(AGRUPADO) Transformada de Laplace em circuitos elétricos, Quadripolos e Séries de Fourier

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Análise de Circuitos III 1
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Análise de Circuitos III
Transformada Unidirecional de Laplace
É dita unidirecional pois só é válida para 
O uso da Transformada de Laplace simplifica as equações diferenciais 
ordinárias presentes. Sendo assim, após transformarmos elemento por 
elemento do domínio do tempo para o domínio da frequência , 
podemos resolver o novo circuito (equivalente) utilizando métodos já 
aprendidos (tensões de nó, correntes de malha, transformação de fonte, 
superposição, ... ), e ao final, fazer a transformação inversa .
Tabela das Transformadas de Laplace
t > 0
L[f(t)] = F(s) = f(t)e dt∫0−
∞ −st
(t→ s)
(s→ t)
Análise de Circuitos III 2
Método dos resíduos em frações parciais
Polos reais distintos
Seja 
Então podemos reescrever como
 sendo 
Desde que 
Ex: 
Polos reais repetidos
G(s) = =
D(s)
N(s)
(s+ s )...(s+ s )1 n
N(s)
G(s)
G(s) = +
s+ s1
k1
...
s+ sn
kn
k =i (s+ s )G(s)∣i s=−si
grau(N(s)) < grau(D(s))
G(s) = =
s(s− 2)(s+ 3)
s+ 1
− ⋅
6
1
+
s
1
⋅
10
3
−
s− 2
1
⋅
15
2
s+ 3
1
Análise de Circuitos III 3
Seja 
Então podemos reescrever como
 sendo 
Ex: 
Polos conjugados complexos
Seja 
Então podemos reescrever como 
Ex: Segunda ordem cujos polos são:
 para 
e definem-se e tal que 
 de tal forma que e 
Portanto, podemos reescrever como:
Particularmente, aplicando-se a transformada de Laplace 
inversa, obtêm-se:
Propriedades da Transformada de Laplace
Diferenciação no Tempo
G(s) = =
D(s)
N(s)
(s+ s )(s+ s )1 2 r
N(s)
G(s)
G(s) = +
s+ s1
k1 +
s+ s2
k21 +
(s+ s )2 2
k22 ... +
(s+ s )2 r
k2r
k =2j ((s+(r − j)!
1
dsr−j
dr−j
s ) G(s))2 r
G(s) = =
s(s+ 1)2
2s+ 3
+
s
3
+
s+ 1
−3
(s+ 1)2
−1
G(s) = =
D(s)
N(s)
(s+ (α+ jw))(s+ (α− jw))
N(s)
G(s) G(s) =
+
s+ (α+ jw)
k1
s+ (α− jw)
k2
G(s) =
s + 2ζω s+ ω2 n n2
ωn
2
s =1,2 −ζω ±n jωn 1 − ζ2 0 < ζ < 1
α = ζωn ω = ωn 1 − ζ2 s =1,2 α±
jω k =1 2jω
ωn
2
k =2 −2jω
ωn
2
G(s)
G(s) = +
s+ (α+ jw)
(ω /2jω)n
2
s+ (α− jw)
(−ω /2jω)n
2
g(t) = ⋅
2jω
ωn
2
e (e −−αt jωt e ) =−jωt ⋅
1 − ζ2
ωn
e ⋅−ζω tn
sin(ω t)n 1 − ζ2
Análise de Circuitos III 4
Integração no Tempo
Indutor
 , ou seja 
 cujo equivalente em série é:
Rearranjando, obtemos equivalendo ao 
seguinte esquema paralelo:
L[f (t)] = sF(s) − f(0 )′ −
L[ f(x)dx] = F(s) + f (0 )∫−∞
t
s
1
s
1 −1 −
L[v(t) = L ] →
dt
di(t)
V (s) = L[sI(s) − i(0 )]− V (s) =
sLI(s) − Li(0 )−
I(s) = V (s) +
sL
1
s
i(0 )−
Análise de Circuitos III 5
Sendo assim, vemos que para condições iniciais nulas , as 
fontes independentes de tensão e corrente se colapsam, e o indutor 
torna-se apenas uma impedância de módulo 
Capacitor
 , ou seja 
 cujo equivalente em série é:
i(0 ) =− 0
Z(s) = sL
L[i(t) = C ] →
dt
dv(t)
I(s) = C[sV (s) − v(0 )]− I(s) =
1/sC
V (s) − v(0 )/s−
Análise de Circuitos III 6
Rearranjando obtemos equivalendo ao 
seguinte esquema paralelo:
Novamente, para condições iniciais nulas , temos que o 
sistema é simplificado como apenas uma impedância 
Exemplo 1 - Transformação dos elementos de circuito
V (s) = [I(s) + Cv(0 )]−
sC
1
v(0 ) =− 0
Z(s) =
Cs
1
Análise de Circuitos III 7
Nesse caso, ao fechar a chave em , a fonte de tensão é inserida 
no circuito como um degrau, por isso, sua transformada é dada por . 
Teorema do valor final
Caso se deseje conhecer o valor de dada variável de circuitos quando 
 e temos a informação sobre tal variável apenas no domínio da 
frequência complexa, podemos utilizar:
 ou de forma análoga e encontrar tal valor.
Teorema do valor inicial
Em contraposição, temos que, para encontrar o valor de uma dada 
variável de circuito, quando , utilizamos:
 ou 
Dica
t = 0
s
Vo
t→∞
sI(s)
x→0
lim sV (s)
x→0
lim
t→ 0
sI(s)
x→∞
lim sV (s)
x→∞
lim
Análise de Circuitos III 8
Para encontrar a Tensão de Thévenin entre dois terminais, eliminamos 
o(s) elemento(s) entre os terminais, e determinamos (open circuit) 
. Em casos onde o circuito contém apenas fontes independentes, 
podemos eliminá-las ao calcular a impedância de Thévenin. No entanto, 
quando houver fontes dependentes, além do método de adicionar uma 
fonte auxiliar e encontrar a impedância através da razão entre a tensão 
e a corrente fornecidas pela fonte, pode-se encontrar o valor da 
corrente de curto circuito e então utilizar a seguinte relação: 
Função de transferência
A função de transferência de um circuito é a razão entre a 
resposta de saída e a excitação de entrada , supondo que 
todas condições iniciais sejam zero.
A transformada inversa de Laplace da função de transferência de um 
determinado circuito é a resposta do sistema ao impulso unitário. Uma 
vez que se , de tal forma que , logo , 
então 
Quadripolos
Um par de terminais através dos quais pode entrar ou sair uma corrente de 
um circuito é conhecido como porta. Circuitos de duas portas possuem 
então, 4 terminais (quadripolos). Para cada porta, a corrente que entra em 
um terminal sai pelo outro, de modo que o saldo de corrente que entra pela 
porta é igual a zero.
Voc
= VTh
Isc Z =Th
Isc
VTh
H(s)
Y (s) X(s)
H(s) =
X(s)
Y (s)
x(t) = δ(t) X(s) = 1 Y (s) = H(s)
L [H(s)] =−1 h(t) = y(t)
Análise de Circuitos III 9
Portanto, um circuito de duas portas possui dois pares de terminais atuando 
como pontos de acesso, de tal forma que dispositivos de três terminais, 
como os transistores, podem ser configurados/modelados em circuitos de 
duas portas. Para que as relações desenvolvidas abaixo sejam satisfeitas, 
os circuitos de duas portas analisados não devem conter nenhuma fonte 
independente, embora possam conter fontes de tensão dependentes.
É importante salientar aqui que apenas um conjunto dos parâmetros é 
capaz de determinar o funcionamento completo do bloco, e não 
necessariamente, todo circuito deve poder ser descrito com todos os 6 
conjuntos ilustrados abaixo
Parâmetros de Imitância
Os parâmetros de impedância e de admitância são geralmente usados 
na síntese de filtros, e também são úteis no projeto e na análise de 
circuitos para casamento de impedâncias e em redes de distribuição de 
energia.
Parâmetros de Impedância
Um circuito de duas portas pode ser excitado por tensão ou por 
corrente, como ilustrado acima. Em ambas modelagens, as tensões 
nos terminais podem ser relacionadas com as correntes nos 
terminais como segue: 
Representação típica de um bloco com duas portas
Análise de Circuitos III 10
 ou na forma matricial 
 onde os termos z são denominados de parâmetros 
de impedância, e têm unidades de ohms.
Os valores dos parâmetros podem ser calculados, fazendo as 
correntes em cada portas nulas, ou seja abrindo-se o circuito da 
porta de entrada ou de saída, por isso, tais parâmetros são 
denominados parâmetros de impedância de circuito aberto.
 
E os parâmetros recebem os nomes individuais:
 Impedância de entrada de circuito aberto
 Impedância de transferência de circuito aberto da porta 1 
para a porta 2
 Impedância de transferência de circuito aberto da porta 2 
para a porta 1
 Impedância de saída de circuito aberto
Quando , diz-se que o circuito de duas portas é simétrico. 
Isso implica o circuito ter simetria tipo espelho em relação a uma 
linha central; isto é, pode-se encontrar uma linha que divide o 
circuito em duas metades semelhantes. Quando o circuito de duas 
portas for linear e não tiver fontes de tensão dependentes, as 
impedâncias de transferência são iguais e as duas 
portas são recíprocas. Qualquer circuito de duas portas, formado 
inteiramente por resistores, capacitores e indutores deve ser 
recíproco.
O circuito equivalente para um quadripolo recíproco é mostrado à 
esquerda. Caso não seja recíproco, deve-se utilizar o circuito da 
direita.
V =1 z I +11 1 z I12 2
V =2 z I +21 1 z I22 2 =[
V1
V2
]
[
z11
z21
z12
z22
] [
I1
I2
]
z =11
I1
V1
∣
∣
I =02
z =12
I2
V1
∣
∣
I =02
z =21
I1
V2
∣
∣
I =01
z =2
I2
V2
∣
∣
I =01
z :11
z :12
z :21
z :22
z =11 z22
(z =12 z )21
Análise de Circuitos III 11
Parâmetrosde Admitância
De forma análoga, o conjunto de equações que descreve o bloco é 
dado por:
 ou na forma matricial 
 Os termos y são conhecidos como parâmetros de 
admitância e são expressos em siemens.
Os valores dos parâmetros podem ser calculados, fazendo as 
tensões em cada portas nulas, ou seja curto-circuitando da porta de 
entrada ou de saída, por isso, tais parâmetros são denominados 
parâmetros de admitância de curto-circuito.
 
E os parâmetros recebem os nomes:
 admitância de entrada de curto-circuito
 admitância de transferência de curto-circuito da porta 2 
para a porta 1
 admitância de transferência de curto-circuito da porta 1 
para a porta 2
 admitância de saída de curto-circuito
Para um circuito de duas portas que é linear e não possui nenhuma 
fonte dependente, as admitância de transferência são iguais (
). Um circuito recíproco pode ter como modelo o 
circuito equivalente à esquerda. Se não for simétrico, o circuito 
equivalente genérico é mostrado á direita.
I =1 y V +11 1 z V12 2
I =2 y V +21 1 y V22 2 =[
I1
I2
]
[
y11
y21
z12
y22
] [
V1
V2
]
y =11
V1
I1
∣
∣
V =02
y =12
V2
I1
∣
∣
V =02
y =21
V1
I2
∣
∣
V =01
y =22
V2
I2
∣
∣
V =01
y :11
z :12
z :21
z :22
y =12
y21 (y =12 y )21
Π
Análise de Circuitos III 12
Parâmetros Híbridos
Os parâmetros z e y de um circuito de duas portas nem sempre existem. 
Assim, há a necessidade de criarmos um terceiro conjunto de 
parâmetros, que se baseia no ato de tornar e as variáveis 
dependentes. Portanto, obtemos:
 ou na forma matricial 
Os termos h são conhecidos como parâmetros híbridos, pois são uma 
combinação híbrida de razões. Eles são muito úteis na descrição de 
dispositivos eletrônicos como transistores, e são muito mais fácil medir 
experimentalmente tais parâmetros desses dispositivos que medir seus 
parâmetros z ou y. De fato, sabe-se que o transformador ideal não 
possui parâmetros z. O transformador ideal pode, no entanto, ser 
descrito pelos parâmetros híbridos.
 
Fica evidente então que os parâmetros , , e representam, 
respectivamente, uma impedância, um ganho de tensão, um ganho de 
corrente e uma admitância. É por essa razão que eles são denominados 
parâmetros híbridos. Mais especificamente:
 Impedância de entrada de curto-circuito
 Ganho de tensão inverso de circuito aberto
 Ganho de corrente direto de curto-circuito
 admitância de saída de circuito aberto
Cujo circuito equivalente é:
V1 I2
V =1 h I +11 1 h V12 2
I =2 h I +21 1 h V22 2 =[
V1
I2
] [
h11
h21
h12
h22
] [
I1
V2
]
h =11
I1
V1
∣
∣
V =02
h =12
V2
V1
∣
∣
I =01
h =21
I1
I2
∣
∣
V =02
h =22
V2
I2
∣
∣
I =01
h11 h12 h21 h22
h :11
h :12
h :21
h :22
Análise de Circuitos III 13
Parâmetros Híbridos Inversos
Um conjunto de parâmetros estreitamente ligado aos parâmetros h 
são os parâmetros g ou parâmetros híbridos inversos. São dados 
por:
 ou na forma matricial 
 e os parâmetros são determinados da forma a 
seguir:
 
E recebem os nomes:
 admitância de entrada de circuito aberto
 Ganho de corrente inverso de circuito aberto
 Ganho de tensão direto de curto-circuito
 Impedância de saída de curto-circuito
Os parâmetros g são frequentemente usados para modelar 
transistores de efeito de campo FETs).
Cujo circuito equivalente é:
I =1 g V +11 1 g I12 2
V =2 g V +21 1 g I22 2 =[
I1
V2
]
[
g11
g21
g12
g22
] [
V1
I2
]
g =11
V1
I1
∣
∣
I =02
g =12
I2
I1
∣
∣
V =01
g =21
V1
V2
∣
∣
I =02
g =22
I2
V2
∣
∣
V =01
g :11
g :12
g :21
g :22
Análise de Circuitos III 14
O procedimento para calcular os parâmetros h é similar àquele usado 
para os parâmetros z ou y. Aplicamos uma fonte de tensão ou de 
corrente à porta apropriada, curto-circuitamos ou deixamos como 
circuito aberto a outra porta, dependendo do parâmetro de interesse, e 
realizamos uma análise de circuitos comum. Analogamente, para 
circuitos recíprocos, = (lembrando que um quadripolo é 
recíproco se há somente elementos passivos (resistor, capacitores e 
indutores) e nenhum elemento não linear (diodo)).
Parâmetros de Transmissão
Já que não existem restrições sobre quais tensões e correntes terminais 
devem ser consideradas variáveis independentes e quais devem ser 
consideradas dependentes, a expectativa é de estarmos aptos a gerar 
diversos conjuntos de parâmetros. Assim, temos o terceiro par de 
parâmetros. Regido por:
 ou na forma matricial 
Observe que, no cálculo dos parâmetros de transmissão, é usado 
em vez de , porque considera-se que a corrente esteja saindo do 
circuito. Isso é feito por pura convenção; ao colocarmos circuitos de 
duas portas em cascata (saída com entrada), é mais lógico pensarmos 
em saindo do circuito de duas portas.
Os parâmetros do circuito de duas portas descritos acima dão uma 
medida de como um circuito transmite tensão e corrente de uma fonte 
para uma carga. Eles são úteis na análise de linhas de transmissão 
(como cabo e fibra), pois expressam variáveis do lado transmissor ( e 
) em termos de variáveis do lado receptor ( e ). Por essa razão, 
são chamados parâmetros de transmissão, também conhecidos como 
h12 –h21
V =1 AV −2 BI2
I =1 CV −2 DI2 =[
V1
I1
] [
A
C
B
D
] [
V2
−I2
]
–I2
I2
I2
V1
I1 V2 –I2
Análise de Circuitos III 15
parâmetros ABCD. Eles são usados no projeto de sistemas de telefonia, 
circuitos de micro-ondas e radares. Podem ser determinados da forma a 
seguir:
 
 onde A e D são adimensionais, B é medido em ohms e C, 
em siemens.
Parâmetros de transmissão inversa
Nosso último conjunto de parâmetros pode ser definido 
expressando as variáveis da porta de saída em termos das variáveis 
da porta de entrada, assim:
 ou na forma matricial e 
são determinados a partir de :
 
 e enquanto a e d são adimensionais, b e c são 
medidos, respectivamente, em ohms e siemens.
Para tais conjuntos de parâmetros, se o circuito é recíproco, o mesmo 
satisfaz as seguintes igualdades:
 ou 
Dado um conjunto de parâmetros, podemos obter os demais, através da 
tabela abaixo:
A =
V2
V1
∣
∣
I =02
B = −
I2
V1
∣
∣
V =02
C =
V2
I1
∣
∣
I =02
D =
−
I2
I1
∣
∣
V =02
V =2 aV −1 bI1
I =2 cV −1 dI1 =[
V2
I2
] [
a
c
b
d
] [
V1
−I1
]
a =
V1
V2
∣
∣
I =01
b = −
I1
V2
∣
∣
V =01
c =
V1
I2
∣
∣
I =01
d =
−
I1
I2
∣
∣
V =01
AD −BC = 1 ad− bc = 1
Análise de Circuitos III 16
Vemos então que e além de 
Interconexão entre circuitos elétricos
Um circuito elétrico grande e complexo pode ser dividido em 
subcircuitos para fins de análise e projeto, os quais são modelados 
como circuitos de duas portas interligados de modo a formar o circuito 
original. Os circuitos de duas portas são, portanto, considerados como 
os componentes básicos que podem ser interligados para formar um 
circuito complexo. A interconexão pode ser em série, em paralelo ou em 
cascata. Embora o circuito interligado deva ser descrito por qualquer um 
dois seis conjuntos de parâmetros, um determinado conjunto de 
parâmetros pode ser vantajoso. Por exemplo, quando os circuitos estão 
em série, seus parâmetros individuais z se somam para dar os 
parâmetros z do circuito maior. Quando estão em paralelo, seus 
parâmetros individuais y se somam para fornecer os parâmetros y do 
circuito maior. Quando estão em cascata, seus parâmetros de 
transmissão individuais podem ser multiplicados entre si para se obter 
os parâmetros de transmissão do circuito maior.
=[y] [z]−1 =[g] [h]−1 =[t]  [T]
−1
Análise de Circuitos III 17
Série: Os circuitos são considerados como estando em série porque 
suas correntes de entrada são idênticas e suas tensões são 
somadas. Para esse tipo de associação, 
Paralelo: Os circuitos de duas portas estão em paralelo quando as 
tensões em suas portas forem iguais e as correntes nas portas do 
circuito maior forem as somas das correntes em cada porta. Para 
esse tipo deassociação, 
Cascata: Diz-se que dois circuitos estão em cascata quando a saída 
de um for a entrada do outro. Para tal associação, . 
Devemos ter em mente que a multiplicação de matrizes deve ser na 
ordem na qual os circuitos e são colocados em cascata. 
Tais características podem ser estendidas a circuitos em associados. 
Se, por exemplo, dois circuitos de duas portas no modelo [h] estiverem 
ligados em série, utilizamos a Tabela para converter o h para z e então 
somamos os parâmetros de impedância e finalmente, convertemos o 
resultado de volta para h usando novamente a Tabela.
Parâmetros em transistores
Os parâmetros híbridos (h) são os mais úteis para os transistores, pois 
são medidos facilmente e normalmente são fornecidos nos manuais de 
especificações e dados técnicos do fabricante para transistores. Os 
parâmetros h para transistores possuem significados específicos 
expressos por seus subscritos, e são listados pelo primeiro subscrito e 
relacionados aos parâmetros gerais h como segue:
 onde os 
subscritos indicam: "i" input-entrada, "r" reverse-reverso, "f" forward-
direto e "o" output-saída.
À esquerda, conexão em série de circuitos de duas portas. Ao meio, conexão em 
paralelo de dois circuitos de duas portas. E á direita, Conexão em cascata de dois 
circuitos de duas portas.
=[z] +[z1] [z2]
=[y] +[y1] [y2]
=[T] [Ta] [Tb]
Na Nb
n
h =i h11 h =r h12 h =f h21 h =o h22
Análise de Circuitos III 18
O segundo subscrito especifica o tipo de conexão usada: e para emissor 
comum EC, c para coletor comum CC e b para base comum BC. 
Aqui, estamos interessados, principalmente, com a conexão emissor 
comum. Portanto, os quatro parâmetros h para o amplificador de 
emissor comum são:
 
 
 
 
Séries de Fourier
As séries de Fourier receberam esse nome em homenagem a Jean Baptiste 
Joseph Fourier 17681830. Em 1822, o gênio Fourier teve a brilhante ideia 
de que qualquer função periódica prática pode ser representada como uma 
soma de senoides. Uma representação destas, junto ao teorema de 
superposição, nos permite encontrar a resposta de circuitos para entradas 
periódicas arbitrárias usando-se técnicas de fasores. De acordo com o 
teorema de Fourier, qualquer função periódica prática de frequência 
pode ser expressa na forma de uma soma infinita de funções seno ou 
cosseno que são múltiplos inteiros de . Ou seja é:
Onde é a chamada frequência fundamental, o coeficiente é a 
componente CC ou o valor médio de f (t) e os coeficientes e (para n ≠ 
0 são as amplitudes das senoides no componente CA. Ou seja, Série de 
Fourier de uma função periódica f (t) é uma representação que decompõe f 
(t) em um componente CC e outra CA formada por uma série infinita de 
senoides harmônicas.
Uma função que pode ser representada por uma série de Fourier deve 
atender a certos requisitos, pois a série infinita pode ou não convergir. As 
h  - Imped ncia de entrada de baseie â
h  - Raz o de realimentaç o de tens o inversare ã ã ã
h  - Ganho de corrente coletor-basefe
h  - Admit ncia de sa daoe â ı́
ω0
ω0 f(t)
ω =0
T
2π
a0
an bn
Análise de Circuitos III 19
condições em relação a f (t) que a levem a uma série de Fourier convergente 
são as seguintes:
 é uma função que apresenta um único valor em qualquer ponto.
 tem um número finito de descontinuidades em qualquer período.
 tem um número finito de máximos e mínimos em qualquer período.
A integral para qualquer .
Os coeficientes de interesse podem ser calculados por:
 e o valor é o valor médio de .
 e 
Sendo periódica, pode ser mais conveniente realizar as integrações 
anteriores a partir de a ou, geralmente, de a , em vez 
de a . O resultado será o mesmo.
Uma forma alternativa á expressão acima é mostrada abaixo, chamada de 
amplitude-fase:
Cujos coeficientes são dados por e 
 ou seja:
 e 
Somando os termos um a um, notamos como a superposição dos termos 
pode evoluir para a forma de onda original. Entretanto, na prática, não é 
possível somarmos a série na Equação ao infinito. É possível apenas uma 
soma parcial (n = 1, 2, 3, ..., N, em que N é finito). Se representarmos 
graficamente a soma parcial (ou série truncada) ao longo de um período por 
um N grande, notamos que a soma parcial oscila acima e abaixo do valor 
f(t)
f(t)
f(t)
∣f(t)∣dt <∫
t0
t +T0 ∞ t0
a =0 f(t)dt
T
1
∫0
T
a0 f(t)
a =n f(t)cos nω t dt
T
2
∫0
T
0 b =n
f(t)sen nω t dt
T
2
∫0
T
0
f  (t)
–T/2 T/2 t0 t +0 T
0 T
a =n A cos ϕn n b =n
B sen ϕn n
A =n a + bn2 n2 ϕ =n −tan
−1
an
bn
Análise de Circuitos III 20
real de f (t). Na vizinhança dos pontos de descontinuidade (nesse caso, 
para x = 0, 1, 2, ...), existe oscilação com transbordamento e amortecimento. 
De fato, um transbordamento de aproximadamente 9% do valor de pico está 
sempre presente, independentemente do número de termos usados para 
aproximar f (t). Isso é denominado fenômeno de Gibbs.
Simetria
Simetria par
Uma função f (t) é par se seu gráfico for simétrico em relação ao 
êxito vertical; isto é . Para tais funções, os 
coeficientes são:
 
e 
Como , a Equação se transforma em uma série cosseno de 
Fourier. Isso faz sentido porque a função cosseno é, por si só, par. 
Também há um sentido intuitivo de que uma função par não contém 
nenhum termo seno, já que a função seno é ímpar.
Simetria ímpar
Diz-se que uma função f (t) é ímpar se seu gráfico for antissimétrico 
em relação ao eixo vertical, ou seja . Para tais 
funções, os coeficientes são:
f(t) = f(−t)
a =0 f(t) dt
T
2
∫0
T/2
a =n f(t)cos nω t dt
T
4
∫0
T/2
0
b =n 0
b =n 0
f(−t) = −f(t)
Análise de Circuitos III 21
 e 
Que nos fornece uma série seno de Fourier. Enfatizando, isso faz 
sentido, pois a função seno é, por si só, uma função ímpar. Observe 
também que não existem termos CC para a expansão da série de 
Fourier de uma função ímpar.
O produto de duas funções pares também é uma função par.
O produto de duas funções ímpares também é uma função par.
O produto de uma função par com uma função ímpar é uma função 
ímpar.
A soma (ou diferença) de duas funções pares também é uma função 
par.
A soma (ou diferença) de duas funções ímpares é uma função ímpar.
A soma (ou diferença) de uma função par com uma função ímpar 
não é nem par nem ímpar.
Simetria de meia onda
Uma função é simétrica (ímpar) de meia onda se 
que significa que cada meio ciclo é a imagem espelhada do meio 
ciclo seguinte.
Note que, para cada função um semiciclo, é a versão invertida do 
semiciclo adjacente. Os coeficientes de Fourier resultam em
 para ímpar, ou 
, para par. Analogamente, 
 para ímpar, e para par. 
demonstrando que a série de Fourier de uma função simétrica de 
meia onda contém apenas harmônicas ímpares.
Funções comuns - Tabela
a =0 0 a =n 0 b =n
f(t)sen nω t dt
T
4
∫0
T/2
0
f(t− ) =
2
T
−f(t)
a =o 0 a =n f(t)cos nω t dt
T
4
∫0
T/2
0 n
a =n 0 n b =n
f(t)sen nω t dt
T
4
∫0
T/2
0 n b =n 0 n
Análise de Circuitos III 22
Aplicações em circuitos
Descobrimos que, na prática, muitos circuitos são comandados por 
funções periódicas não senoidais. Encontrar a resposta em regime 
estacionário de um circuito, provocada por uma excitação periódica 
senoidal, requer a aplicação de uma série de Fourier, análise de fasores 
em CA e o princípio da superposição. O procedimento normalmente 
envolve quatro etapas.
 Expresse a excitação como série de Fourier.
Análise de Circuitos III 23
 Transforme o circuito do domínio do tempo para o domínio da 
frequência.
 Determine a resposta das componentes CC e CA na série de Fourier.
 Some as respostas CC e CA individuais usando o princípio da 
superposição.
A primeira etapa é determinar a expansão das séries de Fourier da 
excitação. Para uma fontede tensão periódica, a série de Fourier é 
expressa como 
Ressaltando que o mesmo poderia ser feito para uma fonte de corrente 
periódica. A Equação acima mostra que v(t) é formada por duas partes: 
a componente CC e a componente CA = com várias 
harmônicas. Essa representação de série de Fourier pode ser 
considerada um conjunto de fontes senoidais ligadas em série, em que 
cada fonte possui sua própria amplitude e frequência.
A terceira etapa é encontrar a resposta para cada termo na série de 
Fourier. A resposta à componente CC pode ser determinada no domínio 
da frequência, fazendo ou , ou no domínio do tempo, 
substituindo todos os indutores por curtos-circuitos e todos os 
capacitores por circuitos abertos. A resposta à componente CA é obtida 
aplicando-se as técnicas de fasores já vistas.
Finalmente, seguindo o princípio da superposição, somamos todas as 
respostas individuais, temos 
Potência média e valores RMS
Para encontrar a potência média absorvida por um circuito devido a 
uma excitação periódica, expressamos tensão e corrente na forma 
amplitude-fase, como por exemplo:
 e 
v(t) = V +0 V cos (nω t+
n=1
∑
∞
n 0 θ )n
V0 Vn ∣V ∣∠θn n
n = 0 ω = 0
i(t) = I +0 I cos (nω t+
n=1
∑
∞
n 0 ψ )n
v(t) = V +0 V cos (nω t−
n=1
∑
∞
n 0 θ )n i(t) = I +0
I cos (nω t−
n=1
∑
∞
n 0 ϕ )n
Análise de Circuitos III 24
Como o cálculo de potência média é realizado através da relação 
, temos finalmente: 
 Isso demonstra que, no cálculo da potência 
média, envolvendo tensão e corrente periódicas, a potência média 
total é a soma das potências média em cada tensão e corrente 
relacionadas harmonicamente.
Caso não tenhamos analiticamente o valor de tensão e corrente 
sobre o par de terminais do resistor, podemos utilizar as relações 
auxiliares como as relações de potência e 
 sabendo que é possível encontrar o valor RMS de uma 
expansão em série de Fourier de uma função como:
 ou seja, em termos dos 
coeficientes de fourier 
P = vi dt
T
1
∫0
T
P = V I +dc dc
V I cos(θ −
2
1
n=1
∑
∞
n n n ϕ )n
P =
R
VRMS
2
P =
I RRMS
2
f(t)
F =RMS a + A0
2
2
1
n=1
∑
∞
n
2
a  e bn n F =RMS
a + (a + b )02 2
1
n=1
∑
∞
n
2
n
2