Álgebra Moderna APOL 3

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Questão 1/10 - Álgebra Moderna
Seja A={e,a}A={e,a} um conjunto com dois elementos munido das operações ++ e ⋅⋅ definidas pelas tabelas abaixo:
+eaeeaaae     e     ⋅eaeeeaea+eaeeaaae     e     ⋅eaeeeaea
Analise as afimativas:
I. e⋅(e+a)=e⋅a=e.e⋅(e+a)=e⋅a=e.
II. O elemento neutro da operação ++ é a.a.
III.  A unidade de AA é o elemento e.e.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
Você acertou!
Na tabela da adição, temos e+a=a.e+a=a. Usando a tabela da multiplicação, concluímos que e⋅(e+a)=e⋅a=e.e⋅(e+a)=e⋅a=e. Logo, a afirmativa I é correta. Como a+a=e,a+a=e, o elemento aa não pode ser o elemento neutro da adição. Assim, a afirmativa II é falsa. Além disso, como e⋅a=e,e⋅a=e, garantimos que o elemento ee não é a unidade em A.A. Portanto, a afirmativa III é incorreta.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 2/10 - Álgebra Moderna
Leia o enunciado a seguir:
Considere os anéis (Z,+,⋅)(Z,+,⋅), (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) e (R,+,⋅)(R,+,⋅), em que ++ e ⋅⋅ denotam suas operações usuais. 
De acordo com o enunciado e com os conteúdos estudados nas aulas, é correto afirmar que:
Nota: 10.0
	
	A
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero.
	
	B
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo.
	
	C
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) não é domínio de integridade.
	
	D
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é corpo.
Você acertou!
Com as operações usuais, (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, dado a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗com a≠0,a≠0, vem que p≠0p≠0 e qp∈Q.qp∈Q. Então, a−1=qp∈Qa−1=qp∈Q, pois pq⋅qp=1.pq⋅qp=1.
	
	E
	(R,+,⋅)(R,+,⋅) não é domínio de integridade.
Questão 3/10 - Álgebra Moderna
Leia o enunciado a seguir:
Considere (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂AB⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) se a,b∈Ba,b∈B, então a+b∈Ba+b∈B e a⋅b∈Ba⋅b∈B;
(ii) (B,+,⋅)(B,+,⋅) é um anel.
Diante disso e dos conteúdos adquiridos nas aulas, leia as afirmativas a seguir e assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa.
I. (   ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R.
II. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k∈Z}B={2k; k∈Z} é subanel de Z.Z.
III. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares  C={2k+1;k∈Z}C={2k+1;k∈Z} é subanel de Z.Z.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V - V - V.
	
	B
	V - F - V.
	
	C
	V - V - F.
Você acertou!
As propriedades (i) e (ii) são satisfeitas para os conjuntos ZZ e B.B. Logo, as afirmativas I e II são verdadeiras. Observamos que 1 e 3 são elementos de CC, mas 1+3=4∉C.1+3=4∉C. Assim, a afirmativa III é falsa.
	
	D
	V - F - F.
	
	E
	F - V - V.
Questão 4/10 - Álgebra Moderna
Leia o enunciado:
Sobre o anel do inteiros (Z,+,⋅)(Z,+,⋅), em que ++ e ⋅⋅ denotam as operações usuais em ZZ, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	Para todo a∈Za∈Z, vale a⋅0≠0.a⋅0≠0.
	
	B
	A propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é válida, isto é, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c para todos a,b,c∈Z.a,b,c∈Z.
Você acertou!
Como (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel,  então a propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é satisfeita em Z.Z.
	
	C
	O elemento 2∈Z2∈Z possui inverso multiplicativo em Z.Z.
	
	D
	O anel (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) possui divisores de zero.
	
	E
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo.
Questão 5/10 - Álgebra Moderna
Leia com atenção o enunciado:
Considere os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre relações binárias, e sejam os conjuntos A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9}.A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9}.
Agora, leia sobre eles as seguintes as afirmações: 
I. O conjunto R1={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}R1={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} é uma relação simétrica e reflexiva.
II. O conjunto R2={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R2={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} é uma relação reflexiva, simétrica, transitiva e antissimétrica.
III. O conjunto R3={(1,2),(2,3),(1,3)}R3={(1,2),(2,3),(1,3)} é uma relação antissimétrica e transitiva.
Está correto apenas o que se afirma em:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	I, II e III.
	
	C
	III.
	
	D
	II e III.
Você acertou!
Afirmativa I está incorreta, pois se xRy tem o a relação yRx (simétrica) e vale a relação se xRy e yRz então xRz (transitiva)  e não reflexiva. A afirmativa II está correta, pois se xRy tem o a relação yRx (simétrica), vale a relação se xRy e yRz então xRz, se ∀x∈A;xRx∀x∈A;xRx, (reflexiva) e se xRy e yRx então x=y (antissimétrica). Afirmativa III está correta pois vale a relação se xRy e yRz então xRz (transitiva) e se xRy e yRx então x=y (antissimétrica). (livro-base, p. 15-18).
	
	E
	I e III.
Questão 6/10 - Álgebra Moderna
O subconjunto BB do anel (A,+,⋅)(A,+,⋅) é subanel de AA quando a−b∈B e a⋅b∈Ba−b∈B e a⋅b∈B para todos a,b∈B.a,b∈B. Com base nessa estrutura, analise as afirmativas:
I. ZZ é um subanel de Q.Q.
II. L={f∈A; f(1)=1}L={f∈A; f(1)=1} é subanel de A=F(R,R).A=F(R,R).
III. 2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é subanel de Z.Z.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
Você acertou!
Sabemos que Z⊂Q.Z⊂Q. Além disso, dados a,b∈Z,a,b∈Z, temos a−b∈Z e a⋅b∈Z.a−b∈Z e a⋅b∈Z. Logo, ZZ é subanel de Q.Q. Com isso, a afirmativa I é verdadeira. Observamos também que 2Z⊂Z.2Z⊂Z. Dados a,b∈2Z,a,b∈2Z, existem x,y∈Zx,y∈Z tais que a=2x e b=2y.a=2x e b=2y. Com isso, a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z.a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z. Assim, 2Z2Z é subanel de ZZ e a afirmativa III é verdadeira.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 7/10 - Álgebra Moderna
Considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre relações binárias e dados os conjuntos A=RA=R, B=RB=R, leia as seguintes afirmações:
I. O conjunto R1={(x,y)∈R2|y=√x}R1={(x,y)∈R2|y=x} é uma relação binária de A×BA×B.
II. O conjunto R2={(x,y)∈N2|3x+y−10=0}R2={(x,y)∈N2|3x+y−10=0} é uma relação binária de A×BA×B.
III. O conjunto R3={(x,y)∈R2|x−y+1<0}R3={(x,y)∈R2|x−y+1<0} é uma relação binária de A×BA×B.
Está correto apenas o que se afirma em:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	II e III.
	
	C
	III.
Você acertou!
As afirmativas I e II não estão corretas, pois não existe raiz de número negativo em RR  e para R2R2,  a função y=−3x+10y=−3x+10, não é definida para x>3.x>3.    Afirmativa III está correta pois é a região do  R2R2 acima da reta y=x+1y=x+1.  (livro-base, p. 15-18).
	
	D
	I e III.
	
	E
	II.
Questão 8/10 - Álgebra Moderna
Considere M2(R)M2(R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais. Sobre o anel (M2(R),+,⋅),(M2(R),+,⋅), é correto afirmar que 
Nota: 10.0
	
	A
	É um anel comutativo.
	
	B
	É um anel com unidade dada pela matriz I=[1111].I=[1111].
	
	C
	É um anel com divisores de zero.
Você acertou!
Com operações usuais,  (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel. Além disso,  (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) possui divisores de zero. Por exemplo, as matrizes A=[1000] e B=[0010]A=[1000] e B=[0010] são tais que AB=0,AB=0, porém A≠0 e B≠0.A≠0 e B≠0.
	
	D
	É um domínio de integridade.
	
	E
	É um corpo.
Questão 9/10 - Álgebra Moderna
Considerando os conteúdos estudados nas aulas sobre polinômios, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	O elemento neutro da adição de polinômios é o mesmo para a multiplicação de polinômios.
	
	B
	A adição, a multiplicação e a divisão de polinômios têm a propriedade comutativa.
	
	C
	A divisão de polinômios tem as mesmas propriedades da multiplicação.
	
	D
	O polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios.
Você acertou!
Segue das propriedades da adição de polinômios.
	
	E
	O elemento neutro da divisão de polinômios é o zero.
Questão 10/10 - Álgebra Moderna
Leia a citação:
"Uma relação binária r sobre dois universos A e B é:
r⊆A×Br⊆A×B
Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre os conjuntos A e conjunto B. Isto é, uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto de A×AA×A pode ser chamado simplesmente de relação binária em A". 
Após esta avaliação,caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em Geometria Analítica Plana, aula 1, p. 2. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_bin%C3%A1ria.   Acesso em 02 jul. 2017.
Considerando a citação e os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre propriedades reflexivas e transitivas das relações binárias definidas no conjunto A={1,2,3,4}, identifique a relação de A a seguir, que seja reflexiva e transitiva, com V (verdadeira) ou com F (falsa):
 (   )  R1={(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}R1={(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)};
 (   )  R2={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)}R2={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)}; 
 (   )  R3={(2,4),(4,2)};R3={(2,4),(4,2)};
 (   )  R4={(1,2),(2,3),(3,4)}R4={(1,2),(2,3),(3,4)};
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V−V−V−VV−V−V−V
	
	B
	F−V−F−VF−V−F−V
	
	C
	V−V−F−FV−V−F−F
	
	D
	F−V−F−FF−V−F−F
Você acertou!
Comentário:Comentário: Primeira afirmação: não é reflexiva, pois não tem o par (1,1). incorretoincorreto. Segunda afirmação: é reflexiva, pois se tem o par xRy tem o par yRx. É transitiva, pois vale a relação se xRy e yRz então xRz. corretacorreta. Terceira afirmação: Não é nem reflexiva nem transitiva. incorretoincorreto. Quarta afirmação: Não é nem reflexiva nem transitiva. incorretoincorreto. (livro-base, p. 23-26 ).
	
	E
	F−F−F−VF−F−F−V