APOSTILA Geometria plana completa

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SUMÁRIO 
 
 APRESENTAÇÃO 
 INTRODUÇÃO 
1. ORIGEM E HISTÓRIA DA GEOMETRIA .......................................................... 6 
1.1. Desenvolvimento da Matemática ....................................................................... 6 
1.2. A história da Geometria na China ...................................................................... 7 
1.3. A história da Geometria na Índia ....................................................................... 9 
1.4. A história da Geometria na Mesopotâmia e regiões adjacentes ...................... 10 
1.5. A história da Geometria no Egito ..................................................................... 11 
1.6. A história da Geometria na Grécia ................................................................... 13 
1.7. A história da Geometria na Fenícia.................................................................. 14 
1.8 Breve histórico de Euclides .............................................................................. 15 
1.9 Breve histórico de Arquimedes ........................................................................ 16 
2 MODELO DE SISTEMATIZAÇÃO DA MATEMÁTICA ......................................... 18 
2.1 Raciocínio ........................................................................................................... 18 
2.2 Raciocínio indutivo .............................................................................................. 18 
2.3 Analogia ............................................................................................................. 19 
2.4 Raciocínio dedutivo ............................................................................................ 20 
2.5 A Escolha dos Axiomas ...................................................................................... 21 
3 FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA ...................................................................... 25 
3.1 Ponto, ................................................................................................................ 25 
3.2 Reta .................................................................................................................... 26 
3.2.1 Posições Relativas de Retas .......................................................................... 27 
3.2.2 Semi-Reta ......................................................................................................... 7 
3.2.3 Segmentos Consecutivos ................................................................................ 28 
3.2.4 Segmentos Adjacentes .................................................................................... 28 
3.2.5 Medida de um segmento ................................................................................ 28 
3.2.6 Ponto Médio de um segmento ......................................................................... 29 
3.3 Plano ................................................................................................................... 29 
4 TEOREMA ANGULAR E LINEAR DE THALES ................................................... 31 
4.1 Segmentos proporcionais .................................................................................. 31 
4.2 Feixe de Paralelas .............................................................................................. 31 
4.3 Teorema 1 .......................................................................................................... 31 
4.4 Teorema 2 ......................................................................................................... 32 
4.5 Teorema 3 .......................................................................................................... 32 
4.6 Teorema 4 BD é bissetriz do ângulo B ............................................................... 33 
5 ÂNGULOS ............................................................................................................. 34 
5.1 Transformação de uma medida complexa em simples ....................................... 34 
5.2 Transformação de uma medida simples complexa: ........................................... 35 
5.3 Ângulos Congruentes ........................................................................................ 35 
5.4 Bissetriz .............................................................................................................. 36 
5.6 Ângulo Reto, Agudo e Obtuso ........................................................................... 36 
5.7 Ângulos Complementares, suplementares e opostos ....................................... 36 
5.8 Ângulos formados por duas Retas Paralelas e uma Transversal ...................... 37 
5.9 Exercícios Propostos de ângulos e medida de ângulos...................................... 38 
6 POLÍGONO ........................................................................................................... 39 
6.1 Polígono Convexo .............................................................................................. 39 
2 
 
 
6.2 Classificação dos polígonos .............................................................................. 39 
6.3 Polígono Regular ............................................................................................... 39 
6.4 Perímetro ............................................................................................................ 40 
6.5 Número de Diagonais de um Polígono ............................................................... 40 
6.6 Aplicações propostas de Polígonos .................................................................... 40 
7 TRIÂNGULOS ...................................................................................................... 42 
7.1 Classificação dos Triângulos .............................................................................. 42 
7.2 Outros Elementos de um Triângulo .................................................................... 43 
7.3 Triângulos Congruentes ...................................................................................... 44 
7.4 Casos de congruência ....................................................................................... 44 
7.5 Condições de Existência de um Triangulo. ......................................................... 45 
7.6 Semelhança de Triângulos ................................................................................ 45 
7.7 Casos de Semelhança de Triângulos ................................................................. 46 
7.8 Teorema de Pitágoras ....................................................................................... 47 
7.9 Exercícios propostos de triângulos ..................................................................... 48 
8 CÍRCULO .............................................................................................................. 49 
8.1 Definição de Circunferência ................................................................................ 49 
8.2 Pontos Internos e Externos ................................................................................ 50 
8.3 Definição do Círculo ........................................................................................... 50 
8.4 Posições Relativas de uma Reta e uma Circunferência .................................... 50 
8.5 Propriedade da reta tangente: ............................................................................ 51 
8.6 Posições Relativas de Duas Circunferências .................................................... 52 
9 RELAÇÕES MÉTRICAS CÍRCULO ...................................................................... 53 
9.1 Relação entre duas cordas ................................................................................. 53 
9.2 Relação métricas das secantes .......................................................................... 53 
9.3 Relação métrica entre secante e tangente .........................................................53 
9.4 Exercícios propostos de Círculos........................................................................ 54 
10 QUADRILÁTERO ................................................................................................ 55 
10.1 Soma dos lados Internos de um Quadrilátero .................................................. 55 
10.2 Paralelogramos ................................................................................................. 55 
10.3 Trapézio ............................................................................................................ 55 
10.4 Base Média de um Trapézio ............................................................................. 56 
11 REVISÃO E APROFUNDAMENTO ..................................................................... 57 
12 CONCLUSÃO ...................................................................................................... 62 
 REFERÊNCIAS .................................................................................................. 63 
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APRESENTAÇÃO 
 
O trabalho de organização lógica dos conhecimentos geométricos foi criado 
pensando em privilegiar a Matemática, como atividade humana; buscando o 
entendimento da compreensão da importância da axiomática na construção de teorias 
matemáticas, em especial da consistência da Geometria Euclidiana. Há de se 
determinar, ainda, a inclusão neste trabalho, o raciocínio matemático através do 
exercício de indução e dedução de conceitos geométricos, a leitura com redação de 
matemática, com destaque a visão do aluno nos objetos planos e espaciais. 
Esta atividade acadêmica tem como proposta trazer, de forma organizada, 
algumas ideias e alguns estudos feitos sobre recurso e temas que fazem parte do 
currículo de Matemática no ensino superior. 
 Os exercícios oferecidos, correspondentes aos conteúdos, tratam-se de 
exercícios de fixação, ou seja, tarefas para esclarecer melhor o assunto e que o aluno 
conseguirá resolver com uma mera revisão do conteúdo e que não se fixe só na 
resolução, mas na sua aplicabilidade . Isso, é claro, não impede que ele busque, em 
outras fontes, as informações necessárias para uma resposta mais aprofundada, com 
não impede que o docente proponha outras tarefas acadêmicas em torno dos pontos 
tratados em cada capítulo. 
Certas atividades aparecem como uma sequência, no entanto, a maioria delas 
pode ser desenvolvida de modo independente e no momento em que o aluno julgar 
mais adequada a sua necessidade de aprendizagem, pois, os exercícios oferecidos 
levam também em consideração a não utilização de uma linguagem excessivamente 
técnica ou destinada apenas a especialistas. O intuito é possibilitar a compreensão da 
Geometria, porque o próprio ato de compreender é um processo ativo, produtivo, em 
que conhecimentos anteriores, resultantes dos anos escolares (o que foi aprendido no 
Ensino Fundamental e Médio), modificam-se por um processo contínuo em que, quanto 
maiores forem as informações. 
Não há pretensão de esgotar o assunto neste caderno, e sim, simplesmente de 
auxiliar na compreensão do desenvolvimento do raciocínio geométrico. 
 As sugestões e críticas que visem aprimorar este trabalho serão sempre bem 
vindas. 
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INTRODUÇÃO 
 
Sabe-se que a constituição do espaço pelo homem está na relação com o 
número que o cerca e que estas relações são de diferentes origens: lógico-
matemáticos, sociais, físicas, afetivas e que o meio que nos rodeia e essencialmente 
econômico. A todo o momento estamos conhecendo, explorando e nos posicionando 
em um determinado espaço, dentro de vários pontos referenciais e são estas vivências 
que fornecerão elementos para que o homem construa as relações espaciais, nesse 
sentido, a Geometria assume um importante papel para o desenvolvimento de 
habilidades e competências tais como a percepção espacial, a resolução de problemas 
e o fato de a Geometria está relacionada à formação humana geral, ou seja, a de 
promover valores culturais e estéticos importantes para uma melhor compreensão e 
apreciação das obras do homem ou da natureza. 
Diante desse pressuposto, encontra-se neste caderno um leque de objetivos 
específicos que contribuirão significativamente para o entendimento do uso da 
Geometria Euclidiana em sua origem e história, como modelo de sistematização da 
Matemática, através de medição de segmentos e ângulos, grandezas comensuráveis, 
triângulos especiais, perpendicularismo e paralelismo. A Geometria neutra e as 
consequências do axioma das paralelas, semelhanças, círculos, inscrição e 
circunscrição de polígonos e axiomas da Geometria Euclidiana Plana. 
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1 ORIGEM E HISTÓRIA DA GEOMETRIA 
 
1.1 Desenvolvimento da matemática 
 
Considera-se que a era da matemática grega se iniciou no sétimo século antes 
de cristo, com o desenvolvimento da cidade de Mileto, onde é atualmente a Turquia. 
Esta cidade foi o principal centro comercial entre as doze cidades que formaram a 
confederação jônica, e pensa-se que ela tenha sido fundada como colônia de Atenas. 
Mileto foi uma das primeiras cidades ocidentais a adotar o uso de moedas. Nessa data 
(700 a.c.), tudo indica que a famosa matemática grega se limitava ao essencial para 
operações comerciais, havendo dúvidas se os comerciantes sequer sabiam multiplicar 
números inteiros. A aritmética se restringia a contar, somar ou subtrair números inteiros 
e fazer “mágica e misticismo” com os números, coisas importadas dos fenícios, que, 
por sua vez, as importaram do oriente. Como é que uma matemática 1500 anos 
atrasada em relação à das outras sociedades chegou a ser a verdadeira matemática? 
A aritmética para o comercio e todas as atividades mercantis foram 
desenvolvidas independentemente ou paralelamente em todas as sociedades 
ocidentais e orientais. A geometria intuitiva era universal, sendo que alguma forma do 
teorema de Pitágoras era conhecida desde o Egito ate a china. Entretanto, foi somente 
na sociedade grega que a geometria, e por conseqüência toda a matemática, foi 
estudada como uma ciência lógica. Os gregos foram os primeiros a adotar um sistema 
de demonstrações e de considerar que o desenvolvimento da matemática deveria ser 
uma seqüência de proposições e definições ordenadas logicamente e seguindo uma da 
outra através de argumentos lógicos. Outro fato que levam muitos a dar aos gregos o 
titulo de criadores da geometria é que toda a matemática grega era baseada 
exclusivamente em técnicas geométricas. Na matemática grega, achamos os primeiros 
indícios da teoria dos números, de limites, integrais e de álgebra, mas quase sempre 
trabalhados usando técnicas geométricas. 
É difícil dizer quando e como a matemática começou. Sabe-se que no final da 
idade da pedra os povos já a usavam. Não é possível tirar conclusões muito precisas e 
detalhadas baseadas em algumas pinturas em cavernas ossos, e pedras marcadas, 
mas os arqueólogos nos dizem que os povos antigos viviam em bandos migratórios ou 
semi-migratorios relativamente grandes. Deveria conhecer a geometria básica, saber 
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contar e ter uma aritmética rudimentar que fosse suficiente para seu uso. Recuando ate 
aproximadamente quatro mil anos antes de cristo, no entanto, poderemos ter uma idéia 
mais clara da matemática utilizada em cada região do mundo. 
Naquela época, a civilização já tinha desenvolvido um sistema complexo de 
escrita e de construção. Sobrevivem ate hoje construções ornamentadas e copias 
escritas de problemas matemáticos. Também havia a produção de metal puro, e, 
portanto, a necessidade de um sistema de peso e medidas. As sociedades já contavam 
com vários milhões de pessoas, o que exigiu um sistema de enumeração e aritmética 
para o controle da população, cobrança de impostos e operações de abastecimentos 
de alimentos, água etc.Em 300 a.c, havia já estruturas de pedra, tijolo e navegação 
atravessando o mediterrâneo,o que exigiu uma geometria refinada para topografia, 
navegação e agrimensura. 
Grosso modo, existiram seis grandes civilizações antigas: a chinesa, a indiana, a 
mediterrânea, a mesopotâmia e a do vale do rio Nilo. Havia ainda uma outra civilização 
no vale do rio me Kong, mas que sumiu sem deixar historia matemática. 
Aparentemente, a civilização chinesa começou às margens dos rios amarelo e yang - 
tse, mais ou menos na mesma época em que as civilizações dos vales dos rios 
Nilo,tigre e Eufrates, e bem antes da grega. 
 
 
Geo informa: 
 “A Geometria, como qualquer sistema 
dedutivo é muito parecida com um jogo”. 
 
 
1.2 A história da Geometria na China 
 
A historia da matemática na china é incerta. Vamos mencionar algumas datas, 
mas muitas delas podem estar erradas. O calendário foi alterado várias vezes e fatos 
históricos e lendas se misturaram porque só foram registrados por escrito centenas de 
anos mais tarde, depois de terem sido transmitidos (e talves alterados ) oralmente por 
séculos. Há discordância de ate 1500 anos sobre a data de certos fatos na china 
antiga. 
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No ano 213 a.c, o imperador Shi Huang-ti, decidiu ser o responsável por todo o 
conhecimento na china. Para resolver o problema de o que fazer com o conhecimento 
já existente, ordenou que todos os livros fossem queimados e que os homens de 
conhecimento que resistissem a isso fossem enterrados vivos. Assim, todo o 
conhecimento seria recriado a partir daquele momento, e ele, Shi –Huang seria o pai 
da ciência chinesa. É claro que uma ordem dessa natureza não podia ser 
completamente obedecida. Muitos livros foram perdidos, mas outros sobreviveram em 
sua forma original ou em forma de copias feitas após o ano 213 a.C. 
Da historia antiga chinesa não há informação detalhada sobre a matemática 
desenvolvida nessa época.Entretanto, sabe-se que Fuh- hi estimulou investigações 
astronômicas e que havia algum tipo de geometria descritiva e uma forma de 
trigonometria. Há um manuscrito do segundo milênio antes de Cristo, o Chou Pei, 
porém, sem qualquer comentário ou demonstração, mas que sugere acontecimento do 
teorema de Pitágoras. 
Há indícios de que já no inicio do segundo milênio antes de cristo, a 
agrimensura, a geometria, a trigonometria (pelo menos de triângulos retângulos) e a 
topografia eram bastante desenvolvidas. Em 2200 a.c, o vale do rio amarelo, fértil e de 
fácil cultivo, já estava sendo extensivamente utilizado para agricultura, permitindo fartas 
colheitas. O rio Amarelo era conhecido como o rio das lamentações, devido ás 
freqüente e violentas enchentes que provocava. A construção de um sistema de 
diques, canais e açudes ao longo do vale. Não mais provocava enchentes desastrosas 
e se mantinha dentro do seu leito regular. Uma obra deste porte não podia ser 
concluída sem um planejamento central, o que, por sua vez, exigia o uso da 
matemática e principalmente da geometria. 
A obra da matemática chinesa mais antiga que sobrevive ate hoje é Nove 
capítulos sobre a arte matemática. Sua data é incerta, mas acredita-se que ela foi 
escrita logo apos a queima dos livros em 213 a.c , e que representa o estado dos 
conhecimentos matemáticos na china da época. Esta obra , como indica seu titulo, foi 
dividida em nove partes. Uma outra versão sobre o calculo de áreas de figuras planas. 
Uma outra mostra métodos para obter o comprimento dos lados de figuras a partir de 
sua área (raiz quadrada). Outra fala ainda sobre volumes. Outra delas contem 
considerações sobre o triangulo retângulo, e as demais falam de tópicos não 
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geométricos da matemática. A matemática dessa obra é comparável em qualidade com 
os resultados conhecidos no ocidente à época. 
Nove capítulos mostram o que atualmente consideramos uma falha seria no 
desenvolvimento da matemática chinesa. Eles contem 246 problemas específicos sem 
nenhuma sistematização ou abstração. Isso nos leva a acreditar que a matemática 
chinesa era puramente experimental, sem qualquer preocupação com demonstração 
das propriedades usadas. Eles tinham, por exemplo, formulas correta para área de 
triângulos, retângulos e trapézio, mas usavam 3/4d2 para a área da circunferência de 
diâmetro D. Isso nos dá o valor de 3 para pi, coisa reconhecidamente falsa ate para os 
chineses da época, que conheciam aproximações melhores para pi , tais como 3,1547, 
raiz quadrada de 10,92/29 e 142/45. 
Infelizmente, não há indícios de progresso significativo no estudo da geometria 
plana na china posterior a essa obra. As rupturas violentas e abruptas na sociedade e 
na política chinesa , aliadas ao alto grau de misticismo existente entre aquela 
população , certamente prejudicaram avanços científicos e desestimularam o 
pensamento racional necessário a uma matemática rigorosa. 
 
1.3 A história da Geometria na Índia 
 
A historia da matemática na índia é ainda mais incerta que a da matemática 
chinesa. A escrita de textos matemáticos só foi feita a partir da invasão mulçumana no 
século 7 d.c, muito depois do período que está sendo considerado aqui. Os registros 
que existem foram completamente contaminados com erros introduzidos através de 
lendas religiosas. Alegava-se que uma obra foi escrita no ano 2165000 a,c , 
provavelmente pelos ancestrais dos dinossauros , que aparecem a partir de 1900000 
a.c .Apesar da confusão de datas, pode-se concluir que havia um calendário preciso e 
uma astronomia rica para a época , o que evidencia uma matemática refinada . Há 
vestígios de que as sociedades indiana e chinesa tinham um forte intercambio religioso, 
comercial e cientifico. O mesmo desenho Pitagórico que apareceu na china é 
encontrado em manuscritos em sânscrito na índia. Nota-se que todos os zodíacos têm 
12 símbolos, e isso pode ser explicado por um intercambio cientifico China-Índia-
mesopotamia-mediterraneo. De toda forma, a índia contribuiu significativamente para o 
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desenvolvimento da matemática, mas suas contribuições são já da era cristã e, por 
isso, não se enquadraram nesta revisão dos tempos iniciais da matemática. 
 
 
 
 
1.4 A história da Geometria na Mesopotâmia e Regiões Adjacentes 
 
Vamos olhar para uma região que atualmente inclui Iraque, Jordânia ,Palestina, 
Síria, Parte do Irã e a Península Arábica. De acordo com o que conhecemos a 
civilização dos Sumérios por volta de 3250 a.c migraram, provavelmente do Irã, e 
começaram a se casar com a população nativa. Mas ao invés de assimilarem a cultura 
local, esta assimilou a deles, a língua e os costumes, então, passaram a ser os do 
Sumérios. Este povo utilizava um sistema de escrita em tabuleiros de barro, conhecido 
como escrita cuneiforme, que foi largamente adotado por quase dois mil anos. A partir 
deles, pode-se concluir que eles tinham um sistema de enumeração desenvolvido, uma 
aritmética rica, uma astronomia refinada e um calendário aceitável. 
A sociedade Suméria persistiu ate o século 18 a.c quando foi engolida por uma 
nova sociedade que denominamos de Babilônios. Embora a sociedade dos Sumérios 
tenha sido extinta sua cultura, ciência e matemática não o foram, os Babilônios 
simplesmente as englobaram na sua cultura, quase sem alteração. Esta extensão da 
cultura suméria durou mais de 12 séculos. Portanto, faremos um breve relato unificado 
das duas sociedades. 
Os Sumérios-Babilônios mapearam as terras e construíram represas, aquedutos 
e canais de irrigação desenvolveram habilidades em agrimensura e na confecção de 
plantas para suas construções. Aprimoraram a metalurgia, produziram tintas, 
pigmentações perfumes e pano fel trado. Um documento dessa civilização, traduzido 
recentemente, e que foi usado como texto nas escolas, é um tipo de almanaque para 
agricultores com instruções para plantio e colheita e informações sobre técnicas para 
irrigar as plantações e joeirar os grãos colhidos. 
Esses tipos de atividades exigem uma geometria bem desenvolvida,a confecção 
de instrumentos de medida, medidas padronizadas para comprimento, área, 
capacidade volumétrica e peso. Requerem também uma aritmética sofisticada, 
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envolvendo proporções (números racionais) e a solução de equações de primeiro grau, 
o que acarreta, por exemplo, um interesse em números negativos. 
Tabuletas de barro, principalmente as encontradas em Nippur, indicam que a 
geometria dessa sociedade tinha sido amplamente desenvolvida. Eles sabiam calcular 
as áreas de figuras como o quadrado, o retângulo, o triangulo retângulo, o circulo e o 
trapézio e os volumes de figuras como paralelepípedos e cilindros. Alem disso, sabiam 
expandir expressões do tipo (a + b)2. Há indícios de que conheciam o Ábaco. 
Da mesma forma que no caso dos nove capítulos, da china, as tabuletas de 
barro dos Sumérios não mostram qualquer desenvolvimento sistemático da geometria 
ou da matemática em geral. Eles usaram uma formula de área de quadriláteros que, 
apesar de valida para trapézios, não vale em geral. Sua matemática apresenta outro 
incomodo para nós que queremos estudar a geometria: toda ela, a geometria incluída, 
era baseada na aritmética. 
O último império Sumério foi o império dos Kaldi, que durou pouco tempo, 
aproximadamente 60 anos, mas durante sua existência deu forte estimulo para as 
ciências e para a matemática. Da sua astronomia, eles concluíram que a terra era uma 
esfera e dividiram-se em 360 meridianos, um para cada dia do ano do seu calendário. 
Eles progrediram o suficiente na sua astronomia para precisar de medidas para 
pequenos ângulos e espaços de tempo. A circunferência foi dividida em 360 graus, 
cada grau e hora foram divididos em 60 minutos e cada minuto em 60 segundos. Esta 
sistemática para a medição de ângulos e tempo continua ate hoje. 
 
1.5 A história da Geometria no Egito 
 
Embora existia informação confiável sobre grande parte do desenvolvimento 
matemático do Egito antigo, Há muita controvérsia a respeito do seu valor cientifico. O 
vale do rio Nilo forneceu um ambiente protegido, isolado e propicio para o 
desenvolvimento de uma sociedade. O clima árido contribuiu para a preservação de 
muitas de suas relíquias. Pinturas de parede do quarto milênio a.c mostram uma arte 
muito mais avançada que a das outras sociedades e pressupõe-se o mesmo de sua 
ciência e matemática. 
Houve avanços extraordinários na construção civil em 300 a.C. No espaço de 
200 anos, os egípcios passaram da construção da primeira estrutura de tijolos ate a 
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construção de grandes pirâmides. O planejamento dessas obras exigiu uma 
engenharia competente e, por conseqüência, uma matemática refinada. 
Notamos que, nas grandes pirâmides, o erro Maximo dos comprimentos dos 
lados é 0,63 polegadas ou 0,0000714 por cento e que o erro Maximo nos ângulos da 
base é doze segundos ou 0,00003375 por cento de um ângulo reto. Os ângulos de 
inclinação das três grandes pirâmides são respectivamente, 51 51,52 20 e 51 graus, o 
que representa uma variação de 0,0001822 por cento nas alturas. A precisão na 
construção dessas três pirâmides não pode ser atribuída a métodos rústicos de 
construção ou ao famosa olho metro. Havia necessidade de uma topografia refinada 
e,portanto, de uma geografia avançada.É razoável concluir que os egípcios conheciam 
uma forma do teorema de Pitágoras e sabiam trabalhar com triângulos semelhantes , 
mas não tinham medidas de ângulos ou não tinham instrumentos para medi-los com 
precisão. Certamente não tinham teodolitos, porque não tinham o vidro. 
Há duas outras evidencia fortes do desenvolvimento da geometria no Egito. O 
império estava situado no vale do rio Nilo e as cheias deste rio tinham uma importância 
fundamental nas suas vidas – sua agricultura dependia delas. Foi adotado um sistema 
de nilômetro para medir a altura das cheias em vários pontos ao longo do rio. 
Engenheiros egípcios conseguiram colocar um serie de marcadores ao longo de um 
trecho de 1200 quilômetros do rio, desde o mar ate a primeira catarata. Estes 
marcadores estão todos abaixo do nível mais baixo do rio, sobem em altura desde o 
mar ate as cataratas e estão todos no mesmo plano. Este é um trabalho para testar a 
competência de topógrafos usando equipamentos modernos. Ele seguramente exigiu 
uma geometria e uma aritmética refinada. 
A segunda evidencia é a divisão da terra arável por Ramses II por volta de 1350 
a.c Heródoto , nos deixa o seguinte relato: 
 
 “... fez uma divisão das terras do Egito entre seus habitantes , 
dando a todos lotes quadrados de áreas iguais e obteve sua 
renda principal do aluguel que os usuários eram obrigados a lhe 
pagar cada ano. Se o rio levasse uma parte do lote de uma 
pessoa , ele aparecia diante do rei e relatava o acontecido; feito 
isso, o rei mandava pessoas pra medir a perda exata. A partir dali, 
a pessoa só pagava aluguel proporcional à parte do lote que lhe 
restou.” 
 
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Este tipo de medição exigia uma geometria e uma aritmética sofisticada, bem 
como um sistema de medidas de grandes precisões. 
Apesar destes sucessos práticos, há criticas muito fortes contra a matemática 
egípcia, ate o ponto de alguns historiadores afirmarem que não existia matemática no 
Egito, Este desprezo pode ser explicado da seguinte maneira. Se examinarmos os 
papiros de Rhind ou os de Moscou, notaremos que eles contem extensos trabalhos 
matemáticos, mas nem um único teorema, definição ou argumento formal e geral. 
Encontramos uma seqüência de exercícios numéricos específicos para exemplificar 
cada idéia. Esta mesma critica também foi aplicada aos chineses e babilônios, mas 
com menos violência. Conforme os padrões matemáticos modernos (pos grego), isso 
constitui falta grave, porque a matemática tem que ser fundamentada e provada – uma 
exigência despercebida pelos egípcios. Os historiadores gregos foram generosos com 
os egípcios, mas os historiadores modernos ignoram esta sociedade completamente e 
é comum ouvir pessoas afirmarem que a geometria (ou ate a matemática) é invenção 
dos gregos. 
 
1.6 A história da Geometria na Grécia 
 
Quatro civilizações surgiram no mediterrâneo na mesma época em que os 
egípcios e babilônios: a de tróia e outras cidades na Ásia menor, a de Malta, a 
civilização Minoica de Creta e Chipre, e a das cidades fortificadas na palestina e síria. 
Infelizmente não há quase nenhuma informação especifica sobre a matemática deles. 
É possível que, em breve, tenhamos alguma informação sobre a sua 
matemática. Foi somente na década de 1950 que os arqueólogos começaram a 
estudar a cultura minoica mais seriamente. Pinturas nas paredes das ruínas e os 
trabalhos sofisticados em pedra nas suas construções indicam uma cultura bastante 
adiantada nas áreas de engenharia e arte. De outras culturas nos ares ocupadas pelos 
minoicos. Os curiosos podem fazer suas próprias pesquisas. 
Os habitantes originais da Grécia emigraram das áreas da eurásia ao norte e 
leste do mar negro. Este povo, conhecido como macenico, trouxe consigo sua tradição 
na fabricação de artefatos (e armas) de bronze, bem como um estilo de vida querreira. 
De fato, eles se dedicavam à pirataria e pilhagem de vez em quando; eles foram 
conhecidos como o povo do mar e considerados piratas perigosos pelas outras 
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civilizações, chegando a tentar invadir o Egito na época do faraó Ramses II. Eles 
dominaram a Grécia de 1600 a.C ate 1100 a.C. e absorveram o que restou da 
civilização minóica. São estes os gregos da Ilíada e da Odisséia, de Homero. Invasões 
de tribos da Macedônia forçaram os dórios, pastores nômades, atacaram e capturaram 
quase todas as cidades Mecenicas, sendo Atenas a única cidade importante a escapar. 
Assim havia dois grupos dominantes na Grécia, os dórios, principalmente de 
Esparta, e os Jonios de Atenas, o que acarretou uma instabilidade política na região 
por muitos séculos. Foram estes Jonios de Atenas que fundaram umaserie de cidades 
na costa da Ásia Menor, entre elas a cidade de Mileto. Tudo isso se deu em torno de 
1100.a. C ate 1000 a.C. 
 
1.7 A história da Geometria na Fenícia 
 
Nessa mesma época desenvolveram-se sociedades no Líbano e Israel, os 
fenícios. Não se tem noticia de trabalhos matemáticos seus, porem ambas as 
sociedades tinham conhecimento da matemática tanto da babilônia quanto do Egito. 
Seguramente os fenícios deveriam ter uma aritmética avançada para sustentar seu 
comercio. Diz-se que a cidade de Jerusalém era a mais fortificada do mundo. Isso 
também exigiria uma engenharia civil competente, o que necessariamente demandaria 
conhecimentos matemáticos básicos. Na bíblia, no relato da construção do templo de 
Salomão, há menção de um disco circular de diâmetro 10 e circunferência 30, o que da 
pi igual a 3, seu valor pratico no Egito. É quase certo que essas sociedades não 
desenvolveram conhecimentos matemáticos próprios, mas conheciam e usavam a 
matemática dos vizinhos. 
Há um detalhe interessante sobre os fenícios. Manuscritos informam que eles 
circunavegaram a áfrica em 540 a.c, uns dois mil anos antes dos portugueses. 
Supostamente eles partiram da mar vermelho e, apos três anos, retornaram pelo 
estreito de Gibraltar. 
Bem, temos de um lado os gregos, que dependeram dos fenícios para fornecer-
lhes um alfabeto e estavam isolados num canto norte do mar mediterrâneo, e temos os 
hebreus e fenícios sentados no meio do caminho entre o Egito e a babilônia. Os gregos 
fizeram contribuições marcantes para a matemática enquanto os hebreus os fenícios 
foram esquecidos pela a historia. Por que? 
14 
 
 
Muitos tem hábitos de dizer que a matemática(geometria) começou com os 
gregos, o que é um exagero. Já mencionamos algum desenvolvimento antes do ano 
1500 a.C. e , neste período, a Grécia era habitada por tribos de seminômades, nos 
quais, de acordo com Thucydides, “...cada homem cultivava sua terra somente de 
acordo com suas necessidades imediatas”. 
 
 
Geo informa: 
 “É necessário aceitar algumas regras básicas que dizem respeito 
às relações que satisfazem estes elementos, 
as quais são chamadas de axiomas 
 
 
1.8 Breve histórico de Euclides 
Não há informação sobre as datas e os locais de nascimento e morte de 
Euclides. De fato, não se sabe coisa alguma sobre sua vida particular, salvo alguns 
fragmentos em comentários escritos séculos apos sua vida. Aparentemente, ele viveu 
em torno de 300 a.C. pensa-se que estudou na escola de Platão em Atenas. Euclides é 
o geômetra mais famoso de todos os tempos e sua obra Os Elementos é o livro com a 
maior tiragem, salvo a bíblia. Entretanto, como é o caso de quase todos os livros 
textos, Os Elementos não contem muitas contribuições originais do autor. Seu mérito e 
fama residem no fato de que ele organizou toda a geometria existente na época numa 
maneira lógica, com uma linguagem uniforme e um desenvolvimento racional. É 
interessante notar que os elementos só foi impresso em 1482 em Veneza e teve de ser 
traduzido do Árabe para o latim. 
 
 
Geo informa: 
 “Elementos” (composto de 13 volumes), ao lado da Bíblia é sem 
dúvida o livro mais reproduzido e estudado de todos os que 
foram escritos na história do mundo ocidental. 
 
15 
 
 
 
 
Aparentemente, Euclides mudou-se da Grécia para Alexandria, no Egito. À 
época, Alexandria era uma colônia Grega e governada por Ptolomeu. Lá ele participou 
do desenvolvimento da Escola de Alexandria, que se tornaria a escola de maior 
qualidade cientifica e a mais bem sucedida do mundo antigo. Por exemplo, sua 
biblioteca tinha 700.000 volumes num período em que livros eram copiados a mão, em 
papiro ou pergaminho. 
Mesmo que a fama de Euclides se baseie em Os elementos, esta não foi sua 
única obra. Infelizmente, a grande parte dos trabalhos originais de Euclides foi perdida, 
mas alguns sobreviveram ou intactos ou em fragmentos. Estas obras incluem data, 
sobre assuntos que chamamos hoje de analise, e sobre a divisão de figuras, sobre a 
geometria pura. Outras obras, tais como Pseudoárea , As Cônicas e As Superfícies, 
foram perdidas, restando somente comentários pouco informativos sobre seu conteúdo. 
Euclides também trabalhou em áreas da matemática aplicada e duas obras ainda 
existem: Phaenomena e Ótica, ambas sobre astronomia. Alem dessas, ele escreveu 
sobre a música, do ponto de vista da matemática e da teoria dos números. 
Devido aos esforços de Euclides, a geometria grega plana foi unificada e 
organizada em Os elementos e passou a ser o modelo para o resto do mundo, sendo 
que seu conteúdo e estilo dominaram a matemática ocidental ate o século 17 d.C. 
 
1.9 Breve histórico de Arquimedes 
 
Importante mencionar ainda mais um matemático, Arquimedes (287 – 212 a.C). 
Há indícios de que ele estudou na escola de Alexandria e, enquanto no Egito, 
descobriu o método de bombear água, chamado de parafuso, hélice ou rosca de 
Arquimedes. Arquimedes foi uma das poucas exceções na tradição geométrica da 
matemática grega. Ele não viu a matemática como um estudo em si e para si, mas 
como uma ferramenta para resolver problemas do mundo real (note o confronto direto 
com a filosofia de Platão). Tinha por objetivo achar e utilizar modelos matemáticos para 
atividades físicas. Este enfoque o levou a abandonar os argumentos exclusivamente 
16 
 
 
geométricos em favor de argumentos analíticos ou algébricos. Seus trabalhos nesta 
área lhe valeram o título de Pai da Matemática Aplicada. 
Arquimedes era um matemático adiantado para sua época. Além de romper com 
a tradição geométrica em favor da análise e álgebra, o caminho do futuro (dele, e 
presente nosso), ele iniciou os trabalhos em assuntos que foram resolvidos somente 
em tempos modernos. Ele foi o primeiro a formular uma definição coerente de 
continuidade e alguns de seus trabalhos envolvem tratamentos informais do que 
conhecemos hoje como limites e integrais. Infelizmente, apesar da sua visão e 
habilidade matemática, ele não avançou muito nestas áreas; ele sozinho não podia 
fazer o que foi feito somente no período de 1450 a 1650 d. C. e por centenas de 
matemáticos – inventar o cálculo. Muitas das obras de Arquimedes foram perdidas, 
mas as seguintes permaneceram: 
 Sobre a Esfera e o Cilindro 
 Medidas do Círculo 
 Sobre Conóides e Esferóides 
 Sobre Espirais 
 Sobre Equilíbrios Planos 
 Psammites 
 Quadratura da Parábola 
 Corpos Flutuantes 
 Stomachion 
 O Método 
 
Geo informa: 
De acordo com a história, existem várias 
geometrias distintas dependendo do conjunto 
de axiomas fixado. A geometria que iremos 
estuda nesta notas é chamada de geometria 
euclidiana. 
17 
 
 
2 MODELO DE SISTEMATIZAÇÃO DA MATEMÁTICA 
 
2.1 Raciocínio 
 
Chegamos ao raciocínio lógico, a metodologia que pretendemos prestigiar. O 
raciocínio lógico é dividido em três ramos principais: analogia, dedução e indução. 
 
2.2 Raciocínio indutivo 
 
O raciocínio indutivo começa com uma série de casos particulares, dos quais 
pretendemos induzir algum princípio mais geral. 
Os povos antigos notaram que o sol nascia toda manhã no leste e se punha toda 
tarde no oeste. Assim, induziam que o sol sempre nasceria no leste. 
Nas ciências físicas e biológicas, pesquisadores freqüentemente usam este 
método. Eles notaram em centenas de experiências que um certo fungo mata bactérias 
estreptococos e induziram que a penicilina serviria como remédio contra pneumonia. 
Um físico tentou fabricar um cronômetro e estudou detalhadamente o comportamento 
de molas. Dos resultados deste estudo temos a Lei de Hooke para molas. 
Em resumo, o raciocínio indutivo é usado para tentar estabelecer verdades 
gerais a partir de uma série de verdades específicas, obtidas geralmente por 
observações. 
Este tipo de raciocínio às vezes consegue trazer ordem num assunto antes em 
total desordem, mas ele tem um ponto fraco. Observamosque as praias de Coqueiros, 
Cacupé, Saco Grande, Saco dos Limões, de Fora e do Canto são poluídas e induzimos 
que todas as praias de Florianópolis são poluídas e impróprias para banhistas. Nossa 
conclusão é falsa porque a praia de Campeche não é poluída. Veja que apontamos um 
fato para o qual os dados não são suficientes. Todas as praias na lista de praias 
poluídas estão na baía, e Campeche é praia de mar aberto. Há uma variável nesta 
amostra de praias que não tínhamos percebido e ela impede que cheguemos a uma 
conclusão tão geral. 
Induzimos, então, que todas as praias da baía são poluídas. Acontece que a 
praia do Forte está na baía e não está poluída. Induzimos a lei de Hooke sobre molas e 
ela funciona; induzimos a Lei da Poluição e ela não funciona. Socorro! 
18 
 
 
Aparentemente, o máximo que o raciocínio indutivo pode fornecer é uma teoria 
geral com alto grau de probabilidade de estar correta. 
Einstein sempre falava que as leis da relatividade valerão até o dia em que 
alguém ache um contra-exemplo, exatamente como ele achou contra-exemplos às leis 
de Newton. 
 
2.3 Analogia 
 
Às vezes, raciocinamos por analogia. Observamos uma situação semelhante 
àquela que enfrentaremos e induzimos que o resultado será o mesmo ou pelo menos 
semelhante. 
Semestre passado, quase todos os alunos de geometria foram aprovados e você 
é tão inteligente e esforçado quanto eles; portanto, você também alcançará nota de 
aprovação. Hoje é um dia, ontem era um dia e amanhã também será. Um período de 
vinte e quatro horas contíguas é igual a qualquer outro. Portanto, por analogia, o tempo 
amanhã será o mesmo que hoje. 
 
Geo informa: 
Analogia; do latim analogia, ae ‘proporção, relação, simetria, 
semelhança, conformidade, t. de gram analogia' <gr. analogía, as 
'proporção matemática, correspondência', de análogos, os, on 
'proporcional, que está em relação com, análogo'; ver na(a) - e -logia 
substantivo feminino: qualidade, estado ou condição de análogo; 
 
 
Dedução: do francês déductio n (1361)'id.' e, este, do lat. deductio, ónis der. do 
v. deducère 'deduzir'; ver -duz-; f.hist. 1675 deducção, 1768 deducção; substantivo 
feminino; ato ou efeito de deduzir; inferência lógica de um raciocínio; conclusão, ilação; 
processo de raciocínio através do qual é possível, partindo de uma ou mais premissas 
aceitas como verdadeiras. 
 
Raciocínio por analogia se baseia no princípio de que o universo e tudo dentro 
dele é uniforme, e que condições iniciais semelhantes produzirão resultados 
19 
 
 
semelhantes. Este raciocínio pode até funcionar às vezes, e certamente serve para 
nortear nosso raciocínio, na falta de outros indicadores mais fortes. Infelizmente, 
sabemos que o universo não é uniforme e que condições iniciais semelhantes não 
precisam produzir resultados semelhantes. Com o desenvolvimento de modelos não-
lineares para fenômenos físicos e o uso de recursos computacionais, encontramos 
contradições em toda parte. Encontramos tantas contradições que estamos desen-
volvendo novas técnicas para lidar com elas; a geometria fractal e a teoria do caos. 
 
2.4 Raciocínio dedutivo 
 
Chegamos finalmente ao raciocínio 'dedutivo! A metodologia que usaremos para 
raciocinar. Se você quer provar que uma declaração, cujo nome digamos seja A, é 
verdadeira, você precisa mostrar que uma outra declaração, digamos B, é verdadeira e 
que A segue logicamente dela, ou seja de B. Em resumo: 
 
Se B é verdade, então A é verdade. 
Se há dúvidas sobre a veracidade da sua declaração B, você tem que mostrar 
que ela segue de uma declaração C e que C segue de D e que D segue de E etc., até 
chegar a uma declaração que é aceita como verdadeira. 
 
Se E, então D. Se D, então C. Se C, então B, Se B, então A. 
Quer dizer, o raciocínio lógico dedutivo consiste em provar a veracidade de uma 
declaração exclusivamente baseado na veracidade de outras declarações e no uso de 
regras de inferência. 
Há um problema muito grande neste esquema simplificado na forma como está 
sendo proposto! Você poderá ter uma tarefa ingrata e interminável de produzir cada 
vez mais declarações que levem você à declaração desejada, só para ouvir: "Não 
acredito nisso, nem que sua declaração segue disso". Se não temos um ponto de 
partida e regras de trânsito bem determinadas, não iremos longe. Esta discussão nos 
sugere que há (pelo menos) duas exigências para o bom funcionamento deste método 
de raciocínio dedutivo. 
Exigência 1: Temos a certeza da veracidade de certas declarações chamadas 
de premissas ou hipóteses (ou axiomas ou postulados). 
20 
 
 
Exigência 2: Concordamos no que diz respeito a como e quando uma 
declaração segue logicamente de outra. 
Mas nem estas exigências salvarão você de uma seqüência infinita de 
explicações. Em vez de implicar com a sua declaração, alguém começa a implicar com 
as palavras que você usou. Ele diz que não aceita sua declaração porque não entende 
o sentido de uma das palavras. Por exemplo, se olharmos no dicionário à procura da 
palavra verde, veremos que é uma combinação de azul e amarelo. 
 
Ótimo! Antes você tinha uma palavra problema e agora tem duas. 
Vemos que azul é a cor do céu num dia sem nuvens e que amarelo é a cor de 
âmbar. Bom, o que é céu? Ah, é aquela coisa lá em cima, e se esperarmos um dia ou 
dois (ou vinte, em agosto) o veremos sem nuvens para observar a cor que aparenta ter. 
Entendemos o que é azul; entendíamos o que era azul antes e independentemente da 
nossa tentativa de defini-lo! E o amarelo - âmbar? Continuamos no dicionário e 
descobrimos que âmbar é uma substância resinosa fossilizada de cor amarela. 
 
João: amarelo é a cor de algo que é da cor amarela! 
Não temos esperanças de definir todas as palavras que usaremos dentro do 
nosso sistema. Temos que aceitar a linguagem comum, vocábulo e gramática, e 
identificar certos termos ou símbolos técnicos chamados primitivos cujos significados 
não serão o comum, mas aqueles regulamentados pelos axiomas do sistema. Se não 
fizermos isto, correremos o risco de ter definições que dependem uma das outras ou 
seqüências infinitas de explicações. Isso nos mostra a necessidade de mais uma 
exigência sobre a utilização do método axiomático. 
Exigência 3: Para aplicar o raciocínio dedutivo temos que dominar bem a 
linguagem comum (neste caso, português) e escolher os termos primitivos. 
Este processo de raciocínio lógico dedutivo parece ser infalível, e é. Mas ainda 
falta escolher as declarações iniciais que vamos supor verdadeiras. Vamos voltar um 
pouco à discussão das tais declarações iniciais. 
 
 
 
 
21 
 
 
2.5 A Escolha dos Axiomas 
 
 
Geo informa: 
“Euclides baseou a construção da sua geometria e 
10 axiomas, separamos em dois grupos, cinco como 
noções comuns e os outros como postulados”. 
 
 
Todo o raciocínio dedutivo é baseado em conclusões alcança das a partir de 
declarações iniciais. 
Se eu tivesse um milhão de reais, compraria um carro importado. Tenho um 
milhão de reais. Portanto comprarei um carro importado. 
Neste exemplo, a conclusão segue inexoravelmente das premissas. Meu único 
problema é satisfazer as premissas. Para estudar a geometria plana por via da lógica 
dedutiva, é necessário escolher certas declarações que diremos ser verdadeiras; não 
precisaremos mostrar que seguem de outras, antes de poder começar a raciocinar. 
Estas declarações iniciais são chamadas axiomas ou postulados. Assim, sistema 
axiomático e raciocínio dedutivo estão intimamente relacionados. 
 
Muito bem, precisamos de axiomas. De onde eles vêm? 
Voltemos a nossas considerações históricas por um momento. Como vimos no 
capítulo I, Thales parece ter sido o primeiro matemático grego a se preocupar com 
demonstrações dedutivas. Aparentemente, ele iniciou seus estudos com base nas suas 
experiências com a matemática intuitiva egípcia. Quando chegamos a Euclides, vimosuma geometria exclusivamente dedutiva, supostamente destituída de qualquer 
observação física ou consideração intuitiva. 
Para os gregos platônicos, as coisas que observamos com nossos sentidos não 
são verdadeiras. Elas são imagens distorcidas da verdade pelas imperfeições dos 
nossos sentidos. As únicas verdades eram aquelas concebidas pela razão. Corno 
exemplo, eles desprezavam o estudo da circunferência, porque ela era simplesmente 
um desenho imperfeito no papel; o que merecia estudo era o conceito de circularidade, 
urna idéia abstrata que pode ser tratada somente pela mente. 
22 
 
 
Se eles desprezavam a experiência, e se a lógica dedutiva não pode fazer coisa 
alguma sem um ponto de partida, corno eles começavam o estudo da geometria - de 
onde vieram seus axiomas? Foi aí que fizeram urna espécie de pulo de gato e 
apelaram para a revelação. 
O método socrático de aprendizagem é um método onde o professor faz 
perguntas simples ao aluno até este perceber por ele mesmo a solução do problema. 
Sócrates (e os outros pensadores gregos) acreditava que a pessoa já nascia com estes 
conhecimentos na mente e que era necessário somente lembrá-los. 
Bem, supondo que Sócrates tivesse razão, já que ternos estes conhecimentos 
trazidos desde o nascimento, bastaria escolhermos alguns dos mais evidentes, que 
todo mundo reconhece sem estímulo externo, corno axiomas (e daí usarmos o 
raciocínio dedutivo para alcançar os outros). 
Hoje em dia escolhemos os axiomas iniciais de uma teoria matemática de 
maneira bem diferente: usamos nossa experiência, intuição e percepção. 
No caso de vocês, podem pensar no que aprenderam na Geometria I para 
imaginar como deve ser o plano. Aí, adotamos algumas propriedades do plano 
bastante simples e universalmente aceitas como axiomas. A partir destes axiomas e 
com o uso da lógica dedutiva, tentamos decidir se outras declarações não mais tão 
óbvias são, ou não, verdadeiras. 
A geometria plana é, por definição, o conjunto das declarações verdadeiras que 
seguem destes axiomas. Assim, são os axiomas que definem a geometria e não a 
geometria que define os axiomas. 
É claro que, se você visualiza um jogo, tipo futebol, por exemplo, você adotará 
regras que são compatíveis com sua visão do jogo. Mas mesmo assim, o jogo de 
futebol é aquele regulamentado pelas regras. 
O mesmo acontece com a geometria. Escolhemos os axiomas conforme nossa 
visão do que deveria ser um plano e, se escolhermos mal, teremos que refazer nossa 
escolha (ou aceitar que a geometria não é o que imaginávamos no início). 
Então vamos ao Sistema elaborado por Euclides, no qual ele tenta definir os 
termos primitivos que são, entre outros: 
 
Ponto - sem largura ou comprimento, um lugar no plano e 
Reta - os caminhos em que os pontos são alinhados. 
23 
 
 
 
Os termos pertencer a ou passar por, e estar entre são usados como termos da 
linguagem comum; ele nunca usou a palavra congruente. Notemos que as definições 
acima pouco esclarecem a natureza do objeto que está sendo definido. Neste momento 
é preciso escolher os axiomas - verdades incontestáveis que servem para 
regulamentar o comportamento destes termos e a interrelação deles um com o outro. 
Euclides deu cinco axiomas para a geometria plana (só que ele os chamou de 
Postulados). 
24 
 
 
3 FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA 
 
Para iniciar o estudo da geometria, é necessário primeiramente estabelecer os 
objetivos básicos de estudos. Cabe-nos dizer que os conceitos fundamentais da 
geometria, ponto,reta,plano, não podem ser propriamente definidos. Toda a 
conceituação que se faz deles é circular, ou apela para outros conceitos igualmente 
indefinidos. Por exemplo, Euclides, na obra “Os Elementos”, define uma linha como um 
comprimento sem largura, deixando, no entanto, indefinidos os conceitos primitivos. 
Porem, mesmo sem uma definição matemática precisa, podemos mostrar o quão 
razoáveis estes conceitos são, pois eles são construídos a partir de nossa intuição 
geométrica. 
 
 
Geo informa: 
“A Geometria, como apresentada por Euclides, 
foi o primeiro sistemas de idéias desenvolvido pelo homem”. 
 
 
É importante enfatizar que, muito embora os desenhos sejam úteis para 
resolvermos problemas geométricos, pois conseguem ativar nossa imaginação visual, 
eles são somente meras representações dos objetos matemáticos reais como quais 
estamos lidando. Outro lembrete é que as construções geométricas, que você ira fazer 
ao longo deste curso, são construções gerais e independem das limitações de nossos 
aparelhos de desenhos. Uma das motivações principais para a obra “Os elementos”, 
de Euclides, é exatamente estabelecer fundamentos precisos para todas as 
construções geométricas que possam ser feitas. 
 
3.1 Ponto, 
 
É um objeto que não pode ser decomposto em objetos menores e no qual não 
existe qualquer extensão, isto é, não podemos “nos mover” dentro de um ponto. 
Dizemos que um ponto é um objeto de dimensão zero, ou ainda que um não possui 
graus de liberdade. Em seguida, temos o conceito de linha(não necessariamente reta), 
25 
 
 
em uma linha temos a noção de um objeto matemático no qual podemos nos mover em 
apenas uma direção, isto é, um objeto de dimensão 1, ou unidimensional. 
 
3.2 Reta 
 
É uma linha cujos pontos estão distribuídos de maneira uniforme sobre si . Esta 
definição não pode nos dizer precisamente o que é uma reta. 
Uma reta será definida a partir de quaisquer dois de seus pontos, uma vez que 
todos os pontos de uma reta estão distribuídos de uma maneira uniforme. Uma 
pergunta que podemos fazer é se quaisquer dois pontos podem determinar uma reta. O 
primeiro postulados de Euclides estabelece o seguinte: 
Postulado 1 (Euclides ) - É possível traçar uma reta entre quaisquer dois 
pontos. 
Os postulados de Euclides foram formulados com o intuito de fundamentar as 
construções geométricas tornando-as independentes das limitações dos instrumentos 
de desenhos. Podemos ainda formular o mesmo postulado de uma maneira mais 
sintética, sem a linguagem devida a construções geométricas, da seguinte maneira: 
Postulado 1 (segunda versão) - Dois pontos quaisquer determinam uma única 
reta. 
Definição - dados dois pontos A e B , sobre uma reta, dizemos que o segmento 
AB, é o conjunto de pontos formado por A, B e por todos os pontos A e B. 
Postulado 2 (Euclides) - É possível traçar uma reta finita continuamente em 
qualquer linha reta. 
Podemos formulá-lo novamente em uma linguagem que independa de 
construções geométricas como: 
Postulado 2 (segunda versão) - É sempre possível estender arbitrariamente 
qualquer segmento a partir de qualquer uma de suas extremidades. 
Definição: Dados dois pontos A e B sobre uma reta, a semi-reta AB é o 
subconjunto de pontos formados pelo segmento AB e por todos os pontos C sobre a 
reta AB tais que B esteja entre A e C. 
 
A figura ao lado representa uma reta r 
As setas na representação gráfica servem para indicar que a reta é infinita. As 
26 
 
 
A 
n 
z 
r 
s 
r 
s 
A 
A B 
SEGMENTO 
retas são designadas por letras minúsculas do nosso alfabeto. 
 
3.2.1 Posições Relativas de Retas 
 
Duas retas quaisquer contidas em um plano podem ocupar uma das três 
posições ilustradas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.2 Semi-Reta 
Consideramos a reta r e um ponto A pertencente à reta. 
 
 
 
 Pode-se traçar uma retas por quaisquer outros dois pontos 
O ponto A divide a reta r em duas partes. Cada uma dessas chama-se semi-reta. 
O ponto A é a ordem dessas semi-retas. 
 
 
 
 
 
O conjunto dos pontos que pertencem, simultaneamente, às semi-retas, AR e BA é 
chamado segmento AB. 
Retas Concorrentes tem um ponto comum. 
Retas Paralelas não tem um ponto comum. 
Indicação: r//s 
Retas Coincidentes: Todos os pontos de uma 
reta são os pontos de outra. 
27 
 
 
Representação 
A B 
Os pontos A e B são os extremosdo segmento AB. 
AB (Lê-se segmento AB) 
AB ∩ BA = AB 
A B C D 
B 
C 
A 
A B C 
 
 
 
 
 
 
Os pontos A e B são os extremos do segmento AB. 
 
 
 
AB e CD são colineares 
Dois segmentos são colineares quando estão contidos na mesma reta 
 
3.2.3 Segmentos Consecutivos 
 
Dois segmentos são consecutivos quando tem um extremo comum. 
 
 
 
 
 
3.2.4 Segmentos Adjacentes 
 
 
 
 
3.2.5 Medida de um segmento 
 
Se medirmos o comprimento de um segmento AS com uma régua ou com o 
metro, ou com qualquer outro instrumento próprio, e encontrarmos, por exemplo, 4 cm, 
isto significa que a medida do segmento AS com a unidade cm é 4. 
Fica associado a cada segmento um e um só número real positivo, que é a sua 
medida. 
AB e BC são adjacentes 
28 
 
 
A B 
A M B 
 
 
 
 
 
 
Indicamos a medida do segmento com a notação. Méd (AS) = 4 cm ou AB = 4 
cm 
Dois segmentos que possuem medidas iguais (medidos na mesma unidade) são 
chamados de congruentes. 
 
3.2.6 Ponto Médio de um segmento 
 
Seja o segmento AB: 
 
 
 
O ponto M chama-se ponto médio do segmento AB se AM = MB 
 
3.3 Plano 
 
Á definição dada por Euclides do que é uma superfície é o que tem somente 
comprimento e largura. Mais uma vez, os conceitos de comprimentos e de largura não 
estão definidos, mas intuitivamente, significa que em uma superfície existem pelo 
menos duas direções independentes através das quais podemos nos mover, ou seja, 
uma superfície possui dois graus de liberdade, ou ainda, é um objeto bidimensional. 
Dentre todas as superfícies possíveis, existem superfícies que oferecem certo 
grau de regularidade, os planos. A definição Euclidiana diz que uma superfície plana é 
uma superfície na quais todas as suas retas estão dispostas de maneira uniforme 
sobre si. Novamente, esta definição não nos permite dizer o que é um plano, mas 
certamente nos dirá o que um plano não é. 
Apelando para a intuição geométrica, dizemos que dois pontos em um plano 
estão do mesmo lado em direção a uma reta dada nesse plano se os segmentos que 
29 
 
 
une esses pontos não cruza com a reta. Reciprocamente, dois pontos não sobre essa 
reta estão de lados opostos em relação a ela se o segmento que une esses dois pontos 
cruza com a reta. 
Não entraremos em muitos detalhes a respeito da determinação de planos ou 
sobre as relações entre diferentes planos, pois toda a geometria que será tratada neste 
momento será uma geometria plana. 
 
 
Geo informa: 
“Quando se deseja demonstrar uma proposição, resolver um 
exercício ou entender o enunciado de um teorema, é importante 
separar as hipóteses do que se deseja provar”. 
 
30 
 
 
= 
4 TEOREMA ANGULAR E LINEAR DE THALES 
 
4.1 Segmentos proporcionais 
 
Sabemos que uma proporção é uma igualdade de duas razoes. 
Dizemos que os segmentos AB, CD, MN, PQ são proporcionais quando: 
 
AB MN 
CD PQ 
4.2 Feixe de Paralelas 
 
O conjunto de mais de duas retas paralelas. 
As retas que cortam o feixe de paralelas são as transversais. 
De acordo com a figura você pode observar que: 
- as paralelas são: a, b, c, d. 
 as transversais são: r e s. 
 
 a 
 b 
 c 
 d 
 r s 
4.3 Teorema 1 
 
Se as retas de um feixe de paralelas, determinam segmentos congruentes sobre 
uma transversal, então, as retas determinarão sobre outra qualquer transversal, 
segmentos também congruentes. 
 
 r s 
 a A A’ 
 y 
 b B x B’ 
 P y’ 
 c C x’ C’ 
 Q 
a//b//c, r e s transversais 
31 
 
 
= 
= 
se AB  BC então, A'B'  B'C' 
 
Observações: 
 
allb lê-se: a reta a é paralela a reta b. 
AB  BC lê-se: o segmento AB é congruente ao segmento BC 
 
4.4 Teorema 2 
 
 Um feixe de transversais paralelas determina em duas transversais quaisquer 
segmentos proporcionais. 
a//b//c, r e s transversais 
 
AB A’B’ 
CD B’C’ 
 r s 
 a A A’ 
 u u’ 
 b u B B’ u’ 
 u u’ 
 u u’ 
 u u’ 
 u u’ 
 u u’ 
 C C’ 
 c 
 
 
4.5 Teorema 3 
 
Uma paralela a um dos lados de um triângulo, determina sobre os outros dois 
lados, segmentos proporcionais. ∆ABC, DE // BC. 
 
AD AE 
DE EC 
 
32 
 
 
= 
 A r 
 
 D E s 
 
 
 
 
 
 B C t 
 
 
4.6 Teorema 4 BD é bissetriz do ângulo B 
 
A bissetriz de ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos 
proporcionais aos lados adjacentes. 
 
AD AB 
DC BC 
B 
 
 Α β 
 
 
 
 
 A D C 
 
 
Geo informa: 
“Todos os ângulos retos são iguais”. 
 
33 
 
 
5 ÂNGULOS 
 
O instrumento usual para medir um ângulo é o transferidor, que tem o grau como 
unidade principal. 
O número de graus de um ângulo é a sua medida. 
Nas medidas que exigem maior precisão, são usados instrumentos que medem 
os ângulos em graus e em seus submúltiplos: minutos e segundos. 
Um minuto é 1/60 do grau, isto é, 1 grau tem 60 minutos. 
Um segundo é 1/60 do minuto, isto é, 1 minuto tem 60 segundos. 
Os graus, minutos e segundo são indicados, respectivamente pelos símbolos º, ‘ 
e “, escritos à direita e acima do número que exprime a medida do ângulo. Assim, um 
ângulo de 25 graus 38 minutos e 12 segundo é expresso pela medida complexa: 25° 
38' 12". 
 
 
 
Geo informa: 
“O grau é uma invenção dos babilônicos, que entraram para a 
história da ciência matemática com uma contribuição importante que 
utilizamos até hoje”. 
 
 
 
5.1 Transformação de uma medida complexa em simples 
 
Exemplo: 
 
Transformar 16° 25' 42" em segundos: 
Primeiramente transformam-se os graus em minutos: 16° = 16 x 60 = 960' 
Depois somam-se os minutos dados: 960' + 25 = 985'; 
Em seguida transformam-se os minutos em segundos: 985' = 985' x 60" = 59.100” 
Finalmente, somam-se os segundos dados: 59.100" + 42" = 59.142" 
 
34 
 
 
A 
B 
O 
C 
D 
O 
 
Regra prática: 
160 
x60_ 
 960' 
+25_ 
985' 
x60___ 
59.100" 
 +42_ 
59.142" 
 
5.2 Transformação de uma medida simples complexa: 
 
Exemplo: 
Transformar 8.947" em medida complexa: 
 8947" |60_ Divide-se os segundos (8947) por 60 a 149 |60_ Divide-se os 
segundos (8947) por 60 a 
 294 149 fim de obtermos os minutos (149) 29 2º 60 
para obter-se os graus (2) 
 547 
 7” 
 Logo, 8.947” = 2º 29’ 7” 
 
5.3 Ângulos Congruentes 
 
Consideramos os ângulos AÔB e CÔO: 
 
 
 
 
Suponhamos que: med (AÔB) = 45° e med (CÔD) = 45° 
Dizemos que dois ângulos são congruentes quanto tem a mesma medida. 
35 
 
 
A 
M 
B 
O 
Indicação: AÔB ≡ CÔD 
A congruência de ângulos é uma relação de equivalência por apresentar as seguintes 
propriedades: 
a) Reflexiva: Â ≡ B 
b) Simétrica: se  ≡ B, então = B ≡  
c) Transitiva: se  ≡ B e B ≡ Ĉ, então  = Ĉ 
 
5.4 Bissetriz 
 
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta interna de origem no vértice do ângulo, que 
o divide em dois outros ângulos congruentes. 
Se AÔM ≡ MÔB, então: 
OM é bissetriz do AÔB 
 
 
 
 
 
5.6 Ângulo Reto, Agudo e Obtuso 
 
 
 
 
 ângulo reto ângulo agudo ângulo obtuso 
 
a) Um ângulo cuja medida é 90°, chama-se ângulo reto. 
b) Um ângulo cuja medida é menor que 90°, chama-se ângulo agudo. 
c) Um ângulo cuja medida é maior que 90°, chama-se ângulo obtuso. 
 
5.7 Ângulos Complementares, suplementares e opostos 
 
a) Ângulos Complementares 
36 
 
 
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90°. 
m (AÔB) + m (BÔC) = 90° 
 
 A 
 
 B 
 
 0 C 
 
b) Ângulos SuplementaresDois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°. 
m (AÔB) + m (BÔC) = 180° 
 
 B 
 
 A C 
 0 
 
c) Ângulos Opostos pelo Vértice 
 
 c 
 
 a b 
 d 
 
 
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles forem semi-
retas opostas aos lados do outro. 
Na figura: â e b são opostos pelo vértice c e d são opostos pelo vértice medindo 
esses ângulos você concluirá que: os ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
 
5.8 Ângulos formados por duas Retas Paralelas e uma Transversal 
 
Sejam as retas paralelas r e s e uma reta t transversal. Ficam formados oito 
ângulos. Esses ângulos recebem nomes especiais: 
a) Correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 3 e 7; 
37 
 
 
b) Alternos internos: 4 e 6, 3 e 5; 
c) Alternos externos: 1 e 7,2 e 8; 
d) Colaterais internos: 3 e 6,4 e 5; 
e) Colaterais externos: 2 e 7, 1 e 8. 
 
 
 2 
 1 r 
 3 4 
 6 5 s 
 7 8 
 
 
 
Medindo esses ângulos com o transferidor, você vai concluir que dois ângulos: 
a) correspondentes 
b) alternos internos são congruentes 
c) alternos externos 
d) colaterais internos são suplementares 
e) colaterais externos 
 
5.9 Exercícios Propostos de ângulos e medida de ângulos 
1- Quantos ângulos são determinados por três retas concorrentes duas a duas? 
2- Dois ângulos são ditos complementares se sua soma for igual a 90. Calcule dois 
ângulos complementares , sabendo-s que um deles é o dobro do outro. 
3- Mostre que as bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice estão sobre a 
mesma reta. 
4- Provar que, se r e s são paralelas, e se t intercepta r, então t também intercepta 
s. 
38 
 
 
6 POLÍGONO 
 
6.1 Polígono Convexo 
 
Um polígono convexo, se o segmento determinado por dois pontos internos 
quaisquer, estiver inteiramente contido no interior do polígono. 
 
 
 
 
 Polígonos Convexos Polígonos Não Convexos 
Um polígono possui vértices, ângulos internos, ângulos externos e diagonais. 
Vértices, A, B, C, D, E, F. 
Ângulos Internos: que indicaremos por Â, B, Ĉ, D, Ê, F (formados pelas semi-
retas que contem dois lados consecutivos, com origem no vértice). 
Ângulos Externos: que indicaremos por â, b, c, d, ê, f (são formados por uma 
semi-reta de origem no vértice que contem um lado pelo prolongamento do outro lado, 
isto é, a semi-reta de origem no vértice que não contem o lado). 
Diagonais: AC, AD, AE (são segmentos que unem dois vértices não-
consecutivos). 
Observação: Os ângulos internos de um polígono são chamados ângulos do 
polígono. 
 
6.2 Classificação dos polígonos 
 
Os polígonos se classificam segundo o número de lados ou de ângulos (num 
polígono, o número de lados é igual ao número de ângulos e igual ao número de 
vértices). 
 
6.3 Polígono Regular 
 
Polígono Regular é todo polígono que tem os lados congruentes e todos os 
ângulos congruentes. 
39 
 
 
A B 
C 
D 
E 
 
6.4 Perímetro 
 
Num polígono a reunião dos lados chama-se perímetro. E a soma das medidas 
dos lados recebe o nome de medida de perímetro ou comprimento do perímetro do 
polígono. 
 
6.5 Número de Diagonais de um Polígono 
 
Já vimos que diagonal de um polígono é o segmento que une dois vértices não 
consecutivos. 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do número de diagonais que um polígono possui: por exemplo, no 
pentágono pode-se traçar de cada vértice 2 diagonais, como são 5 vértices teremos ao 
todo 10 diagonais (5 . 2). Mas, a diagonal AC, por exemplo, é contada duas vezes (uma 
traçada por A e outra traçada por C), o mesmo acontece comas demais. 
De modo geral, para se calcular o número de diagonais de um polígono 
emprega-se a fórmula: 
d = n (n - 3) 
2 
 
Onde, d = número de diagonais 
 N - número de lados do polígono 
 
6.6 Aplicações propostas de Polígonos 
1- Provar que a base média de um trapézio é paralela às bases e tem medida igual 
à semi–soma das medidas dessas bases. 
 
Diagonal 
40 
 
 
2- Provar que se um trapézio é circunscritível então a medida de sua base media é 
maior do que o diâmetro da circunferência. 
 
3- Provar que um quadrilátero de perímetro máximo inscrito em uma circunferência 
dada é o quadrado. 
 
4- Dar exemplo de um quadrilátero que tem as diagonais perpendiculares mas não 
é um losango. 
41 
 
 
7 TRIÂNGULOS 
 
Como vimos, triângulos ou triláteros são polígonos de três lados. 
Pode-se dizer que triangulo é a figura constituída por três segmentos cujas 
extremidades são três pontos não alinhados. 
Indica-se o triângulo ABC pelo símbolo: 
∆ABC (ou ∆BAC ou ∆CAB ou ...) os pontos A, B, e C, são vértices do triangulo e os 
segmentos AB, BC, AC são os lados. 
Os ângulos BÂC, ABC, ACB são os ângulos internos cujas medidas 
representaremos por Â, B, C respectivamente. 
 
 
 
 a C 
 
 
 b 
 A 
 c B 
 
O ângulo formado por uma semi-reta que contem um lado e a semi-reta o 
prolongamento de um lado adjacente é o ângulo externo ao ∆â, b, c. 
 
 
Geo informa: 
“A descoberta dos números irracionais por Pitágoras, foi sem dúvida 
a grande contribuição a Geometria Grega”. 
 
 
7.1 Classificação dos Triângulos 
 
I) Quanto aos lados: 
a) Escaleno: Os três lados são medidas diferentes. 
AB ≠ BC ≠ AC 
b) Isósceles: Dois lados de medidas iguais AB = CB, o lado AB chama-se base; os 
ângulos de medidas  e B são os ângulos de base; o ângulo de medida C (oposto à 
42 
 
 
base) é o ângulo do vértice. 
 
c) Eqüilátero: os três lados são de medidas iguais. 
AB = BC = AC 
 
II) Quanto aos ângulos: 
a) Acutângulo: os três ângulos agudos. 
b) Obtusângulo: um ângulo obtuso e outros dois agudos. 
c) Retângulo: um ângulo reto e outros dois agudos. 
 
O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa, e os outros dois de 
catetos. 
d) Eqüiângulo: os três ângulos de medidas iguais. Mediana de um triângulo é o 
segmento cujas extremidades são um vértice e o ponto médio do lado oposto. 
 
7.2 Outros Elementos de um Triângulo 
 
Mediana de um triângulo é o segmento cujas extremidades são um vértice e o ponto 
médio do lado oposto. 
M1, - ponto médio de BC => AM, é mediana. 
M2, - ponto médio de AC => BM, é mediana. 
M3, - ponto médio de AB => CM, é mediana. 
 
 
 
 
 
 
Todo triângulo possui três medianas que se encontram um mesmo ponto G 
chamado baricentro. 
 
II) Altura 
Se de um vértice traçarmos a perpendicular ao lado oposto, o segmento dessa 
M3 M2 
A 
C 
C 
G 
M1 
43 
 
 
perpendicular, cujas extremidades são o vértice e a intersecção do lado oposto com a 
perpendicular, é a altura relativa a esse lado. 
Todo triangulo tem três alturas (cada uma relativa a um lado). As retas que contem as 
três alturas se encontram num ponto H chamado ortocentro. 
 
7.3 Triângulos Congruentes 
 
Se, dois triângulos ABC e A'B'C' são tais, que os lados sejam respectivamente 
congruentes, dizemos, então, que os triângulos são congruentes. 
Os lados dos dois triângulos possuem medidas respectivamente iguais. Pode-se 
verificar medindo os ângulos desses triângulos que: Â = Â’, B = B’, C = C’ (Os ângulos 
internos são respectivamente congruentes, isto é, os ângulos correspondentes tem 
medidas iguais). 
 
7.4 Casos de congruência 
 
1º Caso: Se, dois triângulos possuem dois lados e os ângulos compreendidos por 
esses lados respectivamente congruentes, então, são congruentes L.A.L. (lado, ângulo, 
lado). 
 
 
 
 
 
 
2º Caso: Se, dois triângulos têm um lado e os ângulos adjacentes a esses lados 
respectivamente congruentes, então, são congruentes A.L.A. (ângulos, lado, ângulo). 
 
 
 
 
 
 
B 
B A 
F 
E D 
[∆ABC ≡ ∆DEF]  
 AB = DE 
 Â = D 
 AC = DF 
B 
B A 
P 
N M 
[∆ABC ≡ ∆MNP]  
 AB = MN 
 Â = M 
 B = N 
44 
 
 
= = 
3° Caso: Se, dois triângulos têmum lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a 
este lado, respectivamente congruentes, então, são congruentes L.A.A. (lado, ângulo 
adjacente, ângulo oposto). 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Soma das Medidas dos Ângulos Internos de um Triangulo 
A soma das medidas dos ângulos internos de um triangulo é igual a 180°. 
 
7.5 Condições de Existência de um Triangulo. 
 
Não é possível desenhar um triangulo com as medidas 2 cm, 3 cm e 7 cm. 
 
 
 
 
 
 
Comparamos a medida de cada lado com a soma das medidas dos outros dois. 
 
7.6 Semelhança de Triângulos 
∆ABC e ∆A'B'C' são semelhantes se, e somente se: 
 A’ 
 A 
 
 
 B C B’ C’ 
- os lados correspondentes forem proporcionais: 
AB AC BC 
A’B’ A’C’ B’C’ 
2 cm 
3 cm 
4 cm 
B 
B A 
B 
B A 
[∆ABC ≡ ∆MNP]  
 AB = MN 
 Â = M 
 C = P 
a) 2 < 3 + 4 ou 2 > 7 
b) 3 < 2 + 4 ou 3 < 6 
c) 4 < 2 + 3 ou 4 < 5 
No Triângulo 
45 
 
 
= = 
= 
= 
 
- os ângulos correspondentes forem congruentes. 
A = A' 
B = A' 
C = C' 
Representamos assim: ∆ABC ~ ∆A'B'C' 
~: que se lê, semelhantes, se os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos 
correspondentes são congruentes. 
 
A razão K AB AC BC 
 A’B’ A’C’ B’C’ 
 
Chama-se razão de semelhança. 
É importante observar a ordem dos elementos correspondentes nas 
semelhanças. ∆ABC ~ ∆A'B'C' 
 
7.7 Casos de Semelhança de Triângulos 
 
Teorema fundamental 
 
Se uma reta paralela a um dos lados do ∆ corta os outros lados em pontos 
distintos, então o triangulo que ela determina é semelhante ao triangulo dado. 
∆ ABP, PQ, BC 
∆ APQ - ∆ ABC 
Sabemos que AP AQ (Teorema de Tales no Triangulo) 
 AB AC 
 
 A 
 
 
 P Q 
 
 
 
 B C 
 R 
 
 
46 
 
 
1) Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes, então os 
triângulos são semelhantes. 
2) Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos 
por eles formados congruentes, então os triângulos são semelhantes. 
3) Se dois triângulos têm os lados correspondentes proporcionais, então os 
triângulos são semelhantes. 
 
 
Geo informa: 
“O primeiro trabalho sobre trigonometria de que se tem real 
conhecimento esta contido no Almagest escrito por Ptolomeu de 
Alexandria, por volta da metade do 2º século”. 
 
 
7.8 Teorema de Pitágoras 
 
O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das 
medidas dos catetos. 
Sabemos que: b2 = a . n 
 c2 = a . m c b 
 b2 + c2 = a . n + a . m m n 
Fatorando: a 
b2 + c2 = a . (n . m) 
Como n+ m = a 
Temos b2 + c2 = a . a 
b2 + c2 = a2 
a2 = b2 + c2 
 
Teoremas 
 "Dividindo-se uma circunferência em parcos (n > 2) congruentes, a reunião das 
cordas que unem os pontos consecutivos de divisão, é um polígono regular de n 
lados, inscrito na circunferência." 
 "Dividindo-se uma circunferência em parcos congruentes (n > 2), as tangentes 
47 
 
 
nos pontos consecutivos de divisão determinam um polígono regular de n lados, 
circunscrito a circunferência." 
 “Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência, isto é, existe uma 
circunferência que tangeria todos os lados." 
 
 
7.9 Exercícios propostos de triângulos 
1- Provar que, em um triangulo isósceles, a altura, a mediana e a bissetriz relativas 
a base coincide. Neste caso, estas medianas estão contidas na mediatriz da 
base do triangulo. 
 
2- Provar que a soma das distancias de um ponto interior de um triangulo 
eqüilátero aos três lados é constante e igual às alturas do triangulo. 
 
3- Construa com régua e compasso um triangulo, sendo dados os comprimentos 
de suas três medianas. 
 
4- Prove que, se dois quaisquer dos centros notáveis de um triangulo coincidem, 
então o triangulo é eqüilátero. 
48 
 
 
A B 
D C 
8 CÍRCULO 
 
8.1 Definição de Circunferência 
 
Chama-se circunferência ao conjunto dos pontos do plano que distam 
igualmente de um mesmo ponto deste plano. 
Todos os pontos da circunferência tem a mesma distância centro da mesma 
designado pelo ponto O. 
 
Duas circunferências são congruentes, se tem raios congruentes. 
 
 
 
 
 
I) Raio 
Qualquer segmento cujas extremidades são o ponto O e um ponto qualquer da 
circunferência chama-se raio da circunferência; sua medida é representada por r. 
Numa circunferência podemos traçar infinitos raios e todos os raios tem medidas 
iguais. 
II) Corda 
Qualquer segmento cujas extremidades são pontos da circunferência chama-se 
corda. 
III) Diâmetro 
Numa circunferência podemos traçar infinitos diâmetros e todos os diâmetros 
tem medidas iguais. 
 
Observação: A medida de um diâmetro e igual ao dobro da medida do raio. 
AB = AO + BO 
d = r + r d = 2r 
 
 
 
Raio (r) 
Corda 
Diâmetro (d) 
49 
 
 
8.2 Pontos Internos e Externos 
 
O centro e qualquer ponto P cuja distância ao centro é menor que o raio, chama-
se ponto interno a circunferência; o conjunto dos pontos internos é chamado região 
interna ou interior. 
Qualquer ponto Q, cuja distância ao centro é maior que o raio, chama-se ponto 
externo a circunferência; o conjunto dos pontos externos é chamado região externa ou 
exterior. 
 P 
P  região interna 
Q  região externa O 
 
 Q 
 
8.3 Definição do Círculo 
 
A reunião da circunferência e sua região interior chama-se círculo. 
Circunferência + região interior = círculo. 
O raio, o centro e o diâmetro da circunferência chamam-se também raio, centro 
e diâmetro do círculo. 
 
 
Geo informa: 
“Intuitivamente o comprimento de um círculo deve ser o 
comprimento do segmento que obteríamos se pudéssemos, corando 
o círculo, desencurvá-lo, como faríamos a um pedaço de arame 
circular 
 
 
8.4 Posições Relativas de uma Reta e uma Circunferência 
 
São as seguintes as posições relativas que uma reta e uma circunferência 
podem ocupar. 
I) A reta é secante a circunferência, isto é, a reta tem dois pontos comuns com a 
50 
 
 
circunferência. 
S U C = {A, B} 
Observa-se que, neste caso, a distância do centro à reta é menor que o raio (OD < 
OB). 
 
 
 B 
 
 D 
 A 
 o 
 s 
 
 
 
8.5 Propriedade da reta tangente: 
 
Numa circunferência, toda tangente é perpendicular ao raio no ponto de 
tangencia. 
s ┴ AO, no ponto A. 
 
II) A reta externa a circunferência, isto é, a reta não tem ponto comum com a 
circunferência, sendo todos os seus pontos externos. 
S ∩ C = Ø 
Observa- e que, nesse caso, a distância do centro à reta é maior que o raio (0B > OA). 
 
 
 
 
 
 D 
 A 
 
 O 
 s 
 
 
 
 
51 
 
 
8.6 Posições Relativas de Duas Circunferências 
 
São as seguintes as posições relativas que duas circunferências podem ocupar, 
observando que: 
d - medida da distância dos centros 0 e 0' 
r - medida do raio OA 
r'- medida do raio O'A' 
 
I) Secantes: quando tem dois pontos comuns. 
 
A’ A 
R – R’ < d < R + R’ 0 0’ 
 d 
 
 C 
II) Tangentes: quando tem apenas um ponto comum. 
 
 A = A’ d 
 0 0’ 0 0’ A = A’ 
 A 
 d 
 
 Externamente Internamente 
 d = R + R’ d = R - R’ 
 
III) Não secantes: quando não tem ponto comum. 
 
 
 0 A A’ 0’ Q A 
 d 0 d A’ 
 
 
 Externas Internas 
 d > R + R’ d < R - R’ 
 
52 
 
 
9 RELAÇÕES MÉTRICAS CÍRCULO 
 
9.1 Relação entre duas cordas 
 
Quando duas cordas se cruzam no interior de um círculo, o produto das medidas 
dos dois segmentos determinados sobre essas cordas é igual ao produto das medidas 
dos segmentos determinados sobre a outra. 
 
 
 
 PA . PB =