05_Espaços_Vetoriais

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2020/Sem_02 
NOTAS DE AULA 
Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Espaços Vetoriais 
Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
ii 
Índice 
5 Espaços Vetoriais ..................................................................................................... 1 
5.1 Definição e Espaços Vetoriais .......................................................................... 1 
5.2 Subespaços Vetoriais ........................................................................................ 4 
5.3 Subespaços Gerados ....................................................................................... 10 
5.4 Dependência e Independência Linear ............................................................. 12 
5.5 Base de um Espaço Vetorial ........................................................................... 14 
5.6 Exercícios Propostos ....................................................................................... 19 
5.7 Referências Bibliográficas .............................................................................. 22 
 
 
 
 
 
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Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
5 Espaços Vetoriais 
5.1 Definição e Espaços Vetoriais 
Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas duas operações chamadas de adição 
e multiplicação por escalar, que são “fechadas” em V, isto é: 
Adição: ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉,   𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑉 
Multiplicação por escalar: ∀𝛼 ∈ ℜ  𝑒  𝑢 ∈ 𝑉,   𝛼 ⋅ 𝑢 ∈ 𝑉 
O conjunto V, com estas duas operações é chamado de Espaço Vetorial Real (ou Espaço 
Vetorial sobre ℜ), se forem verificados os seguintes axiomas (∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 e ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ ℜ): 
V1) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 
V2) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
V3)∃ 0 ∈ 𝑉; 𝑣 + 0 = 𝑣 
V4) ∃ (−𝑣) ∈ 𝑉;  𝑣 + (−𝑣) = 0 
V5) 𝛼 ⋅ (𝑢 + 𝑣) = 𝛼 ⋅ 𝑢 + 𝛼 ⋅ 𝑣 
V6) (𝛼 + 𝛽) ⋅ 𝑣 = 𝛼 ⋅ 𝑣 + 𝛽 ⋅ 𝑣 
V7) (𝛼 ⋅ 𝛽) ⋅ 𝑣 = 𝛼 ⋅ (𝛽 ⋅ 𝑣) 
V8) 1 ⋅ 𝑣 = 𝑣 
Estes Axiomas são chamados de Axiomas de Espaço Vetorial. 
Algumas propriedades de um espaço vetorial 
a) O vetor nulo é único. 
b) Cada vetor 𝑢 ∈ 𝑉 admite apenas um simétrico (−𝑢) ∈ 𝑉 
c) Para quaisquer vetores u, v, w ∈ 𝑉, se u + w = v + w, então u = v 
d) Qualquer que seja 𝑢 ∈ 𝑉, tem-se −(−𝑢) = 𝑢 
e) Quaisquer que sejam os vetores u, v ∈ 𝑉, existe um e somente um vetor w∈ 𝑉, tal que: 𝑢 +
𝑤 = 𝑣 
f) Qualquer que seja 𝑢 ∈ 𝑉, tem-se 0𝑢 = 0 
g) Qualquer que seja 𝜆 ∈ ℜ, tem-se 𝜆0 = 0 
h) 𝜆𝑢 = 0 implica que 𝜆 = 0 ou 𝑢 = 0 
i) Qualquer que seja 𝑢 ∈ 𝑉, tem-se (−1)𝑢 = −𝑢 
j) Quaisquer que sejam 𝑢 ∈ 𝑉 e 𝜆 ∈ ℜ, tem-se (−𝜆)𝑢 = 𝜆(−𝑢) = −(𝜆)𝑢 
Exemplos: 
1) Verifique que o conjunto 𝑉 = ℜ2 = { (𝑥1, 𝑥2); 𝑥1 𝑒 𝑥2 ∈ ℜ}, com as operações assim 
definidas: 
Adição: (𝑥1, 𝑥2) + (𝑦1, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑦1,  𝑥2 + 𝑦2) 
Multiplicação por escalar: 𝛼 ⋅ (𝑥1, 𝑥2) = (𝛼 ⋅ 𝑥1, 𝛼 ⋅ 𝑥2) 
(operações usuais de adição e multiplicação por escalar para o ℜ
2
) é um espaço vetorial. 
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Devemos verificar todos os axiomas considerando: 
𝑥 = (𝑥1, 𝑥2), 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2), 𝑧 = (𝑧1, 𝑧2) e 𝛼,  𝛽 ∈ ℜ 
V1) 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 
( ) =++ zyx (𝑥1, 𝑥2) + [(𝑦1, 𝑦2) + (𝑧1, 𝑧2)]=(𝑥1, 𝑥2) + (𝑦1 + 𝑧1, 𝑦2 + 𝑧2)=(𝑥1 + (𝑦1 +
𝑧1), 𝑥2 + (𝑦2 + 𝑧2) )=( (𝑥1 + 𝑦1) + 𝑧1,  (𝑥2 + 𝑦2) + 𝑧2)=(𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2) +
( 𝑧1, 𝑧2)=[(𝑥1, 𝑥2) + (𝑦1, 𝑦2)] + ( 𝑧1,  𝑧2)=(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 
V2) 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 
𝑥 + 𝑦 =(𝑥1, 𝑥2) + (𝑦1, 𝑦2)=(𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2)=(𝑦1 + 𝑥1, 𝑦2 + 𝑥2)=(𝑦1, 𝑦2) + (𝑥1, 𝑥2)=𝑦 + 𝑥 
V3) ∃ 0 ∈ 𝑉; 𝑥 + 0 = 𝑥 
Tome 0 = (0,0), então: 
𝑥 + 0 = (𝑥1, 𝑥2) + (0,0)=(𝑥1 + 0, 𝑥2 + 0)=(𝑥1, 𝑥2)= x 
V4) ∃ (−𝑥) ∈ 𝑉;  𝑥 + (−𝑥) = 0 
Tome (−𝑥) = (−𝑥1, −𝑥2), então: 
 𝑥 + (−𝑥) =(𝑥1, 𝑥2)+(−𝑥1, −𝑥2)=( 𝑥1 + (−𝑥1), 𝑥2 + (−𝑥2) )=(0,0) = 0 
V5) 𝛼 ⋅ (𝑥 + 𝑦) = 𝛼 ⋅ 𝑥 + 𝛼 ⋅ 𝑦 
𝛼 ⋅ (𝑥 + 𝑦) = 𝛼 ⋅ [ (𝑥1, 𝑥2) + (𝑦1, 𝑦2) ]=𝛼 ⋅ (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2)=( 𝛼 ⋅ (𝑥1 + 𝑦1),  𝛼 ⋅ (𝑥2 +
𝑦2) )=( 𝛼 ⋅ 𝑥1 + 𝛼 ⋅ 𝑦1,  𝛼 ⋅ 𝑥2 + 𝛼 ⋅ 𝑦2 )= 
( 𝛼 ⋅ 𝑥1,  𝛼 ⋅ 𝑥2 )+( 𝛼 ⋅ 𝑦1,  𝛼 ⋅ 𝑦2 )=𝛼 ⋅ ( 𝑥1,  𝑥2 )+𝛼 ⋅ ( 𝑦1, 𝑦2 )=𝛼 ⋅ 𝑥 + 𝛼 ⋅ 𝑦 
V6) (𝛼 + 𝛽) ⋅ 𝑥 = 𝛼 ⋅ 𝑥 + 𝛽 ⋅ 𝑥 
(𝛼 + 𝛽) ⋅ 𝑥 = ( )+ (𝑥1, 𝑥2)= ( (𝛼 + 𝛽) ⋅ 𝑥1, (𝛼 + 𝛽) ⋅ 𝑥2)= ( 𝛼 ⋅ 𝑥1 + 𝛽 ⋅ 𝑥1, 𝛼 ⋅ 𝑥2 + 𝛽 ⋅
𝑥2)=(𝛼 ⋅ 𝑥1,  𝛼 ⋅ 𝑥2) + (𝛽 ⋅ 𝑥1,  𝛽 ⋅ 𝑥2)=𝛼 ⋅ (𝑥1,  𝑥2) + 𝛽 ⋅ (𝑥1, 𝑥2)=𝛼 ⋅ 𝑥 + 𝛽 ⋅ 𝑥 
V7) (𝛼 ⋅ 𝛽) ⋅ 𝑥 = 𝛼 ⋅ (𝛽 ⋅ 𝑥) 
(𝛼 ⋅ 𝛽) ⋅ 𝑥 = (𝛼 ⋅ 𝛽) ⋅ (𝑥1, 𝑥2)=( (𝛼 ⋅ 𝛽) ⋅ 𝑥1,   (𝛼 ⋅ 𝛽) ⋅ 𝑥2)=( 𝛼 ⋅ (𝛽 ⋅ 𝑥1),   𝛼 ⋅ (𝛽 ⋅ 𝑥2) )=𝛼 ⋅
( 𝛽 ⋅ 𝑥1,   𝛽 ⋅ 𝑥2 )=𝛼 ⋅ ( 𝛽 ⋅ (𝑥1,  𝑥2) )=𝛼 ⋅ (𝛽 ⋅ 𝑥) 
V8) 1 ⋅ 𝑥 = 𝑥 
1 ⋅ 𝑥 = 1 ⋅ (𝑥1, 𝑥2) = (1 ⋅ 𝑥1,  1 ⋅ 𝑥2) = (𝑥1, 𝑥2) = 𝑥 
2) Verifique que o conjunto 𝑉 = ℜ3 = { (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3); 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3 ∈ ℜ}, com as operações 
assim definidas: 
Adição: (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) + (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) = (𝑥1 + 𝑦1,  𝑥2 + 𝑦2, 𝑥3 + 𝑦3) 
Multiplicação por escalar: 𝛼 ⋅ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝛼 ⋅ 𝑥1, 𝛼 ⋅ 𝑥2, 𝛼 ⋅ 𝑥3) 
(operações usuais de adição e multiplicação por escalar para o ℜ
3
) é um espaço vetorial. 
3) Generalize para o ℜ𝑛, isto é, com base nos exemplos anteriores, verifique que o conjunto 
𝑉 = ℜ𝑛 = { (𝑥1, 𝑥2, . . . . . , 𝑥𝑛); 𝑥1, 𝑥2, . . . . . , 𝑥𝑛 ∈ ℜ}, com as operações assim definidas: 
Adição: (𝑥1, 𝑥2, . . . . . , 𝑥𝑛) + (𝑦1, 𝑦2, . . . . . , 𝑦𝑛) = (𝑥1 + 𝑦1,  𝑥2 + 𝑦2,   . . . . .   , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) 
Multiplicação por escalar: 𝛼 ⋅ (𝑥1, 𝑥2, . . . . . , 𝑥𝑛) = (𝛼 ⋅ 𝑥1,  𝛼 ⋅ 𝑥2,   . . . . .   ,  𝛼 ⋅ 𝑥𝑛) 
(operações usuais de adição e multiplicação por escalar para o ℜ
𝑛
) é um espaço vetorial. 
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4) O espaço constituído do conjunto das matrizes 𝑀𝑚×𝑛(ℜ) , com as operações usuais de 
adição de matrizes e multiplicação de matriz por número real. 
5) O espaço 𝑃𝑛(ℜ) constituído pelo conjunto dos polinômios de coeficientes reais com grau 
menor ou igual a n, mais o polinômio nulo, com as operações usuais de adição de polinômios e 
multiplicação de polinômio por número real. 
Observação: Verifique que:{
𝑝1(𝑥), 𝑝2(𝑥) ∈ 𝑃𝑛(ℜ) ⇒ 𝑝1(𝑥) + 𝑝2(𝑥) ∈ 𝑃𝑛(ℜ)
𝛼 ∈ ℜ, 𝑝1(𝑥) ∈ 𝑃𝑛(ℜ) ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑝1(𝑥) ∈ 𝑃𝑛(ℜ)
 
6) O espaço 𝐶(𝐼)constituído pelo conjunto das funções contínuas definidas de 𝐼 ⊂ ℜ em ℜ, 
com as operações de adição de funções e multiplicação de função por número real definidas 
como: 
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) e (𝛼 ⋅ 𝑓)(𝑥) = 𝛼 ⋅ 𝑓(𝑥) 
7) Verifique que o conjunto 𝑉 = { (𝑥1, 𝑥2); 𝑥1 , 𝑥2 > 0}, com as operações assim definidas: 
Adição: (𝑥1, 𝑥2) ⊕ (𝑦1, 𝑦2) = (𝑥1 ⋅ 𝑦1,  𝑥2 ⋅ 𝑦2) 
Multiplicação por escalar: 𝛼 ∘ (𝑥1, 𝑥2) = (𝑥1
𝛼, 𝑥2
𝛼) é um espaço vetorial. 
Observação: estas operações não são as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 
Por esta razão foram utilizados os símbolos diferentes: ⊕ e ∘ para representá-las, evitando 
quaisquer confusões com as operações usuais. 
Devemos verificar todos os axiomas. Para isto consideremos: 
𝑥 = (𝑥1, 𝑥2), 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2), 𝑧 = (𝑧1, 𝑧2) e 𝛼 ,  𝛽 ∈ ℜ. 
V1) 𝑥 ⊕ (𝑦 ⊕ 𝑧) = (𝑥 ⊕ 𝑦)⊕ 𝑧 
𝑥 ⊕ (𝑦 ⊕ 𝑧)=(𝑥1, 𝑥2) ⊕ [(𝑦1, 𝑦2) ⊕ (𝑧1, 𝑧2)]=(𝑥1, 𝑥2) ⊕ (𝑦1 ⋅ 𝑧1, 𝑦2 ⋅ 𝑧2)=(𝑥1 ⋅ (𝑦1 ⋅
𝑧1), 𝑥2 ⋅ (𝑦2 ⋅ 𝑧2) )=( (𝑥1 ⋅ 𝑦1) ⋅ 𝑧1,  (𝑥2 ⋅ 𝑦2) ⋅ 𝑧2)=(𝑥1 ⋅ 𝑦1, 𝑥2 ⋅ 𝑦2) ⊕
( 𝑧1, 𝑧2)=[(𝑥1, 𝑥2) ⊕ (𝑦1, 𝑦2)] ⊕ ( 𝑧1, 𝑧2) = (𝑥 ⊕ 𝑦)⊕ 𝑧 
V2) 𝑥 ⊕ 𝑦 = 𝑦⊕ 𝑥 
𝑥 ⊕ 𝑦 =(𝑥1, 𝑥2) ⊕ (𝑦1, 𝑦2)=(𝑥1 ⋅ 𝑦1, 𝑥2 ⋅ 𝑦2)=(𝑦1 ⋅ 𝑥1, 𝑦2 ⋅ 𝑥2)=(𝑦1, 𝑦2) ⊕ (𝑥1, 𝑥2)=𝑦 ⊕ 𝑥 
V3) ∃ 0 ∈ 𝑉; 𝑥 ⊕ 0 = 𝑥 
Tome 0 = (1,  1), então: 
𝑥 ⊕ 0 = (𝑥1, 𝑥2) ⊕ (1,  1)=(𝑥1 ⋅ 1, 𝑥2 ⋅ 1)=(𝑥1, 𝑥2)= x 
V4) ∀𝑥 = (𝑥1,  𝑥2) ∈ 𝑉, ∃ (−𝑥) ∈ 𝑉;  𝑥 ⊕ (−𝑥) = 0 
Tome (−𝑥) = (
1
𝑥1
, 
1
𝑥2
), então: 
 𝑥 ⊕ (−𝑥) =(𝑥1, 𝑥2) (
1
𝑥1
, 
1
𝑥2
)=( 𝑥1 ⋅ (
1
𝑥1
) , 𝑥2 ⋅ (
1
𝑥2
) )=(1,  1) = 0 
V5) 𝛼 ∘ (𝑥 ⊕ 𝑦) = 𝛼 ∘ 𝑥 ⊕ 𝛼 ∘ 𝑦 
𝛼 ∘ (𝑥 ⊕ 𝑦) = 𝛼 ∘ [ (𝑥1, 𝑥2) ⊕ (𝑦1, 𝑦2) ]=𝛼 ∘ (𝑥1 ⋅ 𝑦1, 𝑥2⋅ 𝑦2)= ( (𝑥1 ⋅ 𝑦1)
𝛼, (𝑥2 ⋅
𝑦2)
𝛼 )=( 𝑥1
𝛼 ⋅ 𝑦1
𝛼 , 𝑥2
𝛼 ⋅ 𝑦2
𝛼 )= 
( 𝑥1
𝛼,  𝑥2
𝛼 ) ( 𝑦1
𝛼 , 𝑦2
𝛼 )=𝛼 ∘ ( 𝑥1, 𝑥2 ) ⊕ 𝛼 ∘ ( 𝑦1,  𝑦2 )=𝛼 ∘ 𝑥 ⊕ 𝛼 ∘ 𝑦 
V6) (𝛼 + 𝛽) ∘ 𝑥 = 𝛼 ∘ 𝑥 ⊕ 𝛽 ∘ 𝑥 
(𝛼 + 𝛽) ∘ 𝑥 = ( )+ (𝑥1, 𝑥2)= ( 𝑥1
(𝛼+𝛽), 𝑥2
(𝛼+𝛽))= ( 𝑥1
𝛼 ⋅ 𝑥1
𝛽 , 𝑥2
𝛼 ⋅ 𝑥2
𝛽)=(𝑥1
𝛼,  𝑥2
𝛼) ⊕
(𝑥1
𝛽 ,  𝑥2
𝛽)=𝛼 ∘ (𝑥1, 𝑥2) ⊕ 𝛽 ∘ (𝑥1,  𝑥2)=𝛼 ∘ 𝑥 ⊕ 𝛽 ∘ 𝑥 
V7) (𝛼 ⋅ 𝛽) ∘ 𝑥 = 𝛼 ∘ (𝛽 ∘ 𝑥) 
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(𝛼 ⋅ 𝛽) ∘ 𝑥 = (𝛼 ⋅ 𝛽) ∘ (𝑥1, 𝑥2)=( 𝑥1
𝛼⋅𝛽 ,   𝑥2
𝛼⋅𝛽)=( (𝑥1
𝛽)
𝛼
,  (𝑥2
𝛽)
𝛼
)=𝛼 ∘
( 𝑥1
𝛽 ,   𝑥2
𝛽 )=𝛼 ∘ ( 𝛽 ∘ (𝑥1,   𝑥2) )=𝛼 ∘ (𝛽 ∘ 𝑥) 
V8) 1 ∘ 𝑥 = 𝑥 
1 ∘ 𝑥 = 1 ∘ (𝑥1, 𝑥2) = (𝑥1
1, 𝑥2
1) = (𝑥1, 𝑥2) = 𝑥 
5.2 Subespaços Vetoriais 
5.2.1 Definição de subespaços Vetoriais 
Sejam dados {
𝑉 um espaço vetorial 𝑒
𝑊 ⊂ 𝑉, 𝑊 ≠ ∅ (𝑊 é um subconjunto não vazio de 𝑉)
 
W é denominado um subespaço vetorial de V quando: 
(i) 𝑢,  𝑣 ∈ 𝑊 ⇒ 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊 
(ii) 𝛼 ∈ ℜ,  𝑢 ∈ 𝑊 ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑢 ∈ 𝑊 
Observações: 
a) 𝛼 = 0 ∈ ℜ, 𝑢 ∈ 𝑊 ⇒ 0 ⋅ 𝑢 ∈ 𝑊 ⇒ 0 ∈ 𝑊 
b) Dado um espaço vetorial V, existem pelo menos dois subespaços vetoriais de V, que são 
chamados de subespaços triviais e são: {
𝑉 𝑒
{ 0 }
 
Exemplos: 
1) Se 𝑊 ⊂ ℜ2 é uma reta que passa pela origem, então W é um subespaço vetorial do ℜ2. 
 
Demonstração: 
Seja 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0 a equação cartesiana de uma reta que passa pela origem. Neste caso, W é o 
conjunto de todos os pares ordenados (𝑥,  𝑦) que satisfazem esta equação. 
Então, devemos provar que se: 
(i) 𝑢,  𝑣 ∈ 𝑊 ⇒ 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊 e (ii) 𝛼 ∈ ℜ,  𝑢 ∈ 𝑊 ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑢 ∈ 𝑊 
Considerando 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2,  𝑦2), temos: 
(i) Se 𝑢,  𝑣 ∈ 𝑊 ⇒ 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 = 0 e 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 = 0 ⇒ Somando membro a membro obtemos: 
𝑎(𝑥1 + 𝑥2) + 𝑏(𝑦1 + 𝑦2) = 0 ⇒ Logo, o par ordenado (𝑥1 + 𝑥2,  𝑦1 + 𝑦2) = 𝑢 + 𝑣 também 
satisfaz à equação𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0, assim concluímos que 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊. 
(ii) 𝛼 ∈ ℜ,  𝑢 ∈ 𝑊 ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑢 = (𝛼 ⋅ 𝑥1,  𝛼 ⋅ 𝑦1) e 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 = 0 ⇒ Multiplicando os dois 
membros da expressão 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 = 0 por 𝛼 obtemos: 𝛼 ⋅ (𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1) = 𝛼 ⋅ 0 ⇒ 
𝑎 ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑥1) + 𝑏 ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑦1) = 0 ⇒ Logo, o par ordenado (𝛼 ⋅ 𝑥1,  𝛼 ⋅ 𝑦1) = 𝛼 ⋅ 𝑢 também 
satisfaz à equação𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0, assim concluímos que 𝛼 ⋅ 𝑢 ∈ 𝑊. 
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2) Se 𝑊 ⊂ ℜ3 é um plano que passa pela origem, então W é um subespaço vetorial do ℜ3. 
 
Demonstração: 
Seja 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0 a equação cartesiana de um plano que passa pela origem. Neste caso, 
W é o conjunto de todas as triplas ordenadas (𝑥,  𝑦,  𝑧) que satisfazem esta equação. 
Então, devemos provar que se: 
(i) 𝑢,  𝑣 ∈ 𝑊 ⇒ 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊 e (ii) 𝛼 ∈ ℜ,  𝑢 ∈ 𝑊 ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑢 ∈ 𝑊 
 
Considerando 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2,  𝑦2,  𝑧2), temos: 
 
(i) Se 𝑢,  𝑣 ∈ 𝑊 ⇒ 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 = 0 e 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 = 0 ⇒ Somando membro a 
membro obtemos: 𝑎(𝑥1 + 𝑥2) + 𝑏(𝑦1 + 𝑦2) + 𝑐(𝑧1 + 𝑧2) = 0 ⇒Logo, a tripla ordenada 
(𝑥1 + 𝑥2,  𝑦1 + 𝑦2,  𝑧1 + 𝑧2) = 𝑢 + 𝑣 também satisfaz à equação𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0, assim 
concluímos que 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊. 
 
(ii) 𝛼 ∈ ℜ,  𝑢 ∈ 𝑊 ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑢 = (𝛼 ⋅ 𝑥1,  𝛼 ⋅ 𝑦1,  𝛼 ⋅ 𝑧1) e 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 = 0 ⇒ Multiplicando 
os dois membros da expressão 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 = 0 por 𝛼 obtemos: 𝛼 ⋅ (𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1) =
𝛼 ⋅ 0 ⇒ 𝑎 ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑥1) + 𝑏 ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑦1) + 𝑐 ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑧1) = 0 ⇒ Logo, a tripla ordenada (𝛼 ⋅ 𝑥1,  𝛼 ⋅
𝑦1,  𝛼 ⋅ 𝑧1) = 𝛼 ⋅ 𝑢 também satisfaz à equação𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0, assim concluímos que 𝛼 ⋅
𝑢 ∈ 𝑊. 
 
Observação: Podemos provar também, que qualquer reta que passa pela origem é também um 
subespaço vetorial do ℜ
3
. 
3) O conjunto W das matrizes triangulares superiores (ou inferiores) 𝑛 × 𝑛 é um subespaço 
vetorial de 𝑀𝑛×𝑛(ℜ). 
Isto significa que: 
(i) a soma de duas matrizes triangulares superiores (ou inferiores) 𝑛 × 𝑛 é também uma matriz 
triangular superior (ou inferior) 𝑛 × 𝑛, e que: 
(ii) o produto de uma matriz triangular superior (ou inferior) 𝑛 × 𝑛 por um número real é 
também uma matriz triangular superior (ou inferior) 𝑛 × 𝑛. 
4) Seja 𝑉 = 𝑀2×2(ℜ) = { [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ;  𝑎,  𝑏,  𝑐,  𝑑 ∈ ℜ }. 
Então, o conjunto 𝑊 = { [
𝑎 𝑏
0 0
] ;  𝑎,  𝑏, ∈ ℜ } é um subespaço vetorial de V. 
Demonstração: 
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(i) a soma de duas matrizes quaisquer 2 × 2, que possuam os elementos 𝑎21 e 𝑎22 iguais a zero 
será uma matriz 2 × 2 que também tem os elementos 𝑎21 e 𝑎22 nulos, e que: 
(ii) o produto de uma matriz qualquer 2 × 2, que possua os elementos 𝑎21 e 𝑎22 iguais a zero, 
por um número real, será uma matriz 2 × 2 que também tem os elementos 𝑎21 e 𝑎22 nulos. 
5) Dado um sistema de equações lineares homogêneo, do tipo 𝐴 ⋅ 𝑥 = 0, onde A é a matriz dos 
coeficientes das incógnitas, 𝑥 = [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] é o vetor das incógnitas e 0 = [
0
0
⋮
0
] é o vetor dos termos 
independentes (todos nulos, pois o sistema é homogêneo), então o conjunto das soluções deste 
sistema é um subespaço vetorial de 𝑀𝑛 × 1. 
Isto quer dizer que: 
(i) a soma de duas soluções deste sistema é também solução do sistema, e que: 
(ii) o produto de uma solução deste sistema por um número real é também solução deste sistema. 
Demonstração: 
(i) Se 𝑥 = [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] e 𝑦 = [
𝑦1
𝑦2
⋮
𝑦𝑛
] são soluções do referido sistema, então temos que 𝐴 ⋅ 𝑥 = 0 e 𝐴 ⋅
𝑦 = 0. Somando estes resultados, membro a membro, obtemos 𝐴 ⋅ 𝑥 + 𝐴 ⋅ 𝑦 = 0 ⇒ 𝐴 ⋅
(𝑥 + 𝑦) = 0. Logo o vetor 𝑥 + 𝑦 = [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] + [
𝑦1
𝑦2
⋮
𝑦𝑛
] = [
𝑥1 + 𝑦1
𝑥2 + 𝑦2
⋮
𝑥𝑛 + 𝑦𝑛
] é também solução do sistema. 
(ii) Se 𝑥 = [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] é solução do sistema, então 𝐴 ⋅ 𝑥 = 0. Multiplicando os dois lados desta 
igualdade pelo número real 𝛼 obtemos: 𝛼 ⋅ (𝐴 ⋅ 𝑥) = 𝛼 ⋅ 0 ⇒ 𝐴 ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑥) = 0. Logo o vetor 𝛼 ⋅
𝑥 = 𝛼 ∙ [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] = [
𝛼 ∙ 𝑥1
𝛼 ∙ 𝑥2
⋮
𝛼 ∙ 𝑥𝑛
] é também solução do sistema. 
6) Na sequência são apresentados alguns subconjuntos do ℜ2 ou do ℜ3. Verifique quais deles 
são subespaços vetoriais (do ℜ2 ou do ℜ3, respectivamente) considerando as operações usuais 
de adição e multiplicação por escalar. 
a) 𝑆 = { (𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑥 } Resposta: Sim. 
b) 𝑆 = { (𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑥2 } Resposta: Não. 
c) 𝑆 = { (𝑥, 𝑦)/ 𝑥 + 3𝑦 = 0} Resposta: Sim. 
d) 𝑆 = { (𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = |𝑥| } Resposta: Não. 
e) 𝑆 = { (𝑥, 𝑦, 𝑧)/ 𝑧 = 2𝑥 − 𝑦 } Resposta: Sim. 
f) 𝑆 = { (𝑥, 𝑦, 𝑧)/ 𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 − 4 } Resposta: Não. 
g) 𝑆 = { (𝑥, 𝑦, 𝑧)/ 𝑧 = 𝑥2 } Resposta: Não. 
7) Seja o subespaço vetorial do ℜ4 definido por: 𝑆 = { (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℜ4/ 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 =
0  e  𝑡 = 0 }. Verifique se os vetores que seguem pertencem a S: 
a) (1,2,3,0) Resposta: Não. 
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b) (3,1,5,0) Resposta: Sim. 
c) (−1,1,1,1) Resposta: Não. 
d) (1, −2, −3,0) Resposta: Sim. 
8) Seja o subespaço vetorial do 𝑀2×2(ℜ), com as operações usuais de adição de matrizes e 
multiplicação de matriz por número real definido por: 𝑆 = { [
𝑎 − 𝑏 2𝑎
𝑎 + 𝑏 −𝑏
] ;  𝑎,  𝑏 ∈ ℜ}. 
a) o vetor [
5 6
1 2
] ∈ 𝑆? Resposta: Sim. 
b) Qual o valor de k para que [
−4 𝑘
2 −3
] ∈ 𝑆? Resposta:𝑘 = −2. 
5.2.2 Intersecção de Subespaços Vetoriais 
Se 𝑊1 e 𝑊2 são subespaços vetoriais de V, então 𝑊1 ∩𝑊2 é também um subespaço vetorial de 
V. 
Demonstração: 
(i)𝑢,  𝑣 ∈ (𝑊1 ∩𝑊2) ⇒ 𝑢,  𝑣 ∈ 𝑊1  𝑒  𝑢,  𝑣 ∈ 𝑊2 ⇒ ( ) ( ) ++ 21 e WvuWvu (𝑢 +
𝑣) ∈ 𝑊1 ∩𝑊2 
(ii) 𝛼 ∈ ℜ,  𝑢 ∈ 𝑊1 ∩𝑊2 ⇒ 𝑢 ∈ 𝑊1  𝑒  𝑢 ∈ 𝑊2 ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑢 ∈ 𝑊1  𝑒  𝛼 ⋅ 𝑢 ∈ 𝑊2 ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑢 ∈
𝑊1 ∩ 𝑊2 . 
As figuras que seguem, apresentam dois casos para ilustrar que a intersecção de dois subespaços 
vetoriais de V é também um subespaço vetorial de V: 
a) Se 𝑊1 e 𝑊2 são retasque passam pela origem (e portanto são subespaços vetoriais do ℜ
2), 
então 𝑊1 ∩𝑊2 = { 0 }, isto é, a intersecção de 𝑊1 e 𝑊2 é um conjunto unitário constituído 
pela origem do sistema cartesiano (0 = (0,  0)), que já sabemos que é um dos subespaços 
triviais do ℜ
2
. 
 
b) Se 𝑊1 e 𝑊2 são planos que passam pela origem (e portanto, estes conjuntos são subespaços 
vetoriais do ℜ3), então 𝑊1 ∩𝑊2 é uma reta que também passa pela origem (no caso da figura 
é o eixo das cotas, isto é, o eixo z), que também é um subespaço vetorial do ℜ
3
. 
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Observação: Encontre alguns contraexemplos para provar que se 𝑊1 e 𝑊2 são subespaços 
vetoriais de V, então 𝑊1 ∪𝑊2 não é necessariamente um subespaço vetorial de V (isto é, a união 
de dois subespaços vetoriais nem sempre é um subespaço vetorial). 
5.2.3 Soma de subespaços Vetoriais 
Sejam 𝑊1 e 𝑊2 dois subespaços vetoriais de V. 
Definimos a soma destes dois subespaços como: 
𝑊1 +𝑊2 = {𝑣 ∈ 𝑉:  𝑣 = 𝑤1 + 𝑤2 ,   com 𝑤1 ∈ 𝑊1  𝑒  𝑤2 ∈ 𝑊2}. 
Podemos provar que o conjunto 𝑊1 +𝑊2, assim definido, é um subespaço vetorial de V. 
Demonstração: 
Para isto, devemos provar que 𝑊1 +𝑊2 é “fechado” em relação à soma de vetores e à 
multiplicação de vetor por número real, isto é, devemos mostrar que: 
(i) ( )+ 21, WWvu (𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑊1 +𝑊2) 
(ii) 𝛼 ∈ ℜ,  𝑣 ∈ (𝑊1 +𝑊2) ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑣 ∈ (𝑊1 + 𝑊2). 
Provemos primeiramente o item (i): 
𝑢,  𝑣 ∈ (𝑊1 +𝑊2) ⇒ 𝑢 = 𝑤1
′ + 𝑤2
′   𝑒  𝑣 = 𝑤1
′′ + 𝑤2
′′ ,   com 𝑤1
′ ,  𝑤1
′′ ∈ 𝑊1  𝑒  𝑤2
′ ,  𝑤2
′′
∈ 𝑊2 
⇒ 𝑢 + 𝑣 = (𝑤1
′ + 𝑤2
′ )  +  (𝑤1
′′ + 𝑤2
′′)  =   (𝑤1
′ + 𝑤1
′′)⏟ 
∈ 𝑊1
  +  (𝑤2
′ + 𝑤2
′′)⏟ 
∈ 𝑊2
⇒ (𝑢 + 𝑣) ∈
(𝑊1 +𝑊2). 
Agora provemos o item (ii): 
𝛼 ∈ ℜ,  𝑣 ∈ (𝑊1 +𝑊2) ⇒  𝑣 = 𝑤1 + 𝑤2 ,   com 𝑤1 ∈ 𝑊1  𝑒  𝑤2 ∈ 𝑊2 ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑤1 ∈
𝑊1  𝑒  𝛼 ⋅ 𝑤2 ∈ 𝑊2 ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑤1 + 𝛼 ⋅ 𝑤2 = 𝛼 ⋅ (𝑤1 + 𝑤2) = 𝛼 ⋅ 𝑣 ∈ (𝑊1  +𝑊2). 
Observações: 
a) 𝑊1 ⊂ (𝑊1 +𝑊2) e 𝑊2 ⊂ (𝑊1 +𝑊2); 
Basta lembrarmos que 𝑊1 +𝑊2 = {𝑣 ∈ 𝑉:  𝑣 = 𝑤1 + 𝑤2 ,   com 𝑤1 ∈ 𝑊1  𝑒  𝑤2 ∈ 𝑊2}. 
Se tomarmos =+== 0wv0w 12 𝑤1, logo 𝑊1 ⊂ (𝑊1 +𝑊2). 
Se tomarmos =+== 21 w0v0w 𝑤2, logo 𝑊2 ⊂ (𝑊1 +𝑊2). 
b) 𝑊1 +𝑊2 é denominado “soma” de 𝑊1 com 𝑊2 (não é união); 
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c) Pode ocorrer que 𝑊1 ∩𝑊2 = { 0 }, isto é, a intersecção de 𝑊1 com 𝑊2 pode resultar em um 
conjunto unitário constituído apenas pelo vetor nulo. Neste caso, denotaremos a soma por 𝑊1⊕
𝑊2 e a chamaremos de soma direta. 
5.2.4 Combinações Lineares 
Sejam os vetores 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛  ∈ 𝑉 e os escalares 𝛼1,  𝛼2,  ⋯ , 𝛼𝑛  ∈ ℜ. Qualquer vetor 
𝑣 ∈ 𝑉 da forma 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 +  ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛  é uma combinação linear dos vetores 
𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛, com coeficientes 𝛼1,  𝛼2,   ⋯ , 𝛼𝑛 . 
Exemplos: 
1) Considere os vetores do ℜ
3
: 𝑢 = (1,−3,2) e 𝑣 = (2,4,−1). 
a) Escreva o vetor 𝑤 = (−4,−18,7) como combinação linear de u e v. 
Resolução: 
𝑤 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 
(−4,−18,7) = 𝛼(1,−3,2) + 𝛽(2,4, −1) 
{
𝛼 + 2𝛽 = −4
−3𝛼 + 4𝛽 = −18
2𝛼 − 𝛽 = 7
⇒ 𝛼 = 2 e 𝛽 = −3 ⇒ 𝑤 = 2𝑢 − 3𝑣 
b) Mostrar que o vetor 𝑡 = (4,3, −6) não pode ser escrito como combinação linear de u e v. 
Resolução: 
Basta mostrar que o sistema {
𝛼 + 2𝛽 = 4
−3𝛼 + 4𝛽 = 3
2𝛼 − 𝛽 = −6
 é impossível. 
c) Determine o valor de k para que o vetor 𝑞 = (−1, 𝑘, −7) possa ser escrito como combinação 
linear de u e v. 
Resolução: 
{
𝛼 + 2𝛽 = −1
−3𝛼 + 4𝛽 = 𝑘
2𝛼 − 𝛽 = −7
⇒ Basta mostrar que para que este sistema seja SPD é necessário que 𝑘 = 13. 
d) Determine a relação que deve existir entre x, y, z de modo que o vetor (𝑥, 𝑦, 𝑧) possa ser 
escrito como combinação linear de u e v. 
Resolução: 
{
𝛼 + 2𝛽 = 𝑥
−3𝛼 + 4𝛽 = 𝑦
2𝛼 − 𝛽 = 𝑧
⇒ Basta mostrar que para que este sistema seja SPD é necessário que −𝑥 +
𝑦 + 2𝑧 = 0. 
2) Mostre que o vetor 𝑡 = (3,4) ∈ ℜ2 pode ser escrito de infinitas maneiras como combinações 
lineares de 𝑢 = (1,0), 𝑣 = (0,1) e 𝑤 = (2,−1). 
Resolução: 
𝑡 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 + 𝛾𝑤 
(3,4) = 𝛼(1,0) + 𝛽(0,1) + 𝛾(2,−1) 
{
𝛼 + 2𝛾 = 3
𝛽 − 𝛾 = 4
⇒ Basta mostrar para que este sistema é SPI. 
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5.3 Subespaços Gerados 
Seja V um espaço vetorial e 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛  ∈ 𝑉. Então o conjunto: 
𝑆 = { 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛 ;  𝑎1, 𝑎2 ,⋯ , 𝑎𝑛 ∈ ℜ } ⊂ 𝑉 é denominado conjunto 
gerado por 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛. 
Representação: 𝑆 = [𝑣1,  𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛]. 
Observações: 
a) 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛  ∈ [𝑣1, 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛], pois: 
𝑣𝑖 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛, com 𝑎𝑖 = 1 e 𝑎𝑗 = 0 se 𝑗 ≠ 𝑖. 
b) 0 ∈ [𝑣1,  𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛], basta fazer 𝑎𝑖 = 0, ∀ 𝑖. 
Proposição: O conjunto gerado por 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛, isto é 𝑆 = [𝑣1,  𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛] é um 
subespaço vetorial de V. 
Então, devemos provar que se: 
(i) 𝑢,  𝑣 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆 e 
(ii) 𝛼 ∈ ℜ,  𝑢 ∈ 𝑆 ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑢 ∈ 𝑆 
Demonstração: 
(i) 𝑢,  𝑣 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑢 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛 e 𝑣 = 𝑏1𝑣1 + 𝑏2𝑣2 +⋯+ 𝑏𝑛𝑣𝑛. 
Somando estas duas últimas expressões, membro a membro, obtemos 𝑢 + 𝑣 = (𝑎1 + 𝑏1)𝑣1 +
(𝑎2 + 𝑏2)𝑣2 +⋯+ (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)𝑣𝑛 ⇒ 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆 
 
(ii)𝛼 ∈ ℜ,  𝑢 ∈ 𝑆 ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑢 = 𝛼 ⋅ (𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛)=(𝛼 ⋅ 𝑎1)𝑣1 + (𝛼 ⋅ 𝑎2)𝑣2 +⋯+
(𝛼 ⋅ 𝑎𝑛)𝑣𝑛 ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑢 ∈ 𝑆. 
Exemplos: 
1) 𝑉 = ℜ3 e 𝑣 ∈ ℜ3, então o subespaço gerado por v é uma reta que passa pela origem do 
sistema cartesiano e tem v como vetor diretor, isto é 𝑆 = [𝑣] = {𝑎 ⋅ 𝑣 ;   𝑎 ∈ ℜ}. 
2) 𝑉 = ℜ3 e 𝑣1,  𝑣2 ∈ ℜ
3, tais que 𝑎 ⋅ 𝑣1 ≠ 𝑣2 ∀𝑎 ∈ ℜ, então o subespaço gerado por 𝑣1, 𝑣2 é 
um plano que passa pela origem do sistema cartesiano e tem 𝑣1, 𝑣2 como vetores diretores, isto 
é 𝑆 = [𝑣1,  𝑣2] = { 𝑎1 ⋅ 𝑣1 + 𝑎2 ⋅ 𝑣2 ;  𝑎1,  𝑎2 ∈ ℜ }. 
3) 𝑉 = ℜ2 , 𝑣1 = (1,0) 𝑒 𝑣2 = (0,1), encontre o subespaço vetorial gerado por 𝑣1 e 𝑣2, isto é, 
ache [𝑣1,  𝑣2]. 
Resolução: 
𝑆 = [𝑣1,  𝑣2] = { 𝑎1 ⋅ 𝑣1 + 𝑎2 ⋅ 𝑣2 ;  𝑎1,  𝑎2 ∈ ℜ }={ 𝑎1 ⋅ (1,0) + 𝑎2 ⋅ (0,1) ;  𝑎1,  𝑎2 ∈
ℜ }={ (𝑎1, 𝑎2) ;  𝑎1,  𝑎2 ∈ ℜ }=ℜ
2
. 
4) 𝑉 = ℜ3 , 𝑣1 = (1,0,0) , 𝑣2 = (0,1,0) 𝑒 𝑣3 = (0,0,1), encontre o subespaço vetorial gerado 
por 𝑣1, 𝑣2 e 𝑣3, isto é, ache [𝑣1,  𝑣2, 𝑣3]. 
Resolução: 
𝑆 = [𝑣1,  𝑣2, 𝑣3] = { 𝑎1 ⋅ 𝑣1 + 𝑎2 ⋅ 𝑣2 + 𝑎3 ⋅ 𝑣3 ;  𝑎1, 𝑎2,  𝑎3 ∈ ℜ }={ 𝑎1 ⋅ (1,0,0) + 𝑎2 ⋅
(0,1,0) + 𝑎3 ⋅ (0,0,1) ;  𝑎1,  𝑎2,  𝑎3 ∈ ℜ }={ (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) ;  𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 ∈ ℜ }=ℜ
3
. 
5) 𝑉 = ℜ3 , 𝑣1 = (1,0,0) 𝑒 𝑣2 = (0,1,0) , encontre o subespaço vetorial gerado por 𝑣1 e 𝑣2, 
isto é, ache [𝑣1,  𝑣2]. 
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Resolução: 
𝑆 = [𝑣1,  𝑣2] = { 𝑎1 ⋅ 𝑣1 + 𝑎2 ⋅ 𝑣2 ;  𝑎1,  𝑎2 ∈ ℜ }={ 𝑎1 ⋅ (1,0,0) + 𝑎2 ⋅
(0,1,0) ;  𝑎1,  𝑎2 ∈ ℜ }={ (𝑎1, 𝑎2, 0) ;  𝑎1, 𝑎2 ∈ ℜ }, isto é, é o plano que contém os eixos x 
e y (xOy). 
6) 𝑉 = ℜ3 , 𝑣1 = (1,−2,−1) 𝑒 𝑣2 = (2,1,1) , encontre o subespaço vetorial gerado por 𝑣1 e 
𝑣2, isto é, ache [𝑣1,  𝑣2]. 
Resolução: 
𝑆 = [𝑣1,  𝑣2] = { 𝑎1 ⋅ 𝑣1 + 𝑎2 ⋅ 𝑣2 ;  𝑎1,  𝑎2 ∈ ℜ }={ 𝑎1 ⋅ (1, −2,−1) + 𝑎2 ⋅
(2,1,1) ;  𝑎1,  𝑎2 ∈ ℜ }={ (𝑎1 + 2𝑎2, −2𝑎1 + 𝑎2, −𝑎1 + 𝑎2) ;  𝑎1, 𝑎2 ∈ ℜ }, isto é: 
𝑆 = [𝑣1,  𝑣2] = { (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℜ
3/ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎1 + 2𝑎2, −2𝑎1 + 𝑎2, −𝑎1 + 𝑎2) ;  𝑎1, 𝑎2 ∈
ℜ }. 
Desta forma, para que uma tripla ordenada (𝑥, 𝑦, 𝑧) possa pertencer a este subespaço gerado é 
necessário que:{
𝑎1 + 2𝑎2 = 𝑥
−2𝑎1 + 𝑎2 = 𝑦
−𝑎1 + 𝑎2 = 𝑧
 e isto ocorrerá se: 
[
1 2 𝑥
−2 1 𝑦
−1 1 𝑧
] ⇒ 










+
+
zx
yx
x
30
250
21
[
1 2 𝑥
0 5 2𝑥 + 𝑦
0 0
−𝑥−3𝑦+5𝑧
5
] ⇒ Logo devemos ter 
−𝑥−3𝑦+5𝑧
5
= 0 ⇒
𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 0 (que é um plano que passa pela origem). 
7) Ache um conjunto de geradores do seguinte subespaço: 
𝑈 = { (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℜ4/𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0}. 
Resolução: 
Fazendo 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0 ⇒ 𝑥 = 𝑦 + 𝑧 − 𝑡, então: 
𝑈 = { (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℜ4/𝑥 − 𝑦 − 𝑧+ 𝑡 = 0}={ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℜ4/𝑥 = 𝑦 + 𝑧 − 𝑡}= 
{  (𝑦 + 𝑧 − 𝑡, 𝑦, 𝑧, 𝑡),  𝑦, 𝑧, 𝑡 ∈ ℜ }={  𝑦(1,1,0,0) + 𝑧(1,0,1,0) + 𝑡(−1,0,0,1)/𝑦, 𝑧, 𝑡 ∈ ℜ } 
Assim, 𝑈 = [ (1,1,0,0), (1,0,1,0), (−1,0,0,1) ] 
8) Consideremos no espaço vetorial ℜ
3, os seguintes subespaços vetoriais: 
𝑈 = [ (1,0,0), (1,1,1) ] e 𝑉 = [ (0,1,0), (0,0,1) ]. Determinar um conjunto de geradores de 
𝑈 ∩ 𝑉. 
Resolução: 
𝑤 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 ⇔ 𝑤 ∈ 𝑈 𝑒 𝑤 ∈ 𝑉, então ∃ 𝛼,  𝛽,  𝛾,  𝛿 ∈ ℜ tais que: 
𝛼(1,0,0) + 𝛽(1,1,1) = 𝛾(0,1,0) + 𝛿(0,0,1) ⇒ (𝛼, 0,0) + (𝛽, 𝛽, 𝛽) = (0, 𝛾, 0) + (0,0, 𝛿) ⇒
(𝛼 + 𝛽, 𝛽, 𝛽) = (0, 𝛾, 𝛿), logo: {
𝛼 + 𝛽 = 0 ⇒ 𝛼 = −𝛽
𝛽 = 𝛾
𝛽 = 𝛿
 
Assim, os vetores 𝑤 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 são do tipo −𝛽(1,0,0) + 𝛽(1,1,1) = 𝛽(0,1,0) + 𝛽(0,0,1), ou 
𝑤 = 𝛽(0,1,1). 
Desta forma, temos que 𝑈 ∩ 𝑉 =[ (0,1,1) ]. 
9) São Subespaços vetoriais de 𝐶(𝐼) os seguintes subconjuntos: 
𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐶(𝐼)/ 𝑓(𝑡) = 𝑓(−𝑡), ∀𝑡 ∈ 𝐼 ⊂ ℜ}, é o conjunto das funções pares. 
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𝑉 = {𝑓 ∈ 𝐶(𝐼)/ 𝑓(𝑡) = −𝑓(−𝑡), ∀𝑡 ∈ 𝐼 ⊂ ℜ}, é o conjunto das funções ímpares. 
Mostre que 𝐶(𝐼) = 𝑈⊕ 𝑉, isto é, que 𝐶(𝐼) é soma direta de U com V. 
Resolução: 
Primeiro mostraremos que 𝐶(𝐼) = 𝑈 + 𝑉: 
Toda função real f definida em I pode ser decomposta como: 
𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡) + ℎ(𝑡), ∀𝑡 ∈ 𝐼, onde 
𝑔(𝑡) =
𝑓(𝑡)+𝑓(−𝑡)
2
 e ℎ(𝑡) =
𝑓(𝑡)−𝑓(−𝑡)
2
. Como temos que: 
𝑔(−𝑡) =
𝑓(−𝑡)+𝑓(𝑡)
2
= 𝑔(𝑡) e ℎ(−𝑡) =
𝑓(−𝑡)−𝑓(𝑡)
2
= −ℎ(𝑡), então 𝑔 ∈ 𝑈 e ℎ ∈ 𝑉. Portanto 
𝐶(𝐼) = 𝑈 + 𝑉. 
Agora mostraremos que 𝐶(𝐼) = 𝑈⊕ 𝑉: 
Se 𝑓 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉, então 𝑓(𝑡) = 𝑓(−𝑡) e 𝑓(𝑡) = −𝑓(−𝑡), ∀𝑡 ∈ 𝐼. Logo, somando membro a 
membro, obtemos: 
2𝑓(𝑡) = 0 ⇒ 𝑓(𝑡) = 0 ⇒ 𝐶(𝐼) = 𝑈⊕ 𝑉, isto é, a soma é direta. 
10) Verifique que o espaço vetorial 𝑀2×2(ℜ), com as operações usuais de adição de matrizes 
e multiplicação de matriz por número real, é gerado pelo seguinte conjunto de vetores: 
{ [
1 0
0 0
] , [
0 1
0 0
] , [
0 0
1 0
] , [
0 0
0 1
] } 
11) Quantos vetores, no mínimo, são necessários para gerar o espaço vetorial ℜ
𝑛
? 
Resposta: n vetores. 
5.4 Dependência e Independência Linear 
Seja V um espaço vetorial e 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛  ∈ 𝑉. Diz-se que o conjunto { 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } 
é linearmente independente (LI) quando: 
𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛 = 0 ⇒ 𝑎1 = 𝑎2  = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0 
(Isto significa que toda combinação linear nula, implicará que os coeficientes de tal combinação 
linear deverão ser todos iguais a zero). 
Caso contrário, isto é, se 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛 = 0 e ∃ 𝑎𝑗 ≠ 0 para algum j, dizemos que 
{ 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } é um conjunto linearmente dependente (LD). 
Exemplos: 
1) Seja 𝑉 = ℜ2 e o conjunto formado pelos vetores 𝑣1 e 𝑣2, sendo 𝑣1 = (2,−1) 𝑒 𝑣2 =
(4,−2). Então este conjunto {𝑣1,  𝑣2} é LI ou LD? 
Resposta: É LD, pois podemos construir combinações lineares nulas, sem que os coeficientes 
sejam todos nulos, exemplo: 2𝑣1 + (−1)𝑣2 = 0, isto é: 2(2,−1) + (−1)(4,−2) = (0,0). 
2) Seja 𝑉 = ℜ2 e o conjunto formado pelos vetores 𝑣1 e 𝑣2, sendo 𝑣1 = (1,0) 𝑒 𝑣2 = (0,1). 
Este conjunto {𝑣1,  𝑣2} é LI ou LD? 
Resposta: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que os coeficientes 
deverão ser iguais a zero: 
𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 = 0 ⇒ 𝑎1(1,0) + 𝑎2(0,1) = (0,0)(𝑎1, 𝑎2) = (0,0) ⇒ {
𝑎1 = 0
𝑎2 = 0
 
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3) Seja 𝑉 = ℜ2 e o conjunto formado pelos vetores 𝑣1, 𝑣2 e 𝑣3, sendo 𝑣1 = (2,1) , 𝑣2 =
(1,0) 𝑒 𝑣3 = (1,1). Então este conjunto {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} é LI ou LD ? 
Resposta: É LD, pois uma combinação linear nula não implicará necessariamente que os 
coeficientes sejam nulos. 
𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + 𝑎3𝑣3 = 0 ⇒ 𝑎1(2,1) + 𝑎2(1,0) + 𝑎3(1,1) = (0,0){
2𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 0
𝑎1 + 𝑎3 = 0
[
2 1 1 0
1 0 1 0
][
1 0 1 0
0 1 −1 0
] ⇒Logo o sistema é SPI, tendo infinitas soluções. Logo 
o referido conjunto é realmente LD. 
4) Seja 𝑉 = ℜ3 e o conjunto formado pelos vetores 𝑣1, 𝑣2 e 𝑣3, sendo 𝑣1 = (1,0,2) , 𝑣2 =
(3,4,1) 𝑒 𝑣3 = (5,4,5). Então este conjunto {𝑣1,  𝑣2,  𝑣3} é LI ou LD ? 
Resposta: É LD, pois uma combinação linear nula não implicará necessariamente que os 
coeficientes sejam nulos. 
Para confirmar isto basta fazer: 
𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + 𝑎3𝑣3 = 0 ⇒ 𝑎1(1,0,2) + 𝑎2(3,4,1) + 𝑎3(5,4,5) = (0,0,0)
{
𝑎1 + 3𝑎2 + 5𝑎3 = 0
0𝑎1 + 4𝑎2 + 4𝑎3 = 0
2𝑎1 + 𝑎2 + 5𝑎3 = 0
⇒ 
Escalonando podemos mostrar que este sistema é SPI. Logo o referido conjunto é realmente 
LD. 
Poderíamos chegar à mesma conclusão observando que 2𝑣1 + 𝑣2 − 𝑣3 = 0 ⇒ 2 ⋅ (1,0,2) + 1 ⋅
(3,4,1) − 1 ⋅ (5,4,5) = (0,0,0), isto é, podemos construir combinações lineares nulas, sem que 
os coeficientes sejam todos nulos. 
5) Seja 𝑉 = ℜ3 e o conjunto formado pelos vetores 𝑣1, 𝑣2 e 𝑣3, sendo 𝑣1 = (1,0,0) , 𝑣2 =
(0,1,0) 𝑒 𝑣3 = (0,0,1). Então este conjunto {𝑣1,  𝑣2,  𝑣3} é LI ou LD ? 
Resposta: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que os coeficientes 
deverão ser iguais a zero: 
𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + 𝑎3𝑣3 = 0 ⇒ 𝑎1(1,0,0) + 𝑎2(0,1,0) + 𝑎3(0,0,1) = (0,0,0) ⇒ 
(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) = (0,0,0) ⇒ {
𝑎1 = 0
𝑎2 = 0
𝑎3 = 0
 
6) Mostre que o conjunto {1,  sen2𝑥, 𝑐𝑜𝑠2 𝑥} de vetores de 𝐶(−𝜋, 𝜋) é LD. 
Resolução: 
Basta lembrar da relação =+ 1cossen
22 xx (−1) ⋅ 1 + 1 ⋅ sen2𝑥 + 1 ⋅ cos2𝑥 = 0 ⇒isto é, 
temos uma combinação linear nula sem que os coeficientes sejam todos nulos. 
7) Mostre que o conjunto {1, 𝑒𝑥,  𝑒2𝑥} de vetores de 𝐶(0,1) é LI. 
Resolução: 
Vamos partir de uma combinação linear nula destes vetores: 
𝑎 ⋅ 1 + 𝑏 ⋅ 𝑒𝑥 + 𝑐 ⋅ 𝑒2𝑥 = 0 ⇒ derivando tudo em relação a x obtemos: 𝑏 ⋅ 𝑒𝑥 + 2𝑐 ⋅ 𝑒2𝑥 =
0 ⇒dividindo os dois membros da igualdade por 𝑒𝑥 obtemos: 𝑏 + 2𝑐 ⋅ 𝑒𝑥 = 0 ⇒ derivando 
novamente tudo em relação a x encontramos: 2𝑐 ⋅ 𝑒𝑥 = 0 ⇒ dividindo novamente os dois 
membros da igualdade por 𝑒𝑥concluímos que: 2 ⋅ 𝑐 = 0 ⇒ 𝑐 = 0 
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⇒logo 𝑏 = 0 e 𝑎 = 0. Ou seja, toda combinação linear nula destes vetores implicará que os 
coeficientes também deverão ser nulos. Assim, o referido conjunto é LI. 
8) Determinar os valores de m e n, para que os seguintes conjuntos de vetores do ℜ
3
 sejam LI. 
a) { (3,  5𝑚,  1), (2,  0,  4), (1,  𝑚,  3) } Resposta: 𝑚 ≠ 0 
b) { (1,  3,  5), (2,  𝑚 + 1,  10)  } Resposta: 𝑚 ≠ 5 
c) { (6,  2,  𝑛), (3,  𝑚 + 𝑛,  𝑚 − 1) } Resposta: 𝑚 ≠ 1 ou 𝑛 ≠ 0 
Resolução de “a”: 
𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + 𝑎3𝑣3 = 0 ⇒ 𝑎1(3,5𝑚, 1) + 𝑎2(2,0,4) + 𝑎3(1,𝑚, 3) = (0,0,0) ⇒ 
{
3𝑎1 + 2𝑎2 + 𝑎3 = 0
5𝑚𝑎1 + 0𝑎2 +𝑚𝑎3 = 0
1𝑎1 + 4𝑎2 + 3𝑎3 = 0
[
1 4 3 0
5𝑚 0 𝑚 0
3 2 1 0
][
1 4 3 0
0 −20𝑚 −14𝑚 0
0 −10 −8 0
] ⇒ 
 
[
1 4 3 0
0 5 4 0
0 −10𝑚 −7𝑚 0
][
1 4 3 0
0 5 4 0
0 0 𝑚 0
] ⇒Para que o sistema seja SPD devemos ter: 𝑚 ≠
0. 
Proposição: 
{ 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LD) ⇔um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos 
outros. 
Demonstração: 
{ 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LD) ⇔ ∃ 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛 = 0 com 𝑎𝑗 ≠ 0 para algum j 
⇔podemos isolar o vetor 𝑣𝑗 (o vetor que tem coeficiente 𝑎𝑗 ≠ 0), obtendo 𝑣𝑗 = (−
𝑎1
𝑎𝑗
) 𝑣1 +
(−
𝑎2
𝑎𝑗
) 𝑣2 +⋯+ (−
𝑎𝑛
𝑎𝑗
) 𝑣𝑛 ⇔um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos 
outros. 
5.5 Base de um Espaço Vetorial 
Seja V um espaço vetorial e 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛  ∈ 𝑉. 
{ 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } é uma base de V se e somente se: 
(i) [𝑣1,  𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛] =V 
(ii) { 𝑣1, 𝑣2,  ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LI) 
Exemplos: 
1) Verifique que o conjunto {𝑣1,  𝑣2}, onde 𝑣1 = (1,0) 𝑒 𝑣2 = (0,1) é uma base do espaço 
vetorial 𝑉 = ℜ2. (Esta base é chamada de base canônica do ℜ2). 
Basta provar que este conjunto gera o ℜ
2
 e é um conjunto LI, isto é: 
(i) [ (1,0), (0,1) ]=V 
(ii) { (1,0), (0,1) } é (LI) 
2) Verifique que o conjunto {𝑣1,  𝑣2}, onde 𝑣1 = (1,0) 𝑒 𝑣2 = (4,0) não é uma base do espaço 
vetorial 𝑉= ℜ2. 
Resolução: Basta provar que este conjunto não gera o ℜ
2
, ou que o mesmo não é LI. 
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3) Seja o espaço vetorial 𝑉 = ℜ𝑛 e o conjunto {𝑒1, 𝑒2, ⋯ , 𝑒𝑛}, onde: 
𝑒1 = (1,0,0,⋯ ,0,0), 𝑒2 = (0,1,0,⋯ ,0,0), ... , 𝑒𝑛 = (0,0,0,⋯ ,0,1). 
Então {𝑒1, 𝑒2, ⋯ , 𝑒𝑛} é uma base doℜ
𝑛 chamado de base canônica do ℜ
𝑛
. 
 
Proposição: Seja { 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } um conjunto de n vetores não nulos de um espaço 
vetorial V. Se [𝑣1,  𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛] = 𝑉, então podemos extrair uma base para V deste conjunto. 
Proposição: Seja V um espaço vetorial tal que { 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } gera V. Sejam ainda, m 
vetores quaisquer de V: 𝑤1, 𝑤2,  ⋯ , 𝑤𝑚 com m > n. Então { 𝑤1, 𝑤2,   ⋯ , 𝑤𝑚 } é (LD). 
Isto significa que se n vetores geram um espaço vetorial V, qualquer conjunto com mais do que 
n vetores é necessariamente LD. 
Proposição: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de vetores. 
Demonstração: 
Vamos supor que um espaço vetorial V tem duas bases, com diferentes números de vetores, isto 
é: { 𝑣1, 𝑣2,  ⋯ , 𝑣𝑛 } e { 𝑤1, 𝑤2,   ⋯ , 𝑤𝑚 }, com 𝑛 ≠ 𝑚, são bases de V. Neste caso 
podemos concluir que: 
(i) Como [𝑤1, 𝑤2,  ⋯ , 𝑤𝑚] = 𝑉 e { 𝑣1,  𝑣2,  ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LI) temos que 𝑚 ≥ 𝑛. 
(ii) Como [𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛] = 𝑉 e { 𝑤1,  𝑤2,   ⋯ , 𝑤𝑚 } é (LI) temos que 𝑛 ≥ 𝑚. 
Se temos 𝑚 ≥ 𝑛 e 𝑛 ≥ 𝑚, então só pode ocorrer m = n. 
Observações: 
a) Este número de vetores que é constante para todas as bases de um espaço vetorial é 
denominado “dimensão” do espaço. Podemos representar a dimensão de V por Dim V. 
b) Neste material trataremos apenas de espaços vetoriais de dimensões finitas. 
Proposição: 
Dada uma base 𝐵 = { 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } de V, então cada vetor 𝑣 ∈ 𝑉 é escrito de maneira 
única como combinação linear dos vetores de B. 
Demonstração: 
Seja 𝑣 ∈ 𝑉 um vetor genérico de V, então podemos escrever 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +  ⋯ +
 𝑎𝑛𝑣𝑛 . Suponhamos, por “redução ao absurdo” que 𝑣 = 𝑏1𝑣1 + 𝑏2𝑣2 +  ⋯ + 𝑏𝑛𝑣𝑛 , com 
𝑏𝑗 ≠ 𝑎𝑗 para algum j. 
Subtraindo as duas combinações lineares, membro a membro, obtemos: 0 = (𝑎1 − 𝑏1)𝑣1 +
 (𝑎2 − 𝑏2)𝑣2 +  ⋯ + (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛)𝑣𝑛 . 
Fazendo: (𝑎1 − 𝑏1) = 𝑐1,  (𝑎2 − 𝑏2) = 𝑐2,   ⋯  , (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = 𝑐𝑛 obtemos: 
 𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 +  ⋯ + 𝑐𝑛𝑣𝑛  = 0, com 𝑐𝑗 ≠ 0 para algum j. Isto nos leva a concluir que 
{ 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LD), o que é um absurdo, pois { 𝑣1, 𝑣2,  ⋯ , 𝑣𝑛 } é uma base de V. 
Desta forma, não é possível de se escrever v como duas combinações lineares diferentes com 
vetores da mesma base. 
Definição: Seja V um espaço vetorial e 𝐵 = { 𝑣1, 𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } uma base ordenada de V. 
Dado 𝑣 ∈ 𝑉, sendo 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +  ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛 , escrevemos: 
[𝑣]𝐵 = [
𝑎1
⋮
𝑎𝑛
] e dizemos que [𝑣]𝐵 representa as coordenadas de v na base ordenada B. 
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5.5.1 Mudança de Base 
Seja V um espaço vetorial e: 
𝐴 = { 𝑢1,  𝑢2,   ⋯ , 𝑢𝑛 } e 𝐵 = { 𝑤1, 𝑤2,  ⋯ , 𝑤𝑛 } duas bases ordenadas de V. 
Seja ainda 𝑣 ∈ 𝑉, um vetor genérico de V. 
Supondo que [𝑣]𝐴 = [
𝑥1
⋮
𝑥𝑛
] e [𝑣]𝐵 = [
𝑦1
⋮
𝑦𝑛
], isto é: 
𝑣 = 𝑥1𝑢1 + 𝑥2𝑢2 +  ⋯ + 𝑥𝑛𝑢𝑛  e 𝑣 = 𝑦1𝑤1 + 𝑦2𝑤2 +  ⋯ + 𝑦𝑛𝑤𝑛 , ache a relação 
entre [𝑣]𝐴  e [𝑣]𝐵 . 
Resolução: 
Podemos escrever os vetores da base ordenada A como combinações lineares dos vetores da 
base ordenada B: 
{
𝑢1 = 𝑎11𝑤1 + 𝑎21𝑤2 +⋯𝑎𝑛1𝑤𝑛
𝑢2 = 𝑎12𝑤1 + 𝑎22𝑤2 +⋯𝑎𝑛2𝑤𝑛
⋮
𝑢𝑛 = 𝑎1𝑛𝑤1 + 𝑎2𝑛𝑤2 +⋯𝑎𝑛𝑛𝑤𝑛
 
Substituindo estas combinações lineares em 𝑣 = 𝑥1𝑢1 + 𝑥2𝑢2 +  ⋯ + 𝑥𝑛𝑢𝑛 , obtemos: 
𝑣 = 𝑥1(𝑎11𝑤1 + 𝑎21 𝑤2 +  ⋯ + 𝑎𝑛1𝑤𝑛) + 𝑥2(𝑎12𝑤1 + 𝑎22 𝑤2 +  ⋯ + 𝑎𝑛2𝑤𝑛) + ⋯+ 
+𝑥𝑛(𝑎1𝑛𝑤1 + 𝑎2𝑛 𝑤2 +  ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑤𝑛). 
Aplicando a propriedade distributiva e isolando os vetores da base B, obtemos: 
𝑣 = (𝑥1𝑎11 + 𝑥2𝑎12 +⋯ + 𝑥𝑛𝑎1𝑛)⏟ 
𝑦1
𝑤1 + (𝑥1𝑎21 + 𝑥2𝑎22 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑎2𝑛)⏟ 
𝑦2
𝑤2 +⋯+ 
+(𝑥1𝑎𝑛1 + 𝑥2𝑎𝑛2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑎𝑛𝑛)⏟ 
𝑦𝑛
𝑤𝑛, logo 
{
𝑦1 = 𝑥1𝑎11 + 𝑥2𝑎12 +⋯+ 𝑥𝑛𝑎1𝑛
𝑦2 = 𝑥1𝑎21 + 𝑥2𝑎22 +⋯+ 𝑥𝑛𝑎2𝑛
⋮
𝑦𝑛 = 𝑥1𝑎𝑛1 + 𝑥2𝑎𝑛2 +⋯+ 𝑥𝑛𝑎𝑛𝑛
 
[
𝑦1
𝑦2
⋮
𝑦𝑛
] = [
𝑥1𝑎11 + 𝑥2𝑎12 +⋯ + 𝑥𝑛𝑎1𝑛
𝑥1𝑎21 + 𝑥2𝑎22 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑥1𝑎𝑛1 + 𝑥2𝑎𝑛2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑎𝑛𝑛
] = [
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
] ⋅ [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] 
Logo [𝑣]𝐵 = [𝐼]𝐵
𝐴   ⋅ [𝑣]𝐴 
Onde a matriz [𝐼]𝐵
𝐴 é chamada de matriz de mudança da base A para a base B. 
Exemplos: 
1) Dados 𝑉 = ℜ2 e as bases 𝐴 = { (2, −1), (3,4) } e 𝐵 = { (1,0), (0,1) }, determine: 
(i) [𝐼]𝐵
𝐴  
(ii) [𝑣]𝐴  
(iii) [𝑣]𝐵  
Resolução: 
(i) [𝐼]𝐵
𝐴  =? 
(2, −1) = 𝑎11(1,0) + 𝑎21(0,1) = (𝑎11, 𝑎21) 
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(3,4) = 𝑎12(1,0) + 𝑎22(0,1) = (𝑎12, 𝑎22) 
[𝐼]𝐵
𝐴  = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] = [
2 3
−1 4
] 
(ii) [𝑣]𝐴  =? 
𝑣 = 𝑥1⏟
?
(2, −1) + 𝑥2⏟
?
(3,4) 
(𝑣1, 𝑣2) = (2𝑥1 + 3𝑥2,  −𝑥1 + 4𝑥2) 
{
2𝑥1 + 3𝑥2 = 𝑣1
−𝑥1 + 4𝑥2 = 𝑣2
[
2 3 𝑣1
−1 4 𝑣2
][
1 −4 −𝑣2
2 3 𝑣1
][
1 −4 −𝑣2
0 11 (𝑣1 + 2𝑣2)
]
[
1 −4 −𝑣2
0 1 (𝑣1 + 2𝑣2)/11
][
1 0 (4𝑣1 − 3𝑣2)/11
0 1 (𝑣1 + 2𝑣2)/11
]{
𝑥1 = (4𝑣1 − 3𝑣2)/11
𝑥2 = (𝑣1 + 2𝑣2)/11
 
Desta forma temos que [𝑣]𝐴  = [
(4𝑣1 − 3𝑣2)/11
(𝑣1 + 2𝑣2)/11
] 
(iii) [𝑣]𝐵  =? 
[𝑣]𝐵 = [𝐼]𝐵
𝐴   ⋅ [𝑣]𝐴 






−
=
41
32
][ 'v [
(4𝑣1 − 3𝑣2)/11
(𝑣1 + 2𝑣2)/11
] = [
𝑣1
𝑣2
] 
2) Com as mesmas bases A e B do exercício anterior, determine [𝐼]𝐴
𝐵 . 
Resolução: 
(1,0) = 𝑎11(2,−1) + 𝑎21(3,4) = (2𝑎11 + 3𝑎21, −𝑎11 + 4𝑎21) 
(0,1) = 𝑎12(2,−1) + 𝑎22(3,4) = (2𝑎12 + 3𝑎22, −𝑎12 + 4𝑎22) 
{
2𝑎11 + 3𝑎21 = 1
−𝑎11 + 4𝑎21 = 0
{
𝑎11 = 4/11
𝑎21 = 1/11
 
{
2𝑎12 + 3𝑎22 = 0
−𝑎12 + 4𝑎22 = 1
{
𝑎12 = −3/11
𝑎22 = 2/11
 
Logo [𝐼]𝐴
𝐵 = [
4/11 −3/11
1/11 2/11
]  
Determine também [𝑣]𝐵  e [𝑣]𝐴 : 
[𝑣]𝐵  =? 
𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) = 𝑥1⏟
?
(1,  0) + 𝑥2⏟
?
(0,  1) = (𝑥1, 𝑥2) ⇒ [𝑣]𝛽 ′  = [
𝑣1
𝑣2
] 
[𝑣]𝐴  =? 
[𝑣]𝐴 = [𝐼]𝐴
𝐵   ⋅ [𝑣]𝐵 =










 −
=
2
1
11/211/1
11/311/4
v
v
[
(4𝑣1 − 3𝑣2)/11
(𝑣1 + 2𝑣2)/11
] 
Observação: Nos dois exercícios anteriores observamos que: 
[𝐼]𝐴
𝐵   ⋅ [𝐼]𝐵
𝐴 = [
4/11 −3/11
1/11 2/11
]  ⋅ [
2 3
−1 4
] = [
1 0
0 1
] 
[𝐼]𝐵
𝐴 ⋅   [𝐼]𝐴
𝐵 = [
2 3
−1 4
] ⋅ [
4/11 −3/11
1/11 2/11
]  = [
1 0
0 1
] 
Então podemos concluir que [𝐼]𝐵
𝐴 =  ([𝐼]𝐴
𝐵)−1 
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Outros exercícios envolvendo bases de um espaço vetorial: 
1) No espaço vetorial ℜ
3
, consideremos as bases 𝐴 = { 𝑒1, 𝑒2,  𝑒3 } e 𝐵 = { 𝑔1,  𝑔2, 𝑔3 }, tais 
que: 
{
𝑔1 = 𝑒1   + 𝑒3
𝑔2 = 2𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3
𝑔3 = 𝑒1 + 2𝑒2 + 𝑒3
, determine [𝐼]𝐵
𝐴  e [𝐼]𝐴
𝐵  
Respostas: 
[𝐼]𝐴
𝐵 = [
1 2 1
0 1 2
1 1 1
]  e [𝐼]𝐵
𝐴 = ([𝐼]𝐴
𝐵)−1 = [
−
1
2
−
1
2
3
2
1 0 −1
−
1
2
1
2
1
2
]   
2) Consideremos o subespaço vetorial do espaço 𝑀3×3(ℜ) (com as operações usuais de adição 
de matrizes e multiplicação de matriz por número real), constituído das matrizes simétricas. 
Determine uma base para este subespaço. 
Resolução: 
As matrizes simétricas 3 × 3 são da forma: [
𝑎 𝑏 𝑐
𝑏 𝑑 𝑒
𝑐 𝑒 𝑓
]. 
Podemos escrever estas matrizes como: 
[
𝑎 𝑏 𝑐
𝑏 𝑑 𝑒
𝑐 𝑒 𝑓
]= a [
1 0 0
0 0 0
0 0 0
]+ d [
0 0 0
0 1 0
0 0 0
]+ f [
0 0 0
0 0 0
0 0 1
]+ b [
0 1 0
1 0 0
0 0 0
]+ c [
0 0 1
0 0 0
1 0 0
]+ e
[
0 0 0
0 0 1
0 1 0
] 
Logo o conjunto: 
{[
1 0 0
0 0 0
0 0 0
],[
0 0 0
0 1 0
0 0 0
],[
0 0 0
0 0 0
0 0 1
],[
0 1 0
1 0 0
0 0 0
],[
0 0 1
0 0 0
1 0 0
],[
0 0 0
0 0 1
0 1 0
]} gera o referido 
subespaço. 
Agora basta provar que este conjunto é LI. 
3) Determinar as coordenadas da matriz [
1 −1
2 0
] de 𝑀2×2(ℜ), em relação à base: 
{ [
1 0
0 1
] , [
0 1
0 0
] , [
0 0
2 0] , [
0 0
1 2
] } 
Resolução: 
[
1 −1
2 0
] = 𝑎 ⋅ [
1 0
0 1
] + 𝑏 ⋅  [
0 1
0 0
] + 𝑐 ⋅  [
0 0
2 0
] + 𝑑 ⋅ [
0 0
1 2
]  ⇒ 
{
𝑎 = 1
𝑏 = −1
2𝑐 + 𝑑 = 2
𝑎 + 2𝑑 = 0

{
 
 
 
 
𝑎 = 1
𝑏 = −1
𝑐 =
5
4
𝑑 = −
1
2
 
4) Determinar as coordenadas do polinômio 1 + 2𝑡 − 𝑡3 ∈ 𝑃3(ℜ), em relação: 
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a) à base canônica deste espaço, que é { 1,  𝑡, 𝑡2,  𝑡3}. 
b) à base: { 1,  1 − 𝑡,  1 − 𝑡2,  1 − 𝑡3} 
Resolução: 
a) 1 + 2𝑡 − 𝑡3 = 𝑎 ⋅ 1 + 𝑏 ⋅ 𝑡 + 𝑐 ⋅ 𝑡2 + 𝑑 ⋅ 𝑡3 ⇒ 𝑎 = 1,𝑏 = 2,𝑐 = 0 e 𝑑 = −1 
b) 1 + 2𝑡 − 𝑡3 = 𝑎 ⋅ (1) + 𝑏 ⋅ (1 − 𝑡) + 𝑐 ⋅ (1 − 𝑡2) + 𝑑 ⋅ (1 − 𝑡3) ⇒ 
=−+ 321 tt (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) + (−𝑏) ⋅ 𝑡 + (−𝑐) ⋅   𝑡2 + (−𝑑) ⋅ 𝑡3 ⇒ 
{
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1
−𝑏 = 2
−𝑐 = 0
−𝑑 = −1
{
𝑎 = 2
𝑏 = −2
𝑐 = 0
𝑑 = 1
 
5) Consideremos o subespaço vetorial do espaço 𝑀2×2(ℜ) (com as operações usuais de adição 
de matrizes e multiplicação de matriz por número real), constituído das matrizes 𝑈 =
{ [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
] :  𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 } 
a) Mostre que os seguintes conjuntos são bases de U: 
𝐵 = { [
1 1
0 0
] , [
1 0
1 0
] , [
0 0
0 1
] } 
𝐶 = { [
1 0
1 0
] , [
0 −1
1 0
] , [
0 0
0 1
] } 
b) Achar [𝐼]𝐶
𝐵  e [𝐼]𝐵
𝐶   
Resolução: 
a) Para mostrar que B e C geram U, observe que: 
Fazendo +==−− zyxzyx 0 [
𝑦 + 𝑧 𝑦
𝑧 𝑡
] = 𝑦 [
1 1
0 0
] + 𝑧  [
1 0
1 0
] + 𝑡  [
0 0
0 1
]  
Fazendo −==−− yxzzyx 0 [
𝑥 𝑦
𝑥 − 𝑦 𝑡] = 𝑥 [
1 0
1 0
] − 𝑦  [
0 −1
1 0
] + 𝑡  [
0 0
0 1
]  
Agora é só provar que B e C são LI. 
b) Para achar [𝐼]𝐶
𝐵  vamos escrever os vetores de B como combinações lineares dos vetores de 
C: 
[
1 1
0 0
] = 𝑎 ⋅ [
1 0
1 0
] + 𝑏 ⋅  [
0 −1
1 0
] + 𝑐 ⋅  [
0 0
0 1
] 
[
1 0
1 0
] = 𝑑 ⋅ [
1 0
1 0
] + 𝑒 ⋅  [
0 −1
1 0
] + 𝑓 ⋅  [
0 0
0 1
] 
[
0 0
0 1
] = 𝑔 ⋅ [
1 0
1 0
] + ℎ ⋅   [
0 −1
1 0
] + 𝑖 ⋅  [
0 0
0 1
] 
Resolvendo os sistemas de equações gerados obtemos: [𝐼]𝐶
𝐵 = [
1 1 0
−1 0 0
0 0 1
] . 
Finalmente, temos que [𝐼]𝐵
𝐶  = ([𝐼]𝐶
𝐵)−1=[
0 −1 0
1 1 0
0 0 1
]  
5.6 Exercícios Propostos 
1) Considere o conjunto V de todos os pares ordenados de números reais (ou seja, 𝑉 = ℜ2), 
com as operações assim definidas: 
Prof. Nunes 20 
 
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Adição: (𝑥1, 𝑥2) + (𝑦1, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑦1,  𝑥2 + 𝑦2) 
Multiplicação por escalar (não usual): 𝛼 ∘ (𝑥1, 𝑥2) = (𝛼 ⋅ 𝑥1, 𝑥2) 
Verifique que o conjunto V com estas operações não é um espaço vetorial. Que axiomas não 
são verificados? Resposta: O axioma V6 não é verificado. 
2) Considere o conjunto V de todos os pares ordenados de números reais (ou seja, 𝑉 = ℜ2), 
com as operações assim definidas: 
Adição (não usual): (𝑥1, 𝑥2) ⊕ (𝑦1, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑦1,  0) 
Multiplicação por escalar: 𝛼 ⋅ (𝑥1, 𝑥2) = (𝛼 ⋅ 𝑥1, 𝛼 ⋅ 𝑥2) 
Verifique que o conjunto V com estas operações não é um espaço vetorial. Que axiomas não 
são verificados? Resposta: Os axiomas V3 e V6 não são verificados. 
3) Mostre que os seguintes subconjuntos de 4 são subespaços vetoriais: 
a) W = { (x, y, z, t)  
4
; x + y = 0 , z - t = 0 } 
b) U = { (x, y, z, t)  
4
; 2x + y - t = 0 , z = 0 } 
4) Determinar o valor de k para que o vetor (5, 𝑘, 11) pertença ao subespaço do ℜ3gerado pelos 
vetores (−1,3,−1) e (1, −2,4). Resposta: 𝑘 = −13 
5) Sejam W 1 = { (x, y, z, t)  
4
; 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑧 − 𝑡 = 0} e W 2 = { (x, y, z, t)  
4
; 
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0} subespaços de 4 . Exiba uma base para W 1  W 2 . 
Resposta: Base = { (0,0,1,1) } 
6) Considere o seguinte subespaço de 
4
: S = [ (1, 1, −2, 4), (1, 1, −1, 2), (1, 4, −4, 8) ]. 
a) O vetor (2/3, 1, −1, 2) pertence a S? Resposta: 𝑣 ∈ 𝑆 
b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S? Resposta: 𝑣 ∉ 𝑆 
c) Estabeleça as condições para que um vetor (x, y, z, t) pertença a S. Resposta: 𝑡 + 2𝑧 = 0 
7) Seja W o subespaço de M (3,2) gerado pelos vetores: [
0 0
1 1
0 0
], [
0 1
0 −1
1 0
] e [
0 1
0 0
0 0
] 
O vetor [
0 2
3 4
5 0
] pertence a W? Resposta: Não. 
8) Seja o subespaço vetorial do 𝑀2×2(ℜ), com as operações usuais de adição de matrizes e 
multiplicação de matriz por número real definido por: 𝑆 = { [
3𝑎 𝑎 − 𝑏
2𝑎 + 𝑏 −𝑏
] ;  𝑎,  𝑏 ∈ ℜ}. 
Qual o valor de k para que [
3 3
0 𝑘
] ∈ 𝑆? Resposta: 𝑘 = 2 
9) Quais as coordenadas de x = (1, 0, 0) em relação à A= {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0, −1)}? 
Resposta: [𝑥]𝐴 = [
1/3
−1/3
1/3
] 
10) Determinar os valores de n para que os vetores do conjunto 
{ (3,1,5), (𝑛, −1,0), (2,2, −4) } sejam L.I. (Linearmente Independentes). 
 Resposta: 𝑛 ≠ −
11
7
 
11) Considere o subespaço de 
3
 gerado pelos vetores u = (1, 1, 0), v = (0, −1, 1) e 
Prof. Nunes 21 
 
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 t = (1, 1, 1). [ u, v, t ] = 3 ? Isto é, os três vetores u, v, t geram o espaço 3 ? 
Resposta: Sim. 
12) Considere o subespaço de 
4
 gerado pelos vetores: 
 v 1 = (1, −1, 0 ,0) , v 2 = (0, 0, 1, 1) , v 3 = (−2, 2, 1, 1) e v 4 = (1, 0, 0, 0). 
a) O vetor (2, −3, 2, 2)  [v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ]? justifique. Resposta: Sim, a condição é t = z. 
b) Exiba uma base para [v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ]. Qual a dimensão? 
Resposta: { (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,1) } e a dimensão é 3. 
c) [v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ] = 
4
? Isto é, os vetores v 1 , v 2 , v 3 , v 4 geram 
4
? Por quê? 
Resposta: Não, pois qualquer base do ℜ
4
 tem 4 vetores e neste caso a Dim é 3. 
13) Considere as bases 𝐴 = {(2,−3), (−3,5) } e 𝐵 = {(1,1), (0, −1) } do ℝ2. 
Resposta: [𝐼]𝐵
𝐴 = [
2 −3
5 −8
] 
14) Sejam A={(1, 0), (0, 1)} , B= {(−1, 1), (1, 1)} , C={( 3 ,1), ( 3 ,−1)} e 
D ={(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas de 
2
. 
a) Ache as seguintes matrizes de mudança de base: 
(i) [ I ]𝐴
𝐵 (ii) [ I ]𝐵
𝐴 (iii) [ I ]𝐶
𝐴 (iv) [ I ]𝐷
𝐴 
Respostas: (i) [𝐼]𝐴
𝐵 = [
−1 1
1 1
]; (ii) [𝐼]𝐵
𝐴 = [
−1/2 1/2
1/2 1/2
]; (iii) [𝐼]𝐶
𝐴 = [
√3
6
1
2
√3
6
−
1
2
]; 
(iv) [𝐼]𝐷
𝐴 = [
1/2 0
0 1/2
] 
b) Quais as coordenadas do vetor v = (3, −2) em relação a cada uma das bases ? 
Respostas: (i) [𝑣]𝐴 = [
3
−2
]; (ii) [𝑣]𝐵 = [
−5/2
1/2
]; (iii) [𝑣]𝐶 = [
√3
2
− 1
√3
2
+ 1
]; (iv) [𝑣]𝐷 = [
3/2
−1
] 
c) As coordenadas de um vetor u em relação à base 𝐵 são dadas por [𝑢]𝐵=[
4
0
]. 
Quais as coordenadas do vetor u em relação às outras bases A, C e D? 
Resposta: (i) [𝑣]𝐴 = [
−4
4
]; (ii) [𝑣]𝐶 = [
(6 − 2√3)/3
(−6 − 2√3)/3
] ; (iii) [𝑣]𝐷 = [
−2
2
] 
15) Considere as bases 𝐴 = {1 + 𝑡,  1 − 𝑡2 } e 𝐵 = {2 + 𝑡 − 𝑡2,  1 + 2𝑡 + 𝑡2 } de um mesmo 
subespaço vetorial do 𝑃2(ℜ). Ache a matriz de mudança da base A para a base B. 
Resposta: [𝐼]𝐵
𝐴 = [
1
3
2
3
1
3
−
1
3
] 
16) Ache duas bases distintas A e B para o espaço vetorial das matrizes 2×2, triangulares 
superiores. Qual a dimensão deste espaço vetorial? Encontre as matrizes de mudança de base: 
[𝐼]𝐴
𝐵 e [𝐼]𝐵
𝐴. 
Prof. Nunes 22 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
Respostas: 
𝐴 = { [
1 0
0 0
] , [
0 1
0 0
] , [
0 0
0 1
] } e 𝐵 = { [
1 0
0 0
] , [
1 1
0 0
] , [
1 1
0 1
] }; Dim = 3 
[𝐼]𝐵
𝐴 = [
1 1 1
0 1 1
0 0 1
] e [𝐼]𝐵
𝐴 = [
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
] 
 
5.7 Referências Bibliográficas 
1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do 
Brasil, 1980. 
2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual, 
1990. 
3. LIPSCHULTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982. 
4. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Introdução à Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-
Hill do Brasil, 1990.