Gabarito das Autoatividades de Fundamentos e História da Matemática

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Gabarito das Autoatividades
FUNDAMENTOS E HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
(MATEMÁTICA)
2011/2
Módulo III
3UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE 
FUNDAMENTOS E HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Como eram feitos os registros numéricos no período pré-histórico?
R.: Faziam marcações em pedaços de madeiras, ossos ou peças de cerâmica, 
inscrições em cavernas ou agrupavam pequenas quantidades de pedras em 
montes ou saquinhos de couro. Também faziam nós em barbantes ou cordas.
2 Para quais finalidades os homens da Pré-História usavam a Matemática?
R.: Para contar animais em um rebanho, pessoas da tribo e diversos 
suprimentos.
3 Como os povos ágrafos desenvolveram a contagem, se não usavam a 
escrita?
R.: Faziam nós em cordas e utilizavam o método mnemônico, que atribuía 
um valor numérico a cada parte do corpo.
4 Explique o funcionamento do sistema de registro de quantidades desenvolvido 
pelos incas.
R.: Eles faziam uso de um sistema de nós em cordões coloridos, denominados 
quipos ou quipus, em que cada cor de cordão e cada tipo de nó possuíam 
um significado específico.
5 Justifique a frase: “Para os Tupis, era completamente desnecessário saber 
contar além de 20”.
R.: Como eram nômades, não tinham o hábito de guardar muitas coisas, logo 
não precisavam contar além de 20.
TÓPICO 2 
1 Quais as semelhanças entre maias e mesopotâmicos no que diz respeito 
à criação de sistema numérico?
R.: Criaram um sistema numérico posicional, inclusive com o uso do algarismo 
zero, e que, por possuírem muitos algarismos, acabaram sendo abandonados.
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2 Que nome é dado à escrita desenvolvida na Mesopotâmia?
R.: Cuneiforme, pois como eram marcações feitas com estiletes em placas 
de argila, apresentavam formatos de cunha.
3 Explique o sistema semiposicional utilizado na representação matemática 
dos mesopotâmicos.
R.: Cada algarismo não depende apenas de si para expressar um número, 
mas também de sua posição. Até aí seria um sistema posicional, mas o uso 
do zero é feito apenas nas posições intermediárias, não sendo aplicado em 
números redondos, logo, é um sistema semiposicional.
4 O Egito exerce um grande fascínio sobre as pessoas por seu desenvolvimento 
esplendoroso. Desvendar o cotidiano deste povo e conhecer um pouco mais 
sobre uma civilização de mais de 5 mil anos só foi possível devido aos registros 
deixados por eles. Como era feito esse registro? Cite a escrita e os materiais 
utilizados nesta tarefa.
R.: Criaram o papel, feito a partir de uma planta chamada papiro, e 
desenvolveram uma escrita chamada de hieroglífica.
5 Por qual motivo os egípcios não utilizavam o zero?
R.: Porque seu sistema não era posicional, cada símbolo possuía um valor 
e, com a justaposição aditiva deles, podia-se representar todos os números 
até 9.999.999.
6 Qual a diferença do sistema numérico posicional e o sistema numérico de 
justaposição aditiva?
R.: No sistema aditivo cada algarismo possui um valor independente de sua 
posição e a formação de um número se dá através da soma de diversos 
desses algarismos. Já no sistema posicional, o valor de cada algarismo 
depende não apenas de si, mas também de sua posição.
7 Por qual motivo a realização de cálculos no sistema numérico dos romanos 
se tornou difícil? Como tentaram sanar essa dificuldade?
R.: Porque esse sistema possuía o princípio aditivo e subtrativo, o que 
complicava muito os cálculos. Para resolver esses problemas utilizavam um 
ábaco com fichas sobre uma mesa.
8 Qual povo influenciou profundamente o sistema numérico romano?
R.: O povo etrusco.
9 Observe os números a seguir, identifique qual povo os utilizou e converta-
os para o sistema indo-arábico:
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a) MMCDXXXIV
Romano = 2.434
b) 
Egípcio = 24.913
c) 
Mesopotâmico = 2·602 + 12·60 + 32 = 7.952
d) 
Maia = 6·202 + 0·20 + 16 = 2.416
TÓPICO 3 
1 Quais as características do antigo sistema de numeração decimal 
desenvolvido na Índia a partir do século IV d.C.?
R.: Possuíam nove símbolos para representar os nove primeiros números, 
atrás de cada símbolo era pronunciada uma palavra para indicar dezena ou 
centena e adotaram um sistema posicional.
2 Como era caracterizada a sociedade indiana naquele período?
R.: Era dividida em castas, a pessoa que nascia em determinada casta não 
podia mudar jamais. Isso fazia parte da religião hindu.
3 Por qual motivo os hindus sentiram a necessidade de criar o zero? Como 
o representaram?
R.: Em um sistema posicional, é necessário marcar a posição, a casa decimal. 
Sem nenhum algarismo, criaram, então, um símbolo e um vocábulo para o 
vazio.
 
4 Explique como foi a integração cultural entre indianos e árabes.
R.: Com a chegada dos árabes, muitos hindus se converteram ao islamismo, 
religião na qual todos são iguais perante Deus. Os árabes aprenderam com 
os hindus seu sistema numérico.
5 Quais as contribuições do sábio muçulmano Mohammed Ibn Mussa al-
Khowarizmi para a Matemática?
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R.: Popularizou os conhecimentos sobre Aritmética e Álgebra em todo o 
mundo árabe e depois no ocidente europeu.
6 Quem foi o grande difusor da Álgebra na Europa Ocidental durante o 
Renascimento?
R.: Leonardo de Pisa, também chamado de Fibonacci.
7 Quais fatores propiciaram o Renascimento europeu? Cite sua característica 
marcante.
R.: Logo após as Cruzadas, o desenvolvimento do comércio com o oriente 
proporcionou o desenvolvimento urbano, cultural e científico.
8 Diferencie o algorismo do abacismo.
R.: Abacismo é a técnica de fazer cálculos utilizando ábacos, já o algorismo 
é a técnica de fazer cálculos utilizando algoritmos escritos.
TÓPICO 4
1 Quais sistemas numéricos surgiram com o advento do computador?
R.: Foram os sistemas hexadecimal e octadecimal.
2 Escreva os números a seguir no sistema binário, octal e hexadecimal.
a) 39 = 1001112 = 478 = 2716
b) 128 = 100000002 = 2008 = 8016
c) 255 = 111111112 = 3778 = FF16
3 A seguir, temos alguns endereços IP no formato binário. Escreva-os no 
formato decimal e no hexadecimal.
a) 11010110.01110111.10111100.10100101
Decimal = 214.119.188.165
Hexadecimal = D6.77.BC.A5
b) 00001111.00011000.01011110.00111100
Decimal = 15.24.94.60
Hexadecimal = 0F.18.5E.3C
c) 11011100.00101001.01001101.10111110
Decimal = 220.41.77.190
Hexadecimal = DC.29.4D.BE
4 Converta os números hexadecimais a seguir para binários:
a) F2 = 11110010
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b) A5 = 10100101
c) 89 = 10001001
5 Converta os números hexadecimais da questão anterior em decimais.
a) 242
b) 165
c) 137
6 Baseado(a) nas técnicas de conversão que você aprendeu neste tópico, 
represente o número 423510 (decimal) no sistema:
a) Maia
b) Mesopotâmico
7 Quais deveriam ser os objetivos do professor quando ensina um sistema 
numérico diferente do atual em sala de aula?
R.: O principal objetivo é fazer o aluno aprender o conceito de número, de 
quantidade e de sequência, além de entender que a Matemática é algo 
dinâmico que está em constante evolução.
8 Depois de observar todos estes sistemas numéricos, você deve ter percebido 
que eles fazem parte da cultura de seus respectivos povos. É possível 
compreender que o sistema indo-arábico é tão importante para nossa cultura 
quanto um poema de Carlos Drummond de Andrade? Justifique sua resposta.
R.: Resposta pessoal.
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UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Escreva com suas próprias palavras a diferença entre Sistema Numérico 
e Conjunto Numérico.
R.:O sistema numérico é a forma de escrever os números e depende de 
cada cultura. 
Conjunto numérico são os números classificados segundo suas característi-
cas operatórias.
2 Dê um exemplo de operação que levou ao surgimento dos:
a) Números Inteiros. 5 – 10
b) Números Racionais. 5 ÷ 10
c) Números Reais. √10
d) Números Complexos. √-5 
OBS.: Os números podem ser diferentes e, no caso da letra C, também 
podem ser utilizadas operações como logaritmo ou razões trigonométricas.
3 Segundo o tópico que acabamos de estudar, qual a nacionalidade de cada 
conjunto numérico da questão anterior? Em que época?
a) China b) Egito c) Grécia d) Itália
4 Escreva as seguintes frações em hieróglifos egípcios:
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5 Utilizando o método apresentado neste tópico, mostre que √3 é um 
número irracional. Será que um aluno do Ensino Médio seria capaz de 
compreender esta prova?
R.: Suponhamos, então, que √3 seja um número de forma a/b, com a e b 
inteiros, e que esta fração esteja reduzida à sua forma mais simples, ou 
seja, a e b não tenham fatores em comuns.
Assim:
3=
b
a
32
2
=
b
a
 ∴ 
22 3ba =
Significa que a2 é múltiplo de 3, de onde se conclui que a também é, 
digamos 3p. Dessa forma:
(3p)2 = 3b2 ∴ 9p2 = 3b2 ∴ 3p2 = b2
Essa igualdade indica que b2 é múltiplo de 3. Logo, a e b são múltiplos 
de 3, mas isto é uma contradição com nossa hipótese inicial de que a e b 
não têm fatores comuns” (Adaptado de GARBI, 1997, p. 198-199).
TÓPICO 2
1 Neste tópico, apresentamos alguns dos legados que Gauss deixou para a 
Matemática. Escreva com suas palavras sobre dois desses legados.
R.: O(A) acadêmico(a) pode falar sobre PA, PG, Teoria dos Números, Plano 
Complexo, entre outro.
2 Pesquise na internet, em livros de história da Matemática ou em biografias 
sobre outros feitos de Gauss.
R.: Resposta pessoal, segundo pesquisa feita pelos acadêmicos.
3 Identifique, nas sequências a seguir, quais são PA e quais são PG.
a) (3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; 23) – PA.
b) (3 ; 6 ; 12 ; 24 ; ... ) – PG.
c) (105 ; 99 ; 93 ; 87 ; 81 ; ... ; 3) – PA.
d) (5 ; -5 ; 5 ; -5 ; 5 ; -5 ; 5) – PG.
e) (21 ; 14 ; 7 ; 0 ; -7 ; ... ) – PA.
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4 Observe a seguinte PA (31 ; 28 ; 25 ; 22 ; ... ; -299) e:
a) Determine o 35º termo. a35 = – 71. 
b) Calcule a soma dos 50 primeiros termos. S50 = – 2125
c) Descubra quantos são os seus termos. n = 111.
5 Observe a seguinte PG: (9 ; 0,9 ; 0,09 ; ... ) e:
a) Calcule qual o 5º termo. p5 = 0,0009
b) Determine a soma dos 100 primeiros termos. S100 = 9,9999999999999....99. 
Número com 100 algarismos 9.
c) Determine a soma dos infinitos termos. S∞ = 10
TÓPICO 3
1 Em quais atividades do cotidiano os homens aplicavam a geometria durante 
a Pré-História?
R.: Na produção de arcos, flechas, redes, armadilhas para caça, cordas, 
cerâmicas, machadinhas, roupas e na construção de casas e currais, bem 
como na observação dos astros.
2 Quais objetos de cerâmica eram produzidos pelos marajoaras?
R.: Panelas, jarros, vasos, tigelas, potes, tangas e urnas funerárias.
3 Faça uma pesquisa e calcule a superfície e o volume da Pirâmide de Quéops.
R.: Volume = 2.632.476 m3.
 Superfície = 86.733,35 m2.
4 Como os babilônicos utilizavam a geometria na agricultura?
R.: Para construir diques e sistemas de irrigação.
5 Qual escola grega começou a estudar geometria com objetivo filosófico e 
não meramente prático?
R.: Escola Pitagórica.
6 Qual a grande contribuição de Euclides para a geometria?
R.: A produção da obra “Os Elementos”.
7. Por que Arquimedes é considerado por muitos como o maior matemático 
da Antiguidade?
R.: Por ter encontrado a melhor aproximação para o π de toda a Antiguidade 
e também porque suas obras eram ricas em originalidade, profundidade, 
clareza e rigor matemático. Além da Matemática, também possuía grande 
facilidade em Física.
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8 Em um segmento de reta AB, de medida igual a 10 cm, será marcado um 
ponto C, que o divide em média e extrema razão. A quantos centímetros C 
deve estar de A?
R.: C = 6,18 cm ou C = 3,82 cm.
TÓPICO 4
1 Procure em livros, galerias de arte ou na internet obras em perspectiva e 
tente traçar as linhas para encontrar o ponto de fuga.
R.: Cada acadêmico(a) poderá trazer algo diferente. Resposta aberta.
2 Pesquise sobre Echer, artista genial que aplica perspectiva em sua obra 
para causar ilusão de ótica.
R.: Resposta aberta.
3 Vimos que a trissecção de um ângulo qualquer não é possível utilizando 
apenas régua e compasso, porém existem alguns casos especiais em que isto 
é possível. Um destes casos especiais é o ângulo de 90º. Pegue uma régua 
e um compasso e tente fazer a trissecção de um ângulo de 90º. Lembre-se, 
não vale utilizar transferidor nem esquadro de 30º, 45º e 60º.
R.: Siga os passos:
I- Desenhe um quadrado de vértices ABCD.
II- Desenhe um arco de circunferência cujo raio é o dobro do lado do quadrado 
e com centro em A.
III- Prolongue o lado BC até que este encontre a circunferência, marque neste 
encontro o ponto E.
IV- Trace uma reta entre o ponto E e o ponto A.
V- O ângulo EÂD é 1/3 do ângulo de 90º.
TÓPICO 5
1 Qual o nome do método que os egípcios utilizavam para resolver problemas 
algébricos?
R.: Método da falsa posição.
2 Demonstre a fórmula de Bháskara.
R.:
ax2 + bx + c = 0
isolando o c e multiplicando cada termo por 4a temos:
4a2x2 + 4abx = -4ac
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soma b2 em cada membro:
4a2x2 + 4abx +b2 = -4ac + b2
temos no 1º membro um trinômio quadrado perfeito, então:
(2ax + b)2 = -4ac + b2
extraindo a raiz quadrada em ambos os membros:
3 Faça uma pesquisa e descubra a origem de sinal de igualdade (=).
R.: O seu criador foi Robert Record, para ele nada poderia ser mais igual do 
que duas retas paralelas.
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 O desenvolvimento do cálculo e das leis físicas de Newton no século XVIII 
fizera com que no século seguinte ocorresse uma revolução no sistema de 
produção. Qual foi esta revolução e em que ela modificou a vida das pessoas 
e o sistema econômico?
R.: Foi a Revolução Industrial que modificou completamente o método de 
produção da época. As pessoas que antes produziam de forma artesanal, 
agora eram contratadas para fazer trabalhos específicos dentro de uma 
fábrica.
2 Aos três anos de idade, Newton foi morar com sua avó em Woolstorpe. 
Por que a mãe dele tomou esta atitude e em que isto influenciou na sua 
personalidade?
R.: Porque sua mãe casou-se novamente e isto fez com que Newton 
desenvolvesse uma personalidade tímida e introvertida.
3 O que ocorreu no ano milagroso de 1666?
R.: Newton desenvolveu o Cálculo Diferencial e Integral e as Leis da 
Gravitação Universal.
4 Em que consiste a rivalidade entre Newton e Leibniz?
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R.: Consiste na reivindicação da prioridade na criação do cálculo.
5 Quais foram os símbolos e expressões criados por Leibniz e que ainda hoje 
fazem parte da linguagem do cálculo?
R.: Os símbolos foram: dx, dy, ∫, ≅, ≈, e os termos função e Cálculo Diferencial 
e Integral.
6 Euler criou mais símbolos e expressões que Leibniz. Escreva-os e aponte 
quais deles você já conhece.
R.: f(x), e, Σ, i, π.
7 Converse com seus colegas de classe sobre algum(a) acadêmico(a) com 
deficiência física ou mental que você conheceu e que apesar das dificuldades 
surpreendia a todos em algumas atividades.
R.: Resposta pessoal.
TÓPICO 2
1. Qual atividade econômica impulsionou o desenvolvimento da probabilidade 
e da Estatística?
R.: Foram as seguradoras.
2 Segundo a Bíblia Sagrada, Deus apareceu para Moisés e pediu que fizesseum censo com todo o povo judeu. Por que Deus mandou fazer este censo? 
Por que ele não deu direto o resultado do censo?
R.: Essa é uma questão complicada, pois mexe com os dogmas de cada um. 
Para um(a) acadêmico(a) ateu(ateia) essa situação pode servir de argumento 
para defender que Moisés não falava com Deus e que tudo fora inventado 
para enganar o povo. Todavia, para acadêmicos que acreditam na Bíblia 
Sagrada, essa história mostra que Deus ensinou a Moisés como fazer um 
censo, reforçando que devemos ensinar a pescar e não simplesmente dar 
o peixe. Pedimos que o(a) Professor(a)-Tutor(a) Externo(a) mantenha um 
debate moderado sobre esse tema, apresentando e respeitando as diversas 
posições.
3 Entre no site do IBGE e anote os seguintes resultados do último censo:
a) população total do Brasil;
R.: 190.732.694 pessoas.
b) população total por região;
R.: Centro-Oeste = 14.050.340.
Nordeste = 53.078.137.
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Norte = 15.865.279.
Sudeste = 80.353.724.
Sul = 27.384.815.
c) quantidade de homens e mulheres;
R.: 97.342.162 mulheres e 93.390.532 homens.
d) algum resultado que surpreendeu você.
R.: Resposta pessoal.
TÓPICO 3
1 Qual outra área do conhecimento, estudada por Cantor, o fez pesquisar o 
Infinito e a Teoria dos Conjuntos?
R.: Cantor estudou Teologia e Teoria dos Números.
2 Por que Cantor não foi aceito como professor na Universidade de Berlim?
R.: Porque o Leopold Kronecker, professor daquela universidade, era 
radicalmente contra suas ideias e não aceitava sua contratação.
3 Quais conteúdos do Ensino Médio fazem uso da linguagem dos conjuntos?
R.: Praticamente todos, mas em especial as funções, a probabilidade e a 
geometria analítica.
4 Faça um diagrama de Venn para representar o conjunto dos quadriláteros 
= Q, dos paralelogramos = P e dos retângulos = R. 
R.:
5 Entre no site do IMPA e descubra como se faz para se cadastrar na 
sociedade brasileira de matemática e quais as vantagens de ser membro 
dessa sociedade.
R.: Resposta aberta.
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TÓPICO 4
1 Segundo D’Ambrosio, para que serve a história da Matemática?
R.: “Algumas das finalidades principais parecem-me:
a) para situar a Matemática como uma manifestação cultural de todos os povos 
em todos os tempos, como a linguagem, os costumes, os valores, as crenças 
e os hábitos, e como tal diversificada nas suas origens e na sua evolução;
b) para mostrar que a Matemática que se estuda na escola é uma das muitas 
formas de Matemática desenvolvidas pela humanidade;
c) para destacar que esta Matemática teve sua origem nas culturas da 
Antiguidade mediterrânea e se desenvolveu ao longo da Idade Média 
e somente a partir do século XVII se organizou como um corpo de 
conhecimentos, com um estilo próprio;
d) e desde então foi incorporada aos sistemas escolares das nações 
colonizadas e se tornou indispensável em todo o mundo em consequência 
do desenvolvimento científico, tecnológico e econômico” (D’AMBROSIO, 
1996, p. 10).
2 O que Nobre propõe para a história da Matemática em sala de aula?
R.: Que ela, através da história do seu desenvolvimento, seja ferramenta de 
ensino dos conteúdos de Matemática.
3 Quais as tendências de ensino que privilegiam a história da Matemática e 
quais suas características?
R.: Tendência Construtivista em que os alunos constroem seu conhecimento. 
Tendência Socioculturalista, que valoriza os conhecimentos culturais de 
cada sociedade. Tendência Histórico-Crítica, parte da ideia de que todos os 
conhecimentos são frutos das experiências históricas da humanidade e isto 
facilitaria o aprendizado.
 
4 Quais as tendências que discriminam a história da Matemática e como isto 
ocorre em cada uma?
R.: Tendência Formalista Clássica, a Matemática é pronta e não histórica, 
o(a) acadêmico(a) pode apenas aprender a Matemática. Tendência Formalista 
Moderna, muito parecida com a primeira, a única diferença são as formas 
de se ver alguns conteúdos. Tendência Tecnicista, nessa tendência o mais 
importante é o material que levava o(a) acadêmico(a) a aprender sozinho, 
técnicas de aprender e de ensinar.
5 O que é Etnomatemática?
R.: É uma forma diferente de encarar a Matemática, respeitando as 
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características étnicas de cada comunidade e suas formas de expressar 
a Matemática e de relacioná-la com suas práticas diárias e com as outras 
formas de conhecimento. Dessa forma, a Matemática pode variar de uma 
etnia para a outra, não sendo mais algo único e estático em todo o mundo.