Matemática Financeira Fumec

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Matemática 
Financeira
SUMÁRIO
Introdução - Porcentagens e Regrade Três ...5
Operações Comerciais 
Transações envolvendo Lucro ................. 23
Operações Comerciais 
Transações envolvendo Prejuízo ............... 45
Sistema de Capitalização Simples - 
Juros e Montante .................................. 61
Desconto Bancário Simples ..................... 77
Regime de Capitalização Composta: 
Juros e Montante .................................. 93
Taxas .................................................. 111
Desconto Composto ............................ 127
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Postecipadas ............................. 145
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Antecipadas .............................. 163
Séries Uniformes de Capitais Diferidos: 
Séries Diferidas e Séries Intermediárias .. 179
Sistemas de Amortizações 
de Empréstimos .................................. 199
Matemática 
Financeira
REITORIA
Reitor
Prof. Fernando de Melo Nogueira
Vice-Reitor e Pró-Reitor de Graduação
Prof. Guilherme Guazzi Rodrigues
Pró-Reitor de Planejamento e Administração
Prof. Márcio Dario da Silva
Pró-Reitora de Pós-Graduação, 
Pesquisa e Extensão
Profª. Drª. Maria Lectícia Firpe Penna
FACULDADE DE CIÊNCIAS 
EMPRESARIAIS (FACE)
Diretor-Geral
Prof. Marco Túlio de Freitas
Diretora de Ensino
Profª. Renata de Sousa da Silva Tolentino
FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS, 
SOCIAIS E DA SAÚDE (FCH)
Diretor-Geral
Prof. Antônio Marcos Nohmi
Diretor de Ensino
Prof. João Batista de Mendonça Filho
FACULDADE DE ENGENHARIA 
E ARQUITETURA (FEA)
Diretor-Geral
Prof. Eduardo Georges Mesquita
Diretora de Ensino
Profª. Maria Silvia Santos Fiuza
BELO HORIZONTE 
2017
A REGRA DE TRÊS SIMPLES 
UTILIZANDO PROPRIEDADES 
DAS PROPORÇÕES
PORCENTAGENS NAS TRANSAÇÕES USUAIS 
FUNDAMENTANDO COM CÁLCULOS 
ALGÉBRICOS E TECNOLÓGICOS
Matemática 
Financeira
INTRODUÇÃO - 
PORCENTAGENS E 
REGRA DE TRÊS
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!Iniciaremos hoje a disciplina Matemática Financeira com o intuito de deixá-lo 
informado sobre a aplicação da matemática em seu cotidiano. 
Nosso curso irá direcioná-lo a solucionar cálculos específicos do mercado financeiro, 
trabalhando com o instrumento facilitador que é a calculadora HP-12C. Se você não 
conhece ainda esta máquina, não se preocupe, pois estaremos aqui para ajudá-lo. E se 
você não possui esta calculadora, não tem problema, pois existem sites que disponibilizam 
emuladores da mesma, para que você possa instalar no seu PC e com isto acompanhar o 
desenvolvimento desta disciplina. 
Conto com você, com muita disposição, compromisso, dedicação e disciplina para que 
juntos possamos realizar um excelente trabalho.
Estudar a distância é uma experiência fascinante. Estude bastante. Tenha uma ótima 
aprendizagem e muito sucesso!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você deverá ser capaz de:
• Identificar e distinguir regra de três simples utilizando propriedades das proporções;
• Calcular porcentagens nas transações usuais fundamentando com cálculos algébricos e 
tecnológicos;
• Manusear a HP-12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas 
operações com porcentagens estudadas nesse módulo.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógico
Pollyanna Barbieri Pazzini
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
INTRODUÇÃO - PORCENTAGENS 
E REGRA DE TRÊS
Introdução
CONCEITOS BÁSICOS
Nesse módulo você vai conhecer os principais conceitos “básicos” trabalhados na mate-
mática comercial. São eles: razão, proporção, regra de três e porcentagem.
Os conceitos matemáticos são importantes para saber aplicá-los em nosso cotidiano. 
Por exemplo: quando é divulgado nos jornais o índice para o aumento de taxas de juros, 
infrações e etc, utilizam-se cálculos de porcentagens
A seguir serão apresentados tópicos para iniciarmos essa teoria com exemplos que faci-
litarão sua aprendizagem:
Razão
Dados dois números inteiros a e b, com b ≠ 0, chamamos razão de a para b o quociente 
representado por:
 ou ou
A palavra razão tem origem latina e tem como significado “dividir, divisão”.
/ : aa b a b
b
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 7
IMPORTANTE
A leitura desta razão é: “a está para b” 
ou “a para b”
Os termos de uma razão são dados por:
numerador antecedente
=
denominador consequente
a
b
=
Veja os exemplos:
Exemplo 1:
Numa sala de aula do curso de computação há 35 rapazes e 5 moças. A razão entre o 
número de rapazes e o número de moças desta sala é dada por:
3535:5 35 / 5
5
ou ou
porque
35 7
5 1
= , ou seja, para cada 7 rapazes existe 1 moça correspondente, que será a razão 
 
encontrada entre o número de rapazes e moças existentes nessa sala de aula.
Notação: 
7
1
 a leitura desta razão é: 7 está para 1 ou 7 para 1
Você já percebeu que em seu cotidiano há exemplos de razão?
Por exemplo, nos mapas há representações de regiões preservando o formato original, 
mas apresentando-nos com tamanhos reduzidos. 
Assim, se a razão for 1/1000000, e medirmos com uma régua a distância entre duas 
cidades no mapa obtendo 3 cm, teríamos na realidade 3 vezes 1000000 cm. Ou seja, se 
formos de uma cidade à outra, percorreremos 3.000.000 cm ou 30 km.
Você sabe como se chama essa razão que é utilizada em mapas e miniaturas? Essa razão 
é denominada ESCALA.
Exemplo 2: Escala X medida real
Fonte: Google Maps
Introdução - Porcentagens e Regra de Três8
Qual a razão entre a medida representada no desenho e o correspondente na medida real?
Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real. 
A distância real entre essas cidades é de 60 km, que no desenho é representada por um 
segmento de 6 cm. Você pode calcular a escala deste mapa, usando a relação:
6
60
medida do desenho
escala=
medida real
cm
km
=
Como temos duas unidades de medidas diferentes, para fazermos a relação ou razão, 
teremos que utilizar uma única unidade de referência, nesse caso, optaremos para trans-
formar km em cm.
Assim:
60 km = 6.000 m= 6.000.000 cm, portanto, teremos:
escala (mesma unidade)
escala
 
Ou seja, para cada 1 cm tem-se a distância de 1.000.000 cm = 1km. Assim sendo, a 
escala é de 1:1.000.000
Exemplo 3:
Velocidade média, é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe 
que neste caso as unidades são diferentes).
distância
velocidade=
tempo
Pedro dirige de Belo Horizonte até a cidade de São Brás do Suaçuí gastando o tempo 
total de 1h15min. Sabendo-se que a distância entre estas cidades é de 110km, qual a sua 
velocidade média?
6 6
60 6000000
1
1000000
=
=
cm cm
km cm
=
São Brás do Suaçuí
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 9
110
1 15
distância
velocidade=
tempo
velocidade=
km
h min
Mas o tempo gasto é representado por duas unidades de referência: hora e minuto, e isso 
não pode acontecer. Portanto vamos transformá-las numa única unidade temporal, nesse 
caso utilizaremos horas.
Vejamos como:
1 60
15
15
60
0,25
minutos
minutos
h
x
x
x
⇒
⇒
=
=
Assim sendo teremos em 1h15min= 1,25h:
110
1,25
88
velocidade
velocidade
km
h
km
h
=
=
Portanto, a velocidade média do veículo de Pedro foi de 88km/h para este percurso.
Proporção
As proporções possuem uma enorme aplicabilidade em situações problema envolvendo 
informações comparativas e é definida como a igualdade entre duas razões. 
a c
b d
=
Que se lê: “a está para b assim como c está para d”
ATENÇÃO
Os termos da proporção são: 
Antecedentes: a e c
Consequentes: b e d
Meios: b e c
Extremos: a e d
Veja o exemplo: Os números 3, 7,9 e 21 são os termos dessa proporção onde 3 e 21 são os 
termos dos extremos e 7 e 9 são os termos dos meios.
3 : 7 = 9 : 21
MEIOS
EXTREMOS
Introdução - Porcentagens e Regra de Três10
Você sabe qual é a diferença entre razão e proporção?
Basicamente, razão é uma divisão, o quociente de dois números. Já a proporção consiste 
em relacionar duas razões dentro de uma igualdade, criando assim um elo entre elas.
a c
b d
a c
b d
=
À esquerda, dois exemplos de razões. À direita, as mesmas razões se ligam pela igualda-
de, formando uma proporção.
Aplicação 1:
Se um veículo consome um litro de combustível para percorrer 13km, para percorrer 26km 
serão necessários 2 litros do mesmo combustível, para percorrer 39km serão necessários 
3l, e assim sucessivamente nas mesmas condições para todos os casos.
Diante disso, pode-se representar cada situação da seguinte maneira:
1ª situação 1ª razão 1
13
1
r =
2ª situação 2ª razão 2
26 13
2 1
r = =
3ª situação 3ª razão 3
39 13
3 1
r = =
... ... ...
Você pôde observar que todas essas situações geraram a mesma razão, desse modo elas 
são chamadas razões equivalentes.
Ou seja:
Se r1 = r2 = r3 , então podemos formar as seguintes proporções: r1 = r2 ou r1 = r3 
ou r2 = r3
Note que:
Se 26 39
2 3
= , então podemos dizer que 26 x 3 = 2 x 39. Ou seja, 78 = 78
Numa proporção, podemos multiplicar os termos dos meios que o resultado será sempre 
igual ao produto dos termos dos extremos.
ATENÇÃO
Esse procedimento refere-se à utilização da propriedade fundamental das proporções: 
“Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.
Aplicação 2:
Marisa pagou R$ 31,25 por certa quantidade de um tipo de carne bovina que custa 
R$12,50 o quilograma. Qual a quantidade de carne que Marisa comprou?
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 11
Resolução:
Seja x a quantidade que iremos calcular para resolver o problema, assim temos os seguin-
tes dados:
QUANTIDADE (kg) PREÇO (R$)
1 12,50
x 31,25
Dessa forma observamos que esses dados podem ser componentes para formar a seguin-
te proporção:
1 12,50
31,25x
=
Para encontrarmos o valor de x, que é a incógnita do problema, poderemos utilizar a 
propriedade fundamental das proporções:
12,50. 1.31,25
31,25
12,50
2,50
x
x
x
=
=
=
Ou seja, a quantidade de carne comprada por Marisa é 2,5 kg.
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Esse assunto será muito importante para os nossos estudos. 
Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando o aumento (ou redução) de uma 
implica no aumento (ou redução) da outra. Assim ao alterar uma das grandezas, a outra 
também deverá ser alterada na mesma proporção.
ATENÇÃO
Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razão é sempre constante.
Aplicação:
Para fazer uma receita de pudim, Marly usa os seguintes ingredien-
tes: 2 (duas) latas de leite condensado, 6 ( seis) ovos e 2 (duas) 
latas (de mesma medida do leite condensado) de leite. Se ela 
quiser dobrar a receita para fazer duas receitas desse mesmo 
pudim, ela terá que dobrar a quantidade de cada ingrediente. 
No entanto, se fizer só meia receita de pudim, então terá que 
reduzir a quantidade dos ingredientes pela metade.
Sabendo-se que o preço final de cada receita desse pudim 
é R$ 7,20, podemos notar esta relação na tabela abaixo 
que relaciona o preço a pagar à quantidade de receitas de 
pudins:
Introdução - Porcentagens e Regra de Três12
PREÇO do Pudim (R$) 7,20 14,40 36,00 3,60 
Nº de receitas (pudins) 1 2 5 1
2 
Preço e quantidade de pudins são grandezas diretamente proporcionais. Portanto se 
produzo mais pudins, gasto mais, se produzo menos pudins, gasto menos. Observe que 
quando dividimos o preço pela quantidade de pudins obtemos sempre o mesmo valor. 
Assim verificamos a propriedade da razão constante.
7,20 14,40 36,00 3,60 7,20
1 2 5 0,5
= = = = (constante)
Portanto, neste caso temos grandezas diretamente proporcionais.
Regra de Três Simples
A Regra de Três, na matemática, é uma forma de se descobrir uma quantidade que tenha 
para outra conhecida a mesma relação que têm entre si entre outros dois valores numé-
ricos conhecidos. Existem dois tipos de Regra de Três: Simples e Composta. O nosso 
estudo se restringirá a Regra de Três Simples.
A regra de três simples é o processo prático para resolver problemas que envolvam 
somente duas grandezas, onde deveremos ter quatro valores dos quais conhecemos três 
deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. A Regra de 
Três é muito utilizada na Física e na Química para o cálculo de conversão de grandezas: 
velocidade, massa, volume, comprimento, área. 
Para se aplicar a Regra de Três Simples devemos construir uma tabela onde:
• as linhas representam as grandezas de espécies diferentes
• as colunas representam as de espécies iguais. 
• Equacionamos as grandezas (formamos a proporção);
• Aplicamos a regra de proporcionalidade “O produto dos termos dos meios é igual ao 
produto dos termos dos extremos”.
• Obtemos o resultado
Veja algumas aplicações:
Aplicação 1
Marcos comprou 3 bermudas e pagou a importância de R$ 150,00. Se ele comprar 5 
bermudas, do mesmo tipo, quanto pagará pela compra?
Resolução:
Inicialmente vamos construir a tabela relacionando as grandezas.
UNIDADES PREÇO (R$)
3 150
5 p
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 13
Essas grandezas são diretamente proporcionais, pois se aumentarmos a quantidade de 
unidades (bermudas), o preço a pagar pela aquisição das bermudas também aumentará.
 UNIDADES x PREÇO (R$)
3 150
5 p
Formamos a proporção:
3 150
5 p
=
Resolvendo a equação:
3. 150.5
3. 750
750
3
p
p
p
=
=
=
E obtemos o resultado: 
p = 250
Portanto se Marcos comprar 5 bermudas pagará o total de R$ 250,00.
Aplicação 2
Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60m² de parede. Quantos litros de tinta, 
nas mesmas condições, serão necessários para pintar 450 m²? 
Resolução: 
Inicialmente vamos construir a tabela relacionando as grandezas.
QUANTIDADE DE TINTA (l) ÁREA DE PAREDE (m2)
18 60
x 450
Essas grandezas são diretamente proporcionais, pois se aumentarmos a área de parede a 
ser pintada (m2), a quantidade de tinta (litros) também aumentará.
 QUANTIDADE x ÁREA
18 60
x 450
Formamos a proporção:
18 60
450x
=
Introdução - Porcentagens e Regra de Três14
Resolvendo a equação:
60. 18.450
60. 8100
8100
60
x
x
x
=
=
=
E obtemos o resultado: 
x = 135
Portanto para pintar 450 m2 de parede, ele gastará 135 litros de tinta. 
Porcentagem
O surgimento dos cálculos percentuais aconteceu por volta do século I a.C., na cida-
de de Roma. Nesse período, o imperador romano decretou inúmeros impostos para os 
comerciantes pagarem sobre as mercadorias negociadas. Entre esses impostos criados, 
um deles era denominado de centésimo "rerum venalium” que obrigava o comerciante a 
pagar um centésimo pela venda das mercadorias, como exemplo, o comércio de escravos.
Nessa época não existia o símbolo representativo de porcentagem, e os cálculos eram 
realizados de forma simples, com a utilização de frações centesimais, ou seja, dividiam 
em cem partes iguais e tomavam a parte desejada. 
No entanto, por volta do século XV, com a intensificação do comércio, apareceram situa-
ções de grande movimentação comercial, como o surgimento dos juros, lucros e prejuízos 
que obrigaram os matemáticos a fixarem uma base para o cálculo de porcentagens, e a 
base escolhida foi o número 100. 
Muitos documentos encontrados e registrados apresentam uma forma curiosa de expres-
sar porcentagens. Os romanos utilizavam os algarismos do seu sistema de numeração 
seguido de siglas como, “p cento” e “p c”. Por exemplo, a representação de 10% era 
escrita da seguinte forma: “10 p cento” ou “10 p c”. 
Atualmente, a porcentagem é estritamente importante para a Matemática financeira, 
dando suporte às inúmeras movimentações comerciais e financeiras como, por exemplo:
• Na representação do comércio de mercadoriascom: lucros ou prejuízos, e descontos 
ou acréscimos; 
• No mercado de ações envolvendo as operações de compra e venda; 
• Na construção de gráficos comparativos, qualitativos e quantitativos; 
• Na constituição de alíquotas de diversos impostos entre inúmeras outras situações. 
No nosso cotidiano é frequente usarmos utilizamos porcentagens para obter índices ou 
coeficientes, e é muito comum divulgações de índices ou porcentagens para os aumentos 
de mensalidades escolares, aluguéis, salários, prestações da casa própria, inflação, taxas 
de juros, e outros mais.
Veja os exemplos abaixo onde expressões refletem acréscimos ou reduções em preços, 
números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades:
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 15
• A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias 
adquiridas.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
• Dos atletas que jogam nos times mineiros, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores de Minas, 90 são craques.
Podemos mencionar também a Razão centesimal, ou seja, toda a razão que 
tem como denominador (consequente) o número 100 denomina-se razão 
centesimal. 
Veja alguns exemplos:
3 24 125, , ,
100 100 100
etc
A razão centesimal pode ser representada também na forma unitária (
100
i
 ) ou cente-
simal ( i%) , ou seja:
 que se lê "três por cento"
 que se lê "vinte e quatro por cento"
 que se lê "cento e vinte e 
 cinco por cento"
• Porcentagem é a fração cujo denominador é igual a 100 e o numerador 
é a parte tomada desse todo. 
• As frações que apresentam denominadores iguais a 100 são chamadas 
também de razões centesimais e podem ser representadas pelo 
símbolo %.
• Não esqueça que sempre que nos referirmos à porcentagem 
utilizaremos o símbolo %.
Porcentagem na verdade significa comparar números usando proporção direta, ou seja, o 
valor total se refere a 100%, enquanto o valor desejado se refere a uma porcentagem do 
todo.
Mas sempre que nos referirmos a porcentagem teremos que especificar sobre o que 
está sendo calculado nesta porcentagem, ou seja, qual é o referencial, o nosso total (os 
100%).
Mas como calcular porcentagem?
O cálculo percentual nada mais é que a multiplicação de um 
valor qualquer pelo percentual desejado.
3 0,03 3%
100
24 0,24 24%
100
125 1,25 125%
100
 
 
 
 
 
 forma unitária ou forma centesimal
forma unitária ou forma centesimal
forma unitária ou forma centesimal
=
=
=
3 0,03 3%
100
24 0,24 24%
100
125 1,25 125%
100
 
 
 
 
 
 forma unitária ou forma centesimal
forma unitária ou forma centesimal
forma unitária ou forma centesimal
=
=
=
3 0,03 3%
100
24 0,24 24%
100
125 1,25 125%
100
 
 
 
 
 
 forma unitária ou forma centesimal
forma unitária ou forma centesimal
forma unitária ou forma centesimal
=
=
=
Introdução - Porcentagens e Regra de Três16
DICA 
Uma boa dica para entender melhor porcentagem é saber o Fator de Multiplicação, ou seja, o 
coeficiente de proporcionalidade sobre o valor do produto, que poderá ser também um acrés-
cimo ou um decréscimo no valor do produto.
Para a utilização do fator de Multiplicação deveremos ter os seguintes dados:
Todo: Valor referencial (100%):
Porcentagem: (%) 
Parte: valor tomado do todo: ?
Vejamos algumas aplicações a seguir.
Aplicação 1
Carlos jogou no lixo, 20% das 30 laranjas que ele tinha. Quantas laranjas foram para o lixo?
Dados:
Todo: Valor referencial (100%): 30
Porcentagem (%): 20%
Fator de Multiplicação: 
220% 0,20
100
= =
Parte: valor tomado do todo: ?
Resoluções: você poderá fazer esse 
cálculo de várias maneiras
1ª Resolução: Algébrica - Fator de Multiplicação:
O fator de Multiplicação consiste em multiplicarmos o todo pelo coeficiente de propor-
cionalidade desejado (porcentagem dividida por 100), obtendo assim o valor desejado 
(parte).
Calculando o fator de Multiplicação temos: 
0,20 . 30 = 6
A parte encontrada é 6
2ª Resolução: Algébrica - Regra de Três Simples
Inicialmente vamos construir a tabela relacionando as grandezas.
QUANTIDADE PORCENTAGENS
30 100
x 20
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 17
Essas grandezas são diretamente proporcionais, pois se diminuirmos a percentagem, a 
quantidade de laranjas também diminuirá.
 UNIDADES x PREÇO (R$)
30 100
x 20
Formamos a proporção:
30 100
20x
=
Resolvendo a equação:
100. 30.20
100. 600
600
100
x
x
x
=
=
=
E obtemos o resultado:
x = 6
3ª Resolução - Tecnológica: Calculadora HP-12C
A calculadora HP-12C apresenta como comando principal a tecla %
Para usar esse recurso precisamos conhecer o Todo, ou seja, o referencial de 100%, e a 
porcentagem desejada, obtendo assim a parte que representa essa porcentagem.
O procedimento de entrada de dados na HP-12C respeitará a ordem abaixo:
• Informamos o Todo e apertamos o comando de entrada.
todo (nº) 
• Informamos a porcentagem desejada e acionamos o comando de porcentagem.
porcentagem ( nº) %
• E imediatamente aparecera o resultado: Parte desejada.
IMPORTANTE
Vamos inicialmente estabelecer o número de casas decimais a serem trabalhadas na HP-12C.
Para isso acionamos os comandos:
 e o nº desejado de casas decimais.
Ex: 2 0,00
Introdução - Porcentagens e Regra de Três18
No nosso exemplo, temos os dados: 
Todo: Valor referencial (100%): 30
Porcentagem (%): 20%
Parte: valor tomado do todo: ?
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
30 ENTER 30,00
20 % 6,00
Diretamente: 30 20 % 6,00 
Assim 6 laranjas foram jogadas no lixo.
Aplicação 2
Mariana recebe mensalmente, 20% a mais do que recebe Clara. Sabendo-se que Clara 
recebe mensalmente a importância de R$ 1.920,00, quanto receberá Mariana?
Dados:
Valor Referencial (Todo): salário de Clara: 1.920,00
Porcentagem de aumento: 20% do salário de Clara
Fator de Multiplicação: aumento de 20%, ou seja, 120100% 20% 120% 1,20
100
+ = = =
Parte desejada - Salário de Mariana: x 
Resoluções:
1ª Resolução: Algébrica - Fator de Multiplicação:
1,20 x 1920,00 = 2304,00
Esse cálculo na HP-12C: 1 20 1920 2.304,00 
2ª Resolução: Algébrica - Regra de Três Simples
1920 100%
(100 20)%
1920 100%
120%
x
x
→
 → +
→
 →
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 19
Equacionando e resolvendo:
1920 100
120
100 1920.120
1920.120
100
230400
100
2304
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
Portanto o salário de Mariana é igual a R$ 2.304,00.
3ª Resolução – Tecnológica: Calculadora HP-12C
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
1920 ENTER 1.920,00
120 % 2.304,00
Diretamente: 1920 120 % 2.304,00 
Outra opção na HP-12C: Como é um acréscimo poderemos proceder assim:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
1920 ENTER 1.920,00
120 % 384,00
+ 2.304,00
Diretamente: 1920 20 % 384,00 2.304,00 
Portanto o salário final de Mariana é de R$ 2.304,00.
Aplicação 3
José comprou um computador por R$1000,00 e depois de algum tempo, esse compu-
tador foi vendido com 8% de desvalorização. Por quanto foi vendido esse computador?
OBS: Nesse caso houve uma desvalorização, ou seja, uma perda.
Dados:
Valor Referencial (Todo): valor inicial do computador (compra): 1.000,00
Porcentagem de desvalorização: 8% 
Fator de Multiplicação: redução de 8%, ou seja, 100% - 8% = 92% = 92
100
= 0,92
Parte desejada - Valor final do computador (venda): x 
Introdução - Porcentagens e Regra de Três20
Resoluções:
1ª Resolução: Algébrica - Fator de Multiplicação:
0,92 x 1000,00 = 920
Esse cálculo na HP-12C: 0 92 1000 920,00 
2ª Resolução: Algébrica - Regra de Três Simples
1000 100%
(100 8)%
1000 100%
92%
x
x
→
 → −
→
 →
Equacionando eresolvendo:
 
100. 1000.92
100 92000
92000
100
920
 x
x
x
x
=
=
=
=
3ª Resolução – Tecnológica: Calculadora HP-12C
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
1000 ENTER 1.000,00
92 % 920,00
Diretamente: 1000 92 % 920,00 
Outra opção na HP-12C: Como é um decréscimo poderemos proceder assim:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
1000 ENTER 1.000,00
8 % 80,00
 - 920,00
Diretamente: 1000 8 % 80,00 920,00 
Portanto, o computador foi vendido por R$ 920,00.
PRATICANDO...
Então aluno, existem sites disponibilizados na Internet em que encontramos esses tipos de 
cálculos como simuladores ou jogos. Veja um exemplo disso a seguir:
www.porcentagem.org
Introdução - Porcentagens e Regra de Três 21
Síntese
Neste módulo você pôde entender a importância do conceito de porcentagem e suas 
aplicabilidades nos negócios que realizamos no dia a dia. A partir destes conceitos pode-
mos criar formas de administrar e calcular nossas transações diárias, com muita clareza 
e precisão.
O cálculo de porcentagens o ajudará nos cálculos a serem realizados em “Operações 
Comerciais”, ou seja, as Transações Comerciais com Lucro e Prejuízo como também 
Descontos e Acréscimos. 
Bons estudos!
Referências
BRUNI, Adriano Leal et Rubens Fama. Matemática Financeira com HP-12C e Excel. São Paulo, Atlas, 2002.
FARIA, ROGÉRIO GOMES DE. Matemática Comercial e Financeira. 5ª ed. São Paulo, Makron Books, 2000.
FARIA, ROGÉRIO GOMES DE. Matemática Comercial e Financeira com exercícios e cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo, Ática, 2007. 
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira. 6ª ed. São Paulo, Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira. São Paulo, Atlas, 2001.
NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Matemática Comercial e Financeira. 1ªed., Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 
2010.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da HP-12C. 2ª ed. Edição Compacta. São Paulo, 
Atlas, 2009.
VERAS, Lílian Ladeira. Matemática Financeira. São Paulo, 4ª ed., Atlas, 2001.
22
Matemática 
Financeira
OPERAÇÕES COMERCIAIS 
TRANSAÇÕES ENVOLVENDO 
LUCRO
INCIDÊNCIA DOS CÁLCULOS NA FIXAÇÃO DE LUCRO
PORCENTAGENS NAS TRANSAÇÕES USUAIS DE 
COMPRA E VENDA
HP-12C E SEUS PRINCIPAIS COMANDOS 
ALGÉBRICOS E NAS OPERAÇÕES COM 
PORCENTAGENS
OS RESULTADOS DE LUCRO OBTIDOS EM 
OPERAÇÕES COMERCIAIS
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!Com o intuito de deixá-lo atualizado e informado, neste módulo você aprenderá 
a aplicar muitos conceitos matemáticos em seu cotidiano, muitos desses conceitos 
são vivenciados por você. Por exemplo para fixarmos preços ou para determinarmos 
os resultados das operações de lucro ou de prejuízo, há necessidade de realizarmos 
determinados cálculos, que envolvem regra de três simples e porcentagens. Então, é aí 
que aplicamos nossos conhecimentos matemáticos.
Conto com você, com muita disposição, compromisso, dedicação e disciplina para que 
juntos possamos realizar um excelente trabalho. Estudar a distância é uma experiência 
fascinante. Estude bastante, tenha uma ótima aprendizagem e muito sucesso!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você será capaz de:
• Identificar e distinguir a incidência dos cálculos na fixação de lucro;
• Calcular porcentagens nas transações usuais de compra e venda de mercadorias, com 
fundamentação de cálculos algébricos e tecnológicos;
• Manusear a HP-12C nos principais comandos algébricos e nas operações com porcenta-
gens, para determinação de preços e resultados das transações comerciais;
• Aplicar, no cotidiano, em situações relacionadas a transações comerciais, cálculos que 
envolvam lucro sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda;
• Verificar os resultados de lucro obtidos em operações comerciais.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógico
Tâmara Santos Soares
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias Nassif C. Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
OPERAÇÕES COMERCIAIS – 
TRANSAÇÕES ENVOLVENDO LUCRO
Introdução
OPERAÇÕES COMERCIAIS
Vamos começar nossos estudos analisando as Operações Comerciais. Você saberia defi-
nir que operações são essas? Pois bem, as Operações Comerciais são transações realiza-
das no comércio de mercadorias com a finalidade de obter lucro. No entanto, quando não 
são bem sucedidas, podem produzir resultados negativos, gerando prejuízos. Compras, 
vendas e permutas de mercadorias são alguns exemplos de operações comerciais. Para a 
realização dessas operações, é necessário determinar os cálculos para a fixação de preços 
ou para a determinação de resultados, seja lucro ou prejuízo. Dentre esses cálculos, apli-
caremos as porcentagens e a regra de três simples.
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 25
E por falar em porcentagens, é frequente no comércio e na contabilidade ocorrerem dúvi-
das sobre o referencial utilizado para aplicar as porcentagens de lucro ou prejuízo, ou seja, 
sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. Mas o que seria esse tal preço de 
custo e/ou preço de venda da mercadoria?
Bem, a compra de mercadoria é dada por um determinado preço, chamado de preço de 
custo (PC), já a realização da venda deste mesmo produto é dado por um preço denomi-
nado preço de venda (PV). Compreendeu?
TOME NOTA
Note que o resultado dessa negociação pode 
gerar lucro ou prejuízo, dependendo do preço 
que a mercadoria é repassada ao mercado 
para o consumidor.
SAIBA MAIS 
O preço de custo (PC) de uma mercadoria é composto por todas as despesas que são gera-
das como: aquisição de matéria prima, a fabricação (inclusive com custos das instalações), 
a estocagem, o transporte, a manutenção desse produto e até mesmo a promoção da sua 
venda.
O preço de venda (PV) é o valor cobrado ao consumidor e que deve cobrir o custo direto da 
mercadoria (ou produto ou serviço), as despesas variáveis, como impostos, comissões, etc., 
as despesas fixas proporcionais, ou seja, aluguel, água, luz, telefone, salários e outros custos.
Estudaremos a seguir como as vendas são realizadas sobre esses dois referenciais (preço 
de custo e preço de venda), onde teremos geração de lucro. Para verificar matematica-
mente o resultado das vendas, basta você subtrair o PC (preço de custo) do PV (preço 
de venda), ok?
Resultado = PV – PC
Note que quando o preço de venda é maior que o preço de custo, dizemos que a venda 
foi efetuada com lucro, pois o resultado dessa subtração será um valor positivo, ou seja, 
o lucro é positivo. Vamos conversar um pouco mais sobre o Lucro? Tenho certeza que este 
é um assunto que muito lhe interessa.
Transações Comerciais com Lucro
O que é Lucro?
Lucro, do latim lucrum, significa "ganho, vantagem". É o retorno posi-
tivo de um investimento, ou negócio, feito por um indivíduo ou uma 
pessoa. Simplificando, entenderemos o lucro como a diferença entre o 
preço de venda PV e o preço de Custo (compra) PC, ou seja:
lucro = preço de venda − preço de custo
lucro = PV − PC
Operações comerciais – Transações envolvendo lucro26
%
SAIBA MAIS 
Você sabia que na contabilidade o lucro bruto é a diferença positiva entre receita e custo?
As vendas realizadas com lucro acontecem quando o preço de venda (PV) é maior do 
que o preço de custo (PC), gerando resultado positivo. Você pode verificar este resultado 
através da fórmula:
L = PV – PC > 0
LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
Você sabe o que significa porcenta-
gem sobre o custo?
Pois é, quando o cálculo do lucro, 
em bases percentuais, incide sobre 
o preço de custo do produto adquiri-
do, temos o que é chamado de porcentagem 
sobre o custo, que é oprocesso normal adotado pelos 
comerciantes.
Se por exemplo, o preço de custo de certo produto foi de 
R$ 200,00, e na sua venda ganhássemos um lucro de 10%, 
então estaríamos vendendo-o por R$ 20,00 a mais, isto é, por 
R$220,00. Na resolução desse problema tomamos como refe-
rencial o preço de custo (que representa os 100% do referencial), 
e para calcular o preço de venda adicionamos 10% do preço do 
custo, assim o preço da venda correspondeu a 110% do Total dos 
100% ,ou seja, do valor do preço de custo. 
Assim, podemos concluir que ao final o preço total é de:
R$220,00 = 110% de R$200,00
ou
R$220,00 = 1,1 x R$200,00.
Outra lógica é calcular os 10% do valor do custo e adicioná-lo, ou seja, 10% de R$200,00 
corresponde a R$20,00, que adicionado ao valor inicial resulta em R$220,00.
Desta forma, se a compra de determinada mercadoria é vendida com um lucro de i%, 
podemos dizer que nesta operação o lucro em espécie da operação foi determinado sobre 
o preço de custo. Assim, quando o lucro incide sobre o Preço de Custo, tomamos como 
base de referência o preço de custo, ou seja, ele é o todo (100%). Então, por meio de 
regra de três simples temos:
100%
(100 )%
PC
PV i
→
→ +
Operações comerciais – Transações envolvendo lucro 27
Aplicando a proporcionalidade e equacionando, temos:
100
100
PC
PV i
=
+
Pela propriedade fundamental das proporções, que nos diz que produto dos meios é igual 
ao produto dos extremos, temos:
100. .(100 )
.(100 )
100
(100 ).
100
100.
100 100
PV PC i
PC iPV
iPV PC
iPV PC
= +
+
=
+
=
 = + 
 
Substituiremos a taxa centesimal por ic, ou seja, 100c
ii = . Portanto: .(1 )cPV PC i= + . 
 
A taxa ic é denominada “taxa unitária” de lucro sobre o preço de custo.
IMPORTANTE
O referencial preço de custo PC é 100% e como o resultado é lucro, então o preço de venda 
PV é maior que 100%, ou seja, (100+i ).
A seguir, veja algumas aplicações deste importante conceito.
Aplicação 1
Sabendo que uma calça jeans, cujo preço de custo é 
R$125,00, ao ser vendida, teve um lucro de 8%. 
Assim, qual seria o preço de venda dessa mercadoria?
Bem, os dados que temos são:
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) 125,00
Porcentagem de lucro sobre PC 8% = 0,08
Preço de venda (PARTE) ?
IMPORTANTE
Quando não for mencionado o referencial para 
o cálculo do lucro deveremos sempre considerar 
esse cálculo sobre o preço de custo, por que é o 
mais usado.
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro28
Resoluções
Você verá alguns tipos de resoluções, a 1ª resolução é Algébrica, por meio da Regra 
deTrês Simples. Veja só:
100%
(100% )%
125 100%
(100 8)%
125 100
108
PC
PV i
PV
PV
→
→ +
→
→ +
→
→
Substituímos os valores PC pelo preço de custo da mercadoria, que é R$125,00 e a 
porcentagem de lucro i pelos 8% de lucro da venda da mercadoria. 
100%
(100% )%
125 100%
(100 8)%
125 100
108
PC
PV i
PV
PV
→
→ +
→
→ +
→
→
Assim, aplicando a proporcionalidade, teremos:
125 100
108PV
=
Pela propriedade fundamental das proporções, na qual o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos, temos:
100. 125.108
13500
100
135
PV
PV
PV
=
=
=
Agora, acompanhe a 2ª resolução, onde substituiremos os dados diretamente na fórmula 
deduzida:
1= +.( )cPV PC i
E aí, fácil? Você gostou da forma que utilizamos os cálculos? Caso haja 
alguma dúvida, retorne ao início da 1ª resolução, e releia o conteúdo. Bem, 
se você preferir podemos também trabalhar o mesmo assunto utilizando 
a famosa calculadora HP-12C, fazendo os cálculos nessa calculadora. Veja 
na 3ª resolução os procedimentos para operar esta ferramenta, neste 
momento você verá o comando de porcentagem:
125.(1 0,08)
125.1,08
135
PV
PV
PV
= +
=
=
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 29
IMPORTANTE
Na HP-12C temos o comando % , que só poderá ser utilizado para efeitos de cálculos quan-
do se conhece o todo(100%), ou seja, o referencial e a porcentagem (%). No exemplo citado, 
sabemos que o referencial é o número 125 e a porcentagem é 8%,portanto, PC + L =PV.
O procedimento que você fará é o seguinte:
TODO PORCENTAGEM DADA % 
Ou seja, no exemplo apresentado será...
125 8 % 10,00 135,00
E o que isto significa? Na verdade, estas são as entradas dos dados do problema, desta 
forma, você viu exatamente como proceder na HP-12C. Observe que ao identificarmos 
o referencial (TODO) damos a entrada na HP (teclamos ENTER), logo após a taxa dada 
no exemplo ( i ) e adicionamos (teclamos +) para representar o valor final com o lucro. 
Entendido? Caso ainda exista alguma dúvida, veja o esquema na tabela, com certeza irá 
te ajudar.
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
125 125,00
8 % 10,00
135,00
Assim o preço de venda é R$ 135,00.
Aplicação 2
Pense agora em outra situação: Um celular foi vendido por R$ 150,00, com um 
lucro de 20% sobre o preço de custo. Qual foi o preço de custo desta mercadoria?
DADOS VALORES
Preço de venda (PARTE) 150,00
Porcentagem de lucro sobre PC 20%
Preço de custo (TODO) ?
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro30
Resoluções
Iniciemos agora com a resolução Tecnológica – HP-12C, utilizando o comando de porcen-
tagem do todo. Na HP-12C temos o comando , que tem duas formas de ser trabalhado:
• Quando se conhecem o todo e a parte, nesse caso, determinaremos a porcentagem:
TODO PARTE PORCENTAGEM
• Quando se conhece a porcentagem e a parte que ela representa, nesse caso, deter-
minaremos o todo:
PORCENTAGEM PARTE TODO
No nosso exemplo temos os seguintes dados:
TODO: PC → 100% (Porcentagem do todo)
PARTE: 150 → 120% (Porcentagem tomada do todo)
Portanto:
• A porcentagem correspondente a parte tomada do todo é 120%.
• A parte, ou seja, o valor tomado do todo é o PV = R$150,00.
• A porcentagem correspondente ao todo é 100%.
• O todo (100%) é o preço de custo PC.
Agora, pense um pouco... Se 120% representam R$150,00, 
então estamos procurando o referencial, ou seja, 100% que 
representará o TODO (PC), não é mesmo? Bem, vamos 
prosseguir com a resolução, me acompanhe!
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
120 120,00
150 125,00
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 31
PORCENTAGEM PARTE TODO
Neste caso, você fará o seguinte:
120 150 125
Assim, o preço de custo é R$ 125,00, que é o referencial do lucro obtido (100%).
REFLITA 
Você sabe verificar se o lucro de 20% sobre o preço de custo R$ 125,00, chega ao resultado 
da venda de R$ 150,00? Veja a seguir como fazer isso...
Muito bem, como você já sabe, nós temos os seguintes dados:
• Preço de custo =R$125,00
• Lucro sobre o preço de custo = 20%
Para calcularmos o total da venda basta aplicarmos a seguinte fórmula: PV= PC + L = ?
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
125 125,00
20 % 25,00
150,00
125 20 % 150
Assim fica confirmado que o preço de venda é R$ 150,00 como foi dado no enunciado.
Verificando os cálculos
Vamos agora conferir os cálculos deste 
problema, ou seja, vamos calcular de outras 
maneiras, utilizando outros procedimentos. 
Começaremos com a 1ª resolução algébrica, 
utilizando Regra de Três Simples.
Vamos lá?
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro32
Acompanhe a resolução...
100%
100% %
100%
150 (100 20)%
100
150 120
PC
PV i
PC
PC
→
→ +
→
→ +
→
→
Aplicando a proporcionalidade e equacionando, temos: 
100
150 120
PC
=
Pela propriedade fundamental das proporções, na qual o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos, temos:
120. 150.100
15000
120
125
PC
PC
PC
=
=
=
Assim, o preço de custo será de R$125,00.
Nesta 2ª resolução, vamos substituir, diretamente, os dados do problema na fórmula 
deduzida:
1= +.( )cPV PC i
Viu tivemos várias opções de resoluções? 
Bom, não é? Assim você terá condições 
de escolher qual método lhe agrada mais. 
Daremos continuidade verificando o 
percentual de lucro sobre o custo.
Aplicação 3
Um rádio relógiofoi comprado por 
R$ 75,00 e vendido por R$ 90,00. Qual foi 
o percentual de lucro sobre o custo?
150 .(1 0,20)
150 .1,20
150
1,20
125
PC
PC
PC
PC
= +
=
=
=
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 33
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) 75,00
Preço de venda (PARTE) 90,00
Porcentagem de lucro sobre PC %?
Resoluções
A 1ª resolução será através do comando de porcentagem do todo, o , que poderá 
ser acionado quando conhecemos o TODO e a PARTE, nesse caso, determinaremos a 
PORCENTAGEM QUE A PARTE REPRESENTA DO TODO:
TODO PARTE PORCENTAGEM DO TODO (100+i) 100 PORCENTAGEM 
No nosso exemplo temos: 
TODO: 75 → 100%
PARTE: 90 → (100 + i )%
Sabendo que a porcentagem que representa a parte tomada do todo é igual a (100+i )%, 
qual será a porcentagem ( i ) sobre o preço de custo? Vejamos como se calcula o i.
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
75 75,00
90 120,00
100 20,00
Se PC + L = PV, então L = PV - PC
Na HP-12C você fará assim:
75 90 100 20
Desta forma, o percentual de lucro sobre o preço de custo é 20%.
Agora na 2ª resolução, façamos o contrário, ou seja, vamos tirar a prova para verificar se 
o lucro de 20% sobre o preço de custo gera a venda no valor de R$ 90,00.
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro34
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) 75,00
Porcentagem de lucro sobre PC 20%
Preço de venda (PARTE) ?
Basta aplicar 20% sobre o preço de custo, adicioná-lo (porque é lucro) e, obteremos o 
preço de venda. Veja a seguir usando a HP-12C:
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
75 75,00
90 120,00
100 20,00
Vamos calcular PC + L = PV, que corresponde a:
75 20 % 90
Assim, fica confirmado que o preço de venda é R$ 90,00, como foi dado no enunciado.
Muito bem, nesta 3ª resolução você aprenderá o Comando de Variação Percentual . 
Na HP-12C temos o comando que é usado quando são apresentados o TODO e a 
PARTE, e nesse caso queremos a variação percentual entre eles, ou seja, a PORCENTAGEM 
sobre o custo i:
TODO PARTE PORCENTAGEM i 
Para o exemplo citado temos:
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) 75,00
Preço de venda (PARTE) 90,00
Porcentagem de lucro sobre PC i %?
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 35
Assim, faça o seguinte:
75 90 20
Você pôde ver que a porcentagem de lucro sobre o preço de custo é de 20%.
Verificando os cálculos
Vamos agora conferir os cálculos acima utilizando outros 
procedimentos. A 1ª resolução será algébrica, onde utilizaremos 
Regra de Três Simples. Você se lembra como se faz esta 
operação? Vejamos a resolução a seguir...
( )
100%
100% %
75 100%
90 (100 )%
PC
PV i
i
→
→ +
→
→ +
Aplicando a proporcionalidade e equacionando, teremos
75 100
90 100 i
=
+
Pela propriedade fundamental das proporções, onde o produto dos meios é igual ao produ-
to dos extremos, teremos:
75.(100 ) 90.100
9000100
75
100 120
120 100
20
i
i
i
i
i
+ =
+ =
+ =
= −
=
Outra maneira de se resolver esta equação, consiste em substituir os dados na fórmula 
gerada. Observe:
1= +.( )cPV PC i
 0,20 = ic (taxa unitária: 100
i
)
90 75.(1 )
90 (1 )
75
1,20 1
1,20 1
c
c
c
c
i
i
i
i
= +
= +
= +
− =
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro36
TOME NOTA
Não se esqueça: quando a taxa unitária é multiplicada por 100 passa a ser a taxa centesimal 
(i %).
ic = 0,20.100
ic = 20%
LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA
Nem sempre aplicamos a taxa de lucro 
sobre o preço de custo, e isto é razoa-
velmente explicável porque na prática, é 
mais fácil, ou cômodo, para o comerciante 
aplicar o lucro sobre o preço de venda, que 
geralmente está representado na tabela de 
uso comercial, ou até mesmo nas etique-
tas das mercadorias, enquanto que o custo 
nem sempre é de fácil acesso.
Sendo assim, o nosso referencial agora é 
o preço de venda (PV ), que representará 
o nosso todo (100%), e o preço de custo 
(PC ) será a parte tomada do todo. Então, 
para começar, vamos relacioná-los por meio 
de uma regra de três simples, aplicando o que você já estudou até aqui. Lembrando que 
o preço de custo é menor que o preço de venda quando há lucro.
100%
100% %
100%
(100 )%
PV
PC i
PV
PC i
→
→ −
→
→ −
Aplicando a proporcionalidade e equacionando, temos:
100
100
PV
PC i
=
−
Agora, aplicando a propriedade das proporções, onde o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos, vem:
(100 ). .100i PV PC− =
Simplificando esta equação, membro a membro por 100, obtemos:
(100 ). .100
100 100
(100 ) .100
100 100
100 100. .
100 100 100
i PV PC
i PCPV
i PV PC
−
=
−
=
 − = 
 
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 37
Ao dividirmos a taxa (i ) por 100, obtemos a chamada taxa unitária iv, e ficamos assim:
(1 ). .1
(1 )
v
v
i PV PC
PCPV
i
− =
=
−
onde iv é denominado taxa unitária de lucro sobre o preço de venda
IMPORTANTE
O referencial preço de venda (PV ) é 100% e como o resultado é lucro, então o preço de custo 
(PC ) é menor que 100%, ou seja, (100 - i ). 
Vamos prosseguir vendo algumas aplicações destes conceitos relacionados à incidência 
do lucro sobre preço de venda.
Aplicação 1
Uma loja de departamentos coloca à venda uma determinada marca de liquidificador com 
um lucro de 20% sobre o preço de venda. Sabendo-se que o mesmo teve um custo de 
R$150,00, qual foi o preço efetivo dessa venda?
DADOS VALORES
Preço de venda custo (PARTE) 150,00
Preço de custo venda (TODO) ?
Porcentagem de lucro sobre PC 20%
Resoluções
Começaremos nossos cálculos com a resolução algébrica, através 
da Regra de Três Simples.
( )
100%
100% %
100%
150 (100 20)%
100%
150 80%
PV
PC i
PV
PV
→
→ −
→
→ −
→
→
Aplicando a proporcionalidade e equacionando, teremos
100
150 80
PV
=
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro38
Pois bem, aplicaremos também a propriedade das proporções, e ficará assim: 
80. 150.100
15000
80
187,50
PV
PV
PV
=
=
=
A 2ª maneira de resolvermos esta questão é substituindo os dados do problema direta-
mente na fórmula:
1
=
−( )v
PCPV
i
Na HP-12C temos o comando , que é o “Comando de porcentagem do todo”, ele 
pode ser usado quando se conhece a porcentagem tomada do todo e a parte que ela 
representa, assim o resultado obtido será o TODO.
PORCENTAGEM PARTE TODO
No nosso exemplo temos: 
PV → 100%
150 → 80%
DADOS VALORES
Preço de custo (PARTE) 150,00
Porcentagem tomada do TODO (100-i) 80%
Preço de venda (TODO) ?
Se 80% representa a parte 150,00, então estamos procurando o referencial, ou seja, 
100% que representará o TODO (PV). Assim, o comando na HP-12C será o seguinte:
PORCENTAGEM PARTE TODO
Nesta questão, faremos assim:
80 150 187,50
Assim o preço de venda é R$ 187,50, que é o referencial do lucro obtido (100%).
150
(1 0,20)
150
(0,80)
187,50
PV
PV
PV
=
−
=
=
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 39
Vamos tirar a prova para verificar esses 
cálculos? Imagine que o lucro foi de 20% 
sobre o preço de venda R$ 187,50. Então 
vamos ter os seguintes dados:
DADOS VALORES
Preço de venda (TODO) 187,50
Lucro sobre o PV 20%
Preço de custo (PARTE) ?
Como sabemos que PV = PC + L ⇒ PV - L = PC
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
187,50 187,50
20 % 37,50
150,00
Faremos diretamente na HP-12C o seguinte comando PV - L = PC:
187,50 20 % 150
Assim, fica confirmado que o preço de custo é R$ 150,00 como foi dado no enunciado, 
entendido? Vamos continuar nossos estudos, verificando o percentual de lucro em rela-
ção ao preço de venda.
Aplicação 2
O proprietário de uma loja de eletrodomésticos comprou uma cafeteira por R$ 90,00 e 
quer vendê-la com um lucro sobre a venda. Sabendo-se que a venda foi realizada por 
R$ 120,00, então qual será o percentual de lucro sobre essa venda?
DADOS VALORES
Preçode custo (PARTE) 90,00
Preço de venda (TODO) 120,00
Porcentagem de lucro sobre PV i %?
Resoluções
Vamos à 1ª resolução que é algébrica, por meio da Regra de Três 
Simples. Veja só:
100%
(100% )%
120 100%
90 (100 )%
PV
PC i
i
→
→ −
→
→ − Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro40
100%
(100% )%
120 100%
90 (100 )%
PV
PC i
i
→
→ −
→
→ −
Pela proporcionalidade temos:
120 100
90 100 i
=
−
Aplicando a propriedade fundamental da proporção (produto dos meios é igual ao produ-
tos dos extremos), temos:
(100 ).120 100.90
(100 ).120 9000
9000(100 )
120
100 75
75 100
25
25
i
i
i
i
i
i
i
− =
− =
− =
− =
− = −
− = −
=
Como você já sabe, podemos substituir os dados do problema diretamente na fórmula:
1
=
−( )v
PCPV
i
90120
(1 )
120 90 ( )
1 (1 )
(1 ) 90
1 120
1 0,75
0,75 1
0,25
0,25 ( )
0,25 100
 
 
 
v
v
v
v
v
v
v
v
i
os extremos trocam de lugar
i
i
i
i
i
i taxa unitária de lucro sobre o PV
i multiplicando por teremos a taxa centesimal de luc
=
−
=
−
−
=
− =
− = −
− =
=
=
25%
 
v
ro sobre o PV
i =
Na HP-12C temos o Comando de porcentagem do todo , que é usado quando se 
conhecem o TODO e a PARTE, nesse caso, determinaremos a PORCENTAGEM do TODO 
(100 - i) fazendo o seguinte procedimento:
TODO PARTE % PORCENTAGEM (100 - i) 100 -i
ATENÇÃO
Neste caso basta ignorar o sinal de negativo “-”, ou também podemos acionar na HP-12C a 
tecla que representa o comando +/- , que realiza a troca de sinal, e aí o negativo ficará 
positivo e vice-versa.
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 41
No nosso exemplo, temos: 
( )
120 100%
90 100 %i
→
→ −
A PARTE tem como porcentagem representada do todo o (100 – i)%, sendo assim i é a 
porcentagem sobre o preço de venda. Assim, na HP 12C você fará o seguinte:
120 90 100 -25 25
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
120 120,00
90 75,00
100 -25,00
-25,00
Desta forma, o percentual de lucro sobre o preço de venda é 
25%. Mas vamos tirar a prova? Vamos verificar se o lucro de 
25% sobre o preço de venda R$ 120,00 gera o custo no valor 
de R$90,00.
DADOS VALORES
Preço de venda (TODO) 120,00
Porcentagem de lucro sobre PV 25%
Preço de custo (PARTE) ?
Basta aplicar 25% sobre o preço de venda e subtraí-lo. Mas porque subtrair? Ora, porque 
ele é lucro. Desta forma obteremos o preço de custo, veja como faremos na HP-12C a 
equação PV – L = PC
120 25 % 90
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
120 120,00
25 % 30,00
- 90,00
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro42
Assim confirmamos que o lucro de 25% sobre o preço de venda de R$ 120,00 gera o 
preço de custo de R$ 90,00, como foi dado no enunciado.
Na HP-12C temos o comando de variação percentual , 
que é usado quando é dado o TODO e a PARTE, nesse caso, 
queremos determinar a variação percentual entre eles, ou seja, 
a PORCENTAGEM sobre a venda i. Assim, observe os dados a 
seguir, pegue sua calculadora, e faça o comando:
TODO PARTE PORCENTAGEM ( i ) 
DADOS VALORES
Preço de venda (TODO) 120,00
Preço de custo (PARTE) 90%
Porcentagem de lucro sobre PV i %?
Na HP-12C será assim:
120 90 -25 25
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
120 120,00
90 -25
25
IMPORTANTE
O comando de Variação percentual pode ter dois tipos de resultados:
• Número Positivo: Quando o primeiro número de entrada (TODO) é menor do que o 
segundo número (PARTE);
• Número Negativo: Quando o primeiro número de entrada (TODO) é maior do que o 
segundo número (PARTE);
Operações comerciais – Transações envolvendo Lucro 43
Síntese
Neste módulo você pôde entender a importância do conceito de lucro, como ele incide 
nos preços e suas aplicabilidades nos negócios que realizamos. Vimos que numa transa-
ção de compra e venda de mercadoria almejamos o resultado de lucro, e o mesmo pode 
incidir sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. 
A partir destes conceitos podemos criar formas de administrar e calcular nossas tran-
sações comerciais diárias, sem riscos e até mesmo tirar vantagens delas, realizando os 
cálculos com muita clareza e precisão. Lembrando que para realizar estes cálculos, você 
aprendeu alguns comandos específicos da calculadora HP-12C.
No próximo módulo você irá estudar e praticar alguns métodos que serão necessários já 
ter estes conceitos.
Aguardo por você no próximo módulo. Até lá!
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2002.
BRUNI, Adriano Leal et Rubens Fama. Matemática Financeira com HP-12C e Excel.São Paulo, Atlas, 2002.
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira. 5ª ed. São Paulo, Makron Books, 2000.
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira com exercícios e cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo, Ática, 2007.
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira.6ª ed. São Paulo, Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira para concursos: mais de 1500 aplicações. São Paulo, Atlas, 2003.
NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Matemática Comercial e Financeira. 1ªed., Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 
2010.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da HP-12C.2ª ed. Edição Compacta. São Paulo, 
Atlas, 2009.
Sites
CENTRO DE ENSINO E SERVIÇOS JURÍDICOS. Disponível em: www.cejurgs.com.br/. Acesso em: 20 de março 
de 2013 
JULIO BATTISTI. OPERAÇÕES COMERCIAIS – LUCROS E PREJUÍZOS. Disponível em: http://www.juliobattisti.
com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos026.asp. Acesso em 20 de março de 2013 
44
A INCIDÊNCIA DOS 
CÁLCULOS COM A 
OCORRÊNCIA DE 
PREJUÍZO
OS RESULTADOS 
OBTIDOS DE PREJUÍZO 
NAS OPERAÇÕES 
COMERCIAIS
E MAIS...
Matemática 
Financeira
OPERAÇÕES 
COMERCIAIS
TRANSAÇÕES 
ENVOLVENDO 
PREJUÍZO
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!O que vamos estudar nesse módulo fará você avaliar e refletir a aplicação da 
matemática em seu cotidiano, e com isso você terá direcionamento para tomada de 
decisões em âmbito comercial. Geralmente, o que se espera em transações comerciais 
é a obtenção de lucro, mas quando mal sucedidas podem ocasionar em prejuízo, que 
normalmente ocorre quando alguém ou alguma instituição gasta mais do que arrecada: 
o custo foi maior que a receita. Assim, vamos aprender a calcular esse tipo de resultado, 
para que possamos nos resguardar em relação a constância desse tipo de resultado em 
nossas operações financeiras.
Conto com você, com sua disposição, comprometimento, dedicação e disciplina, para 
que juntos, possamos realizar um excelente trabalho. Bons estudos!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você será capaz de:
• Identificar e distinguir a incidência dos cálculos com a ocorrência de prejuízo;
• Calcular porcentagens nas transações usuais de compra e venda de mercadorias, com 
fundamentação de cálculos algébricos e tecnológicos;
• Manusear a HP-12C nos principais comandos algébricos e nas operações com porcentagens, 
para determinação de preços e apurar os resultados das transações comerciais com prejuízo;
• Analisar, em situações relacionadas a transações comerciais do cotidiano, os cálculos que 
envolvam prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda;
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Tâmara Santos Soares
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA 
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
OPERAÇÕES COMERCIAIS – 
TRANSAÇÕES ENVOLVENDO 
PREJUÍZO
Introdução
TRANSAÇÕES COMERCIAIS 
COM PREJUÍZO
Você sabe o que é Prejuízo? O termo prejuízo tem origem no 
latim praejudiciu,que significa "julgamento anterior" ou "dano 
prévio". Mas, como estamos falando em transações comerciais, 
vamos aprofundar nossos conhecimentos no Prejuízo financei-
ro, que ocorre quando alguém ou alguma instituição gasta mais 
do que arrecada. Em contabilidade, o prejuízo é o oposto do 
lucro. Ambos são saldos na conta denominada "resultados" ou 
"lucros e perdas", que podem ocorrer ao final do exercício, em 
geral, um período de doze meses.
O prejuízo pode ser definido da seguinte forma: é a diferença 
negativa entre o preço de venda e o preço de custo, ou seja:
Prejuízo = 
0
0
PV PC
PC PV
− <
 − >
ou
IMPORTANTE!
Não se esqueça que as vendas realizadas com prejuízo acontecem quando o preço de venda 
(PV) é menor do que o preço de custo (PC), gerando assim resultado negativo.
Você já notou algumas situações que podem gerar prejuízos? Pois é, às vezes são conse-
quências de ações que não dependem de nós, como por exemplo:
1. ESTOQUE: Mesmo com preços reduzidos, as mercadorias ficam estoca-
das, não há saída.
2. QUEDA DAS VENDAS: Com a queda das vendas, o empresário reduz o 
preço das mercadorias e o vendedor não recebe comissões, ou o pior, em 
alguns casos os funcionário são demitidos.
3. DESEMPREGO: Não há consumismo, se as pessoas 
estão desempregadas.
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo 47
4. PROMOÇÕES: Para atrair os clientes, os empresários fazem suces-
sivas promoções, mas mesmo assim, seu rendimento cai e pode 
até levá-lo ao prejuízo ou a falência.
E assim vira um ciclo que, se não for bem avaliado, pode provocar um 
boom no mercado. Então aluno(a), vamos aprender a calcular e lidar com 
essa situação?
PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
Quando o cálculo do prejuízo, em bases percentuais, incide sobre 
o preço de custo do produto adquirido, temos o que é chamado 
de porcentagem sobre o custo. Desta forma, se a compra de 
determinada mercadoria, que é vendida com um prejuízo de i%, 
significa que nesta operação o prejuízo em espécie da operação 
foi determinado sobre o preço de custo.
Quando o prejuízo incide sobre o Preço de Custo, tomamos 
esse valor como base de referência, ou seja, ele é o todo 
(100%). Assim por meio de regra de três simples temos:
. . 100%
. . (100 )%
P C
P V i
→
→ −
Aplicando a proporcionalidade e equacionando, teremos:
100
100
PC
PV i
=
−
Assim, aplicando também a propriedade das proporções, na qual o produto dos meios é 
igual ao produto dos extremos, a operação ficará da seguinte forma:
100. .(100 )
.(100 )
100
(100 ).
100
100.
100 100
PV PC i
PC iPV
iPV PC
iPV PC
= −
−
=
−
=
 = − 
 
OFF
30%
OFF
Operações comerciais – Transações envolvendo Prejuízo48
IMPORTANTE!
1. Taxa unitária= 
100 c
i i=
2. 1= −.( )cPV PC i , sendo que ci representa a taxa unitária de prejuízo sobre o preço de custo
3. Quando o referencial é o preço de custo PC (100%) e o resultado é prejuízo, então o preço de 
venda PV é menor que o PC (100%), ou seja, (100 - i).
Aplicação 1
Na realização da venda de um eletrodoméstico, cujo preço de custo é R$ 125,00, 
houve um prejuízo de 8% sobre o preço de custo. Qual o preço de venda dessa 
mercadoria?
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) 125,00
Preço de venda (PARTE) ?
Porcentagem de prejuízo sobre PC 8% = 0,08
Resoluções
Acompanhe a seguir alguns tipos de resoluções, a 1ª resolução 
será a Algébrica, utilizando-se a Regra de Três Simples. 
Lembrando que o Prejuízo significa que o preço de custo é maior 
que o preço de venda, isto pode ser representado da seguinte 
forma: Prejuízo → PC > PV. Acompanhe a resolução. 
100%
(100 )%
125 100%
(100 8)%
125 100
92
PC
PV i
PV
PV
→
→ −
→
→ −
→
→
Aplicando a proporcionalidade e equacionando: 
125 100
92PV
=
Operações comerciais – Transações envolvendo Prejuízo 49
Agora, aplicando a propriedade das proporções, onde o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos, vem:
100. 92.125
11500
100
115
PV
PV
PV
=
=
=
Vamos prosseguir com a 2ª resolução Algébrica, na qual basta substituirmos os dados na 
fórmula. Veja como é fácil:
1= −.( )cPV PC i
125.(1 0,08)
125.0,92
115
PV
PV
PV
= −
=
=
A 3ª resolução é a Tecnológica, utilizaremos na HP-12C o 
Comando de porcentagem %
ATENÇÃO
Na HP-12C temos o comando % , onde o referencial é o número 125 e a porcentagem é 
 
8%. Assim temos PC - P = PV
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
125 ENTER 125,00
8 % 10,00
- 115,00
Diretamente na HP-12C você fará PC - P = PV assim:
125 8 % 10,00 115,00
Assim, o preço de venda é R$ 115,00.
Aplicação 2
Um ferro elétrico foi vendido por R$ 150,00 com um prejuízo de 20% sobre o preço de 
custo. Então aluno (a), você saberia me dizer qual foi o preço de custo?
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) ?
Preço de venda (PARTE) 150,00
Porcentagem de prejuízo sobre PC 20%=0,20
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo50
Vamos começar nossos cálculos com a resolução Algébrica:
100%
(100% )%
100%
150 (100 20)%
100%
150 80%
PC
PV i
PC
PC
→
→ −
→
→ −
→
→
Em seguida, iremos aplicar a proporcionalidade e equacionar a propriedade das propor-
ções, veja:
100
150 80
80. 150.100
15000
80
187,50
PC
PC
PC
PV
=
=
=
=
Nosso próximo passo será a resolução substituindo os dados diretamente na fórmula, 
acompanhe:
1= −.( )cPV PC i
150 .(1 0,20)
150 .0,80
150
0,80
187,50
PC
PC
PC
PC
= −
=
=
=
Por fim, resolveremos a questão utilizando a calculadora HP-12C e o 
comando de porcentagem do todo , que é usado quando se conhece a 
PORCENTAGEM que é a parte calculada sobre o todo, e a PARTE representa 
o quanto foi tomado do todo, assim determinamos o TODO. E atenção, os 
procedimentos na HP-12C são:
PORCENTAGEM PARTE TODO
No nosso exemplo temos:
100%
150 80%
PC →
→
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo 51
REFLITA 
Agora pare e pense comigo: Se 80% representa a parte R$150,00, então, estamos procuran-
do o referencial, ou seja, 100% que representará o TODO (PC). E como você poderá verificar 
a veracidade desta informação? Simples, faça o seguinte.
PORCENTAGEM PARTE TODO
80 150 187,50
Assim o preço de custo é R$ 187,50, que é o referencial do prejuízo obtido (100%). 
Você pode tirar a prova para verificar se o prejuízo foi realmente de 20% sobre o preço de 
custo. Vamos lá! Observe os dados que já temos:
DADOS VALORES
Preço de custo (TODO) 187,50
Porcentagem de prejuízo sobre PC 20%
Preço de venda (PARTE) ?
Como sabemos que PV = PC - P, assim PV + P = PC. Entendido?
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
187,50 ENTER 187,50
20 % 37,50
- 150,00
Vamos agora calcular PC - P = PV diretamente na HP-12C.
187,50 20 % 150
Assim fica confirmado que o preço de VENDA é R$ 150,00, como foi dado no enunciado.
PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA
Consideramos porcentagem de prejuízo sobre a venda, quando o cálculo, em 
bases percentuais, incide sobre o preço de venda do produto adquirido. Desta 
forma, se a compra de determinada mercadoria é vendida com um prejuízo 
de i%, isto quer dizer que, nesta operação, o prejuízo em espécie da operação 
foi determinado sobre o preço de venda. Então, quando o prejuízo incide sobre 
o Preço de Venda, tomamos como base de referência o preço de Venda, ou 
seja, este preço de Venda é o todo (100%). Assim, veja que por meio de regra 
de três simples TEREMOS:
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo52
. . (100 )%
. 100%
P C i
P V
→ +
→
Aplicando a proporcionalidade e equacionando e aplicando a propriedade das proporções, 
ficará da seguinte forma:
100
100
(100 ). .100
PC i
PV
i PV PC
+
=
+ =
Dividindo por 100 membro a membro (Teorema da igualdade), teremos:
Assim temos
IMPORTANTE
O referencial PV (Preço de Venda) é 100% e como o resultado é prejuízo, então, podemos 
afirmar que o PC (Preço de Custo) é maior que 100%, ou seja, (100 + i ).
Vamos aplicar o que você aprendeu até agora? Então vamos lá!
Aplicação 1
Ao efetuar a venda de um relógio, cujopreço de custo era R$ 125,00, o comer-
ciante teve um prejuízo de 8%. Sabendo-se que esse prejuízo ocorreu sobre 
o preço de venda, determine o valor final da realização dessa transação. 
DADOS VALORES
Preço de custo (PARTE) 125,00
Preço de venda (TODO) ?
Porcentagem de prejuízo sobre PV 8% = 0,08
Resoluções
Apresentaremos alguns tipos de resoluções. Vamos começar utilizando a regra de três 
simples. Perceba que o prejuízo acarreta em um preço de custo maior que o preço de 
venda, esta informação pode ser escrita assim Prejuízo → PC > PV.
(100 ). .100
100 100
100 100.
100 100 100
i PV PC
i PV PC
+
=
 + = 
 
(1 ). .1
(1 )
v
v
i PV PC
PCPV
i
+ =
=
+
Onde 
100
i é denominada taxa 
unitária sobre o PV e indicada por iv
Sendo iv a taxa unitária de 
prejuízo sobre o preço de venda.
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo 53
A resolução será desta forma:
100%
(100 )%
100%
125 (100 8)%
100
125 108
PV
PC i
PV
PV
→
→ +
→
→ +
→
→
Aplicando a proporcionalidade, equacionando, como também aplicando a propriedade das 
proporções (produto dos meios é igual ao produto dos extremos), teremos:
100
125 108
108. 125.100
12500
108
115,74
PV
PV
PV
PV
=
=
=
=
Acredito que você já saiba que outra forma de resolver o problema é por meio da fórmula, 
basta substituir os dados, acompanhe:
1
=
+( )v
PCPV
i
Na HP-12C temos o comando % , que só será utilizado quando se conhece 
o TODO e a POCENTAGEM a calcular sobre ele (o referencial = 100%). 
Nesse caso NÃO poderemos usar esse comando, porque o TODO é o 
número desconhecido. Assim, utilizaremos outro comando da HP-12C, que 
corresponde à porcentagem do todo: 
108% 125
100% PV
→
→
REFLITA 
Por que utilizaremos o comando ? Porque conhecemos a porcentagem e a parte que ela 
representa, portanto, acharemos o TODO.
125
(1 0,08)
125
(1,08)
115,74
PV
PV
PV
=
+
=
=
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo54
Os comandos na HP-12C serão:
PORCENTAGEM PARTE TODO
Assim:
108 125 115,74
Agora, podemos afirmar que quando houve um prejuízo de 25% sobre a venda, 
o preço de venda desse produto foi de R$ 115,74. Entendido? Espero que sim! 
Vamos seguir com mais uma aplicação.
Aplicação 2
Um casaco foi comprado por R$ 120,00 e vendido por R$ 90,00. Qual foi o 
percentual de prejuízo sobre o preço de venda?
DADOS VALORES
Preço de custo (PARTE) 120,00
Preço de venda (TODO) 90,00
Porcentagem de prejuízo sobre PV i % ?
Resoluções
Como você já sabe, iniciaremos a resolução por meio da Regra de Três Simples, depois 
aplicaremos a proporcionalidade, e por fim, a propriedade das proporções:
100%
(100% )%
90 100%
120 (100 )%
90 100
120 100
90.(100 ) 120.100
12000100
90
100 133,33
133,33 100
33,33
PV
PC i
i
i
i
i
i
i
i
→
→ +
→
→ +
=
+
+ =
+ =
+ =
= −
=
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo 55
Outra maneira é usar os dados do problema e substituir na fórmula: 
1
=
+( )v
PCPV
i
Logo em seguida, aplique a propriedade das proporções: 
(1 ).90 120.1
1201
90
1 1,33333...
1,33333... 1
0,33333...
v
v
v
v
v
i
i
i
i
i
+ =
+ =
+ =
= −
=
DICA
Você sabia que multiplicando essa taxa por 100, passaremos a ter a taxa Centesimal (i %)? 
Veja só…
0,33333... 1000
33,33%
xv
v
i
i
=
=
Representa a taxa 
centesimal de prejuízo
Na HP-12C temos o comando que é usado quando você conhece o TODO e a 
PARTE, nesse caso, determinaremos a porcentagem. Para isso, faremos o seguinte:
TODO PARTE Porcentagem tomada do todo (100 + i ) 100 i
No nosso exemplo temos: 
90 100%
120 (100 )%i
→
→ +
O preço de custo (PC ) representa a porcentagem tomada do todo, ou seja, (100 + iv ) %, 
sendo assim, iv é a porcentagem de prejuízo sobre o preço de venda (PV ).
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
90 90,00
120 133,33
100 - 33,33
12090
(1 )
90 120
1 (1 )
(1 ) 120
1 90
v
v
v
i
i
i
=
+
=
+
+
=
Representa a taxa unitária 
de prejuízo sobre a venda
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo56
Na HP-12C faça o seguinte:
90 120 100 33,33
Assim o percentual de prejuízo sobre o preço de venda é de 33,33%.
Com base nos dados do problema, podemos tirar a prova e 
verificar se o prejuízo de 33,33%, sobre o preço de venda, gera 
o custo no valor de R$ 120,00. Basta aplicar 33,33% sobre o 
preço de venda e adicioná-lo (porque é prejuízo) para obtermos o 
preço de custo. Veja as tabelas a seguir e acompanhe mais uma 
resolução:
DADOS VALORES
Preço de venda (TODO) 90,00
Porcentagem de prejuízo sobre PV 33,33%
Preço de custo (PARTE) ?
DADOS 
NUMÉRICOS
COMANDOS 
ACIONADOS
VISOR DA 
HP-12C
90 90,00
33,33 % 30,00
120,00
DICA
Você está trabalhando com duas casas decimais na HP-12C ( 2).
Na HP-12C resolva a fórmula PV + P = PC:
90 33,33 % 120
Assim, fica confirmado que o preço de custo é R$ 
120,00, como foi dado no enunciado.
Por fim, vamos utilizar o comando de Variação 
Percentual da HP-12C, este comando é utiliza-
do quando são dados o TODO e a PARTE, e nesse caso 
verificaremos a variação percentual entre eles, ou seja, a 
PORCENTAGEM sobre a venda i. Então aluno(a), faça o seguinte proce-
dimento na calculadora:
TODO PARTE PORCENTAGEM ( i )
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo 57
DADOS VALORES
Preço de venda (TODO) 90,00
Preço de custo (PARTE) 120
Porcentagem de prejuízo sobre PV i  % ?
Já com o comando de Variação Percentual ( ), ficará assim:
90 120 33,33
Assim, você poderá concluir que a porcentagem de prejuízo sobre o preço de venda é de 
33,33%.
Então aluno(a), alguma dúvida a respeito do cálculo de prejuízo? Caso haja alguma, sugiro 
que você releia o módulo. Bons estudos e até a próxima!
Operações comerciais - 
Transações envolvendo Prejuízo58
59
Síntese
Neste módulo você pôde compreender que prejuízo é qualquer dano ou perda que reduz o 
valor das mercadorias que são oferecidas nas transações comerciais. Assim, a importân-
cia do resultado obtido nas transações comerciais e suas consequências nos negócios, 
nos levam a criar melhores formas de administrar e calcular com muita clareza e preci-
são, para que não gerem mais prejuízos. Portanto, um dos conceitos fundamentais em 
transações financeiras é o prejuízo, que diz respeito à perda, e isso com certeza não é 
o desejável. Em linhas gerais, devemos saber calcular, avaliar e tomar decisões para não 
correr esse risco.
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2002.
BRUNI, Adriano Leal et Rubens Fama. Matemática Financeira com HP-12C e Excel.São Paulo, Atlas, 2002.
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira. 5ª ed. São Paulo, Makron Books, 2000.
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira com exercícios e cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo, Ática, 2007.
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira.6ª ed. São Paulo, Saraiva, 2007.
MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira para concursos: mais de 1500 aplicações. São Paulo, Atlas, 2003.
NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Matemática Comercial e Financeira. 1ªed., Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 
2010.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da HP-12C.2ª ed. Edição Compacta. São Paulo, 
Atlas, 2009.
Sites
CENTRO DE ENSINO E SERVIÇOS JURÍDICOS. Disponível em: www.cejurgs.com.br/. Acesso em: 20 de março 
de 2013 
JULIO BATTISTI. OPERAÇÕES COMERCIAIS – LUCROS E PREJUÍZOS. Disponível em: http://www.juliobattisti.
com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos026.asp. Acesso em 20 de março de 2013 
Matemática 
Financeira
SISTEMA DE 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES - 
JUROS E MONTANTE
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!Nesse módulo aplicaremos muitos conceitos e realizações praticadas no mercado 
financeiro e no comércio com o intuito de deixá-lo informado sobre a aplicação da 
matemática em seu cotidiano.
Os ensinamentos de Financeirasão amplos e de grande utilidade para todas as pessoas, 
físicas ou jurídicas, pois suas aplicações são utilizadas em operações de financiamentos 
de quaisquer espécies, em operações de investimento, em operações de desconto, entre 
outras.
O uso das técnicas de Financeira é imprescindível para a tomada de decisão pois você 
poderá tomar decisões mais racionais como: decidir a melhor oferta de financiamentos de 
casas e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou no cartão de crédito, 
aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, etc.
Nesse módulo será abordado o regime de juros simples que já foi muito utilizado nas 
situações de curto prazo, hoje quase impraticável, mas entender como funcionava esse 
sistema vai lhe ajudar a entender todo o estudo da financeira.
Conto com você, com muita disposição, compromisso, dedicação e disciplina para que 
juntos possamos realizar um excelente trabalho.
Estudar a distância é uma experiência fascinante. Estude bastante. Tenha uma ótima 
aprendizagem e muito sucesso!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo, você deverá ser capaz de:
• Conhecer a modelagem matemática do regime de capitalização simples.
• Definir os principais componentes de uma operação financeira.
• Identificar taxas de juros proporcionais.
• Identificar e distinguir a incidência dos cálculos na fixação de juros.
• Determinar os juros nas transações usuais fundamentando os cálculos com resoluções 
algébricas e tecnológicas;
• Manusear a HP-12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas 
operações com regime simples.
• Aplicar no cotidiano, nas transações de juros simples, almejando rentabilidade.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Pollyana Barbieri Pazzini
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA 
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias 
Nassif Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO 
SIMPLES – JUROS E MONTANTE
Introdução
Provavelmente você já ouviu uma dessas indagações:
• Por que estudar a Matemática Financeira?
• Como posso aplicá-la no meu cotidiano? 
• Que diferença os ensinamentos da disciplina fará 
em minha vida?
E para respondê-las, vamos inicialmente falar de algumas gran-
dezas que são trabalhadas em financeira, como:
• Capital: é a importância monetária, ou seja, o valor do 
dinheiro aplicado (ou tomado) numa instituição finan-
ceira. Representaremos o capital por um dos símbolos: 
“C ” ou “PV ” ou “A”.
• Tempo: qualquer unidade periódica, ou seja, unidade de referência temporal, como 
ano, semestre, quadrimestre, trimestre, bimestre, mês, dia ou outro período qual-
quer. Representaremos o tempo pela letra “n”.
• Taxa: é o coeficiente de proporcionalidade que se aplica sobre o valor monetário em 
função do tempo, e será sempre referendada a um período de tempo.A representa-
ção da taxa será pela letra “i ”e poderá ser expressa por:
 - Taxa Centesimal quando é acompanhada pelo símbolo % ( i% );
 - Taxa Unitária quando é dividida por 100 100
i





• Montante: é o saldo final do investimento (ou do financiamento), isto é, é o capital 
acrescido de juros. Indicaremos o Montante por: “M ” ou “FV ”.
• Juro: é o valor monetário que representa a remuneração do capital, ou seja, é a 
remuneração obtida a partir do capital de terceiros. É o contrato de aluguel, em 
dinheiro, em função da contratação de uma operação financeira, por um período de 
tempo determinado. Em geral, os juros simples são empregados em contratos como 
aluguéis de imóveis ou parcelas financiamento de compra de bens, cujo pagamento 
é feito com atraso de alguns dias. 
Temos dois referenciais de juros a considerar: 
 - Aquele que paga juros: poderemos entender como custo, despesa financeira, 
prejuízo, etc. 
 - Aquele que recebe juros: poderemos entender como rendimento, receita finan-
ceira, ganho, como também, é o acréscimo que se dá ao negócio realizado pelo 
uso do capital de alguém, etc.
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante 63
CURIOSIDADE
É bastante antigo o conceito de juros, que surgiu naturalmente quando o Homem percebeu 
existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Na antiguidade, os juros eram pagos 
pelo uso de sementes ou de outros bens. Muitas das práticas existentes originaram-se dos 
antigos costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos 
agrícolas.
E assim com a distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos 
baseados nessas transações, já usavam alguns tipos de contratos legais 
como recibos. Os juros e os impostos existem desde a época dos primei-
ros registros de civilizações existentes na Terra.
Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda leva-
riam normalmente a ideia de juros, pois se realizavam basicamente devi-
do ao valor temporal do dinheiro. 
Os juros não é apenas uma das nossas mais antigas aplicações da 
Matemática Financeira e da Economia, mas também quase não sofreu 
mudanças através dos tempos.
Também é necessário falar sobre o Fluxo de Caixa.
Você saberia responder o que é um Fluxo de Caixa?
É a movimentação financeira da empresa, ou seja, as Entradas (+) e as Saídas ( - ) de 
dinheiro.
Veja os exemplos abaixo:
1º) Uma aplicação:
Capital investido (-)
Saldo ou Montante (+)
2º) Um empréstimo:
Pagamento final do 
empréstimo (-)
Dívida contrária na forma 
de empréstimo (+)
Quando utilizamos os comandos financeiros da HP-12C é necessário que uma das gran-
dezas monetárias seja negativa, e para isso utilizaremos o comando de troca de sinais 
que é .
E agora com base nessas grandezas podemos entender porque a Matemática Financeira 
tem como principal objetivo estudar o valor do dinheiro em função do tempo, ou seja, 
a evolução do valor do dinheiro no tempo. O conceito é aparentemente simples e nesse 
módulo, você terá todas as condições de verificar e entender como atualizar ou corrigir 
o seu capital.
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante64
A seguir vamos tratar de alguns conceitos fundamentais e preliminares.
Regimes de Capitalização
A expressão capitalização de juros encontra-se diretamente ligada aos sistemas ou méto-
dos de cálculos, assim definidos:
“são sistemas de capitalização de juros, os métodos pelos quais os capitais são 
remunerados”.
É a forma em que se verifica o crescimento do capital, que pode ser simples ou composta.
No regime de capitalização simples os juros são calculados utilizando como base o capital 
inicial (C = PV), ou seja, os juros incidem sempre sobre o capital inicial gerando juros 
proporcionais ao tempo de aplicação (juros iguais).
0
J1C J2 J3
n
Jn
1 2 3
J1 = J2= J3 = ... = Jn
No regime de capitalização composta a taxa de juros é aplicada sobre o capital acumulado 
do período anterior, ou seja, já crescido de juros. É o famoso “juros sobre juros”.
0
J1
C
J2 J3
n-1 n
MnMn-1M1 M2 M3
Jn
1 2 3
No momento o nosso estudo é focar apenas o regime Simples.
Regime de Capitalização Simples
Nessa modalidade a base de cálculo é sempre o valor inicial, não ocorrendo qualquer 
alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros, ou seja, os juros são 
calculados sempre sobre o valor inicial da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o capital 
cresce de forma linear (constante), isto é, proporcional ao tempo. 
CURIOSIDADE
Hoje raramente se tem a prática desse regime, acontece só em países com baixo índice de 
inflação e com o custo real do dinheiro baixo;ou em países com alto índice de inflação ou 
custo financeiro real elevado nas aplicações em curto prazo. 
Sistema de Capitalização Simples – Juros e Montante 65
IMPORTANTE
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial,