Introdução à Resistência dos Materiais - Tensão e Deformação

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INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
AULA 2
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Eimi Veridiane Suzuki
CONVERSA INICIAL
Seja bem-vindo à nossa aula. Nesta aula, veremos dois conceitos fundamentais à resistência dos materiais,
tensão, deformação e aprenderemos também sobre o comportamento mecânico dos materiais que usaremos
por meio do diagrama tensão-deformação.
TEMA 1 – TENSÃO
A tensão é definida como sendo a força dividida pela área. Esta área é de uma seção, interna ao corpo, pela
qual é distribuída a força interna resultante daquela seção. A tensão tem como unidade Pascal (Pa), que significa
N/m².
1.1 TENSÃO NORMAL
Uma tensão é chamada de normal ou axial quando o sentido da força resultante é perpendicular à seção
(área). Como pode ser visto na Figura 1, a força FBC é perpendicular a uma seção de área A, gerando uma tensão
normal na dada seção, com sentido também perpendicular à seção.
Figura 1 – Uma força normal aplicada à uma área e a tensão caudada por ela na seção
Fonte: Beer et al., 2015.
A tensão normal é representada por σ e tem como fórmula:
Essa fórmula só pode ser usada quando a tensão é uniformemente distribuída por toda a seção. Para isso,
na maioria dos casos, vamos adotar que a força resultante estará posicionada no centroide da seção. Se a
tensão não estiver distribuída uniformemente ao longo da seção, a fórmula acima vai indicar o valor médio da
tensão para aquela área.
Outro ponto que deve ser observado para a utilização da fórmula da tensão é que a barra que estiver sendo
tracionada ou comprimida deve conservar-se reta antes e após a aplicação da força. Além disso, a barra deve
sofrer deformação uniforme, ou seja, ela deve possuir as mesmas propriedades físicas em todo o seu volume. Se
uma tensão normal é positiva, o corpo está tracionado. Já se a tensão normal é negativa, o corpo está sendo
comprimido.
1.2 TENSÃO DE CISALHAMENTO
Na tensão de cisalhamento, a força resultante tem o mesmo sentido da área da seção, como pode ser visto
na Figura 2, na qual teremos uma tenção de cisalhamento na seção passando por C.
Figura 2 – Forças opostas gerando uma tensão de cisalhamento
Fonte: Beer et al., 2015.
A tensão de cisalhamento é identificada por τ e tem uma fórmula semelhante à da tensão normal:
A tensão de cisalhamento não será distribuída uniformemente ao longo da seção, como era a tensão
normal. Veremos mais para frente como se dá a distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da seção.
Portanto, a fórmula mostrada nos dará o valor médio da tensão na seção, e o sentido da tensão de
cisalhamento será o mesmo da força resultante aplicada, como mostra a Figura 3.
Figura 3 – Em (a), tem-se a força sendo aplicada; em (b), pode-se ver o sentido da força interna resultante V; e
em (c), é mostrado o sentido da tensão gerada
Fonte: Hibbeler, 2015.
Vamos estudar dois tipos específicos de cisalhamento, o simples e o duplo. O cisalhamento simples
acontece quando temos apenas uma força de cisalhamento resultante, como pode-se ver na Figura 4 e na
Figura 5.
Figura 4 – Parafuso sofrendo a ação de cisalhamento simples
Fonte: Beer et al., 2015.
Figura 5 – (a) as forças agindo no parafuso; (b) a força interna resultante agindo na seção E-E’
Fonte: Beer et al., 2015.
No cisalhamento duplo, pode-se achar duas forças de cisalhamento resultante, como pode ser visto na
Figura 6 e na Figura 7.
Figura 6 – Parafuso sofrendo a ação de cisalhamento duplo
Fonte: Beer et al., 2015.
Figura 7-– (a) as forças agindo no parafuso, (b) as forças internas resultantes agindo nas seções K-K’ e L-L’
Fonte: Beer et al., 2015.
Quando se tem um caso de cisalhamento duplo, a força P = F/2, como pode ser observado na Figura 7 (b).
1.3 EXEMPLOS
Exemplo 1: (Beer et al., 2015) duas barras cilíndricas de seção transversal cheia AB e BC são soldadas uma
à outra em B e submetidas a um carregamento conforme mostra a figura. Dados d1 = 30 mm e d2 = 50
mm, encontre a tensão normal média na seção central da haste AB, haste BC.
Solução – organizando os dados:
Vamos começar com a tensão na haste AB, para isso temos que fazer encontrar a força interna resultante no
trecho AB. Primeiramente, fazemos uma seção em algum ponto entre A e B:
Escolhemos um dos lados da seção, e colocamos NAB:
Agora, aplicamos as equações de equilíbrio:
Agora, vamos encontrar a área na seção, como a barra é cilíndrica a área cortada é circular:
Agora aplicamos a fórmula da tensão:
Agora repetimos o processo para BC, fazendo uma seção entre B e C para achar a força interna resultante:
Escolhemos um dos lados da seção, e colocamos NBC:
Agora aplicamos as equações de equilíbrio:
Agora vamos encontrar a área na seção, como a barra é cilíndrica a área cortada é circular:
Agora aplicamos a fórmula da tensão:
O resultado indica que a barra AB está sendo tracionada e o barra BC comprimida.
Exemplo 2: (Hibbeler, 2015) o arganéu da âncora suporta uma força de cabo de 3 kN. Se o pino tiver
diâmetro de 6 mm, determine a tensão média de cisalhamento no pino.
Solução – organizando os dados:
Agora, vamos descobrir se temos cisalhamento simples ou cisalhamento duplo. Observando a figura,
podemos ver que temos duas seções que poderão ser cisalhadas, ou seja, temos cisalhamento duplo. Para
cisalhamento duplo, devemos dividir a força por 2.
A área da seção será a área de um círculo, pois o pino tem seção circular.
Agora a fórmula da tensão de cisalhamento:
TEMA 2 – TENSÃO ADMISSÍVEL
Para desenvolver um projeto de Engenharia, é importante saber qual tensão o material suporta, para evitar
uma falha estrutural. Por meio de testes, obtém-se qual é a tensão limite ou tensão de ruptura de um material,
mas não é a tensão de ruptura que se usa quando se projeta um elemento estrutural, pois é preciso ter uma
margem de segurança, para eventuais falhas ou erros.
O valor da tensão usada nos projetos é menor que a tensão de ruptura e é chamada de tensão admissível.
A divisão da tensão de ruptura pela tensão admissível é chamada fator de segurança (FS).
Ou
O fator de segurança sempre será maior do que 1, e seu valor depende das circunstâncias. Um valor muito
baixo de FS fará com que se utilize menos material, mas aumentará a possibilidade de falhas, já um FS muito
alto deixará a estrutura mais segura, mas aumentará o custo de construção, pois a estrutura ficará mais pesada,
e as vezes até mesmo inviável.
Para a maioria das aplicações, temos valores de FS que podem ser encontrados em normas técnicas e
manuais de engenharia.
2.1 EXEMPLOS
Exemplo 1: (Hibbeler, 2015) as hastes AB e CD são feitas de aço cuja tensão de ruptura por tração é σrup =
510 MPa. Usando um fator de segurança FS = 1,75 para tração, determine o menor diâmetro das hastes de
modo que elas possam suportar a carga mostrada. Considere que a viga está acoplada por pinos em A e
C.
Solução – se é dado o fator de segurança e a tensão de ruptura, podemos usar:
Agora que temos a tensão admissível, podemos dimensionar as hastes, para isso precisamos também da
força resultante em cada haste, então faremos o diagrama de corpo livre:
Aplicando as equações de equilíbrio:
Agora que temos a força interna resultante em cada haste, vamos dimensionar a haste AB:
Agora, vamos dimensionar a haste CD:
Portanto, se as hastes têm que ser iguais, o menor diâmetro possível para elas é de 6,02 mm.
Exemplo 2: (Beer et al., 2015) três parafusos de aço com 18 mm de diâmetro devem ser utilizados para
fixar a chapa de aço mostrada na figura em uma viga de madeira. Sabendo que a chapa suportará uma
carga de 110 kN e que o limite da tensão de cisalhamento do aço utilizado é 360 MPa, determine o
coeficiente de segurança para esse projeto.
Solução – vamos organizar os dados:
Como temos o diâmetro, vamos achar a área de seção transversal de um parafuso:
Agora, vamos verificar qual é a tensão em cada parafuso. Como temos 3 parafusos:
Esta é a tensão admissível e com ela e o limite da tensão de cisalhamento, ou seja, a tensão deruptura,
podemos achar o fator de segurança:
TEMA 3 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
No tema anterior, foi visto que por meio de testes obtém-se a tensão limite ou tensão de ruptura de um
material, o teste em questão é o ensaio de tração. Esse teste é feito na máquina mostrada na Figura 8, nela é
colocada um corpo de prova, do material a ser analisado e que é tensionado. Os dados são enviados para um
computador, que gera um gráfico, que é chamado diagrama tensão-deformação.
Figura 8 – Máquina para realizar teste de tração
Crédito: Sergey Ryzhov / Shutterstock.
Se forem testados vários corpos de prova do mesmo material, eles nunca serão idênticos, pois vários
elementos influenciam no diagrama final, como a temperatura, a velocidade de aplicação de carga, a
composição e pequenas falhas no material.
3.1 DEFORMAÇÃO
Quando aplicamos uma força a um corpo, este se deforma, de forma perceptível ou de forma imperceptível.
A deformação normal é simbolizada pela letra grega ε e é dada pela equação:
Em que:
ε é a deformação especifica normal;
 é o alongamento, a diferença entre o comprimento inicial e final do corpo (Figura 9); e
L é o comprimento do corpo (Figura 9).
Ela é chamada de deformação normal, pois ela ocorre com a aplicação de uma força normal, e se uma
deformação for positiva indica tração e uma deformação com sinal negativo é indicativo de compressão.
Figura 9 – Uma barra com carregamento axial antes e depois da aplicação da carga
Fonte: Beer et al., 2015.
A deformação normal é adimensional, mas pode ser representada por m/m ou mm/m, por ser a divisão
entre dois comprimentos.
3.2 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
A Figura 10 mostra um diagrama tensão-deformação característico e nele pode-se notar algumas áreas
específicas e características da curva.
Figura 10 – Diagrama tensão-deformação convencional e real para material dúctil (aço) (sem escala)
Fonte: Hibbeler, 2015.
Na primeira parte da curva, temos a região elástica, que inicia sendo linear até que alcança o limite de
proporcionalidade, após esse ponto, a material ainda se comporta de forma elástica até alcançar o limite de
elasticidade, ou seja, antes de alcançar o limite de elasticidade, caso a carga seja retirada, o corpo retornará ao
seu tamanho original.
Após esse ponto, temos uma grande deformação com um aumento muito pequeno da carga, que
chamamos de escoamento, e já gera deformações permanentes, pois já estamos na parte plástica do gráfico.
Após o escoamento, temos o endurecimento por deformação, a curva cresce até alcançar o limite de
resistência, que é quando teremos a maior valor de tensão do gráfico, em seguida, a tensão diminui na fase da
estricção e é quando uma região específica começa a diminuir o tamanho de sua seção transversal, até que
diminui tanto que se rompe, que é quando achamos a tensão de ruptura.
Segundo Gere e Goodno (2017), “a carga total que a barra pode suportar de fato diminui depois que a
tensão máxima é atingida, mas essa redução é devida a diminuição da área na barra e não a uma perda na
resistência do material. Na realidade o material sustenta um aumento na tensão verdadeira até a fratura”.
Na Figura 10, pode-se ver que após o escoamento existem duas curvas, uma leva a tensão de ruptura e a
outra a tensão de ruptura real. A primeira é o diagrama tensão-deformação convencional, que usa a área da
seção transversal do objeto original para o cálculo da tensão. A segunda é chamada de diagrama tensão-
deformação real, e a área da seção transversal utilizada é a área do momento que a força é aplicada.
Na prática, o diagrama tensão-deformação convencional é o mais utilizado, pois projetos de engenharia
são calculados para permanecer na parte elástica do gráfico.
3.3 MATERIAIS DÚCTEIS E MATERIAIS FRÁGEIS
A Figura 11 mostra dois gráficos de materiais tipicamente dúcteis e a Figura 12 para um material
tipicamente frágil.
Figura 11 – Gráfico Tensão-Deformação para dois materiais dúcteis
Fonte: Beer et al., 2015.
Figura 12 – Gráfico Tensão-Deformação para um material frágil
Fonte: Beer et al., 2015.
Um material dúctil é aquele que sofre grande deformações antes da ruptura, além de contar com um ponto
de escoamento. Um exemplo é o aço estrutural, que pode ser dobrado sem romper por causa da sua
ductilidade.
Mas alguns metais, como o alumínio, não tem um ponto de escoamento bem definido e, para esses casos,
o limite de escoamento pode ser encontrado através do método da deformação residual.
Nesse método, pega-se uma deformação de 0,02%, o que equivale a 0,002 m/m, e a partir desse ponto
desenha-se uma reta, que terá a mesma inclinação da parte elástica do gráfico. O ponto que que a reta
desenhada interceptar o gráfico é definido como o limite de escoamento, como pode ser visto na Figura 13.
Figura 13 – Limite de escoamento para liga de alumínio
Fonte: Hibbeler, 2015.
Já um material frágil é caracterizado por se romper com valores de deformação baixas quando à tração.
Quando submetidos à compressão, materiais frágeis possuem uma resistência maior e diferente dos materiais
dúcteis, que se achatam quando à compressão, os materiais frágeis se rompem quando submetidos à
compressão. São materiais frágeis: concreto, vidro, pedra.
3.4 LEI DE HOOKE
Como foi dito, os projetos de engenharia tendem a trabalhar na parte elástica do diagrama tensão-
deformação. Sendo que a parte elástica é basicamente linear, a inclinação dessa reta é chamada de módulo de
elasticidade (E). A equação usada para determinar o módulo de elasticidade é muitas vezes chamada de Lei de
Hooke e é dada por:
Materiais com módulo de elasticidade mais altos são considerados rígidos. Já materiais com módulo de
elasticidade mais baixos são considerados flexíveis.
O módulo de elasticidade só pode ser usado quando o material está em comportamento elástico, visto que
representa essa a parte elástica do gráfico. Mas se o material está na parte da deformação plástica e o
carregamento for retirado, ele vai ter uma recuperação elástica, com o mesmo módulo de elasticidade da parte
elástica, e uma deformação permanente.
3.5 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Um material armazena energia quando é deformado por uma carga, e é chamada de energia de
deformação. A energia de deformação no limite de proporcionalidade é chamada de módulo de resiliência (ur) e
tem como unidade J/m³.
O módulo de resiliência é a área do diagrama tensão-deformação até o limite de proporcionalidade (Figura
14). Já a energia armazenada até instantes antes da ruptura é chamada de módulo de tenacidade (ut) e pode ser
calculada achando a área abaixo de todo o diagrama tensão-deformação, como mostra a Figura 15.
Figura 14 – Módulo de resiliência é a área abaixo do diagrama tensão deformação até o limite de
proporcionalidade
Fonte: Beer et al., 2015.
Figura 15 – Módulo de tenacidade é a área abaixo do diagrama tensão deformação
Fonte: Beer et al., 2015.
3.6 EXEMPLOS
Exemplo 1: (Hibbeler, 2015) a figura apresenta o diagrama tensão-deformação de uma barra de aço.
Determine os valores aproximados do módulo de elasticidade, limite de proporcionalidade, limite de
resistência e módulo de resiliência. Se a barra for submetida a uma carga de tração de 450 MPa, determine
o valor da recuperação da deformação elástica e da deformação permanente na barra quando
descarregada.
Solução – o módulo de elasticidade pode ser achado pela parte reta do gráfico, vamos pegar no limite de
proporcionalidade a tensão e sua respectiva deformação:
Com isso, também temos o limite de proporcionalidade que é a tensão do último ponto da parte reta do
gráfico.
Para achar o módulo de resiliência, vamos calcular a área baixo do gráfico na sua parte elástica.
Para a última parte da questão, vamos ver no gráfico qual é a deformação que temos quando a carga de
tração é 450 MPa.
Agora, achamos o valor da recuperação da deformação elástica com a fórmula, já que nessa recuperação o
gráfico volta de maneira linear.
Portanto, a deformação permanenteserá:
Exemplo 2: (Beer et al., 2015) um cabo de aço de 18 m de comprimento e 5 mm de diâmetro será usado
na fabricação de uma viga de concreto protendido. Observa-se que o cabo sofre um estiramento de 45
mm quando a força P é aplicada. Sabendo que E=200 GPa, determine (a) a intensidade da força P, (b) a
correspondente tensão normal no cabo de aço.
Solução – vamos organizar os dados:
Para achar P, temos que ter a tensão normal pois:
A área é:
E pela lei de Hooke:
Podemos achar a deformação com:
Então:
TEMA 4 – COEFICIENTE DE POISSON
Quando um material, cujas propriedades mecânicas independem de posição e direção, se alonga na direção
axial, ele também se contrai na direção lateral, quando submetido a uma força axial, e estiver trabalhando
elasticamente. Chamaremos essa deformação lateral de ε’, e a divisão da deformação lateral pela deformação
axial é constante, uma propriedade do material chamada de coeficiente de Poisson, que tem como símbolo a
letra grega nu (ν).
O sinal é negativo, pois uma das deformações sempre será negativa e a outra positiva, pois quando uma
direção se alonga, a outra, obrigatoriamente, se contrai (Figura 16).
Figura 16 – (a) barra antes da aplicação da força P, (b) alongamento axial e contração lateral provocado pela
força P
Fonte: Gere; Goodno, (2017).
O coeficiente de Poisson é um número entre 0 e 0,5, adimensional e valores para vários materiais já estão
tabelados.
4.1 EXEMPLOS
Exemplo 1: (Gere; Goodno, 2015) uma barra de metal monel (comprimento L = 230mm, diâmetro d = 6
mm) é carregada axialmente por uma força de tração P. Se a barra se alonga em 0,5 mm, qual é a redução
do diâmetro d? Qual é a grandeza da carga P? Utilize ν=0,32 e E=170 GPa.
Solução – vamos organizar os dados:
Primeiramente, vamos achar a deformação axial.
Com a deformação axial e como o coeficiente de Poisson é dado, podemos achar a deformação lateral:
Com a deformação lateral, podemos achar a redução do diâmetro:
Agora vamos encontrar o valor de P:
Então:
Exemplo 2: (Hibbeler, 2015) a figura mostra a porção elástica do diagrama tensão-deformação para um
aço-liga. O corpo de prova do qual ela foi obtida tinha diâmetro original de 13 mm e comprimento de
referência de 50 mm. Quando a carga aplicada ao corpo de prova for 50 kN, o diâmetro é 12,99265 mm.
Determine o coeficiente de Poisson para o material.
Solução – vamos organizar os dados:
Como temos o diâmetro final e inicial, podemos achar o alongamento do diâmetro:
Agora achamos a deformação lateral:
A deformação axial podemos achar com:
O módulo de elasticidade achamos com o gráfico:
Já a tensão achamos com a fórmula da tensão:
Substituindo:
Agora com as deformações axial e lateral, podemos achar o coeficiente de Poisson.
TEMA 5 – O DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO PARA CISALHAMENTO
No tema 2 desta aula, aprendemos sobre a relação entre a tensão normal e a deformação especifica
normal. Aqui vamos aprender sobre essa relação, tensão-deformação, para quando temos tensão de
cisalhamento e deformações por cisalhamento.
5.1 DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO
Uma deformação por cisalhamento ocorre quando duas retas do corpo, que antes da aplicação da força,
formavam um ângulo de 90° e após a carga cisalhante ser aplicada essas mesmas retas não formam mais um
ângulo reto. Se o corpo for tiver o formato de um cubo, como na
Figura 17 (a), após a aplicação da força cisalhante, ele se tornará em um paralelepípedo oblíquo (
Figura 17(b)).
Figura 17 – Cubo (a) antes da aplicação da carga cisalhante, e (b) com a deformação por cisalhamento
.
Fonte: Gere; Goodno, 2017.
A deformação por cisalhamento é um ângulo, representada pela letra grega γ, e é a diferença entre o
ângulo inicial, π/2 rad, e o ângulo final, em radianos, como pode-se ver na
Figura 17 (b).
5.2 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
O diagrama tensão-deformação pode ser obtido por meio de ensaios de cisalhamento direto, ou ensaios de
torção. O diagrama obtido será semelhante ao diagrama alcançado com as cargas normais, apenas com valores
diferentes.
Figura 18 – Diagrama tensão-deformação de cisalhamento
Fonte: Hibbeler, 2015.
A parte inicial do diagrama tensão-deformação de cisalhamento, assim como no diagrama tensão-
deformação normal, é uma linha reta e sua inclinação representa o módulo de elasticidade ao cisalhamento, que
é representado pela letra G e pode ser encontrado com a equação:
Essa fórmula pode ser usada quando estamos na parte elástica do digrama, e as propriedades mecânicas
do material independem de posição e direção. Nesta aula, vimos três propriedades mecânicas dos materiais: E, ν
e G, essas propriedades são relacionadas segundo a equação:
5.3 EXEMPLOS
Exemplo 1: (Beer et al., 2015) dois blocos de borracha com módulo de elasticidade transversal G = 10 MPa
são colados a dois suportes rígidos e uma placa AB. Sabendo que b = 200 mm e c = 125 mm, determine a
maior força P admissível e a menor espessura a admissível dos blocos para que a tensão de cisalhamento
na borracha não exceda 1,5 Mpa, e o deslocamento da placa seja no mínimo 6 mm.
Solução – vamos organizar os dados:
Trata-se de um cisalhamento duplo, pois temos duas superfícies de cisalhamento, e a área que vamos usar
é a área da superfície de cisalhamento, bxc, portanto:
Para achar o valor de a, vamos desenhar a borracha deformada:
Para achar a deformação γ, aplicamos a fórmula:
Na figura anterior, podemos ver um triângulo de lados a e 6 e ângulo γ, com isso e trigonometria:
Exemplo 2: (Hibbeler, 2015) a figura mostra o diagrama tensão-deformação de cisalhamento para um
aço-liga. Se o parafuso de 6 mm de diâmetro feito desse material for utilizado em uma junta sobreposta,
determine o módulo de elasticidade E e a força P exigida para provocar o escoamento do material.
Considere ν = 0,3.
Solução – vamos organizar os dados:
Com o digrama, podemos achar G:
Sabemos que temos um cisalhamento simples e que queremos a força P exigida para provocar o
escoamento:
Para achar o módulo de elasticidade E, usaremos a equação que relaciona as propriedades mecânicas dos
materiais:
FINALIZANDO
Nesta aula, aprendemos sobre tensão e deformação, tanto a normal quanto a de cisalhamento.
Aprendemos também sobre algumas propriedades mecânicas dos materiais, como o módulo de elasticidade, o
módulo de elasticidade ao cisalhamento e o coeficiente de Poisson. Foram feitos exemplos dos assuntos
apresentados, mas, para melhor fixar o conteúdo, faça mais exercícios dos assuntos desta aula.
REFERÊNCIAS
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH Editora LTDA, 2015.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil LTDA, 2015.