Comportamento Mecânico dos Materiais

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Francielly Elizabeth de Castro Silva 
 
 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula, faremos uma recapitulação sobre o diagrama de tensão x 
deformação e Lei de Hooke. Além disso, você aprenderá sobre o comportamento 
dos materiais dúcteis e frágeis, o conceito de energia de deformação, coeficiente 
de Poisson e diagrama tensão-deformação de cisalhamento. 
Boa parte desses assuntos serão abordados sobre o diagrama de tensão 
x deformação. Portanto, por meio do diagrama de tensão x deformação, é 
possível extrair muitas informações sobre o comportamento mecânico do 
material. 
TEMA 1 – DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO 
Neste tema, vamos relembrar o assunto visto na disciplina Princípios de 
Mecânica e Resistência dos Materiais. Para isso, foi importante aprendermos o 
que é tensão normal e deformação, assuntos vistos em aulas anteriores. 
A resistência de um material depende de sua capacidade em resistir a 
uma força sem se deformar excessivamente ou sem se romper. Essa resistência 
é influenciada pelo tipo de material como: papel, madeira, polímero, alumínio, 
aço, entre outros materiais. Para entender como um material se comporta, o 
quanto ele deforma quando aplicamos uma força de tração sobre ele, aplicamos 
o ensaio de tração. Ou, de forma análoga, para compreender como o material 
se deforma mediante a aplicação de uma força de compressão, aplicamos o 
ensaio de compressão. 
O ensaio de tração/compressão consiste em aplicar uma carga 
progressiva sobre o material e analisar seu alongamento/encurtamento ou 
deformação. A carga é aplicada por uma máquina com um transdutor de força 
acoplado que mede a força aplicada (Figuras 1a e 1b) e a deformação pode ser 
medida por meio de extensômetros de resistência elétrica denominados Strain 
Gauge. Esse ensaio é realizado com um corpo de prova de tamanho 
padronizado (Figura 1c) a fim de caracterizar de forma padronizada os materiais. 
A Figura 1d mostra o diagrama de tensão-deformação de uma amostra de 
alumínio, obtido em laboratório, em Curitiba, pelos professores Dr. Marcos 
Proença e Dra. Francielly Castro. 
 
 
3 
Figura 1 – (a) Modelo representativo de máquina de ensaio de 
tração/compressão e (b) máquina real de ensaio de tração/ compressão, (c) 
corpo de prova e (d) diagrama tensão x deformação 
(a) (b) 
(c) (d) 
Fonte: (a) Hibbeler, 2018; (b) Funtay/Shutterstock; (c) Digital signal/Shutterstock; (d) Francielly 
Elizabeth de Castro Silva. 
A Figura 1d mostra um diagrama tensão-deformação real onde o eixo da 
ordenada corresponde à tensão aplicada ao corpo de prova e o eixo da abcissa 
corresponde à deformação devido à carga aplicada. Este ensaio é feito até o 
material se romper, assim, o engenheiro conseguirá compreender como o 
material se comporta mediante o aumento gradual da força. 
Para fins didáticos, podemos analisar o diagrama de tensão x deformação 
de um material dúctil apresentado na Figura 2. 
 
 
 
4 
Figura 2 – Exemplo didático de diagrama de tensão x deformação 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Note que há quatro regiões nesse diagrama: região elástica, escoamento, 
endurecimento por deformação e estricção. Vamos relembrar o que cada região 
nos fornece de informação sobre o material. 
• Região elástica – Essa região descreve o comportamento elástico do 
material. Note que nesse trecho o diagrama é representado por uma reta, 
logo, há uma proporcionalidade entre a tensão e a deformação, em outras 
palavras, o material é linearmente elástico. O limite superior de tensão 
nessa região é denominado tensão limite de proporcionalidade e é 
representado por 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙. Nesta região, se a carga for removida, o corpo de 
prova voltará à sua forma original, por isso, recebe o nome de região 
elástica. 
• Escoamento – Essa etapa ocorre logo após a tensão limite de 
proporcionalidade e é caracterizada por provocar uma deformação no 
material mantendo a tensão, ou seja, o material continua se deformando 
sem que haja um aumento da carga. As deformações que ocorrem a partir 
dessa etapa são do tipo plásticas (permanentes). A tensão que 
caracteriza esse comportamento é chamada de tensão de escoamento, 
𝜎𝜎𝑒𝑒 e é muito empregada nos projetos estruturais, justamente por ser um 
valor ligeiramente acima da tensão limite de proporcionalidade. Essa 
tensão é extraída do diagrama, traçando uma reta paralela à linha elástica 
para uma deformação de 0,2%. Ela é frequentemente disponibilizada nas 
tabelas que apresentam o comportamento mecânico dos materiais. 
 
 
5 
• Endurecimento por deformação – Após o escoamento, pode-se 
aumentar a carga, o que resulta em uma curva que cresce continuamente 
até um certo limite denominado limite de resistência à tração, 
representado por 𝜎𝜎𝑢𝑢 (última), ou em algumas literaturas 𝜎𝜎𝑚𝑚á𝑥𝑥. Essa tensão 
pode variar desde aproximadamente 50 MPa para um alumínio até um 
valor tão elevado quando 30000 MPa para aços de alta resistência. A 
tensão limite de resistência à tração corresponde à tensão máxima 
suportada pelo material sob tração. Se essa tensão for aplicada e mantida, 
ocorrerá ruptura do material. Toda deformação até alcançar a tensão 
limite de resistência está uniformemente distribuída por toda a região 
estreita do corpo de prova. 
• Estricção – A partir do limite de resistência, a área da seção transversal 
começa a diminuir em uma certa região do corpo de prova e toda 
deformação subsequente fica confinada nesse pescoço, fenômeno 
denominado de estricção ou empescoçamento (Figura 3a). Ela é causada 
por planos deslizantes formados no interior do material, e as deformações 
reais produzidas são causadas por tensão de cisalhamento. Essa 
estricção aumenta, logo o corpo de prova é “estrangulado” até seu 
rompimento (Figura 3b). Nesse ponto de rompimento, é identificada a 
tensão de ruptura, representada por 𝜎𝜎𝑓𝑓 (final) ou em outras literaturas por 
𝜎𝜎𝑟𝑟𝑢𝑢𝑙𝑙. A Figura 3c mostra um corpo de prova com seção retangular 
estriccionado. 
Figura 3 – (a) Estricção, (b) rompimento do corpo de prova e (c) 
(a) 
(b) 
 
 
6 
(c) 
Fonte: (a) e (b) Hibbeler, 2018 e (c) Silva, 2021. 
As três últimas etapas do diagrama demonstram um comportamento 
plástico, ou seja, após a retirada da força, o material não volta à sua configuração 
inicial e passa a assumir uma forma deformada “permanente”. 
A maioria das estruturas é projetada considerando apenas as 
deformações elásticas, pois uma estrutura que se deformou plasticamente, ou 
seja, que se deformou permanentemente, pode não ser capaz de funcionar de 
forma adequada como previsto no projeto. 
Na Figura 2, dois diagramas estão plotados. O primeiro é denominado 
diagrama de tensão x deformação de engenharia que termina na tensão de 
ruptura e o segundo é o diagrama tensão x deformação real que termina na 
tensão de ruptura real. A diferença entre os dois diagramas é a seguinte: O 
diagrama tensão x deformação de engenharia considera a área inicial do corpo 
de prova para o cálculo da tensão. Já o diagrama tensão x deformação real, 
considera a mudança de área durante todo ensaio, logo, a tensão é calculada de 
forma mais precisa, pois ao longo do experimento a área diminui até romper o 
corpo de prova. 
Apesar dos diagramas de engenharia e real serem diferentes, a maioria 
das estruturas são projetadas de forma que os materiais trabalhem na região 
elástica, pois a distorção do material não é severa dentro dessa faixa. Contanto 
que o material usado no projeto seja “rígido”, como a maioria dos metais, os erros 
associados entre usar os valores reais e de engenharia são muito baixos, da 
 
 
7 
ordem de 0,1%. Essa é uma das principais razões para a utilização dos 
diagramas tensão-deformação de engenharia. 
• Exemplo 1: analise com mais detalhe o diagrama tensão x deformação 
visto na Figura 2d e identifique suas respectivas regiões etensões. 
• Solução: as regiões e tensões do diagrama são representadas na 
seguinte figura: 
 
Alguns pontos a serem observados: a tensão de ruptura foi obtida por 
meio da análise do vídeo, em que há uma queda brusca na força quando a 
tensão alcançou o valor próximo de 160 MPa. Além disso, a tensão de 
escoamento é obtida a partir de uma deformação de 0,2%. Porém, como pode 
ser observado na figura, a rampa que representa o comportamento elástico 
começa num valor percentual de deformação de aproximadamente 0,5%. Por 
isso, não foi possível determinar esse valor nesse ensaio. Mais ensaios deveriam 
ser realizados a fim de caracterizar esse material. 
TEMA 2 – COMPORTAMENTO DE MATERIAIS DÚCTEIS E FRÁGEIS 
Os materiais podem ser classificados como dúcteis ou frágeis 
dependendo de como ele se deforma perante a aplicação de uma tensão. 
• Materiais dúcteis: os materiais que sofrem grandes deformações antes 
do rompimento são chamados de dúcteis. Um exemplo de material dúctil 
é o aço doce (Figura 4), que tem um baixo teor de carbono e não possui 
 
 
8 
elementos de liga em sua composição. Esse material não possui dureza 
elevada. 
Figura 4 – Diagrama tensão x deformação do aço doce 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
É muito comum optar-se por materiais dúcteis em projetos estruturais, 
pois são capazes de absorver energia ou choque e, se forem sobrecarregados, 
apresentarão, em geral, grande deformação antes do rompimento. A Figura 5 
mostra uma amostra de aço de baixo carbono após o rompimento. Observe que 
na região que foi rompida há uma estricção (afunilamento) da amostra, 
característica peculiar dos materiais dúcteis. 
Figura 5 – Amostra de aço de baixo carbono rompida 
 
Crédito: Thaweesak Thipphamon/ Shutterstock. 
Uma forma de especificar a ductilidade de um material é calcular a 
deformação longitudinal na ruptura, ou seja: 
𝜀𝜀𝑙𝑙𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝐿𝐿𝑟𝑟𝑢𝑢𝑙𝑙 − 𝐿𝐿𝑖𝑖
𝐿𝐿𝑖𝑖
(100 %) (1) 
 
 
9 
em que 𝐿𝐿𝑟𝑟𝑢𝑢𝑙𝑙 corresponde ao comprimento do corpo de prova na iminência do 
rompimento e 𝐿𝐿𝑖𝑖 é o comprimento inicial do corpo de prova. Para o aço doce, 
esse valor é de aproximadamente 38%. 
Uma outra forma é por meio da porcentagem de redução de área. É 
definida dentro da região de estrição da seguinte forma: 
𝜀𝜀𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝐴𝐴𝑖𝑖−𝐴𝐴𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝐴𝐴𝑖𝑖
(100 %) (2) 
em que 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑢𝑢𝑙𝑙 corresponde à área da seção transversal do corpo de prova rompida 
e 𝐴𝐴𝑖𝑖 é a área inicial do corpo de prova. Para o aço doce, esse valor é de 
aproximadamente 60%. 
Outros materiais, como latão, molibdênio e zinco também podem exibir 
características semelhantes às do aço doce. Analisando a Figura 4, observe que 
as quatro regiões estão bem definidas no diagrama. Entretanto, na maioria dos 
metais, não ocorrerá a região do escoamento além da faixa elástica, como o 
ponto de escoamento bem definido. Nesse tipo de caso, utiliza-se o método da 
deformação residual, aplicando uma reta a 0,2% de deformação, como 
mencionado no tema anterior. 
O limite de escoamento não é uma propriedade física do material, visto 
que é uma tensão que causa uma deformação específica permanente no 
material, todavia, é muito comum considerar que a tensão de escoamento 
coincide com a tensão limite de proporcionalidade para fins de projeto, a menos 
que seja provado o contrário. 
Uma exceção é a borracha que não tem nem sequer uma tensão limite de 
proporcionalidade, pois o diagrama tensão x deformação não tem uma linear. As 
borrachas são materiais específicos que variam não somente com a carga 
aplicada, mas com a velocidade de aplicação da carga (frequência) e com a 
temperatura, ou seja, dependendo da frequência e temperatura, o material pode 
apresentar um comportamento mais rígido ou mais flexível. A Figura 6 mostra o 
diagrama tensão x deformação da borracha natural para uma temperatura e 
frequência fixa. Observe que esse tipo de material possui um comportamento 
elástico não linear, ou seja, não existe aquela região linear em que podemos 
extrair a tensão e deformação limite de proporcionalidade. 
 
 
 
10 
Figura 6 – Diagrama tensão x deformação da borracha natural 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
A Figura 7 mostra o nomograma (gráfico que representa as propriedades 
desejadas do material) de dois materiais viscoelásticos considerando várias 
temperaturas e frequências. 
Figura 7 – Nomogramas com as propriedades mecânicas (a) da borracha natural 
e (b) do Neoprene 
(a) (b) 
Fonte: Silva, 2019. 
Esses materiais são muito utilizados no controle de vibração, pois 
possuem um elevado amortecimento que podemos associá-lo ao fator de perda, 
𝜂𝜂. Observe na Figura 6a que para temperaturas de 243 K (0° C) seu fator de 
perda (amortecimento) é mais elevado. Observe os valores para uma frequência 
fixa de 40 Hz. Já na Figura 6b, para a mesma frequência, a temperatura que 
promove um maior amortecimento é a de 273 K (30° C). Obseve também que 
para essa frequência e suas respectivas temperaturas de maior amortecimento, 
 
 
11 
o módulo de cisalhamento (falaremos sobre esse parâmetro no Tema 5 desta 
aula) é menor, isso significa que a borracha é menos rígida nessas 
circunstâncias. 
• Materiais frágeis: materiais que apresentam pouco ou nenhum 
escoamento antes da falha são denominados frágeis. Para William e 
Callister (2008), os materiais frágeis, de uma maneira aproximada, 
possuem uma deformação de fratura inferior a 5%. Um exemplo é o ferro 
fundido cinzento que tem seu diagrama tensão x deformação 
representado na Figura 8. 
Pelo diagrama, observa-se a tensão de ruptura devido à tração em 152 
MPa. Essa ruptura ocorreu devido a uma trinca microscópica que se propagou 
rapidamente devido à tensão aplicada até a ruptura. Como o aparecimento de 
trincas iniciais ocorre de forma aleatória, materiais frágeis não têm uma tensão 
de ruptura sob tração bem definida. Por isso, em vez de considerar a tensão de 
ruptura propriamente dita, é comum considerar uma tensão de ruptura média 
obtida por um conjunto de ensaios com amostras de tal material. 
Figura 8 – Diagrama tensão x deformação do ferro fundido cinzento 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Observe na Figura 9a que os materiais frágeis produzem um rompimento 
repentino, com deformações quase que imperceptíveis. Eles não apresentam 
 
 
12 
nenhum ou quase nenhum afunilamento da amostra no ensaio de tração. É o 
que acontece quando quebramos um giz, por exemplo (Figura 9b). 
Figura 9 – Ruptura (a) de corpo de prova de concreto e (b) de um giz 
(a) (b) 
Crédito: Nordroden/Shutterstock; lastbackup/Shutterstock. 
Os materiais frágeis possuem uma resistência muito maior quanto à 
compressão axial. É possível observar isso no diagrama tensão x deformação 
do ferro fundido cinzento, mostrado na Figura 8. Veja que as maiores tensões 
ocorrem no trecho AC. Como nesse trecho o corpo de prova está sujeito a uma 
força compressiva, qualquer trinca ou imperfeição no material tende a se fechar 
à medida que a carga é ampliada. A tendência é que o material tenha um 
abaulamento, ou tome a forma de um barrir, como mostra a Figura 10. 
Figura 10 – Corpo de prova sob compressão com abaulamento lateral 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
O concreto também é classificado como um material frágil. As 
características do concreto no diagrama tensão x deformação dependem da 
mistura entre água, areia, brita e cimento e do tempo e temperatura de cura. Um 
 
 
13 
exemplo típico de diagrama é apresentado na Figura 11. Observe que a máxima 
resistência à compressão 𝜎𝜎𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑐𝑐 = 34,5 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 é quase 12,5 vezes maior que a 
resistência máxima à compressão 𝜎𝜎𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑡𝑡 = 2,76 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀. Por isso, o concreto é 
quase sempre reforçado com barras de aço, a fim de melhorar sua resistência 
quanto à tração. 
Figura 11 – Diagramatensão x deformação de um concreto convencional 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
A maioria dos materiais podem ter um comportamento dúctil e frágil, vai 
depender de algumas características particulares daquele material. Se o aço, por 
exemplo, for fabricado com um teor baixo de carbono, certamente será um 
material mais dúctil, porém, à medida que é adicionado mais carbono ao 
material, ele passa a exercer um comportamento frágil. Além disso, em 
temperaturas baixas, os materiais se tornam mais frágeis e, em temperaturas 
mais elevadas, tornam-se mais dúcteis. Esse efeito é mostrado na Figura 12 
para um plástico metacrilato. Lembre-se desse efeito para as borrachas como 
mostrado nos nomogramas da Figura 7. 
 
 
 
14 
Figura 12 – Diagrama tensão x deformação de um plástico metacrilato para 
diferentes temperaturas 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
A Figura 13 mostra um típico diagrama de tensão x deformação de um 
material dúctil e frágil e a Tabela 1 apresenta um comparativo entre esses dois 
tipos de materiais. 
Figura 13 – Diagrama tensão x deformação de um material dúctil e frágil 
 
Fonte: Callister; Retwisch, 2018. 
Tabela 1 – Características dos materiais dúcteis e frágeis 
Material dúctil Material frágil 
Grandes deformações antes do 
rompimento 
Pequenas deformações antes do 
rompimento 
Em geral: 𝜎𝜎𝑒𝑒 ≠ 𝜎𝜎𝑢𝑢 ≠ 𝜎𝜎𝑓𝑓 Em geral: 𝜎𝜎𝑒𝑒 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 = 𝜎𝜎𝑓𝑓 
Possui estricção Não possui estricção 
 
 
15 
Uma das desvantagens em se trabalhar com materiais frágeis é a 
manutenção de peças, pois como esses materiais não se deformam muito e nem 
possuem estricção é difícil para o manutentor identificar se a peça precisa ser 
trocada. Na maioria dos casos, a peça se rompe de forma repentina. 
Neste Tema, focamos em caraterísticas específicas de um material. No 
próximo, trabalharemos com outras informações importantes que descrevem o 
comportamento do material, como a lei de Hooke, energia de deformação, 
módulo de resiliência e módulo de tenacidade. 
TEMA 3 – LEI DE HOOKE E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
No Tema 1 desta aula, falamos sobre o diagrama de tensão x deformação 
e sobre as informações que podemos extrair dele. A maioria das estruturas é 
projetada a fim de sofrer apenas deformações elásticas quando submetida a 
determinado carregamento. Uma estrutura ou componente deformado 
plasticamente, ou seja, que apresentou deformações permanentes devido ao 
carregamento aplicado, pode não satisfazer mais os requisitos de projeto. Torna-
se, então, necessário conhecer o nível de tensão no qual a deformação plástica 
tem seu início, ou seja, onde ocorre o escoamento do material. 
Para os materiais que apresentam uma transição entre as deformações 
elásticas para as plásticas de forma gradual, como vimos no diagrama do 
alumínio (Figura 1d), o ponto de escoamento pode ser obtido través do ponto 
onde se inicia o afastamento da linearidade da curva, ou seja, a partir da tensão 
limite de proporcionalidade, 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙. Esse ponto é representado por P na Figura 14. 
Veja que o início da tensão de escoamento não pode ser determinado com 
precisão, por isso, foi estabelecida uma convenção traçando uma reta paralela, 
a do comportamento linear começando em uma deformação de 0,002 ou 0,2%. 
 
 
 
16 
Figura 14 – Comportamento típico de um metal, mostrando as deformações 
elásticas e plásticas, o limite de proporcionalidade P e o limite de escoamento 
 
Fonte: Callister; Retwisch, 2018. 
Neste tema, vamos abordar somente a região elástica do diagrama, ou 
seja, a região representada pelo comportamento linear (reta) até o ponto P da 
Figura 13. Veja também a Figura 2 para relembrar que região é essa. Essa região 
é delimitada entre o início da aplicação da carga até a tensão limite de 
proporcionalidade, 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙. Como o comportamento dentro dessa região é linear, 
significa que há uma proporcionalidade entre a carga/tensão aplicada e 
deformação. Isso foi observado por Robert Hook em 1676 usando molas, por 
isso, essa relação é chamada Lei de Hook e é definida por: 
𝜎𝜎 = 𝐸𝐸𝜀𝜀 (1) 
em que 𝐸𝐸 corresponde ao módulo de elasticidade ou módulo de Young, cujo 
nome remete a Thomas Young, que publicou um trabalho sobre esse parâmetro 
em 1807. A inclinação da região elástica corresponde ao módulo de elasticidade, 
que é um dos parâmetros que influenciam na rigidez do material, ou seja, quanto 
maior for o módulo de elasticidade, maior será a inclinação da reta e, 
consequentemente, maior é a rigidez do material. A Figura 15 mostra uma 
ilustração desse parâmetro na região elástica de um diagrama tensão x 
deformação. 
 
 
17 
Figura 15 – Módulo de elasticidade no diagrama tensão x deformação 
 
Fonte: Callister; Retwisch, 2018. 
Neste contexto, vamos falar um pouquinho sobre os aços. Estes são 
materiais compostos por uma liga formada essencialmente por ferro e carbono. 
À medida que se aumenta a quantidade de carbono da liga, o material fica mais 
duro e sua tensão limite de resistência (ou tensão máxima) fica mais elevada. 
Porém, repare na Figura 16 que a inclinação dos diagramas de diferentes aços, 
com diferentes teores de carbono, permanece praticamente a mesma, ou seja, 
o módulo de elasticidade é aproximadamente o mesmo. 
Figura 16 – Diagramas parciais de diferentes tipos de aço com diferentes 
quantidades de carbono em sua liga 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
 
 
18 
• Exemplo 2: ENADE 2019 Engenharia Civil – Na análise dos diagramas 
de tensão x deformação para três novos materiais (A, B e C), observou-
se que os três apresentaram valores de módulo de deformação 
longitudinal similares. Considerando essas informações, assinale a opção 
em que as curvas de tensão x deformação melhor representam os três 
materiais (A, B e C). 
 
 
 
Fonte: ENADE Engenharia Civil, 2019. 
• Solução: módulo de deformação normal refere-se ao módulo de 
elasticidade. Portanto, o que temos que avaliar nesta questão é: qual dos 
diagramas apresenta o mesmo módulo de elasticidade para os três 
materiais, ou seja, a mesma inclinação (mesmo ângulo de inclinação) da 
reta que descreve a região elástica. A figura da alternativa (A) apresenta 
um diagrama com essa característica, em que os três materiais (A, B e C) 
estão sobrepostos com a mesma inclinação na região elástica, 
caracterizando o mesmo módulo de elasticidade ou módulo de 
deformação normal. Portanto, a alternativa A está correta. 
• Exemplo 3: ENADE 2017 Engenharia de Civil, Mecânica e de Produção 
– A Figura a seguir representa o diagrama de tensão 𝜎𝜎 versus deformação 
𝜀𝜀 para diferentes materiais poliméricos. 
 
 
19 
 
Fonte: ENADE Engenharia, 2017. 
Assinale a opção que apresenta, respectivamente, o módulo de 
elasticidade e o nível de deformação de uma das curvas do diagrama 
apresentado. 
(A) Curva I – alto e grande 
(B) Curva II – baixo e grande 
(C) Curva III – baixo e pequeno 
(D) Curva IV – alto e grande 
(E) Curva V – baixo e pequeno 
• Solução: para responder a essa questão, vamos analisar cada curva do 
diagrama individualmente: 
Curva I – Observe que essa curva é bem inclinada na região elástica o que 
indica um módulo de elasticidade elevado, porém, sua deformação é pequena. 
É o comportamento típico de um material frágil que veremos no próximo tema. 
Portanto, a afirmação da alternativa A está incorreta, pois o material se deforma 
pouco. 
Curva II – A curva II também é bem inclinada na região elástica, o que indica 
um módulo de elasticidade elevado, porém, sua deformação é grande até o 
rompimento (a maior de todas as curvas). Portanto, a afirmação da alternativa 
B está incorreta, pois o material possui um módulo de elasticidade grande. 
Curva III – A curva III possui uma inclinação que podemos dizer que é pequena 
na região elástica, resultando em um módulo de elasticidade pequeno, contudo, 
sua deformação é grandeaté o rompimento. Portanto, a afirmação da alternativa 
C está incorreta, pois o material se deforma muito. 
 
 
20 
Curva IV – Observe que essa curva IV possui uma inclinação pequena da região 
elástica, resultando em um módulo de elasticidade pequeno e apresenta uma 
deformação relativamente grande até o rompimento. Portanto, a afirmação da 
alternativa D está incorreta, pois o módulo de elasticidade é um valor pequeno. 
Curva V – Na curva V, a inclinação da região elástica é pequena (a menor de 
todos os diagramas), resultando em um módulo de elasticidade pequeno e a 
deformação também é pequena até o rompimento, sendo praticamente o 
mesmo valor da Curva I. Portanto, a afirmação da alternativa E está correta, 
pois o módulo de elasticidade e o nível de deformação assumem um valor 
pequeno. 
• Exemplo 3: ENADE 2017 Engenharia de Civil – Em um ensaio de tração 
uniaxial de uma barra prismática de seção transversal constante, a barra 
é fixada à prensa por uma de suas extremidades, enquanto, na oposta, 
aplica-se uma força de tração concentrada, cujo valor aumenta 
lentamente de zero até o valor final na ruptura. A referida barra é feita de 
material isotrópico, homogêneo e o ensaio parte de tensão e deformação 
nulas. 
Sendo o material da barra o aço – material elastoplástico perfeito – obtém-
se do ensaio uma curva tensão versus deformação que é descrita, no projeto de 
estruturas de concreto armado, por uma reta inclinada que descreve o regime 
elástico, seguindo-se uma reta horizontal, que descreve o regime plástico. 
Com base nessas informações, avalie as afirmações a seguir. 
I. Se o módulo de elasticidade for conhecido, para se determinar a tensão 
atuante na barra nos regimes elástico e plástico, basta multiplicar a deformação 
específica longitudinal medida no ensaio pelo módulo de elasticidade. 
II. Duas barras do mesmo material, uma com o dobro do diâmetro da outra, 
apresentarão tensões diferentes para o mesmo nível de força, sendo a tensão 
na barra de maior diâmetro igual a 25% da tensão na barra de menor diâmetro. 
III. Para uma força qualquer, a deformação específica longitudinal elástica do 
aço é obtida dividindo-se o alongamento correspondente a essa força pelo 
comprimento inicial da barra, sendo a força menor ou igual à força na qual se 
inicia a plastificação. 
É correto o que se afirmar em 
 
 
21 
(A) I, apenas. 
(B) II, apenas. 
(C) I e III, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
(E) I, II e III. 
• Solução: vamos analisar cada informação para resolver este exemplo: I. 
A Equação 1 que relaciona a tensão com a deformação é válida somente 
para a região elástica. Como o texto fala que o regime plástico é descrito 
uma reta horizontal, logo, podemos entender que a tensão permanece a 
mesma, mas o material continua se deformando (algo parecido com a 
região do escoamento visto na Figura 1), portanto, a relação dada pela lei 
de Hooke não pode ser aplica. II. Para entender esta questão é necessário 
desenvolver um pequeno cálculo. A tensão para a barra de diâmetro 
menor e maior, é descrita, respectivamente, por meio da seguinte 
equação: 
𝜎𝜎1 =
𝐹𝐹
𝐴𝐴1
=
4𝐹𝐹
𝜋𝜋𝑑𝑑2
 
𝜎𝜎2 =
𝐹𝐹
𝐴𝐴2
=
4𝐹𝐹
𝜋𝜋(2𝑑𝑑)²
 
Isolando a força 𝐹𝐹 das equações acima, temos: 
𝐹𝐹 =
𝜎𝜎1𝜋𝜋𝑑𝑑²
4
 (Eq 1a) 
𝐹𝐹 =
𝜎𝜎2𝜋𝜋(2𝑑𝑑)²
4
 (Eq 2a) 
Igualando as equações 1a e 1b, ficamos com: 
𝜎𝜎1𝜋𝜋𝑑𝑑²
4
=
𝜎𝜎2𝜋𝜋(2𝑑𝑑)²
4
 
Ou ainda 
𝜎𝜎1𝑑𝑑² = 𝜎𝜎24𝑑𝑑² 
Podemos simplificar os 𝑑𝑑² ficando com 𝜎𝜎1 = 4𝜎𝜎2, ou seja, a tensão na 
barra de diâmetro menor é quatro vezes maior que a tensão na barra de diâmetro 
 
 
22 
maior, ou, ainda, 𝜎𝜎2 = 𝜎𝜎1/4 ou 𝜎𝜎2 = 0,25𝜎𝜎1, que significa que a tensão na barra 
de diâmetro maior é quatro vezes menor que a tensão na barra de diâmetro 
menor. Portanto, a segunda afirmação está correta. 
Em aulas anteriores, falamos sobre deformação normal média. A equação 
nos mostrou que a deformação longitudinal de um corpo é dada por: 
𝜀𝜀𝑙𝑙 =
𝐿𝐿𝑓𝑓 − 𝐿𝐿𝑖𝑖
𝐿𝐿𝑖𝑖
 ou 𝜀𝜀𝑙𝑙 =
𝛿𝛿
𝐿𝐿𝑖𝑖
 
em que 𝛿𝛿 corresponde ao alongamento do corpo quando submetido à uma força 
de tração. 
Essa equação é válida para qualquer região do diagrama tensão x 
deformação, ou seja, vale para região elástica e plástica. Portanto, a terceira 
afirmação também está correta. 
Analisando as alternativas apresentadas, concluímos que a alternativa D 
é a correta. 
3.1 Diagrama de tensão x deformação real 
Na Figura 2, dois diagramas estão plotados. O primeiro é chamado 
diagrama de tensão x deformação de engenharia que termina na tensão de 
ruptura, e o segundo é o diagrama tensão x deformação real, que termina na 
tensão de ruptura real. A diferença entre os dois diagramas é a seguinte: o 
diagrama tensão x deformação de engenharia considera a área inicial do corpo 
de prova para o cálculo da tensão, aplicando a Equação 1. Já o diagrama tensão 
x deformação real considera a mudança de área durante todo o ensaio, logo, a 
tensão é calculada de forma mais precisa, pois ao longo do experimento a área 
diminui até romper o corpo de prova. 
Apesar dos diagramas de engenharia e real serem diferentes, a maioria 
das estruturas são projetadas de forma que os materiais trabalhem na região 
elástica, pois a distorção do material não é severa dentro dessa faixa. Contanto 
que o material usado no projeto seja “rígido”, como a maioria dos metais, os erros 
associados entre usar os valores reais e de engenharia são muito baixos, da 
ordem de 0,1%. Essa é uma das principais razões para a utilização dos 
diagramas tensão-deformação de engenharia. 
 
 
 
23 
3.2 Recuperação elástica após deformação plástica 
Um ponto importante para refletirmos agora é com relação às 
deformações plásticas que ocorrem no material/estrutura. Reflita sobre a 
seguinte situação: Imagine que você está entortando (flexionando) uma barra 
metálica como mostra a Figura 17: 
Figura 17 – Pessoa aplicando uma determinada força para deformar uma barra 
metálica 
 
Crédito: Pavlo Lys/Shutterstock. 
Pense que a força que você está aplicando é suficientemente grande para 
provocar deformações plásticas nessa barra. A pergunta a ser feita aqui é: ao 
parar de aplicar essa força sobre a barra, ela ficará deformada na mesma 
posição de quando estava aplicando a carga ou ela retornará um pouco ao seu 
estado inicial? 
Você pode fazer o teste e, assim, observará que o material acaba 
retornando um pouquinho à sua configuração original, em outras palavras, o 
material recupera um pouco a deformação. Esse comportamento é mostrado na 
Figura 18a por meio de um diagrama de tensão x deformação esquemático. 
 
 
 
24 
Figura 18 – Diagrama esquemático de tensão-deformação (a), mostrando o 
fenômeno de recuperação da deformação elástica e (b) mostrando o efeito de 
encruamento ou endurecimento por deformação 
(a) (b) 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Neste diagrama, a tensão aplicada supera a tensão limite de 
proporcionalidade, ponto A, indo até o ponto A’, logo, há deformações plásticas 
presentes. Durante o ciclo de descarregamento, é como se a curva percorresse 
uma trajetória aproximadamente linear a partir do ponto de descarregamento, A’, 
onde sua inclinação é praticamente idêntica à do módulo de elasticidade, ou seja, 
é paralela à porção elástica, inicial da curva. A magnitude dessa deformação 
elástica, que é recuperada durante o descarregamento, corresponde à da 
deformação recuperada (recuperação elástica). 
Mediante o raciocínio descrito no parágrafo anterior, pergunto a você: E 
se reaplicarmos novamente uma carga sobre esse material, será que ele vai 
apresentar a mesma tensão limite de proporcionalidade em relação à sua 
configuração original? Pensando na barra da Figura 17, será que se você 
resolver aplicar mais uma força sobre ela a fimde entortá-la ainda mais, essa 
força terá de ser maior ou menor em relação à que você fez incialmente na 
configuração original dela? 
Certamente, a força terá de ser maior, isso ocorre porque, devido às 
deformações plásticas que o material sofreu, sua tensão limite de 
proporcionalidade aumentou. Pensando no diagrama esquemático da Figura 
18b, veja que agora a tensão mínima para começar a provocar uma deformação 
plástica passou a ser a tensão do ponto A’. Esse fenômeno é chamado de 
 
 
25 
encruamento ou endurecimento por deformação. Embora a tensão limite de 
proporcionalidade passa a assumir um novo valor no ponto A’, em consequência 
do endurecimento por deformação o material, apresentará uma menor 
ductilidade, ou seja, uma região plástica menor que a do seu estado inicial. É 
como se o diagrama tensão x deformação fosse “encurtado” para o material que 
já sofreu deformações plásticas. 
3.3 Energia de deformação 
Quando aplicamos uma força a um material e ele é deformado, essa carga 
vai realizar um trabalho externo que produzirá uma energia interna nesse 
material. Essa energia está associada às deformações do material e, por isso, é 
chamada de energia de deformação. Na engenharia, é conveniente formular a 
energia de deformação por unidade de volume, denominada densidade de 
energia de deformação. Matematicamente, podemos determiná-la por meio da 
seguinte equação: 
𝑢𝑢 =
1
2
𝜎𝜎𝜀𝜀 (2) 
Se o material for linear elástico, então podemos aplicar a Lei de Hooke à 
equação acima, em que 𝜎𝜎 = 𝐸𝐸𝜀𝜀 ou ainda 𝜀𝜀 = 𝜎𝜎/𝐸𝐸. Portanto, a Equação 2 pode 
ser reescrita da seguinte forma: 
𝑢𝑢 =
1
2
𝜎𝜎
𝜎𝜎
𝐸𝐸
=
1
2
𝜎𝜎²
𝐸𝐸
 (3) 
Com essa informação, podemos descrever o conceito de módulo de 
resiliência, que é a densidade de energia de deformação dentro da região 
elástica, isto é, 
𝑢𝑢𝑟𝑟 =
1
2
𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙𝜀𝜀𝑙𝑙𝑙𝑙 =
1
2
𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙²
𝐸𝐸
 (4) 
em que 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 e 𝜀𝜀𝑙𝑙𝑙𝑙 correspondem, respectivamente, a tensão e deformação limite 
de proporcionalidade. 
Graficamente, o módulo de resiliência corresponde à área da parte 
elástica abaixo do diagrama de tensão x deformação. Observe, na Figura 19, 
que essa área é representada por um triângulo. Sabemos que a área de um 
 
 
26 
triângulo é base vezes altura divididos por 2, isso justifica a equação acima onde 
a base corresponde à deformação limite de proporcionalidade, e a altura é a 
tensão limite de proporcionalidade. 
Figura 19 – Representação esquemática do módulo de resiliência determinado 
a partir do diagrama tensão x deformação de um material 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Neste contexto de densidade de energia de deformação, definimos o 
módulo de tenacidade que corresponde à área total abaixo do diagrama tensão 
x deformação (Figura 20). 
Figura 20 – Representação esquemática do módulo de tenacidade determinado 
a partir do diagrama tensão x deformação de um material 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
O módulo de tenacidade, 𝑢𝑢𝑡𝑡, indica a densidade energia de deformação 
total que o material pode absorver até sua ruptura. Essa informação é importante 
no projeto de elementos estruturais que possam ser sobrecarregados 
 
 
27 
acidentalmente. Pelo uso de ligas metálicas, o projetista pode mudar a resiliência 
e tenacidade do material. Por exemplo, na Figura 21, podemos observar os 
diagramas tensão x deformação de aços com certas quantidades de carbono em 
sua composição. Observe que, quanto maior a quantidade de carbono, a região 
elástica é aumentada, logo, o módulo de resiliência também é aumentado. Note 
também que a área debaixo de cada diagrama também é alterada à medida que 
se adiciona mais carbono ao aço, portanto, há diferença na tenacidade de cada 
material. 
Figura 21 – Diagrama de tensão-deformação de diferentes aços 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
• Exemplo 4: o diagrama tensão x deformação para uma liga de alumínio 
utilizada na fabricação de aeronaves é mostrado na Figura 21. Se um 
corpo de prova desse material estiver sujeito à tensão de 𝜎𝜎 = 600 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀, 
determine o módulo de resiliência antes e depois da aplicação da carga. 
 
Fonte: Hibbeler, 2018 
 
 
28 
• Solução: Como a tensão limite de proporcionalidade e sua respectiva 
deformação foram fornecidas no enunciado, podemos determinar o 
módulo elasticidade aplicando a Lei de Hooke (Equação 1), assim temos: 
𝐸𝐸 =
450. 106
0,006
, consequentemente, 𝐸𝐸 = 75. 109 𝑀𝑀𝑀𝑀 ou 𝐸𝐸 = 75 𝐺𝐺𝑀𝑀𝑀𝑀. 
Para determinar o módulo de resiliência inicial antes da aplicação da 
carga, vamos aplicar a Equação 4 olhando as informações do diagrama 
apresentado. Assim temos: 
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑖𝑖 =
1
2
𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙𝜀𝜀𝑙𝑙𝑙𝑙 =
1
2
450. 106. 0,006 
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑖𝑖 = 1,35. 10
6 
𝐽𝐽
𝑚𝑚³
 
O módulo de resiliência final após a aplicação da carga é obtido aplicando 
a mesma equação, porém considerando uma tensão de 600 MPa que é o novo 
limite de proporcionalidade devido às deformações plásticas do material. Vamos 
aplicar a segunda forma da Equação 4 para obter esse parâmetro, logo: 
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑓𝑓 =
1
2
𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙²
𝐸𝐸
=
1
2
(600. 106)²
75. 109
=
1
2
3,6. 1017
75. 109
=
1
2
4,80. 106 
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑓𝑓 = 2,40. 10
6 
𝐽𝐽
𝑚𝑚³
 
TEMA 4 – COEFICIENTE DE POISSON E DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
DE CISALHAMENTO 
Quando aplicamos uma força de tração a um corpo, este se deformará na 
direção do seu eixo e na direção do seu raio como mostra a Figura 22b. 
Figura 22 – Barra (a) indeformada e (b) deformada 
 
Fonte: Silva, 2021. 
 
 
29 
em que: 𝐿𝐿𝑖𝑖 que corresponde ao comprimento inicial do corpo, 𝐹𝐹 é a força aplicada 
ao corpo, 𝐿𝐿𝑓𝑓 é o comprimento final do corpo após aplicação da força, 𝛿𝛿 é o 
deslocamento ou alongamento do corpo após aplicação da força, 𝐷𝐷𝑖𝑖 é o diâmetro 
inicial do corpo e 𝐷𝐷𝑓𝑓 é o diâmetro final do corpo. 
Como a força aplicada ao eixo da Figura 22 é uma força de tração, logo, 
ele é alongado na direção do seu comprimento e contraído na direção da sua 
seção transversal, ou seja, do seu raio. 
Em aulas anteriores, vimos que a deformação ao longo do comprimento 
é chamada deformação longitudinal e que a deformação ao longo da seção 
transversal é chamada de deformação transversal. Essas deformações são 
definidas, respectivamente, por: 
𝜀𝜀𝑙𝑙 =
𝐿𝐿𝑓𝑓 − 𝐿𝐿𝑖𝑖
𝐿𝐿𝑖𝑖
 ou 𝜀𝜀𝑙𝑙 =
𝛿𝛿
𝐿𝐿𝑖𝑖
 e (5) 
𝜀𝜀𝑡𝑡 =
𝐷𝐷𝑓𝑓 − 𝐷𝐷𝑖𝑖
𝐷𝐷𝑖𝑖
 ou 𝜀𝜀𝑡𝑡 =
𝛿𝛿′
𝐷𝐷𝑖𝑖
, (6) 
em que 𝛿𝛿 corresponde ao alongamento ou encurtamento do corpo e 𝛿𝛿′ à 
contração ou expansão da seção transversal do corpo. 
No início do século XIX, o cientista francês S. D. Poisson observou que 
dentro da região elástica existe uma relação constante entre essas duas 
deformações, visto que 𝛿𝛿 e 𝛿𝛿′ são proporcionais à mesma força aplicada. Essa 
constante recebeu nome de Coeficiente de Poisson e é representada pela letra 
grega nu, 𝜈𝜈, e definido como: 
𝜈𝜈 = −
𝜀𝜀𝑡𝑡
𝜀𝜀𝑙𝑙
 (7) 
O sinal negativo é devido a uma das deformações serem negativas, por 
exemplo, para uma força de tração ocorre um alongamento do corpo 
(deformação positiva) e uma contração da seção transversal (deformação 
negativa). Para uma força de compressão sobre o corpo, ocorre um 
encurtamento do comprimento do corpo (deformação negativa) e uma expansão 
da seção transversal (deformação positiva). 
O Coeficiente de Poisson é um parâmetro adimensional. Seu valor 
máximo é de 0,5 e mínimo de 0, assim temos que 0 ≤ 𝜈𝜈 ≤ 0,5. Para a maioria 
dos sólidos não porosos, o Coeficiente de Poisson está entre 0,25 e 0,355. 
 
 
30 
• Exemplo 5: a barra de aço A-36 mostradana figura está submetida a uma 
força axial 𝑀𝑀 = 80 𝑘𝑘𝑘𝑘. Determine a mudança em seu comprimento 
(alongamento) e nas dimensões da área de sua seção transversal (altura 
e largura da barra), sabendo que o material se comporta elasticamente. 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
• Solução: o primeiro passo é calcular a tensão que está ocorrendo neste 
material. Para isto, vamos aplicar a equação vista anteriormente, em que 
a área da seção transversal da barra é definida pela base do retângulo 
que equivale a 100 mm (ou 0,1 m) e a altura de 50 mm (ou 0,05 m): 
𝜎𝜎 = 𝑁𝑁
𝐴𝐴
= 80.10³
(0,1.0,05)
 → 𝜎𝜎 = 16 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀. 
Para desenvolvermos esse exemplo, precisamos conhecer alguns 
parâmetros do aço A-36. No final do nosso livro-texto, é apresentada uma tabela 
com alguns parâmetros importantes de alguns materiais de engenharia. 
Podemos visualizá-la na Figura 23. 
Como o material do exemplo em tela é o aço A-36, temos que 𝐸𝐸 =
200 𝐺𝐺𝑀𝑀𝑀𝑀, 𝜎𝜎𝑒𝑒 = 250 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 e 𝜈𝜈 = 0,32. 
Como é afirmado no enunciado que o material se comporta elasticamente, 
sabemos que essa tensão está abaixo da tensão limite de proporcionalidade 
(𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙 ≅ 𝜎𝜎𝑒𝑒 = 250 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀), logo, podemos aplicar a Lei de Hooke (Equação 1) para 
obter a deformação longitudinal desse corpo: 
𝜀𝜀𝑙𝑙 =
𝜎𝜎
𝐸𝐸
=
16. 106
200. 109
 → 𝜀𝜀𝑙𝑙 = 8. 10−5 𝑚𝑚𝑚𝑚/𝑚𝑚𝑚𝑚 
 
 
 
31 
Figura 23 – Propriedades mecânicas de materiais típicos de engenharia 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Com a deformação longitudinal, podemos aplicar as Equação 5 para obter 
o alongamento do corpo analisado, logo: 
𝛿𝛿 = 𝜀𝜀𝑙𝑙𝐿𝐿𝑖𝑖 = 8. 10−5. 1,5 → 𝛿𝛿 = 1,2. 10−4 𝑚𝑚 ou 𝛿𝛿 = 0,12 𝑚𝑚𝑚𝑚 
Aplicando a Equação 7 vista neste tema, podemos descobrir a respectiva 
deformação transversal para 𝜈𝜈 = 0,32, assim temos que: 
𝜀𝜀𝑡𝑡 = −𝜈𝜈𝜀𝜀𝑙𝑙 = −0,32.8. 10−5 → 𝜀𝜀𝑡𝑡 = −2,56. 10−5 
Com a deformação transversal, podemos aplicar a Equação 6 para obter 
a contração da base , 𝑏𝑏𝑖𝑖 = 100 𝑚𝑚𝑚𝑚, e da altura, ℎ𝑖𝑖 = 50 𝑚𝑚𝑚𝑚, da seção 
transversal do corpo analisado: 
𝛿𝛿′𝑏𝑏 = 𝜀𝜀𝑡𝑡𝑏𝑏𝑖𝑖 = −2,56. 10−5. 100 → 𝛿𝛿′𝑏𝑏 = −2,56. 10−3 𝑚𝑚𝑚𝑚 ou 𝛿𝛿′𝑏𝑏 = −2,56 𝜇𝜇𝑚𝑚 
𝛿𝛿′ℎ = 𝜀𝜀𝑡𝑡ℎ𝑖𝑖 = −2,56. 10−5. 50 → 𝛿𝛿′ℎ = −1,28. 10−3 𝑚𝑚𝑚𝑚 ou 𝛿𝛿′ℎ = −1,28 𝜇𝜇𝑚𝑚 
 
 
 
32 
4.1 Diagrama tensão x deformação de cisalhamento 
No primeiro tema desta aula, falamos sobre diagrama de tensão x 
deformação obtido por meio de um ensaio de tração. Mas existe também o 
diagrama de tensão x deformação de cisalhamento obtido via ensaio de torração 
pura ou cisalhamento puro. 
O ensaio de torção pura consiste em prender uma das extremidades da 
amostra e rotacionar a outra extremidade como mostra a Figura 24. Se o torque 
e o ângulo de torção forem medidos, é possível descrever o diagrama de tensão 
x deformação por cisalhamento do material em função da tensão de 
cisalhamento e a deformação cisalhante. 
Figura 24 – Torção de um eixo 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
O ensaio de cisalhamento puro consiste em transpassar um pino do 
material que se deseja analisar por duas chapas rígidas a fim de que as chapas 
deslizem com sentidos opostos e cisalhe o pino até o rompimento, como mostra 
a Figura 25. 
 
 
 
33 
Figura 25 – Cisalhamento puro 
 
Fonte: Silva, 2021. 
Um exemplo de diagrama de tensão x deformação por cisalhamento é 
apresentado na Figura 26. Observe que, assim como ocorre no ensaio de tração, 
o material possui um comportamento linear elástico até uma tensão limite de 
proporcionalidade, 𝜏𝜏𝑙𝑙𝑙𝑙. Também ocorrerá o endurecimento por deformação até a 
tensão máxima de cisalhamento, 𝜏𝜏𝑚𝑚á𝑥𝑥, e, por fim, o material apresentará uma 
tensão de ruptura por cisalhamento, 𝜏𝜏𝑟𝑟𝑢𝑢𝑙𝑙. 
Figura 26 – Diagrama esquemático de tensão x deformação por cisalhamento 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Dentro da região linear elástica, podemos aplicar a Lei de Hooke que, para 
o cisalhamento, é definido como: 
𝜏𝜏 = 𝐺𝐺𝐺𝐺 (8) 
 
 
34 
em que 𝐺𝐺 corresponde ao módulo de elasticidade transversal, ou módulo de 
cisalhamento, ou ainda módulo de rigidez e 𝐺𝐺 é a deformação por cisalhamento, 
como visto na anteriormente. O módulo de cisalhamento pode ser obtido 
considerando a tensão e deformação limite de proporcionalidade, ou seja: 
𝐺𝐺 =
𝜏𝜏𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐺𝐺𝑙𝑙𝑙𝑙
 (9) 
O módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson estão relacionados 
com o módulo de cisalhamento por: 
𝐺𝐺 =
𝐸𝐸
2(1 + 𝜈𝜈)
 (10) 
• Exemplo 6: um corpo de prova de uma liga de titânio é testado em torção. 
A figura mostra o diagrama tensão x deformação por cisalhamento desse 
material. 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Sabendo que o corpo de prova tem um diâmetro igual a 25 mm e um 
comprimento equivalente a 250 mm e que uma força normal de 165 kN é 
aplicada a este, provocando um alongamento de 0,69 mm em seu comprimento, 
determine: (a) o módulo de elasticidade desse material, (b) a contração do 
diâmetro, 𝛿𝛿′. 
• Solução: (a) o primeiro passo é obter os parâmetros da Lei de Hooke 
(Equação 5) faltantes para determinarmos o módulo de elasticidade desse 
material, ou seja, precisamos descobrir a tensão que está ocorrendo no 
corpo de prova proveniente da carga normal de 150 kN e sua respectiva 
deformação. 
 
 
35 
Para isso, vamos aplicar a Equação 3 de aulas anteriores, e a Equação 5 
que recapitulamos nesta aula, sabendo que o raio do corpo de prova é 12,5 mm 
(ou 0,0125 m) e que o comprimento é de 250 mm: 
𝜎𝜎 =
𝑘𝑘
𝐴𝐴
=
165.10³
(𝜋𝜋. 0,01252)
 → 𝜎𝜎 = 336,14 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 
𝜀𝜀𝑙𝑙 =
𝛿𝛿
𝐿𝐿𝑖𝑖
=
0,69
250
 → 𝜀𝜀𝑙𝑙 = 2,76. 10−3 𝑚𝑚𝑚𝑚/𝑚𝑚𝑚𝑚 
Aplicando a Lei de Hooke vista na Equação 1 desta aula, temos: 
𝐸𝐸 =
𝜎𝜎
𝜀𝜀𝑙𝑙
=
336,14. 106
2,76. 10−3
 → 𝐸𝐸 = 121,79 𝐺𝐺𝑀𝑀𝑀𝑀 
(b). Agora precisamos determinar a contração do diâmetro do corpo de prova 
para essa força aplicada. Para isso, vamos aplicar a Equação 6. Portanto, 
precisaremos da deformação transversal do corpo de prova. Podemos obter 
esse parâmetro aplicando a Equação 7, mas como ainda não temos o valor do 
Coeficiente de Poisson, devemos calculá-lo aplicando a Equação 10. 
O que nos falta para resolvermos esse problema é obter o valor do módulo 
de cisalhamento deste material e isso pode ser feito aplicando a Equação 9 ao 
problema, olhando os dados fornecidos pelo diagrama tensão x deformação por 
cisalhamento desse material, assim temos: 
𝐺𝐺 =
𝜏𝜏𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐺𝐺𝑙𝑙𝑙𝑙
=
360. 106
0,008
 → 𝐺𝐺 = 45 𝐺𝐺𝑀𝑀𝑀𝑀 
Aplicando a Equação 10, calculamos o Coeficiente de Poisson: 
𝐺𝐺 =
𝐸𝐸
2(1 + 𝜈𝜈)
 → 𝜈𝜈 =
𝐸𝐸
2𝐺𝐺
− 1 =
121,79. 109
2.45. 109
− 1 → 𝜈𝜈 = 0,353 
Agora aplicamos a Equação 7 para obter a deformação transversal do 
corpo de prova: 
𝜈𝜈 = −
𝜀𝜀𝑡𝑡
𝜀𝜀𝑙𝑙
 → 𝜀𝜀𝑡𝑡 = −𝜈𝜈𝜀𝜀𝑙𝑙 = −0,353.2,76. 10−3 → 𝜀𝜀𝑡𝑡 = −9,749. 10−4 𝑚𝑚𝑚𝑚/𝑚𝑚𝑚𝑚 
Por fim, aplicamos a Equação 6 para determinarmos a contração do 
diâmetro, logo: 
 
 
36 
𝜀𝜀𝑡𝑡 =
𝛿𝛿′
𝐷𝐷𝑖𝑖
 → 𝛿𝛿′ = 𝜀𝜀𝑡𝑡𝐷𝐷𝑖𝑖 = −9,749. 10−4. 25 → 𝛿𝛿′ = −0,0244 𝑚𝑚𝑚𝑚 
TEMA 5 – FALHA DE MATERIAIS DEVIDO À FLUÊNCIA E À FADIGA 
Até aqui consideramos que a carga aplicada sobre o objeto/estrutura é do 
tipo estática, ou aplicada de forma lenta a uma velocidade constante sem 
influência da temperatura. Entretanto, muitos elementos estruturais são 
aplicados em ambientes para o qual devem suportar cargas em temperaturas 
elevadas por longo período, como é o caso de uma turbina de avião (Figura 27a), 
ou outros que suportam cargas cíclicas, como é o caso das engrenagens de uma 
caixa transmissão deum automóvel (Figura 27b). 
Figura 27 – (a) Turbina de um avião e (b) caixa de transmissão 
(a) (b) 
Crédito: Sopotnicki/Shutterstock; ER_09/Shutterstock. 
Esse assunto é abordado com maior detalhe nos livros: Ciência e 
Engenharia de Materiais: Uma Introdução, dos autores Callister Junior e 
Retwisch (2018); e Elementos de Máquina de Shigley, dos autores Budynas e 
Nisbett (2016). O objetivo aqui é apresentar este tema e mostrar brevemente 
como se determina a resistência de um material para essas condições. 
5.1 Fluência 
A fluência consiste no acúmulo lento e progressivo de deformação plástica 
quando estão sujeitos a tensões ou temperaturas constantes por um longo 
período, ou também a temperaturas elevadas. Pense que alguns projetos 
precisam de materiais capazes de suportar grandes cargas a uma temperatura 
elevada, como é o caso das turbinas de avião. Os componentes de uma turbina 
são frequentemente inspecionados a fim de se evitar falhas. Outro exemplo são 
 
 
37 
as tubulações a vapor (Figura 28a), que devem ser projetadas a fim de resistirem 
à passagem do gás em temperatura elevada sem perder suas características 
estruturais e os reatores nucleares, em que os materiais presentes devem 
manter-se íntegros mesmo trabalhando em altas temperaturas, uma vez que um 
acidente com esse tipo de estrutura pode provocar danos irreparáveis, como o 
caso da planta de Chernobyl (Figura 28c). 
Figura 28 – (a) Tubulações a vapor, (b) reatores nucleares e (c) planta nuclear 
de Chernobyl 
(a) (b) 
(c) 
Créditos: engineer story/Shutterstock; SpaceKris/Shutterstock; DimaSid/Shutterstock. 
Neste contexto, uma importante propriedade mecânica é a resistência à 
fluência. Essa propriedade representa a maior tensão que o material pode 
suportar por um tempo pré-estabelecido, sem exceder uma deformação de 
fluência admissível. Em projetos estruturais, a temperatura, o tempo de 
aplicação da carga e da deformação de fluência permitida devem ser 
especificados. 
Existem vários métodos para estabelecer a resistência à fluência de um 
material. Um deles é aplicar um teste simultâneo a vários corpos de prova a uma 
temperatura constante, porém, cada um com uma tensão axial diferente. Mede-
se o tempo necessário para se produzir uma deformação por fluência admissível 
 
 
38 
para cada corpo e plota-se uma curva de tensão x tempo. Em geral, esses 
ensaios são realizados durante 1000 horas no máximo. Um exemplo dessa curva 
é apresentado na Figura 29 para o aço inoxidável a temperatura de 650 °C e 
deformação por fluência prescrita de 1%. 
Figura 29 – Diagrama tensão x tempo para aço inoxidável a 650° C e 1% de 
deformação por fluência 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Observe que a curva do diagrama converge para um valor de tensão igual 
a 138 MPa. Esse valor corresponde à resistência à fluência do aço inoxidável 
para as circunstâncias mencionadas. Uma vez que essa tensão é determinada, 
aplica-se um fator de segurança a fim de estabelecer uma tensão admissível 
adequada para o projeto. 
5.2 Fadiga 
Elementos estruturais sujeitos a cargas cíclicas de tensão ou deformação 
podem se romper devido ao comportamento denominado fadiga. Sabe-se que 
80 a 90% das falhas em estruturas ou elementos estruturais são devido à fadiga. 
Ela é responsável por boa parte das falhas em eixos rotativos, parafusos, uniões 
soldadas, elos de correntes, molas, hélices de turbina a vapor etc. Em todos 
esses casos, a tensão que romperá o material será menor que a tensão de 
escoamento do material. 
Essa falha ocorre em detrimento de imperfeições microscópicas, em 
geral, na superfície do objeto, em que a tensão concentrada nessas 
microimperfeições tornam-se muito elevadas do que a média nas demais regiões 
da seção transversal da peça. Como o elemento está submetido a uma carga 
cíclica, essa tensão elevada faz com que essa imperfeição fique maior, tornando-
 
 
39 
se uma microtrinca. À medida que o elemento trabalha ciclicamente, essa 
microtrinca tende a aumentar até um estágio que ocorre o rompimento da peça. 
Esse rompimento é repentino, de modo que, mesmo se o material for dúctil, ele 
terá um comportamento do tipo frágil. A Figura 30a apresenta esse tipo de falha 
para um eixo de transmissão estriado, a Figura 30b para um parafuso e a Figura 
30c para a mola de um carro. 
Figura 30 – Falha por fadiga (a) de um eixo de transmissão estriado, (b) de um 
parafuso e (c) de uma mola de carro 
(a) (b) (c) 
Créditos sfoto-rs/Shutterstock; lbrumf2/Shutterstock; Kim Christensen/Shutterstock. 
Uma resistência segura deve ser especificada para um material metálico 
sob carga cíclica a fim de definir um limite abaixo do qual nenhuma falha possa 
ser detectada. Essa tensão limite é chamada limite de resistência ou limite de 
fadiga. Para determiná-la, realiza-se um ensaio com vários corpos de prova 
submetendo-os a uma tensão cíclica até falharem, ou seja, até o rompimento 
das amostras. Os resultados são plotados em um gráfico de tensão x n. de ciclos 
até a falha. Esse diagrama é denominado diagrama 𝑆𝑆 − 𝑘𝑘 e, na maioria das 
vezes, o valor do número de ciclos, 𝑘𝑘, é plotado na escala logarítmica, por ser 
um valor muito elevado. 
Um exemplo de diagrama 𝑆𝑆 − 𝑘𝑘 é mostrado na Figura 31 para o aço e 
alumínio. O limite de fadiga é a tensão no qual o gráfico torna-se horizontal ou 
assintótico, ou seja, converge para determinado valor. 
 
 
 
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Figura 31 – Diagrama 𝑆𝑆 − 𝑘𝑘 para ligas de aço e alumínio com eixo 𝑘𝑘 em escala 
logarítmica 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Observe que para o aço esse valor é bem definido e corresponde a 𝑆𝑆𝑙𝑙𝑓𝑓 =
186 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀, porém, para o limite de fadiga não está bem definido, por isso, é 
especificado com o valor de 𝑆𝑆𝑙𝑙𝑓𝑓 = 131 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 para 500 milhões de ciclos. Definido 
o limite de fadiga do material, considera-se que a vida útil em relação à fadiga é 
infinita para qualquer tensão abaixo desse valor, o que significa que o número 
de ciclos não é mais levado em consideração até a falha do material. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, relembramos o que é o diagrama de tensão x deformação e 
vimos as principais diferenças entre um material dúctil e frágil, falamos sobre a 
Lei de Hooke e o conceito de energia de deformação, vimos o que é o Coeficiente 
de Poisson e a relação dele com o módulo de cisalhamento obtido por meio do 
diagrama tensão x deformação por cisalhamento e, finalmente, falamos sobre 
falha de materiais devido à fluência e à fadiga. 
Ao final desta aula, você terá um bom conhecimento sobre as 
propriedades mecânicas dos materiais, conhecimento este que te permitirá 
projetar estruturas. Além das propriedades e ensaios vistos aqui nesta aula, 
existem outros que são mais detalhadas na disciplina de Tecnologia dos 
Materiais, por exemplo: dureza, tratamento térmico, tratamento de superfície etc. 
No Capítulo 3 do nosso livro (Resistência dos Materiais, do autor 
Hibbeler). você encontrará mais exemplos resolvidos sobre os assuntos vistos 
nesta aula. Não deixe de conferir esses exemplos resolvidos e, se possível, faça 
alguns exercícios do livro para praticar. 
 
 
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REFERÊNCIAS 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. Pearson, 2010. 
_____. Resistência dos materiais. 12. ed. Pearson, 2018. 
SILVA, F. E. C. Projeto ótimo de neutralizadores dinâmicos com múltiplos 
graus de liberdade considerando os parâmetros físicos, localização e 
material viscoelástico. Tese de doutorado, Curitiba – PR, 2019. 
CALLISTER JUNIOR, W. D.; RETWISCH, D. G. Ciência e engenharia de 
materiais: uma introdução. 9. ed. LTC, 2018. 
BUDYNAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 10. ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2016. 
	Conversa inicial
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS