AULA - 6

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31/03/2021 UNINTER - PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.a Francielly Elizabeth de Castro Silva
31/03/2021 UNINTER - PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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CONVERSA INICIAL
Nesta aula, você aprenderá a calcular a tensão normal de estruturas, aprenderá a projetar alguns
elementos submetidos a uma tensão admissível, descobrirá o comportamento mecânico dos
materiais por meio do diagrama de tensão versus deformação e aprenderá a relacionar as
propriedades dos materiais no projeto de estruturas.
Iniciamos a parte que diz respeito à Resistência dos Materiais. A partir de agora, nos basearemos
no livro Resistência dos Materiais do autor Hibbeler para desenvolver os estudos desta aula.
TEMA 1 – TENSÃO
Anteriormente, nós tratávamos os corpos como rígidos, ou seja, indeformáveis. Nós não
estávamos preocupados com as deformações que as estruturas sofriam mediante a aplicação de uma
força, porém, sabemos que este é um assunto importante no projeto de componentes mecânicos,
mecanismos e estruturas.
A resistência dos materiais é a área da mecânica que estuda a interação entre as forças externas
aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que agem no interior do corpo.
Sabemos que, ao aplicar uma força sobre um objeto, este sofrerá uma tensão que provocará uma
determinada deformação que pode ser diretamente proporcional à tensão. Por exemplo, ao martelar
um prego na direção transversal, ele apresentará uma determinada deformação, como mostra a
Figura 1a. Ou se comprimirmos uma mola, ela também se deformará com uma certa quantidade
(Figura 1b):
Figura 1 – Deformação (a) de um prego e (b) de uma mola
(a)
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  (b)
Créditos: BIG PANTS PRODUCTION/Shutterstock; IAROSLAV NELIUBOV/Shutterstock.
No Tema 3, falaremos um pouco mais sobre a deformação, e aqui falaremos sobre a tensão.
Em muitos problemas que trabalhamos anteriormente, nós estávamos preocupados em
determinar as forças nos elementos estruturais. Vejamos novamente exemplos apresentados em
conteúdos anteriores:
Figura 2 – Exemplos
(a)
(b)
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Fonte: Hibbeler, 2011.
No Exemplo da Figura 2a, nós calculamos as forças nos cabos BA e BC, e no Exemplo da Figura
2b, nós determinamos as forças nas barras GF, CF e CD da treliça. Note que nós não determinamos
qual é o diâmetro dos cabos e nem das barras da treliça, pois afinal de contas, o que queremos é
justamente saber quais são as dimensões dos elementos estruturais a fim de poder construir a
estrutura.
Para determinar as dimensões dos elementos estruturais, é necessário calcular a tensão, ou
assumir um valor limite de tensão para o material que será utilizado no projeto. Mas o que é a
tensão? Para entender melhor esse conceito, vamos analisar as Figuras 3a e 3b.
Figura 3 – Pessoa levantando um altere de (a) 1 kg e (b) de 10 kg
(a) 
 (b)
Crédito: VANKAD/Shutterstock; MARKO POPLASEN/Shutterstock.
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Vamos supor que o braço de ambas as figuras é da mesma pessoa, logo, em qual das duas
situações ele se cansará mais facilmente? A resposta é óbvia: quanto maior a carga, mais cansado
(estressado) ficará o braço, portanto, a segunda opção é a que provoca maior “estresse” do braço, ou
maior tensão.
Vimos na figura anterior que a força é responsável pela tensão, mas e se a força peso do altere
for a mesma (10 kg por exemplo), mas um dos braços for mais fino que o outro como mostra a Figura
4, qual desses braços ficará menos cansado ao sustentar essa carga?
Figura 4 – Braços com diferentes tamanhos
Créditos:– BODY STOCK/Shutterstock.
A resposta a essa pergunta também é óbvia, o braço mais forte com maior área ficará menos
cansando ou estressado, ou seja, ficará menos tenso.
Como esses dois exemplos, concluímos que além da força, a geometria, mais especificamente a
área do elemento estrutural é importante no cálculo da tensão.
Vimos anteriormente que existem três tipos de esforços: força normal , força cortante  e
momento fletor . Há também o esforço do tipo torque, visto em conteúdos anteriores. Esses
esforços provocarão as respectivas tensões: tensão normal , tensão de cisalhamento devido a uma
força cortante , tensão de flexão  e tensão de cisalhamento devido a um torque.
Nesta aula, vamos nos ater somente à primeira, tensão normal, e na disciplina de Resistência dos
Materiais, as demais tensões serão explanadas.
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1.1 TENSÃO NORMAL
A tensão normal é provocada por uma força aplicada perpendicularmente a uma área, como
mostra a Figura 5a. Esse tipo de tensão ocorre quando comprimimos ou tracionamos um objeto. Um
exemplo são as colunas de edificações que sustentam as vigas, lajes, paredes etc., como mostra a
Figura 5b.
Figura 5 – (a) Modelo de objeto submetido à uma tensão normal e (b) colunas de uma construção
Créditos: Rootstock/Shutterstock.
Na Figura 5a, temos duas informações necessárias para o cálculo da tensão normal média, são
elas: força normal   e área da seção transversal , portanto, a tensão normal média é descrita
como:
No sistema internacional de unidades, a tensão é dada em Pascal (Pa), que corresponde a N/m². 
Para aplicar a equação acima, vamos considerar alguns exemplos já trabalhados anteriormente.
Exemplo 1: considerando o exemplo mostrado na Figura 2a, calcule a tensão normal média em
cada cabo, sabendo que o cabo BA possui um diâmetro igual à 5 mm e o diâmetro do cabo BC igual
a 8 mm.
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Solução: na resolução deste exemplo, já calculamos anteriormente as forças nos cabos, em que
 e , logo, podemos partir para a aplicação da Equação 1. Observe que
os diâmetros foram fornecidos em milímetros, logo, temos que passar para metros para deixar no
sistema internacional de unidades. Para isso, dividimos o valor do diâmetro por 1000 ou
multiplicamos por , além disso, em geral, aplicamos a seguinte equação para o cálculo da área de
uma circunferência: , em que  corresponde ao raio da circunferência; logo, temos que dividir
o diâmetro dos cabos por 2 para obter seu raio e também por 1000 para deixá-lo em metros, assim
temos:
Esses valores de tensão nos indicam quais os possíveis materiais que poderíamos utilizar nos
cabos. Cada material possui um determinado limite de tensão, logo, poderíamos escolher um
material que possui uma tensão acima da tensão que calculamos. Veremos mais detalhes sobre esse
aspecto dos materiais no Tema 4.
Exemplo 2: considerando o exemplo de treliça mostrado na Figura 2b, calcule o diâmetro das
barras GF, CF e CD, sabendo que o material escolhido é o aço estrutural A-36 e que sua tensão
máxima no regime elástico é igual a 250 MPa .
Solução: na solução deste exemplo, já calculamos anteriormente as forças nas barras solicitadas
no enunciado, em que     e , logo, podemos partir para a
aplicação da Equação 1, isolando a área da equação, assim temos para cada barra o seguinte:
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Note que ainda não obtivemos o diâmetro de cada barra, mas a área. Para obter o diâmetro,
podemos isolar o raio da equação do cálculo da área de uma circunferência, ou o diâmetro. Veja as
duas formas equivalentes:
A segunda forma é maisapropriada para o nosso problema, já que quando vamos projetar esse
tipo de elemento, ao comprá-lo, precisamos fornecer ao vendedor o diâmetro da barra e não o raio.
Portanto, substituindo essa equação nos resultados de área para cada barra, temos:
  multiplicando o resultado por 1000 calculamos o resultado em mm, logo
Finalizamos o exemplo, mas podemos refletir sobre algo importante na construção dessa treliça.
Na maioria dos projetos, opta-se em escolher o mesmo diâmetro para todas as barras e um diâmetro
que possa ser encontrado no mercado (diâmetro comercial). Supondo que as barras são fornecidas
no mercado com valores de intervalos de 1 mm e que todas as barras da treliça devem possuir o
mesmo diâmetro, qual será o diâmetro escolhido?
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Com base nas três barras calculadas, devemos optar pelo maior diâmetro, pois sabemos que esse
diâmetro atenderá à força e tensão das três barras. Logo, o diâmetro é 4,97 mm. Mas como no
mercado encontraremos apenas barras de diâmetro igual a 4 ou 5 mm, temos que escolher o
diâmetro maior a fim de que a estrutura não venha a falhar. Portanto, vamos comprar barras de 5 mm
de diâmetro.
Vamos exercitar mais um pouco este conhecimento aplicando o conceito que será desenvolvido
no próximo tema.
TEMA 2 – TENSÃO ADMISSÍVEL E FATOR DE SEGURANÇA
Em um projeto e construção de uma estrutura ou de uma máquina, vários fatores não podem ser
controlados. Vamos tomar como exemplo a produção da roda de um carro popular. É muito difícil
garantir que: o material utilizado na fabricação da roda é totalmente uniforme e sem imperfeições;
que as dimensões são exatamente as estabelecidas no projeto após os processos de fabricação; e que
as cargas aplicadas são iguais as definidas no projeto. Além disso, no uso deste
equipamento/estrutura, é possível ocorrer cargas que não foram previstas no projeto, tais como
algum tipo de vibração, choques, ou cargas acidentais desconhecidas. Há também os problemas
relacionados com a corrosão, ou desgaste devido às intempéries como chuva, neve, rajadas de vento,
temperaturas muito elevadas etc.
O exemplo citado foi o de uma roda de carro, objeto razoavelmente simples, mas isso pode
ocorrer com qualquer tipo de estrutura, desde um alicate de unha, até um tipo de construção
complexa como prédios, barragens, portos, ou grandes máquinas como aviões, naves espaciais e
satélite.
Devido a esses fatores, o engenheiro responsável pelo projeto envolvendo elementos estruturais
deve restringir os valores de tensão atuantes no material a um nível seguro. Além disso, é necessário
manter uma fiscalização/manutenção periódica da estrutura ou máquina de uso contínuo.
Um método para especificação da carga admissível é com o uso do fator de segurança .
Tomando por exemplo a carga de ruptura de um determinado material, , ela pode ser
determinada experimentalmente. Já o fator de segurança depende do tipo de aplicação do elemento
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estrutural. A seguinte tabela mostra os fatores de segurança utilizados em diferentes aplicações dos
cabos de aço:
Tabela 1 – Fatores de segurança dos cabos de aços em diferentes aplicações
Fonte: CableMax, 2020.
Observe, na tabela acima, que o fator de segurança aumenta à medida que a aplicação envolve
diretamente as vidas humanas.
O fator de segurança pode ser definido das seguintes formas:
em que ,  e  correspondem, respectivamente, à força admissível, tensão admissível
e tensão de cisalhamento admissível,   e   correspondem à tensão de ruptura e tensão de
ruptura ao cisalhamento.
O fator de segurança deve ser sempre maior que 1, a fim de que a força ou tensão admitida no
projeto seja sempre menor que a de ruptura, caso contrário, certamente haverá a falha no sistema.
Nem sempre o fator de segurança assumirá valores elevados em casos que envolvam vidas
humanas, pois há situações em que é necessário um fator de segurança próximo de 1, como por
exemplo o projeto de componentes de um avião ou de veículos espaciais. Utiliza-se um fator de
segurança mais estreito a fim de reduzir o peso do veículo.
Exemplo 3: considere a barra aparafusada já trabalhada em conteúdos anteriores. Sabendo que
a tensão de ruptura do material da barra é , determine a área da seção transversal da
barra considerando somente a força normal no problema e um fator de segurança igual a 2.
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Fonte: com base em Hibbeler, 2011.
Solução: neste exemplo, fizemos uma seção no ponto C para obter a força normal 
A partir da tensão de ruptura do material da barra e do fator de segurança, podemos determinar
a tensão admissível no projeto aplicando a Equação 3, assim temos que:
Com a força normal, podemos aplicar a Equação 1 para obter a área da seção transversal da
barra aparafusada, ou seja:
em que  corresponde à tensão admissível neste exemplo, logo:
ou multiplicando o resultado por   vamos obter o resultado em mm², portanto,
.
Exemplo 4: os dois elementos mostrados na figura estão interligados por pinos em B. Se a
tensão de ruptura para a haste que está sendo tracionada for , determine com
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aproximação de 1 mm o menor diâmetro da haste BC necessário para suportar a carga mostrada.
Considere um fator de segurança igual a 1,5.
Fonte: Hibbeler, 2010.
Solução: O primeiro passo é construir o DCL do problema (como visto anteriormente). No ponto
A, existe um pino prendendo a estrutura na parede (2 reações de apoio), e no ponto B, temos uma
haste segurando a estrutura na posição (uma reação de apoio na direção da haste). Logo, o DCL fica
da seguinte forma:
Para calcular a força na haste BC, vamos fazer o somatório dos momentos em torno do ponto A,
assim temos:
O próximo passo é determinar a tensão admissível por meio da Equação 3, descrita como:
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Substituindo a tensão admissível e a força   na Equação 1, podemos determinar a área da
seção transversal da haste:
Para determinar o diâmetro da haste, basta aplicarmos a Equação 2, assim temos:
Como é solicitado que o diâmetro tenha aproximação de 1 mm, temos que considerar
 a fim de atender a tensão admissível estabelecida.
Exemplo 5: a lança é sustentada por um cabo de 6 mm diâmetro com uma tensão normal
admissível  Calcule a maior carga que pode ser aplicada sem provocar a ruptura do
cabo quando  e . Despreze o tamanho do guincho.
Fonte: Hibbeler, 2010.
Solução: Como foi fornecida a tensão admissível e o diâmetro do cabo, podemos determinar a
força no cabo aplicando a Equação 1, logo temos que:
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Para determinar a força máxima da carga aplicada no guindaste, temos que fazer um DCL do nó
B que conecta o cabo, a haste do guindaste e a carga, assim temos o seguinte DCL:
 Utilizando a metodologia desenvolvida em conteúdos anteriores, vamos utilizar as Equações de
equilíbrio  e  para calcular as forças  e :
TEMA 3 – DEFORMAÇÃO
Mediante a aplicação de uma força, o objeto sofre uma tensão que gera uma determinada
deformação. Essa deformação pode ser visível como quando comprimimos uma mola, mas pode não
ser visível, como quando as cargas comprimem uma coluna de concreto.
A deformação pode ser obtida de forma experimental ou por meio de cálculos a partir do
conhecimento das propriedades do material que compõem o objeto analisado.
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Há dois tipos de deformação: a deformação normal e a deformação por cisalhamento. A
deformação normal está associada à mudança de comprimento do corpo analisado, ou seja, está
associada ao alongamento ou ao encurtamento do corpo. Já a deformação por cisalhamento está
associada à perda de perpendicularidade entre dois segmentos de reta. Esta última será estudada
somente na disciplina Resistência dos Materiais. Aqui vamos nos ater somente às deformações
normais.
A Figura 6a apresenta uma barra indeformada antes da aplicação da carga, e a Figura 6b mostra
a barra deformada após a aplicação da carga:
Os termos apresentados na Figura 6 são:  que corresponde ao comprimento inicial do corpo, 
  é a força aplicada ao corpo,   é o comprimento final do corpo após aplicação da força,   é o
deslocamento do corpo após aplicação da força,  é o diâmetro inicial do corpo e  é o diâmetro
final do corpo.
Observe que ao aplicar uma força normal, seja ela de tração ou de compressão, o corpo sofre
uma deformação longitudinal, ou seja, ao longo do seu comprimento, e sofre uma deformação
transversal ou radial, ou seja, ao longo da sua seção transversal. Por isso que quando esticamos um
pedaço de borracha, por exemplo, ele apresentará um alongamento ao longo do comprimento e uma
contração ao longo do seu raio ou da sua seção transversal.  A deformação normal é uma quantidade
adimensional (sem dimensão). A expressão para as quantidades de deformação longitudinal, , e
transversal, , são descritas, respectivamente, como:
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em que  corresponde ao alongamento ou encurtamento do corpo e  à contração ou expansão
da seção transversal do corpo.
A maior parte dos projetos de engenharia envolve problemas em que apenas pequenas
deformações são permitidas. Em geral, quase todas estruturas e máquinas são bastante rígidas e as
deformações que ocorrem durante seu uso são muito pequenas e muitas vezes imperceptíveis. Nesta
aula, serão consideradas apenas as pequenas deformações, ou seja, a deformação do corpo (estrutura
ou elemento de máquina) é muito menor que uma unidade ( .
Exemplo 6: ao vedar uma rosca, é comum utilizar uma fita do tipo veda rosca que estica ao
envolvê-la sobre a rosca. Supondo que a fita possui 200 mm de comprimento e ela percorra 3 voltas
sobre uma rosca de diâmetro igual a 25 mm, qual é deformação normal da fita após este
procedimento?
Créditos:RUKAWAJUNG/Shutterstock.
Solução: este exemplo pode ser resolvido aplicando a Equação 4, em que   e
, em que  corresponde ao cálculo do perímetro da rosca, sendo  o raio da rosca,
e   é o número de voltas que a fita envolverá a rosca, assim, temos que
 logo:
Exemplo 7: o diâmetro da parte mais inflada do balão de borracha é . Ao encher um
pouco mais esse balão, ele passou a ter um diâmetro . Qual é a deformação da borracha
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neste caso?
Créditos:ERIK SVOBODA/Shutterstock.
Solução: este exemplo pode ser resolvido mediante a aplicação da Equação 5, em que
 e , logo:
Exemplo 8: os elevadores são movimentados por um motor que gira uma polia que enrola ou
desenrola os cabos que sustentam o elevador (Figura a). Supondo que esses cabos na sua
configuração sem passageiros possuam um comprimento de 100 m (Figura b) e, ao entrar no
elevador 8 passageiros, os cabos esticam 10 cm, qual é a deformação de cada cabo do elevador?
(a)
(b)
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Créditos: Kangshutters/Shutterstock; Sunti Wongyai/Shutterstock.
Solução: conforme o enunciado, os cabos do elevador esticam uma quantidade de 10 cm, ou
seja, 0,1 m. Logo, isso significa que ele variou seu comprimento nesta quantidade, portanto, 
. Aplicando a Equação 4, temos que:
Exemplo 9: os dois cabos estão interligados em . Se a força   provocar um deslocamento
horizontal de 2 mm do ponto , calcule a deformação normal desenvolvida em cada cabo.
Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: este é um problema que envolve trigonometria. Podemos desenhar os deslocamentos
dos cabos após aplicação da força :
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O ângulo  pode ser obtido facilmente subtraindo de 180° a inclinação do cabo em relação ao
eixo x, ou seja, .
Anteriormente, vimos a aplicação da lei dos senos e cossenos em problemas da mecânica. Vamos
utilizar a lei dos cossenos neste problema para obter o comprimento final do cabo, . Aplicando ao
problema a mesma equação utilizada anteriormente para o problema em tela, temos:
Com o comprimento final do cabo, aplicamos a Equação 4 para obter sua deformação normal,
logo:
Neste tema, aprendemos sobre a deformação normal dos corpos. No próximo tema, você
aprenderá sobre um ensaio fundamental para descrever o comportamento dos materiais. Esse ensaio
envolve os conceitos vistos nesta aula: tensão e deformação.
TEMA 4 – DIAGRAMA TENSÃO VERSUS DEFORMAÇÃO
Como vimos os conceitos básicos de tensão e deformação nos temas anteriores, neste tema
veremos como a tensão pode ser relacionada com a deformação por meio de métodos experimentais
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que produzem o diagrama de tensão versus deformação para um determinado material.
A resistência de um material depende de sua capacidade em resistir uma força sem se deformar
excessivamente ou sem se romper. Na engenharia, um dos ensaios mais importantes que descreve
algumas características dos materiais é o ensaio de tração ou ensaio de compressão.
O ensaio de tração/compressão consiste em aplicar uma carga progressiva sobre o material e
analisar seu alongamento/encurtamento ou deformação. Essa carga é aplicada por uma máquina com
um transdutor de força acoplado que mede a força aplicada (Figuras 6a e 6b) e a deformação pode
ser medida por extensômetros de resistência elétrica denominados Strain Gauge (Figura 6c). Para
realizar o ensaio de tração ou compressão, prepara-se um corpo de prova de tamanho padronizado e
o extensômetro é colado na amostra a fim de identificar as deformações do corpo de prova durante a
aplicação da força (Figura 6d).
Figura 6 – (a) Modelo representativo de máquina de ensaio de tração/compressão, (b) máquina real
de ensaio de tração/ compressão, (c) extensômetro Strain Gauge e (d) típico corpo de prova com
extensômetro.
Fonte: Hibbeler, 2018; MRS_YA/Shutterstock.
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Com os dados obtidos no ensaio, plota-se o diagrama tensão versus deformação, em que o eixo
da ordenada corresponde à tensão aplicada ao corpo de prova e o eixo da abcissa corresponde à
deformação devido à carga aplicada. O ensaio é feito até o material se romper, assim o engenheiro
conseguirá compreender como o material se comporta mediante ao aumento gradual de uma força.
Um exemplo didático do diagrama de tensão x deformação de um material dúctil é apresentado na
Figura 7.
Figura 7 – Exemplo didático de diagrama de tensão x deformação de um material dúctil
Fonte: Hibbeler, 2018.
Note que existem algumas etapas neste diagrama, são elas:
Região elástica – Esta região descreve o comportamento elástico do material. Note que neste
trecho o diagrama é representado por uma reta, logo, há uma proporcionalidade entre a tensão
e a deformação, em outras palavras, o material é linearmente elástico. O limite superior de
tensão nesta região é denominado tensão limite de proporcionalidade e é representado por
. Nesta região, se a carga for removida, o corpo de prova voltará à sua forma original, por
isso recebe o nome de região elástica.31/03/2021 UNINTER - PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Escoamento – Esta etapa ocorre logo após a tensão limite de proporcionalidade e é
caracterizada por provocar uma deformação no material mantendo a tensão, ou seja, o material
continua se deformando sem que haja um aumento da carga. As deformações que ocorrem a
partir desta etapa são do tipo plásticas (permanentes). A tensão que caracteriza esse
comportamento é chamada de tensão de escoamento,   e é muito empregada nos projetos
estruturais, justamente por ser um valor ligeiramente acima da tensão limite de
proporcionalidade. Esta tensão é extraída do diagrama traçando uma reta paralela à linha
elástica para uma deformação de 0,2%. Ela é frequentemente disponibilizada nas tabelas que
apresentam o comportamento mecânico dos materiais.
Endurecimento por deformação – Após o escoamento, pode-se aumentar a carga, o que
resulta em uma curva que cresce continuamente até um certo limite denominado limite de
resistência à tração, representado por   (última), ou em algumas literaturas . Essa tensão
pode variar desde aproximadamente 50 MPa para um alumínio até um valor tão elevado
quando 30000 MPa para aços de alta resistência. Considerando um ensaio de tração, enquanto
o corpo se alonga, a sua seção transversal se contrai. Essa contração do diâmetro é
razoavelmente uniforme até a tensão limite de resistência à tração.
Estricção – No limite de resistência, a área da seção transversal começa a diminuir em uma
certa região do corpo de prova, fenômeno denominado de  estricção ou empescoçamento
(Figura 8a). Ela é causada por planos deslizantes formados no interior do material, e as
deformações reais produzidas são causadas por tensão de cisalhamento. Essa estricção
aumenta, logo o corpo de prova é “estrangulado” até seu rompimento (Figura 8b). Neste ponto
de rompimento, é identificada a tensão de ruptura, representada por   (final) ou em outras
literaturas por .
Figura 8 – (a) Estricção e (b) rompimento do corpo de prova
(a)
(b)
Fonte: Hibbeler, 2018.
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As três últimas etapas do diagrama demonstram um comportamento plástico, ou seja, após a
retirada da força, o material não volta à sua configuração inicial e passa a assumir uma forma
deformada “permanente”.
A maioria das estruturas é projetada considerando apenas as deformações elásticas, pois uma
estrutura que se deformou plasticamente, ou seja, que se deformou permanentemente, pode não ser
capaz de funcionar de forma adequada como previsto no projeto.
Na Figura 7, dois diagramas estão plotados. O primeiro é denominado diagrama de tensão x
deformação de engenharia que termina na tensão de ruptura, e o segundo é o diagrama tensão x
deformação real que termina na tensão de ruptura real. A diferença entre os dois diagramas é a
seguinte: o diagrama tensão x deformação de engenharia considera a área inicial do corpo de prova
para o cálculo da tensão, aplicando a Equação 1. Já o diagrama tensão x deformação real considera a
mudança de área durante todo ensaio, logo, a tensão é calculada de forma mais precisa, pois ao
longo do experimento, a área diminui até romper o corpo de prova.
Apesar dos diagramas de engenharia e real serem diferentes, a maioria das estruturas são
projetadas de forma que os materiais trabalhem na região elástica, pois a distorção do material não é
severa dentro dessa faixa. Contanto que o material usado no projeto seja “rígido”, como a maioria
dos metais, os erros associados entre usar os valores reais e de engenharia são muito baixos, da
ordem de 0,1%. Essa é uma das principais razões para a utilização dos diagramas tensão-deformação
de engenharia.
4.1 COMPORTAMENTO DO DIAGRAMA DE TENSÃO VERSUS DEFORMAÇÃO DE
MATERIAIS DÚCTEIS E FRÁGEIS
Os materiais podem ser caracterizados como dúcteis ou frágeis. Os materiais dúcteis quando
submetidos a uma força/tensão sofrem grandes deformações antes de se romper. Exemplos desse
tipo de material são: aço, alumínio, borracha etc. Os materiais frágeis são aqueles que exibem pouco
ou nenhum escoamento antes da ruptura. O ferro fundido, o vidro e a cerâmica são alguns exemplos
desse tipo de material. A Figura 9 mostra um típico diagrama de tensão x deformação de um material
dúctil e frágil.
Figura 9 – Diagrama tensão x deformação de um material dúctil e frágil
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Fonte: Callister e Retwisch, 2018.
Algumas diferenças entre os materiais dúcteis e frágeis são apresentadas na Tabela 1:
Tabela 1 – Características dos materiais dúcteis e frágeis
Material dúctil Material frágil
Grandes deformações antes do rompimento Pequenas deformações antes do rompimento
Em geral: Em geral: 
Possui estricção Não possui estricção
Uma das desvantagens em se trabalhar com materiais frágeis é a manutenção de peças, pois
como esses materiais não se deformam muito e nem possuem estricção, é difícil para o manutentor
identificar se a peça precisa ser trocada. Na maioria dos casos, a peça rompe de forma repentina.
Exemplo 10: identifique no diagrama de tensão x deformação mostrado na figura a tensão limite
de proporcionalidade, a tensão de escoamento com base em uma deformação residual de 0,2%, a
tensão limite de resistência à tração e a tensão de ruptura. Observe que o diagrama menor com os
pontos   a   é um zoom da parte do início do diagrama e serve para identificar melhor a parte
elástica e a tensão de escoamento.
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Fonte: Hibbeler, 2018.
Solução: a primeira tensão a ser identificada é a tensão limite de proporcionalidade. Essa tensão
está localizada no final da reta que representa a região elástica. Analisando a parte que contém o
zoom do diagrama, observamos que o ponto A está no final dessa reta, logo, traçando uma reta
paralela à abscissa, podemos obter esta tensão:
Note que a tensão limite de proporcionalidade está entre os valores de 300 e 400 MPa e está um
pouco abaixo da metade desses valores. Portanto, podemos considerar que 
A tensão de escoamento é tomada com base em uma deformação residual de 0,2%. Para obtê-la,
traçaremos uma reta paralela à reta da região elástica, com início na deformação residual de 0,2%, ou
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seja, 0,002 mm/mm e término ao tocar a curva do diagrama com o zoom. Ao tocar o diagrama, neste
ponto traçaremos uma reta paralela ao eixo das abscissas:
A tensão de escoamento está entre os valores de 400 e 500 MPa, e ainda está um pouco acima
da metade desses valores. Portanto, podemos considerar que 
As próximas tensões são obtidas de forma direta observando o gráfico. A tensão limite de
resistência à tração é a máxima tensão que a curva do gráfico atinge. Ela está sendo representada
pelo ponto B. Já a tensão de ruptura é a tensão em que o gráfico termina. Ela está sendo
representada pelo ponto C.
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Observando o diagrama acima com as linhas traçadas para identificar a tensão limite de
resistência à tração e a tensão de ruptura, podemos observar que a tensão limite de resistência à
tração está entre 700 a 800 MPa e é um valor um pouco menor que a metade deste intervalo, ou seja,
. A tensão de ruptura está um pouco acima da tensão de 600 MPa, logo, podemos
dizer que .
TEMA 5 – LEI DE HOOKE 
  Muitos dos materiais utilizados nos projetos de engenharia possuem uma região elástica de
comportamento linear como observamos na Figura 7. Dentro dessa região, existe uma
proporcionalidade entre a tensão e adeformação, ou seja, um aumento da tensão provocará um
aumento proporcional da deformação. Por exemplo, se a tensão for dobrada, sua deformação
também será. Essa relação de proporcionalidade foi observada por Robert Hooke em 1976 no estudo
de mola, e é conhecida como lei de Hooke e pode ser descrita matematicamente como:
em que  corresponde à tensão,  ao módulo de elasticidade e  é a deformação.
O módulo de elasticidade é um parâmetro essencial na caracterização dos materiais. Quanto
maior for seu valor, mais rígido é o material. Por exemplo, o módulo de elasticidade do aço é em
torno de 200 GPa e o da borracha vulcanizada está na faixa dos 0,7 MPa. Ele também é chamado de
módulo de Young, nome que se deve a Thomas Young, que teve seu trabalho sobre módulo de
elasticidade publicado em 1807.
A maneira mais fácil para se obter esse parâmetro é por meio da leitura da tensão limite de
proporcionalidade e sua respectiva deformação (deformação limite de proporcionalidade) no
diagrama tensão x deformação, pois isolando o  da Equação 6 e aplicando esses dois parâmetros,
temos:
Exemplo 11: considere o diagrama tensão x deformação do Exemplo 10 e calcule o módulo de
elasticidade do material apresentado.
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Solução: vimos no diagrama tensão x deformação do Exemplo 10 que a tensão limite de
proporcionalidade é . Para essa tensão, vamos determinar sua respectiva deformação
analisando o gráfico:
Analisando o diagrama acima, observe que para a tensão limite de proporcionalidade de 345
MPa a deformação é 0,0016 mm/mm. Tomamos o valor de deformação representado pela cor azul,
pois é referente ao gráfico em que foi aplicado o zoom. Com esses dois valores, calculamos de forma
direta o módulo de elasticidade por meio da Equação 7:
O módulo de elasticidade é o mesmo para toda a região elástica, o que vai mudar é a tensão e
consequentemente a deformação.
Sabendo o que é o módulo de elasticidade e a Equação da lei de Hooke, podemos resolver
alguns problemas de engenharia e projetar algumas peças.           
Vamos aos exemplos para aplicar os conhecimentos vistos até aqui e entender um pouco melhor
deste assunto. 
Exemplo 12: considere um arame cilíndrico de níquel com 2,0 mm de diâmetro e 30 m de
comprimento. Calcule seu alongamento quando uma carga de 300 N é aplicada. Considere que a
deformação do arame seja totalmente elástica.
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Fonte: Callister; Retwisch, 2018.
Solução: para obter o alongamento do arame, temos que aplicar a Equação 4, mas para aplicá-
la, é necessário descobrir qual é a deformação que o arame está sofrendo devido à força de 300 N.
Para obter essa deformação, vamos aplicar a lei de Hooke (Equação 6), mas não será possível
aplicá-la sem antes conhecer a tensão provocada pela força de 300 N e o módulo de elasticidade
desse material. Portanto, vamos iniciar a resolução do exemplo calculando a tensão devido à força
aplicada. Para isso, vamos utilizar a Equação 1, em que o raio do arame é 1 mm ou 0,001 m:
Calculamos a tensão que está ocorrendo no material para a carga de 300 N aplicada. A pergunta
a se fazer é: esta tensão está na região elástica? Se sim, podemos aplicar a lei de Hooke para obter
sua respectiva deformação. Vamos observar o diagrama de tensão x deformação. Qual é a tensão
limite de proporcionalidade que define o último valor de tensão dentro da região elástica?
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Pelo diagrama, é possível observar que a tensão limite de proporcionalidade está entre 1000 e
1500 MPa, sendo que está mais próxima dos 1500 MPa. Por isso, podemos considerar que
 Portanto, a tensão que está sendo aplicada ao arame está dentro do regime elástico,
pois é um valor abaixo da tensão limite de proporcionalidade.
Agora precisamos obter o módulo de elasticidade do material. Esse parâmetro pode ser
calculado conhecendo a tensão limite de proporcionalidade e sua respectiva deformação. Portanto,
precisamos descobrir qual é a deformação limite de proporcionalidade. Para isso, vamos novamente
recorrer ao diagrama tensão x deformação:
Observe que a deformação dentro do limite de proporcionalidade está entre 0,005 e 0,0075, e
como está além da metade deste intervalo, podemos dizer que . Com esse
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parâmetro e a tensão limite de proporcionalidade, vamos calcular o módulo de elasticidade por meio
da Equação 7:
Como mencionado anteriormente, o módulo de elasticidade é o mesmo para toda região
elástica. Sabendo disso, podemos aplicar a lei de Hooke (Equação 6) para descobrir qual é a
deformação para a tensão que está ocorrendo no material, ou seja, para , assim temos
que:
Com a deformação do arame, aplicaremos a Equação 4 para obter o alongamento do arame e,
assim, concluir o exemplo:
em que   é a deformação longitudinal do arame, ou seja, os   mm/mm e   é o
comprimento inicial do arame (30 m).
Observe que como o comprimento inicial foi mantido em metros e a deformação é um
parâmetro adimensional, o resultado saiu em metros. Se tivéssemos transformado para milímetros o
comprimento inicial, o resultado do alongamento seria em milímetros.
Exemplo 13: o diagrama tensão x deformação de uma liga de alumínio utilizada na fabricação
de peças de aeronaves é mostrado na figura. Se um corpo de prova desse material estiver sujeito a
uma tensão de tração de 600 MPa, determine sua deformação permanente quando a carga for
retirada.
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Fonte: Hibbeler, 2018.
Considere que a tensão limite de proporcionalidade é 450 MPa e sua respectiva deformação é
0,006 mm/mm e que a deformação para a tensão de 600 MPa é igual a 0,023 mm/mm.
Solução: como a tensão limite de proporcionalidade e sua respectiva deformação foram
fornecidas no enunciado, podemos determinar o módulo elasticidade aplicando a Equação 7, assim
temos:
Conforme o enunciado, a tensão que está sendo aplicada sobre o corpo de prova é de 600 MPa,
logo, essa tensão supera a tensão limite de proporcionalidade, portanto, o material já não está mais
trabalhando na região elástica, o que significa que ao retirar a carga o material não retornará à sua
configuração inicial, ele terá uma deformação permanente. A pergunta é, quanto é essa deformação
permanente?
Reflita sobre a seguinte situação: imagine que você está entortando (flexionando) uma barra
metálica como mostra a Figura 10:
Figura 10 – Pessoa aplicando uma determinada força para deformar uma barra metálica
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Créditos:PAVLO LYS/Shutterstock.
A força que você está aplicando é suficientemente grande para provocar deformações
permanentes nessa barra. A pergunta a ser feita aqui é: ao parar de aplicar essa força sobre a barra,
ela ficará deformada do mesmo jeito quando aplicada a força ou ela retornará um pouco ao seu
estado inicial?
Você pode fazer o teste e, assim, observará que o material acaba retornando um pouquinho à
sua configuração original, em outras palavras, o material recupera um pouco a deformação.
Para descobrir a quantidade desta deformação que o material recupera, aplicamos uma reta
paralela à reta da região elástica, porém iniciando a partir da tensão aplicada sobre o material. Vamos
fazer isso no diagrama tensão x deformação do exemplo:
No diagrama, observe o triângulo formado quando desenhada a linha vermelha paralela à linha
do comportamento elástico:
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Para obter a deformação recuperada, , vamos aplicar a tangente do ângulo , ou seja:
Observe a semelhança dessa equação com a Equação 7, em que . O módulo de
elasticidade equivale à , pois a reta vermelha desenhada possui e mesma inclinação que a reta
dentro do comportamento linear, portanto, podemos reescrever a equação anterior como:
O módulo de elasticidade foi obtido logo no início do exemplo. Substituindo-o na equação
acima, ficamos com:
Para determinar a deformação permanente do corpo de prova, , basta subtrairmos da
deformação final (para a tensão de 600 MPa) a deformação recuperada, ou seja:
Graficamente, a deformação permanente é representada como:
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Note que o resultado  faz total sentido analisando o diagrama acima.
Exemplo 14: uma haste de alumínio com seção transversal circular está sujeita a uma carga axial
de 10 kN como mostra a Figura (a). O diagrama tensão x deformação desse material é mostrado na
Figura (b). Determine o valor do alongamento dessa haste com a carga aplicada e após a retirada da
carga (alongamento permanente). Considere 
(a)  
(b)  
Fonte: Hibbeler, 2018.
Solução: podemos iniciar os cálculos determinando a tensão para cada seção da haste, em que o
trecho AB possui um diâmetro equivalente a 20 mm (raio igual a 10 mm ou 0,01 m) e o trecho BC um
diâmetro de 15 mm (raio igual a 7,5 mm ou 0,0075 m). Aplicando a Equação 1, temos:
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Observe que o trecho AB possui uma tensão que está abaixo da tensão limite de
proporcionalidade. Note no diagrama que a tensão limite de proporcionalidade equivale a
. Porém, a tensão do trecho BC é superior à tensão limite de proporcionalidade, o que
significa que haverá deformações permanentes após a retirada da carga.
Como o módulo de elasticidade foi fornecido no enunciado, podemos calcular a deformação do
trecho AB aplicando a lei de Hooke (Equação 6), assim temos:
Não podemos aplicar a lei de Hooke para obter a deformação do trecho BC, , pois não está
na região elástica. Portanto, para obter , vamos observar o gráfico e estimar um valor aproximado.
Note que a deformação  está entre 0,04 e 0,06 e está antes da metade desse intervalo, ou seja,
antes de 0,05. Portanto, podemos estimar que 
Com as respectivas deformações, podemos aplicar a Equação 4 para determinar o alongamento
de cada trecho com a carga aplicada, logo:
O comprimento do trecho AB é 600 mm. Substituindo este valor e  na equação
acima, ficamos com:
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Fazendo o mesmo processo para o trecho BC, em que o comprimento inicial deste trecho é 400
mm e sua deformação é , temos:
O alongamento total com a carga de 10 kN aplicada é obtido pela simples soma do
alongamento de cada trecho, portanto , consequentemente,
.
A próxima etapa é descobrir o alongamento permanente após a retirada da carga de 10 kN. Para
obtê-lo, temos que lembrar que o trecho AB está trabalhando na região elástica, o que significa que,
ao retirar a carga, ele voltará à sua configuração original, portanto, o alongamento será zero para
esse trecho ( . Entretanto, o trecho BC não está trabalhando na região elástica e, como
discutido no exemplo anterior, isso implica que ao retirar a carga, o material retornará um pouco ao
seu comprimento original, porém terá uma deformação e um alongamento permanente.
Para determinar a deformação recuperada, , vamos desenhar uma reta paralela à reta da
região elástica do diagrama, só que iniciando na tensão do trecho BC, ou seja, iniciando em
:
Aplicando a lei de Hooke para descobrir a deformação recuperada, temos:
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Analisando o diagrama, a deformação permanente, , é a deformação total do trecho BC,
, menos a deformação recuperada, ou seja, , logo,
O alongamento permanente do trecho BC é obtido com a aplicação da Equação 4, assim temos
que:
Por fim, para determinar o alongamento permanente da haste inteira, basta somarmos o
alongamento permanente do trecho AB com o do trecho BC:
Note que o alongamento permanente é um valor um tanto elevado e que em muitos projetos
não seria tolerável um alongamento tão grande, pois poderia comprometer a estrutura ou o
funcionamento do equipamento. O que pode ser feito neste caso para eliminar este alongamento
permanente? Temos que trabalhar na região elástica do diagrama, e isso é possível atuando de três
formas:
Reduzindo a carga aplicada;
Aumentando a área da haste no trecho BC; 
Utilizando um material mais rígido, ou seja, com um módulo de elasticidade maior.
FINALIZANDO
     Nesta aula, você foi introduzido à Resistência dos Materiais. Aqui, nós paramos de tratar os
corpos como rígidos, pois estávamos preocupados em conhecer as tensões e deformações que os
objetos estão sofrendo.
Não deixe de ver os demais exemplos resolvidos do nosso livro texto. Nesta aula, trabalhamos
com o Capítulo 1 para o tema de Tensões, 2 para deformações e 3 para os temas de diagrama de
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tensão x deformação e lei de Hooke. Procure fazer alguns exercícios para praticar e evoluir no seu
aprendizado.
Esperamos que ao longo do conteúdo seu aprendizado tenha sido muito rico e proveitoso, e
lembre-se que você tem um tutor(a) para te ajudar a sanar suas dúvidas da disciplina. Não deixe de
procurá-lo(a).
Bons estudos e até uma próxima oportunidade!
REFERÊNCIAS
CALLISTER JUNIOR, W. D.; RETWISCH, D. G. Ciência e Engenharia de Materiais: Uma Introdução.
9. ed. LTC, 2018.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. Pearson, 2010.
_____. Resistência dos Materiais. 10. ed. Pearson, 2018.
CABLE MAX. Tabela de Cabos de Aço. Disponível em:
<http://www.cabosdeacocablemax.com.br/tabela-de-cabos-de-
aco.html#:~:text=Aplica%C3%A7%C3%B5es%20X%20Fator%20de%20seguran%C3%A7a&text=A%20
carga%20de%20trabalho%20de,ruptura%20m%C3%ADnima%20efetiva%20do%20mesmo>. Acesso
em: 22 dez. 2020.
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