Formulação forte e fraca - Mecânica Computacional

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Formulação Forte e Fraca para Elemento 
Finito Unidimensional
Prof. Osvaldo Abadia de Carvalho Filho
Mecânica Computacional
Classificação dos elementos de
acordo com as dimensões
Elementos de uma
dimensão
Elementos de duas
dimensões ou
elementos planos
Elementos de três
dimensões ou
elementos sólidos
Obtenção da equação do elemento
➢Para problemas complexos a obtenção por
formulação direta é impraticável.
➢Para a obtenção da equação do elemento em
problemas complexos, é feita uma suposição da
forma da solução (uma função com coeficientes
desconhecidos). Em seguida aplica-se um princípio
energético ou variacional para poder determinar os
coeficientes que melhor aproximam a solução
suposta da solução real.
Escolha das funções de aproximação
➢A técnica mais comum para escolha das
funções de aproximação é interpolar os
graus de liberdade, por exemplo, para um
cálculo estrutural será o próprio
deslocamento nodal, para um problema
térmico será a temperatura.
Formulação para um elemento de
barra por método de aproximação
A barra precisa satisfazer as seguintes condições:
➢ Estar em equilíbrio;
➢ Apresentar comportamento elástico linear;
➢ Lei de Hooke;
➢ Apresentar deslocamento compatível;
➢ Apresentar deformação compatível com
deslocamento.
Formulação para um elemento de
barra por método de aproximação
Formulação para um elemento de
barra por método de aproximação
Formulação para um elemento de
barra por método de aproximação
➢Observações:
➢Eq. diferencial de segunda ordem.
➢ u(x) incógnita.
➢Aplica-se a materiais lineares apenas
(deformação e Lei de Hooke.)
➢ u, A, E e b dependem de x.
Formulação para um elemento de
barra por método de aproximação
Formulação Forte
Formulação para um elemento de
barra por método de aproximação
Integrar ao longo do domínio.
Formulação para um elemento de
barra por método de aproximação
Obtendo a Formulação Fraca para problema
unidimensional:
Trabalho Interno Trabalho 
Externo
Formulação para um elemento de
barra por método de aproximação
 
    
 
=
=
=
=














][
][
0
C
B
U
dvolBCB
Udx
dx
du
L
EA
dx
du
vol
T
L
T
Desenvolvendo a integral do Trabalho Interno tem-se:
Matriz de Rigidez
Vetor de deslocamentos
Matriz deformação deslocamentos
Matriz de Elasticidade
Formulação para um elemento de
barra por método de aproximação
Sendo: 
 
 =
==
N
U
dx
Nd
dx
du
B][
Função de Forma – Correlaciona os deslocamentos no elemento com 
os deslocamentos nodais
L
xx
N
L
xx
N
L
xx
L
xx
N
e
e
ee
+−
=
−
=





 +−−
=
1
2
2
1
12][
Formulação para um elemento de
barra por método de aproximação
 
 
 
( )
( )






−
−
=
=−
−





−
−
=
−




−
=
−




−















11
11
:
11
11
11
1
1
11
1
1
11
12
122
2
0
2
1
2
1
L
AE
K
Assim
Lxx
xx
L
AE
dx
L
AE
dx
L
AE
L
Udx
dx
du
L
EA
dx
du
x
x
x
x
L
T
Executando as
substituições, tem-se:
Formulação para um elemento de
barra por método de aproximação
Formulação Fraca (Método Direto)
Referências
➢FILHO, AVELINO ALVES, Elementos Finitos a
Base da Tecnologia CAE, ed Érica, 7edição, 2002.
➢FISH, Jacob, BELYTSCHKO, Ted. Um Primeiro
Curso em Elementos Finitos. LTC.2009
➢Notas de Aulas Mecânica Computacional – Prof.
Alysson Vieira– PUCMinas
➢Notas de Aulas Mecânica Computacional – Prof.
Osvaldo Carvalho– PUCMinas
➢Notas de Aulas Método dos Elementos Finitos–
Prof. William Maluf– FEI