TEOREMA DE TALES

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TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
REFORÇO ESCOLAR
PROFESSORA: GABRIELA LORENTZ
O TEOREMA DE TALES
O grego Tales de Mileto, que viveu por volta da primeira metade do século VI a.C., é considerado o pai da Geometria Demonstrativa, na qual se faz necessário justificar, por meio de demonstrações lógicas, os conhecimentos geométricos. Os estudos de Tales contribuíram em diversas áreas do conhecimento, como Matemática, Filosofia e Astronomia, tornando-o conhecido como um dos sete sábios da Antiguidade.
Acredita-se que Tales tenha vivido parte de sua vida no Egito, onde se deparou com um problema: calcular a altura de uma pirâmide; e ao resolvê-lo, tornou-se muito admirado.
Na resolução desse problema, Tales utilizou conhecimentos acerca de semelhança de triângulos. O método empregado por ele resultou no que atualmente denominamos Teorema de Tales.
O teorema de tales
A partir desse teorema, é possível perceber relações de proporcionalidade em várias situações, o que tem vasta aplicação, como na astronomia e em triângulos. Tales de Mileto foi um filósofo pré-socrático que deu grandes contribuições não só para a filosofia, mas também para a matemática, na busca de compreender melhor o Universo
Enunciado do teorema de tales
O teorema de Tales afirma que:
Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais segmentos proporcionais.
Na imagem, há vários segmentos de reta: AB, BC, DE, EF, AC, DF.
Enunciado do teorema de tales
É possível compará-los de duas formas. Uma delas é comparar os segmentos de uma mesma reta transversal:
Enunciado do teorema de tales
Outra maneira de realizar essa comparação, mas que ainda assim gera o mesmo resultado, é montar a razão entre o segmento de uma reta transversal sob o segmento equivalente.
Independentemente da forma escolhida para montar as proporções, é possível encontrar o valor desses segmentos a partir da propriedade fundamental da proporção.
Aplicação do teorema de tales
Na prática, utiliza-se o teorema de Tales com o objetivo de encontrar valores desconhecidos de situações que envolvem retas paralelas e retas transversais.
Exemplo:
Aplicação do teorema de tales
Montando a proporção, temos que 10 está para x, assim como 12 está para 7, ou seja:
Teorema de tales em triângulos
Uma das aplicações mais importantes do teorema de Tales é no estudo de triângulos. Ao traçar uma reta paralela à base, é possível construir um triângulo menor semelhante ao triângulo maior. Além disso, os segmentos formados pela lateral do triângulo também são proporcionais, o que possibilita a aplicação do Teorema de Tales para encontrar valores desconhecidos nesse triângulo.
Teorema de tales no triângulo
Exemplo:
Calcule o valor de BD sabendo que o segmento de reta DE é paralelo à base do triângulo AC.
Teorema de tales no triângulo
Montando a proporção, sabemos que x está para 13, assim como 8 está para 16.
De acordo com o teorema de tales
Se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, então a razão entre quaisquer segmentos determinados em uma das transversais é igual a razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Questão 1 - (Fuvest) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de x, y e z em metros sabendo que a frente total para essa rua tem 180 m?
Resolução exercício 1
Sabemos que a soma de x + y + z = 180 m.
Somando os lados da rua A, temos que: 40 + 30 + 20 = 90 m.
Montando as proporções para encontrar o valor de x, temos:
Assim sendo, x = 80 metros. Agora encontraremos o valor de y:
Resolução exercício 1
Resolução exercício 1
Como y = 60 metros, podemos então encontrar o valor de z:
Exercícios resolvidos
Questão 2 - (IFG) Seja o triângulo ABC da figura a seguir com as seguintes medidas: AC = 50 cm, AE = 20 cm, e AD= 10 cm.
Sabendo que DE é paralelo à BC, a medida do lado AB é de?
A) 15 cm
B) 20 cm
C) 25 cm
D) 30 cm
E) 35 cm
Resolução exercício 2
Como DE é paralelo a BC, podemos aplicar o teorema de Tales.
Dados: AC = 50 cm, AE = 20 cm e AD = 10 cm.
Sabemos que AC está AE, assim como AD está para AB.
Exercícios resolvidos - enem
(ENEM 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
a) 1,16 metros.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
d) 5,6 metros.
e) 7,04 metros.
Resolução exercício enem
ATÉ A PRÓXIMA AULA!!!!
OBRIGADA!!!!