacioná-los por meio 
de uma regra de três simples, aplicando o que você já estudou até aqui. Lembrando que 
o preço de custo é menor que o preço de venda quando há lucro.
100%
100% %
100%
(100 )%
PV
PC i
PV
PC i
→
→ −
→
→ −
Aplicando a proporcionalidade e equacionando, temos:
100
100
PV
PC i
=
−
Agora, aplicando a propriedade das proporções, onde o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos, vem:
(100 ). .100i PV PC− =
Simplificando esta equação, membro a membro por 100, obtemos:
(100 ). .100
100 100
(100 ) .100
100 100
100 100. .
100 100 100
i PV PC
i PCPV
i PV PC
−
=
−
=
 − = 
 
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 37
Ao dividirmos a taxa (i ) por 100, obtemos a chamada taxa unitária iv, e ficamos assim:
(1 ). .1
(1 )
v
v
i PV PC
PCPV
i
− =
=
−
onde iv é denominado taxa unitária de lucro sobre o preço de venda
IMPORTANTE
O referencial preço de venda (PV ) é 100% e como o resultado é lucro, então o preço de custo 
(PC ) é menor que 100%, ou seja, (100 - i ). 
Vamos prosseguir vendo algumas aplicações destes conceitos relacionados à incidência 
do lucro sobre preço de venda.
Aplicação 1
Uma loja de departamentos coloca à venda uma determinada marca de liquidificador com 
um lucro de 20% sobre o preço de venda. Sabendo-se que o mesmo teve um custo de 
R$150,00, qual foi o preço efetivo dessa venda?
DADOS VALORES
Preço de venda custo (PARTE) 150,00
Preço de custo venda (TODO) ?
Porcentagem de lucro sobre PC 20%
Resoluções
Começaremos nossos cálculos com a resolução algébrica, através 
da Regra de Três Simples.
( )
100%
100% %
100%
150 (100 20)%
100%
150 80%
PV
PC i
PV
PV
→
→ −
→
→ −
→
→
Aplicando a proporcionalidade e equacionando, teremos
100
150 80
PV
=
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro38
Pois bem, aplicaremos também a propriedade das proporções, e ficará assim: 
80. 150.100
15000
80
187,50
PV
PV
PV
=
=
=
A 2ª maneira de resolvermos esta questão é substituindo os dados do problema direta-
mente na fórmula:
1
=
−( )v
PCPV
i
Na HP-12C temos o comando , que é o “Comando de porcentagem do todo”, ele 
pode ser usado quando se conhece a porcentagem tomada do todo e a parte que ela 
representa, assim o resultado obtido será o TODO.
PORCENTAGEM PARTE TODO
No nosso exemplo temos: 
PV → 100%
150 → 80%
DADOS VALORES
Preço de custo (PARTE) 150,00
Porcentagem tomada do TODO (100-i) 80%
Preço de venda (TODO) ?
Se 80% representa a parte 150,00, então estamos procurando o referencial, ou seja, 
100% que representará o TODO (PV). Assim, o comando na HP-12C será o seguinte:
PORCENTAGEM PARTE TODO
Nesta questão, faremos assim:
80 150 187,50
Assim o preço de venda é R$ 187,50, que é o referencial do lucro obtido (100%).
150
(1 0,20)
150
(0,80)
187,50
PV
PV
PV
=
−
=
=
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 39
Vamos tirar a prova para verificar esses 
cálculos? Imagine que o lucro foi de 20% 
sobre o preço de venda R$ 187,50. Então 
vamos ter os seguintes dados:
DADOS VALORES
Preço de venda (TODO) 187,50
Lucro sobre o PV 20%
Preço de custo (PARTE) ?
Como sabemos que PV = PC + L ⇒ PV - L = PC
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
187,50 187,50
20 % 37,50
150,00
Faremos diretamente na HP-12C o seguinte comando PV - L = PC:
187,50 20 % 150
Assim, fica confirmado que o preço de custo é R$ 150,00 como foi dado no enunciado, 
entendido? Vamos continuar nossos estudos, verificando o percentual de lucro em rela-
ção ao preço de venda.
Aplicação 2
O proprietário de uma loja de eletrodomésticos comprou uma cafeteira por R$ 90,00 e 
quer vendê-la com um lucro sobre a venda. Sabendo-se que a venda foi realizada por 
R$ 120,00, então qual será o percentual de lucro sobre essa venda?
DADOS VALORES
Preçode custo (PARTE) 90,00
Preço de venda (TODO) 120,00
Porcentagem de lucro sobre PV i %?
Resoluções
Vamos à 1ª resolução que é algébrica, por meio da Regra de Três 
Simples. Veja só:
100%
(100% )%
120 100%
90 (100 )%
PV
PC i
i
→
→ −
→
→ − Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro40
100%
(100% )%
120 100%
90 (100 )%
PV
PC i
i
→
→ −
→
→ −
Pela proporcionalidade temos:
120 100
90 100 i
=
−
Aplicando a propriedade fundamental da proporção (produto dos meios é igual ao produ-
tos dos extremos), temos:
(100 ).120 100.90
(100 ).120 9000
9000(100 )
120
100 75
75 100
25
25
i
i
i
i
i
i
i
− =
− =
− =
− =
− = −
− = −
=
Como você já sabe, podemos substituir os dados do problema diretamente na fórmula:
1
=
−( )v
PCPV
i
90120
(1 )
120 90 ( )
1 (1 )
(1 ) 90
1 120
1 0,75
0,75 1
0,25
0,25 ( )
0,25 100
 
 
 
v
v
v
v
v
v
v
v
i
os extremos trocam de lugar
i
i
i
i
i
i taxa unitária de lucro sobre o PV
i multiplicando por teremos a taxa centesimal de luc
=
−
=
−
−
=
− =
− = −
− =
=
=
25%
 
v
ro sobre o PV
i =
Na HP-12C temos o Comando de porcentagem do todo , que é usado quando se 
conhecem o TODO e a PARTE, nesse caso, determinaremos a PORCENTAGEM do TODO 
(100 - i) fazendo o seguinte procedimento:
TODO PARTE % PORCENTAGEM (100 - i) 100 -i
ATENÇÃO
Neste caso basta ignorar o sinal de negativo “-”, ou também podemos acionar na HP-12C a 
tecla que representa o comando +/- , que realiza a troca de sinal, e aí o negativo ficará 
positivo e vice-versa.
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 41
No nosso exemplo, temos: 
( )
120 100%
90 100 %i
→
→ −
A PARTE tem como porcentagem representada do todo o (100 – i)%, sendo assim i é a 
porcentagem sobre o preço de venda. Assim, na HP 12C você fará o seguinte:
120 90 100 -25 25
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
120 120,00
90 75,00
100 -25,00
-25,00
Desta forma, o percentual de lucro sobre o preço de venda é 
25%. Mas vamos tirar a prova? Vamos verificar se o lucro de 
25% sobre o preço de venda R$ 120,00 gera o custo no valor 
de R$90,00.
DADOS VALORES
Preço de venda (TODO) 120,00
Porcentagem de lucro sobre PV 25%
Preço de custo (PARTE) ?
Basta aplicar 25% sobre o preço de venda e subtraí-lo. Mas porque subtrair? Ora, porque 
ele é lucro. Desta forma obteremos o preço de custo, veja como faremos na HP-12C a 
equação PV – L = PC
120 25 % 90
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
120 120,00
25 % 30,00
- 90,00
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro42
Assim confirmamos que o lucro de 25% sobre o preço de venda de R$ 120,00 gera o 
preço de custo de R$ 90,00, como foi dado no enunciado.
Na HP-12C temos o comando de variação percentual , 
que é usado quando é dado o TODO e a PARTE, nesse caso, 
queremos determinar a variação percentual entre eles, ou seja, 
a PORCENTAGEM sobre a venda i. Assim, observe os dados a 
seguir, pegue sua calculadora, e faça o comando:
TODO PARTE PORCENTAGEM ( i ) 
DADOS VALORES
Preço de venda (TODO) 120,00
Preço de custo (PARTE) 90%
Porcentagem de lucro sobre PV i %?
Na HP-12C será assim:
120 90 -25 25
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
120 120,00
90 -25
25
IMPORTANTE
O comando de Variação percentual pode ter dois tipos de resultados:
• Número Positivo: Quando o primeiro número de entrada (TODO) é menor do que o 
segundo número (PARTE);
• Número Negativo: Quando o primeiro número de entrada (TODO) é maior do que o 
segundo número (PARTE);
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 43
Síntese
Neste módulo você pôde entender a importância do conceito de lucro, como ele incide 
nos preços e suas aplicabilidades nos negócios que realizamos. Vimos que numa transa-
ção de compra e venda de mercadoria almejamos o resultado de lucro, e o mesmo pode 
incidir sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. 
A partir destes conceitos podemos criar formas de administrar e calcular nossas tran-
sações comerciais diárias, sem riscos e até mesmo tirar vantagens delas, realizando os 
cálculos com muita clareza e precisão. Lembrando que para realizar estes cálculos, você 
aprendeu alguns comandos específicos da calculadora HP-12C.
No próximo módulo você irá estudar e praticar alguns métodos que serão necessários já 
ter estes conceitos.
Aguardo por você no próximo módulo. Até lá!
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2002.
BRUNI, Adriano Leal et Rubens Fama. Matemática Financeira com HP-12C e Excel.São Paulo, Atlas, 2002.
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira. 5ª ed. São Paulo, Makron Books, 2000.
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira com exercícios e cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo, Ática, 2007.
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira.6ª ed. São Paulo, Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira para concursos: mais de 1500 aplicações. São Paulo, Atlas, 2003.
NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Matemática Comercial e Financeira. 1ªed., Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 
2010.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da HP-12C.2ª ed. Edição Compacta. São Paulo, 
Atlas, 2009.
Sites
CENTRO DE ENSINO E SERVIÇOS JURÍDICOS. Disponível em: www.cejurgs.com.br/. Acesso em: 20 de março 
de 2013 
JULIO BATTISTI. OPERAÇÕES COMERCIAIS – LUCROS E PREJUÍZOS. Disponível em: http://www.juliobattisti.
com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos026.asp. Acesso em 20 de março de 2013 
44
A INCIDÊNCIA DOS 
CÁLCULOS COM A 
OCORRÊNCIA DE 
PREJUÍZO
OS RESULTADOS 
OBTIDOS DE PREJUÍZO 
NAS OPERAÇÕES 
COMERCIAIS
E MAIS...
Matemática 
Financeira
OPERAÇÕES 
COMERCIAIS
TRANSAÇÕES 
ENVOLVENDO 
PREJUÍZO
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!O que vamos estudar nesse módulo fará você avaliar e refletir a aplicação da 
matemática em seu cotidiano, e com isso você terá direcionamento para tomada de 
decisões em âmbito comercial. Geralmente, o que se espera em transações comerciais 
é a obtenção de lucro, mas quando mal sucedidas podem ocasionar em prejuízo, que 
normalmente ocorre quando alguém ou alguma instituição gasta mais do que arrecada: 
o custo foi maior que a receita. Assim, vamos aprender a calcular esse tipo de resultado, 
para que possamos nos resguardar em relação a constância desse tipo de resultado em 
nossas operações financeiras.
Conto com você, com sua disposição, comprometimento, dedicação e disciplina, para 
que juntos, possamos realizar um excelente trabalho. Bons estudos!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você será capaz de:
• Identificar e distinguir a incidência dos cálculos com a ocorrência de prejuízo;
• Calcular porcentagens nas transações usuais de compra e venda de mercadorias, com 
fundamentação de cálculos algébricos e tecnológicos;
• Manusear a HP-12C nos principais comandos algébricos e nas operações com porcentagens, 
para determinação de preços e apurar os resultados das transações comerciais com prejuízo;
• Analisar, em situações relacionadas a transações comerciais do cotidiano, os cálculos que 
envolvam prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda;
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Tâmara Santos Soares
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA 
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
OPERAÇÕES COMERCIAIS – 
TRANSAÇÕES ENVOLVENDO 
PREJUÍZO
Introdução
TRANSAÇÕES COMERCIAIS 
COM PREJUÍZO
Você sabe o que é Prejuízo? O termo prejuízo tem origem no 
latim praejudiciu,que significa "julgamento anterior" ou "dano 
prévio". Mas, como estamos falando em transações comerciais, 
vamos aprofundar nossos conhecimentos no Prejuízo financei-
ro, que ocorre quando alguém ou alguma instituição gasta mais 
do que arrecada. Em contabilidade, o prejuízo é o oposto do 
lucro. Ambos são saldos na conta denominada "resultados" ou 
"lucros e perdas", que podem ocorrer ao final do exercício, em 
geral, um período de doze meses.
O prejuízo pode ser definido da seguinte forma: é a diferença 
negativa entre o preço de venda e o preço de custo, ou seja:
Prejuízo = 
0
0
PV PC
PC PV
− <
 − >
ou
IMPORTANTE!
Não se esqueça que as vendas realizadas com prejuízo acontecem quando o preço de venda 
(PV) é menor do que o preço de custo (PC), gerando assim resultado negativo.
Você já notou algumas situações que podem gerar prejuízos? Pois é, às vezes são conse-
quências de ações que não dependem de nós, como por exemplo:
1. ESTOQUE: Mesmo com preços reduzidos, as mercadorias ficam estoca-
das, não há saída.
2. QUEDA DAS VENDAS: Com a queda das vendas, o empresário reduz o 
preço das mercadorias e o vendedor não recebe comissões, ou o pior, em 
alguns casos os funcionário são demitidos.
3. DESEMPREGO: Não há consumismo, se as pessoas 
estão desempregadas.
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo 47
4. PROMOÇÕES: Para atrair os clientes, os empresários fazem suces-
sivas promoções, mas mesmo assim, seu rendimento cai e pode 
até levá-lo ao prejuízo ou a falência.
E assim vira um ciclo que, se não for bem avaliado, pode provocar um 
boom no mercado. Então aluno(a), vamos aprender a calcular e lidar com 
essa situação?
PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
Quando o cálculo do prejuízo, em bases percentuais, incide sobre 
o preço de custo do produto adquirido, temos o que é chamado 
de porcentagem sobre o custo. Desta forma, se a compra de 
determinada mercadoria, que é vendida com um prejuízo de i%, 
significa que nesta operação o prejuízo em espécie da operação 
foi determinado sobre o preço de custo.
Quando o prejuízo incide sobre o Preço de Custo, tomamos 
esse valor como base de referência, ou seja, ele é o todo 
(100%). Assim por meio de regra de três simples temos:
. . 100%
. . (100 )%
P C
P V i
→
→ −
Aplicando a proporcionalidade e equacionando, teremos:
100
100
PC
PV i
=
−
Assim, aplicando também a propriedade das proporções, na qual o produto dos meios é 
igual ao produto dos extremos, a operação ficará da seguinte forma:
100. .(100 )
.(100 )
100
(100 ).
100
100.
100 100
PV PC i
PC iPV
iPV PC
iPV PC
= −
−
=
−
=
 = − 
 
OFF
30%
OFF
Operações comerciais – Transações envolvendo Prejuízo48
IMPORTANTE!
1. Taxa unitária= 
100 c
i i=
2. 1= −.( )cPV PC i , sendo que ci representa a taxa unitária de prejuízo sobre o preço de custo
3. Quando o referencial é o preço de custo PC (100%) e o resultado é prejuízo, então o preço de 
venda PV é menor que o PC (100%), ou seja, (100 - i).
Aplicação 1
Na realização da venda de um eletrodoméstico, cujo preço de custo é R$ 125,00, 
houve um prejuízo de 8% sobre o preço de custo. Qual o preço de venda dessa 
mercadoria?
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) 125,00
Preço de venda (PARTE) ?
Porcentagem de prejuízo sobre PC 8% = 0,08
Resoluções
Acompanhe a seguir alguns tipos de resoluções, a 1ª resolução 
será a Algébrica, utilizando-se a Regra de Três Simples. 
Lembrando que o Prejuízo significa que o preço de custo é maior 
que o preço de venda, isto pode ser representado da seguinte 
forma: Prejuízo → PC > PV. Acompanhe a resolução. 
100%
(100 )%
125 100%
(100 8)%
125 100
92
PC
PV i
PV
PV
→
→ −
→
→ −
→
→
Aplicando a proporcionalidade e equacionando: 
125 100
92PV
=
Operações comerciais – Transações envolvendo Prejuízo 49
Agora, aplicando a propriedade das proporções, onde o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos, vem:
100. 92.125
11500
100
115
PV
PV
PV
=
=
=
Vamos prosseguir com a 2ª resolução Algébrica, na qual basta substituirmos os dados na 
fórmula. Veja como é fácil:
1= −.( )cPV PC i
125.(1 0,08)
125.0,92
115
PV
PV
PV
= −
=
=
A 3ª resolução é a Tecnológica, utilizaremos na HP-12C o 
Comando de porcentagem %
ATENÇÃO
Na HP-12C temos o comando % , onde o referencial é o número 125 e a porcentagem é 
 
8%. Assim temos PC - P = PV
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
125 ENTER 125,00
8 % 10,00
- 115,00
Diretamente na HP-12C você fará PC - P = PV assim:
125 8 % 10,00 115,00
Assim, o preço de venda é R$ 115,00.
Aplicação 2
Um ferro elétrico foi vendido por R$ 150,00 com um prejuízo de 20% sobre o preço de 
custo. Então aluno (a), você saberia me dizer qual foi o preço de custo?
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) ?
Preço de venda (PARTE) 150,00
Porcentagem de prejuízo sobre PC 20%=0,20
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo50
Vamos começar nossos cálculos com a resolução Algébrica:
100%
(100% )%
100%
150 (100 20)%
100%
150 80%
PC
PV i
PC
PC
→
→ −
→
→ −
→
→
Em seguida, iremos aplicar a proporcionalidade e equacionar a propriedade das propor-
ções, veja:
100
150 80
80. 150.100
15000
80
187,50
PC
PC
PC
PV
=
=
=
=
Nosso próximo passo será a resolução substituindo os dados diretamente na fórmula, 
acompanhe:
1= −.( )cPV PC i
150 .(1 0,20)
150 .0,80
150
0,80
187,50
PC
PC
PC
PC
= −
=
=
=
Por fim, resolveremos a questão utilizando a calculadora HP-12C e o 
comando de porcentagem do todo , que é usado quando se conhece a 
PORCENTAGEM que é a parte calculada sobre o todo, e a PARTE representa 
o quanto foi tomado do todo, assim determinamos o TODO. E atenção, os 
procedimentos na HP-12C são:
PORCENTAGEM PARTE TODO
No nosso exemplo temos:
100%
150 80%
PC →
→
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo 51
REFLITA 
Agora pare e pense comigo: Se 80% representa a parte R$150,00, então, estamos procuran-
do o referencial, ou seja, 100% que representará o TODO (PC). E como você poderá verificar 
a veracidade desta informação? Simples, faça o seguinte.
PORCENTAGEM PARTE TODO
80 150 187,50
Assim o preço de custo é R$ 187,50, que é o referencial do prejuízo obtido (100%). 
Você pode tirar a prova para verificar se o prejuízo foi realmente de 20% sobre o preço de 
custo. Vamos lá! Observe os dados que já temos:
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) 187,50
Porcentagem de prejuízo sobre PC 20%
Preço de venda (PARTE) ?
Como sabemos que PV = PC - P, assim PV + P = PC. Entendido?
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
187,50 ENTER 187,50
20 % 37,50
- 150,00
Vamos agora calcular PC - P = PV diretamente na HP-12C.
187,50 20 % 150
Assim fica confirmado que o preço de VENDA é R$ 150,00, como foi dado no enunciado.
PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA
Consideramos porcentagem de prejuízo sobre a venda, quando o cálculo, em 
bases percentuais, incide sobre o preço de venda do produto adquirido. Desta 
forma, se a compra de determinada mercadoria é vendida com um prejuízo 
de i%, isto quer dizer que, nesta operação, o prejuízo em espécie da operação 
foi determinado sobre o preço de venda. Então, quando o prejuízo incide sobre 
o Preço de Venda, tomamos como base de referência o preço de Venda, ou 
seja, este preço de Venda é o todo (100%). Assim, veja que por meio de regra 
de três simples TEREMOS:
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo52
. . (100 )%
. 100%
P C i
P V
→ +
→
Aplicando a proporcionalidade e equacionando e aplicando a propriedade das proporções, 
ficará da seguinte forma:
100
100
(100 ). .100
PC i
PV
i PV PC
+
=
+ =
Dividindo por 100 membro a membro (Teorema da igualdade), teremos:
Assim temos
IMPORTANTE
O referencial PV (Preço de Venda) é 100% e como o resultado é prejuízo, então, podemos 
afirmar que o PC (Preço de Custo) é maior que 100%, ou seja, (100 + i ).
Vamos aplicar o que você aprendeu até agora? Então vamos lá!
Aplicação 1
Ao efetuar a venda de um relógio, cujopreço de custo era R$ 125,00, o comer-
ciante teve um prejuízo de 8%. Sabendo-se que esse prejuízo ocorreu sobre 
o preço de venda, determine o valor final da realização dessa transação. 
DADOS VALORES
Preço de custo (PARTE) 125,00
Preço de venda (TODO) ?
Porcentagem de prejuízo sobre PV 8% = 0,08
Resoluções
Apresentaremos alguns tipos de resoluções. Vamos começar utilizando a regra de três 
simples. Perceba que o prejuízo acarreta em um preço de custo maior que o preço de 
venda, esta informação pode ser escrita assim Prejuízo → PC > PV.
(100 ). .100
100 100
100 100.
100 100 100
i PV PC
i PV PC
+
=
 + = 
 
(1 ). .1
(1 )
v
v
i PV PC
PCPV
i
+ =
=
+
Onde 
100
i é denominada taxa 
unitária sobre o PV e indicada por iv
Sendo iv a taxa unitária de 
prejuízo sobre o preço de venda.
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo 53
A resolução será desta forma:
100%
(100 )%
100%
125 (100 8)%
100
125 108
PV
PC i
PV
PV
→
→ +
→
→ +
→
→
Aplicando a proporcionalidade, equacionando, como também aplicando a propriedade das 
proporções (produto dos meios é igual ao produto dos extremos), teremos:
100
125 108
108. 125.100
12500
108
115,74
PV
PV
PV
PV
=
=
=
=
Acredito que você já saiba que outra forma de resolver o problema é por meio da fórmula, 
basta substituir os dados, acompanhe:
1
=
+( )v
PCPV
i
Na HP-12C temos o comando % , que só será utilizado quando se conhece 
o TODO e a POCENTAGEM a calcular sobre ele (o referencial = 100%). 
Nesse caso NÃO poderemos usar esse comando, porque o TODO é o 
número desconhecido. Assim, utilizaremos outro comando da HP-12C, que 
corresponde à porcentagem do todo: 
108% 125
100% PV
→
→
REFLITA 
Por que utilizaremos o comando ? Porque conhecemos a porcentagem e a parte que ela 
representa, portanto, acharemos o TODO.
125
(1 0,08)
125
(1,08)
115,74
PV
PV
PV
=
+
=
=
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo54
Os comandos na HP-12C serão:
PORCENTAGEM PARTE TODO
Assim:
108 125 115,74
Agora, podemos afirmar que quando houve um prejuízo de 25% sobre a venda, 
o preço de venda desse produto foi de R$ 115,74. Entendido? Espero que sim! 
Vamos seguir com mais uma aplicação.
Aplicação 2
Um casaco foi comprado por R$ 120,00 e vendido por R$ 90,00. Qual foi o 
percentual de prejuízo sobre o preço de venda?
DADOS VALORES
Preço de custo (PARTE) 120,00
Preço de venda (TODO) 90,00
Porcentagem de prejuízo sobre PV i % ?
Resoluções
Como você já sabe, iniciaremos a resolução por meio da Regra de Três Simples, depois 
aplicaremos a proporcionalidade, e por fim, a propriedade das proporções:
100%
(100% )%
90 100%
120 (100 )%
90 100
120 100
90.(100 ) 120.100
12000100
90
100 133,33
133,33 100
33,33
PV
PC i
i
i
i
i
i
i
i
→
→ +
→
→ +
=
+
+ =
+ =
+ =
= −
=
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo 55
Outra maneira é usar os dados do problema e substituir na fórmula: 
1
=
+( )v
PCPV
i
Logo em seguida, aplique a propriedade das proporções: 
(1 ).90 120.1
1201
90
1 1,33333...
1,33333... 1
0,33333...
v
v
v
v
v
i
i
i
i
i
+ =
+ =
+ =
= −
=
DICA
Você sabia que multiplicando essa taxa por 100, passaremos a ter a taxa Centesimal (i %)? 
Veja só…
0,33333... 1000
33,33%
xv
v
i
i
=
=
Representa a taxa 
centesimal de prejuízo
Na HP-12C temos o comando que é usado quando você conhece o TODO e a 
PARTE, nesse caso, determinaremos a porcentagem. Para isso, faremos o seguinte:
TODO PARTE Porcentagem tomada do todo (100 + i ) 100 i
No nosso exemplo temos: 
90 100%
120 (100 )%i
→
→ +
O preço de custo (PC ) representa a porcentagem tomada do todo, ou seja, (100 + iv ) %, 
sendo assim, iv é a porcentagem de prejuízo sobre o preço de venda (PV ).
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
90 90,00
120 133,33
100 - 33,33
12090
(1 )
90 120
1 (1 )
(1 ) 120
1 90
v
v
v
i
i
i
=
+
=
+
+
=
Representa a taxa unitária 
de prejuízo sobre a venda
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo56
Na HP-12C faça o seguinte:
90 120 100 33,33
Assim o percentual de prejuízo sobre o preço de venda é de 33,33%.
Com base nos dados do problema, podemos tirar a prova e 
verificar se o prejuízo de 33,33%, sobre o preço de venda, gera 
o custo no valor de R$ 120,00. Basta aplicar 33,33% sobre o 
preço de venda e adicioná-lo (porque é prejuízo) para obtermos o 
preço de custo. Veja as tabelas a seguir e acompanhe mais uma 
resolução:
DADOS VALORES
Preço de venda (TODO) 90,00
Porcentagem de prejuízo sobre PV 33,33%
Preço de custo (PARTE) ?
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
90 90,00
33,33 % 30,00
120,00
DICA
Você está trabalhando com duas casas decimais na HP-12C ( 2).
Na HP-12C resolva a fórmula PV + P = PC:
90 33,33 % 120
Assim, fica confirmado que o preço de custo é R$ 
120,00, como foi dado no enunciado.
Por fim, vamos utilizar o comando de Variação 
Percentual da HP-12C, este comando é utiliza-
do quando são dados o TODO e a PARTE, e nesse caso 
verificaremos a variação percentual entre eles, ou seja, a 
PORCENTAGEM sobre a venda i. Então aluno(a), faça o seguinte proce-
dimento na calculadora:
TODO PARTE PORCENTAGEM ( i )
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo 57
DADOS VALORES
Preço de venda (TODO) 90,00
Preço de custo (PARTE) 120
Porcentagem de prejuízo sobre PV i  % ?
Já com o comando de Variação Percentual ( ), ficará assim:
90 120 33,33
Assim, você poderá concluir que a porcentagem de prejuízo sobre o preço de venda é de 
33,33%.
Então aluno(a), alguma dúvida a respeito do cálculo de prejuízo? Caso haja alguma, sugiro 
que você releia o módulo. Bons estudos e até a próxima!
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo58
59
Síntese
Neste módulo você pôde compreender que prejuízo é qualquer dano ou perda que reduz o 
valor das mercadorias que são oferecidas nas transações comerciais. Assim, a importân-
cia do resultado obtido nas transações comerciais e suas consequências nos negócios, 
nos levam a criar melhores formas de administrar e calcular com muita clareza e preci-
são, para que não gerem mais prejuízos. Portanto, um dos conceitos fundamentais em 
transações financeiras é o prejuízo, que diz respeito à perda, e isso com certeza não é 
o desejável. Em linhas gerais, devemos saber calcular, avaliar e tomar decisões para não 
correr esse risco.
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2002.
BRUNI, Adriano Leal et Rubens Fama. Matemática Financeira com HP-12C e Excel.São Paulo, Atlas, 2002.
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira. 5ª ed. São Paulo, Makron Books, 2000.
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira com exercícios e cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo, Ática, 2007.
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira.6ª ed. São Paulo, Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira para concursos: mais de 1500 aplicações. São Paulo, Atlas, 2003.
NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Matemática Comercial e Financeira. 1ªed., Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 
2010.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da HP-12C.2ª ed. Edição Compacta. São Paulo, 
Atlas, 2009.
Sites
CENTRO DE ENSINO E SERVIÇOS JURÍDICOS. Disponível em: www.cejurgs.com.br/. Acesso em: 20 de março 
de 2013 
JULIO BATTISTI. OPERAÇÕES COMERCIAIS – LUCROS E PREJUÍZOS. Disponível em: http://www.juliobattisti.
com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos026.asp. Acesso em 20 de março de 2013 
Matemática 
Financeira
SISTEMA DE 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES - 
JUROS E MONTANTE
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!Nesse módulo aplicaremos muitos conceitos e realizações praticadas no mercado 
financeiro e no comércio com o intuito de deixá-lo informado sobre a aplicação da 
matemática em seu cotidiano.
Os ensinamentos de Financeirasão amplos e de grande utilidade para todas as pessoas, 
físicas ou jurídicas, pois suas aplicações são utilizadas em operações de financiamentos 
de quaisquer espécies, em operações de investimento, em operações de desconto, entre 
outras.
O uso das técnicas de Financeira é imprescindível para a tomada de decisão pois você 
poderá tomar decisões mais racionais como: decidir a melhor oferta de financiamentos de 
casas e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou no cartão de crédito, 
aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, etc.
Nesse módulo será abordado o regime de juros simples que já foi muito utilizado nas 
situações de curto prazo, hoje quase impraticável, mas entender como funcionava esse 
sistema vai lhe ajudar a entender todo o estudo da financeira.
Conto com você, com muita disposição, compromisso, dedicação e disciplina para que 
juntos possamos realizar um excelente trabalho.
Estudar a distância é uma experiência fascinante. Estude bastante. Tenha uma ótima 
aprendizagem e muito sucesso!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você deverá ser capaz de:
• Conhecer a modelagem matemática do regime de capitalização simples.
• Definir os principais componentes de uma operação financeira.
• Identificar taxas de juros proporcionais.
• Identificar e distinguir a incidência dos cálculos na fixação de juros.
• Determinar os juros nas transações usuais fundamentando os cálculos com resoluções 
algébricas e tecnológicas;
• Manusear a HP-12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas 
operações com regime simples.
• Aplicar no cotidiano, nas transações de juros simples, almejando rentabilidade.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Pollyana Barbieri Pazzini
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA 
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO 
SIMPLES – JUROS E MONTANTE
Introdução
Provavelmente você já ouviu uma dessas indagações:
• Por que estudar a Matemática Financeira?
• Como posso aplicá-la no meu cotidiano? 
• Que diferença os ensinamentos da disciplina fará 
em minha vida?
E para respondê-las, vamos inicialmente falar de algumas gran-
dezas que são trabalhadas em financeira, como:
• Capital: é a importância monetária, ou seja, o valor do 
dinheiro aplicado (ou tomado) numa instituição finan-
ceira. Representaremos o capital por um dos símbolos: 
“C ” ou “PV ” ou “A”.
• Tempo: qualquer unidade periódica, ou seja, unidade de referência temporal, como 
ano, semestre, quadrimestre, trimestre, bimestre, mês, dia ou outro período qual-
quer. Representaremos o tempo pela letra “n”.
• Taxa: é o coeficiente de proporcionalidade que se aplica sobre o valor monetário em 
função do tempo, e será sempre referendada a um período de tempo.A representa-
ção da taxa será pela letra “i ”e poderá ser expressa por:
 - Taxa Centesimal quando é acompanhada pelo símbolo % ( i% );
 - Taxa Unitária quando é dividida por 100 100
i





• Montante: é o saldo final do investimento (ou do financiamento), isto é, é o capital 
acrescido de juros. Indicaremos o Montante por: “M ” ou “FV ”.
• Juro: é o valor monetário que representa a remuneração do capital, ou seja, é a 
remuneração obtida a partir do capital de terceiros. É o contrato de aluguel, em 
dinheiro, em função da contratação de uma operação financeira, por um período de 
tempo determinado. Em geral, os juros simples são empregados em contratos como 
aluguéis de imóveis ou parcelas financiamento de compra de bens, cujo pagamento 
é feito com atraso de alguns dias. 
Temos dois referenciais de juros a considerar: 
 - Aquele que paga juros: poderemos entender como custo, despesa financeira, 
prejuízo, etc. 
 - Aquele que recebe juros: poderemos entender como rendimento, receita finan-
ceira, ganho, como também, é o acréscimo que se dá ao negócio realizado pelo 
uso do capital de alguém, etc.
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante 63
CURIOSIDADE
É bastante antigo o conceito de juros, que surgiu naturalmente quando o Homem percebeu 
existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Na antiguidade, os juros eram pagos 
pelo uso de sementes ou de outros bens. Muitas das práticas existentes originaram-se dos 
antigos costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos 
agrícolas.
E assim com a distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos 
baseados nessas transações, já usavam alguns tipos de contratos legais 
como recibos. Os juros e os impostos existem desde a época dos primei-
ros registros de civilizações existentes na Terra.
Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda leva-
riam normalmente a ideia de juros, pois se realizavam basicamente devi-
do ao valor temporal do dinheiro. 
Os juros não é apenas uma das nossas mais antigas aplicações da 
Matemática Financeira e da Economia, mas também quase não sofreu 
mudanças através dos tempos.
Também é necessário falar sobre o Fluxo de Caixa.
Você saberia responder o que é um Fluxo de Caixa?
É a movimentação financeira da empresa, ou seja, as Entradas (+) e as Saídas ( - ) de 
dinheiro.
Veja os exemplos abaixo:
1º) Uma aplicação:
Capital investido (-)
Saldo ou Montante (+)
2º) Um empréstimo:
Pagamento final do 
empréstimo (-)
Dívida contrária na forma 
de empréstimo (+)
Quando utilizamos os comandos financeiros da HP-12C é necessário que uma das gran-
dezas monetárias seja negativa, e para isso utilizaremos o comando de troca de sinais 
que é .
E agora com base nessas grandezas podemos entender porque a Matemática Financeira 
tem como principal objetivo estudar o valor do dinheiro em função do tempo, ou seja, 
a evolução do valor do dinheiro no tempo. O conceito é aparentemente simples e nesse 
módulo, você terá todas as condições de verificar e entender como atualizar ou corrigir 
o seu capital.
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante64
A seguir vamos tratar de alguns conceitos fundamentais e preliminares.
Regimes de Capitalização
A expressão capitalização de juros encontra-se diretamente ligada aos sistemas ou méto-
dos de cálculos, assim definidos:
“são sistemas de capitalização de juros, os métodos pelos quais os capitais são 
remunerados”.
É a forma em que se verifica o crescimento do capital, que pode ser simples ou composta.
No regime de capitalização simples os juros são calculados utilizando como base o capital 
inicial (C = PV), ou seja, os juros incidem sempre sobre o capital inicial gerando juros 
proporcionais ao tempo de aplicação (juros iguais).
0
J1C J2 J3
n
Jn
1 2 3
J1 = J2= J3 = ... = Jn
No regime de capitalização composta a taxa de juros é aplicada sobre o capital acumulado 
do período anterior, ou seja, já crescido de juros. É o famoso “juros sobre juros”.
0
J1
C
J2 J3
n-1 n
MnMn-1M1 M2 M3
Jn
1 2 3
No momento o nosso estudo é focar apenas o regime Simples.
Regime de Capitalização Simples
Nessa modalidade a base de cálculo é sempre o valor inicial, não ocorrendo qualquer 
alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros, ou seja, os juros são 
calculados sempre sobre o valor inicial da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o capital 
cresce de forma linear (constante), isto é, proporcional ao tempo. 
CURIOSIDADE
Hoje raramente se tem a prática desse regime, acontece só em países com baixo índice de 
inflação e com o custo real do dinheiro baixo;ou em países com alto índice de inflação ou 
custo financeiro real elevado nas aplicações em curto prazo. 
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante 65
IMPORTANTE
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial,a 
taxa varia linearmente em função do tempo. Se quisermos converter as taxas desses regimes 
basta utilizar a regra de três simples.
Juros Simples
Juro é o aluguel do dinheiro. Em outras palavras, é a remuneração obtida a partir do 
capital de terceiros, na verdade estamos de fato assinando um contrato de aluguel de 
dinheiro em função da contratação de uma operação financeira, por um 
período tempo determinado.
Exemplo 01: Quando estamos tomando dinheiro emprestado em uma 
instituição financeira 
Exemplo 02: Quando financiamos um imóvel 
No regime de capitalização simples a fórmula que representa o cálculo dos 
juros é uma equação aritmética, que será deduzida a seguir.
Seja C= PV o capital investido por n períodos financeiros segundo a taxa de juros 
i. Vamos calcular o juro J a cada período.
Ao final do primeiro período (n1), teremos o primeiro rendimento (J1) a saber:
J1 = C.i.n1
0
J1C
n1=1
1
J1 = C.i.1
Assim: J1 = C.i
Ao final do segundo período (n2), teremos o segundo rendimento (J2), também incidente 
sobre o capital inicial C, a saber:
J2 = C.i.n2
0
J2C
n2=1
1 2
J2 = C.i.1
Assim: J2 = C.i
E assim sucessivamente, e no n-ésimo período teremos:
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante66
Jn = C.i.1
Jn = C.i
Em cada período o juro incidiu sobre o capital inicial, gerando n períodos de juros iguais a “C.i”.
Ao final da aplicação (ou da dívida) o total de juros é igual ao somatório de todos os juros 
de cada período:
J J
J J J J J
J C i C i C i C i
Total K
n
T n
T
=
= + + + +
= + + + +
∑
1
1 2 3 ...
. . . ... .� ����� ������
n parcelas iguais
Portanto, os juros acumulados ao final do período são traduzidos na fórmula a seguir:
JT = C.i.n
Mas inicialmente vamos estabelecer algumas regras para a utilização de fórmulas 
algébricas:
• O tempo n e a taxa i deverão estar numa mesma unidade de referência temporal;
• Optaremos no tempo por Ano Comercial, ou seja, ano formado com 360 dias.
• Todas as fórmulas que serão deduzidas em financeira, a taxa utilizada é a unitária i
100
.
E para os Comandos da calculadora HP-12C, podemos calcular os juros simples com base 
em um período de 360 ou 365 dias, e também o montante (valor principal somado ao 
juro acumulado).
Vamos estabelecer as regras para a utilização dos comandos financeiros:
• Digite a quantia do Capital e pressione 
• Digite ou o número de dias (ano comercial) e pressione 
• Digite a taxa de juros anual centesimal e pressione 
O cálculo de juros será dado por:
 - Para Ano Comercial: pressione e o resultado será exibido. O juro 
acumulado em um período de 360 dias (ano comercial)
• Se o tempo em dias for de ano Civil, pressione para calcular e exibir 
o juro acumulado em um período de 365 dias (ano civil).
• Pressione para calcular o total do principal e o juro acumulado agora no visor.
• Alguns cálculos na HP-12C ficam limitados no regime de capitalização simples, 
pois ela calcula apenas os Juros e o Montante simples (Capital, taxa e tempo não 
é possível). 
• Os comandos monetários são trabalhados de dois em dois, e na formatação de um 
Fluxo de Caixa, ou seja, Entradas (+) e Saídas ( – ), utilizando para isso em uma das 
unidades monetárias o comando CHS.
• Não existe hierarquia de entrada de dados na HP-12C(podem ser inseridos em qual-
quer ordem), desde que o último comando acionado seja o desejado (incógnita).
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante 67
Agora poderemos iniciar nossos cálculos de juros simples, e para isso veja o exemplo a 
seguir.
Carlos aplicou a importância de R$ 2.300,00 a juros simples segundo a taxa de 18% a.a. 
Qual o juro obtido ao final de 5 meses?
DADOS VALORES
CAPITAL ( C ) 2.300
TEMPO ( n ) 5 meses
TAXA ( i ) 18% a.a = 1,5% a.m = 0,015 a.m.
JUROS ( J ) ?
ATENÇÃO
Observe que a taxa e o tempo estão numa mesma unidade de referência temporal, e a taxa 
tem que ser unitária.
Vejamos inicialmente o cálculo na forma algébrica (fórmula):
J
J
=
=
2300 0 015 5
172 50
. , .
,
Outra resolução é o da HP-12C, seguindo os passos abaixo:
DADOS VALORES
CAPITAL ( C = PV ) 2.300
TEMPO ( n ) 5 meses = 150 dias
TAXA ( i ) 18% a.a
JUROS ( J ) ?
IMPORTANTE
Observe que a taxa é referida ao ano e o tempo em dias.
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante68
Acionando os comandos da HP-12C, temos:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
 2 0,00
2300 -2.300,00
150 150,00
18 18,00
 172,50
O juro obtido nessa transação foi de R$ 172,50.
Também podemos falar um pouco sobre as variações dos Juros simples, a saber:
JUROS SIMPLES COMERCIAIS, ORDINÁRIOS OU BANCÁRIOS: JB
Nos juros simples comerciais ou ordinários, para estabelecer a conformidade entre a taxa 
e o período utilizam-se o ano comercial. Logo, em juros comerciais todos os meses têm 
30 dias e o ano têm 360 dias, não importando o calendário civil.
Nesse caso, os bancos geralmente utilizam uma combinação entre os conceitos de juros 
comerciais e exatos. Para calcular o número de dias entre duas datas utilizamos o calen-
dário civil, e para calcular o número total de dias de um ano ou mês, utilizamos o conceito 
de juros comerciais (mês têm 30 dias e o ano têm 360 dias). Este conceito é geralmente 
empregado em transações financeiras de curto prazo. Veja a fórmula a seguir:
J C i dB A E=
. .
360
Onde:
C : capital inicial
iA : Taxa Unitária Anual
dE : dias exatos (ano civil)
Vamos aplicá-la no exemplo a seguir:
Carlos aplicou R$ 1.200,00 num banco que paga a taxa de juros simples de 24% a.a. 
durante um período de 75 dias. Determine o rendimento bancário obtido ao final do 
período.
DADOS VALORES
CAPITAL: (C = PV ) 1.200,00
TEMPO (DIAS DO ANO CIVIL) n 75 dias
TAXA ( i ) 24% a.a = 0,24 a.a
JUROS BANCÁRIO ( J ) ?
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante 69
A Resolução Algébrica(Fórmula) é:
J C i dB A E=
. .
360
Substituindo os dados teremos:
J
J
J
B
B
B
=
=
=
1200 0 24 75
360
21600
360
60
. , .
Outra resolução será utilizando os comandos financeiros da HP-12C que utiliza a base do 
Ano Comercial (360 dias):
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
 2 0,00
1200 -1200,00
75 75,00
24 24,00
 60,00
JUROS SIMPLES EXATOS: JE
No caso de juros simples exatos vamos utilizar o ano civil que possui 365 ou 366 dias 
para calcular o número de dias entre duas datas.
 ou
Onde:
C : capital inicial
iA : Taxa Unitária Anual
dE : dias exatos (ano civil)
Veja o exemplo: 
Carlos aplicou R$ 1.200,00 num banco que paga a taxa 
de juros simples de 24% a.a. durante o período de 17 
de janeiro de 2013 a 4 de abril de 2013 (75 dias). 
Determine os juros exatos obtidos obtido ao final 
do período.
J C i d J C i dE A E E A E= =
. . . .
365 366
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante70
DADOS VALORES
CAPITAL: C = PV 1.200,00
TEMPO (ANO CIVIL 2013 - Não Bissexto) n 75 dias
TAXA ANUAL: i 24% a.a = 0,24 a.a
JUROS EXATOS ( J ) ?
A Resolução Algébrica (Fórmula) é:
J C i dE A E=
. .
365
Substituindo os dados teremos:
J
J
J
E
E
E
=
=
=
1200 0 24 75
365
21600
365
59 18
. , .
,
Outra resolução será utilizando os comandos financeiros da HP-12C que utiliza a base do 
Ano Civil (365 dias):
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
 2 0,00
1200 -1200,00
24 24,00
75 75,00
 60,00
 1.200,00
59,18
Portanto os juros exatos obtidos ao final do período foram de R$59,18.
Montante Simples
O que você entende por Montante?
Se você pensou no resultado obtido ao final do período, está correto. Na verdade é a 
soma obtida do capital aplicado (ou dívida contraída) com os juros. Representaremos o 
montante por M ou por FV. Assim teremos:
M = C + J
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante 71
Substituindo a fórmula de juros, teremos:
M = C + C.i.n
Colocando o Capital C em evidência, teremos a fórmula do montante:
M = C. (1 + i.n )
IMPORTANTE
Você não pode se esquecer de que a taxa e o tempo deverão estar na mesma unidade tempo-
ral e, além disso, a taxatem que ser unitária em formulas e centesimal na HP-12C.
Veja o exemplo a seguir.
Maria aplicou a importância de R$ 2.300,00 a juros simples segundo a taxa de 18% a.a. 
Qual o montante obtido ao final de 5 meses?
DADOS VALORES
CAPITAL: (C ) 2.300
TEMPO ( n ) 5 meses
TAXA ( i ) 18% a.a = 1,5% a.m = 0,015% a.m
MONTANTE ( M = FV ) ?
ATENÇÃO
Observe que a taxa unitária e o tempo estão numa mesma unidade temporal.
Vemos resolver inicialmente utilizando a forma algébrica (fórmula):
M = C. (1 + i.n)
M
M
M
M
= +
= +
=
=
2300 1 0 015 5
2300 1 0 075
2300 1 075
2 472 50
.( , . )
.( , )
.( , )
. ,
Também poderemos calcular os juros e adicionar ao capital aplicado.
J = C. i .n
J
J
=
=
2300 0 015 5
172 50
. , .
,
E a soma de Capital com os Juros é o Montante:
M = C + J
M
M
= +
=
2 400 00 172 50
2 472 50
. , ,
. ,
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante72
Outra resolução é utilizando os comandos financeiros da HP-12C:
FIQUE LIGADO
Observe que a taxa tem que ser centesimal referida ao ano e o tempo em dias.
Acionando os comandos da HP-12C, temos:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
2300 -2300,00
18 18,00
150 150,00
172,50
2,472,50
Assim o saldo final (montante) obtido nessa transação foi de R$ 2.472,50
Taxas Proporcionais
Duas (ou mais) taxas de juros simples são ditas proporcionais quando seus valores e seus 
respectivos períodos de tempo, reduzidos a uma mesma unidade, formam uma proporção.
Veja o exemplo:
A taxa de juros simples é de 2% ao mês, então a taxa proporcional anual é:
2% a.m → 1 mês
i% a.a → 1 ano
 
2% a.m → 1 mês
i% aa → 12 meses
Equacionado as razões teremos:
2 1
12i
=
A propriedade da proporcionalidade:
1. i = 2 . 12 
i = 24
Assim 24%a.a é a taxa simples proporcionala taxa dada de 2% a.m.
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante 73
Critérios Adotados
 - Arredondar logo no início ou no final do cálculo?
A sugestão é, em cálculos financeiros, você deve fazer os arredondamentos 
somente no final. Em qualquer cálculo financeiro é importante levar em consi-
deração todas as casas decimais possíveis nos cálculos intermediários e apenas 
no final arredondar.
 - Quando os juros estarão disponíveis para o credor?
Só ao final da operação financeira.
 - Como foram deduzidas as fórmulas financeiras para o regime simples?
A dedução foi com base na taxa de juros expressa em forma unitária, ou seja, 
é dada na forma centesimal ( i% ) mas será dividida por cem i
100
.
 - Como são usadas as grandezas taxa de juros i e o tempo n nas fórmulas e na 
HP-12C?
Nas fórmulas deverão estar expressos na mesma temporalidade (em forma 
compatível). Assim, se a taxa de juros i for expressa em anos (a.a), o tempo n 
deverá ser expresso em anos, se a taxa de juros i for expressa em meses (a.m), 
o tempo n deverá ser expresso em meses, e assim por diante.
No entanto na HP-12C deverá ser a taxa centesimal ANUAL ( i% a.a) e o tempo em DIAS 
(ano comercial).
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante74
75
Síntese
Neste módulo você pôde entender a importância de estudar a Matemática Financeira 
utilizando uma série de conceitos matemáticos aplicados à análise de dados financeiros. 
Notou como a visão que se tem das relações matemáticas com o mundo que nos cerca, 
pode também exercer influência sobre o mercado, comércio, economia doméstica e orça-
mentária? Pois é, o conceito fundamental sobre o qual se alicerça toda a Matemática 
Financeira é o valor do dinheiro em função do tempo. Estudamos com ênfase o regime de 
capitalização simples, assim você pode observar como o valor do dinheiro é corrigido em 
função do tempo (juro e inflação) segundo uma taxa de juros de mercado. 
Conscientizamos que a forma de remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro do 
credor é uma espécie de "aluguel pelo uso do dinheiro", e a taxa, uma compensação paga 
pelo devedor do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. 
Para agregar a esse conhecimento, para facilitar e agilizar essas relações,você pode contar 
com muitas tecnologias que estão à disposição, como os computadores e as calcula-
doras, e a ideal nas situações financeiras é dominar e utilizar a HP-12C. Sendo assim,é 
necessário que você familiarize com situações do cotidiano e do meio financeiro para 
aplicar essa teoria.
Esse estudo do regime simples é a base de toda a teoria do regime composto que estuda-
remos posteriormente. Assim espero que você tenha absorvido toda essência dessa teoria 
para aplicarmos depois.
Aguardo por você no módulo seguinte. Até lá!
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª edição, São Paulo,Atlas, 2008.
BRUNI, Adriano Leal et FAMA, Rubens. Matemática Financeira com HP-12C e Excel. São Paulo, Atlas, 2002.
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel 
– 2ª edição rev. São Paulo: Cengage Learnig, 2008.
CRESPO, AnttônioArnot. Matemática Financeira Fácil. 14ª ed. São Paulo, Saraiva, 2009.
FARIA, ROGÉRIO GOMES DE. Matemática Comercial e Financeira com exercícios ecálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo, Ática, 2007.
FARO, Clóviset LACHTERMACHER, Gerson. Introdução à Matemática Financeira. 
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP-12C e Excel: Uma abordagem Descomplicada. São 
Paulo, Pearson Prentice Hall, 2006.
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira. 6ª ed. São Paulo, Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira. São Paulo, Atlas, 2001.
MULLER, Aderbal Nicolas, et ANTONIK, Luís Roberto. Matemática Financeira. São Paulo, Saraiva, 2012.
NASCIMENTO, Marco Aurélio. Introdução à Matemática Financeira. São Paulo, Saraiva, 2011.
NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Matemática Comercial e Financeira. 1ªed., Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 
2010.
PUCCINI, Aberlardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 9ª ed., São Paulo, Elsevier, 2011.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da HP-12C. 2ª ed. Edição Compacta. São Paulo, 
Atlas, 2009.
Matemática 
Financeira
DESCONTO 
BANCÁRIO 
SIMPLES
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!Nesse módulo aplicaremos muitos conceitos e realizações vivenciadas pelas pessoas 
que necessitam do crediário. Assim, o mercado financeiro e o comércio com o intuito de 
deixá-las satisfeitas com o consumo de bens e serviços, praticam a operação de crédito 
comprovada por títulos, tendo em vista o surgimento das necessidades da circulação do 
crédito e a mobilização da riqueza.
Com muita disposição, compromisso, dedicação e disciplina, juntos, realizaremos um 
excelente trabalho. 
Estudar a distância é uma experiência fascinante. 
Conte sempre conosco e tenha uma ótima aprendizagem! Sucesso!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você deverá ser capaz de:
• Definir títulos de crédito.
• Classificar os principais tipos de títulos de crédito.
• Calcular descontos bancários de títulos quitados antes do vencimento.
• Calcular o Valor de Resgate de um título antes do vencimento.
• Determinar novas formas de quitar uma dívida.
• Manusear a HP-12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas 
operações de descontos no regime simples.
• Aplicar no cotidiano, nas transações de crediário, novas propostas de pagamentos da dívida 
pela equivalência de propostas.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Pollyana Barbieri Pazzini
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES
Introdução
CURIOSIDADES
Você sabia que as atividades comerciais exercidasentre as empresas e os consumidores têm 
como principal suporte o crédito? Pois é, esse crédito decorre normalmente de operações de 
compra e venda a prazo, de bens e serviços, ou empréstimos. Para a representação formal dos 
referidos créditos são utilizados documentos denominados títulos de crédito.
E Título de Crédito, você sabe o que é?
Título de crédito é um documento que tem como objetivo representar um crédito relativo 
a uma transação específica de mercado, facilitando desta forma a sua circulação entre 
diversos titulares distintos, substituindo num dado momento a moeda corrente ou dinhei-
ro em espécie, além de garantir a segurança da transação. 
Os títulos de crédito são de extrema importância, você sabe como utilizá-los?
Os títulos de crédito são de vital importância para os negócios, haja vista que promovem 
e facilitam a circulação de créditos e dos respectivos valores a estes inerentes, além de 
propiciar segurança da circulação de valores. Os títulos de crédito constituem, antes de 
tudo, um documento de legitimação a ser cumprido pelo devedor em favor do possuidor 
do título. É no título que se registra a obrigação de pagamento futuro, por isso, o direito 
se evidencia no documento e não na pessoa possuidora do papel. 
Assim o título de crédito, exige obrigatoriamente a existência anterior de um direito de 
crédito a ser representado formalmente pelo respectivo documento. 
Agora, para entender um pouco mais sobre “Crédito”, seria interessante estudarmos em 
primeiro lugar a origem dessa palavra. Você saberia defini-la também?
A origem vem do latim creditum ou credere que significa confiança. Em economia, o 
crédito é a venda ou empréstimo de determinado bem que é entregue ao devedor num 
primeiro momento, para pagamento em espécie ou devolução posterior do bem. A opera-
ção de crédito gera, entre as partes, uma relação de confiança (que será paga a dívida) e 
de tempo (prazo entre o empréstimo e a devolução).
Portanto o instrumento mais perfeito e eficaz da mobilização da riqueza e da circulação do 
crédito é o título de crédito, que formaliza a dívida: distingue o credor do devedor.
Veremos como esses documentos podem ser utilizados nas transações comerciais e nas 
atividades financeiras.
Desconto Bancário Simples 79
Título de crédito 
Nas operações comerciais com pagamentos a prazo, poderá ser emitido um contrato 
no qual as especificações da transação e da forma de pagamento serão devidamente 
contempladas. A formalidade dessas transações será feita por meio de documentos deno-
minados Títulos que geralmente são assinados pelo comprador em que há promessa de 
pagamento da quantia correspondente ao credor.
Assim o Título de crédito é o papel representativo de uma obrigação e emitido de confor-
midade com a legislação específica de cada tipo ou espécie. Segundo Cesar Vivante, 
“Título de Crédito é o documento necessário para o exercício do direito, literal e autôno-
mo, nele mencionado". Esse é o conceito mais usual e para que se configure o crédito é 
necessário que decorra entre as partes a noção de confiança e de tempo. 
Entenderemos que Título é um documento para oficializar a dívida contraída, ou seja, é 
como se fosse um contrato de empréstimo no qual o tomador do recurso faz uma promes-
sa de pagamento, à ordem da importância emprestada, acrescida de juros.
A classificação mais importante dos títulos de crédito é feita quanto a sua circulação, 
que pode ser ao portador ou nominativo, e os mesmos também podem ser classificados 
quanto ao modelo:
• Vinculados: devem atender a um padrão específico, definido por lei, para a criação 
do título, como exemplo o cheque, a duplicata.
• Livres: não exigem um padrão obrigatório de emissão, basta que conste os requisi-
tos mínimos exigidos por lei, como por exemplos letra de câmbio e nota promissória.
Como você percebeu dentre os títulos ou documentos utilizados nas transações comer-
ciais os citados foram:
Nota promissória
N
O
T
A
 P
R
O
M
IS
S
Ó
R
IA
Nº Vencimento
$
de de
CPF / CGC
ENDEREÇO
A
CPF / CGC
pagar por esta única via de Nota Promissória
Pagavel em
ou a sua ordem a
quantia de
em moeda corrente
deste país
emitente
é um título cambiário emitido por pessoa física ou jurídica em que o emissor assume a 
obrigação direta e principal de pagar o valor correspondente no título, ou seja, nada mais 
é do que uma promessa de pagamento a ser quitada numa data futura.
Desconto Bancário Simples80
Duplicata
Endereço:
Cidade: Estado: Bairro:
Telefone: Fax: CEP:
CNPJ: Insc. Estadual:
Insc. Municipal:
Data Emissão:
Para uso da 
Instituição Financeira
A
ss
in
at
ur
a 
do
 E
m
ite
nt
e
FATURA Nº
Nome do Sacado:
Endereço: Bairro:
Estado:Município:
Praça de Pagamento:
Reconheço(emos) a exatidão desta Duplicata de na sua importância acima, que pagarei(emos) à
 ou à sua ordem na praça e vencimentos indicados.
Não sendo pago no vencimento serão
cobrados juros de mora
CPF/CNPJ (MF) N.º:
VALOR POR 
EXTENSO
Desconto de Até
Condições Especiais
FATURA
VALOR R$ NR.DP VALOR R$
DUPLICATA DUPLICATA
VENCIMENTO
Contato:
Insc. Estadual:
CEP:
NÃO Dispensar juros de Mora e Taxa de perma-
nencia nem mesmo condicionalmente
Em,
Assinatura do Sacado
Formulario Duplicata.doc 06/2003
é uma espécie de título de crédito emitida por pessoa jurídica que constitui o instrumento 
de prova do contrato de compra e venda. A emissão da duplicata é feita com base na 
Fatura da Nota Fiscal que é o documento utilizado nas transações comerciais de venda 
de produtos, mercadorias e na prestação de serviços. Ao aceitá-la, o comprador assume 
o compromisso de resgatá-la pelo valor determinado e em data previamente combinada.
Letra de câmbio
A
ce
ito
(a
m
os
)
L
E
T
R
A
 D
E
 C
Â
M
B
IO
L
E
T
R
A
 D
E
 C
Â
M
B
IO
N. Vencimento
No vencimento pagará(ão) V.Sa(s) por esta única via de Letra de Câmbio, à
de de
Na praça de
Aceitante(s):
Endereço:
Cidade:
Documentos:
Outros Doc.
Estado:
Ass:
Local e data do saque:
a apresentação deste cambial poderá ser feita até meses da data do saque.
VALOR R$
ou à sua ordem a
importância de
Desconto Bancário Simples 81
é uma espécie de título de crédito emitida por instituição financeira ou banco, que repre-
senta uma obrigação pecuniária, sendo esta autônoma. Apesar de atribuir ao sacado à 
obrigação de pagar ao tomador, o sacador permanece subsidiariamente responsável pelo 
pagamento da letra.
CURIOSIDADE
Cheque: é um documento correspondente a uma ordem de pagamento à vista, o favorecido 
ou sacado poderá, a qualquer tempo, receber o valor correspondente. Devido à falta de crédito 
e à participação das instituições financeiras no segmento de créditos, informalmente essas 
instituições passaram a descontar os cheques para as empresas comerciais que aceitavam os 
pré-datados como forma de pagamento. Os cheques representam uma forma de pagamento 
parcelado, em que as partes, comerciante e cliente, na confiança mútua, executam uma tran-
sação comercial. Legalmente, não existem cheques pré-datados.
Comp
Pague por este 
cheque a quantia de
e centavos acima
ou à sua ordema
de de
Banco Agência C1 C2 C3Cheque N.o R$Conta
Desconto de Títulos
Quando o possuidor do documento precisa ou resolve resgatar o Título antes do venci-
mento, ele tem direito a um desconto. Desconto é a operação bancária realizada na 
entrega do valor de um título ao seu detentor, antes da data do vencimento, e mediante 
o pagamento de determinada quantia por parte deste. Nessa transação, o cliente ao apre-
sentar um título de vencimento futuro para desconto na data presente não recebe seu 
valor total, porque sobre esse valor o banco deduz a chamada taxa de desconto, além de 
impostos (como o IOF) e encargos administrativos. Normalmente, as empresas negociam 
suas duplicatas a receber com instituições financeiras, visando obter capital de giro, isto 
é, recursos financeiros a serem utilizados em suas atividades operacionais. Se a duplicata 
não for quitada,a empresa cedente mantém uma obrigação para com o banco, devendo 
reembolsá-lo, se o título vencido não for pago.
ATENÇÃO
Então podemos dizer que o desconto de títulos é o adiantamento de recursos sobre os valores 
dos respectivos títulos (duplicatas ou notas promissórias) geralmente realizados por bancos 
ou outros. 
Desconto Bancário Simples82
Nomenclaturas
Há um conjunto de termos utilizados na linguagem financeira para representar essa teoria 
de desconto de títulos. Vamos aprendê-los? 
N: Título, Valor Final do título, Valor Nominal, Valor de Face, valor expresso no título a ser 
pago no futuro.
D: Valor do desconto ou do abatimento que o título sofre pela antecipação do pagamento.
A: Valor do resgate do título antes do vencimento, Valor Atual, Valor Residual, Valor líqui-
do, é a diferença entre o título e o desconto, etc
i: Taxa de desconto.
n: Tempo de antecipação, quantidade de períodos que antecipam o vencimento do título.
Mediante essas nomenclaturas e sabendo-se que a Matemática nos auxilia nos cálculos 
de determinados problemas, vamos conhecer adiante algumas fórmulas que serão impres-
cindíveis no cálculo financeiro.
Podemos deduzi-las?
Vamos lá!
FÓRMULA DO DESCONTO BANCÁRIO: DB
No regime de capitalização Simples o Desconto mais usado é o Bancário, que é o abati-
mento (juros) a ser deduzido do valor do título. O cálculo do desconto incide sobre o 
valor nominal ou de face do título, proporcional ao tempo de antecipação e segundo a 
taxa correspondente. O desconto Bancário também é denominado Desconto Comercial 
ou “Por Fora”.
Seja N o valor do título que sofre o desconto bancário DB por n períodos de antecipação 
segundo a taxa de desconto i.
O Desconto nada mais é do que o juro a ser subtraído do valor do título. Tem-se que:
DB = J
Você se lembra do estudo de Juros? Sabemos que:
J = C.i.n
Como o desconto incide sobre o valor do título (N ), que é o referencial ( 100%), temos 
que C=N:
DB = C.i.n
DB = N.i.n
Desconto Bancário Simples 83
IMPORTANTE
Não se esqueça das regras estabelecidas para a utilização de fórmulas algébricas:
• O tempo n e a taxa i deverão estar numa mesma unidade de referência temporal;
• Optaremos no tempo por Ano Comercial, ou seja, ano formado com 360 dias.
• Todas as fórmulas que serão deduzidas em financeira, a taxa utilizada é a unitária 
100
i 
 
 
Vamos aplicar esse conhecimento nos exemplos a seguir.
Veja esse exemplo:
Carlos possui uma promissória no valor de R$ 12.000,00, e desejando resgatá-la antecipa 
o vencimento por 3 meses. Se o banco lhe concede um desconto de 24% a.a., qual o 
valor do desconto concedido?
DADOS VALORES
Valor do título (N ) 12.000
Tempo de antecipação (n ) 3 meses
Taxa de desconto (i ) 24%a.a = 2%a.m = 0,02a.m
Desconto D ?
ATENÇÃO
Observe que a taxa e o tempo não estavam numa mesma unidade de referência temporal, 
assim foi necessário a conversão, além disso, transformamos a taxa em unitária.
Vejamos inicialmente o cálculo na forma algébrica (fórmula):
D = N . i . n
D = 12000 .0,02 .3
D = 720,00
Outra resolução é o da HP-12C, seguindo os procedimentos abaixo:
Para os Comandos da HP-12C, podemos calcular o Desconto Bancário igual ao cálculo de 
juros simples, para isso deveremos ter como base o período em dias e a taxa em período 
anual. Vamos estabelecer as regras para a utilização dos comandos financeiros:
• Digite a quantia do Título (Capital) e pressione 
• Digite o tempo em dias (ano comercial) e pressione 
• Digite a taxa de juros anual centesimal e pressione 
• Para o cálculo do Desconto (juros) basta pressionar e o resultado será 
exibido. 
Desconto Bancário Simples84
ATENÇÃO
Observe que a taxa é referida ao ano e o tempo em dias.
DADOS VALORES
Título (N ) 12.000
Tempo (n ) 3 meses = 90 dias
Taxa (i ) 24%a.a 
Desconto (D = J  ) ?
Acionando os comandos da HP-12C, temos:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
 2 0,00
1200 -12.000,00
-12.000,00
24 24,00
90 90,00
 720,00
O Desconto obtido nessa transação foi de R$ 720,00.
FÓRMULA DO VALOR ATUAL BANCÁRIO: AB
O Valor Atual do Título é o valor do resgate do título antecipado, ou seja, é a diferença 
entre o Título e o desconto bancário sofrido (concedido), assim temos:
AB = N – DB
Substituindo o Desconto pela sua fórmula, temos:
AB = N - Nin
Desconto Bancário Simples 85
Colocando “N” em evidência, temos:
AB = N .( 1 – i.n )
Veja o exemplo a seguir e observe atentamente os cuidados a serem tomados no momen-
to das substituições dos valores referidos: 
Carlos desconta uma Nota Promissória no valor de R$ 12.000,00 num banco que paga 
a taxa de juros simples de 24% a.a. Sabendo-se que o vencimento deste título dar-se-ia 
daqui a 90 dias, determine o valor do resgate do título pela antecipação sofrida?
DADOS VALORES
Título (N ) 12.000
Tempo de antecipação (n ) 90 dias = 3 meses
Taxa anual (i ) 24%a.a = 2%a.m = 0,02a.m 
Valor atual do título (A  ) ?
A Resolução Algébrica (Fórmula) é:
AB = N .( 1 – i.n )
Substituindo os dados teremos:
AB = 12000 .( 1 – 0,02 . 3 ) 
AB = 12000 .( 1 – 0,06)
AB = 12000 . 0,94
AB = 11.280,00
Outra resolução é o da HP-12C, seguindo os mesmos passos do desconto e logo a seguir 
acionando o comando que o resultado do Valor Atual do Título aparecerá.
Lembre-se que na HP-12C: a taxa é anual centesimal e o tempo é em dias.
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
 2 0,00
1200 -12.000,00
24 24,00
90 90,00
 720,00
11.280,00
Portanto o Valor Atual do título é R$ 11.280,00.
Desconto Bancário Simples86
O nosso principal objetivo não é calcular desconto ou valor atual de um título, e sim fazer 
equivalência de títulos diferidos como veremos a seguir.
E você sabe o que são títulos diferidos?
Veja a seguir o conceito e como utilizá-los.
Equivalências de Títulos Diferidos 
Quando contraímos uma dívida formalizamos esse compromisso com pagamentos futu-
ros, ou seja, os títulos. Inicialmente há uma forma proposta de quitar a dívida, e se por 
algum motivo ela tiver que ser alterada basta que as partes entrem em acordo, e a nova 
proposta adquirida será feita com base em equivalência de capitais (títulos) diferidos. 
Podemos dizer que quando os títulos vencem em datas distintas, independentemente dos 
seus referidos valores, eles são considerados diferidos. Assim diferimento para títulos 
significa tempos distintos de vencimentos.
Dois (ou mais) títulos diferidos, N1 e N2, cujos vencimentos são respectivamente em n1 e 
n2, são equivalentes quando numa mesma época, seus valores atuais são iguais.
No regime simples a data base de comparação (equivalência) é a data zero, ou seja, a data 
da realização da dívida ou a data zero em questão (data da mudança).
0
A1
n1
n2
A2 N2
N1
Assim na data Zero temos:
N1 ≅ N2 ⇔ A1 = A2
Portanto substituindo pela fórmula do valor Atual Bancário, temos:
A1 = A2
N1.(1 – i. n1 ) = N2.(1 – i.n2)
A troca de propostas de quitação da dívida não modifica o seu valor, apenas altera 
a forma de pagá-la. Sendo assim, podemos generalizar essa equivalência como sendo 
a igualdade do somatório de todos os valores atuais bancários dos títulos da primeira 
proposta com o somatório de todos os valores atuais bancários dos títulos da segunda 
proposta na data base Zero.
Chamando a primeira proposta de P1 e a segunda de P2, temos:
1 2
1 1
'
QK
K Q
P P
A A
≅
=∑ ∑
1 2 3 1 2 3... ' ' ' ... 'K QA A A A A A A A+ + + + = + + + +
Desconto Bancário Simples 87
Veja como aplicar a equivalência de títulos no exemplo a seguir:
Marina deve dois títulos: um de R$ 2.000,00 para 3 meses e outro de R$ 5.000,00 para 
7 meses. No entanto propõe ao credor substituí-los por um único título para 5 meses. 
Sabendo-se que o credor aceitou e propôs uma taxa de desconto de 2,5% a.m para essa 
transação, qual o valor nominal desse novo título?
DADOS
1 1
1
2 2
2.000,00 3
5.000,00 7
meses
meses
N n
P
N n
= ⇒ =
 = ⇒ =
{2 3 3? 5mesesP N N n= = ⇒ =
Taxa de desconto: i = 2,5%a.m = 0,025a.m
Inicialmentevamos resolvê-la algebricamente, ou seja, por intermédio de fórmulas:
1 2 3
1 1 2 2 3 3.(1 . ) .(1 . ) .(1 . )
2000.(1 0,025.3) 5000.(1 0,025.7) .(1 0,025.5)
2000.(1 0,075) 5000.(1 0,175) .(1 0,125)
2000.0,925 5000.0,825 .0,875
1850 4125 0,875.
5975
0,875
6.828,57
A A A
N i n N i n N i n
N
N
N
N
N
N
+ =
− + − = −
− + − = −
− + − = −
+ =
+ =
=
=
Assim o valor do novo título é R$ 6.828,57.
Outra resolução é o da HP-12C, seguindo os mesmos passos do desconto e logo a seguir 
aciona o comando que o resultado do Valor Atual de cada Título aparecerá, veja 
como fazer isso passo a passo.
Lembre-se que: A taxa é anual centesimal e o tempo é em dias.
DADOS
1 1
1
2 2
2.000,00 3
5.000,00 7
meses=90dias
meses=210dias
N n
P
N n
= ⇒ =
 = ⇒ =
{2 3 3? 5 meses=150diasP N N n= = ⇒ =
Taxa de desconto: i = 2,5%a.m x 12 = 30%a.a
Desconto Bancário Simples88
Na HP-12C, acionamos os comandos financeiros da seguinte forma:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
2000 -2.000,00
30 30,00
90 90,00
150,00
1.850,00
 1 1.850,00
5000 -5.000,00
210 210,00
 875,00
4.125,00
 + 1 4.125,00
1 -1,00
 0,125
0,875
 1 5.975,00
0,875
6.828,57
IMPORTANTE
Os comandos nº e nº são chamados para a utilização de memória. 
Veja como isto foi feito: 
1º 1.850,00 foi guardado na memória numérica 1 
2º Depois 4.125,00 também foi guardada na memória 1 adicionado ao valor que já estava 
lá.
3º Depois para resgatar essa soma foi acionado os comandos RCL 1, e o resultado da 
soma apareceu.
Outro comando utilizado foi que troca a posição de entrada dos dados na máquina: 
tínhamos o resultado de 0,875 e depois buscamos o resultado de 5.975,00. Como o valor 
5,975,00 tem que ficar na frente usamos o , e esta inversão foi feita, aparecendo no 
visor por último o número 0,875.
Desconto Bancário Simples 89
Assim os dois títulos, um de R$ 2.000,00 e o outro de R$ 5.000,00, serão substituídos 
por um único de R$ 6.828,57.
Vamos ver outro exemplo:
Uma empresa deseja substituir dois títulos de mesmo valor de face, R$ 5.000,00, um 
para 4 meses e outro para 7 meses, por dois novos títulos de valores nominais iguais para 
respectivamente, 5 e 9 meses. Sabendo-se que toda essa transação foi realizada a 1,2% 
ao mês, determine o valor de face desses novos títulos.
Dados: Para o valor do Título desconhecido usaremos uma unidade de refrência 
( N= 1 unidade de título = 1.)
DADOS
1 1
1
2 2
5.000,00 4
5.000,00 7
meses = 120 dias
meses = 210 dias
N n
P
N n
= ⇒ =
 = ⇒ =
3 3
2
4 4
1 5
1 9
unidade meses = 150 dias
unidade meses = 270 dias
N N n
P
N N n
= = ⇒ =
 = = ⇒ =
Taxa de desconto: i = 1,2%a.m. x 12 = 14,40% a.a.
Vamos resolver utilizando a tecnologia, ou seja, os comandos financeiros da HP-12C.
Desconto Bancário Simples90
DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP-12C
 3 0,000
5000 -5.000,000
14,40 14,400
120 120,000
 240,000
4.760,000
 1 4.760,000
210 210,000
 420,000
4.580,000
 1 4.580,000
1 -1,000
150 150,000
 0,060
0,940
 2 0,940
270 270,000
 0,108
0,892
 2 0,892
 1 9.340,000
 2 1,832
5.098,253
 2 5.098,25
Assim os dois novos títulos serão de R$ 5.098,25 cada.
Desconto Bancário Simples 91
Síntese
Neste módulo você pôde entender que a teoria dos títulos de crédito tem muita aplica-
bilidade em nossa vida. Devido à sua praticidade e uso constante dentro do universo 
econômico, comercial e jurídico, sempre nos deparamos com situações aplicáveis em 
nosso cotidiano. 
Você entendeu que comprar a prazo é uma forma fácil de atender as nossas necessidades 
de consumo quando não temos o dinheiro para comprar a vista, no entanto isso deve ser 
feito de maneira que a dívida contraída seja formalizada entre as partes, devedor e credor, 
por documentos de credibilidade no mercado que nesse caso são os títulos de crédito.
Você viu também quais são os títulos de crédito mais usados. Percebeu que a dívida pode 
ser renegociada? Pois é, viu como é fácil trocar a forma combinada inicialmente por uma 
nova proposta, mas existem regras para esses documentos representativos das obriga-
ções, que é a negociabilidade, a equivalência de propostas, evidenciada na facilidade de se 
encontrar pessoas interessadas em antecipar ou prorrogar o valor da obrigação, em troca 
da titularidade do crédito. Daí, indiscutivelmente, a importância do título de crédito que é 
uma compensação paga pelo devedor do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro 
de outro até o dia do pagamento.
E para agregar a esse conhecimento, você pode entender que crediário é uma relação de 
confiança entre as partes, mas mesmo assim deve ser comprovada por documentos, pois 
na falta de pagamentos, os mesmos podem ser protestados.
Agora encerramos o regime de capitalização simples e espero que você tenha absorvido 
toda essência dessa teoria. 
Aguardo por você em uma próxima oportunidade!. Até lá!
Referências
ASSAF NETO, Alexandre.Matemática financeira e suas aplicações. 10ª edição, São Paulo,Atlas, 2008.
BRUNI, Adriano Leal etFAMA, Rubens.Matemática Financeira com HP-12C e Excel. São Paulo, Atlas, 2002.
CASTELO BRANCO, Anísio Costa.Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP12C, Microsoft Excel 
– 2ª edição rev. São Paulo: CengageLearnig, 2008.
CRESPO, AnttônioArnot. Matemática Financeira Fácil. 14ª ed. São Paulo, Saraiva, 2009.
FARIA, ROGÉRIO GOMES DE. Matemática Comercial e Financeira com Exercícios e Cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo, Ática, 2007.
FARO, Clóvis et LACHTERMACHER, Gerson. Introdução à Matemática Financeira. 
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP-12C e Excel: Uma abordagem Descomplicada. São 
Paulo, Pearson Prentice Hall, 2006.
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira.6ª ed. São Paulo, Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto.Matemática Financeira. São Paulo, Atlas, 2001.
MULLER, Aderbal Nicolas, et ANTONIK, Luís Roberto.Matemática Financeira.São Paulo, Saraiva, 2012.
NASCIMENTO, Marco Aurélio. Introdução à Matemática Financeira. São Paulo, Saraiva, 2011.
PUCCINI, Aberlardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 9ª ed., São Paulo: Elsevier, 2011.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da HP-12C. 2ª ed. Edição Compacta. São Paulo: 
Atlas, 2009.
92
Matemática 
Financeira
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO 
COMPOSTA: 
JUROS E MONTANTE
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!Nesse módulo aplicaremos muitos conceitos e realizações praticadas no mercado 
financeiro, o que chamamos de Juros sobre Juros.
No mundo em que vivemos, imerso em transações financeiras e comerciais, com cálculos 
de taxas, porcentagens, compras, vendas, negociações em geral, necessitamos da 
Matemática Financeira para resolvê-las, não é mesmo?
Para sua compreensão, vamos extrair da matemática aplicada nesta área, um conjunto de 
técnicas e formulações para resolver problemas relacionados a esse assunto. 
Hoje em dia no sistema financeiro, para resolvermos problemas, o mais comum é 
aplicarmos o regime composto. 
Você sabe o que implica ou qual a consequência de usarmos esse sistema de regime 
composto?
Pois é, nesse caso, os juros gerados a cada período são incorporados ao valor principal 
para o cálculo dos juros do período seguinte para que assim possa render novos juros. 
Por isso ouvimos sempre a expressão tão comum em transações financeiras: “juros sobre 
juros”.
Sua disposição, dedicação, disciplina e seu compromisso serão imprescindíveis para que 
juntos possamos realizar um excelente trabalho. É fascinante estudar a distância, pois 
nos traz uma experiência única. Estude bastante. Tenha uma ótima aprendizagem e muito 
sucesso!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você deverá ser capaz de:
• Definir regime de capitalização composta.
• Distinguir a capitalização simples da capitalização composta
• Calcular montante e juros compostos.
• Manusear a HP-12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas 
operações de capitalizaçãocomposta.
• Aplicar no cotidiano, nas transações de crediário, os conhecimentos de juros compostos.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Pollyana Barbieri Pazzini
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO 
COMPOSTA: JUROS E MONTANTE
Introdução
Desde os primórdios da nossa civilização, a questão do dinheiro nos acompanha em gran-
des transações financeiras. Naquela época era comum: a troca de mercadorias, emprésti-
mos de dinheiro, venda de escravos, dentre outras situações. E assim, aquele que tinha 
posses oferecia empréstimos para os mais desfavorecidos, e para ele não ter prejuízos, 
as dívidas contraídas por outras pessoas, ao pagá-las, os valores eram acrescidos de uma 
remuneração que hoje denominamos juros. 
Como você conceituaria juros? Você sabe a origem dessa palavra?
Pois é, juro tem, dentre outros, o seguinte significado: “Quantia que remunera um credor 
pelo uso de seu dinheiro por parte de um devedor durante um período determinado” 
(Antônio Houaiss, 2001). 
Ela veio do Latim JUS, “direito, justiça, equidade”, a mesma que originou “juiz”, “júri”, 
“juízo” e outras. Passou a fazer parte do nosso idioma por volta do século XII. Ainda 
segundo Houaiss em seu dicionário escreve que a palavra deriva de jus, júris – direito, 
justiça- isto é, os juros seriam o que é direito receber pelo aluguel de uma determinada 
quantia. No princípio se confundia juro com usura, mas a partir do século XVII, quando se 
iniciou o estudo das Leis econômicas é que se fez a distinção, onde:
• juro para designar a taxa de remuneração pelo uso do dinheiro;
• usura para o empréstimo de dinheiro a taxas superiores às legais.
Juro vem de Juramento?
Um juramento é uma afirmação de um fato ou de uma promessa, geralmente feito perante 
ou sobre algo (um valor moral) ou alguém que quem o faz considera sagrado (geralmente 
Deus), como testemunha da natureza vinculativa desta promessa ou da veracidade desta 
declaração ou fato. Jurar é fazer um juramento, uma promessa solene. Juro pode ter 
origem no juramento, assim podemos entender que “juro” é o juramento de quitar a dívida 
corrigida num futuro próximo.
No sistema financeiro, as operações de investimentos ou de empréstimos são geralmente 
realizadas por meio da intermediação de uma instituição financeira, que capta recursos de 
um lado e os empresta de outro. 
E você, já teve a oportunidade de investir o seu capital?
Pois é, investidores têm várias opções de aplicação à sua disposição e cada opção tem 
a taxa respectiva em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Com isso, 
os tomadores de empréstimo têm várias opções de financiamento cujas taxas variam em 
função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas. Hoje o mais comum e apli-
cado é o regime composto, ou seja, os juros sobre juros.
Para se calcular esse juro, a matemática utiliza o recurso de funções, que nesse caso será 
uma função exponencial.
Vejamos o que foi estudado sobre o crescimento do principal segundo juros simples. Você 
se lembra?
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante 95
A forma juros simples é Linear (Retilínea), mas o crescimento segundo juros compostos 
é Exponencial (hiperbólica). Assim, é fácil observar que esse juro tem um crescimento 
muito mais "acelerado" do que o simples.
Veja o exemplo a seguir para que você possa observar esta situação e perceber essa infor-
mação por meio de uma interpretação geométrica.
Suponha que Maria aplicará a importância de R$ 100,00 a uma taxa de juros de 10% ao 
mês durante quatro meses. 
Como será a evolução dos juros pelos dois regimes: simples e composto?
Veja as tabelas a seguir.
Juros Simples
X
Juros Compostos
Meses
Valor Base 
p/ Juros
Juros M=C+J Meses Valor Base p/ Juros Juros M=C+J
1 100.00 10.00 110.00 1 100.00 10.00 110.00
2 100.00 10.00 120.00 2 110.00 11.00 121.00
3 100.00 10.00 130.00 3 121.00 12.10 133.10
4 100.00 10.00 140.00 4 133.10 13.31 146.41
Graficamente teremos as duas curvas representativas dessas Capitalizações (retilínea e 
hiperbólica):
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
100,00
M = C+J
1 2 3 4 n0
Juros Compostos
Juros Simples
(Número de Períodos)
Você percebeu que só no primeiro período é que os montantes são iguais? Sabe por quê?
A justificativa disso é porque ambas incidem, neste período, sobre o capital inicial. E 
posteriormente elas crescem de acordo com a especificidade de cada regime.
A seguir vamos estudar um pouco mais sobre a capitalização composta. 
Você já vivenciou a utilização desse procedimento?
Normalmente o regime de capitalização composta é adotado por todo o mercado finan-
ceiro e de capitais. Dentro das aplicações do regime de capitalização composta estão as 
seguintes operações:
• Fluxo de caixa
• Investimentos
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante96
• Empréstimos e financiamentos
• Cálculos inflacionários 
• Estratégias comerciais de compra e venda 
• Análise de investimentos
• Outros
Ao realizar os cálculos correspondentes a esse assunto utilizaremos um recurso tecnoló-
gico. Sabe qual é?
Para facilitar esses cálculos, teremos a tecnologia a nosso favor, ou seja, a calculadora 
HP-12C que realizará todos os cálculos compostos de forma mais dinâmica. 
Inicialmente definiremos a seguir as grandezas e nomenclaturas utilizadas neste capítulo 
para executarmos esses procedimentos.
Grandezas e Nomenclaturas 
Utilizadas no Regime Composto 
O objetivo da Financeira é envolver o dinheiro, a taxa e o fator tempo que são considera-
dos grandezas utilizadas nos cálculos realizados nessa área. E você sabe conceituar cada 
uma dessas grandezas? Então vamos lá.
Dinheiro: valor monetário, espécie ou principal. Grandeza representada por: Capital, 
Montante, Juros e Prestações (ou depósitos).
Tempo: unidade referencial do período que pode ser anual, mensal, etc.
Taxa: coeficiente de proporcionalidade. A taxa deverá ser mencionada na forma Centesimal 
(i %) ou Unitária 
1
100
 
 
 
, correlacionada à unidade temporal.
Na HP-12C as grandezas financeiras ou os comandos necessários aos cálculos são:
 Tempo, período, quantidade de pagamentos...
 Taxa centesimal.
 
Presente valor, valor inicial, capital, principal, empréstimo, aplicação, dívida, 
financiamento, investimento, valor atual...
 Pagamentos iguais em série, pagamentos constantes em sequência, prestações, 
parcelas, depósitos, aplicações iguais, termos, títulos...
 Futuro valor, valor final, montante, capital mais juros, saldo final, valor acumu-
lado, valor agregado aos juros, título, resgate total...
 
Troca de sinais, representativo de “Entradas e Saídas” de capitais, utilizaremos 
o comando: ( +) para as entradas e ( - ) para as saídas.
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante 97
ATENÇÃO
• Verificamos que são três as funções monetárias: PV, PMT e FV, mas para qualquer 
fórmula financeira, ou seja, em qualquer cálculo financeiro só aparecem duas variáveis 
monetárias, portanto a terceira terá que ser sempre anulada a cada exercício dado, para 
que não interfira nos cálculos em andamento.
• Não há o comando específico para o cálculo de Juros.
• Para calcularmos uma das incógnitas financeiras, basta lançarmos três delas que a quar-
ta será fornecida.
• Não há hierarquia da entrada de dados na HP-12C. Mas a incógnita a ser calculada 
deverá ser acionada por último.
• O procedimento de cálculo financeiro da HP-12C é na formatação de Fluxo de Caixa, ou 
seja, Entradas (+) e Saídas (-).
A seguir iremos indicar as relações existentes entre essas grandezas, conhecendo as 
fórmulas a serem utilizadas e aplicadas em nosso dia a dia.
FÓRMULA PARAO CÁLCULO DE MONTANTE COMPOSTO
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e o mais útil para 
cálculos de problemas do nosso cotidiano. Assim, os juros gerados a cada período são 
incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de “período de capitalização” o intervalo após o qual os juros são acrescidos 
ao capital. Assim se a capitalização for mensal, significa que a cada mês os juros são 
incorporados ao capital para formar nova base de cálculo do período seguinte. 
É fundamental, portanto, que em regime de capitalização composta se utilize a chamada 
“taxa efetiva equivalente”, devendo sempre estar expressa no período de capitalização, 
representado pelo número de períodos simbolizado por “n”.
Assim as fórmulas ou comandos financeiros trabalham com a compatibilidade dos dados: 
Tempo ( n ) e Taxa (i). 
Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos deverão ser respectivamen-
te, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos 
sejam compatíveis. Portanto quando isso não ocorrer, deveremos fazer as devidas conver-
sões de unidades.
Veja a seguir a construção da fórmula do Montante Composto:
Considere o capital inicial C (principal) aplicado a uma taxa de juros compostos i por n 
períodos financeiros.
Vamos calcular os juros a cada período e incorporar ao capital para gerar novos juros.
Ao final do primeiro período (n1) obteremos o primeiro rendimento ( J1):
0
J1C=C1
M1=C2
1
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante98
Como o cálculo de juros é o resultante do produto do capital pela taxa e pelo tempo, 
temos:
J1 =C1. i .n1
Mas C1 = C e n1 = 1, portanto no primeiro período temos:
J1 =C. i .1
J1 =C. i
E ao final desse período teremos o primeiro capital acumulado que denominamos montan-
te: M1
M1 = C1 + J1
Substituindo os juros encontrados:
M1 = C + C.i
Colocando C em evidência temos:
M1 = C ( 1+ i )
Ao final do segundo período (n2), teremos novos juros (J2) agora incidentes sobre o novo 
capital (C2 = M1), a saber:
0
M1 J2C
M2=C3
1 2
J2 =C2. i .n2
Mas C2 = M1 e n2 = 1, então:
J2=M1 . i .1
J2 =M1 . i
Portanto o saldo acumulado será M2, onde: 
M2=C2+ J2
Substituindo pelos respectivos valores encontrados, temos:
M2 = M1 + M1 . i
Colocando M1 em evidência:
M2 =M1.( 1 + i )
Substituindo M1 já encontrado, vem:
M2 =C ( 1 + i ) . ( 1 + i )
Assim:
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante 99
M2 =C ( 1 + i ) 2
Ao final do terceiro período, teremos:
0
M2 J3C
M3=C4
1 2 3
J3 = C3. i. n3
E com raciocínio análogo, onde C3 = M2 e n3 = 1, vem:
J3 =M2 .i .1
J3 = M2 . i
Assim M3 será calculado por:
M3 = C3+ J3
Fazendo as substituições equivalentes, vem:
M3 = M2 + M2 .i
M3 = M2 . ( 1 + i )
M3=C ( 1 + i )2. ( 1 + i )
M3 = C ( 1 + i )3
Note que existe uma potência indicada nesta fórmula em que o respectivo expoente é 
concomitante com o índice referente ao período do Montante a ser calculado. Por isso, 
em cálculos sucessivos a fórmula desse Montante para o n-ésimo período será represen-
tada a seguir:
M=C.( 1+ i )n
IMPORTANTE
Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa unitária de juros i e ao período n, 
tem necessariamente que serem iguais.
FÓRMULA PARA O CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS
Lembre-se que anteriormente estudamos na capitalização simples o cálculo de Montante 
dado por:
M = C + J
Então podemos escrever também que:
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante100
J = M – C 
Envolvendo o regime composto, o Montante acima estudado será destacado nesta fórmu-
la e assim resultará que:
J = C.( 1 + i )n – C
Colocando C em evidência, temos:
J = C .[ (1 + i )n – 1 ]
SAIBA MAIS 
No regime composto o que prevalece é o tipo mencionado de capitalização. Caso não seja 
citado, deve-se respeitar a unidade periódica da taxa apresentada no problema proposto.
Outra forma de calcularmos esse Montante será utilizando os recursos da HP-12C. 
Mas como proceder para executar esses cálculos?
Visto que essa máquina trabalha com aplicativos específicos, vamos agregar aos nossos 
conhecimentos as seguintes informações:
• A formatação é de fluxo de caixa. Esta forma exige entradas e saídas de capitais, e 
isto será trabalhado no comando CHS (±). 
• A HP-12C não é alfanumérica, apenas numérica. Portanto, ela trabalha com valores 
numéricos e não literais.
• Taxa ( i ) é centesimal na mesma referência do Tempo ( n ), seguindo o regime de 
capitalização.
• São quatro comandos: dois monetários (um positivo e o outro negativo), uma taxa e 
um tempo. Um quinto comando (monetário) deverá ficar de fora, e para isso teremos 
que anulá-lo.
• Informe três variáveis numéricas e acione a última (a quarta) como resposta.
• Não há hierarquia de entrada de dados, desde que o procurado (incógnita) seja a 
última acionada.
Para os Comandos da HP-12C, podemos calcular qualquer uma das variáveis desejadas, 
mas para isso não se esqueça das regras estabelecidas.
Agora você acha que está preparado para começar?
Vamos aplicar esses conhecimentos em alguns exemplos a seguir.
Mara aplicou a importância de R$ 5.000,00 a juros compostos segundo à taxa de 
2% a.m. durante 1 ano. Qual o montante esperado ao final da aplicação, se a capitaliza-
ção é mensal?
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante 101
DADOS VALORES
Capital: C=PV 5.000,00
Tempo de aplicação n 1 ANO = 12 MESES
Taxa: i 2%a.m ==0,02 a.m
Regime de Capitalização: mensal
Valor do Montante : M=FV ?
Inicialmente vamos resolver na forma algébrica, ou seja, pela fórmula:
M = C. ( 1 + i )n
Substituindo os valores, temos:
M = 5000.(1 + 0,02)12
M = 5000.(1,02)12
ATENÇÃO
Primeiramente resolvemos a potência e depois o produto, veja:
( 1,02 )12 é feito assim:
1,02 12 Y X e o resultado será 1,268241795 (trabalhados com todas as casas decimais, 
ou seja, acionando 9).
M = 5000 . 1,268241795
Multiplicando teremos:
M = 6.3341,208975
E considerando para a resposta final só dois dígitos decimais, teremos:
M = 6.341,21
Portanto o montante é R$6.341,21
E na HP-12C? 
Vamos lá, lembrando as informações anteriores, ou seja, as regras para a utilização dos 
comandos financeiros, com os passos abaixo:
• Anule o comando das 
• Digite a quantia do Capital como saída e pressione 
• Digite o número de períodos na mesma unidade de referência da taxa e pressione 
• Digite a taxa centesimal com a referência periódica idêntica ao do tempo e pressione 
• Para o cálculo do Montante basta pressionar o tecla e o resultado será exibido.
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante102
FIQUE LIGADO
Neste módulo não teremos que acionar o comando PMT que representa pagamentos em 
séries, portanto vamos acionar o Zero anulando essa grandeza.
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0 0,000000000
5000 -5.000,000000
12 12,00000000
2 2,000000000
 6.341,208973
 2 6.341,21
Veja outro exemplo:
Um mutuário comprou um apartamento por R$ 200.000,00 financiado por um 
banco em 5 anos a taxa de juros de 1,5% ao mês. Logo no primeiro mês, ele 
perde o emprego e não consegue pagar nenhuma prestação. Mais tarde, precisa-
mente ao final de 5 anos, ele ganha na Mega Sena e resolve quitar a sua dívida. 
Qual será o valor do montante ao final de 5 anos sabendo-se que nenhuma 
prestação foi paga?
DADOS VALORES
Valor da dívida (capital) C=PV 200.000,00
Tempo de pagamento (n) 5 anos = 60 meses
Taxa de juros (i) 1,5%a.m = 0,015a.m
Capitalizações mensais
Dívida futura (montante) M=FV ?
Vejamos inicialmente o cálculo na forma algébrica (fórmula):
M = C.(1+i)n
M = 200000 . ( 1,015)60
M = 200000 . 2,443219776
M = 488.643,9552
M = 488.643,96
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante 103
Algebricamente mas com os recursos da tecnologia da HP-12C:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
1,5 1,500000000
100 0,015000000
1 1,015000000
60 2,443219776
200.000 488.643,9552
 2 488.643,96
Acionandoos comandos financeiros da HP-12C, temos:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0 0,000000000
200000 -200.000,0000
60 60,00000000
1,5 1,500000000
488.643,9551
 2 488.643,96
Ao final de 5 anos ele deverá pagar a importância de R$ 488.643,96 relativos a sua dívida 
da aquisição do apartamento.
Veja outro exemplo: 
Ana resgatou do investimento realizado a 5 meses atrás, a juros compostos de 0,6% a.m, 
a importância de R$ 6.377,94.Qual foi essa aplicação?
DADOS VALORES
Valor do resgate (montante): M=FV 6.377,94
Tempo de aplicação (n) 5 meses
Taxa de juros (i) 0,6%a.m= 0,006 a.m
Capitalizações (segue a taxa) mensais
Valor da aplicação (capital) C=PV ?
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante104
A Resolução Algébrica (Fórmula):
n
5
.(1 i)
6.377,94 .(1,006)
6.377,94 .1,030362166
6.377,94
1,030362166
6.189,998246
6.190,00
M C
C
C
C
C
C
= +
=
=
=
=
=
E se utilizar a HP-12C para esses recursos algébricos, será assim:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
0,6 0,600000000
100 0,006000000
1 1,006000000
5 1,030362166
6.377,94 1,030362166
6.189,998246
 2 6.190,00
Na HP-12C, acionamos os comandos financeiros:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
0 0,000000000
6.377,94 6.377,94000
0,6 0,60000000
5 5,00000000
6.189,998246
 2 6.190,00
Veja outro exemplo:
Qual a taxa para que certo capital renda o dobro do aplicado a juros compostos por um 
período de 1 ano, com capitalizações mensais?
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante 105
ATENÇÃO
Lembre-se que a HP-12C é numérica e não alfanumérica, portanto estabelecemos um valor 
para o Capital em unidades monetárias, por exemplo, 1 unidade de capital ( 1 u.c.).
Render é juros, portanto o Montante é igual ao triplo ( M = C + J).
DADOS VALORES
Valor do capital: C=PV 1
Valor do Montante: M=C+J=FV 1+2=3
Capitalizações mensais
Tempo: (n) 1 ano = 12 meses
Taxa: i (mensal) ?
Algebricamente, temos:
n
12
12
.(1 i)
3 1 .(1 i)
3 (1 i)
1
M C
C C
C
C
= +
= +
= +
Simplificando por “C” membro a membro da equação, vem:
12
12
3 (1 i)
1
3 (1 i)
= +
= +
Vamos explicitar a variável “i” extraindo a raiz 12ª membro a membro da equação:
1212 12
12
12
3 (1 )
3 1
3 1
i
i
i
= +
= +
− =
Os demais cálculos serão realizados na HP-12C:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
3 3,000000000
12 0,083333333
1,095872691
1 0,095872691
100 9,587269100
 2 9,59
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante106
Assim a taxa mensal dessa aplicação foi de 9,59% a.m.
Utilizando os comandos financeiros é mais imediato, veja:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
0 0,000000000
1 1,000000000
3 3,000000000
12 12,00000000
9,587269100
 2 9,59
Com os recursos financeiros da HP-12C é muito simplificado. No entanto essa calcula-
dora trabalha na forma de capitalizações inteiras (n é um número inteiro) sendo assim 
o cálculo do tempo quando não for completo será automaticamente arredondado pela 
calculadora. Nesse caso o tempo exato terá que ser realizado pelo processo algébrico, 
utilizando para tal o cálculo logarítmico.
Vamos citar um exemplo:
Qual o tempo exato para que certo capital quintuplique a juros compostos segundo a taxa 
de 1,2% ao mês com capitalizações mensais?
DADOS VALORES
Valor do capital: C=PV 1
Valor do Montante: M=FV 5
Capitalizações mensais
Tempo: (n) ?
Taxa: i (mensal) 1,2%a.m = 0,012 a.m
Algebricamente, temos:
n
n
.(1 i)
5 1 .(1 0,012)
M C
C C
= +
= +
Dividindo membro a membro por “1C” temos:
5 1 (1,012)
1 1
5 (1,012)
n
n
C C
C C
=
=
Vamos explicitar a variável “n”. Nesse caso utilizaremos a teoria de logaritmo, que possui 
a seguinte propriedade da potência:
logabn = n.logab ou lnbn = n.lnb
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante 107
Assim usando a propriedade logarítmica, vem:
5 (1,012)
(5) (1,012)
(5) . (1,012)
(5)
(1,012)
n
nln ln
ln n ln
ln n
ln
=
=
=
=
Para calcular o logaritmo de um número precisaremos da calculadora, e na HP-12C temos o 
logaritmo Neperiano (LN) que se encontra subescrita (abaixo) na cor azul no comando 
Veja como é realizado o cálculo na HP-12C ( f 9):
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
5 1,609437912
1,012 0,011928571
134,9229450
Assim o tempo “n” será:
n = 134,9229450 meses
Isto quer dizer que temos 134 meses completos e alguns dias que é a parte fracionada 
do mês.
n = 134 meses e 0,922945 parte do mês (dias)
Para essa parte fracionada, basta multiplicar por 30 ( são 30 dias no mês) que teremos 
os dias (ano comercial):
n = 134 meses e 0,922945 x 30 dias
n = 134 meses e 27,68835 dias
Como a menor periodicidade de capitalização é o dia vamos desprezar a parte fracionada 
que representa as horas, os minutos e segundos.
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante108
Finalmente temos:
n = 134 meses e 27 dias completos
Utilizando os comandos financeiros é mais imediato, no entanto o aplicativo de tempo 
“n” foi programado para capitalizações inteiras, e qualquer que seja a unidade fracionada 
da capitalização, por menor que seja, será automaticamente arredondada para o inteiro 
imediato.
Vamos verificar esse exemplo:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
0 0,000000000
1 -1,000000000
5 5,000000000
1,2 1,200000000
135,0000000
Percebeu? 
A HP-12C já aplicou o arredondamento para o inteiro imediato: de 134 para 135 meses.
IMPORTANTE
A HP-12C está programada para que o comando “n” de tempo seja sempre representado por 
um número inteiro.
Regime de Capitalização Composta: Juros e Montante 109
Síntese
Nesse estudo, você pôde entender a importância dos regimes de capitalizações em nosso 
cotidiano. Você percebeu como eles afetam a nossa vida, independente da nossa classe 
social?
O estudo da Financeira tem como base a operação de crédito que é tão praticada porque 
a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por 
isso. Assim, preferem entrar num crediário do que aplicar o que têm (que dariam como 
prestações) e esperar para adquirir o respectivo bem.
Então no momento da realização da compra, a melhor decisão é juntar parte do dinheiro 
necessário para dar uma boa entrada, financiando o restante; ou esperar um tempo e ter 
todo o montante para realizar esse desejo a vista. 
Lembre-se:
Sempre que você tomar decisões comerciais ou financeiras, é aconselhável computar o 
quanto está pagando de juros ao fazer uma compra a prazo ou o quanto está ganhando 
num investimento. 
Contabilize todas as suas contas e verifique se vale à pena ou não pagar os juros. Tudo 
vai depender de quanto você tem disponível naquele momento e qual a real necessidade 
de sua compra.
E cuidado com o excesso do consumismo desnecessário!
Espero que você tenha absorvido toda a essência dessa teoria para que seja corretamente 
aplicada em seu dia a dia!
Aguardo por você em um próximo momento. Até lá!
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 12ª edição, São Paulo: Atlas, 2012.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: 
IBPEX, 2010. Endereço Eletrônico: http://fumec.bvirtual.com.br/editions/2267-matematica-financeira-aplica-
da-3-ed.dp? search_id=5145229&search_results_type=Edition
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP12C, Microsoft Excel 
– 2ª edição rev. São Paulo: Cengage Learnig, 2008.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Financeira Fácil. 14ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
FARIA, ROGÉRIO GOMES DE. Matemática Comercial e Financeira com Exercícios e Cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo: Ática, 2007.
FARO, Clóvis de. LACHTERMACHER, Gerson. Introdução à Matemática Financeira. 1ª ed. Rio de Janeiro: Editora 
FGV, Coedição da editora Saraiva, 2012.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP-12C e Excel: Uma abordagem Descomplicada. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall,2006.
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
MULLER, Aderbal Nicolas, et ANTONIK, Luís Roberto. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2012.
NASCIMENTO, Marco Aurélio Pereira. Introdução à Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2011.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 9ª ed., São Paulo: Elsevier, 2011.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicações à Analise de Investimentos. 5ª ed., São Paulo: 
Prentice-Hall, 2010.
SAMANÉZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. Endereço 
Eletrônico: http://fumec.bvirtual.com.br/editions/2541-matematicafinanceira.dp?search_id=4970723&search 
_results_type=Edition
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da HP-12C. 2ª ed. Edição Compacta. São Paulo: 
Atlas, 2009.
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira. 6ª edição, São Paulo, Atlas, 2007.
110
Matemática 
Financeira
TAXAS
OS PRINCIPAIS TIPOS DE TAXAS
TAXAS EFETIVAS EQUIVALENTES
E MUITO MAIS...
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!Nesse módulo aplicaremos muitos conceitos direcionados às pessoas que necessitam 
de algum crediário ou que desejam investir seus recursos em instituições de crédito. Assim 
o mercado financeiro e o comércio com o intuito de deixá-las satisfeitas praticam operações 
que ao longo do tempo são corrigidas em função das taxas de mercado, tendo em vista o 
surgimento das necessidades da circulação do crédito e da mobilização da riqueza.
Assim nesse módulo daremos ênfase ao estudo das taxas. Notadamente para que servem 
e quais os tipos existentes.
A Matemática Financeira é uma área da matemática que aplica seus conceitos no estudo da 
variação do dinheiro ao longo do tempo. A origem da Matemática Financeira está intimamente 
ligada a dos regimes econômicos, o surgimento do crédito e do sistema financeiro.
Você já pensou o que é mais importante na hora de escolher um investimento? 
A empresa além das oportunidades de investimento em projetos próprios tem também 
várias opções de aplicações de mercado. 
A maioria das decisões de investimentos é muito bem pensada em relação à fixação 
da taxa mínima de retorno para que se possa ter a margem de lucratividade desejada. 
Para tanto, a taxa de juros do investimento deve permitir que a instituição financeira e o 
investidor, fiquem satisfeitos pelo empreendimento. 
No momento do investimento algumas variáveis devem ser muito bem analisadas como: 
a realidade econômica do país, a limitação do capital, o custo do capital, o custo de 
oportunidade, os riscos do empreendimento, os impostos incidentes, a liquidez da 
aplicação, dentre outros.
Também você poderia perguntar como proceder no momento de contrair uma dívida 
utilizando o financiamento? As taxas aplicadas estão corretas? Ou são abusivas?
Observou como a taxa é um assunto de suma importância em nosso dia-a-dia? Por isso, 
devemos conhecer bem e saber como calculá-la. 
Nesse módulo isso será tratado com bastante clareza e simplicidade, você verá! 
Com muita disposição, compromisso, dedicação e disciplina, juntos, realizaremos um 
excelente trabalho. 
Conte conosco para que tenha um excelente aprendizado!
Sucesso sempre!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você deverá ser capaz de:
• Definir taxas.
• Classificar os principais tipos de taxas.
• Calcular taxas efetivas.
• Converter taxas efetivas equivalentes.
• Aplicar as taxas corretamente.
• Manusear a HP-12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas 
operações de conversões de taxas efetivas equivalentes.
• Aplicar no cotidiano, nas transações de crediário ou de investimentos, os cálculos de taxas.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Pollyana Barbieri Pazzini
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
TAXAS
Introdução
Inicialmente o que você sabe sobre Taxas?
Taxa é a exigência financeira imposta à pessoa que utiliza o crédito para se beneficiar 
de certas atividades, como a compra de bens ou prestação de serviços. É uma forma de 
tributar ou compensar o uso dos recursos de outrem. 
Certamente você já viu alguém que está interessado em financiar um empreendimento 
indagar:
- Como é o financiamento desse empreendimento?
Na verdade a pergunta está relacionada à Taxa de juros relativa ao financiamento. Se a 
taxa correta é a nominal, a efetiva ou a real.
O cálculo da taxa de juros é responsável pela observação da rentabilidade de uma operação 
financeira, sendo indispensável para a tomada de decisão de investimentos. Indicaremos 
taxa pela letra “i”. Para esse cálculo temos como base a taxa de juros que representa 
a razão entre os juros pagos (ou recebidos) ao final do período e o capital tomado (ou 
aplicado) inicialmente. Assim temos: 
Ji
c
=
ATENÇÃO
Apesar dos juros serem formados ao final do período, em nosso cotidiano, algumas dessas 
informações são fornecidas antes do encerramento do período. 
A taxa é apresentada em forma percentual, isto é, na representação de taxa centesimal i%, 
mas nos cálculos algébricos são utilizadas na forma unitária, ou seja, na representação de 
fração centesimal 
100
i .
Veja o exemplo a seguir:
O capital de R$1.200,00 foi aplicado de tal forma que ao final de 3 meses gerou juros de 
R$300,00. Qual foi a taxa correspondente a essa rentabilidade? 
Para a resolução desse exercício temos que o capital é 1200 e os juros 300, portanto:
300
1200
0,25
25
100
25%
Ji
c
i
i
i
i
=
=
=
=
= pelo período de 3 meses.
Taxas 113
Ou seja, a taxa total desse investimento foi de 25% pelo período de 3 meses.
Mas pode ser que tenhamos alguma dúvida em classificar o tipo de taxa a ser utilizada. 
Ou seja, como distinguir e classificar as taxas oferecidas no mercado financeiro?
A seguir classificaremos e converteremos as taxas utilizadas no mercado financeiro.
Classificação das Taxas
Vamos distinguir quais são e como são usadas às taxas de juros que são oferecidas nos 
investimentos ou nos financiamentos.
TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são proporcionais, quando aplicadas sucessivamente no cálculo dos juros 
simples de um mesmo capital, durante o mesmo prazo, produzem juros iguais.
Podemos constatar que se trata de uma proporcionalidade, ou regra de três simples. 
Ex: 5 % a m ⇔ 30 % a.s. ( 5% no mês x 6 meses = 30% no semestre) 
Ex : 3 % a m ⇔ 36 % a.a. ( 3% no mês x 12 meses = 36% no ano)
A taxa proporcional é utilizada no regime de capitalizações simples em que a mesma 
coincide com a taxa equivalente.
TAXA NOMINAL
É a taxa dada em desconformidade com o período de capitalização. Normalmente é refe-
renciada ao ano e não combina com o regime de capitalização.
Veja o exemplo:
Taxa nominal de 24% ao ano com capitalizações mensais.
Para a conversão usualmente utiliza-se proporcionalidade.
Assim, a taxa nominal deve ser dividida pelo número de períodos que a capitalização cabe 
no ano para se obter a taxa efetiva desejada.
Ex: 24 % a.a. capitalizados mensalmente.
A taxa mensal é encontrada pela proporcionalidade:
24% ao ano:12 meses = 2% ao mês
ATENÇÃO
• A taxa nominal, em geral, é dada com o período em anos.
• Nos cálculos nunca operamos com a taxa nominal (ela é aparente) e sim com a taxa 
efetiva correspondente.
• Para converter a taxa nominal em efetiva, basta reduzir o seu período igual ao da capi-
talização proposta usando a proporcionalidade.
Taxas114
Veja o exemplo: 
A taxa nominal de 40 % a.a com capitalizações trimestrais é:
40% a.a: 4 trimestres = 10% ao trimestre é a taxa efetiva.
É comum as pessoas pensarem que a taxa nominal é uma “taxafalsa”, geralmente forne-
cida com período em anos, que não devemos utilizar diretamente nos cálculos de juros 
compostos, pois estas não produzem resultados certos. Diante disso, no lugar desta, 
usaremos a taxa efetiva.
Encontramos a citação da taxa nominal em contratos de financiamentos, anúncios de 
propagandas, caderneta de poupança (6% a.a), cartão de crédito (11% a.m), e outros.
TAXA EFETIVA
É a taxa que está sendo referenciada no mesmo período que o da capitalização desejada.
Assim veja os exemplos:
• 2% ao mês com capitalizações mensais.
• 5 % a t capitalizados trimestralmente.
Encontramos esse tipo de taxa nos cálculos de juros, como na poupança mensal (Taxa 
nominal de 6%aa em que a efetiva é 0,5% a.m.), no cartão de crédito em que a taxa 
nominal coincide com a taxa efetiva (11%a.m.), e outros.
TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE
Quando alguém aplica seus recursos financeiros é importante que haja algum tipo de 
atratividade.
Como seria essa taxa de atratividade mínima?
A Taxa de Atratividade Mínima é uma taxa de juros que representa o mínimo que um 
investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento, ou o máximo que uma pessoa 
se propõe a pagar quando faz um financiamento. E para que ela seja formada é importante 
que seja avaliado três componentes básicos:
• Custo de oportunidade: remuneração obtida em alternativas que não as analisadas, 
ou seja, é o valor de outras oportunidades não escolhidas. Um exemplo disso é a 
caderneta de poupança.
• Risco do negócio: o ganho tem que remunerar o risco inerente de uma nova ação. 
Quanto maior o risco, maior a remuneração esperada.
• Liquidez: capacidade ou velocidade em que se pode sair de uma posição no mercado 
para assumir outra.
Então podemos dizer que a taxa de atratividade é uma avaliação pessoal. Depende do que 
você se interessa em ganhar em função do tempo aplicado, ou o que você se interessa 
em pagar por usar o crediário em função da aquisição do bem adquirido ou do a prestação 
de serviço recebida.
Taxas 115
TAXA APARENTE ( i ) E TAXA REAL ( iR )
Quando se realiza uma operação financeira, a uma determinada taxa, espera-se uma 
remuneração do capital utilizado na operação, a essa mesma taxa. Entretanto com a 
desvalorização das unidades monetárias, essa remuneração fica distorcida. Um índice de 
inflação busca medir indiretamente a desvalorização da unidade monetária, quando da 
aquisição de um determinado bem ou serviço, em um dado período.
Taxa Aparente é aquela que vigora nas operações correntes. E pode ser avaliada assim:
• Quando não há inflação, a taxa real é igual à taxa aparente; 
Assim quando não há inflação temos que a taxa real (iR ) é igual a taxa aparente: 
(1 ) (1 )
(1 ) 1
R
R
i i
i i
+ = +
= + −
• Quando a inflação existe, a taxa aparente é formada pelos componentes da inflação 
e da taxa real. 
E quando há inflação a taxa aparente é dada por:
INF(1 ) (1 ).(1 )Ri i i+ = + +
Assim a taxa aparente é:
INF[(1 )(1 ) 1]Ri i i= + + −
Temos como exemplo de juros, a poupança, que utiliza a taxa aparente, isto é, se reduz a 
inflação para ver o juro real. E aí, se a taxa de inflação for menor do que a taxa de poupan-
ça, tem-se um juro aparente; se for maior, tem-se uma perda real.
Veja o exemplo:
Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 9% ao mês e uma infla-
ção de 22% no período?
Temos:
DADOS VALORES
Taxa Real: iR 9% = 0,09
Taxa de Inflação: iINF 22% = 0,22
Taxa Aparente: i i = ?
Utilizando a fórmula abaixo:
INF[(1 )(1 ) 1]Ri i i= + + −
Substituindo os valores, tem-se:
[(1,09)(1,22) 1]
[1,329800000 1]
0,329800000
i
i
i
= −
= −
=
Taxas116
Multiplicando por 100, temos:
i = 32,98% ao mês
Assim a taxa aparente é 32,98% ao mês.
TAXAS EFETIVAS EQUIVALENTES
Duas taxas i1 e i2, com capitalizações distintas n1 e n2 respectivamente, são equivalen-
tes quando, incidentes sobre uma mesma aplicação C, no mesmo período financeiro n, 
produzem isoladamente, juros compostos iguais, gerando assim montantes iguais.
M1 = M2
Substituindo os dados, temos:
1 2
1 1 2 2.(1 ) .(1 )
n nC i C i+ = +
Como o Capital é o mesmo (C1 = C2 = C ):
1 2
1 2.(1 ) .(1 )
n nC i C i+ = +
Dividindo membro a membro por C, temos:
1 2
1 2(1 ) (1 )
n ni i+ = +
Assim temos a relação das taxas equivalentes i1 e i2.
Podemos ter outras taxas equivalentes, tomando como base o período anual, assim:
1 2 3 4 6 12 360(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )a s q t b m di i i i i i i+ = + = + = + = + = + = +
onde ia , is , iq , it , ib , im e id são as taxas unitárias anual, semestral, quadrimestral, 
trimestral, bimestral, mensal e diária , respectivamente.
A redução da taxa nominal à taxa efetiva equivalente é feita de acordo com o seguinte 
procedimento:
• converte-se a taxa nominal em taxa efetiva;
• calcula-se, em seguida, a taxa equivalente à taxa efetiva encontrada usando a relação:
(1 ) (1 )Q Tn nQ Ti i+ = +
onde usaremos:
iQ : Taxa Unitária que Quero
nQ : quantidade de períodos de capitalizações da taxa que quero cabe no período de um 
ano.
iT : Taxa Unitária que Tenho 
nT : quantidade de períodos de capitalizações da taxa que tenho cabe no período de um 
ano.
Taxas 117
FIQUE LIGADO
Podemos representar o maior período de capitalização de “1” unidade, enquanto que o outro 
tempo (menor) é dado em função da quantidade que ele cabe dentro desse período maior.
Conversões de Taxas
CONVERSÃO DE TAXA NOMINAL EM TAXA EFETIVA
A conversão da taxa nominal em taxa efetiva é feita ajustando-se o valor da taxa nominal 
proporcionalmente ao período de capitalização. Isto pode ser feito com uma regra de três 
simples e direta.
Para fixar o conteúdo, veja o exemplo: 
Uma aplicação financeira paga juros NOMINAIS compostos de 6% ao ano, com capi-
talização trimestral. Qual é a taxa de juros efetiva trimestral praticada nesta aplicação 
financeira? 
Inicialmente teremos que ajustar a capitalização: trimestral. Para isso, teremos que ajus-
tar a taxa nominal de 6%aa para uma taxa trimestral, usando uma regra de três simples 
(proporcionalidade):
6% a.a : 4 trimestres = 1,5% a.t.
Desta forma, a taxa efetiva praticada é de 1,5% ao trimestre.
IMPORTANTE
Nos enunciados envolvendo problemas de juros compostos onde se dá a taxa efetiva, frequen-
temente se esconde ou omite o período de capitalização, ficando subentendido que este é 
mesmo indicado pela taxa. Veja os exemplos:
• Taxa de 3% ao mês – significando 3% ao mês, com capitalização mensal. 
• Juros de 7% ao trimestre – significando 7% ao trimestre com capitalização trimestral.
Outro exemplo.
Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado por 2 anos à taxa NOMINAL de 24% ao ano, 
capitalizado trimestralmente. Qual a taxa efetiva total desse investimento? E qual é a taxa 
efetiva anual?
Resolução:
A taxa nominal de 24%aa gera a taxa efetiva trimestral de:
24% aa: 4 = 6% a.t.
Taxas118
Assim temos:
DADOS VALORES
Capital: PV 20.000,00
Taxa Efetiva Trimestral: i 6
Tempo de Aplicação: n 2 anos = 8 trimestres
Regime de Capitalização: Trimestral
Montante: FV ?
Utilizando a calculadora HP-12C, temos:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0 0,000000000
20000 -20.000,0000
8 8,000000000
6 6,000000000
 31.876,96149
 2 31.876,96
Para o cálculo de juros por esse período teremos:
C=PV= 20.000,00 e M=FV= 31.876,96
Assim os juros obtidos foram: 
J = M – C
J = 31.876,96 – 20.000,00
J = 11.876,96
A taxa de juros obtidos nessa transação foi:
11.876,96
20.000,00
0,593848275
59,38% p.p
Ji
c
i
i
i
=
=
=
=
Outra forma de encontrar a taxa total desse investimento é transformando o período de 8 
trimestres em um período total de 1 unidade. 
Taxas 119
Veja como pode ser realizado:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0 0,000000000
20000 -20.000,0000
8 8,000000000
6 6,000000000
 31.876,96149
1 1,000000000
59,38480745
 2 59,38
Portanto a taxa total desse investimento é de 59,38% p.p.
Para o cálculo da taxa efetiva anual desse investimento, bastalogo após esses cálculos, 
transformar o tempo de 8 trimestres = 1 período total = 2 anos, e acionar os comandos 
do tempo:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
2 2,0000000
26,24769600
 2 26,25
Assim a taxa efetiva anual desse investimento é de 26,25% aa.
TAXAS EFETIVAS EQUIVALENTES
Vamos aprender a fazer AS CONVERSÕES de taxas efetivas equivalentes, e para isto a 
resolução pode ser capitalizando ou descapitalizando a taxa.
Capitalização de Taxas Efetivas
Capitalizar a taxa é procurar uma taxa efetiva equivalente para uma capitalização num 
período maior do que a capitalização dada. Veremos duas técnicas de conversões.
Utilizando a Fórmula (1 ) (1 )Q Tn nQ Ti i+ = +
Veja o exemplo a seguir:
Taxas120
Qual a taxa efetiva anual equivalente a taxa efetiva de 2% a.m.?
DADOS VALORES
Taxa efetiva que tenho: iT= im 2% a.m.= 0,02 a.m.
Tempo que tenho: nT = meses 1 ano =12 meses 
Tempo que quero: nQ= ano
1 ano (maior 
capitalização)
Taxa efetiva que quero: iQ=ia ia= ?
Substituindo na fórmula, temos: 
1 12
12
(1 ) (1 )
(1 ) (1 )
1 (1,02)
1,268241795 1
0,268241795
Q Tn n
Q T
a m
a
a
a
i i
i i
i
i
i
+ = +
+ = +
+ =
= −
=
Multiplicando por 100 teremos a taxa centesimal efetiva equivalente:
ia = 26,82 % a a
A taxa efetiva anual equivalente a 2% a.m. é de 26,82%.
Utilizando os Comandos Financeiros da HP-12C
Para utilizar a capitalização de taxas efetivas vamos supor um capital (PV) igual a 100 
unidades (representação do todo = 100%).
Veja os procedimentos:
100 iT nT 100 
Para o exemplo anterior temos:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0 0,000000000
100 -100,0000000
2 2,000000000
12 12,00000000
 126,8241795
100 26,82417950
 2 26,82
(taxa unitária)
Taxas 121
Viu como é fácil?
Vamos exercitar um pouco resolvendo algumas questões? 
1. Qual a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa efetiva mensal de 3%?
Resp: 9,27% a.t.
2. Qual a taxa efetiva mensal equivalente à taxa efetiva de 0,1% a.d?
Resp: 3,04% a.m.
Descapitalização de Taxas Efetivas
Descapitalizar taxa é procurar uma taxa efetiva equivalente para uma capitalização perió-
dica menor do que a capitalização dada. Veremos duas técnicas de conversões.
Utilizando a Fórmula:
(1 ) (1 )Q Tn nQ Ti i+ = +
Veja o exemplo a seguir:
Qual a taxa efetiva mensal equivalente a taxa efetiva de 24% a.a.?
DADOS VALORES
Taxa efetiva que tenho: iT= ia 24%a.a.= 0,24a.a.
Tempo que tenho: nT = ano 1 ano (maior capitalização) 
Tempo que quero: nQ= meses 1 ano = 12 meses
Taxa efetiva que quero: iQ=im im= ?
Substituindo na fórmula, temos:
12 1
12 1
12
(1 ) (1 )
(1 ) (1 )
(1 ) (1 0,24)
(1 ) (1,24)
Q Tn n
Q T
m a
m
m
i i
i i
i
i
+ = +
+ = +
+ = +
+ =
Para explicitar a incógnita desejada (im) temos que extrair a raiz 12ª membro a membro 
da equação, como você verá a seguir:
12 1212 (1 ) 1,24mi+ =
Prela propriedade das potências e raízes, vem:
12
12
1 1,24
1,24 1
m
m
i
i
+ =
= −
Taxas122
Na HP-12C os comando para o cálculo de uma raiz n-ésima qualquer será com os recursos 
dos comandos:
 
Na calculadora vemos esses comandos localizados um ao lado do outro:
Veja como esse cálculo da raiz 12ª poderá ser realizado na HP-12C com os seguintes 
procedimentos:
Temos:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
1,24 1,240000000
12 0,083333333
1,018087582
Viu, não é difícil! Agora voltando a expressão temos:
im = 1,018087582 – 1
im = 0,018087582 (taxa unitária)
Multiplicando por 100 teremos a taxa centesimal efetiva equivalente:
im = 1,8087582% a.m. 
im = 1,81% a.m.
A taxa efetiva mensal equivalente a 24% a.a é de 1,81%.
Utilizando os Comandos Financeiros da HP-12C
Para utilizar a descapitalização de taxas efetivas vamos supor um capital (PV) igual a 100 
unidades (100%).Veja os procedimentos:
100 (100 + iT) nT iQ
Taxas 123
Para o exemplo anterior temos:
100 (100+24) 12 1,8087582
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0 0,000000000
100 -100,0000000
124 124,0000000
12 12,00000000
1,808758248
 2 1,81
A taxa efetiva mensal equivalente a 24%a.a é de 1,81%
Outro exemplo:
Qual a taxa efetiva bimestral equivalentea taxa efetiva de 12 % a s ?
DADOS VALORES
Taxa efetiva que tenho: iT= iS 12% a.s.= 0,12 a.s.
Tempo que tenho: nT = semestre
1 semestre (maior 
capitalização) 
Tempo que quero: nQ= bimestre 1 semestre = 3 bimestres
Taxa efetiva que quero: iQ=ib ib= ?
Seguindo a fórmula, temos:
3 1
3
3 33
3
(1 ) (1 )
(1 ) (1 )
(1 ) (1,12)
(1 ) 1,12
1 1,12
Q Tn n
Q T
b S
b
b
b
i i
i i
i
i
i
+ = +
+ = +
+ =
+ =
+ =
Taxas124
Para calcular a raiz 3 1,12 vamos acionar os comandos da HP-12C:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
1,12 1,120000000
3 0,333333333
1,038498820
Voltando a equação, temos:
ib = 1,038498820 - 1
ib = 0,038498820
Multiplica-se por 100 para obter a taxa centesimal:
ib = 3,85 % a b 
A taxa efetiva bimestral equivalente a 12 % a s é a de 3,85 %.
Resolvendo pela HP-12C, temos:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0 0,000000000
100 -100,0000000
112 112,0000000
3 3,000000000
3,849882037
 2 3,85
A taxa efetiva bimestral equivalente a 12 % a s é a de 3,85 %.
Taxas 125
Síntese
Nesse módulo estudou-se a aplicabilidade de taxas que está vinculada às nossas transa-
ções comerciais e financeiras. Em função da complexidade de trabalhar o regime compos-
to na forma algébrica, ressaltamos que nesse regime o uso da HP-12C hoje, devido à 
sua praticidade e uso constante dentro do universo econômico, é praticado em todas as 
repartições comerciais, bancárias e financeiras, devido a sua precisão, operacionalidade 
e agilidade. 
Vimos também que, no mundo econômico-financeiro, é importante saber distinguir e apli-
car alguns tipos de taxas como a nominal, proporcional, real, efetiva ou outra qualquer.
Inclusive conseguimos saber quais são as taxas de juros mais praticadas nos financiamentos. 
Espero que você tenha absorvido toda essência dessa teoria para aplicarmos no próxi-
mo assunto que é a antecipação de pagamentos formalizados por títulos de crédito em 
função do empréstimo adquirido ou da prestação de serviços adquiridos.
Aguardo por você no módulo seguinte. Até lá!
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª edição, São Paulo,Atlas, 2008.
BRUNI, Adriano Leal etFAMA, Rubens.Matemática Financeira com HP-12C e Excel. São Paulo, Atlas, 2002.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: 
IBPEX, 2010. Endereço Eletrônico: http://fumec.bvirtual.com.br/editions/2267-matematica-financeira-aplica-
da-3-ed.dp? search_id=5145229&search_results_type=Edition
CASTELO BRANCO, Anísio Costa.Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP12C, Microsoft Excel 
– 2ª edição rev. São Paulo: CengageLearnig, 2008.
CRESPO, Anttônio Arnot. Matemática Financeira Fácil. 14ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
FARIA, ROGÉRIO GOMES DE. Matemática Comercial e Financeira com Exercícios e Cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo: Ática, 2007.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP-12C e Excel: Uma abordagem Descomplicada. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira.6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto.Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2001.
MULLER, Aderbal Nicolas, et ANTONIK, Luís Roberto.Matemática Financeira.São Paulo: Saraiva, 2012.
NASCIMENTO, Marco Aurélio. Introdução à Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2011.
PUCCINI, Aberlardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 9ª ed., São Paulo: Elsevier, 2011.
SAMANÉZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. Endereço 
Eletrônico: http://fumec.bvirtual.com.br/editions/2541-matematicafinanceira.dp?search_id=4970723&search 
_results_type=EditionTOSI, Armando José.Matemática Financeira com utilização da HP-12C. 2ª ed. Edição Compacta. São Paulo: 
Atlas, 2009.
126
Matemática 
Financeira
DESCONTO 
COMPOSTO
DESCONTO REAL 
SOBRE TÍTULOS
DESCONTO REAL DE 
TÍTULOS QUITADOS 
ANTES DOS 
VENCIMENTOS
NOVAS FORMAS 
DE QUITAR UMA 
DÍVIDA
E MUITO MAIS...
APRESENTAÇÃO
C aro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!
Nesse módulo estudaremos no sistema econômico as aplicações financeiras e os 
empréstimos, assuntos que fazem parte do nosso cotidiano. Os produtos oferecidos pelo 
mercado financeiro são: financiamentos, consórcios, investimentos bancários, leasing, 
títulos de créditos como as promissórias, letras de câmbio, ações de empresas, títulos do 
tesouro nacional, dentre outros.
E para tal existe uma ação bastante utilizada, chamada de descontos. Esses se referem aos 
abatimentos que recebemos no pagamento de um título antes do vencimento estabelecido. 
Nesse momento, nossa abordagem será o desconto sobre títulos no regime composto que é 
uma operação tradicional no mercado financeiro e no comércio em geral, e isso será tratado 
com bastante clareza e simplicidade, você verá! 
Com muita disposição, compromisso, dedicação e disciplina, realizaremos um excelente 
trabalho. Tenha confiança em seu potencial!
Conte conosco para que tenha um excelente aprendizado!
Sucesso sempre!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você deverá ser capaz de:
• Definir Desconto Real.
• Calcular Desconto Real sobre Títulos.
• Calcular o Valor Atual (Resgate) de um Título que foi quitado antes do vencimento.
• Calcular Desconto Real de títulos quitados antes dos vencimentos.
• Calcular o Valor de Resgate de um título antes do vencimento.
• Determinar novas formas de quitar uma dívida.
• Manusear a HP-12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas 
operações de descontos compostos Reais (racionais).
• Aplicar no cotidiano, nas transações de crediário, novas propostas de pagamentos da dívida 
pela equivalência de propostas.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Pollyana Barbieri Pazzini
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
DESCONTO COMPOSTO
Introdução
No regime composto, o desconto sobre títulos é idêntico ao regime de juro simples. 
Vamos observar!
O desconto sobre título corresponde ao abatimento dado em razão de se saldar um 
compromisso antes do seu vencimento. 
Você se lembra da definição de desconto?
A melhor definição que se tem é o abatimento que o devedor faz jus quando antecipa o 
pagamento de um título. Também podemos dizer que é o juro cobrado por um intermediá-
rio por antecipar o recebimento de um título, que representa um direito de crédito futuro.
A diferença é que agora vamos aplicar desconto composto (desconto sobre desconto).
Vimos no nosso estudo de desconto simples que utiliza-se o desconto Bancário, ou seja, 
desconto sobre o valor Nominal do título, também denominado desconto Por Fora. Já no 
sistema composto o mais aplicado é o desconto Racional que passará a se denominar 
Desconto Real, sendo que nesse desconto a incidência de cada desconto será sobre o 
valor atual do título, daí também a denominação de Desconto Por Dentro.
Lembrando que Desconto em finanças é a diferença entre o Valor Nominal do título 
(N=VF) e o Valor Atual (A =VP) deste mesmo título, assim temos:
D = N – A 
D = VF – VP
No regime composto há dois tipos básicos 
de descontos: Bancário (Por Fora) e Real 
(Racional ou Por Dentro).No Brasil, no 
caso do desconto composto Bancário, 
não há nenhuma utilização prática conhe-
cida. Assim o desconto Real é o mais 
praticado, que será o alvo dos nossos 
estudos.
Desconto Composto Racional 
ou Real ou por Dentro
Mas o que vem a ser o desconto Racional?
É o desconto que incide sobre o valor atual do título, também, denominado desconto Por 
Dentro.
Vamos definir uma fórmula matemática que nos dá o desconto real, mas para isso vamos 
calcular o desconto a cada período de antecipação.
Seja “N” o valor nominal do título cuja quitação dar-se-á antes do seu vencimento, ou 
seja, será antecipado ”n” períodos financeiros a uma taxa unitária de desconto real “i”. 
Desconto Composto 129
Veja no horizonte financeiro o que acontece a cada período que se aplica o desconto.
Dn Dn-1 D2 D1
k-n k-2 k-1 kk-n-1
An A2 A1 NAn-1
Vamos fazer uso das relações matemáticas para chegar a uma equação que nos dê a 
fórmula de calcular o desconto composto para qualquer quantidade “n” de períodos de 
antecipação.
Sabe como faremos isso?
Então vamos lá.
Ao final do primeiro período de antecipação (n1) teremos o primeiro desconto racional, ou 
seja, o juro a ser subtraído do título e esse desconto incidirá sobre o valor atual do título 
(sobre o valor do atual).
DR = J
DR = C .i . n
Temos que no primeiro desconto (D1) temos C = A1 e n1=1, assim:
D1 = A1 .i .1
Mas é possível fazer isso mesmo sem conhecer o valor atual do título?
Sim, basta para isso usar a matemática como uma ferramenta.Veja isto a seguir.
Sabemos que Valor Atual do título (AR ) é dado pela diferença entre o título (N) e o 
desconto (DR ) concedido, então:
AR = N – DR
É sobre ele que ocorre o desconto, portanto voltando a relação, temos:
D1= A1. i .1
Substituindo vem:
D1= ( N – D1 ). i .1
D1= ( N – D1 ). i 
D1= N.i– D1.i 
D1 + D1.i = N.i
n períodos de antecipação
Desconto Composto130
Colocando D1 em evidência temos:
1
1
.(1 ) .
.
1 1
D i N i
N iD
+ =
=
+
Assim temos o primeiro desconto real que incide sobre o valor atual do título, gerando o 
primeiro valor atual real:
A1 =N – D1
Substituindo e usando os recursos algébricos necessários, temos:
1
1
1
1
.
1 1
(1 ) .
1 1
. .
1 1
1 1
N N iA
i
N i N iA
N N i N iA
NA
= −
+
+ −
=
+
+ −
=
+
=
+
E esse será o valor atual do título ao final do primeiro período de antecipação. 
Para o segundo período, teremos o desconto D2 incidindo sobre o valor atual A1, a saber:
D2 = A2 .i. n2
D2 = A2 .i .1
D2 = A2 .i
Gerando o segundo valor atual real:
A2= A1 – D2
A2 =A1– A2.i
A2+A2.i = A1
A2. ( 1 + i ) = A1
Mas temos que 1 1 1
NA =
+
, substituindo vem:
2.(1 ) 1 1
NA i+ =
+
Desconto Composto 131
Explicitando A2, temos:
2
2
2
2
2
2 2
1 1
1 1
1 1
1
1
1 1:
1 1
1.
1 1
.1
(1 ).(1 )
(1 )
N
A
N
A i
NA
i
NA
i i
NA
i i
NA
i
+=
+
+=
+
+
=
+
=
+ +
=
+ +
=
+
E assim sucessivamente. Portanto no n-ésimo período de antecipação teremos:
(1 )n n
NA
i
=
+
Que será apresentada na forma:
An= N. (1+i ) – n
Que é a fórmula do valor atual real do título que sofreu desconto real composto em função 
da quitação antes do vencimento.
Será que a HP-12C não realiza esse cálculo?
Sim, e para tal vamos ver quais são os comandos:
N = FV (valor do título: um valor do futuro)
i : Taxa de desconto real
n : tempo de antecipação
A = PV (valor atual do título: valor de resgate)
Veja a seguir uma aplicação:
Carlos descontou uma duplicata no valor de R$12.500,00 noventa dias antes de seu 
vencimento. Sabendo-se que o banco lhe deu um desconto segundo a taxa de 0,99% ao 
mês, determine qual foi o valor do resgate?
DADOS VALORES
Valor do Título: N=FV 12.500,00
Taxa Mensal de desconto: i 0,99%am = 0,0099a.m
Tempo de antecipação: n 90 dias =3 meses
Regime de Capitalização: mensal
Valor Atual do Título: A=PV ?
Desconto Composto132
1ª Resolução: algébrica (fórmula)
An= N. (1+i )– n
A = 12500.(1 + 0,0099) –3
A = 12500.(1,0099) –3
Você lembra como se calcula potências? E com expoentes negativos?
Veja o procedimento realizado na HP-12C:
(1,0099) –3 =?
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0,99 0,990000000
100 0,0099000001 1,009900000
3 – 3
0,970878499
Voltando na relação:
A = 12500 . (1,0099) –3
e substituindo a potência encontrada fica:
A = 12500 . 0,970878499
Multiplicando:
A = 12.135,98124
A = 12.135,98
Desconto Composto 133
Agora vamos resolver usando os comandos financeiros:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0 0,000000000
12500 -12.500,0000
3 3,000000000
0,99 0,990000000
12.135,98124
 2 12.135,98
Viu como é fácil?!
Agora poderemos também deduzir a fórmula do Desconto Real Composto a saber:
DR = N – AR
Substituindo temos:
DR = N – N. ( 1+i ) –n
colocando N em evidência temos:
DR = N . [ 1 – ( 1 + i ) –n ]
Que é a fórmula do Desconto Real Composto.
ATENÇÃO
Na HP-12C não temos o comando direto de desconto, mas podemos calcular o valor atual e 
subtraí-lo do valor nominal do título.
Vamos treinar um pouco resolvendo o exercício a seguir?
Carlos descontou uma duplicata no valor de R$ 12.500,00 noventa dias antes de seu 
vencimento. Sabendo-se que o banco lhe deu um desconto segundo a taxa de 0,99% ao 
mês, determine qual foi o valor do desconto concedido?
Resolução:
DADOS VALORES
Valor do Título: N=FV 12.500,00
Taxa Mensal de desconto: i 0,99%am = 0,0099%a.m
Tempo de antecipação: n 90 dias = 3 meses
Regime de Capitalização mensal
Valor do Desconto do Título: D ?
Valor Atual do Título: A=PV ?
Desconto Composto134
Vamos inicialmente resolver algebricamente: fórmula:
DR = N. [ 1 – ( 1 + i ) – n ]
DR = 12.500. [ 1 – ( 1 0,0099) –3]
DR = 12.500. [ 1 – ( 1,0099) –3]
DR = 12.500. [ 1 – 0,970878499 ]
DR = 12.500. [0,029121501]
DR = 364,0187613
DR = 364,02
E como é o procedimento na HP-12C?
Inicialmente achamos o valor atual do título pelo processo citado anteriormente. Após 
este cálculo (A = PV ), basta subtraí-lo do valor Nominal do título que teremos o desconto 
concedido.
DR = N – AR
Na HP-12C, temos:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0 0,000000000
12500 -12.500,0000
3 3,000000000
0,99 0,990000000
12.135,98124
12500 12.135,98124
364,0187600
 2 364,02
Assim o valor do desconto real concedido foi de R$ 364,02.
Não ficaremos nesse módulo calculando descontos ou valores atuais de títulos pelo 
desconto real, porque o nosso objetivo no uso de desconto de títulos é para a troca de 
propostas de quitação de uma dívida contraída, utilizando a equivalência de capitais (títu-
los) diferidos.
Vamos então a esse assunto.
Desconto Composto 135
Equivalência de Títulos Diferidos
Como vimos no regime simples, à essência é a mesma para a equivalência de títulos. 
Assim para que dois ou mais títulos sejam equivalentes, os seus valores têm que ser iguais 
numa mesma época, e no regime composto a data base de comparação pode ser qualquer 
uma porque há correção dos valores monetários com os seguintes procedimentos:
• Capitalizando: capitalizar um título é aplicar juros, isto é, achar o seu valor corrigido 
(capital + juros)
M = FV
M = N. ( 1+ i )n
• Descapitalizando: descapitalizar um título é procurar o seu valor atual (valor de 
resgate com desconto).
A = PV
A = N.(1+ i ) – n
Então não faz diferença qual a data base escolhida, desde que você capitalize ou desca-
pitalize o título para a data base desejada. A melhor forma de resolver a equivalência de 
títulos é colocando-os no fluxo de caixa (linha temporal).
Vamos mostrar essa relação nos exemplos abaixo:
Exemplo 01
A empresa XPX devedora de dois títulos de mesmo valor nominal, R$ 50.000,00 para 3 e 
8 meses, resolve substituí-los por um único pagamento a realizar em 4 meses. Determine 
o valor de face desse novo título se tudo foi realizado a 30% ao ano com capitalizações 
mensais?
Resolução
Inicialmente vamos coletar os dados e resolver algebricamente.
DADOS
1 1
1
2 2
50.000,00
50.000,00
N n
P
N n
= ⇒ =
= ⇒ = 
 
Taxa de desconto: i = 30%a.a. = 2,21%a.m. = 0,00221a.m.
Desenhando a linha temporal temos:
0
4
A1
A2
3 meses8
A3 N3
N1 N2
3 meses
8 meses
4 meses
Desconto Composto136
A data base, nesse caso, é a data Zero, o procedimento é de desconto. Os títulos são 
descapitalizados (A = PV ), então:
31 2
1 2
1 2 3
1 2 3
3 8 4
3 8 4
.(1 ) .(1 ) .(1 )
50000.(1 0,0221) 50000.(1 0,0221) .(1 0,0221)
50000.(1,0221) 50000.(1,0221) .(1,0221)
50000.0,936525992 50000.0,839562233 .0,916276286
46.82
nn n
P P
A A A
N i N i N i
N
N
N
−− −
− − −
− − −
≅
+ =
+ + + = +
+ + + = +
+ =
+ =
6,29960 41.978,11163 0,916276286.
88.804,41123 0,916276286.
88.804,41123
0,916276286
96.918,81431
96.918,81
N
N
N
N
N
+ =
=
=
=
=
Assim o valor do novo título é R$ 96.918,81.
Lembrando que ao voltar na linha temporal estamos descapitalizando os títulos (N=FV), 
aplicando desconto (procurando o A=PV ), então a resolução na HP-12C, é feita da 
seguinte forma:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0 0,000000000
50000 -50.000,0000
3 3,000000000
2,21 2,210000000
46.826,29960
46.826,29960
8 8,000000000
41.978,1116
88.804,41122
 88.804,41122
4 4,000000000
96.918,81430
 2 96.918,81
(época Zero)
Desconto Composto 137
Viu como é fácil?
REFLITA 
Mas se ao invés de descapitalizar, capitalizássemos os títulos? Como faríamos isso?
Vamos desenhar a linha temporal e escolher uma data futura, por exemplo, a data 8.
4
N3
N1 N2
M3
M1
0 3 meses8
A data base, nesse caso, é a data 8, o procedimento é de juros, ou seja, os títulos são 
capitalizados ( M = FV ), então:
P1 ≅ P2 (época Zero)
M1 +M2 = M3 
IMPORTANTE
Se o título estiver na data base escolhida, ele não será capitalizado e nem descapitalizado, 
isto é, permanecerá o mesmo.
M1 +M2 = M3
Agora teremos que ver quanto tempo os títulos são capitalizados, ou seja, o tempo em 
que ele percorre a reta (de onde ele sai para onde ele vai).
Nesse exemplo o título N1 estava na data 3 e vai para a data 8, então ele será capitalizado 
5 períodos (n1= 5), e o título N2 já esta na data 8 então não acontece nada. Para o título 
N3, que estava na data 4 e vai para a data 8,ele será capitalizado 4 períodos (n3= 4).
Desconto Composto138
Vamos continuar resolvendo:
31
1 2 3
1 2 3
5 4
5 4
.(1 ) .(1 )
50000.(1 0,0221) 50000 .(1 0,0221)
50000.(1,0221) 50000 .(1,0221)
50000.1,115493237 50000 .1,091373874
55.774,66185 50.000,00 1,091373874.
105.774,66185 1,091373874
nn
M M M
N i N N i
N
N
N
N
+ =
+ + = +
+ + = +
+ =
+ =
+ =
= .
105.774,66185
1,091373874
96.918,81431
N
N
N
=
=
A resolução na HP-12C é bem simples, lembrando que para capitalizar estamos procuran-
do o Montante (M=FV ).
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0 0,000000000
50000 – 50.000,0000
5 5,000000000
2,21 2,210000000
55.774,66185
50000 105.774,6618
 – 105.774,6618
4 4,000000000
96.918,81430
 2 96.918,81
Viu! Não é difícil, basta escolher uma data base para a troca de propostas e capitalizar ou 
descapitalizar os títulos numa quantidade correta de períodos.
Vamos exercitar um pouco mais resolvendo a questão a seguir:
Clara deve três títulos de R$ 3.000,00 cada, realizáveis em 5, 7 e 10 meses respectiva-
mente. Ela propõe resgatar essa dívida com dois pagamentos mensais, iguais, realizáveis 
no fim de 6 e 12 meses respectivamente. Sabendo-se que a taxa efetiva dessa nova 
transação foi de 44,08% a.a, com capitalizações mensais, determine o valor de face dos 
novos títulos.
Desconto Composto 139
DADOS
 
 
P1 
P2
N4 = N = 1 unid. = ? ⇒ n4 = 6 meses
N5 = N = 1 unid. = ? ⇒ n5 = 12 meses
Capitalizações mensais
Taxa de Transação: i = 44,08%a.a. = 3,09%a.m.
Vamos desenhar a linha temporal e escolher uma data futura, por exemplo, a data 12.
N1 N2
N4
N3
N5
M1
M2
M3
M4
5 6 7 10 12
Nesse caso o procedimento é de juros, ou seja, os títulos são capitalizados (M=FV):
P1 ≅ P2 (época Zero)
Como a HP-12C é numérica então suponha o valor do título em unidades, N = 1 unidade.
N1 = 3.000,00 ⇒ n1 = 5 meses
N2 = 3.000,00 ⇒ n2 = 7 meses
N3 = 3.000,00 ⇒ n3 = 10 meses
DescontoComposto140
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0 0,000000000
3000 – 3.000,00000
7 7,000000000
3,09 3,090000000
3.712,248429
3.712,248429
5 5,000000000
3.493,043168
 
7.205,291597
2 2,000000000
3.188,264430
 
10.393,55603
1 – 1,000000000
6 6,000000000
 1,200326067
1 2,200326067
4.723,643548
 2 4.723,64
Agora veja esse exemplo quando se contrai a dívida.
Vânia fez um empréstimo no valor de R$35.000,00 para quitá-lo ao final de 8 meses, 
segundo juros efetivos de 39,29%a.a com capitalizações mensais. No entanto, passados 
3 meses ela resolve quitar parte da dívida com um pagamento imediato de R$20.000,00 
e o restante com uma promissória para 5 meses após essa renegociação. Sabendo-se que 
o credor aceitou e que a taxa dessa nova transação foi de 2,5%a.m, determine o valor de 
face desse novo título.
Inicialmente só podemos fazer a equivalência de capitais com títulos, e nesse caso não 
sabemos ainda o valor do título que representa a dívida contraída. Então vamos calcular 
esse título que representará a primeira proposta (P1).
Desconto Composto 141
Temos:
DADOS VALORES
Valor do Empréstimo: C=PV 35.000,00
Regime de Capitalização: mensal
Taxa Mensal de desconto: i 39,29%aa = 2,8% a.m
Tempo: n 8 mensal
Valor do Título (capital mais juros): N=FV ?
Pela fórmula: M = C.(1+i )n ou utilizando os recursos financeiros da HP-12C.
Pela agilidade vamos pela HP-12C:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
0 0,000000000
35000 -35.000,0000
8 5,000000000
2,8 2,800000000
43.652,88604
 2 43.652,89
Assim ao contrair a dívida, Vânia assina uma promissória (título) que representa a primeira 
proposta no valor de R$ 43.652,89 para ser quitado ao final de 8 meses.
No entanto passaram-se 3 meses (ela não quitou nada) que deduzidos, ficam faltando 
apenas 5 meses para vencer esse título.
C
N2 N3
N1
0 3 8 meses
Desconto Composto142
Portanto, na data 3 que passará a ser a data base “Zero” de comparação temos:
DADOS
Data Base de Comparação: 3º mês que será a data Zero em questão
P1 N1 = 43.652,89 ⇒ n1 = 5 meses (8 - 3 = 5)
P2
N2 = 20.000,00 ⇒ n2 = 0 meses
N3 = N = 1 unid. = ? ⇒ n5 = 5 meses
Taxa de Renegociação: i = 2,5%a.m.
O que implica numa nova linha temporal (porque se passaram 3 meses), a saber:
M2
N3N2 P2
P1
0 0 5 meses
(3 meses depois)
N1
Viu! A data “3” passou a ser a data Zero em questão, que foi escolhida como a data base 
de comparação.
Você poderá escolher a melhor maneira de resolvê-la: algébrica (fórmula) ou tecnológica 
(HP-12C).
Assim para que a proposta P1 seja equivalente à proposta P2, teremos:
P1 ≅ P2 (época Zero = 3º mês)
Assim ela assinará uma promissória de R$ 21.024,73 para 5 meses. 
Desconto Composto 143
Síntese
Nesse módulo estudou-se a aplicabilidade no regime composto das nossas transações 
comerciais e financeiras realizadas com títulos. De forma muito parecida com o regime 
simples, vimos que podemos modificar uma forma de quitar a dívida inicialmente combi-
nada com uma nova proposta, utilizando a equivalência de títulos.
Vimos também que em função da complexidade de trabalhar o regime composto na forma 
algébrica, a melhor maneira é utilizar a HP-12C, cujo procedimento é muito praticado 
devido a sua precisão, operacionalidade e agilidade. 
Espero que você tenha absorvido toda essência dessa teoria para aplicar no seu cotidiano 
quando quiser antecipar pagamentos ou quando precisar prorrogar os pagamentos, todos 
formalizados por títulos de crédito, em função de empréstimo adquirido ou da prestação 
de serviço adquirido.
Aguardo por você em breve, ok? Até lá!
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª edição, São Paulo, Atlas, 2008.
BRUNI, Adriano Leal et FAMA, Rubens. Matemática Financeira com HP-12C e Excel. São Paulo, Atlas, 2002.
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP12C, Microsoft Excel 
– 2ª edição rev. São Paulo: Cengage Learnig, 2008.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Financeira Fácil. 14ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
FARIA, ROGÉRIO GOMES DE. Matemática Comercial e Financeira com Exercícios e Cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo: Ática, 2007.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP-12C e Excel: Uma abordagem Descomplicada. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2001.
MULLER, Aderbal Nicolas, et ANTONIK, Luís Roberto. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2012.
NASCIMENTO, Marco Aurélio. Introdução à Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2011.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 9ª ed., São Paulo: Elsevier, 2011.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da HP-12C. 2ª ed. Edição Compacta. São Paulo: 
Atlas, 2009.
144
Matemática 
Financeira
SÉRIES UNIFORMES DE 
CAPITAIS DIFERIDOS: 
SÉRIES POSTECIPADAS
AS SÉRIES UNIFORMES DE CAPITAIS
O TIPO DE SÉRIE DE PAGAMENTOS 
PARA QUITAR UM FINANCIAMENTO
O VALOR ATUAL DA SÉRIE POSTECIPADA
E MUITO MAIS...
APRESENTAÇÃO
C aro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!
 
Nesse módulo estudaremos como os empréstimos que fazem parte do nosso cotidiano são 
formalizados no sistema econômico. 
Você já precisou de um empréstimo para a aquisição de um bem ou serviço?
Pois é, o mercado tem o que precisamos: o crédito. Como sabemos crédito é a confiança 
entre as partes, e para tal os produtos são oferecidos pelo mercado financeiro em várias 
formas de transações como os financiamentos, consórcios, leasing, dentre outros, e que 
para tal realização a dívida é formalizada em títulos ou parcelas, denominadas prestações.
Algumas decisões financeiras, assim como alguns grandes sonhos, requerem planejamento 
que necessitam de um financiamento. E para que isso ocorra é necessário que utilizem as 
operações financeiras. 
Mas quais os procedimentos no mercado financeiro para que tais sonhos possam se 
concretizar?
Pois é, podem ser os modelos de financiamentos!
Por exemplo, ao comprar um imóvel, se não tiver o dinheiro para pagar à vista, terá que 
diluir esta dívida em períodos com o banco/financiadora ou a construtora. Às vezes, nem 
se trata da compra de um bem, mas de um empréstimo, usado para fins variados, e para 
tal realização os pagamentos serão feitos em forma periódica, denominadas parcelas ou 
prestações.
Prestação? Você sabe o que é e como é feito o cálculo que representam o financiamento? 
E ainda, que tipos de financiamentos existem?
Estas respostas serão tratadas nesse módulo, em que apresentaremos a solução de cada 
problema pelas fórmulas e pela calculadora HP-12C, com bastante clareza e simplicidade. 
Você verá!
Enfatizaremos em nosso estudo os tipos de financiamentos existentes no regime composto, 
em forma de séries uniformes de pagamentos.
Para fazermos um trabalho com qualidade, precisamos que tenha muita disposição, 
compromisso, dedicação e disciplina. Conte sempre conosco!
Muito sucesso!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você deverá ser capaz de:
• Definir as Séries Uniformes de Capitais.
• Classificar as séries de capitais.
• Distinguir o tipo de série de pagamentos para quitar um financiamento.
• Calcular o Valor Atual da Série Postecipada.
• Calcular o Montante da série Postecipada.
• Manusear a HP-12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas 
operações de financiamentos ou investimentos em forma de séries de capitais.
• Aplicar no cotidiano, nas transações de crediário, novas formas de cálculos de pagamentos 
de uma dívida contraída pelo financiamento postecipado com ou sem entrada.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Pollyana Barbieri Pazzini
Produção de 
Design Multimídia
CoordenaçãoRodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
SÉRIES UNIFORMES DE CAPITAIS 
DIFERIDOS: SÉRIES POSTECIPADAS
Introdução
Séries de capitais disponíveis ou pagamentos vencíveis em datas diferentes são conjuntos 
de pagamentos (ou recebimentos) de valores nominais iguais, que se encontram dispostos 
em períodos de tempo constantes, ao longo de um fluxo de caixa, denominadas séries 
uniformes.
Representaremos esses pagamentos (recebimentos) por T ou PMT.
Abaixo temos um fluxo de uma dívida (PV ) representada por uma série de “n” pagamen-
tos (PMT ).
PV
PMT PMT PMT PMT
1
0
períodos2 n-1 n
...
Esse conjunto de capitais disponíveis (ou pagamentos vencíveis) em datas diferentes ou 
as várias aplicações, feitas em datas diferentes, é que constituem as Séries.
A série de pagamentos tem por finalidade:
• Constituir um montante no futuro.
• Pagar uma dívida assumida hoje em forma de 
empréstimo ou de algum bem adquirido a prazo.
• Pagar o uso de um bem ou serviço, como no 
caso de aluguéis ou salários.
• Outros.
Então, pode-se dizer que a série 
exibe o retorno do capital por 
meio de pagamentos iguais em 
intervalos de tempo constan-
tes. A representação de séries 
fica bem ilustrada nas situações 
de empréstimo ou aquisições de 
bens, e na formação de um 
capital futuro por intermédio 
dos depósitos programados.
Os intervalos de tempo entre 
os vencimentos de dois 
pagamentos consecutivos 
são chamados períodos 
das séries, e estudare-
mos as séries de períodos 
constantes.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas 147
GLOSSÁRIO
Nas séries teremos os seguintes termos:
T=PMT : Valor de cada um dos pagamentos da série: também denominado Termo, Prestação, 
Vencimento, Parcela, Depósito, Títulos, dentre outros.
n: quantidade de termos: quantidade de pagamentos ou depósitos periódicos que formam a 
série.
i: taxa de juros: cobrada no financiamento e que estão embutidos nas prestações, ou que é 
utilizada nas correções dos depósitos programados em investimentos.
A = PV: Valor Atual ou Valor Presente de uma Série: é a soma dos valores presentes de cada 
um dos pagamentos (PMT), calculados numa data dada, anterior às datas de disponibilidade 
desses pagamentos, com uma taxa também fixada.
M = FV: Valor Futuro ou Montante de uma Série: é a soma dos valores futuros de cada um 
dos pagamentos (PMT), calculada numa data dada, posterior às datas de disponibilidade 
desses pagamentos, com uma taxa também fixada.
Classificação das Séries
As séries podem se classificar quanto aos seguintes requisitos:
• Prazo
 - Certas ou Temporárias: O prazo de pagamentos ou recebimentos é finito.
 - Perpétuas: O prazo é infinito.
• Periodicidade
 - Periódica: Períodos iguais.
 - Não periódica: Períodos distintos.
• Valores dos Termos
 - Uniforme ou Constante: Termos iguais.
 - Variável: Termos distintos.
• Vencimentos
 - Postecipada: Os pagamentos ocorrem no final de cada período.
 - Antecipada: Os pagamentos ocorrem no início de cada período.
 - Diferida: Os pagamentos, sistematicamente, ocorrem após uma carência.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas148
A partir desses requisitos poderemos ter um esquema das séries:
SÉRIES
Temporárias
Periódicas
Uniformes
Póstecipadas
Antecipadas
Diferidas
Variáveis
Não Periódicas
Perpétuas
Em nosso estudo abordaremosas séries Certas, Periódicas, Uniformes Postecipadas, 
Antecipadas e Diferidas.
Séries Uniformes de Pagamentos 
ou de Recebimentos
Uma série é uniforme quando todos os seus termos (pagamentos ou recebimentos) são 
iguais (constantes), feitos em períodos homogêneos, ou seja, os pagamentos e recebi-
mentos têm vencimentos, valores e número pré-estabelecidos com a taxa de juros fixada.
As séries de pagamentos uniformes são utilizadas de sobremaneira no mercado pelas 
financeiras, principalmente por meio dos empréstimos pessoais conhecidos como CDC 
(Crédito Direto ao Consumidor), além é claro de uma forma geral no comércio.
Vamos começar fazendo algumas indagações: O que é Prestação?
Prestação é um pagamento a ser realizado num futuro próximo composto por duas parce-
las: uma é a parte da dívida (Q: cota de amortização) a outra é o juro embutido (J ). 
Representaremos os termos da série por T ou PMT.
Assim temos:
PMT = parte da dívida + juros
PMT = Q + J
ATENÇÃO
Nas prestações estão embutidos juros, porque como já vimos, o dinheiro é corrigido em 
função do tempo.
Nesse módulo trataremos das Séries Uniformes Postecipadas.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas 149
Séries Uniformes Postecipadas
Você sabe o que é uma série Uniforme Postecipada?
O próprio nome nos remete a pensar em pagar após um período, não é?
Então, pode-se dizer que são as séries constantes, periódicas e com o primeiro pagamen-
to efetuado no fim do primeiro período e os demais sucessivamente. Veja o fluxo abaixo:
PV
PMT PMT PMT PMT
1
0
períodos2 n-1 n
...
Essa série é também chamada de Ordinária, Vencida ou Imediata.
Podemos citar alguns exemplos de séries postecipadas, dentre 
outros, como:
• Salários;
• Aluguéis;
• Financiamentos.
Se a série tiver como objetivo a constituição do capital, então estaremos 
procurando o montante da série; ao contrário, ou seja, se o objetivo for à 
amortização de um capital, então o valor procurado será o valor atual da 
série. Portanto, a seguir estaremos estudando o Valor Atual de uma série de 
pagamentos e o Montante de uma série de depósitos.
O cálculo de Valor Futuro ou de Valor Presente da série de prestações, no regime 
de juros compostos, requer a utilização de algumas fórmulas matemáticas que por 
exigirem conhecimentos mais apurados (progressões) não serão totalmente dedu-
zidas nesse módulo. Essas equações são denominadas transcendentes, ou seja, não há 
solução algébrica para resolvê-las no que diz respeito ao cálculo das taxas, porque para 
resolvê-las precisaríamos de recursos auxiliares como as tabelas financeiras e do cálculo 
de interpolação desses valores tabelados. Mas se usarmos a HP-12C, a tecnologia estará 
a nosso favor simplificando esses cálculos, porque a mesma já está programada para isto. 
Assim a utilização dos comandos financeiros da HP-12C será o melhor e mais prático 
recurso.
Para usarmos a HP-12C, os comandos que agilizam os cálculos das séries postecipadas 
são: 
No entanto no visor da máquina não aparece nenhuma mensagem.
Mas como isto será feito? 
Vamos lá!
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas150
VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE UNIFORME 
POSTECIPADA: A = PV
Chama-se Valor Presente ou Valor Atual de uma série uniforme a soma dos valores presen-
tes de cada um dos pagamentos ou recebimentos (PMT ) , calculados numa data anterior 
às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros fixada.
Para uma série formada por “n” pagamentos PMT=T teremos o Valor Atual (A=PV ) 
como sendo o somatório de todos os valores atuais das PMT na data Zero, como mostra 
o diagrama temporal abaixo:
1 2 3 n-1 n
0
A1
A2
T1 T2 T3 i Tn-1 Tn
A3
An-1
An
O valor Atual da série será:
A = A1 + A2 + A3 + ... + An–1+ An
A = T.(1+i )–1 + T.(1+i )–2 + T.(1+i )–3 + ... + T.(1+i )– (n–1) + T.(1+i )–n
Colocando “T” em evidência temos:
A = T.[(1+i )–1 + (1+i )–2 + (1+i )–3 + ... + (1+i )– (n–1) + (1+i )–n]
Temos aí nesse colchete uma soma de termos (1+i )–n que representaremos por “S ” 
A = T .S onde S = [(1+i )–1 + (1+i )–2 + (1+i )–3 + ... + (1+i )– (n–1) + (1+i )– n]
Tomando a expressão S e multiplicando-a por (1+i ) temos:
(1+i ) . S = 1 + (1+i ) – 1 + (1+i )– 2 + (1+i ) – 3+ ... + (1+i ) – (n –1)
S + i.S = 1 + (1+i ) – 1 + (1+i )– 2 + (1+i )– 3 + ... + (1+i ) – (n –1)
i.S = 1 + (1+i )– 1 + (1+i )– 2 + (1+i )– 3+ ... + (1+i )– (n –1) – S
Mas como S =[(1+i )– 1 + (1+i )– 2 + (1+i)– 3+ ... + (1+i )– (n – i ) + (1+i )– n ] e substituindo vem:
i.S=1+(1+i)–1 +(1+i)–2 +(1+i)–3+...+(1+i)–(n–1)–[(1+i)–1+(1+i)–2+(1+i)–3+...+(1+i)–(n –1)+(1+i)– n]
i.S =1+(1+i) –1+ (1+i) –2+ (1+i) –3+...+(1+i)–(n–1)– (1+i)–1– (1+i)–2– (1+i)–3–...– (1+i)–(n–1)–(1+i)–n
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas 151
E juntando os termos semelhantes (opostos), temos:
. 1 (1 )
1 1.
1 (1 )
1.(1 ) 1.
(1 )
n
n
n
n
i S i
i S
i
ii S
i
−
−
−
−
= − +
= −
+
+ −
=
+
Explicitando “S ” teremos:
1.(1 ) 1 :
(1 )
(1 ) 1 :
.(1 )
n
n
n
n
iS i
i
iS i
i i
+ −
=
+
+ −
=
+
Voltando a equação A = T. S e substituindo S teremos assim o Valor Atual da série é dado 
pela fórmula:
(1 ) 1.
.(1 )
n
n
iA T
i i
 + −
=  + 
Na Hp-12C já se tem essa equação programada internamente, portanto basta informar os 
dados utilizando o comando da série postecipada que são , e ela nos fornecerá 
o resultado desejado.
Veja o exemplo a seguir:
Carlos adquiriu um computador financiado em 10 prestações de R$125,00 cada, vencí-
veis ao fim de cada mês. Sabendo-se que a loja cobrou uma taxa de juros de 1,2%a.m., 
determine o valor à vista desse financiamento.
Resolução:
DADOS VALORES
Valor da prestações; PMT = T 125,00
Taxa Unitária de juros: i 1,2%am = 0,012a.m
Quantidade de pagamentos: n 10 meses
Regime de Capitalização: mensal
Tipo de Série Postecipada: 8
Valor Atual da Série ( dívida): A=PV ?
Resolução algébrica: Fórmula
(1 ) 1.
.(1 )
n
n
iA T
i i
 + −
=  + 
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas152
Substituindo os dados temos:
10
10
10
10
(1 0,012) 1125.
0,012.(1 0,012)
(1,012) 1125.
0,012.(1,012)
A
A
 + −
=  + 
 −
=  
 
Resolvendo a potência: (1,012)10
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
1,2 1,200000000
100 0,012000000
1 1,012000000
10 1,126691778
1,126691778 1125.
0,012.1,126691778
0,126691778125.
0,013520301
125.9,370484785
1.171,310598
1.171,31
A
A
A
A
A
− 
=  
 
 
=  
 
=
=
=
Portanto o valor do financiamento (ou o valor do computador à vista) é R$ 1.171,31.
Resolvendo esse mesmo problema pela HP-12C, é bem mais simples, mas lembre-se que:
• Um dos comandos financeiros monetários tem que anular, e nesse caso é o FV. 
• A taxa é centesimal e combina com o período dos pagamentos.
• A classificação da série deve ser feita utilizando, nesse caso, .
• Não há hierarquia na entrada de dados.
• Não se esqueça da formatação de fluxo de caixa: Entradas (+) e Saídas (-), ou seja, 
a função CHS .
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas 153
Com levantamento dos dados do problema, veja a seguir:
DADOS VALORES
Valor da prestações; PMT = T 125,00
Taxa Centesimal de juros: i 1,2%a.m
Quantidade de pagamentos: n 10 prestações mensais
Comando Monetário Anulado: FV 0
Regime de Capitalização: mensal
Tipo de Série Postecipada: 
Valor Atual da Série ( dívida): A=PV ?
Acionando os comandos da HP-12C, temos:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
 8 0,000000000
0 0,000000000
125 -125,0000000
10 10,00000000
1,2 1,200000000
1.171,310598
 2 1.171,31
Assim o valor financiado foi de R$ 1.171,31 para a aquisição desse computador.
Vamos ver outro exemplo:
Ao comprar um televisor no valor de R$ 1.650,00, Mara paga de entrada 30% do valor 
e financia o restante em 12 prestações mensais vencendo a primeira um mês após a 
compra. Determine o valor de cada parcela mensal sabendo-se que a taxa efetiva anual 
de juros desse financiamento foi de 36,08%.
IMPORTANTE
Você se lembrou da conversão das Taxas Efetivas Equivalentes?
Vamos voltar.
Nesse caso foi uma descapitalização da taxa anual para mensal:
0 100 136,08 12 2,600511301 2,60
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas154
Resolução: Vamos inicialmente resolvê-la algebricamente.
DADOS VALORES
Valor da TV 1.650,00
Entrada: 30% de 1.650,00 495,00
Financiamento: Restante (70%) de 1.650,00 1.155,00
Valor Atual da Série ( financiamento): A=PV 1.155,00
Taxa Unitária de juros: i 36,08%aa = 2,60%am= 0,026am
Quantidade de pagamentos: n 12 prestações mensais
Comando Monetário Anulado: FV 0
Regime de Capitalização: mensal
Tipo de Série Postecipada: 
Valor das Prestações; PMT = T ?
Utilizando a fórmula e substituindo os dados, temos:
12
12
(1 ) 1.
.(1 )
(1,026) 11155 .
0,026.(1,026)
1,360718625 11155 .
0,026.1,360718625
0,3607186251155 .
0,035378684
1155 .10,19593104
1155
10,19593104
113,2804837
113,28
n
n
iA T
i i
T
T
T
T
T
T
T
 + −
=  + 
 −
=  
 
− 
=  
 
 
=  
 
=
=
=
=
A entrada foi deR$ 495,00 e financiou o restante em 12 mensais de R$ 113,28 cada.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas 155
A resolução tecnológica (HP-12C) é simples veja:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
 8 0,000000000
1.650,00 1.650,000000
30 % 495,00000000
1.155,000000
 –1.155,000000 
0 0,000000000
12 12,00000000
2,6 2,600000000
113,2804837
 2 113,28
Portanto o valor de cada prestação mensal é de R$ 113,28.
A seguir estudaremos um pouco de série constituída por um conjunto de depósitos para 
formar um montante.
Vamos lá!
MONTANTE DE UMA SÉRIE UNIFORME 
POSTECIPADA: M = FV
Chama-se Valor Futuro, Valor Nominal ou Montante de uma série uniforme a soma dos 
valores futuros de cada um dos pagamentos ou recebimentos, calculados numa data 
posterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros também fixada. 
Veja um exemplo de série de depósitos postecipados num fluxo de caixa formando um 
valor futuro.
10 2 3 n-1 n
T1 T2 T3 i Tn-1 Tn MnPMTn=
Mn-1
M3
M2
M1
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas156
Faremos o uso das relações matemáticas para chegar a uma equação que nos dê a fórmu-
la de calcular o Valor Futuro (montante) de uma série com uma quantidade “n” de termos 
periódicos T.
Sabe como faremos isso?
Então vamos lá.
Achar o Valor Futuro de um capital qualquer no regime composto é capitalizá-lo para uma 
data futura, ou seja, corrigi-lo (adicionar juros), e para isso temos: M = C.(1+ i )n.
Vamos fazer isso para cada um dos termos da série.
M = M1 +M2 + M3 + ... + M n-1 + Mn
M = T1.(1+i )n-1 +T2 . (1+i )n-2 + T3 . (1+i )n-3 + ... + Tn-1 .(1+i )n- (n-1) + Tn . (1+i )n-n
No entanto os termos são iguais: T1 = T2 = T3= ...= Tn= T, então:
M = T.(1+i )n-1 +T.(1+i )n-2 + T.(1+i )n-3 + ... + T.(1+i )1 + T.(1+i )0
M = T.(1+i )n-1 +T.(1+i )n-2 + T.(1+i )n-3 + ... + T.(1+i )1 + T
Colocando T em evidência, temos:
M = T.[(1+ i )n-1 +(1+i )n-2 +(1+i )n-3 + ... + (1+i )1+1]
Como se trata de uma progressão geométrica cuja razão é (1+i ), dentro dos colchetes,temos 
uma soma de n termos que nos dará seguinte fórmula:
(1 ) 1.
niM T
i
 + −
=  
 
TOME NOTA
Não se esqueça, na HP12C, taxa utilizada será a percentual ou centesimal, mas em toda 
fórmula financeira, a taxa utilizada será a unitária.
O Tempo “n” e a Taxa “i” deverão estar sempre numa mesma referência temporal. Por exem-
plo, se n for em anos, a taxa será ao ano (a.a.), se for n meses, a taxa será ao mês (a.m.) e 
assim em diante. 
Vamos ver alguns exemplos
A fim de constituir uma poupança, Marcos faz depósitos programados de R$1.100,00 ao 
final de cada mês, durante dois anos. Determine o saldo dessa série, sabendo-se que a 
taxa de juros foi de 0,61% ao mês.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas 157
Resolução:
DADOS VALORES
Tipo de série Postecipada: 8
Valor Atual = Dívida: A =PV 0
Valor de cada depósito: PMT 1.100,00
Taxa Mensal de juros: i 0,61%am = 0,0061a.m
Quantidade de depósitos mensais: n 2 anos = 24 meses
Regime de Capitalização: mensal
Valor Futuro ou Montante: M=FV ?
Inicialmente vamos resolver por fórmula:
(1 ) 1.
niM T
i
 + −
=  
 
Substituindo os dados, temos:
24
(1 ) 1.
(1 0,0061) 11100.
0,0061
1,157144448 11100.
0,0061
0,1571444481100.0,0061
1100.25,76138492
28.337,52341
28.337,52
niM T
i
M
M
M
M
M
M
 + −
=  
 
 + −
=  
 
− 
=  
 
 
=  
 
=
=
=
Assim ao final de 2 anos o saldo da poupança será de R$ 28.337,52.
A resolução tecnológica é bem mais simples basta para isso que você se lembre de:
• Cancelar o comando monetário não utilizado (adicionar o zero em PV)
• A taxa tem que ser na forma centesimal (% );
• Colocar o comando da classificação da série (Postecipada): 8.
Vamos lá!
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas158
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
 8 0,000000000
1.100,00 –1.100,000000 
0 0,000000000
24 24,00000000
0,61 0,610000000
28.337,52344
 2 28.337,52
Viu como é simples?
Veja outro exemplo:
Uma pessoa faz depósitos no fim de cada mês durante um ano. Sabendo-se que ao final 
desse período o seu saldo era de R$ 7.079,41, determine o valor de cada depósito se a 
taxa anual de juros aplicada era de 6,94%.
Resolução:
Inicialmente vamos transformar (descapitalizar) a taxa anual em efetiva mensal e depois 
vamos substituir os dados na fórmula:
0 100 106,94 12 0,560714000 0,56
Assim:
DADOS VALORES
Tipo de série Postecipada: 8
Valor Atual = Dívida: A =PV 0
Futuro ou Montante: A=MF 7.079,41
Taxa Mensal de juros: i 0,56%am = 0,0056a.m
Quantidade de depósitos mensais: n 1 ano=12 meses
Regime de Capitalização: mensal
Valor de cada depósito: PMT = T ?
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas 159
(1 ) 1.
niM T
i
 + −
=  
 
12(1 0,0056) 17.079,41 .
0,0056
1,069308887 17.079,41 .
0,0056
0,0693088877.079,41 .
0,0056
7.079,41 .12,37658696
572,00
T
T
T
T
T
 + −
=  
 
− 
=  
 
 
=  
 
=
=
Assim ao final de um ano para que o saldo da poupança seja de R$ 7.079,41 será neces-
sário fazer ao final de cada mês depósitos de R$ 572,00.
A resolução tecnológica é bem mais simples.
IMPORTANTE
Lembre-se que para o uso de comandos financeiros basta cancelar a função monetária não 
utilizada, e que a taxa deve ser na forma centesimal. E para a série Postecipada acionar os 
comandos .
Vamos lá! 
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
 8 0,000000000
7.079,41 – 7.079,410000 
0 0,000000000
12 12,00000000
0,56 0,560000000
572,0001846
 2 572,00
Bem mais simples, não é?
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas160
161
Síntese
Você pode constatar que nesse módulo, o estudo das séries de capitais nos forneceu 
o instrumento necessário para estabelecer as realizações necessárias à elaboração de 
planos para poupança, financiamento, recomposição de dívidas, a avaliação de alternati-
vas de investimentos, ou outros modelos.
Em nosso cotidiano há apelos de consumo através de propagandas, como também planos 
de poupança através de depósitos que se adaptam aos mais diversos orçamentos familia-
res ou empresariais, não é? Assim para que se possa parcelar uma dívida ou para recom-
por os débitos, é necessário que a pessoa se submeta a formar uma série de capitais 
disponíveis em épocas diferentes.
Por exemplo, quando uma pessoa física ou jurídica assume uma dívida que pode ser um 
empréstimo ou financiamento, se na data da realização ela não possuir capital suficiente 
para pagar a vista, então ela combinará a quitação dessa dívida, parceladamente, em n 
prestações iguais e periódicas, segundo juros propostos pelo credor, formando assim a 
série de capitais (pagamentos).
Outro exemplo que temos é a constituição de uma quantia para o futuro (montante) que 
para isso será necessários compor uma série de capitais, ou seja, depositar periodicamen-
te, importâncias iguais para atingir esse objetivo.
Portanto, o cálculo das séries de capitais nos permitirá a compreensão de informações 
financeiras ligadas a linhas de créditos, projetos de investimento, avaliação de ações e 
taxa de retorno sobre projeto de investimentos.
Não importando o objetivo da série, vimos que em função da complexidade de trabalhar o 
regime composto na forma algébrica, a melhor maneira é utilizar a HP-12C, cujo procedi-
mento é muito praticado devido a sua precisão, operacionalidade e agilidade. 
Espero que você tenha absorvido toda essência dessa teoria para aplicar no seu cotidiano 
quando quiser se programar para fazer depósitos para constituir uma previsão futura ou, 
para contrair uma dívida pela aquisição de bem ou serviço.
Aguardo por vocês em uma próxima oportunidade! Até lá!
Referências
ASSAF NETO, Alexandre.Matemática financeira e suas aplicações. 10ª edição, São Paulo,Atlas, 2008.
BRUNI, Adriano Leal. FAMA, Rubens. Matemática Financeira com HP-12C e Excel. São Paulo, Atlas, 2002.
CASTA, Nelson Pereira. NHEIRAMACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: IBPEX, 2010.
http://fumec.bvirtual.com.br/editions/2267-matematica-financeira-aplicada-3ed. dp? 
search_id=5145229&search_results_type=Edition
CASTELO BRANCO, Anísio Costa.Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP12C, Microsoft Excel 
– 2ª edição rev. São Paulo: CengageLearnig, 2008.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Financeira Fácil. 14ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
FARIA, ROGÉRIO GOMES DE. Matemática Comercial e Financeira com Exercícios e Cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo: Ática, 2007.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP-12C e Excel: Uma abordagem Descomplicada. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira.6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto.Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2001.
MULLER, Aderbal Nicolas, et ANTONIK, Luís Roberto.Matemática Financeira.São Paulo: Saraiva, 2012.
NASCIMENTO, Marco Aurélio. Introdução à Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2011.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 9ª ed., São Paulo: Elsevier, 2011.
SAMANÉZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira.São Paulo: Pearson Prentice Hall,2010.
http://fumec.bvirtual.com.br/editions/2541matematicafinanceira.dp?search_id=4970723&search_results_type=Edition
TOSI, Armando José.Matemática Financeira com utilização da HP-12C. 2ª ed. Edição Compacta. São Paulo: 
Atlas, 2009.
Matemática 
Financeira
AS SÉRIES UNIFORMES DE 
CAPITAIS ANTECIPADOS
O VALOR ATUAL DA SÉRIE 
ANTECIPADA
O MONTANTE DA SÉRIE 
ANTECIPADA
E MUITO MAIS...
SÉRIES UNIFOR
MES DE 
CAPITAIS DIFER
IDOS: 
SÉRIES ANTECI
PADAS
APRESENTAÇÃO
C aro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!
 
Nesse módulo, continuaremos nossos estudos sobre os empréstimos. Vamos abordar as 
séries que são pagas no início do período, isto é, as séries antecipadas. Muitas vezes é dito, 
a primeira prestação é no ato, confundida com entrada ou à vista, o que não é verdade. 
Você sabe por quê?
Pois é, prestação tem juros e pagamento à vista não tem juros. Por isso, é que denominamos 
série: pagamentos antecipados.
No mercado financeiro, o uso do crédito, como já vimos, é oferecido em várias formas de 
transações como os financiamentos, consórcios, leasing, dentre outros. Para tal realização, 
a dívida é formalizada em títulos ou parcelas que nesse caso são pagas no início dos 
períodos, ou seja, pagas antecipadamente.
Enfatizaremos o nosso estudo nos tipos de financiamentos em que as parcelas são 
antecipadas, como também as poupanças programadas em que os depósitos são realizados 
no início de cada período.
E aí, está pronto? Então vamos lá! 
Com muita disposição, compromisso, dedicação e disciplina, juntos realizaremos um 
excelente trabalho. Pode acreditar!
Conte conosco para que tenha um excelente aprendizado!
Sucesso sempre!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você deverá ser capaz de:
• Definir as Séries Uniformes de Capitais Antecipados.
• Distinguir o tipo de série de pagamentos antecipados do postecipados.
• Calcular o Valor Atual da Série Antecipada.
• Calcular o Montante da série Antecipada.
• Manusear a HP-12C de forma clarae simples nos principais comandos algébricos e nas 
operações de financiamentos ou investimentos em forma de séries de capitais antecipados.
• Aplicar no cotidiano, nas transações de crediário, novas formas de cálculos de pagamentos 
da dívida contraída pelo financiamento com a primeira prestação paga no ato.
GLOSSÁRIO 
T=PMT : Valor de cada um dos pagamentos da série.
n: quantidade de pagamentos ou depósitos periódicos que formam a série.
i: taxa de juros 
A = PV: Valor Atual ou Valor Presente da Série
M = FV: Valor Futuro ou Montante da Série
E que agora para distinguir a série Antecipada da série Postecipada, utilizaremos os coman-
dos: e no visor da HP-12C aparecerá a mensagem BEGIN.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Pollyana Barbieri Pazzini
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
SÉRIES UNIFORMES DE CAPITAIS 
DIFERIDOS: SÉRIES ANTECIPADAS
Introdução
Quando só dispomos de parte do valor ou não dispomos de nenhum valor para adquirir 
um bem ou até mesmo para contratar um serviço, o recurso é recorrer a um financiamen-
to. Existem financiamentos em que a primeira prestação é paga no ato da realização da 
dívida, denominado Série Antecipada.
Nesse tipo de financiamento, deveremos saldar a dívida de acordo com as normas espe-
cíficas do crédito, com número determinado de parcelas resultantes de um cálculo bem 
definido, com a primeira paga no ato, mas que não pode ser confundida com entrada 
(pagamento à vista).
Para adquirir o empréstimo, a pessoa tem que ter a aprovação do seu crediário, e para 
isso, em princípio basta que as instituições que liberam o financiamento ditar as regras 
e exigências próprias, que normalmente são impostas pelo Banco Central. E entre elas 
estão, por exemplo, o limite de idade de quem solicita o financiamento, ter renda garan-
tida, ter fiadores, ter endereço fixo, dentre outros. Assim se aprovado o financiamento, 
basta optar pela modalidade.
Ao invés de contrair um financiamento, também poderemos programar depósitos para 
obter uma quantia futura “poupança programada”. Nesse caso os depósitos serão reali-
zados no início de cada período.
Para esses assuntos, apresentaremos a solução de cada problema pelas fórmulas e o 
enfoque será o tecnológico, com o uso dos comandos financeiros da HP-12C, que será 
tratado com bastante clareza e simplicidade.
Você verá!
Série Uniforme Antecipada
O conjunto de capitais disponíveis, pagamentos ou recebimentos vencíveis no início de 
cada período, com valores nominais iguais, dispostos em períodos de tempo constantes, 
ao longo de um fluxo de caixa, é denominado Série Uniforme Antecipada.
Representaremos esses pagamentos ou recebimentos por T ou PMT.
Abaixo temos um fluxo de uma dívida (PV) representada por uma série de “n” pagamen-
tos (PMT) antecipados.
n-2 n-1
PMTn-1 PMTn
1
PMT2
0
PMT1
2
PMT3
3
PMT4
n
PV
Esse conjunto de capitais disponíveis (ou pagamentos vencíveis) em datas diferentes ou 
as várias aplicações, feitas em datas diferentes, a primeira é na data da realização do 
negócio, assim constitui a série antecipada.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Antecipadas 165
A representação de séries antecipadas fica bem aplicada nas situações de empréstimo 
ou aquisições de bens, e na formação de um capital futuro por intermédio dos depósitos 
programados realizados no início de cada período.
Séries Uniformes de Pagamentos ou 
de Recebimentos Antecipados
As séries de pagamentos uniformes antecipados são utilizadas de sobremaneira no merca-
do pelas financeiras por meio, principalmente, dos empréstimos pessoais conhecidos 
como CDC (Crédito Direto ao Consumidor), além é claro de uma forma geral no comércio, 
onde a primeira prestação (T1) é paga no ato, mas que não pode ser confundida com 
entrada, que é pagamento à vista (sem juros).
Se nas prestações estão embutidos juros (o dinheiro é corrigido em função do tempo), por 
que no ato da realização da dívida (que ainda não passou tempo para aplicar juros), tem 
que pagar a primeira prestação (que tem juros)?
É verdade! Esse tipo de financiamento você está pagando mais caro, mas ele existe e é 
muito usado pelas instituições financeiras.
Séries Uniformes Antecipadas
Você sabe o que é uma série Uniforme Antecipada?
É a série constante, periódica e com o primeiro pagamento efetuado no início do primeiro 
período e os demais sucessivamente, como mostra o fluxo abaixo.
n-2 n-1
PMTn-1 PMTn
1
PMT2
0
PMT1
2
PMT3
3
PMT4
n
PV
Podemos citar alguns exemplos de séries antecipadas como: 
• Mensalidades escolares;
• Aluguéis;
• Financiamentos;
• Outros.
Como vimos nas séries postecipadas, o objetivo será o mesmo, 
ou seja, encontrarmos o Montante programando depósitos para 
tal realização, ou ao contrário, encontrar o Valor Atual se o obje-
tivo for à amortização da dívida realizada por prestações peri-
ódicas. Portanto a seguir estaremos estudando o Valor Atual e 
o Montante de uma série Antecipada. E como esses cálcu-
los requerem a utilização de algumas fórmulas matemáticas 
que por exigirem conhecimentos mais apurados (progressões 
geométricas) serão apresentadas nesse módulo. Essas equa-
ções como já vimos, não podem ser resolvidas algebricamente 
(equações transcendentes) para o cálculo de taxas. Portanto a 
tecnologia será o nosso suporte nesses cálculos: HP-12C, que já 
está programada internamente para isso.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Antecipadas166
Como realmente a HP-12C processa esses cálculos de séries antecipadas? E a HP-12C 
sabe distinguir a Antecipada da Postecipada?
Simples, basta que sejam acionados os comandos : e no visor aparecerá a 
mensagem BEGIN para a série Antecipada e para a série Postecipada, que no 
visor não aparecerá nenhuma mensagem. Assim a utilização dos comandos financeiros 
da HP-12C será o melhor e mais prático recurso.
Vamos ver isso nas próximas deduções.
VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE UNIFORME 
ANTECIPADA: A = PV
Chama-se Valor Presente ou Valor Atual de uma série uniforme antecipada a soma dos 
valores presentes de cada um dos pagamentos ou recebimentos (T=PMT  ), calculados 
numa data anterior às datas de disponibilidade dos mesmos, que nesse caso será a data 
da realização do negócio (data zero), exceto a primeira que já esta nessa data, com uma 
taxa de juros fixada.
Para uma série formada por “n” pagamentos PMT=T teremos o Valor Atual (A  ) como 
sendo o somatório de todos os valores atuais antecipados das PMT na data Zero, como 
mostra o diagrama temporal abaixo:
T2 T3 T4 Tn-1 TnA1=T1
A2
A3
A4
An-1
An
1 2
...
3 n-1 n n
O valor Atual da série será:
1 2 3 1... n nA A A A A A−= + + + + +
Mas A1= T1= T, assim temos:
1 2 ( 2) ( 1).(1 ) .(1 ) ... .(1 ) .(1 )n nA T T i T i T i T i− − − − − −= + + + + + + + + +
Vemos que a partir da T2 temos na verdade uma série de (n−1) termos postecipados:
1 2 ( 2) ( 1)[ .(1 ) .(1 ) ... .(1 ) .(1 ) ]n nA T T i T i T i T i− − − − − −= + + + + + + + + +
Substituindo a expressão dos colchetes pela fórmula do Valor Atual Postecipado: 
1
1
(1 ) 1.
.(1 )
n
n
iA T T
i i
−
−
 + −
= +  + 
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Antecipadas 167
Colocando T em evidência:
1
1
(1 ) 1. 1
.(1 )
n
n
iA T
i i
−
−
 + −
= + + 
Simplificando a fração (mmc):
1 1
1
.(1 ) (1 ) 1.
.(1 )
n n
n
i i iA T
i i
− −
−
 + + + −
=  + 
Que se reduz a:
1
1
1 1
1
(1 ) .( 1) 1.
.(1 )
(1 ) 1.
.(1 )
n
n
n
n
i iA T
i i
iA T
i i
−
−
− +
−
 + + −
=  + 
 + −
=  + 
Finalmente temos a equação do Valor Atual Antecipado.
1
(1 ) 1.
.(1 )
n
n
iA T
i i −
 + −
=  + 
Na HP-12C já se tem essaequação programada internamente, portanto basta informar os 
dados utilizando os comandos da série antecipada que são , e ela nos fornecerá 
o resultado desejado.
Veja o exemplo a seguir:
Carlos adquiriu um computador financiado em 10 prestações de R$125,00 cada,com a 
primeira paga no ato. Sabendo-se que a loja cobrou uma taxa de juros de 1,2% a.m., 
determine o valor à vista desse financiamento.
Resolução:
Como a primeira prestação é paga no ato do financiamento (não é entrada) então temos 
uma série de pagamentos antecipados: (Begin).
DADOS VALORES
Valor das prestações: PMT = T 125,00
Taxa Unitária de juros: i 1,2%am = 0,012a.m
Quantidade de pagamentos: n 10 meses
Regime de Capitalização: mensal
Tipo de Série:Antecipada: 
Valor Atual da Série (dívida): A=PV ?
Resolução algébrica: Fórmula 
1
(1 ) 1.
.(1 )
n
n
iA T
i i −
 + −
=  + 
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Antecipadas168
Substituindo os dados do problema na equação, temos:
10
10 1
10
9
(1 0,012) 1125.
0,012.(1 0,012)
(1,012) 1125.
0,012.(1,012)
1,126691778 1125.
0,012.1,113331796
0,126691778125.
0,013359982
125.9,482930611
1.185,366326
1.185,37
A
A
A
A
A
A
A
−
 + −
=  + 
 −
=  
 
− 
=  
 
 
=  
 
=
=
=
Portanto o valor do financiamento (ou o valor do computador a vista) é R$ 1.185,37.
Resolvendo esse mesmo problema na HP-12C, é bem mais simples, mas lembre-se de 
alguns requisitos, como:
• Um dos comandos monetários tem que ser nulo, e nesse caso é o FV. 
• A taxa é centesimal e tem que combinar com o período dos pagamentos.
• A classificação da série deve ser feita utilizando, nesse caso, .
• Não há hierarquia na entrada de dados.
• Não se esqueça da formatação de fluxo de caixa: Entradas e Saídas .
Assim com o levantamento dos dados desse problema, veja como fica:
DADOS VALORES
Valor das prestações: PMT = T 125,00
Taxa Centesimal de juros: i 1,2%am
Quantidade de pagamentos: n 10 prestações mensais
Comando Monetário Anulado: FV 0
Regime de Capitalização: mensal
Tipo de Série-Antecipada: 
Valor Atual da Série (dívida): A=PV ?
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Antecipadas 169
Acionando os comandos da HP-12C, temos:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
 BEGIN 0,000000000
0 0,000000000
125 -125,0000000
10 10,00000000
1,2 1,200000000
1.185,366325
 1.185,37
Assim o valor financiado foi de R$ 1.185,37para a aquisição desse computador.
Veja outro exemplo:
Ao comprar uma TV no valor de R$ 1.650,00, Maria financia em 12 prestações mensais 
vencendo a primeira no ato da compra. Determine o valor de cada parcela mensal saben-
do-se que a taxa efetiva anual de juros desse financiamento foi de 36,08%.
REFLITA 
Você se lembrou da conversão das Taxas Efetivas Equivalentes?
Vamos voltar:
Nesse caso foi uma descapitalização da taxa anual para mensal:
0 100 136,08 12 2,600511301 2,60
Resolução: Vamos inicialmente resolvê-la algebricamente.
DADOS VALORES
Valor Atual da Série ( financiamento): A=PV 1.650,00
Taxa Unitária de juros: i 36,08%aa = 2,6%am = 0,026am
Quantidade de pagamentos: n 12 prestações mensais
Comando Monetário Anulado: FV 0
Regime de Capitalização: mensal
Tipo de Série-Antecipada: 
Valor das Prestações; PMT = T ?
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Antecipadas170
Utilizando a fórmula e substituindo os dados, temos:
1
12
12 1
(1 ) 1.
.(1 )
(1,026) 11650 .
0,026.(1,026)
1,360718625 11650 .
0,026.1,326236477
0,3607186251650 .
0,034482148
1650
10,46102525
157,7283259
157,73
n
n
iA T
i i
T
T
T
T
T
T
−
−
 + −
=  + 
 −
=  
 
− 
=  
 
 
=  
 
=
=
=
Assim ela pagou 12 prestações no valor R$ 157,73 cada, com a primeira paga no ato da 
compra.
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
 BEGIN 0,000000000
1.650,00 –1.650,000000
0 0,000000000
12 12,00000000
2,6 2,600000000
157,7283259
 2 157,73
Portanto o valor de cada prestação mensal é de R$ 157,73.
Agora vamos ver um pouco de série constituída por um conjunto de depósitos para formar 
um montante?
Vamos lá!
Montante de uma Série Uniforme 
Antecipada: M = FV
Chama-se Valor Futuro, Valor Nominal ou Montante de uma série uniforme antecipada a soma 
dos valores futuros de cada um dos pagamentos ou recebimentos, calculados numa data 
posterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros também fixada. Veja 
um exemplo de série de depósitos antecipados num fluxo de caixa formando um valor futuro.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Antecipadas 171
T3T2T1 Tn-1 Tn
0 1 2 n-2
M1
M2
M3
Mn-1
Mn
n-1 n
Vamos fazer uso das relações matemáticas para chegar a uma equação que nos dê a 
fórmula de calcular o Valor Futuro (montante) de uma série com uma quantidade “n” de 
termos periódicos T antecipados.
Sabe como faremos isso?
Então vamos lá.
Achar o Valor Futuro de um capital qualquer no regime composto é capitalizá-lo para uma 
data futura, ou seja, corrigi-lo (adicionar juros), e para isso temos: M = C.(1+i )n, onde 
C = T. Vamos fazer isso para cada um dos termos da série.
Como o Montante da série é igual à soma dos montantes de seus termos, temos:
1 2 3 1... n nM M M M M M−= + + + + +
Substituindo pela forma de montante:
1 2 ( 1) ( 1)
1 2 3 1.(1 ) .(1 ) .(1 ) ... .(1 ) .(1 )
n n n n n n n
n nM T i T i T i T i T i
− − − − − −
−= + + + + + + + + + +
Como os termos são constantes, T1= T2 = T3 = ...= Tn-1 = Tn = T, temos:
1 2 2 1
1 2 2 1
.(1 ) .(1 ) .(1 ) ... .(1 ) .(1 )
.(1 ) .(1 ) .(1 ) ... .(1 ) .(1 )
n n n n n n n
n n n n n n n
M T i T i T i T i T i
M T i T i T i T i T i
− − − + − +
− − − + − +
= + + + + + + + + + +
= + + + + + + + + + +
E colocando “T ” em evidência: 
1 2 2 1.[(1 ) (1 ) (1 ) ... (1 ) (1 ) ]n n nM T i i i i i− −= + + + + + + + + + +
Agora percebemos que (1 + i ) comum, portanto:
M = T.(1 + i ) [ (1 + i )n-1 + (1 + i )n-2 + ... + (1 + i )1+ (1 + i )0]
M = T.(1 + i ) [ (1 + i )n-1 + (1 + i )n-2 + ... + (1 + i )1+ 1]
Notamos que a expressão dentro dos colchetes representa uma progressão geométrica 
cuja razão é (1 + i ). Assim temos uma soma de n termos que representa a fórmula do 
montante de uma série postecipada, a saber:
(1 ) 1.(1 ).
niM T i
i
 + −
= +  
 
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Antecipadas172
Trabalhando essa equação um pouco mais temos:
(1 ) (1 ) 1. .
1
(1 ) (1 ) 1. .
1
(1 ).(1 ) 1.(1 ).
1
n
n
n
i iM T
i
i iM T
i
i i iM T
 + + −
=  
 
 + + −
=  
 
 + + − +
=  
 
Finalizando pode ser expressa assim:
1(1 ) (1 ).
ni iM T
i
+ + − +
=  
 
IMPORTANTE
Toda fórmula financeira, a taxa tem que ser expressa na forma unitária, e n e i numa mesma 
referência temporal, que é a mesma da periodicidade dos termos.
Veja o exemplo a seguir:
Uma caderneta de poupança programada prevê um contrato de aplicações mensais, 
iguais e consecutivas, durante um ano, com o objetivo de ao final atingir o montante de 
R$100.000,00.Quanto deve ser aplicado no início de cada mês, considerando rendimen-
tos de juros compostos de 2% ao mês?
Resolução:
Como os depósitos são realizados no início de cada mês, a série é antecipada.
DADOS VALORES
Valor do Montante da Série: M=FV 100.000,00
Taxa Unitária de juros: i 2%am = 0,02a.m.
Quantidade de depósitos: n 12 prestações mensais
Comando Monetário Anulado: PV 0
Regime de Capitalização: mensal
Tipo de Série-Antecipada: 
Valor dos Depósitos: PMT = T ?
Inicialmente vamos resolver pela fórmula:
1(1 ) (1 ).
ni iM T
i
+ + − +
=  
 
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas 173
Substituindo os valores dados no enunciado do problema, temos:
12 1
12
(1 0,02) (1,02)100000 .
0,02
(1,02) (1,02)100000 .
0,02
1,293606630 1,02100000 .
0,02
0,273606630100000 .
0,02
100000 .13,68033152
100000
13,68033152
7.309,764375
7.309,76
T
T
T
T
T
T
T
T
+ + −
=  
 
 −
=  
 
− 
=   
 
=  
 
=
=
=
=
Portanto, o valor de cada depósito será de R$ 7.309,76 realizados no início de cada mês.
A resolução na HP-12C é bem mais simples.
Inicialmente teremos que acionar os comandos e no visor aparecerá “ BEGIN ”.
Vamos lá!
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
 BEGIN 0,000000000
100.000,00 –100.000,0000 
0 0,000000000
12 12,00000000
2 2,000000000
7.309,764375
 2 7.309,76
Vamos ver outro exemplo.
A fim de constituir uma poupança, Marcos faz depósitos programados de R$1.100,00 ao 
início de cada mês, durante dois anos. Determine o saldo dessa série, sabendo-se que a 
taxa de juros foi de 0,61% ao mês.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Antecipadas174
Resolução:
DADOS VALORES
Tipo de série: Antecipada: 
Valor Atual = Dívida: A =PV 0
Valor de cada depósito: PMT 1.100,00
Taxa Mensal de juros: i 0,61%am = 0,0061a.m
Quantidade de depósitos mensais: n 2 anos = 24 meses
Regime de Capitalização: mensal
Valor Futuro ou Montante: M=FV ?
Inicialmente vamos resolver por fórmula:
1(1 ) (1 ).
ni iM T
i
+ + − +
=  
 
Substituindo os dados, temos:
25(1 0,0061) (1,0061)1100.
0,0061
1,157144448 1,00611100.
0,0061
0,1581030291100.
0,0061
1100.25,91852939
28.510,38233
28.510,38
M
M
M
M
M
M
 + −
=  
 
− 
=  
 
 
=  
 
=
=
=
Assim ao final de 2 anos o saldo da poupança será de R$ 28.510,38.
A resolução tecnológica é bem mais simples basta para isso que você se lembre de:
• Cancelar o comando monetário não utilizado (0 )
• A taxa tem que ser na forma centesimal (%);
• Colocar o comando da classificação da série (Antecipada): (BEGIN)
Vamos lá!
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Antecipadas 175
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 9 0,000000000
 BEGIN 0,000000000
1.100,00 –1.100,000000 
0 0,000000000
24 24,00000000
0,61 0,610000000
28.510,38233
 2 28.510,38
Viu! Bem mais simples.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Antecipadas176
177
Síntese
Nesse módulo, o estudo das séries de capitais antecipados nos forneceu o instrumen-
to necessário para estabelecer as realizações necessárias à elaboração de planos para 
poupança ou financiamento para quitação de dívidas,com avaliações de alternativas de 
modelos de crediários: postecipados ou antecipados.
Verificamos que no nosso cotidiano há apelos de consumo dos mais variados bens, nos 
proporcionando formas variadas de adquiri-los, como também podemos nos programar 
para futuras previsões (caderneta de poupança) por meio de depósitos constantes e peri-
ódicos que se adaptam aos mais diversos orçamentos familiares ou empresariais. Tudo 
isso com o recurso da formação da série de capitais.
Nesse módulo, vimos outra possibilidade de formar a série de capitais, agora com os 
termos vencendo no início de cada período, os chamados antecipados.
Portanto o cálculo das séries de capitais antecipados ou postecipados nos permitirá a 
compreensão de informações financeiras ligadas a linhas de créditos, projetos de investi-
mento, avaliação de ações e taxa de retorno sobre projeto de investimentos.
Não importando o objetivo da série, vimos que em função da complexidade de trabalhar o 
regime composto na forma algébrica, a melhor maneira é utilizar a HP-12C, cujo procedi-
mento é muito praticado devido a sua precisão, operacionalidade e agilidade. 
Espero que você tenha absorvido toda essência dessa teoria para aplicar no seu cotidiano 
quando quiser. Que lhe ajude a se programar para fazer depósitos para constituir uma 
previsão futura ou, para contrair uma dívida pela aquisição de bem ou serviço com venci-
mentos no início de cada período.
Espero ter contribuído para o seu conhecimento. Encontramo-nos em uma próxima opor-
tunidade! Até lá!
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª edição, São Paulo,Atlas, 2008.
BRUNI, Adriano Leal. FAMA, Rubens. Matemática Financeira com HP-12C e Excel. São Paulo, Atlas, 2002.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: 
IBPEX, 2010.http://fumec.bvirtual.com.br/editions/2267-matematica-financeira-aplicada-3-ed.dp? 
search_id=5145229&search_results_type=Edition
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP12C, Microsoft Excel 
– 2ª edição rev. São Paulo: Cengage Learnig, 2008.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Financeira Fácil. 14ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
FARIA, ROGÉRIO GOMES DE. Matemática Comercial e Financeira com Exercícios e Cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo: Ática, 2007.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP-12C e Excel: Uma abordagem Descomplicada. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2001.
MULLER, Aderbal Nicolas, et ANTONIK, Luís Roberto. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2012.
NASCIMENTO, Marco Aurélio. Introdução à Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2011.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 9ª ed., São Paulo: Elsevier, 2011.
SAMANÉZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Prentice Hall,2010.http://fumec.bvirtual.
com.br/editions/2541-matematicafinanceira.dp?search_id=4970723&search_results_type=Edition
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da HP-12C. 2ª ed. Edição Compacta. São Paulo: 
Atlas, 2009.
Matemática 
Financeira
O CÁLCULO DO VALOR 
ATUAL DA SÉRIE 
DIFERIDA POSTECIPADA 
E DA SÉRIE 
UNIFORME COM 
CAPITAIS 
INTERMEDIÁRIOS
A HP-12C NOS 
PRINCIPAIS COMANDOS 
ALGÉBRICOS E NAS 
OPERAÇÕES DE 
FINANCIAMENTOS OU 
INVESTIMENTOS
O CÁLCULO DO 
MONTANTE DA SÉRIE 
DIFERIDA E DA SÉRIE 
INTERMEDIÁRIA
E MUITO MAIS...
SÉRIES UNIFORMES DE 
CAPITAIS DIFERIDOS 
SÉRIES DIFERIDAS E 
SÉRIES INTERMEDIÁRIAS
APRESENTAÇÃO
C aro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!
 
Nesse módulo estudaremos como os empréstimos que fazem parte do nosso cotidiano 
são formalizados quando precisamos de um tempo para iniciar os pagamentos relativos 
ao mesmo, que denominamos de Carência ou diferimento.
O mercado está pronto a nos oferecer produtos e serviços, sejam eles à vista ou no 
crediário. São várias as formas de transações como os financiamentos, consórcios, 
leasing, dentre outros, e que para tal realização a dívida é formalizada em prestações 
periódicas.
Enfatizaremos no nosso estudo os tipos de financiamentos existentes no regime 
composto, em forma de séries uniformes de pagamentos onde há uma carência para 
iniciá-los. Também fará parte desse estudo os compromissos realizados, principalmente 
em financiamentos de imóveis, em que além das séries mensais combinadas teremos 
também, as séries intermediárias durante todo o financiamento.
Com muita disposição, compromisso, dedicação e disciplina, juntos realizaremos um 
excelente trabalho. 
Conte conosco para que tenha um excelente aprendizado!
Sucesso sempre!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você deverá ser capaz de:
• Definir as Séries Uniformes de Capitais Diferidos;
• Calcular o Valor Atual da Série Diferida Postecipada;
• Calcular o Valor Atual da Série Uniforme com Capitais Intermediários;
• Calcular o Montante da série Diferida;
• Calcular o Montante da série Intermediária;
• Distinguir todos os tipos de séries de pagamentos para quitar um financiamento;
• Distinguir todos os tipos de séries de pagamentos para constituir um montante;
• Manusear a HP-12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas 
operações de financiamentos ou investimentos em forma de séries de capitais;
• Aplicar no cotidiano, nas transações de crediário, novas formas de cálculos de pagamentos 
de uma dívida contraída pelo financiamento com carência ou com pagamentos intermediá-
rios, com ou sem entrada.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETORDE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Ediane Cardoso
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
SÉRIES UNIFORMES DE CAPITAIS 
DIFERIDOS: SÉRIES DIFERIDAS 
E SÉRIES INTERMEDIÁRIAS
Introdução
Você já deve ter observado os diversos apelos de 
consumo e de poupança com planos de pagamentos 
que se adaptam aos mais diversos orçamentos. Esse 
tipo de operação é feita por meio de parcelamento 
ou recomposição de débitos, ou até mesmo por meio 
de uma poupança forçada.
As séries uniformes são utilizadas para estabelecer planos de poupança, de financia-
mento, de recomposição de dívidas e avaliação de alternativas de investimentos. Elas 
são sucessões de pagamentos, exigíveis em épocas pré-determinadas, que se destinam 
a extinguir uma dívida contraída ou até mesmo para a formação de um saldo acumulado 
no futuro.
Vamos iniciar nosso estudo pelas séries uniformes: as Diferidas e as Intermediárias.
Séries Uniformes Diferidas
São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são efetuados no fim de cada inter-
valo de tempo após um período de ausência de pagamentos, denominado Carência ou 
Diferimento, cuja representação gráfica é a seguinte:
“FLUXO DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS DIFERIDOS”
0 1 2 ... ...m-1 m+1
T1 T2 T3 Tm+n
m+2 m+3 m+nm
A dívida é contraída na data zero, no entanto só teremos a série iniciada no “m+1” 
período, ou seja, o primeiro pagamento ocorrerá um período após a carência vencer. No 
entanto, o dinheiro não fica parado no tempo. Sendo assim, a dívida (PV) será corrigida 
nesse período de carência (o valor presente será representado por um novo valor futuro no 
m-ésimo período). A dívida corrigida (FV=Montante na data m) será o valor atual (PV) da 
série dos n pagamentos. O valor presente da série corresponde ao valor da dívida corrigida 
nessa carência. Vemos que no período de carência não há pagamentos, mas a dívida é 
corrigida (juros pela falta de pagamentos).
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias 181
LINHA TEMPORAL DA CORREÇÃO DA DÍVIDA NO PERÍODO DE CARÊNCIA “ ”
juros
PV
mPMT
FV=PVsérie
0
0
Fonte: próprio autor
Para calcular o valor da dívida corrigida, basta calcular o Montante (FV) de juros compos-
tos por esses “m” períodos, e esse resultado será o Valor Atual ou a Dívida Corrigida 
que será transformada em “n” pagamentos (PMT) postecipados à carência, por isso 
denominá-la Série Diferida Postecipada.
Como podemos deduzir a fórmula do Valor Atual Diferido Postecipado?
Valor Atual de uma Série Uniforme 
Diferida Postecipada
Uma dívida contraída na data zero (PV) será quitada na forma diferida de “m” períodos 
e formalizada por uma série de “n” pagamentos postecipados, como mostra a figura a 
seguir.
“LINHA TEMPORAL DA SÉRIE DIFERIDA DE “ ” PERÍODOS COM “ ” PAGAMENTOS”
PV FV
1
0
2 ... ...m+1
T1 T2 T3 Tm+n
m+2 m+3 m+n
m
 
Fonte: próprio autor
Inicialmente teremos que corrigir a dívida por m períodos, ou seja, corrigir a dívida nesse 
período de carência, calculando o respectivo Montante (FV).
A partir da fórmula do montante:
FV = PV .( 1 + i )m
Transformaremos esse resultado FV em PV, que será o valor atual da série Postecipada, 
já estudado anteriormente. Assim teremos:
(1 ) 1.
.(1 )
n
n
iPV PMT
i i
 + −
=  + 
m
Série Postecipada de n pagamentos
m n
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias182
Substituindo o PV dessa última fórmula pelo FV da fórmula do Montante (dívida corrigi-
da) teremos:
(1 ) 1.
.(1 )
(1 ) 1.(1 ) .
.(1 )
n
n
n
m
n
iFV PMT
i i
iPV i PMT
i i
 + −
=  + 
 + −
+ =  + 
Explicitando o Valor Atual da Série teremos:
(1 ) 1. : (1 )
.(1 )
(1 ) 1 1. .
.(1 ) (1 )
n
m
n
n
n m
iPV PMT i
i i
iPV PMT
i i i
  + −
= +   +  
  + −
=    + +  
Após aplicarmos os cálculos algébricos a fórmula se transformará em:
(1 ) 1.
.(1 ) .(1 )
n
n m
iPV PMT
i i i
 + −
=  + + 
E finalmente teremos:
(1 ) 1.
.(1 )
n
m n
iPV PMT
i i +
 + −
=  + 
Para o recurso tecnológico da HP-12C, utilizaremos com os comandos (END) 
relativos à série postecipada.
Vamos praticar um pouco com alguns exemplos.
Exemplo 1
Maria ao adquirir um imóvel numa construtora tomou conhecimento que:
• Valor à vista: R$250.000,00;
• Financiamento: 
• 35% do valor pago como entrada;
• O restante financiado em 5 anos, com parcelas mensais;
• Taxa do financiamento da construtora é de 0,8% a.m.;
• Início dos pagamentos após uma carência de 6 meses do 
ato da compra.
Determine o valor de cada prestação mensal.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias 183
Resolução:
DADOS VALORES
Valor do Imóvel R$ 250.000,00
Pagamento à vista (entrada): 35% do Valor R$ 87.500,00
Valor Financiado: 65% do valor= PVinicial R$ 162.500,00
Taxa Mensal de juros: i 0,8%am = 0,008 a.m
Quantidade de pagamentos mensais: n 5 anos = 60 meses
Carência dos pagamentos: m = n 6 meses
Valor Financiado Corrigido: FV= PVsérie ?
Valor das Prestações mensais: PMT ?
Regime de Capitalização: mensal
Resolução algébrica
Inicialmente vamos corrigir a dívida no período de carência (não houve nenhum pagamen-
to durante essa carência):
FV = PV.(1+i)m
Assim substituindo os dados teremos:
FV = 162500 .( 1+ 0,008)6
FV = 162500 . (1,008)6
FV = 162500 .(1,048970302)
FV = 170.457,6741
Este é o valor da dívida após 6 meses (dívida corrigida), e que se transforma no Valor 
Atual (PV ) da série dos pagamentos mensais postecipados.
Assim substituindo na fórmula da Série Postecipada, teremos:
60
60
60
60
(1 ) 1.
.(1 )
(1 0,008) 1170.457,6741 .
0,008.(1 0,008)
(1,008) 1170.457,6741 .
0,008.(1,008)
1,612990935 1170.457,6741 .
0,008.(1,612990935)
170.457,6741
n
n
iPV PMT
i i
PMT
PMT
PMT
P
 + −
=  + 
 + −
=  + 
 −
=  
 
 −
=  
 
=
0,612990935.
0,012903927
170.457,6741
47,50421420
3.588,264262
3.588,26
MT
PMT
PMT
PMT
 
 
 
=
=
=
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias184
Outra resolução algébrica é partindo do valor financiado não corrigido para a fórmula do 
Valor Atual Diferido:
(1 ) 1.
.(1 )
n
m n
iPV PMT
i i +
 + −
=  + 
Assim substituindo os dados teremos:
60
6 60
60
66
(1 0,008) 1162500 .
0,008.(1 )
(1,008) 1162500 .
0,008.(1,008)
1,612990935 1162500 .
0,008.(1,691979587)
0,612990935162500 .
0,0013535837
162500 .45,28651967
1
PMT
i
PMT
PMT
PMT
PMT
+
 + −
=  + 
 −
=  
 
 −
=  
 
 
=  
 
=
62500
45,28651967
3.588,264260
3.588,26
PMT
PMT
PMT
=
=
=
Agora vamos resolver esse mesmo exemplo utilizando a HP-12C. Você verá que esse 
método consistirá numa sucessão de cálculos.
Inicialmente calcularemos o valor da entrada relativo a 35%. Em seguida, verificaremos 
quanto faltou para quitar a dívida que será o valor financiado, ou seja, 65%. Esse valor 
corresponde ao PV quando corrigido torna-se o FV ao final da carência de 6 meses, e 
consequentemente será o valor atual (FV=PVsérie) da série de 60 pagamentos mensais. 
Então vamos ao cálculo?
Veja o quadro a seguir com os respectivos comandos.
 
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias 185
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
 0,000000000
250.000,000 250.000,0000
35 % 87.500,00000
162.500,0000
 162.500,0000
0,8 0,800000000
6 6,000000000
0 0,000000000
170.457,6740
 -170.457,6740
0 0,000000000
60 60,00000000
 3.588,264261
 3.588,26
ATENÇÃO
Você lembrou que a cada cálculo um dos comandos monetários será anulado? No primeiro 
momento foram as PMT e no segundo cálculo foi o FV.
Portanto a aquisiçãodesse imóvel foi constituída de uma entrada de R$82.500,00 e o 
restante em 60 prestações mensais iguais de R$3.588,26 pagas mensalmente após seis 
meses do ato da compra.
Vamos estudar mais um exemplo.
Exemplo 2
Ao adquirir um terreno no valor de R$ 60.000,00, 
Marcos propôs pagá-lo em 3 anos, com parcelas mensais 
e iguais, segundo a taxa de juros efetivos de 18,16% ao 
ano. No entanto, por não possuir nenhuma posse no ato 
da compra, combinou fazer esses pagamentos mensais com 
a primeira parcela vencendo ao final de 13 meses. Determine 
o valor de cada parcela mensal, sabendo-se que o credor utilizou 
cálculos da série diferida postecipada.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias186
Veja a resolução algébrica:
ATENÇÃO
Como a primeira prestação acontece no 13º mês, a carência termina no período anterior, ou 
seja, 1 ano=12 meses.
DADOS VALORES
Valor do Imóvel: valor financiado: PV R$ 60.000,00
Taxa Efetiva Mensal de juros: i 18,16%aa = 1,4%am = 0,014am
Quantidade pagamentos mensais: n 3 anos = 36 meses
Vencimento da 1ª prestação (PMT1) 13 meses
Carência dos pagamentos: m = n 1 ano =12 meses
Valor Financiado Corrigido: FV= PVsérie ?
Valor das Prestações mensais: PMT ?
Regime de Capitalização: mensal
Vamos aplicar a fórmula da série Diferida Postecipada que nos dá o valor de cada parcela PMT.
(1 ) 1.
.(1 )
n
m n
iPV PMT
i i +
 + −
=  + 
Assim substituindo os dados teremos:
36
12 36
36
48
(1,014) 160000 .
0,014.(1,014)
(1,014) 160000 .
0,014.(1,014)
1,649553402 160000 .
0,014.(1,949044881)
0,64955340260000 .
0,027286628
60000 .(23,80482462)
6000
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
+
 −
=  
 
 −
=  
 
 −
=  
 
 
=  
 
=
0
23,80482462
2.520,497460
2.520,50
PMT
PMT
PMT
=
=
=
Agora vamos resolver esse mesmo exemplo na HP-12C pela série Postecipada.
Inicialmente vamos corrigir a dívida contraída PV no período da carência, 1 ano, e esse 
valor corrigido FV será o Valor Atual PV da série de 36 pagamentos mensais.
Então vamos lá!
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias 187
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 0,000000000
 0,000000000
 -60.000,0000
1,4 1,400000000
12 12,00000000
0 0,000000000
70.893,54774
 -70.893,54774
0 0,000000000
36 36,00000000
 2.520,497459
 2.520,50
Portanto a aquisição desse terreno se deu com 36 prestações mensais de R$ 2.520,50 
com um ano de carência para iniciar os pagamentos.
Agora vamos tratar das séries intermediárias. Veja a seguir.
Séries Intermediárias
Financiamentos comuns no mundo dos negócios, 
principalmente no que tange ao mercado imobiliário, 
podem exigir situações em que os pagamentos (ou 
recebimentos) dispostos ao longo de um fluxo de 
caixa, preveem prestações pré-estabelecidas e 
pagamentos intermediários ou adicionais.
Esses tipos de financiamentos são 
compostos por séries denominadas 
Intermediárias.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias188
TOME NOTA
É comum no mercado Imobiliário certas práticas adotadas nos financiamentos, como:
• Facilitar o pagamento da entrada do imóvel, onde as construtoras estão dividindo esse 
valor em parcelas intermediárias até a entrega das chaves ou a liberação do habite-se. 
• Financiar todo ou parte do valor do imóvel em dois ou mais tipos de séries: intermedi-
árias.
• Financiar o imóvel em obra ou pronto direto com a construtora ou com a financeira/
banco, e nesse caso aparecem as parcelas intermediárias. 
Vamos estudar um pouco a respeito.
CÁLCULO DO VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE 
INTERMEDIÁRIA OU PARCELAS ADICIONAIS
O valor atual desse tipo de série é determinado pelos tipos de séries que formalizam o finan-
ciamento, e conforme estudo realizado anteriormente, cada um tem a sua especificidade.
Uma dívida PV foi contraída com quitação em n pagamentos iguais e consecutivos, além 
desses, contarão também com k pagamentos iguais intermediários periódicos distintos da 
série anterior. Assim, teremos a dívida composta pela soma de duas séries: uma formada 
pelos n pagamentos postecipados e a outra pela descapitalização de cada uma das k 
parcelas, a saber:
1
1
1 2 3
(1 ) 1.
.(1 ) (1 )
(1 ) 1. .(1 )
.(1 )
(1 ) 1. ...
.(1 )
n
k
n n
n
k n
n
n
kn
i TPV PMT
i i i
iPV PMT T i
i i
iPV PMT A A A A
i i
−
 + −
= + + + 
 + −  = + +   + 
 + −
= + + + + + + 
∑
∑
Onde “PMT” é o valor de cada parcela postecipada e “T ” é o valor de cada parcela 
intermediária.
Veja o exemplo a seguir:
Exemplo 3
Um terreno é vendido em 12 prestações mensais iguais postecipadas no valor de 
R$5.000,00 cada, e mais duas prestações adicionais vencíveis em 6 e 12 meses após a 
compra, no valor de R$12.000,00 cada. Qual o preço à vista desse terreno, se a taxa de 
juros do financiamento é de 2,1% a.m?
189Séries Uniformes de Capitais Diferidos: Séries Diferidas e Séries Intermediárias
DADOS VALORES
Valor do Imóvel: valor financiado: PV ?
Taxa Mensal de juros: i 2,1%am = 0,021am 
Quantidade pagamentos mensais: n 12 mensais
Valor das Prestações mensais: PMT R$ 5.000,00
Regime de capitalização da série: mensal
Valor das Parcelas Intermediárias: T R$ 12.000,00
Quantidade de pagamentos Intermed.: K 2 semestrais: 6 e 12 meses
Taxa Semestral de juros: i 2,1% a.m=13,28%a.s
Regime de capitalização da série: semestral
Resolução:
1 2
1
1 2
12
6 12
12
12
(1 ) 1. .(1 )
.(1 )
(1 ) 1. .(1 ) .(1 )
.(1 )
(1,021) 15000. 12000.(1,021) 12000.(1,021)
1,021.(1,021)
(1,021) 15000.
1,021.(1,
n
k n
n
n
n n
n
iPV PMT T i
i i
iPV PMT T i T i
i i
PV
PV
−
− −
− −
 + −  = + +   + 
 + −
= + + + + + 
 −
= + + 
 
−
=
∑
12
12
12
12000.(0,882765898) 12000.(0,779275630)
021)
(1,021) 15000. 10.593,19077 9.351,307564
1,021.(1,021)
52.533,42135 10.593,19077 9.351,307564
72.497,91968
72.497,92
PV
PV
PV
PV
 
+ + 
 
 −
= + + 
 
= + +
=
=
Portanto o valor à vista desse terreno é de R$ 72.497,92.
E como será o procedimento na calculadora HP-12C?
Vamos transformar esse financiamento em duas séries distintas, a saber:
1ª série: Mensal
PMT = 5.000,00
n = 12 mensais
i = 2,1% a.m.
PVmensal = ?
2ª série: Semestral
PMT = 12.000,00
n = 2 semestrais
i = 13,28% a.s.
PVsemestral = ?
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias190
O Valor total do imóvel (preço à vista) é a soma dos PV das duas séries:
PVtotal = PVmensal + PVsemestral
Você está pronto? Vamos calcular.
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 0,000000000
 0,000000000
 -5.000,00000
2,1 2,100000000
12 12,00000000
0 0,000000000
52.553,42141
 52.553,42141
12.000,00 -12.000,00000
13,28 13,28000000
2 2,000000000
19.944,58010
 72.498,00151
 72.498,00
TOME NOTA
Por questões tecnológicas de arredondamentos dos cálculos na HP-12C o valor foi diferen-
ciado em R$ 0,08 (desconsiderável).
Veja outro exemplo.
Exemplo 4
Um apartamento cujo preço à vista é R$ 520.000,00 está à venda nas seguintes 
condições: 
• R$ 180.000,00 de sinal;
• 24 parcelas mensais e consecutivas de R$ 3.500,00 sendo 
que a primeira ocorrerá 30 dias após o sinal; 
• O restante em 2 parcelas anuais, iguais e conse-
cutivas.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias 191
Sabendo-se que a taxa efetiva de juros empregada nesse financiamento é de 30% ao ano, 
determine o valor de cada parcela semestral.
DADOS VALORES
Valor do Imóvel a vista 420.000,00
Valor do sinal (entrada) 180.000,00
Valor a ser financiado em duas séries 240.000,00
Taxa Efetiva Anual de juros: i 30%aa = 0,30 a.a 
Quantidade pagamentos Intermediários 
anuais: n 2 anuais
Valor das Intermediárias Anuais: T ??
Taxa Efetiva Mensal de juros: i 30%a.a =2,21%a.m. = 0,0221a.m
Quantidade pagamentos mensais: n 24 mensais
Valor das Prestações mensais: PMT 3.500,00
Valor Atual da Série Mensal: PV ?
Verificamos que esse financiamento é composto por duasséries: a mensal postecipada e 
a anual também postecipada.
AFinanciado = Amensal + Aanual
Inicialmente vamos determinar o valor atual da série mensal e subtrair do valor financia-
do para que possamos determinar o valor atual que sobrou para a série de pagamentos 
anuais.
Cálculo do Valor Atual mensal:
24
24
(1 ) 1.
.(1 )
(1,0221) 13500.
0,0221.(1,0221)
0,6898233973500.
0,037345097
3500.18,47159202
64.650,57
n
n
iPV PMT
i i
PV
PV
PV
PV
 + −
=  + 
 −
=  
 
 
=  
 
=
=
E com isso podemos determinar o valor financiado (PV) em parcela anuais:
AFinanciado - Amensal = Aanual
24 3.500 2 T
2 T
2 T
2 T
240.000,00 A A
240.000,00 64.650,57
240.000,00 64.650,57
175.349,43
A
A
A
× ×
×
×
×
= +
= +
− =
=
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias192
Agora com esse resultado do valor atual da série anual iremos determinar o valor de cada parcela, a saber:
2
2
(1 ) 1.
.(1 )
(1,30) 1175.349,43 .
0,30.(1,30)
0,690000000175.349,43 .
0,507000000
175.349,43 .1,360946746
175.349,43
1,360946746
128.843,71
n
n
iPV PMT
i i
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
 + −
=  + 
 −
=  
 
 
=  
 
=
=
=
Portanto além das parcelas mensais, esse financiamento conta com duas parcelas anuais 
e iguais de R$ 128.843,71 cada.
Mas pela praticidade vamos resolvê-lo pela HP-12C.
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 0,000000000
 0,000000000
420.000,00 420.000,000
180.000,00 240.000,000
240.000,000
3.500,00 3.500,00000
2,21 2,210000000
24 24,00000000
0 0,000000000
64.650,57204
175.349,4280
 -175.349,4280
30 30,00000000
2 2,000000000
 128.843,7101
 128.843,71
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias 193
O que já confirma o resultado encontrado na resolução algébrica.
MONTANTE DE UMA SÉRIE 
INTERMEDIÁRIA: M = FV
O Montante ou Valor futuro de uma série intermediária é constituído para uma previsão 
realizada por séries de pagamentos uniformes com periodicidades distintas. Para esse 
cálculo, basta determinar cada um dos montantes das séries e adicioná-los.
MFinal= M(1ª série) + M(2ª série) + ... + M(k-ésima série)
Vamos praticar um pouco com alguns exemplos.
Exemplo 5
Para constituir um saldo ao final de 2 anos, Marcos faz uma poupança com 
depósitos programados de R$1.100,00 no início (série antecipada) de cada 
mês, e simultaneamente faz também depósitos ao final (série postecipada) 
de cada semestre no valor de R$ 12.000,00 cada, durante todo o período. 
Determine esse saldo final, sabendo-se que a taxa efetiva de juros é de 
0,61% ao mês.
DADOS VALORES
Série Mensal Antecipada: 
Taxa Mensal de juros: i 0,61%a.m = 0,0061am
Valor de cada depósito mensal: PMT 1.100,00
Quantidade de depósitos mensais: n 2 anos = 24 mensais
Montante da série Mensal ?
Série Semestral Postecipada: 
Taxa Efetiva semestral de juros: i 0,61%a.m ≡ 3,72%a.s = 0,0372a.s
Valor de cada depósito semestral: PMT 12.000,00
Quantidade de depósitos semestrais: n 2 anos = 4 semestrais
Montante da série semestral ?
Valor Futuro ou Montante: 
FVtotal = FVmensal + FVsemestral
?
Resolução Algébrica
Inicialmente vamos calcular o Montante Antecipado da série Mensal:
1(1 ) (1 ).
ni iM T
i
+ + − +
=  
 
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias194
Substituindo os dados, temos:
[ ]
24 1
25
(1 0,0061) (1 0,0061)1100.
0,0061
(1,0061) (1,0061)1100.
0,0061
1,164203029 1,00611100.
0,0061
0,1581030291100.
0,0061
1100. 25,91852934
mensal
mensal
mensal
mensal
mensal
me
M
M
M
M
M
M
+ + − +
=  
 
 −
=  
 
− 
=  
 
 
=  
 
=
28.510,38nsal =
Agora vamos calcular o Montante da série semestral.
ATENÇÃO
Lembre-se de transformar a taxa efetiva mensal em efetiva semestral: 0,61%am ≡ 3,72%a.s.
(1 ) 1.
n
semestral
iM T
i
 + −
=  
 
Substituindo os dados, temos:
[ ]
4(1 0,0372) 112000.
0,0372
1,157310870 112000.
0,0372
0,15731087012000.
0,0372
12000. 4,228786828
50.745,44
semestral
semestral
semestral
semestral
semestral
M
M
M
M
M
 + −
=  
 
− 
=  
 
 
=  
 
=
=
E finalmente podemos obter o Montante ao final de dois anos gerado pelas duas séries:
MFinal = Mmensal + Msemestral
28.510,38 50.745,44
79.255,82
final
final
M
M
= +
=
Assim ao final de 2 anos o saldo da poupança será de R$ 79.255,82.
Vamos verificar como ficará a resolução da HP-12C?
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias 195
Resolução Tecnológica
A resolução tecnológica é bem mais simples, bastando para isso cancelar o comando 
monetário não utilizado, que nesse caso é o PV, e o comando de taxa é na forma cente-
simal, lembrando-se da classificação de cada uma das séries, depois é só adicioná-las.
Assim a Série Mensal é Antecipada ( ) e a Série Semestral é Postecipada ( ).
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
 0,000000000
 BEGIN 0,000000000
1.100,00 –1.100,000000 
0 0,000000000
24 24,00000000
0,61 0,610000000
28.510,38233
28.510,38233
 0,000000000
12.000,00 – 12.000,00000
4 4,000000000
3,72 3,720000000
50.745,44207
 79.255,82440
 79.255,82
Viu! Bem mais simples.
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias196
197
Síntese
Nesse módulo estudou-se a aplicabilidade no regime composto das nossas transações 
comerciais e financeiras realizadas com financiamentos que podem ter parcelas interme-
diárias ou carência para se iniciar os pagamentos. Não importando o objetivo da série, 
vimos que em função da complexidade de trabalhar o regime composto na forma algébri-
ca, a melhor maneira é utilizar a HP-12C, cujo procedimento é muito praticado devido a 
sua precisão, operacionalidade e agilidade. 
Vimos que cada tipo de financiamento tem a sua especificidade, portanto ao avaliarmos 
a forma de financiar um bem, devemos avaliar aquele que menos onere juros, ou seja, 
aquele que “menos mecha no seu bolso”.
Esse estudo é importante para aplicar no seu cotidiano quando quiser se programar para 
fazer depósitos para constituir uma previsão futura ou, para contrair uma dívida pela 
aquisição de bem ou serviço. Escolha os investimentos que lhe proporcione os melhores 
rendimentos, e se for financiar, escolha aquele que você pague menos juros.
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações.10ª edição, São Paulo, Atlas, 2008.
BRUNI, Adriano Leal et FAMA, Rubens. Matemática Financeira com HP-12C e Excel. São Paulo, Atlas, 2002.
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP12C, Microsoft Excel. 
2ª edição rev. São Paulo: Cengage Learnig, 2008.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Financeira Fácil. 14ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
FARIA, ROGÉRIO GOMES DE. Matemática Comercial e Financeira com Exercícios e Cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo: Ática, 2007.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP-12C e Excel: Uma abordagem Descomplicada. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira.6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2001.
MULLER, Aderbal Nicolas, et ANTONIK, Luís Roberto. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2012.
NASCIMENTO, Marco Aurélio. Introdução à Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2011.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 9ª ed., São Paulo: Elsevier, 2011.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da HP-12C.2ª ed. Edição Compacta. São Paulo: 
Atlas, 2009.
PUBLICAÇAÕES ON-LINE
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: 
IBPEX, 2010.
Endereço Eletrônico:
h t t p : / / f umec. bv i r t u a l . c om .b r / ed i t i o n s /2267 -ma t ema t i c a - f i n ance i ra - ap l i c ada -3 - ed. dp? 
search_id=5145229&search_results_type=EditionSAMANÉZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Prentice Hall,2010. 
Endereço Eletrônico:
http://fumec.bvirtual.com.br/editions/2541-matematicafinanceira.dp?search_id=4970723&search 
_results_type=Edition
Matemática 
Financeira
SISTEMAS 
DE AMORTIZAÇÕES 
DE EMPRÉSTIMOS
OS TIPOS DE SISTEMAS DE 
AMORTIZAÇÕES BRASILEIROS
O CÁLCULO DAS PRESTAÇÕES, 
AS COTAS DE AMORTIZAÇÕES, 
OS JUROS E O SALDO DEVEDOR 
DOS SISTEMAS DE 
AMORTIZAÇÕES SAF E SAC
AS PLANILHAS DE FINANCIAMENTO 
PELOS SISTEMAS SAF E SAC
E MUITO MAIS...
APRESENTAÇÃO
C aro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!
 
Nesse módulo estudaremos como os empréstimos são amortizados periodicamente 
quando são pagos na forma de parcelas. Esse assunto é de suma importância para o 
nosso conhecimento, pois normalmente precisamos em nosso dia a dia. 
A forma de aquisição de um determinado bem ou serviço, poderá ser à vista ou a 
prazo. Dentre essas opções de pagamentos, temos transações como os financiamentos, 
consórcios, leasing, dentre outros. Para tal realização a dívida é formalizada em prestações, 
e estas serão amortizadas a cada período, sendo que ao final da transação ela se extinguirá.
Enfatizaremos no nosso estudo os tipos de amortização de financiamentos existentes no 
Brasil, em forma de séries uniformes de pagamentos constantes (Sistema Francês) ou 
em forma de cotas constantes e prestações variadas (Sistema SAC). Também fará parte 
desse estudo construir as planilhas dos compromissos realizados.
Estaremos à disposição para maiores esclarecimentos a fim de que você tenha um 
excelente aprendizado!
Sucesso sempre!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você deverá ser capaz de:
• Definir as Amortizações de empréstimos.
• Distinguir os tipos de sistemas de amortizações brasileiros.
• Calcular as prestações, as cotas de amortização, os juros e o saldo devedor dos sistemas de 
amortizações brasileiros: SAF e SAC.
• Elaborar as Planilhas de Financiamento pelos sistemas SAF e SAC.
• Manusear a HP-12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas 
operações de amortização de financiamentos para o sistema Price: SAF.
• Aplicar no cotidiano os cálculos para amortizar a dívida em pagamentos periódicos nas 
transações de crediário.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Pollyanna Barbieri Pazzini
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES 
DE EMPRÉSTIMOS
Introdução
Você sabe a origem da palavra amortização? 
Amortização vem de a+morte+izar, ou seja, fazer "morrer" determinada obrigação, ou 
dívida. Segundo o Dicionário Aurélio, seria "extinguir a dívida aos poucos ou em presta-
ções", ou, "abater dívidas, efetuando o pagamento correspondente".
A carência de recursos para suprimir nossas necessidades consumistas ou até mesmo 
emergenciais, nos obriga a contrairmos dívidas em formas de empréstimos ou financia-
mentos que são pagas com juros. As formas de aquisição desses recursos variam de 
acordo com contratos estabelecidos entre as partes, devedor e credor. São essas formas 
de pagamentos dos empréstimos é que definimos como Sistemas de Amortização. 
Quando pagamos determinada dívida, estamos saldando-a, quitando-a, ou amortizando-
-a (matando-a). Assim amortizar é um processo de extinção da dívida contraída por um 
financiamento ou empréstimo por meio de pagamentos periódicos, que são realizados em 
função de um planejamento. As opções de quitação da dívida, dentre outras, podem ser 
nas seguintes formas:
• Pagamento à vista.
• Pagamento ao final do período.
• Pagamento em parcelas periódicas constantes ou não.
• Pagamentos com ou sem carência.
• Pagamento com ou sem entrada e o restante financiado.
A escolha da forma de quitação da dívida, que é uma relação entre o credor e devedor, 
consiste em operações envolvendo reembolsos e desembolsos periódicos do principal e 
dos juros. 
O processo de reembolso de um empréstimo consiste nos pagamentos das prestações 
em épocas determinadas. Estas prestações consistem em duas parcelas: as amortizações 
(devolução do principal emprestado), e os juros que corresponde ao saldo do empréstimo 
não reembolsado.
O sistema de amortização pode ou não ter carência. O termo carência designa o período 
que vai desde a data de concessão do empréstimo até a data que será paga a primeira 
prestação. Em geral, este período é negociado entre o credor e o mutuário, ou devedor. 
Você sabe como um sistema de amortização difere de outro?
A diferença entre os diversos sistemas de amortização está na sistemática do cálculo dos 
juros e da amortização do principal, onde qualquer sistema a prestação é composta de 
juros mais a cota de amortização. Portanto prestação corresponde à soma do reembolso 
do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor. O reembolso de ambos, mas os 
Juros incidem sempre sobre o saldo devedor.
Sistemas de Amortizações de Empréstimos 201
Usaremos como nomenclatura dos termos:
• Cota de Amortização: Q
• Prestação: PMT ou T
• Juros: J
• Saldo devedor: S
• Quantidade de pagamentos: n
• Taxa de juros: i
• Período em referência: k
E fica definido que: 
• Prestação: É a soma dos Juros com a Cota de Amortização.
Prestação = Juros + Amortização
PMT = J + Q
• Juros: compensação financeira beneficiando o credor.
O cálculo dos Juros é dado pelo produto entre o Saldo Devedor do período anterior 
e a taxa
J = S . i
• Saldo devedor: parte da dívida que não foi quitada. 
Saldo devedor atual é o Saldo Devedor anterior subtraído da cota amortizada
Sk = S(k-1) – Qk
Existem diversos métodos de quitação de dívidas, ou seja, de sistemas de amortização, 
mas independente do modelo o objetivo é sempre o mesmo: o pagamento do principal 
(empréstimo ou financiamento).
Você sabe como funciona as Amortizações de Empréstimos no Brasil?
No Brasil são dois sistemas mais usados no mercado e no sistema bancário: 
• Sistema de Amortização Constante – SAC: as amortizações são uniformes e os 
pagamentos de juros diminuem com o tempo, portanto as prestações variam, são 
decrescentes. 
Ex.: Sistema Financeiro de Habitação
• No Sistema de Amortização Francês- SAF: também denominado Sistema Francês 
ou Tabela Price. As prestações são constantes (series uniformes postecipadas) e, 
portanto são as cotas que variam. 
Ex.: CDC (Crédito Direto ao Consumidor), Vendas a prazo divulgadas pelas grandes 
redes de varejo.
Feita a escolha do sistema envolvendo parcelamentos, é interessante, tanto para o devedor 
como para o credor, acompanhar a situação da amortização a cada período. Distinguindo 
em cada parcela, os juros contidos, a cota amortizada, e definindo o saldo devedor de 
cada período. O melhor procedimento para esse acompanhamento é a tabela contendo 
cada uma dessas rubricas. Assim vamos aprender um pouco sobre cada sistema e elabo-
rar a planilha de amortização.
Sistemas de Amortizações de Empréstimos202
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO 
CONSTANTE – SAC
Como o próprio nome sugere, é o sistema que consiste na amortização constante do 
principal, denominado cota de amortização (Q ) durante todo o prazo de financiamento. 
O valor das cotas de amortização (Q ) é igual e determinado pelo quociente encontrado 
entre o valor da dívida e o número de prestações a serem pagas.
cota de amortização=
dívida
número de parcelas
PVQ
n
=
Quanto aos juros (J), esses incidem sobre o saldo devedor (S ) do período anterior, cujo 
valor decresce após o pagamento de cada amortização, e por sua vez assumem valores 
decrescentes.
Juros do período = Saldo Devedor do período anterior multiplicado pela Taxa
Jk = S(k-1) . i 
O valor pago pelo devedor a cada período,ou seja, a prestação é determinada em função 
da soma da cota e dos juros correspondentes ao período em questão.
Prestação = Cota de Amortização adicionada aos Juros
PMTk = Qk + Jk
IMPORTANTE
As prestações são decrescentes porque os juros diminuem a cada período.
E assim o Saldo Devedor do período em questão (k) é dado pela diferença entre o Saldo 
Devedor do período anterior (k-1) e a cota paga do período em questão (k).
Saldo Devedor do período=Saldo Devedor do período anterior subtraído da cota do 
respectivo período
Sk = S(K-1) – Qk
E aí, viu como funciona?
Vamos aplicar esse conhecimento no exemplo a seguir:
Um empréstimo no valor de R$ 20.000,00 será quitado pelo 
sistema de amortização constantes (SAC) em 6 parcelas mensais 
segundo a taxa de juros de 1%a.m. Construa a planilha de amortiza-
ção SAC desse financiamento.
Sistemas de Amortizações de Empréstimos 203
Solução Algébrica:
Vejamos os dados fornecidos:
Valor do empréstimo: A = PV = 20.000,00
Taxa de juros: i = 1% a.m.= 0,01 a.m.
Quantidade parcelas: n = 6 mensais 
Valor das Cotas: Q= ?
Resolução:
Vamos determinar o valor das cotas (Constantes): Q
20.000,00
6
3.333,33
PVQ
n
Q
Q
=
=
=
Temos: Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = Q5 = Q6 = 3.333,33
No primeiro mês temos:
Os juros do primeiro período:
J1 = Sd0 . i
J1 = 20000 x 0,01
J1 = 200,00
 
O valor da primeira prestação:
PMT1 = Q1 + J1
PMT1 = 3.333,33 + 200,00
PMT1 = 3.533,33 
 
E o saldo devedor é:
S1 = S0 – Q1
S1 = 20.000,00 – 3.333,33
S1 = 16.666,67
No segundo mês temos:
O valor dos juros:
J2 = Sd1 . i
J2 = 16.666,67 x 0,01
J2 = 166,67
Sistemas de Amortizações de Empréstimos204
O valor da segunda prestação:
PMT2 = Q2 + J2
PMT2 = 3.333,33 + 166,67
PMT2 = 3.500,00
 
E o saldo devedor é:
S2 = S1 – Q2
S2 = 16.666,67 – 3.333,34
S2 = 13.333,34
No terceiro mês temos:
O valor dos juros:
J3 = S2 . i
J3 = 13.333,34 x 0,01
J3 = 133,33
O valor da terceira prestação:
PMT3 = Q3 + J3
PMT3 = 3.333,33 + 133,33
PMT3 = 3.466,66
E o saldo devedor é:
S3 = S2 – Q3
S3 = 13.333,34 – 3.333,33
S3 = 10.000,01
No quarto mês temos: 
O valor dos juros:
J4 = S3 . i
J4 = 10.000 x 0,01
J4 = 100,00
O valor da quarta prestação:
PMT4 = Q4 + J4
PMT4 = 3.333,33 + 100,00
PMT4 = 3.433,33
E o saldo devedor é:
S4 = S3 – Q4
S4 = 10.000,01 – 3.333,33
S4 = 6.666,68
Sistemas de Amortizações de Empréstimos 205
No quinto mês temos: 
O valor dos juros:
J5 = S4 . i
J5 = 6.666,68 x 0,01
J5 = 66,67
 
O valor da quinta prestação:
PMT5 = Q5 + J5
PMT5 = 3.333,33 + 66,67
PMT5 = 3.400,00
 
E o saldo devedor é:
S5 = S4 – Q5
S5 = 6.666,68 – 3.333,33
S5 = 3.333,35
No sexto mês temos: 
O valor dos juros:
S6 = S5 . i
S6 = 3.333 x 0,01
S6 = 33,33
O valor da sexta prestação:
PMT6 = Q6 + J6
PMT6 = 3.333,33 + 33,33
PMT6 = 3.366,66
E o saldo devedor é:
S6 = S5 – Q6
S6 = 3.333,35 – 3.333,33
S6 = 0,02
Sistemas de Amortizações de Empréstimos206
Vamos organizar todos esses valores nas suas respectivas rubricas na tabela: 
SAC
PERÍODO (n) JUROS (J) AMORTIZAÇÃO (Q) PRESTAÇÃO (PMT)
SALDO 
DEVEDOR (S)
0 --- --- --- R$20.000,00
1 R$200,00 R$3.333,33 R$3.533,33 R$16.666,67
2 R$166,67 R$3.333,33 R$3.500,00 R$13.333,34
3 R$133,33 R$3.333,33 R$3.466,67 R$10.000,00
4 R$100,00 R$3.333,33 R$3.433,33 R$6.666,68
5 R$66,67 R$3.333,33 R$3.400,00 R$3.333,35
6 R$33,33 R$3.333,33 R$3.366,67 R$0,02
No SAC verificamos um comportamento constante no valor das amortizações. As pres-
tações, assim como os juros, são decrescentes. O sistema SAC não necessita do uso 
de calculadoras financeiras, basta dividirmos o saldo devedor inicial pelo número de 
prestações. 
Viu como é fácil aplicarmos esse assunto?
Agora faça você:
Um financiamento no valor de R$ 120.000,00 foi amortizado em 5 parcelas mensais 
segundo a taxa de 8% a.m.. Elabore a planilha de amortização pelo SAC.
Resposta:
Planilha de Financiamento - SAC
n AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO
SALDO 
DEVEDOR
0 - - - - - - - - - - - - - - - 120.000,00
1 24.000,00 9.600,00 33.600,00 96.000,00
2 24.000,00 7.680,00 31.680,00 72.000,00
3 24.000,00 5.760,00 29.760,00 48.000,00
4 24.000,00 3.840,00 27.840,00 24.000,00
5 24.000,00 1.920,00 25.920,00 0,00
TOTAL 120.000,00 28.800,00
Sistema de Amortização Francês 
ou Sistema Price (SAF) 
Neste sistema, as prestações (PMT) são iguais e periódicas, a partir do instante em que 
começam a ser pagas. Se considerarmos um principal a ser pago em n parcelas iguais, 
periódicas e consecutivas ao final de cada período a partir do primeiro período, teremos 
uma série uniforme de PMT postecipadas. Normalmente este sistema é utilizado para 
financiamentos de carros, eletrodomésticos, empréstimos bancários de curto prazo, e 
outros. Portanto no sistema PRICE as prestações são constantes, e calculadas segundo 
a fórmula do Valor Atual da série uniforme de pagamentos: postecipados, já estudadas 
anteriormente. 
Sistemas de Amortizações de Empréstimos 207
(1 ) 1.
.(1 )
(1 ) 1
.
.(1 )
. .(1 ) .[(1 ) 1]
. .(1 )
[(1 ) 1]
.(1 )
.
(1 ) 1
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
iPV PMT
i i
i
PV PMT
i i
PV i i PMT i
PV i i
PMT
i
i i
PV PMT
i
 + −
=  + 
 + − =
 + 
 + = + − 
 +  =
+ −
  +   =
 + −   
Assim temos que:
.(1 ).
(1 ) 1
n
n
i iPMT PV
i
 +
=  + − 
Para o cálculo de juros (J  ) embutidos em cada período, a incidência será sobre o Saldo 
Devedor do período anterior: 
Jk= S(k-1) . i
Para deduzirmos a cota de amortização (Q ) da parcela do período em questão, basta 
nesse período subtrair da parcela os juros embutidos.
Qk= PMTk - Jk
E finalmente para determinar o Sado Devedor (S ) de cada período basta subtrair do Saldo 
Devedor do período anterior a cota do período em referência:
Sk = S(k-1) - Qk
Para melhor visualização, vamos mostrar o cálculo mês a mês e depois vamos construir a 
tabela contemplando todas essas rubricas (ou comandos).
Vejamos um exemplo:
Um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 será quitado pelo sistema de amortização 
francês (SAF ou Tabela Price) em 5 parcelas mensais segundo a taxa de juros de 2%a.m. 
Elaborar a planilha de amortização SAF desse financiamento.
Solução Algébrica:
Dados fornecidos:
Valor do empréstimo: A = PV = 10.000,00
Taxa de juros: i = 2% a.m.= 0,02 a.m.
Quantidade parcelas: n = 5 mensais
Série Postecipada: 
Valor das Prestações: PMT = ?
Sistemas de Amortizações de Empréstimos208
Resolução:
Vamos determinar o valor das prestações pela fórmula (Constantes): PMT
5
5
.(1 ).
(1 ) 1
0,02.(1,02)10.000,00.
(1,02) 1
0,02208161610.000,00.
0,104080803
10.000,00.0,212158395
2.121,58
n
n
i iPMT PV
i
PMT
PMT
PMT
PMT
 +
=  + − 
 
=  − 
 
=  
 
=
=
Temos: PMT1 = PMT2 = PMT3 = PMT4 = PMT5 = 2.121,58
No primeiro mês temos: 
Os juros do primeiro período:
J1 = S0 . i
J1 = 10.000 x 0,02
J1 = 200,00
 
O valor da primeira cota de amortização:
Q1 = PMT1 – J1
Q1 = 2.121,58 – 200,00
Q1 = 1.921,58
 
E o saldo devedor é:
S1 = S0 – Q1
S1 = 10.000,00 – 1.921,58
S1 = 8.078,42
 
No segundo mês temos: 
O valor dos juros:
J2 = S1 . i
J2 = 8.078,42 x 0,02
J2 = 161,57
O valor da segunda cota de amortização:
Q2 = PMT2 – J2
Q2 = 2.121,58 – 161,57
Q2 = 1.960,01
Sistemas de Amortizações de Empréstimos 209
E o saldo devedor é:
S2 = S1 – Q2
S2 = 8.078,42 – 1.960,01
S2 = 6.118,41
 
No terceiro mês temos:
O valor dos juros:
J3 = S2 . i
J3 = 6.118,41 x 0,02
J3 = 122,37
 
O valor da terceira cota de amortização:
Q3 = PMT3 – J3
Q3 = 2.121,58 – 122,37
Q3 = 1.999,21
 
E o saldo devedor é:
S3 = S2 – Q3
S3 = 6.118,41– 1.999,21
S3 = 4.119,20
 
No quarto mês temos:
O valor dos juros:
J4 = S3 . i
J4 = 4.119,20 x 0,02
J4 = 82,38
 
O valor da quarta cota de amortização:
Q4 = PMT4 – J4
Q4 = 2.121,58 – 82,38
PMT4 = 2.039,20
 
E o saldo devedor é:
S4 = S3 – Q4
S4 = 4.119,20 – 2.039,20
S4 = 2.080,00
Sistemas de Amortizações de Empréstimos210
No quinto mês temos:
O valor dos juros:
J5 = Sd4 . i
J5 = 2.080,00 x 0,02
J5 = 41,60
 
O valor da quinta cota de amortização:
Q5 = PMT5 – J5
Q5 = 2.121,58– 41,60
Q5 = 2.079,98
 
E o saldo devedor é:
Sd5 = Sd4 – Q5
Sd5 = 2.080,00– 2.079,98
Sd5 = 0,02 
Vamos organizar todos esses valores nas suas respectivas rubricas na tabela a seguir:
SISTEMA FRANCÊS (PRICE)
n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 - - - - - - - - - - - - - - - 10.000,00
1 2.121,58 200,00 1.921,58 8.078,42
2 2.121,58 161,57 1.960,01 6.118,41
3 2.121,58 122,37 1.999,21 4.119,20
4 2.121,58 82,38 2.039,20 2.080,00
5 2.121,58 41,60 2.079,98 0,02
10.000,00
No sistema SAF, percebemos que o valor amortizado é crescente ao longo do tempo, 
ao contrário dos juros, que decrescem proporcionalmente ao saldo devedor. A vantagem 
deste sistema, em termos de cálculos, é que que podemos resolver todas as rubricas com 
recursos tecnológicos, ou seja, com os comandos financeiros da calculadora HP-12C, 
como veremos a seguir.
Os procedimentos tecnológicos para a solução nessa calculadora são:
Primeiro devemos calcular o valor das prestações PMT postecipadas, assim:
 0 DÍVIDA Nº PAGAMENTOS TAXA 
E a partir daí, usaremos em sequência os seguintes comandos, período a período, até 
encerrar a dívida:
 valor dos juros embutidos na parcela do período
 valor da cota de amortização do período
 saldo devedor do período (atualizado)
Sistemas de Amortizações de Empréstimos 211
E o procedimento a ser realizado para cada período é seguir esses comandos na ordem 
até encerrar a dívida relativa ao último período.
SOLUÇÃO TECNOLÓGICA para o exemplo dado:
Dados fornecidos:
Dívida: PV = 10.000,00
Taxa: i = 2%am
Quantidade de pagamentos: n = 5 parcelas mensais
Valor das parcelas mensais: PMT = 
Resolução Tecnológica: HP-12C
Inicialmente temos que determinar o valor das PMT (postecipadas)
 0 10.000 5 2 2.121,58
Valor das parcelas: PMT = 2.121,58
Vamos calcular as outras rubricas, período a período.
No primeiro mês, teremos:
 200,00
 1.921,58
 – 8.078,42
No segundo mês, teremos:
 161,57
 1.960,02
 – 6.118,40
No terceiro mês, teremos:
 122,37
 1.999,22
 – 4.119,18
No quarto mês, teremos:
 82,38
 2.039,20
 – 2.079,98
No quinto mês, teremos:
 41,60
 2.079,98
 – 0,02
Sistemas de Amortizações de Empréstimos212
E agora é só disponibilizar esses valores nas suas respectivas rubricas.
SISTEMA FRANCÊS (PRICE)
n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 - - - - - - - - - - - - - - - 10.000,00
1 2.121,58 200,00 1.921,58 8.078,42
2 2.121,58 161,57 1.960,01 6.118,41
3 2.121,58 122,37 1.999,21 4.119,20
4 2.121,58 82,38 2.039,20 2.080,00
5 2.121,58 41,60 2.079,98 0,02
10.000,00
Viu como é simples utilizar os recursos tecnológicos (HP-12C) para esses cálculos?
Vejamos outro exemplo:
Uma empresa faz um financiamento no valor de R$100.000,00. A forma combinada entre 
as partes, empresa e o banco, é:
• O banco concede 3 anos de carência.
• A taxa de juros é de 10% ao ano.
• O Sistema de Amortização após a carência é SAF.
• O principal será amortizado em 4 parcelas anuais postecipadas.
Faça os cálculos de todas as rubricas e construa a planilha dessa amortização.
Resolução Tecnológica:
Dados fornecidos:
Empréstimo: PV = 100.000,00
Carência: m = 3 anos
Quantidade de pagamentos: 4 parcelas anuais
Taxa de juros: 10% a.a
Inicialmente vamos corrigir esse financiamento no período de carência, porque não houve 
pagamento, mas houve juros, portanto a dívida aumentou.
Período de carência: n = 3 anos
PV= 100.000,00
Tempo de carência: n = 3 anos
Taxa de juros: i = 10% a.a.
Pagamentos: PMT = 0
Dívida Corrigida: FV = ? 
Valor das parcelas: PMT = ?
Sistemas de Amortizações de Empréstimos 213
Podemos resolver esses cálculos como uma sequência de outros cálculos como veremos 
a seguir na tabela abaixo.
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA HP-12C
0 0,000000000
 0,000000000
 100.000,0000
10 10,00000000
3 3,000000000
133.100,0000
 -133.100,0000
0 0,0000000000
4 4,0000000000
41.989,16397
 13.310,00000
28.679,16397
 – 104.420,8360
 10.442,08360
31.547,08037
 – 72.873,75563
 7.287,375563
34.701,78841
 – 38.171,96722
 3.817,196722
 0,0000000000
Sistemas de Amortizações de Empréstimos214
Veja agora os valores colocados na Planilha do financiamento pelo sistema da Tabela 
Price:
n PMT JPMT ( ) Q ( ) Sd ( )
0 100.000,00
1 10.000,00 110.000,00
2 11.000,00 121.000,00
3 12.100,00 133.100,00
4 41.989,16 13.310,00 28.679,16 104420,84
5 41.989,16 10.442,08 31.547,08 72.873,76
4 41.989,16 7.287,38 34.701,79 38.171,97
5 41.989,16 3.817,20 38.171,97 0,00
Sistemas de Amortizações de Empréstimos 215
Síntese
Com esse estudo você pôde verificar como no atual cenário econômico, algumas situa-
ções envolvendo empréstimos ou financiamentos fazem parte do nosso cotidiano.
• É difícil encontrar alguém que não utiliza um financiamento para atender as suas 
necessidades, não é?
• Quem ultimamente não parcela seu imóvel ou nunca parcelou parte do valor de 
algum carro, não é mesmo? 
• Quem nunca financiou um eletrodoméstico? 
• Quem nunca fez compras no crediário ou no cartão de crédito?
Então, ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita por meio de presta-
ções periódicas acrescidas de juros. Assim estudamos que a Amortização traduz-se pela 
soma do reembolso do capital e do pagamento dos juros do saldo devedor. 
Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de 
juros, e na escolha do sistema de amortização da dívida. Mas não importa o sistema 
escolhido para amortizar a dívida, todos têm como objetivo pagar o principal, ou seja, o 
financiamento.
DICA 
Organize suas finanças, respeitando o seu dinheiro e planejando o futuro, simule situações 
antes de realizar financiamentos, e para isso o melhor procedimento é elaborar a planilha. A 
planilha é a forma mais simples e direta, para você, credor ou devedor, controlar e amortizar 
a situação da sua dívida, período a período.
Após o nosso estudo da amortização de empréstimos, qual a conclusão que você chegou 
sobre a vantagem em utilizar um sistema em detrimento do outro? Há alguma vantagem 
nessa escolha?
Se no sistema SAC, iniciamos pagando prestações maiores que as do Sistema Price, por 
sua vez elas diminuem com o tempo. O total de juros pagos, apesar de, no exemplo dado, 
ser maior no Price, é praticamente o mesmo que no SAC. Depende, portanto, tão-somente 
do planejamento financeiro de quem paga e de quem empresta, ou seja, do acordo entre 
as partes. Assim a relação contratual credor-devedor assenta-se na confiança do credor 
para com o devedor, e consequentemente a responsabilidade do devedor pela aquisição 
da dívida. O devedor, objetivando o reconhecimento da sua responsabilidade, mediante a 
promessa, firma com seu credor uma relação contratual; comprometendo-se, restituir-lhe 
qualquer eventual dano advindo de sua dívida. 
Após todo esse nosso estudo sobre finanças, lembre-se, no mercado tem quem ofereça 
proventos e tem aqueles que necessitam, mas para isso pagarão caro pelos mesmos. 
Basta ter disposição e crédito para tal realização.
Por isso não podemos desconhecer as regras do mercado financeiro, se não seremos 
“presas fáceis para financeiras, agiotas e banqueiros mal intencionados”, assim não há 
uma diferença significativa ao utilizar um dos os métodos de amortização em detrimento 
de outro.
Cuide bem da sua saúde financeira!
216
217
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª edição, São Paulo, Atlas, 2008.
BRUNI, Adriano Leal ET FAMA, Rubens. Matemática Financeira com HP-12C e Excel. São Paulo, Atlas, 2002.
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP12C, Microsoft Excel 
– 2ª edição rev. São Paulo: Cengage Learnig, 2008.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Financeira Fácil. 14ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
FARIA, ROGÉRIO GOMES DE. Matemática Comercial e Financeira com Exercícios e Cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo: Ática, 2007.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP-12C e Excel: Uma abordagemDescomplicada. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2001.
MULLER, Aderbal Nicolas, et ANTONIK, Luís Roberto. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2012.
NASCIMENTO, Marco Aurélio. Introdução à Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2011.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 9ª ed., São Paulo: Elsevier, 2011.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da HP-12C. 2ª ed. Edição Compacta. São Paulo: 
Atlas, 2009.
PUBLICAÇAÕES ON-LINE
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: 
IBPEX, 2010.
Endereço Eletrônico:
h t t p : / / f umec. bv i r t u a l . c om .b r / ed i t i o n s /2267 -ma t ema t i c a - f i n ance i ra - ap l i c ada -3 - ed. dp? 
search_id=5145229&search_results_type=Edition
SAMANÉZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
Endereço Eletrônico:
http://fumec.bvirtual.com.br/editions/2541-matematicafinanceira.dp?search_id=4970723&search 
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