Aula_6_Elemento_Viga_posicionamento_local_global - Mecânica Computacional

Prévia do material em texto

Mecânica Computacional
Elemento Viga
Matriz de Rigidez
Prof. Osvaldo Abadia de Carvalho Filho
ELEMENTO VIGA
Beams
• Os elementos Viga
são formados por
dois nós;
• Três deslocamentos
e três rotações;
• Trabalha com
esforços axiais e
momentos.
2
ELEMENTO VIGA
3
Barra com flexão, deslocamentos em Y e torções devido a momento no 
plano XY
Matriz de Rigidez
ELEMENTO VIGA
4
Matriz de rigidez desenvolvida, através da teoria de deflexão de vigas:
ELEMENTO VIGA
5
➢Desenvolvimento da Matriz de rigidez
Deslocamento no grau de liberdade i mantendo-se os outros graus de 
liberdade bloqueados.
ELEMENTO VIGA
6
➢Desenvolvimento da Matriz de rigidez
Aplicando as fórmulas, tem-se o 
sistema:
Após o desenvolvimento do sistema:
ELEMENTO VIGA
7
ELEMENTO VIGA
➢Desenvolvimento da Matriz de rigidez
8
ELEMENTO VIGA
➢Desenvolvimento da Matriz de rigidez
9
ELEMENTO VIGA
➢Desenvolvimento da Matriz de rigidez
10
Exemplo:
Sendo:
A deflexão e rotação nos nós centrais e a as reações e momentos nos nós 
laterais
ELEMENTO VIGA
11
Solução:
Matriz de rigidez de cada elemento:
ELEMENTO VIGA
12
Matriz global da estrutura
ELEMENTO VIGA
13
Aplicando as condições de contorno a matriz se reduz à:
Resolvendo a equação chega-se:
ELEMENTO VIGA
14
Para o cálculo das reações e momentos tem-se:
ELEMENTO VIGA
15
ELEMENTO VIGA
Exercício: Calcular as deflexões, rotações e forças de reações
Dados:
16
ELEMENTO VIGA
➢Elemento de viga sujeito a flexão e carregamento axial
17
ELEMENTO VIGA
Matriz rigidez deslocamentos axiais
Matriz rigidez deslocamentos 
verticais e rotacionais
+
18
ELEMENTO VIGA
Elemento de viga sujeito a flexão e carregamento axial
19
ELEMENTO VIGA
Matriz de rigidez de um elemento de viga sujeito a forças e deslocamentos 
axiais, verticais e momentos
20
ELEMENTO VIGA
➢Transformação do sistema local para global
21
ELEMENTO VIGA
Transformação de matriz do sistema local para o global 
22
ELEMENTO VIGA
Fazendo:
Transformação de matriz do sistema local para o global 
23
ELEMENTO VIGA
➢Exemplo montagem de matriz global de elemento
24
ELEMENTO VIGA
Exemplo montagem de matriz global de elemento
25
ELEMENTO VIGA
Exemplo montagem de matriz global de elemento
26
ELEMENTO VIGA
Exemplo montagem de matriz global de elemento
27
ELEMENTO VIGA
Exemplo montagem de matriz global de elemento
28
ELEMENTO VIGA
Exemplo montagem de matriz global de elemento
29
ELEMENTO VIGA
➢Matriz de rigidez do elemento com somente rigidez à Torção
A torção por resistência dos materiais é dada por:
Onde:
Mx = Momento torçor
G = modo de elasticidade ao Cisalhamento =
 = Coeficiente de Poisson
J = Momento de inércia à torção
= Taxa de variação de ângulo de torção ou ângulo de torção unitário
⟹
30
ELEMENTO VIGA
Matriz de rigidez do elemento com somente rigidez à Torção
31
ELEMENTO VIGA
Matriz de rigidez do elemento com somente rigidez à Torção
32
ELEMENTO VIGA
➢Matriz de rigidez de viga no espaço
Elemento com 12 graus de liberdade 
com componentes de rigidez à:
- Flexão em cada um dos planos, 
devido aos momentos fletores e forças 
cortantes.
- Torção 
- Forças Axiais
33
ELEMENTO VIGA
Matriz de rigidez do elemento com somente rigidez à Torção
34
ELEMENTO VIGA
Exercício: Calcular os deslocamentos nodais e as forças de reações 
do pórtico de seção I abaixo:
Sendo:
L1 = 1.0 m
L2 = 0.8 m
P = 10 KN
35
Referências
• FILHO, AVELINO ALVES, Elementos Finitos a
Base da Tecnologia CAE, ed Érica, 7edição,
2002.
• FISH, Jacob, BELYTSCHKO, Ted. Um Primeiro
Curso em Elementos Finitos. LTC.2009
• Notas de Aulas Mecânica Computacional–
Prof. Alysson Vieira– PUCMinas
• Notas de Aulas Mecânica Computacional–
Prof. Osvaldo Carvalho– PUCMinas
36