Engrenagem Teoria e exercícios resolvidos - Elementos de máquinas

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Elementos de máquinas 
 
 
 
 
ENGRENAGENS 
 
 
 
 
 
 
Professor: Vicente Daniel 
março 2021
Engrenagens em caixas redutoras 
 
 
 
Um estágio de redução. Engrenagens cilíndricas helicoidais. Eixos paralelos 
 
Nota-se a carcaça aberta com furos de fixação na estrutura e furos para fixação da tampa. com 
a tampa removida. Tampas cegas fecha o conjunto por fora do mancal de rolamento. Tampas 
passantes permitem passagem do eixo e alojam retentores de vedação. 
 
 
Dois estágios de redução. Cilíndricas helicoidais. Eixos paralelos horizontais 
 
 
 
Três estágios de redução, o 1° par cônico dentes retos. O 2° e 3° estágios com engrenagens 
cilíndricas helicoidais. Eixos horizontais. Entrada frontal. Carcaça aberta mostrando parafusos para 
fechamento. 
 
 
 
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Dimensionamento de Engrenagens - Método Antigo 
 
A- Critério da resistência a flexão dos dentes. 
Admite-se as simplificações: 
- Viga engastada. 
- Esforço suportado por único dente. 
- Viga de igual resistência na forma de parábola. 
- O esforço suportado por único dente 
-Viga de igual resistência na forma de parábola 
- O esforço FN é aplicado no vértice da parábola. 
A seção AB suporta ao esforço de flexão devido a "Ft" e esforço de compressão devido a FR. 
Fórmula de Lewis acrescida do fator dinâmico de carga: 
σef= (Ft.q.kd)/(ρ.m) 
σef= (Ft.q.kd)/(ρ.Mn) 
σef= Tensão efetiva no pé do dente. σef≤σadm 
q= fator de forma correspondente a uma expressão na dedução do método de dimensionamento. 
Valores para o fator de forma q: 
 
Engrenamento Externo 
N° de dentes"Z" 12 13 14 15 16 17 18 21 24 28 34 40 50 65 80 100 ∞ 
Fator "q" 4,5 4,3 4,1 3,9 3,7 3,6 3,5 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,6 2,5 
 
 
Engrenamento interno 
N° de dentes"Z" 20 24 30 38 50 70 100 200 
Fator "q" 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 
 
 
kd - Fator dinâmico. Coeficiente que adequa o dimensionamento a condição de operação, 
função da rotação, tamanho, precisão construtiva e dureza. 
16 
 
Tabelas para os fatores dinâmicos "kd": 
 
Engrenagem com Dentes Retos 
 
Grau de Precisão 
Dureza 
Brinell 
Velocidade "v" m/s 
<1 1~3 3~8 8~12 
Engr. de alta precisão 
Endentamento por geração 
Acabamento retificado 
≤350 ---- ---- 1,2 1,3 
>350 ---- ---- 1,2 1,3 
Engr. de precisão 
Endentamento por geração 
Acabamento retificado 
≤350 1 1,25 1,45 1,45 
>350 1 1,2 1,3 1,4 
Engr. de precisão média 
Endentamento por geração ou fresa perfil 
Próprio para o n° de dentes 
Sem acabamento complementar 
 
≤350 
 
1 
 
1,35 
 
1,55 
 
---- 
 
>350 
 
1 
 
1,3 
 
1,4 
 
---- 
Engr. de precisão inferior 
Endentamento por qualquer processo 
Sem acabamento 
≤350 1,1 1,45 ---- ---- 
>350 1,1 1,4 ---- ---- 
 
 
Engrenagem com Dentes Helicoidais 
 
Grau de Precisão 
Dureza 
Brinell 
Velocidade "v" m/s 
<1 1~3 3~8 8~12 12~18 12~25 
Engr. de alta precisão 
Endentamento por geração 
Acabamento retificado 
≤350 ---- 1 1, 1,1 1,2 1,4 
>350 ---- 1 1,2 1 1,1 1,2 
Engr. de precisão 
Endentamento por geração 
Acabamento retificado 
≤350 1 1 1,45 1,2 1,3 1,5 
>350 1 1 1,3 1,1 1,2 1,3 
Engr. de precisão média 
Endentamento por geração ou ferramenta 
Com perfil para o próprio n° de dentes 
Sem acabamento complementar 
 
≤350 
 
1,1 
 
1,3 
 
1,55 
 
1,4 
 
---- 
 
---- 
 
>350 
 
1,1 
 
1,2 
 
1,4 
 
1,3 
 
---- 
 
---- 
17 
 
 
Engr. de precisão inferior 
Endentamento por qualquer processo 
Sem acabamento 
≤350 1,2 1,4 ---- ---- ---- ---- 
>350 1,2 1,3 ---- ---- ---- ---- 
 
 
b- largura da engrenagem 
Valores limites para a relação b/dp (largura/ diâmetro primitivo) 
 
 
Disposição dos 
mancais 
 
Disposição das rodas 
em relação aos mancais 
Dentes Retos Dentes Helicoidais 
Carga 
Constante 
Carga 
Variável 
Carga 
Constante 
Carga 
Variável 
Mancais na mesma 
estrutura rígida 
Entre apoios 1,6 1,3 2 1,6 
Em balanço 0,8 0,7 0,7 0,8 
Mancais em 
estrutura Distintas 
Entre apoios 12/z1 12/z1 --- --- 
Em balanço 10/z1 10/z1 --- --- 
m- módulo é a unidade de medida do dente da engrenagem. o módulo corresponde a divisão do 
diâmetro primitivo pelo número de dentes. também é denominado módulo frontal da 
engrenagem helicoidal. 
mn- módulo normal, medido perpendicular ao eixo longitudinal ao dente. 
mn= ρ/π 
m(z)=dp 
m(z+2)=de 
ρ - passo (distância entre dentes, periférica, na posição do diâmetro primitivo). 
dp- diâmetro primitivo 
de- diâmetro externo 
 
Tamanhos padronizados para módulos conforme DIN 780 
 
m= 0,3-0,4-0,5 ... 0,9-1,0-1,25-1,50...4,0-4,5...7,0-8-9...16-18-20...24-27-30...45mm. 
 
Ft- Força tangencial. É a força impulsora da engrenagem, a que gera a potência do sistema. 
 
Ft=M/Rp = 2M/dp 
ou 
M=71620 N / n [kgf.cm] 
18 
 
M- momento de torque na engrenagem considerado 
dp- diâmetro primitivo 
rp- raio primitivo 
n- potência (cv) 
n- rotação (rpm) 
B- Critério de resistência a compressão superficial (desgaste) 
 
Método desenvolvido empiricamente por hertz e testado o suficiente para uso em 
dimensionamento. 
bdp2= f.(M/(ρad) 2) .((i+1)/i) [cm3] - Dentes Retos 
 
bdp2= f.(Mcos2β/(ρad) 2).((i+1)/i) [cm3] - Dentes Helicoidais 
b- largura da engrenagem 
dp- diâmetro primitivo 
M-momento torque 
i- relação de transmissão = Zmaior/Zmenor no par da engrenagem 
 
f- fator de geometria e materiais. É uma característica tabelada, deduzida no dimensionamento. 
Valores de f para φ=20° 
Pinhão de aço E1=2,1x106 kg/cm2 
 
Roda de aço E2=2,1x106 kg/cm2 
 
F= 4574000 
Pinhão de aço E1=2,1x106 kg/cm2 
 
Roda de ferro fundido E2=1,05x106 kg/cm2 
 
F=3050000 
Pinhão de ferro fundido E1=2,1x106 kg/cm2 
 
Roda de ferro fundido E2=1,05x106 kg/cm2 
 
F=2287000 
 
 
f= 1,4/((1/E1+1/E2)senφ cosφ) 
ρad- pressão admissível no dente 
ρad=48,7 HB/(6√(60.n.h/106)) [kg/cm2] 
HB- dureza brinell 
19 
 
n- rotação (rpm) 
 
h- vida da engrenagem em horas 
 
β- ângulo da hélice dos dentes de engrenagem cilind. helicoidal 
Generalidades 
1- O pinhão é a parte crítica do par. É a parte inicial a ser dimensionada. 
 
2- Dimensiona-se inicialmente quanto ao desgaste e procede-se a verificação quanto a 
resistência à flexão. 
3- Limites para a largura b - engrenagem de precisão, com apoios rígidos b≤15 a 40 m 
 
- engrenagem de precisão média b≈10m 
 
- engrenagem de precisão inferior b≤6m 
4- Reduções max. normais até 1:6, excepcionalmente 1:10. 
5- Materiais de aplicações comuns 
 
Material Tensão ruptura 
Kgf/cm2 
Tensão Escoamento 
Kgf/cm2 
Dureza Brinell 
Sem 
tratamento 
Com 
tratamento 
Aço SAE 1045 6000 3300 170~195 250 
Aço SAE 1060 8200 4900 200~220 315 
Aço SAE 2340/2345 1450 5200 220~250 
Aço SAE 4140 9600 5700 240~270 380 
Aço SAE 4340 com têmpera 14900 13600 240~280 400 
Aço SAE 4620 cement/temp 12500 10900 220~250 500 
Aço SAE 8620 cement/temp 14000 11000 230~260 500 
Aço fundido 5600 4400 160 
Ferro fundido 2600 1700 170 
20 
 
6- Tensões Admissíveis de referência para flexão: 
Ferro fundido 400~800 kg/cm2 
Aço fundido 600~900 kg/cm2 
 
Aço SAE 1045/1060 1000~1500 kg/cm2 
Aço liga sem tratamento 1300~2000 kg/cm2 
Aço liga com tratamento 1700~2000 kg/cm2 
 
 
7- Forças atuantes no engrenamento 
Dentes Retos: 
Ft= 2M/dp = 71620 N/n [kgf.cm] 
Fn= Ft/cosφ 
FR= Fnsenφ = Fr. tangφ 
Dentes helicoidais: 
Ft= 2M/dp = 71620 N/n [kgf.cm] 
Fn= Ft/(cosφ.senφ) 
Fr=Ft.tangφ 
Fa=Ft.tangβ 
 
 
 
Verificação da capacidade do par de engrenagem acima pelo método simplificado AGMA 1985 
 
Instalação típica 
 
 O desenho é válido para a sede dentada 
21 
 
 
 Aço SAE-8620 cementado e temperado dureza 380 HB penetração endurecida 0,75 a 1,10 mm. 
Tabela de dados extra desenho 
Módulo m 6,0 mm 
Nr de dentesZ 17 dentes 
Ângulo de pressão α 20° 
Hélice β 19 ° 
Inclinação da hélice à direita 
 
 
 Aço SAE-8620 cementado e temperado dureza 320 HB penetração endurecida 0,75 a 1,10 mm. 
 
 Tabela de dados 
Módulo m 6,0 mm 
Nr de dentes Z 103 dentes 
Ângulo de pressão α 20° 
Hélice β 19 ° 
Inclinação da hélice à esquerdaa 
Solução 
Tabela de tensões de flexão 
 
 
Fator de segurança 
22 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
1. Pinhão quanto ao desgaste 
Dados: 
 Rotação 1750 rpm, Aço SAE-8620 beneficiado para 380 HB 
 17 dentes hélice 19° módulo 6,0 mm, largura 90mm, dp = 107,88 mm 
 Atribuir vida 50000 hs ( 10 anos com dois turnos) 
 Adotar rendimento mecânico de 85% 
 
Momento torsor 71620 . 115 / 1750 = 4706 kgf.cm 
 
 Expressão AGMA 
i
i
Pad
Mt
fdpb
1
.
cos.
.
2
2
2 

 
 Tensão de contato Pad = 
610
..60
6
.7,48
E
vidan
Hb
= 
610
50000.1750.60
6
380.7,48
E
6515 kgf/cm2 
 
Fator de material e geometria f = 4574000 para aço x aço e ang pressão 20° 
 
Ang hélice β=19° 
 
Redução i = 103 / 17 = 6,06 
 
Buscando o torque Mt e com ele a potência 
 
06,6
106,6
.
6515
894,0.
457400079,10.9
2
2 
Mt
 
 
Daí sai Mt = 9335 kgf.cm 
 
Aplicando o rendimento sobre o torque 
Mt´= 0,85 . 9335 = 7935 kgf.cm 
 
Mt = 71620 Pcv / rpm 
 
 7935. 1750 = 71620 Pcv 
 Sai Potência 193 CV 
 
 
 
2 Pinhão quanto a flexão 
 
σf = 
mb
KdqFt
.
..
 kgf/cm2 
 Tensão de flexão 295 Mpa – Tabela Agma acima. 
 Fator de segurança 2 
 Fator de serviço 1,75 serviço pesado - Manual PTI - Falk 
 
 Σf = 295 . 10,19 /(1,75 . 2) = 859 kgf/cm2 
 
 Q é o fator de forma 
 
 
24 
 
 
 Para 17 dentes externos tem-se q = 3,6 
 
Kd é o fator dinâmico 
 Tendo velocidade 3,14 . 107,9 . 1750 / 60000 = 9,88 m/s 
 Engrenagem Helicoidal construção precisa 
 Dureza acima de 350 HB 
 
 Vem Kd = 1,1 
 
 Sai a força tangencial 859 = Ft . 3,6 . 1,1 / (9 . 0,6 ) 
 
 Sai Ft = 1171 kgf 
 
 Rendimento 85% sobre a força tangencial 
 
 Potência = F . v. rend / 75 = (1171.0,85) . 9,88 / 75 = 131 CV 
 
 
 
3 Coroa quanto ao desgaste 
 Dureza 320 HB 
 Dados geométricos definidos 
 Largura 90mm = 9 cm 
 Diâmetro primitivo 103 . 6 / cos19 = 653,6 mm = 65,4 cm 
 Rotação 289 rpm 
 Adotar rendimento mecânico de 85% 
 
O momento torsor será calculado e com ele a potência 
 
 Expressão AGMA 
i
i
Pad
Mt
fdpb
1
.
cos.
.
2
2
2 

 
 Tensão de contato Pad = 
610
..60
6
.7,48
E
vidan
Hb
= 
610
50000.289.60
6
320.7,48
E
7407 kgf/cm2 
 
Fator de material e geometria f = 4574000 para aço x aço e ang pressão 20° 
 
Ang hélice β=19° 
 
Redução i = 103 / 17 = 6,06 
 
Buscando o torque Mt e com ele a potência 
 
25 
 
06,6
106,6
.
7407
894,0.
45740004,65.9
2
2 
Mt
 
 
Daí sai Mt = 443319 kgf.cm 
 
Aplicando o rendimento sobre o torque 
Mt´= 0,85 . 443319 = 376822 kgf.cm 
 
Mt = 71620 Pcv / rpm 
 
376822 . 288 = 71620 Pcv Sai Potência 1515 CV 
 
1.4 - Coroa quanto a flexão 
 Expressão principal σf = 
mb
KdqFt
.
..
 kgf/cm2 
 
 
 
 Tensão de flexão 260 Mpa – Tabela Agma acima, livro do Norton 
 Fator de segurança 2 
 Fator de serviço 1,75 serviço pesado - Manual PTI - Falk 
 
 . σf = 260 . 10,19 /(1,75 . 2) = 757 kgf/cm2 
 
 Q é o fator de forma 
 
 
 
 Para 103 dentes externos tem-se q = 2,6 
 
Kd é o fator dinâmico 
 Tendo velocidade 3,14 . 107,9 . 1750 / 60000 = 9,88 m/s 
 Engrenagem Helicoidal construção precisa 
 Dureza abaixo de 350 HB 
26 
 
 
 Vem Kd = 1,2 
 
 Sai a força tangencial 757 = Ft . 2,6 . 1,2 / (9 . 0,6 ) 
 Sai Ft = 1310 kgf 
 
 Rendimento 85% aplicado sobre Ft, vem 
 Ft´= 0,85 . 1310 = 1114 kgf 
 
 Potência = F . v. / 75 = 1114 . 9,88 / 75 = 147 CV 
 
 
Exercício 2 – Divisão de dentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 3 - Dimensionar e fazer esboço 
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29 
 
 
30 
 
 
31 
 
 
32 
 
 
33 
 
 
 
 
Exercício 4 - diagramas 
Diagrama de forças, rotação, torque e momentos em eixos da caixa de engrenagens. Dados do exercício: Potência 115 CV, entrada 
1750 rpm, saindo 50 rpm. 
 
 
 
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