Capitulo 10 - Logarítmos

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Logaritrnos
Facilitando calculos trabalhosos
Os logaritmos foram inventados por volta de 1615. Naquela epoca, ja havia um grande desenvolvimento da
navegagao, do comercio e da astronomia, entre outros setores do conhecimento. Existiam bancos e se faziam
calculos de juros. Todo esse avango levou a necessidade de serealizar calculos enormes e trabalhosos. Esta era
uma das dificuldades da epoca. Os logaritmos, como instrumento de calculo, surgiram para realizar simplifica-
goes, transformando multiplicagoes e divisoes em operagoes mais simples como adigao e subtragao.
Observe 0 exemplo a seguir:
Vamos considerar a progressao aritmetica (PA) e a progressao geometrica (PG) abaixo;
PA 2
PG. 2 4
3 4 5 6 7 8 9 10
8 16 32 64 128 256 512 1 024
11 12
2048 4096
13
8192
14 15
16 384 32 768
Para efetuarmos 64 x 512, basta observarmos que
• 0 numero 64 na segunda linha corresponde ao numero 6 na primeira linha;
• 0 numero 512 na segunda linha corresponde ao numero 9 na primeira linha.
A soma dos numeros 6 e 9 e igual ao numero 15, 0 qual corresponde ao numero 32 768 na segunda linha.
PA
PG 3
5
243
6
729
7
2 187
8 9
6561 19 683
10
59 049
Calculando 243 x 6 561, basta considerarmos que
• 243, na segunda linha, corresponde a6 numero 5 na primeira linha;
• 6561, na segunda linha, corresponde ao numero 8 na primeira linha.
• 5+8=13
13, na primeira linha, corresponde ao numero 1 594 323 na segunda linha.
Hoje em dia, com as calculadoras modernas e com os computadores, ja nao se usam as famosas tabuas
(tabelas) de logaritmos, mas podemos ter certeza de que a fungao logarftmica nunca morrera pela simples razao
de que as variagoes exponencial e logarftmica sac partes vitais da natureza e da analise. Consequentemente,
um estudo das propriedades da fungao logarftmica e de sua inversa, a fungao exponencial, permanecera sempre
uma parte importante do ensino da Matematica.
Recentemente, no seculo XX, com 0 desenvolvimento da Teoria da Informagao, Shannon descobriu que a
velocidade maxima Cmax - bits por segundo, com que sinais de potencia S watts podem passar por um canal de
comunicagao que permite a passagem, sem distorgao, dos sinais de frequencia ate B hertz, produzindo um rufdo
de potencia maxima N watts, e dada por: em;;x = B.109 2(~) . Dessa forma, os logaritmos claramente assumem um
papel fundamental, pois constituem uma ferramenta essencial no contexto da moderna tecnologia.
Logaritmos
Denomina-se logaritmo do numero b na base a 0 expo-
ente x ao qual se deve elevar a para se obter b.
Em loga b = x , temos:
• a e a base do loga,ritmo;
• b e 0 logaritmando;
• x e 0 logaritmo.
Exemplos
Atenc;:ao: compare estes logaritmos com as tabelas cons-
tantes da introduc;:ao (pagina 1)
a) log232 = 5 po is 25 = 32
b) log36561 = 8 pois 38 = 6561
Propriedades
1. loga1 = 0 pois aO= 1
2. logaa = 1 pais a1 = a
3. loga an = n pois an = an
4. a1og: = b , pois .ax = b ¢::> x = loga b
5. loba X = loga y ¢::> a1og: = X ¢::> Y = X (Aplicamos,
sucessivamente, a definic;:ao e a propriedade 3.)
6. loga (x.y) = loga X + loga Y
7. logabn = n . logab
8. loga xly = loga x - loga Y
Aplicac;:ao da propriedade loga (x.y) = loga x + loga Y
Calcular 0 produto 64 x 512, aplicando logaritmos.
Resoluc;ao:
log2(64.512) = log2 64 + log2 512 = 6 + 9 = 15 =>
64x512 = 215 = 32768
Analise este exercicio, comparando-o com a intro-
duc;:ao: Facilitando calculos trabalhosos.
• Cologaritmo: Denomina-se cologaritmo de um nu-
mero Q oposto do logaritmo desse numero, na mes-
ma base.
• Mudanc;a de base:
I b _ loge boga ---
loge a
• Conseqiiencias:
a) loba b . logea = loge b
b) loga b = 1110gb a
Compara<;ao de logaritmos
(inequa<;oes logarftmicas)
1° caso: a > 1
logax2 > loga x1 ¢::> x2 > xj
(0 sentido da desigualdade se conserva)
2° caso: 0 < a < 1
logax2.< logax1 ¢::> x2 > xj
(0 senti do da desigualdade se inverte)
1. Resolver a seguinte equac;:ao logaritmica:
log2 (- 4x + 12 ) = 2
Resoluc;ao:
a) Em primeiro lugar, devemos obter a condic;:ao de exis-
tencia do logaritmo (dominio de validade)
- 4x + 12 > 0 :::} x < 3 :::} CE = D = { XE R : x < 3 }
Resoluc;ao:
a) CE: x> 0
b) Como as bases sao diferentes, devemos, em primei-
ro lugar, iguala-Ias. Vamos passar tudo para a base
menor que e igual a 2.
Temos: log~ = log~
log~
. x log~ x log~c) log2 X + log4 X = 3:::} log2+-- = 3:::} log2+-- = 3
log~ 2
:::} 2.log2 X + log2 X = 6 :::} 3.log2 X = 6 :::} log2 X = 2
:::}x=4:::}V={4}
Resoluc;ao:
log3 ( 3x + 2 ) < 2:::} log3 ( 3x + 2 ) < log3 9 :::}
2 7o < 3x + 2 < 9 :::} - 3 < x < 3
V ={XE R :-f< x <f}
4. Resolver a inequa<;:aologaritmica 10g.2.(3x + 2) < 10g.2.9
3 3
Resolu~ao:
Observe que a base e menor que 1. Neste caso, deve-
mos inverter 0 sinal da desigualdade.
a) Dominio de validade: 3x + 2 > 0 :=} x > - ~ (I)
3
7
b) 3x + 2> 9:=} x > - (II)
3
Fazendo a interse<;:ao de (I) e (II), obtemos x > .!.-
V={XER:X>f} 3
5. Resolver a inequa<;:iiologaritmica log 1 (3X + 2) > log 1 9
'3 '3
Resolu~ao:
Observe que a base e menor que 1. Neste caso, deve-
mos inverter 0 sinal da desigualdade.
a) Dominio de validade: 3x + 2 > 0 :=} x > -~ . (I)
3
7b) 3x + 2 < 9 :=} x < - (II)
3
Fazendo a interse<;:aode (I) e (II), obtemos -~ < x < .!.-
V={XER:-f<x<f} 3 3
Fun~ao'logarltmica
Dado um numero real a, tal que 0 < a '* 1, denomina-
mos fun<;:ao logaritmica de base a a fun<;:ao f: R::=} R
que associa a cad a x 0 numero log. x .
Observa~ao
A fun<;:ao logarftmica e a fun<;:ao inversa da fun<;:ao
exponencial.
Observe
y = aX:=} x = 10gX ou, permutando as variaveis, y = log~
Grafico da func;ao logaritmica
10 caso
A base a e maior que 1 (a> 1)
·Exemplo
Construir 0 grafico da fun<;:8.o
a) y = log~••1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
Dominio = W
Contra dominio = R
a > 1:=} f.crescente
• ••
y
I
3
2 --I 1 /"
I /'
~
/1 2 4 8 x
1- 1
-2
I -3
20 caso
A base a e maior que 0 e menor que 1 (0 < a < 1)
Exemplo
Construir 0 grafico da fun<;:ao
a) Y = log~
2
y = log~
Dominio = W
Contra dominie = R
o < a < 1:=} f.decrescente
Y
- _3
2
1 \
\1 2 4 8
0 '" x
-1 ""'-.
-2 -I----3
Voce sabia?
as logaritmos sao utilizados em diversas areas
como, por exemplo, na Geologia, para a medi<;ao
da intensidade de terremotos (escala Richter); na
Qufmica, para 0 calculo do ph; na Medicina, para
observar a intensidade auditiva.
Existe tamMm um sistema de logaritmos chamado
neperiano (em homenagem a John Napier - mate-
matico escoces do seculo XVI, inventor dos
logaritmos), cuja base e 0 numero irracional e
= 2,7183". e indicamos este logaritmo pelo sfmbolo
In. Assim, logeM = In M. Este sistema de logaritmos,
tambem conhecido como sistema de logaritmos
naturais, tem grande aplicat;ao no estudo de diver-
sos fenomenos da natureza.
Questoes propostas
1. (Vunesp) as bi610gos dizem que ha uma alometria
entre duas variaveis, x e y , quando e possivel deter-
minar duas constantes, c e n, de maneira que
y = c.xn• Nos casos de alometria, pode ser conveni-
ente determinar c e n por meio de dados experimen-
tais. Consideremos uma experiencia hipotetica na
qual se obtiveram os dados da tabela a seguir:
__ ~:,J('"
Supondo que haja uma rela<;;ao de alometria entre
x eye considerando log 2 = 0,301, determine 0
valor de n.
2. (Cesgranrio) Sendo a e b as raizes da equa<;;ao
x2+100 x -10 = 0, calcule 0 valor de 10g1Q(: +~).
3. (UFCE) Considere a fun<;;ao real de variavel real de-
finida pela expressao a seguir: F(x) = log 1(~- ~J
2" 10 5
Determine:
a) o dominio de F ~(f!" .({_-~a.~ :to.:
b) os valores de x para os quais F(x) :2: 1
4. (UFCE) Sendo a e b numeros reais positivos tais
que: 10g;'3a = 224 e 109;'3b = 218 , calcule 0 valor
de a/b.
5. (UFPE) A expressao log (6 - x - x2) assume valores
reais apenas para x pertencente a um intervale de
numeros reais, onde log e 0 logaritmo decimal. De-
termine 0 comprimento deste intervalo.
6. (UFSC) Se os numeros reais positivos a e b sac tais
que a - b = 48 e log2a - log2b = 2,calcule 0 valor de
a+b. C<.-b,H
~O [<:<;\ Cr. _ 1=' - 1 '-.:t> <!I::
•.•~ 't
7. (Unicamp) Resolva 0 sistema:log2x + log4Y = 4 e
xy= 8
3
a) -
4
t'J 4
3
7
d) 3
5
e) 2
9. (Cesgranrio) Se 10QlO(2 x - 5 ) = 0 , entao x vale
7 5
a) 5 b) 4c 3 d) - ti\ -
3 r' 2
10. (Cesgranrio) Se log10123 = 2,09,0 valor de log101,23 e
Ii 0,0209 d) 1,09
lID 0,09 e) 1,209
c) 0,209
11. (FE I) Se log 2 = a e log 3 = b, escrevendo log 32/27
em fun<;;aode a e b obtemos 1> _ ;y.~'
a) 2a + b
b) 2a - b
c) 2ab
d) 2a/b
#5a - 3b
12. A fun<;;aof(x) = log ( 50 - 5x -:-x2 ) e definida para
a) x> 10 -';("'_:, <7.>0
)5) - 10 < x < 5 .'.\ - .J: - ••f "
c) - 5 <x.< 10
d) x ~ - 5
e)5<x<10
x
13. (FEI) Se A = log2x e B = log2 -
2
@ 1 J!J 2 c)-1
14. (Fuvest) Seja x = 21000.Sabendo que log102 e apro-
ximadamente igual a 0,30103, pode-se afirmar que
o numero de algarismos de x e
a) 300
b) 301
/g,) 302
d) 1000
e) 2000
15. (Fuvest) Sabendo-se que 5n = 2 , podemos concluir
que log2100 e igual a
a) 2/n ~ -= .7f~
b) 2n
c) 2 + n2
d) 2 + 2n
e) (2 + 2n )/n
16. (Fuvest) a numero real x que satisfaz a equa<;;ao
log2(12 - 2X) = 2x e eJ.;. - i 'eA-'
1 -
a) log25 d) log2 J5
b) log2 J3 I)Iog23
• < c) 2
17. (Fuvest) a conjunto das raizes da equa<;;ao
log1Q(x2)= (IoglOX)2e
d){1,10}
e) {xER/x>O}
J. 9..c':l 'J ~
'to Iii
18. (Mackenzie) Se x2 + 8x + 810g2k e um trin6mio qua-
drado perfeito, entao k! vale
a) {1}
b) {1,100}
c) {10,100}
vi 24 c) 120 d) 720
7 tet l. ~ {. J.:;'i\,
19. (PUC-Camp) Se (2J2)' = 64, 0 valor do logaritmo
log~ e 91.]::1'"
,..;.,'
8
5
d) -
6
2
e)-
3
-!.. )~ .
,5'
\,;\ 'J.~
b) - 5/6
/J - 2/3
Jurij Vega (1754-1802) - matematica e especia-
/ista em ba/fstica, fai a autar das tabe/as de
/agaritmas que faram usadas ate surgirem as ca/-
cu/adaras e/etr6nicas.
20. (PUC-MG) A soma das rafzes da equac;;ao
log2 2x'-3x+5 = 3 e
21. (UEL) Supondo que exista, 0 logaritmo de a na
base b e
a) 0 numero ao qual se eleva a para se obter b.
(6) 0 numero ao qual se eleva b para se obter a.
t!i a potEJncia de base b e expoente a
d) a potE'mcia de base a e expoente b
e) a potE'mcia de base 10 e expoente a.
1
fig
23. (UEL) Os numeros reais que satisfazem a equac;;ao
log2(x2-7x) = 3 pertencem ao intervalo
.\ ~.v, a) ]O,+oo[ Ii [-1,8] {~ -,"'.
)(b) [0,7] 'x e) [-1,0] ')"-.-::-"
,c) ]7,8]
24. (UEL) Admitindo-se que log52 = 0,43 e log53 = 0,68,
obtem-se para log512 0 valor 'a:, J
J
~ "} .:, 1a) 1,6843
b) 1,68
~<) 1,54
d) 1,11
e) 0,2924
25. (UFF) Pode-se afirmar que 0 valor de log 18 e igual a
IJ log 20 - log 2 d) log 36/2
b) 3.log 6 e) (log 3)(log 6)
@ log 3+ log 6
26. (UFMG) Os valores de x que satisfazem a equac;;ao
logx (ax + b) = 2 sac 2 e 3. Nessas condic;;oes, os
respectivos valores de a e b sac
a) 4 e-4
b) 1 e-3
c) -3 e 1
d) 5 e-6
e) -5 e 6
27. (UFMG) 0 valor de x que satisfaz a equac;;ao
2.log x + log b -log 3 = log (9b/x4), onde log repre-
senta 0 logaritmo decimal, pertence ao intervalo
a) [0,1/2]
b) [1/2,1]
I) [1,2]
d) [2,3]
e) [3,4]
28. (UFMG) 0 conjunto de todos os valores reais de x que
satisfazem a equac;;ao 2.log10x = 1 + log10(x+ 11/10) e
a){-1,11} x~·:!
b) {5,6}
c) {10}
yf}{11}
29. (Unaerp) Se log2b - log2a = 5 0 quociente bfa, vale
a) 10 d) 64 ' - . .~.
@) 32 e) 128
o 25
{
IOg(X + 1)-log Y = 3.log 2
x-4y=7 :"
31. (Unitau) Se 2Iog,n' = x, entao o(s) valor(es) real(is)
de N que satisfaz(em) x2 - x = 0 e (sao)
a)Oe1 QJJl,. d)Oe-1
}fi1 @)-1e1
c) 0
IJ x> .2...
2
b) x> 0
1@x> - e x;t1
2
e) x ;t .2...
2
1c) x < - e X;t 1
2
33. (Vunesp) Considere a func;;aof, definida por f(x) = lognx.
Se f(n) = m e f(n+2) = m + 1, os valores respectivos
de n e in sac
/'512e1. ; /'\!:b)2e2 lI-...;.. •• ,
. c)3e1 J ,\.1
<' d) 3 e 2
e) 4 e 1
1
log-
10
1
log02-. 25
log14
2
Observe os cinco cartoes anteriores. Escolhendo-
se ao acaso um desses cartoes, a probabilidade de
que nele esteja escrito um logaritmo cujo valor e um
numero natural e de
2
c) -
5
3 4
d)- Xe)-/55
35. (Fuvest) A figura a seguir mostra 0 grafico da fun9ao
logaritmo na base b. 0 valor de b e
1 y
a) -
4
b) 2
c) 3
d) 4
e) 10 -1
f1~ , J..,
);(1/ CA'·:l
<1.
1 ~
ot~.h
-J",~)b=.!.
39. (Unesp) Em que base 0 logaritmo de um numero
natural n, n ~ 1, coincide com 0 proprio numero n ?
1
b)-
n
40. (UNIRIO) Um professor propos aos seus alunos 0
seguinte exercfcio: "Dada a fun9ao f: R: --7 R tal que
f (x) = log2 64x3 determine a imagem de x = 1024".
Qual nao foi sua surpresa quando, em menos de um
minuto, um aluno respondeu CORRETAMENTE que
a imagem era
a) 13,22,30, 33
b) 8,10,12,17,18,21,29,34,36
c) 9, 14, 19,20,24,25,27,37,38
d) 23, 26, 28, 32, 35
e) 11,15,16,31,39,40
Nessa figura, esta representado 0 grafico da fun9ao
f (x) = log2 1/ (ax + b). Entao, f (1) e igual a 3. a) D (F) = {XE R/ x < -2 au x > 2}
1
d)--
2
1
e)--
3
Nessa figura esta representado 0 gratico de
f ( x ) = logn x . 0 valor de f ( 128 ) e
5
a)-
2
7~-2
38. (UFRS) Dada a expressao S = log 0,001 + log 100, 0
valor de S e
OJ ()Of
x ':J)---.-
~::~lJj