Exercícios de Matemática - Equações e Funções Elementares, Exponenciais e Logaritmos, Conjuntos Numéricos

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EXERCÍCIOS-TAREFA
q MÓDULO 1 – Equações e Funções Elementares
1. Um grupo de estudantes, em férias, ficou hospedado em um chalé,
nas seguintes condições:
diária do chalé: R$ 70,00
refeições diárias: R$ 15,00 por pessoa
Ao final de 10 dias, tendo feito todas as refeições, desembolsaram
juntos R$ 1750,00, que foi dividido em partes iguais entre eles para
pagamento das des pesas. A quantia que coube a cada um foi
a) R$ 175,00. b) R$ 218,75. c) R$ 250,00. 
d) R$ 275,00. e) R$ 300,00.
2. As raízes da equação 3x2 – 7x + 2 = 0 são x1 e x2. Das equações
abaixo, aquela que tem raízes α = x1 + x2 e β = x1 . x2 é:
a) 9x2 – 27x + 14 = 0 b) 14x2 – 27x + 9 = 0
c) 2x2 – 7x + 3 = 0 d) 9x2 + 27x – 14 = 0
e) 14x2 + 27x + 9 = 0
3. Os parafusos e arruelas de uma caixa pesam 130 gramas. Se do -
brarmos a quantidade de parafusos e triplicarmos a quantidade de
arruelas, o peso dessas peças passará a ser 300 gramas. Sabendo-se que
cada parafuso pesa 3 gramas e cada arruela 1 grama, então a quantidade
dessas peças na caixa é:
a) 50 b) 60 c) 65 d) 70 e) 90
4. O conjunto verdade, em �, da inequação
≤ – é
a) {x ∈ � � – 3 ≤ x ≤ 1}. b) {x ∈ � � x > – 3}.
c) {x ∈ � � 1 ≤ x ≤ 3}. d) {x ∈ � � – 1 < x ≤ 3}.
e) {x ∈ � � x ≥ 1}. 
5. Na figura, O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas, V
é o vértice da parábola de equação y = x2 – 8x + 20 e A é um ponto do
eixo das abscissas. Se OV = AV, então a área do triângulo VOA, em
unidades de área, é igual a:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16
6. A função f: � → �, definida por f(x) = ax2 + bx + c, tem o gráfico
representado a seguir.
Sabe-se que f(x) é divisível por x + 1 e o resto da divisão de f(x) por 
x – 1 é igual a 8. Se V é o vértice da parábola, então f(2) é igual a:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
7. Se A é conjunto verdade, em �, da equação � x – 2 � + � x – 1 � = x – 3,
então o conjunto das partes de A tem
a) 1 elemento. b) 2 elementos. c) 4 elementos.
d) 8 elementos. e) 16 elementos.
8. A soma dos quadrados das raízes reais da equação 
x2 + 2x – 3 . � x + 1 � + 3 = 0 é: 
a) 5 b) 9 c) 14 
d) 18 e) 20
9. A soma das soluções reais da equação (x + 1)2 – 2 . � x + 1 � + 1 = 0
é:
a) 2 b) 1 c) 0 
d) –1 e) –2
10.Abaixo, é dado o gráfico da função f: � → �, definida por 
f(x) = ax(x – 2)(x – 4), a ∈ �*.
x – 2
––––––
x2 + 1
1
–––
2
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O gráfico que melhor representa a função g: � → � tal que 
f(x) = �f(x + 1)� é:
11.O gráfico a seguir que melhor representa a função f : � → �,
definida por f(x) = � 2x – 2 � é:
q MÓDULO 2 – Exponenciais e Logaritmos
1. A soma das raízes reais da equação 9x = 10 . 3x – 9 é igual a:
a) 0 b) 2 c) 3 d) 9 e) 10
2. Se log 2 = a e log 13 = b, então log53,38 é igual a:
a) 
 
b) 
c) 
 
d) 2a + b + 2
e) 2a + b – 2
3. Os valores de x e y que satisfazem o sistema
são tais que x + y é igual a:
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
4. O número de soluções inteiras da inequação 
log2(100x) – log2(10x) + log2x < 6 é igual a:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
5. O produto das raízes da equação log3(1 + log3(2
x2 – 12 – 7)) = 1 é:
a) – 4 b) – 8 c) – 12 d) – 16 e) – 25
6. Resolvendo-se, em �, a inequação 
log2(x
2 – 1)
> ( )3, obtém-se
a) – 3 < x < 3. b) 1 < x < 3. c) x > 3. 
d) – 3 < x < – 1 ou 1 < x < 3. e) x > 1.
7. Sabendo-se que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, é possível concluir
que o número de algarismos de x = 620 é:
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19
q MÓDULO 3 – Conjuntos Numéricos 
(�, �, �, �, �), Polinômios e
Equações Algébricas
1. Um número natural de 6 algarismos começa com o algarismo 2,
ordenado da esquerda para a direita. Se esse algarismo for transferido
para a última posição, conservando-se os demais na mesma ordem,
obtém-se um número que é o triplo do inicial. A soma dos 6 algarismos
é igual a:
a) 21 b) 24 c) 32 d) 30 e) 27
2. Os números naturais a e b são tais que:
I. mdc(a;b) = 17
II. mmc(a;b) = 102
Nessas condições, a + b pode ser igual a:
a) 17 b) 34 c) 51 d) 68 e) 85
3. As medidas dos lados do triângulo retângulo da fi gura são números
naturais. O valor de x . y é:
a) 1 560 b) 2 450 c) 2 550 
d) 3 540 e) 3 660
4. Um estudante escreveu, numa folha de papel, um número natural
de dois algarismos distintos. Inverteu a ordem dos seus algarismos e
obteve um segundo número. Subtraiu um valor do outro e notou que a
diferença era um quadrado perfeito. Esse quadrado perfeito pode ser o:
a) 16 b) 25 c) 36 d) 49 e) 64
� 1–––2 �
1
–––
2
a + 2b + 2
––––––––––
1 + a
a + 2b + 2
––––––––––
1 – a
a + 2b – 2
––––––––––
1 – a
�x
2 + y2 = 68y
log3(x + 2y) + log1/3(x – 2y) = 1
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5. Considere o número complexo z = , sendo 
i a unidade imaginária. Então,
a) z = 2 + 3i. b) z = 5 + i. c) z = 5 – i.
d) z = 3 – 2i. e) z = 4 + 5i.
6. Sendo i2 = – 1 e a um número real, o valor de a para que 
z = seja imaginário puro é:
a) – 4 b) – 2 c) 0 
d) 1 e) 2
7. O número complexo z = x + yi, x,y ∈ � e i2 = – 1, é tal que 
�z + i� = �z + 2�. No plano cartesiano, os afixos de z pertencem a uma
a) circunferência. b) parábola. c) elipse. 
d) hipérbole. e) reta.
8. Os pontos A, B e C da figura são, respectivamente, os afixos dos
números complexos z1, z2 e z3. Se i é a unidade imaginária, então 
é igual a
a) 1 – ���3 i. b) ���3 + i. c) ���3 – i.
d) – 1 + ���3 i. e) – 1 – ���3 i. 
9. Na figura, P é o afixo do número complexo z. Então z6 é igual a:
a) 64���3 + 64i b) 4 096 c) 10 24i
d) – 2 048 e) 64 + 64���3i
10.Sabendo-se que = + , para todo 
x ∈ (� – {2; 3}), os valores de A e B são, respectivamente, iguais a:
a) – 2 e 5 b) 3 e – 4 c) 4 e – 6
 d) – 10 e 13 e) 2 e 3
11.O valor do número real a para que o polinômio 
P(x) = x4 – mx3 + 2x2 – mx + 6 seja divisível por x – 2 é:
a) – 3 b) – 1 c) 1 d) 2 e) 3 
12.A figura representa um polinômio P(x) do 3º grau e coeficientes
reais.
O valor de P(4) é:
a) – 1 b) – 2 c) – 3 d) – 4 e) – 5
13.Na divisão de um polinômio A(x) por B(x) obtém-se quociente 
x – 1 e resto 2x + 5. Dividindo-se B(x) por x – 2 resulta resto igual a
6. O resto da divisão de A(x) por (x – 1)(x – 2) é:
a) 0 b) 8x – 1 c) x – 8 d) 3x + 2 e) x – 2
14.As raízes da equação x3 – 6x2 + kx + 10 = 0 são reais e estãoem
progressão aritmética. O valor de k é:
a) 3 b) – 3 c) 1 d) – 1 e) 2
15.A soma de duas raízes da equação 
x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0 vale 4. A soma dos quadrados dessas duas raízes é:
a) 5 b) 10 c) 13 d) 16 e) 20
16.A equação x5 – 5x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0, de coeficientes
racionais, admite os números 1 + ���2 e 1 – i como raízes, sendo 
i2 = – 1. O valor de a + b + c + d é:
a) – 5 b) – 4 c) 0 d) 4 e) 5
17.O gráfico abaixo representa o polinômio de coefi cien tes reais 
P(x) = x3 + mx2 + nx + p.
Sendo i a unidade imaginária, as raízes desse poli nômio podem ser:
a) – 4, 3 + i e 3 – i b) – 4, 2 + i e i
c) – 4, 1 + i e 1 – i d) – 4, 3 + 2i e 3 – 2i
e) – 4, 2i e – 2i
5 + i45
––––––––
1 + i39
2 – ai
–––––––
1 + 2i
z1 . z3
–––––––
z
2
2
B
––––––
x – 3
A
––––––
x – 2
3x – 4
–––––––––––
x2 – 5x + 6
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q MÓDULO 4 – Conjuntos e Funcões 
1. (ENEM) – Um fabricante de cosméticos decide produzir três dife -
rentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como
alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam
uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os
gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão,
respectivamente, 50, 45 e 40 páginas.
Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2
terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e
C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1.
Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para
a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de
impressão igual a:
a) 135 b) 126 c) 118 d) 114 e) 110 
2. (ENEM) – O quadro apresenta a produção de algodão de uma
cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999.
O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período
considerado é:
3. (ENEM) – Um estudo sobre o problema do desemprego na Gran -
de São Paulo, no período 1985-1996, realiza do pelo SEADE-DIEESE,
apresentou o seguinte grá f i co sobre taxa de desemprego.
Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no perío do considerado,
a) a maior taxa de desemprego foi de 14%. 
b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período.
c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decres cente.
d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego este ve entre 8% e
16%.
e) a taxa de desemprego foi crescente no período com preendido entre
1988 e 1991.
4. Em um posto de saúde foram atendidas, em deter minado dia, 160
pessoas com a mesma doença, apresentando, pelo menos, os sintomas 
diarreia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não.
A partir dos dados registrados nas fichas de aten di men to dessas
pessoas, foi elaborada a tabela abaixo.
O número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo, os três
sintomas é:
a) 2 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9
5. Se f é uma função real de variável real definida por
f(2x + 1) = , então
a) D(f) = {x ∈ � � x > 3}. b) D(f) = {x ∈ � � x < 1}.
c) f(x) = .
 
d) f(1 – x) = .
e) Im(f) = �.
Safra
1995 1996 1997 1998 1999
Produção 
(em mil toneladas)
30 40 50 60 80
Produtividade 
(em kg/hectare)
1 500 2 500 2 500 2 500 4 000
sintomas frequências
diarreia 62
febre 62
dor no corpo 72
febre e dor no corpo 20
diarreia e dor no corpo 8
diarreia e febre 14
8
––––––––
�������1 – x
8���2
––––––––
�������3 – x
8
–––––––––
��������2x + 1
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6. Se g e f são funções reais definidas por g(x) = 3x + 2 e 
f(x) = 3x + 2, então f(g(f(– 2))) é igual a:
a) 1 007 b) 0 c) 53 d) 57 e) 37
7. Seja f a função definida em � – {3} por 
f(x) = . Sabendo-se que f é bijetora, então
a) f– 1(1) = 3. b) Im(f) = �*. c) D(f–1) = � – {3}.
d) Im(f – 1) = �*. e) D(f) = �*.
q MÓDULO 5 – Progressões Aritméticas e
Progressões Geométricas 
1. (OLIMPÍADAS PORTUGUESAS DE MATEMÁTICA) – O ir -
mão do João pintou a seguinte sequência de desenhos em papel
quadriculado. Quantas quadrículas pintadas tem o décimo desenho?
a) 41 b) 50 c) 100 d) 130 e) 181 
2. (UNESP) – A sequência t1, t2, t3, t4, …… forma, nessa ordem, uma
P.A., onde t1 representa a temperatura média da atmosfera terrestre em
2007, t2 em 2008, t3 em 2009 e assim sucessivamente, supondo-se que
sejam mantidos os atuais níveis de aquecimento global. Sabendo-se
que t1 + t2 = 29,22°, e t3 + t4 = 29,30°, pode-se afirmar que, segundo
essa sequência, a temperatura média da atmosfera terrestre em 2017
será igual a:
a) 16,6° b) 16,2° c) 15,2°
d) 15,0° e) 14,8°
3. (UEMS) – A dívida de uma empresa junto a um de seus
fornecedores foi paga da seguinte maneira: no primeiro ano foram
pagas parcelas mensais de R$ 1 000,00; no segundo ano, foram pagas
parcelas mensais de R$ 950,00 e assim por diante. A cada ano, as
parcelas diminuíam R$ 50,00, até que, no último ano, as parcelas
mensais pagas foram de R$ 50,00.
Qual o valor total da dívida pago, em reais?
a) 126 000,00 b) 125 000,00 c) 120 000,00
d) 118 000,00 e) 92 000,00
4. (FGV) – Carlos tem oito anos de idade. É um aluno brilhante,
porém comportou-se mal na aula, e a professora man dou-o calcular a
soma dos mil primeiros números ímpa res. Carlos resolveu o problema
em dois minutos, dei xan do a professora impressionada. A resposta
correta encontrada por Carlos foi:
a) 1 000 000 b) 512 000 c) 1 210 020
d) 780 324 e) 2 048 000
5. (UERJ) – Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma
medalha olímpica de ouro na modalidade salto em distância. Em um
treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho:
– todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de ordem par
inválidos;
– o primeiro salto atingiu a marca de 7,04 m, o terceiro a marca de 
7,07 m, e assim sucessivamente cada salto válido aumentou sua
medida em 3 cm;
– o último salto foi de ordem ímpar e atingiu a marca de 7,22 m.
Calcule o valor de n.
6. (PUC) – Sejam as sequências f = (rn)n ∈ �*, tal que rn = , e
g = (hn)n ∈ �*, tal que hn = . Para todo n ∈ �*, seja Vn o volume
do cilindro em que rn e hn são, em centímetros, as respectivas medidas
do raio da base e da altura. Nessas condições, considerando a sequência
infinita de volumes (V1, V2, V3, ...), a soma V1 + V2 + V3 + ..., em
centímetros cúbicos, é igual a:
a)
 
b)
 
c)
 
d) 
 
 e)
 
7. (UFSCar) – Se X é o ângulo em radianos dado pela expressão
X = + + + …, então o valor de sen(X) é:
a)
 
 b)
 
 c)
 
– d) 1 e) – 1 
8. Seja (C1, C2, C3, …) uma sequência infinita de esferas concêntricas
com as seguintes propriedades: o diâmetro de C1 é igual a 2 m e, para
j ≥ 2, o diâmetro de Cj é a metade do diâmetro de Cj – 1. Então o
volume, em m3, da esfera C20 é:
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
q MÓDULO 6 – Matrizes, Determinantes e Sistemas 
1. (UEMS) – Sejam x e y números reais e A = e 
B = matrizes com det(A + B) = x e det(AB) = y. Assim,
é igual a:
a) –
 
b) – c) d) 
 
e) 
π
–––––––
3 × 252
π
–––––––
3 × 255
π
–––––––
3 × 236
4π
–––––––
3 × 255
4π
–––––––
3 × 236
�03
x + y
2�
�21
– 1
– 2�
x
–––
y
π���2–––––
3
2�2
––––––
7
π
–––
27
π
–––
9
π
–––
2
1
–––
2
1
–––
2
���3
––––
2
1–––––
22n–2
���2
––––
22n
4π���2––––––
15
8π���2––––––
31
16�2
–––––––
63
1
––––––
x – 3
8
–––
3
8
–––
9
9
–––
8
9
–––
8
8
–––
9
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2. Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, tais que 
A . B + B . A = 0, então, necessariamente:
a) AB2 = B2A b) A . B = B . A
c) (A + B)(A – B) = 0 d) (A + B) . B = (A – B) . A 
e) A . B = 0
3. Se A = (aij)4×3 é a matriz definida por aij = i + j e B = (bij)3×2 é a
matriz definida por bij = i – j, então o elemento de terceira linha e
segunda coluna da matriz produto AB é:
a) – 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 0 
4. (UFV-adaptado) – Na matriz quadrada A = (aij) de ordem 2, os
elementos a11, a12, a21 e a22, nesta ordem, apresentam a seguinte
propriedade: “Os três primeiros estão em progressão aritmética, os três
últimos em progressão geométrica de termos não nulos, e ambas de
mesma razão.” Se a12 = 2, o determinante de A vale:
a) 0 b) – 8 c) 4 d) 8 e) – 4 
5. O determinante da matriz é:
 a) 0 b) x . (x – m) . (x – r) . (x – a) 
c) x2 . (x2 – r2) d) x . (x – r)(x – a)
e) (x – m)(x – n)(x – p) 
6. (UFCG) – Uma empresa produz latas de uma farinha composta por
amendoim, castanha-de-caju e castanha-do-Pará. O quilo do amendoim
custa R$ 5,00, o quilo da castanha-de-caju custa R$ 20,00 e o quilo da
castanha-do-Pará custa R$ 16,00. A empresa deseja que cada lata
contenha meio quilo da mistura, que o custo total dos ingredientes seja
R$ 5,75 e que a quantidade de castanha-de-caju seja 1/3 da soma 
da quantidade de amendoim e de castanha-do-Pará. De acordo com
esses dados, o peso, em gramas, de amendoim, castanha-de-caju e
castanha-do-Pará, por lata, deve ser, respectivamente,
a) 300 g, 100 g e 100 g. b) 200 g, 100 g e 100 g.
c) 250 g, 125 g e 125 g. d) 450 g, 125 g e 100 g.
e) 150 g, 100 g e 150 g.
7. (UFABC) – No sistema de equações 
p e q são constantes reais e x e y são variáveis reais. Calcule p e q,
sabendo-se que a solução desse sistema é o par ordenado (2, − 3).
8. Sendo k uma constante real, o sistema de equações
ad mite solução (x,y) no primeiro quadrante do plano car tesiano se, e
somente se,
a) k = −1. b) k > −1. c) k < .
d) 0 < k < . e) – 1 < k < .
9. (UEMS) – Um automóvel foi abastecido com 10 litros de álcool,
15 litros de gasolina e 3 metros cúbicos de gás, por R$ 61,60. Três dias
depois, o mesmo automóvel foi abastecido com 15 litros de álcool, 10
litros de gasolina e 2 metros cúbicos de gás, por R$ 55,65.
Uma semana depois, o automóvel foi abastecido com 12 litros de
álcool, 13 litros de gasolina e 3 metros cúbicos de gás, por R$ 59,90.
Considerando que o preço dos combustíveis não aumentou nesse
período, é correto afirmar que o litro do álcool, o litro da gasolina e o
metro cúbico do gás custaram, respectivamente,
a) R$ 1,75, R$ 2,60 e R$ 1,70. b) R$ 1,70, R$ 2,80 e R$ 1,75.
c) R$ 1,85, R$ 2,80 e R$ 1,87. d) R$ 1,85, R$ 2,80 e R$ 1,20.
e) R$ 1,84, R$ 2,65 e R$ 1,15. 
10.No sistema linear 
o valor de x4 é:
a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) – 2
11.Seja a equação em x e y, variáveis reais,
(x – 3y – m)2 + (2x + 3my – 4)2 = 0.
Para m ∈ �, pode-se afirmar que,
a) se m = – 2, então existe uma única solução.
b) se m ≠ – 2, então existem infinitas soluções.
c) se m = 3, então não existe solução.
d) se m ≠ 3, então existe uma única solução.
e) se m ≠ – 2, então existe uma única solução.
q MÓDULO 7 – Razões, Proporções, 
Porcentagem, Médias e Juros
1. (FATEC) – O fosfato de oseltamivir é recomendado no tratamento
e na profilaxia de gripe em crianças e adultos, inclusive da influenza A
(H1N1), sendo que o tratamento deve ser iniciado nas primeiras 48
horas após o aparecimento dos primeiros sintomas. Um produto com
oseltamivir, encontrado nas farmácias, está disponível em cápsulas ou
em pó para suspensão, o qual, após ser reconstituído em água, ficará
na razão de 12 mg/mL. O pó para suspensão oral é indicado para o
tratamento e para a profilaxia de gripe em crianças entre 1 e 12 anos
de idade, pelo fato de elas terem dificuldade de ingerir cápsulas.
Admita que as doses recomendadas para o tratamento da influenza A
(H1N1) sejam:
• Adultos e adolescentes com 13 anos ou mais: 75 mili gramas (mg),
duas vezes ao dia, por cinco dias.
• Crianças de 1 a 12 anos: dose ajustada pelo peso na razão de 
1 mg/kg, duas vezes ao dia, por cinco dias.
Se uma criança de 12 anos e 60 kg precisar fazer o trata mento para a
gripe influenza A, conclui-se que o volume total de suspensão oral que
essa criança deverá ingerir, em todo o tratamento, em mililitros, é:
a) 10 b) 20 c) 25 d) 50 e) 65 
2. (UNIFESP) – A média aritmética dos números inteiros positivos
divisores de 900 (considerando o número 1 como divisor) e que não
são múltiplos de 5 é:
a) 12 b) c) d) e) 
�
x1 + x2 + x3 + x4 = 4
2x1 + x3 – 3x4 = 0
3x1 + x2 – 2x3 – 2x4 = 0
x1 – x2 + x3 – x4 = 0
�
x
x
x
x
m
x
x
x
n
r
x
x
p
s
a
x
	
p . x – y = 2�(p + q) . x + y = 3
x – y = 2�kx + y = 3
3
–––
2
3
–––
2
3
–––
2
91
–––
9
85
–––
8
90
–––
8
80
–––
7
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3. Dois recipientes contêm a mesma quantidade de mistura das
substâncias A e B. No primeiro recipiente a proporção das substâncias 
A e B é e no segundo a proporção entre A e B é . Jun tando o 
conteúdo desses dois recipientes em um único recipiente, a porcen -
tagem de substância A no volume final é:
a) 10% b) 12% c) 15% d) 25% e) 35%
4. (UN. PARANÁ) – O fluxo de veículos num dos postos de pedágio
de determinada rodovia sofre um aumento nos finais de semana,
passando de dez veículos por minuto, em média, para um veículo por
segundo, em média. Com base nesses dados, pode-se dizer que o fluxo
de veículos aumenta cerca de:
a) 1 000% b) 800% c) 600% d) 500% e) 100%
5. (UNICAMP) – O gráfico abaixo fornece a con cen tração de CO2
na at mos fera, em “partes por milhão” (ppm), ao longo dos anos.
 
a) Qual foi a porcentagem de crescimento da concen tração de CO2 no
período de 1870 a 1930?
b) Considerando o crescimento da concentração de CO2 nas últimas
décadas, é possível estimar uma taxa de crescimento de 8,6% para
o período 1990-2010. Com essa taxa, qual será a con cen tração de
CO2 em 2010?
6. A financeira cobra 10% de juros ao mês sobre o saldo devedor. Na
compra de uma mercadoria, cujo valor à vista é de R$ 662,00, uma pessoa
optou por financiar em 3 parcelas iguais, sendo uma no ato da compra e
as outras duas em 30 e 60 dias depois. O valor de cada parcela é:
a) R$ 220,66 b) R$ 242,00 c) R$ 267,00
d) R$ 270,66 e) R$ 272,00
7. Uma caixa d’água tem duas torneiras de entrada e uma de saída. A
1ª torneira é capaz de encher a caixa d’água em 2 horas, a 2ª, em 3
horas. Abrindo as 3 torneiras, ao mesmo tempo, a caixa d’água é
enchida em 1,5 h. A torneira de saída é capaz de esva ziar o tanque em:
a) 7 h b) 8 h c) 3 h d) 5 h e) 6 h
8. A composição do custo de produção de um deter minado bem é:
30% em mão de obra; 30% de matéria-prima; 20% em energia elétrica;
e 20% nas demais despesas. Num certo momento, ocorrem os seguintes
reajustes: mão de obra, 50%; matéria-prima, 100%; energia elétrica,
75%; e outras des pe sas, 50%.
Em porcentagem, o reajuste no custo total do bem é:
a) 70% b) 40% c) 50% d) 60% e) 80%
9. Se numa eleição com 20% de votos brancos e nu los um candidato
obtém 40% do total de votos, ele obte ve do total de votos “válidos”:
a) 50% b) 40% c) 60% d) 30% e) 80%
Obs.: Considere votos “válidos” = (total de votos) – (vo tos brancos e
nulos)
10. (UFPJ) – O histograma abaixo apresenta as alturas de 30 atletas
de uma equipe de futebol.
Obs.: Para o cálculo da média considere o ponto médio de cada classe
de intervalo. 
Com esses dados, podemos concluir que a média das alturas dos atletas
é aproximadamente:
a) 1,58 b) 1,65 c) 1,74
d) 1,81 e) 1,92
q MÓDULO 8 – Trigonometria
1. Um observador vê um prédio construído em terreno plano, sob
um ângulo de 60°. Afastando-se do edi fício mais 30 m, passa a vê-lo
sob ângulo de 45°. Se desprezarmos a altura do observador, a altura do
prédio, em metros, será: 
a) 
 
 
b) 
c) 
d) 
 
e) 
2. Sabendo que sec x = 3, calcular o valor da expres são 
y = sen2 x + 2 tg2 x.
a) 
 
 
b) 
 
 c) 
d)
 
e) 
 
3. O número de soluções da equação sen2x = 2 sen x, no intervalo
[0, 3π], é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
30�
3
––––––––
�
3 – 1
30�
3
––––––––
�
3 + 1
15�
3
––––––––
�
3 – 1
15�
3
––––––––
�
3 + 1
3�
3
––––––––
�
3 + 1
136
––––
9
– 152
––––––
9
– 136
––––––
9
2
––
3
3
––
7
16
–––
9
152
––––
9
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4. Se A = e B =
e, sendo a = det A e b = det B, determinar o módulo do número
complexo z = a + bi.
a) 0 b) sec2
 
 c) 1 d) 2 e) – 1
5. Dados sen x = e cos y = , calcular cos (x + y), sabendo que 
0 < x < e < y < 2π.
a) – 
 
b) – 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
6. A matriz A = ( ), com 0 < x < π, não admite 
inversa para:
a) x = b) x = c) x =
 
d) x = e) x = 
7. Um triângulo tem lados medindo 7, 6 e 5. O cosseno do menor
ângulo desse triângulo é:
a) b) c) d) e) 
8. (FGV) – Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 e o ângulo
A
^
BC mede 60°. A soma das medidas dos catetos vale:
a) 
 
b)
 
c) 15(1 + ���3 )
d) 
 
e)
9. (FATEC) – Considere a figura que representa
• o triângulo ABC inscrito na semicircunferência de centro O e raio 2;
• o lado 
—
BC, de medida igual a 2;
• o diâmetro 
—
AB perpendicular à reta 
↔
BD;
• o ponto C pertencente à reta 
↔
AD.
Nestas condições, no triângulo ABD, a medida do lado 
—
BD é:
a)
 
 b)
 
c) 2���3 
d)
 
e) 3���3 
10.(FGV) – Sabendo que o valor da secante de x é dado por 
sec x = , em que x pertence ao intervalo , podemos afir -
mar que os valores de cos x, sen x e tg x são respec tivamente:
a)
 
, e
 
b)
 
, e
c)
 
, e
 
d)
 
, e
 
e)
 
, e
 
11. (FUVEST) – Os vértices de um triângulo ABC, no plano cartesia -
no, são: A = (1; 0), B = (0; 1) e C = (0; ���3). Então, o ângulo BÂC mede:
a) 60° b) 45° c) 30° d) 18° e) 15°
12.Uma praça circular, de raio igual a 30 m, tem dois caminhos para
ser atravessada: através do seu diâmetro ou contornando a própria
praça. Dois jovens partem do ponto A (conforme a figura). Carlos
caminha através do diâmetro 
—
AB até o ponto M, distante 45 m de A.
Marcos, enquanto isso, con torna a praça (sobre o círculo) até o ponto
P, tal que 
—
PM fique perpendicular a 
—
AM. O comprimento do arco de
circunferência APC, percorrido por Marcos, será igual a:
a) 50π m 
b) m
c) 20π m
d) 25π m
e) 10 π m
13.(FGV) – No intervalo [0; 2π], a equação trigonométrica 
sen 2x = sen x tem raízes cuja soma vale:
a) π b) 2π c) 3π d) 4π e) 5π
14.O número de soluções da equação ���3 . tg x = 2 . sen x, no intervalo
0 ≤ x ≤ 2π, é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2 sen x – 1
sen x cos x
5π
–––
6
π
––
6
π
––
3
π
––
4
2π
–––
3
13
–––
7
5
–––
7
13
–––
21
16
–––
21
61
–––
84
	
π 
sen –– sen π
2 
π π
sec –– cos ––
5 8
�	
π π
sen –– tg ––
8 4
π
cos –– cos 2π
2
�
π
––
5
5
–––
13
3
––
5
3π
–––
2
π
––
2
57
–––
65
56
–––
65
54
–––
65
54
–––
65
56
–––
65
15(1 + ���3 )
–––––––––––
4
15
–––
4
15
–––
2
15(1 + ���3 )
–––––––––––
2
4���3–––––
3
5���3–––––
3
7���3–––––
3
5––
4
3π�–––; 2π	2
4
–––
5
3
–––
5
3
–––
4
– 3
–––
5
4
–––
5
– 4
–––
3
– 3
–––
5
– 4
–––
5
4
–––
3
4
–––
5
– 3
–––
5
– 3
–––
4
4
–––
5
– 3
–––
5
3
–––
4
40π
––––
3
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15.(FUVEST) – A figura representa um quadrado ABCD de lado 1.
O ponto F está em BC
––
, BF
––
mede ���5/4, o ponto E está em CD–– e AF–– é
bissetriz do ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento DE
––
mede
a) 
 
b) 
 
c) 
d) 
 
e) 
16.A soma das raízes da equação sen2x – 2cos4x = 0, que estão no
intervalo [0,2π], é:
a) 2π b) 3π c) 4π d) 6π e) 7π
q MÓDULO 9 – Geometria Analítica 
1. Determinar a área do triângulo equilátero ABC, sa bendo que A é a
origem do sistema, e M (�
3; 1) é o ponto médio do lado AB.
a) 3 b) 3�
3 c) 4�
3 d) e) 4
 
2. A reta 3x – 2y = 12 encontra os eixos coordenados nos pontos A e
B. A equação da mediatriz do segmento 
—
AB é:
a) 2x + 3y – 5 = 0 b) 4x + 6y + 5 = 0
c) 2x + 3y + 5 = 0 d) 2x – 3y + 1 = 0
e) 2x + 3y – 7 = 0
3. Os interceptos da reta x + y – 1 = 0 são extremos de um dos diâmetros da
circunferência λ. A equação de λ é:
a) (x + )2 + (y – 1)2 = 1
b) (x – )2 + (y – )2 = 
c) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 
d) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1
e) (x + 1)2 + (y + 1)2 =
4. A reta 4y – 3x + k = 0 é tangente à circunferência de equação 
x2 – 4x + y2 + 2y + 1 = 0. A soma dos possíveis valores de k é:
a) 22 b) 5 c) 21 d) 40 e) 20
5. (FGV) – No plano cartesiano, são dadas as retas r de equação 
y = – ���3x + 7, e s de equação y = x + 7.
Se θ é a medida, em graus, do maior ângulo do triângulo formado pelas
retas r, s e o eixo x, determine:
a) o valor do ângulo θ;
b) a área desse triângulo.
6. (FGV) – Uma circunferência de raio 3, situada no 1º quadrante do
plano cartesiano, é tangente ao eixo y e à reta de equação y = x. Então,
a ordenada do centro dessa circunferência vale:
a) 2���3 + 1 b) 2���3 + 3 c) 3���2 + 2
d) 3���2 + 3 e) 3���2 – 1
7. (FGV) – A região triangular limitada pelas retas y – x = 1, y + x = 5
e x = 5 tem a forma de um triângulo retângulo. A distância do ponto
médio da hipotenusa do triângulo à origem O(0,0) é igual a:
a) ����17 b) 4 c) ����34 d) 5 e) 3
8. (FGV) – As coordenadas do ponto da circunferência 
(x – 8)2 + (y – 6)2 = 25 que fica mais afastado da origem O (0; 0) são:
a) (8, 6) b) (4, 3) c) (0, 25)
d) (13, 12) e) (12, 9)
9. (FGV) – No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo
que a distância do ponto P(m;1) à reta de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja
6; a soma desses valores é:
a) – 16/3 b) – 17/3 c) – 18/3
d) – 19/3 e) – 20/3
10.(FUVEST) – O conjunto dos pontos (x; y) do plano cartesiano,
cujas coor denadas satisfazem a equação 
(x2 + y2 + 1)(2x + 3y – 1)(3x – 2y + 3) = 0, podeser representado,
graficamente, por:
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
3���5
–––––
40
7���5
–––––
40
9���5
–––––
40
11���5
––––––
40
13���5
––––––
40
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11.A melhor representação gráfica dos pontos (x; y) tais que 
x + 3 = ��������1 – y2 é:
12.Considere a reta que passa pelos pontos A(0; 4) e B(2; 3). Seja P
um ponto da circunferência x2 + y2 = 5. Determinar as coordenadas do
ponto P, cuja distância à reta AB seja a menor possível.
a) (1; 2) b) (2; 1) c) (1; 3)
d) (3; 1) e) (– 1; – 2)
q MÓDULO 10 – Geometria Plana 
1. Na figura seguinte, em que AB = BC = CD = DE, o ângulo CD̂E
mede 36°. Qual é a medida θ do ângulo DÂE?
a) 18° b) 24° c) 30° d) 36° e) 40°
2. Considerando um polígono regular de 2p lados, p ≥ 2, e tomando
ao acaso uma das diagonais desse polí gono, a probabilidade de que ela
passe pelo centro do polígono é:
a) b) c) 
d) e) 
3. Os lados de um triângulo medem 5 cm, 6 cm e 7 cm, respec tiva -
mente. A medida, em centímetros, do raio da circunferência inscrita
nesse triângulo é igual a:
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) ���6
4. Uma luminária está suspensa por dois fios presos ao teto,
conforme a figura seguinte. Sabendo-se que o perímetro da figura
geométrica resultante é 124 cm, a distância da luminária ao teto é:
a) 30 cm b) 20 cm c) 50 cm d) 24 cm e) 10 cm 
5. O triângulo ABC da figura seguinte é isósceles de base 
—
BC. Se DEF
é um triângulo equilátero e o ân gulo AB̂C mede 80°, então a medida α
do ângulo AD̂F supera a medida β do ângulo EF̂C, em:
 
a) 50° b) 40° c) 30° d) 20° e) 10°
6. Num polígono regular, a medida de cada ângulo ex terno é 18°.
Escolhendo-se uma de suas diago nais, ao acaso, a probabilidade de que
essa diagonal pas se pelo centro do polígono é:
a) b) c) d) e) 
 
7. Considere as cordas 
—
AB e 
—
CD de uma circunferência, as quais se
interceptam num ponto P; e um ponto Q da corda 
—
AB, tal que o
quadrilátero ACQD seja um paralelogramo. Se AB = 13 e CD = 12,
então QB é igual a:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
3���2
––––
2
5
––––
3
2���6
––––
3
2���2
––––
2
1
–––––
p – 3
1
––––––
2p – 3
1
–––
p
1
–––
2
p
–––––
p – 3
1
–––
15
1
–––
16
1
–––
17
1
–––
18
1
–––
19
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q MÓDULO 11 – Geometria Métrica 
1. No saguão de um teatro, há um banco de acrílico transparente
formado por 3 cilindros circulares retos iguais e dois a dois tangentes
entre si. O espaço entre eles foi preenchido por uma fileira de esferas
iguais, tangentes entre si e aos três cilindros, como mostram as figuras
abaixo.
Se o raio da base de cada cilindro mede 30 cm, o raio de cada esfera
mede, em centímetros:
a) 2���3 – 1 b) 2���3 – 3 c) 5 . (2���3 – 3) 
d) 10 . (2���3 – 1) e) 10 . (2���3 – 3)
2. Com a fusão de todo o material contido em 18 moedas, formou-se
uma esfera. Sabendo que a altura de cada moeda é 3 mm e o diâmetro
da base é 24 mm, o raio da esfera será:
a) 18 mm b) 24 mm c) 28 mm
d) 36 mm e) 42 mm
3. Um cone circular reto de área de base S e altura h é seccionado por
um plano paralelo ao plano da base e distante do vértice. O volume
do tronco de cone assim obtido é igual a:
a)
 
Sh
 
b)
 
Sh
 
c)
 
Sh
d)
 
Sh
 
e)
 
Sh
 
4. Um triedro trirretângulo de vértice O é seccionado por um plano α,
de modo que a intersecção obtida é um triângulo equilátero ABC de
lado 6 cm. A distância, em centímetros, do vértice O do triedro ao plano
α é igual a:
a) 2 b) ���6 c) 3 d) 2���3 e) 3���2
5. O apótema de uma pirâmide quadrangular regular mede 6 cm e
forma com a altura dessa pirâmide um ângulo de 60°. O volume dessa
pirâmide é igual a:
a) 9���3 cm3 b) 72 cm3 c) 108 cm3
d) 144 cm3 e) 324 cm3
6. Uma esfera de raio R tem o mesmo volume que um cone circular
reto, cuja altura mede a metade do raio da esfera. Podemos afirmar que
o raio da base do cone é igual a:
a) R b) R c) 3���3 R 
d) 2���2 R e) R
q MÓDULO 12 – Análise Combinatória e
Probabilidade
1. Quantos são os números de 4 algarismos distintos do sistema
decimal de numeração em que o algaris mo das centenas (c) e dos
milhares (m) são tais que � c – m � = 1? 
a) 504 b) 896 c) 952 d) 1 008 e) 476 
2. Uma certa palavra possui:
I) uma única letra B;
II) uma única letra R;
III) um certo número de letras iguais a U;
IV) 20 anagramas no total.
O número de letras iguais a U é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
3. Considere um octógono regular inscrito numa circun ferência de
centro C. Quantos triângulos ABC podem ser construídos se A e B são
dois vértices quaisquer do octógono?
a) 28 b) 27 c) 26 d) 25 e) 24
4. Num aquário temos 4 peixes doentes e 11 peixes sadios, sendo
todos eles de tamanhos aproxima dos, de mesma cor e espécie.
Escolhendo-se, ao acaso, 2 peixes, a probabilidade de que ambos sejam
sadios é:
a)
 
b)
 
c)
 
d) 
 
e)
 
5. Em certo jogo de dois oponentes, são usadas 13 cartas com
valores 1, 2, 3, ..., 13. Cada jogador sorteia 3 cartas, aposta e, em
seguida, mostra as cartas que obteve. Vence quem obtiver a maior soma
com os valores de suas cartas ou, no caso de somas iguais, aquele que
tem a carta de maior valor. Se um jogador retirar as cartas de valores
9, 10 e 11 (seu oponente deverá escolher 3 dentre as outras 10 cartas),
sua probabilidade de ganhar será:
a)
 
b)
 
c)
 
 d)
 
e)
 
h––
3
26–––
81
1–––
27
1–––
81
80–––
81
26–––
27
11
–––
21
11
–––
23
11
–––
15
11
–––
19
11
–––
17
9
–––
10
10
–––
13
14
–––
15
4
–––
5
29
–––
30
2
––
3
���2
––––
3
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12 –
q MÓDULO 1
1) Sendo x o número de estudantes, temos:
 I) gasto diário, em reais, do grupo = 70 + 15x.
 II) gasto do grupo em 10 dias: 10 . (70 + 15x).
 Logo, 10 . (70 + 15x) = 1 750 ⇔ 70 + 15x = 175 ⇔ x = 7. 
 A quantia que coube a cada um foi de = 250 reais.
 Resposta: C
2) 
⇒
 Uma equação do 2o. grau de raízes α e β é 
 x2 – Sx + P = 0 ou x2 – (α + β)x + α . β = 0.
 Temos, então, x2 – 3x + = 0 ⇔ 9x2 – 27x + 14 = 0
 Resposta: A
3) Sendo x o número de parafusos e y o de arruelas, temos:
 
 
 Resposta: D
4) ≤ – ⇔ + ≤ 0 ⇔
 ⇔ ≤ 0 ⇔ x2 + 2x – 3 ≤ 0, pois 
 2(x2 + 1) > 0 ∀x ∈ � ⇔ – 3 ≤ x ≤ 1 ⇔
 ⇔ V = {x ∈ � � – 3 ≤ x ≤ 1} 
 O gráfico de f(x) = x2 + 2x – 3 é do tipo
 
 Resposta: A
5) I) O vértice da parábola é o ponto V(xV;yV) com
 xV = = = 4 e 
 yV = = = = 4.
 II) OV = AV ⇒ ΔVOA é isósceles ⇒
 ⇒ xV é ponto médio de 
→
OA ⇒ xV = . 
 Portanto, 4 = ⇒ xA = 8.
 A área do ΔVOA é igual a = 16.
 Resposta: E
6) I)
 
⇒ f(– 1) = 0 ⇒ – 1 é raiz de f.
 
II) ⇒ f(1) = 8.
 Portanto, o vértice é V(1; 8).
 III) Se – 1 é raiz ea abscissa do vértice da parábola é 1, então
a outra raiz x2 é tal que 
 = 1 ⇔ x2 = 3.
 Temos, então, f(x) = a(x + 1)(x – 3) e para f(1) = 8 resulta 
a . (1 + 1)(1 – 3) = 8 ⇔ a = – 2.
 Portanto, f(x) = – 2(x + 1)(x – 3) e 
 f(2) = – 2 . (2 + 1)(2 – 3) = 6.
 Resposta: D
7) 
 A = V1 � V2 � V3 = ø e P(A) = � ø �
 n(A) = 0 ⇒ n � P(A)	 = 20 = 1
 Resposta: A
8) 
 O conjunto verdade da equação é, em �, 
 V = V1 � V2 = � –3; –2; 0; 1 � e, portanto, a soma dos
quadrados das raízes é: 
 (–3)2 + (–2)2 + 02 + 12 = 9 + 4 + 0 + 1 = 14
 Resposta: C
1 750
––––––
7
�
 7
α = x1 + x2 = –– 3
 2
β = x1 . x2 = –– 3
�
S = α + β = 3
 14
P = α . β = –––
 9
14
––––
9
� 3x + 1 . y = 1303 . (2x) + 1 . (3y) = 300 ⇒ �
3x + y = 130
2x + y = 100
⇒
⇒ � x = 30y = 40 ⇒ x + y = 70
x – 2
–––––––
x2 + 1
1
–––
2
x – 2
––––––
x2 + 1
1
–––
2
2x – 4 + x2 + 1
–––––––––––––
2(x2 + 1)
– b
––––
2a
8
––
2
– Δ
–––––
4a
– (64 – 80)
–––––––––––
4
16
–––
4
O + xA
–––––––
2
O + xA
–––––––
2
8 . 4
–––––
2
f(x)
0
x + 1
–––––––
Q1(x)
f(x)
8
x – 1
–––––––
Q2(x)
– 1 + x2
––––––––
2
x ≥ 2
x – 2 + x – 1 = x – 3
x = 0 � � 2; +� �
V3 = ø
1 ≤ x ≤ 2
–x + 2 + x – 1 = x – 3
– x = – 4
x = 4 � � 1; 2	
V2 = ø
x ≤ 1
–x + 2 – x + 1 = x – 3
– 3x = – 6
x = 2 � 	 –�; 1	
V1 = ø
1 2
x ≥ –1
x2 + 2x – 3 . (x + 1) + 3 = 0
x2 + 2x – 3x – 3 + 3 = 0
x2 – x = 0
x (x – 1) = 0
x = 0 ou x = 1
V2 = � 0; 1 �
x ≤ –1
x2 + 2x – 3 . (– x – 1) + 3 = 0
x2 + 2x + 3x + 3 + 3 = 0
x2 + 5x + 6 = 0
x = – 2 ou x = –3
V1 = � –3; –2 �
1
x
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS-TAREFA
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– 13
9) Fazendo � x + 1
 = y resulta y2 – 2y + 1 = 0 ⇔ y = 1.
 Logo: � x + 1
 = 1 ⇔ x + 1 = 1 ou x + 1 = – 1 ⇔
 ⇔ x = 0 ou x = –2 ⇔ V = � –2; 0 �
 A soma das soluções reais da equação é –2 + 0 = – 2.
 Resposta: E
10) Para obter o gráfico de f(x + 1), basta deslocar 1 unidade para
a esquerda o gráfico de f(x), pois f(x + 1) = a(x + 1) (x – 1) (x – 3).
 Assim, o gráfico de f(x + 1) é:
 
 Logo, o gráfico de � f(x + 1)� é:
 
 
 Resposta: D
11) O esboço do gráfico d e g(x) = 2 é:
 
 O esboço do gráfico de h (x) = 2x – 2 é:
 
 O esboço do gráfico de f (x) = �2x – 2 � é:
 
 Resposta: C
q MÓDULO 2
1) 9x = 10 . 3x – 9 ⇔ (3x)2 – 10 . 3x + 9 = 0 ⇔
 ⇔ 3x = 1 ou 3x = 9 ⇔ x = 0 ou x = 2 ⇔ V = {0; 2}.
 A soma das raízes reais da equação é 0 + 2 = 2.
 Resposta: B
2) log53,38 = = =
 = = =
 
 = = 
 
Resposta: C 
3) Para y > 0 e x > 2y, temos:
 log3(x + 2y) + log1/3(x – 2y) = 1 ⇔
 ⇔ log3(x + 2y) + = 1 ⇔
 ⇔ log3(x + 2y) – log3(x – 2y) = 1 ⇔
 ⇔ log3 = 1 ⇔ = 3 ⇔
 ⇔ 3x – 6y = x + 2y ⇔ 2x = 8y ⇔ x = 4y. 
 O sistema apresentado, para x > 0 e y > 0, é equivalente a:
 ⇔ ⇔
 ⇔ ⇔ ⇒ x + y = 20
 Resposta: D
4) Para x > 0, temos:
 log2(100x) – log2(10x) + log2x < 6 ⇔
 ⇔ (log 100 + log x)2 – (log 10 + log x)2 + log2x < 6 ⇔
 ⇔ (2 + log x)2 – (1 + log x)2 + log2x < 6 ⇔
 ⇔ 4 + 4log x + log2x – 1 – 2log x – log2x + log2x < 6 ⇔
 ⇔ log2x + 2log x – 3 < 0.
 Para log x = m resulta 
 m2 + 2m – 3 < 0 ⇔ – 3 < m < 1.
 Logo, – 3 < log x < 1 ⇔ 10– 3 < x < 10 ⇔ < x < 10.
 As soluções inteiras da inequação são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
 Resposta: D
5) log3(1 + log3(2
x2 – 12 – 7)) = 1 ⇒ 1 + log3(2
x2 – 12 – 7) = 3 ⇒
 ⇒ log3(2
x2 – 12 – 7) = 2 ⇒ 2x
2 – 12 – 7 = 9 ⇒
 ⇒ 2x
2 – 12 = 16 ⇒ 2x
2 – 12 = 24 ⇒ x2 – 12 = 4 ⇒
 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4 ou x = – 4, que satisfazem as condições de
existência dos logaritmos.
 O conjunto verdade da equação é V = {4; – 4} e o produto das
suas raízes é 4 . (– 4) = – 16
 Resposta: D
x + 2y
–––––––
x – 2y
x + 2y
–––––––
x – 2y
�x
2 + y2 = 68y
x = 4y �16y
2 + y2 = 68y
x = 4y
�y
2 – 4y = 0
x = 4y �x = 16y = 4
1
–––––
1 000
log3(x – 2y)
––––––––––––
1
log3––3
log 3,38
––––––––
log 5
338
log ––––
100
–––––––––
log 5
log 338 – log 100
––––––––––––––––
log 5
log 2 . 132 – 2
––––––––––––––
10
log –––
2
log 2 + 2 . log 13 – 2
––––––––––––––––––
log 10 – log 2
a + 2b – 2–––––––––––
1 – a
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14 –
6) ( )log2(x
2
– 1)
> ( )3 ⇔ log2(x2 – 1) < 3 ⇔
 ⇔ 0 < x2 – 1 < 8 ⇔ 1 < x2 < 9 ⇔ 1 < �x� < 3 ⇔
 ⇔ – 3 < x < – 1 ou 1 < x < 3
 Resposta: D
7) x = 620 ⇒ log x = log 620 ⇒ log x = 20 . log 6 ⇒
 ⇒ log x = 20 . (log 2 + log 3) ⇒ log x = 20 . (0,3010 + 0,4771) ⇒
 ⇒ log x = 15,5620.
 A característica do log x é igual a 15 ⇒
 ⇒ x tem 15 + 1 = 16 algarismos.
 Resposta: B
q MÓDULO 3
1) Sendo 2, a, b, c, d, e os algarismos do número, podemos
escrever
 2 a b c d e
 x 3
 ––––––––––––
 a b c d e 2
 Note que 3e = 12 ⇒ e = 4
 3d + 1 = 4 ⇒ d = 1
 3c = 21 ⇒ c = 7
 3b + 2 = 17 ⇒ b = 5
 3a + 1 = 25 ⇒ a = 8
 O número é 2 8 5 7 1 4, cuja soma dos algarismos vale 
 2 + 8 + 5 + 7 + 1 + 4 = 27.
 Resposta: E
2) ⇒ 17 é fator comum dos números 
a e b, enquanto 2 e 3 são fatores não comuns a eles.
 Supondo a > b, temos as seguintes possibilidades:
 
ou
 Logo, a + b = 85 ou a + b = 119.
 Resposta: E
3) x2 = y2 + 112 ⇒ x2 – y2 = 121 ⇒ (x + y)(x – y) = 121
 Se x e y são naturais, então ou
 ⇒ ou 
 O valor de x . y é 61 . 60 = 3 660
 Resposta: E 
4) Sejam M = 10a + b e N = 10b + a os dois números em que a e
b são os seus algarismos, com a > b.
 Se x2 é o quadrado perfeito obtido, então M – N = x2, x ∈ �*.
 Assim, (10a + b) – (10b + a) = x2 ⇔ x2 = 9 . (a – b).
 Esta última igualdade é satisfeita para a – b = 1 ou a – b = 4
ou a – b = 9, pois 1 ≤ a ≤ 9 e 0 ≤ b ≤ 9.
 Os possíveis valores de x2 são 9 . 1 = 9 ou 9 . 4 = 36 ou 
9 . 9 = 81
 Resposta: C
5) 
 
 z = = = . =
 = = = 2 + 3i
 Resposta: A
6) z = . = =
 = = 
 z é imaginário puro ⇒ 2 – 2a = 0 ⇔ a = 1
 Resposta: D
7) �z + i� = �z + 2� ⇔ �x + yi + i� = �x + yi + 2� ⇔
 ⇔ �x + (y + 1)i� = �(x + 2) + yi� ⇔
 ⇔ ���������������x2 + (y + 1)2 = ���������������(x + 2)2 + y2 ⇔
 ⇔ x2 + y2 + 2y + 1 = x2 + 4x + 4 + y2 ⇔
 ⇔ 2y = 4x + 4 ⇔ y = 2x + 2
 Resposta: E
39
3
4
9
⇒ i39 = i3 = – i
5 + i45
–––––––
1 + i39
5 + i
–––––
1 – i
5 + i
–––––
1 + i
1 + i
–––––
1 + i
5 + 5i + i + i2
––––––––––––
12 – i2
4 + 6i
–––––––
2
2 – ai
–––––––
1 + 2i
1 – 2i
–––––––
1 – 2i
2 – 4i – ai + 2ai2
–––––––––––––––
1 – 4i2
2 – 4i – ai – 2a
––––––––––––––
1 + 4
(2 – 2a) – (4 + a)i
––––––––––––––––
5
1––
2
1––
2
mdc(a; b) = 17
mmc(a; b) = 2 . 3 . 17�
a = 17 . 3 . 2 = 102
b = 17�
a = 17 . 3 = 51
b = 17 . 2 = 34�
x + y = 121
x – y = 1�
x = 11
y = 0 (não serve)�
x = 61
y = 60�
x + y = 11
x – y = 11�
⇒ i45 = i1 = i
4
11
45
1
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– 15
8) ⇒
 
⇒ ⇒
 ⇒ = 2(cos 120° + i sen 120°) =
 = 2 .– + i . = – 1 + ���3 i
 Resposta: D
9) Da figura, concluímos que z = – 2 + 2���3 i.
 Escrevendo-se z na forma trigonométrica, obtém-se 
 z = 4(cos 120° + i sen 120°).
 Logo, z6 = 46 . [cos(6 . 120°) + i sen(6 . 120°) =
 = 212 . (cos 720° + i sen 720°) = 4 096(1 + 0i) = 4 096.
 Resposta: B
10) Para x ≠ 2 e x ≠ 3, = + ⇔
 ⇔ = ⇔
 ⇔ 3x – 4 = (A + B)x + (– 3A – 2B) ⇔
 ⇔ ⇔
 Resposta: A
11) ⇒ P(2) = 0 ⇒ 16 – 8m + 8 – 2m + 6 = 0 ⇒
 
 ⇒ – 10m + 30 = 0 ⇒ m = 3
 Resposta: E
12) Do gráfico, concluímos que P(0) = 3 e as raízes reais de P(x)
são – 1, 2 e 5.
 Temos, então: ⇒ 
 
 ⇒ a . 1(– 2) . (– 5) = 3 ⇒ a = 
 Portanto, P(x) = . (x + 1)(x – 2)(x – 5) e
 P(4) = . 5 . 2 (– 1) = – 3.
 Resposta: C
13) 
⇒ ⇒
 ⇒ ⇒
 
 ⇒
 ⇒ A(x) = (x – 1)(x – 2) . Q(x) + ax + b ⇒
 ⇒ 
 
⇒ 
 R(x) = ax + b = 8x – 1
 Resposta: B
14) Sejam a – r, a, a + r as raízes em progres são aritmética de
razão r. Das relações de Girard, temos 
 a – r + a + a + r = – (– 6) e, portanto, uma raiz é a = 2.
 23 – 6 . 22 + k . 2 + 10 = 0 ⇒ 8 – 24 + 2k + 10 = 0 ⇒ k = 3
 Resposta: A
15) Seja V = {r1; r2; r3} o conjunto verdade da equação.
 Do enunciado e das relações de Girard, obtém-se:
 ⇒ 4 + r3 = 2 ⇒ r3 = – 2
 Além disso, r1 . r2 . r3 = – 6 e, portanto, 
 r1 . r2 . (– 2) = – 6 ⇒ r1 . r2 = 3.
 Então: ⇒ ou ⇒
 ⇒ r
1
2 + r
2
2 = 1 + 9 = 10
 Resposta: B
16) As raízes r1, r2, r3, r4 e r5 da equação são tais que:
 
⇒ 4 + r5 = 5 ⇒ r5 = 1 
 1 é raiz ⇒ 15 – 5 . 14 + a . 13 + b . 12 + c . 1 + d = 0 ⇒
 ⇒ a + b + c + d = 4
 Resposta: D
� r1 + r2 = 4r1 + r2 + r3 = 2
� r1 + r2 = 4r1 . r2 = 3 �
r1 = 1
r2 = 3 �
r1 = 3
r2 = 1
r1 = 1 + ���2
r2 = 1 – ���2
r3 = 1 – i
r4 = 1 + i
r1 + r2 + r3 + r4 + r5 = 5
�
z1 . z3
–––––––
z
2
2
����3––––21–––2�
B
–––––
x – 3
A
–––––
x – 2
3x – 4
––––––––––
x2 – 5x + 6
Ax – 3A + Bx – 2B
–––––––––––––––––
(x – 2) (x – 3)
3x – 4
––––––––––––
(x – 2) (x – 3)
A = – 2
B = 5�A + B = 3– 3A – 2B = – 4�
x – 2
Q(x)
P(x)
0
P(x) = a . (x + 1)(x – 2)(x – 5)
P(0) = 3�
3–––
10
3
–––
10
3
–––
10
A(x) = (x – 1) . B(x) + 2x + 5
B(x) = (x – 2) . Q1(x) + 6
�
A(x) B(x)
 �––––2x + 5 x – 1
B(x) x – 2
 �––––6 Q1(x)�
A(1) = 7
B(2) = 6
A(2) = 15
�A(1) = 7B(2) = 6
A(2) = 1 . B(2) + 2 . 2 + 5
�
A(x) (x – 1)(x – 2)
 �––––––––ax + b Q(x)
A(1) = a + b
A(2) = 2a + b�
a = 8
b = – 1�a + b = 72a + b = 15�
z1 . z3 = 2(cos 240° + i sen 240°) 
z
2
2 = 12 . (cos 120° + i sen 120°)�
z1 = 1 . (cos 30° + i sen 30°)
z2 = 1 . (cos 60° + i sen 60°)
z3 = 2 . (cos 210° + i sen 210°)
�
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16 –
17) Do gráfico apresentado, concluímos que P(0) = p = 8 e – 4 é a
única raiz real de P(x). As outras duas raízes são do tipo 
a + bi e a – bi, com a, b ∈ � e b ≠ 0.
 De uma das relações de Girard, decorre que:
 – 4 . (a + bi)(a – bi) = – p = – 8 ⇔
 ⇔ – 4(a2 + b2) = – 8 ⇔ a2 + b2 = 2
 Dos números apresentados nas alternativas, apenas – 4, 1 + i
e 1 – i satisfazem à condição obtida.
 Resposta: C
q MÓDULO 4
1) No diagrama de Venn-Euler abaixo, os conjuntos C1, C2 e C3
representam os catálogos de mesmo nome e suas quantidades
de páginas.
 
 O número total de originais de impressão necessário é 
 38 + 6 + 34 + 2 + 4 + 1 + 33 = 118.
 Resposta: C
2) Sr. Professor: após montar o gráfico utilize esta questão para
recordar conjunto domínio, imagem, injetora e sobrejetora
etc.
 Notando que a produtividade =
 temos: área plantada =
 A área plantada (AP), nos anos considerados, é de:
 1995: AP = = 20 000 hectares
 1996: AP = = 16 000 hectares
 1997: AP = = 20 000 hectares
 1998: AP = = 24 000 hectares
 1999: AP = = 20 000 hectares
 A partir desses dados, o gráfico que melhor representa a área
plantada (AP), no período, é:
 Resposta: A
3) Pela análise do gráfico podemos afirmar que, no período de
1985 a 1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%. A
maior taxa foi de 16%. A menor ocorreu em 1989. A partir de
1995, a taxa voltou a aumentar. As variações da taxa de
desemprego refletem os altos e baixos da economia brasileira,
por vezes atingida por crises mundiais, ou às voltas com seus
próprios problemas.
 Resposta: D
4) Sendo x o número de pessoas que apresentaram os três
sintomas, tem-se a seguinte distribuição:
 
 Logo: 62 – 22 + x + 62 – 34 + x + 14 – x + x +
 + 8 – x + 20 – x + 72 – 28 + x = 160 ⇒ x = 6
 Resposta: C
5) 1)
 
⇒
 
⇒ f(t) = = =
produção
––––––––––––
área plantada
produção
–––––––––––––
produtividade
30 . 103 . 103
––––––––––––
1 500
40 . 103 . 103
––––––––––––
2 500
50 . 103 . 103
––––––––––––
2 500
60 . 103 . 103
––––––––––––
2 500
80 . 103 . 103
––––––––––––
4 000
8
f(2x + 1) = –––––––––
��������1 – x
2x + 1 = t
�
8
––––––––––
3 – t
–––––
 2
8
–––––––––––––
t – 1
1 – –––––
 2
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– 17
 = ⇒ f(x) = 
 2) D(f) = {x ∈ � � x < 3}
 Resposta: C
6) 1) f(– 2) = 3– 2 + 2 = 30 = 1
 2) g(f(–2)) = g(1) = 3 . 1 + 2 = 5
 3) f(g(f(– 2))) = f(5) = 35+2 = 37
 Resposta: E
7) 1) f(x) = y = ⇒ yx – 3y = 1 ⇒ yx = 1 + 3y ⇒
 ⇒ x = ⇒ y = = f – 1(x)
 2) D(f) = Im(f – 1) = � – {3}
 
 3) D(f – 1) = Im(f) = �*
 
 4) f – 1(1) = = 4
 Resposta: B
q MÓDULO 5
1) Observe que a quantidade de quadrículas pintadas em cada
desenho são termos da sequência (1; 5; 13; 25; ...; a10) cujas
diferenças formam a P.A. (4; 8; 12; ...; b9). O décimo termo
da primeira é a soma do primeiro com a soma dos nove
primeiros termos da P.A. 
 Assim,
 b9 = b1 + (9 – 1) . r = 4 + 8 . 4 = 36 e 
 a10 = 1 + S9 = 1 + = 181.
 Resposta: E
2) Se t1; t2; t3; t4; … formam, nessa ordem, uma P.A., então:
 
⇒ ⇔
 ⇔ ⇔ ⇔ 
 
 Assim, em 2017 a temperatura da terra será:
 t11 = t1 + (11 – 1)r = 14,6° + 10 . 0,02° = 14,8°
 Resposta: E
3) A dívida, em reais, foi paga segundo os termos de uma P.A. de
primeiro termo 1 000, último 50 e razão – 50. Assim: 
 an = a1 + (n – 1) . r 
 50 = 1 000 + (n – 1) . (– 50) ⇔ n = 20
 S20 = = = 10 500
 Como são pagas 12 parcelas anuais, a dívida total, em reais,
foi 12 x 10 500 = 126 000
 Resposta: A
4) Os n primeiros números ímpares (1, 3, 5, ..., 2n – 1) formam
uma progressão aritmética de primeiro ter mo a1 = 1, milésimo
termo a1000 = 2 . 1 000 – 1 = 1 999, e cuja soma é dada por:
 
⇔
 ⇔ ⇔
 Resposta: A
5) Os saltos de ordem ímpar formam, em metros, a progressão
aritmética (7,04; 7,07; …; 7,22). Desta forma:
 7,22 = 7,04 + (m – 1) . 0,03 ⇔ m = 7
 Se existiram 7 saltos de ordem ímpar e o último foi de ordem
ímpar, então existiram 6 saltos de ordem par, totalizando 13
saltos. Assim, n = 13. 
 Resposta: 13
 
Vn = π . rn
2 . hn = π .
2 
. =6)
 Desta forma:
 V1 + V2 + V3 + V4 + … = + + + + … =
 = π���2 . + + + + … =
 = �2 . = . = 
 Resposta: A
7) x = + + + … =
 
= = e sen(x) = sen = 1
 Resposta: D
8) Os diâmetros, em metros, são termos da progressão geo -
métrica (dn) = 2; 1; ; … , onde: 
3 . 1 + 1
–––––––––
1
(4 + 36) . 9
––––––––––
2
� t1 + t2 = 29,22°t3 + t4 = 29,30° �
t1 + (t1 + r) = 29,22°
(t1 + 2r) + (t1 + 3r) = 29,30°
� 2t1 + r = 29,22°2t1 + 5r =29,30° �
4r = 0,08°
2t1 + r = 29,22°
� r = 0,02°t1 = 14,6°
(a1 + a20) . 20––––––––––––
2
(1 000 + 50) . 20
–––––––––––––––
2
(a1 + an) . nSn = –––––––––––––2
(1 + 1 999) . 1 000
S1000 = ––––––––––––––––
2
S1000 = 1 000 000
� 1–––––––22n – 2 � �
���2
–––––
22n �
π ���2
–––––––
26n – 4
π ���2
–––––
22
π ���2
–––––
28
π ���2
–––––
214
π ���2
–––––
220
� 1–––22
1
–––
28
1
–––
214
1
––––
220 �
1
–––
22
–––––––
1
1 – –––
26
π ���2
–––––––
4
26
––––––
26 – 1
16π ���2
–––––––
63
π
–––
3
π
–––
9
π
–––
27
1
–––––
x – 3
1 + 3y
––––––
y
1 + 3x
––––––
x
8���2
–––––––––
�������3 – t
8���2
––––––––
�������3 – x
�
π
–––
2�
π
–––
2
π
–––
3
–––––––––
1
1 – –––
3
�
π
–––
2�
TAR_REV I_MAT_E_2016_Rose 19/08/16 09:49 Página 17
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
18 –
 d20 = d1 . 
20 – 1
= 2 . 
19 
= 
18
 O volume da esfera C20 é: 
 
π .
3 
= . (2– 19)3 = . 2– 57 =
 
= . 2– 55 = 
 Resposta: B
q MÓDULO 6
1) A + B = + = e
 det(A + B) = 4x + 4y – 4 = x ⇒ 3x + 4y = 4
 A . B = . = e 
 det(A . B) = (– x – y) . 7 + 8(2x + 2y) = 9x + 9y = y ⇒ 9x + 8y = 0
 Da segunda equação, temos: 9x + 8y = 0 ⇔ = –
 Resposta: A
2) 1) AB + BA = 0 ⇒ AB = – BA ⇒
 ⇒ AB . B = – BA . B ⇒ AB2 = – B(– BA) ⇒
 ⇒ AB2 = B2A
 2) (A + B)(A – B) = A2 – AB + BA – B2 = A2 + 2BA – B2
 3) (A + B)B = AB + B2 = – BA + B2 = – B . (A – B)
 4) (A – B)A = A2 – BA = A2 + AB = A(A + B)
 Resposta: A
3) 1) A terceira linha de A tem:
 a31 = 3 + 1 = 4
 a32 = 3 + 2 = 5
 a33 = 3 + 3 = 6 
 2) A segunda coluna de B tem:
 b12 = 1 – 2 = – 1
 b22 = 2 – 2 = 0
 b32 = 3 – 2 = 1
 3) O elemento da terceira linha e segunda coluna do produto
A . B é:
 a31 . b12 + a32 . b22 + a33 . b32 = 4 . (– 1) + 5 . 0 + 6 . 1 = 2
 Resposta: D
4) A sequência
 (a11, a12, a21, a22) = (2 – r; 2; 2 + r; (2 + r) . r) é tal que 
 (2; 2 + r; (2 + r)r) é uma P.G. e não tem termos nulos. 
 Então, (2 + r)2 = 2 . (2 + r) . r ⇔
 ⇔ r = 2, pois r = – 2 não serve.
 Assim: a11 = 0, a12 = 2, a21 = 4 e a22 = 8
 A = e det A = – 8
 Resposta: B 
5) det = x . det =
 = x . det =
 
 = x .1 . (– 1)4 + 1. =
 
 = – x . (m – x) . (r – x ) . (a – x) = x . (x – m) . (x – r) . (x – a)
 Resposta: B
6) Sejam a, c e p as quantidades, em gramas, de amendoim,
castanha-de-caju e de castanha-do-Pará contidos em cada
lata. Desta forma:
 
⇔
 ⇔ ⇔
 ⇔ ⇔
 5a + 20 . 125 + 16 . (375 – a) = 5 750 ⇔
 ⇔ – 11a = – 2 750 ⇔ a = 250 e p = 125
 Resposta: C
7) Se a solução do sistema é o par orde -
nado (2; – 3), então:
 
⇔ ⇔ 
 Resposta: p = – 1/2 e q = 7/2
� 04 28 	
�
x
x
x
x
m
x
x
x
n
r
x
x
p
s
a
x
	 �
x
x
x
1
m
x
x
1
n
r
x
1
p
s
a
1
	
�
0
0
0
1
m – x
0
0
1
n – x
r – x
0
1
p – x
s – x
a – x
1
	
�
m – x
0
0
n – x
r – x
0
p – x
s – x
a – x 	
�
0,005a + 0,020c + 0,016p = 5,75
a + c + p = 500
 1c = –– (a + p)
 3
�
5a + 20c + 16p = 5 750
a + c + p = 500
a + p = 3c
�
5a + 20c + 16p = 5 750
a + c + p = 500
3c + c = 500
�
5a + 20c + 16p = 5 750
a + p = 375
c = 125
p . x – y = 2� (p + q) . x + y = 3
2p + 3 = 2� 2p + 2q – 3 = 3
2p = –1� 2p + 2q = 6
p = –1/2� q = 7/2
� x + y2
0
3 � �
– 1
– 2
2
1 � �
x + y – 1
0
2
4 �
� x + y2
0
3 � �
– 1
– 2
2
1 � �
– x – y
– 8
2x + 2y
7 �
x
–––
y
8
–––
9
π
–––
3
π
––––––
3 . 255
4
–––
3
�
1 18�–––�2
––––––––
2
� 4π–––
3
4π
–––
3
�
1
–––
2 � �
1
–––
2 � �
1
–––
2 �
TAR_REV I_MAT_E_2016_Rose 19/08/16 09:49 Página 18
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
– 19
8) a)
 
⇒ (k +1) x = 5 ⇒ x =
 b) ⇒ ⇒ 
 ⇒ (k + 1)y = 3 – 2k ⇒ y =
 O par (x, y), solução do sistema, estará no primeiro quadrante
se, e somente se:
 
 
 
 Resposta: E
9) Sendo a, g e s, em reais, os preços do litro do álcool, gasolina
e o metro cúbico do gás, respectivamente, temos:
 
⇔ ⇔
 ⇔ ⇔ ⇔
 ⇔ ⇔ ⇔
 
 Resposta: A 
10) 1) D = = =
 
= (– 2) = 24
 
2) Dx4 = = 4 . (–1)
1 + 4 . = 24 ⇒
 ⇒ x4 = = 1
 Resposta: B
11) 1)
 
⇔ ⇔
 
⇔
 2) 3m + 6 ≠ 0 ⇔ m ≠ – 2 (SPD) ⇒ única solução
 
3) m = – 2 ⇒ ,
 portanto, ∃/y � (3m + 6)y = 4 – 2m.
 Logo, o sistema é impossível.
 Resposta: E 
q MÓDULO 7
1) A partir do enunciado, uma criança de 12 anos e 60 kg, no seu
tratamento, deverá ingerir: 60 mg . 2 . 5 = 600 mg que, na
razão de 12 mg/m�, corresponde a:
 
= 50 m�
 Resposta: D
2) Os divisores inteiros positivos de 900 deverão apresentar, no
máximo, os mesmos fatores primos do 900. Como não são
divisíveis por 5, não poderão apresentar o fator 5.
 Sendo 900 = 22 . 32 . 52, os divisores inteiros positivos de 900
não di vi síveis por 5 são, portanto, os divisores inteiros
positivos de 22 . 32 = 36.
 Como D+(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}, a média aritmética
desses divisores é:
 
=
 Resposta: E
3) Sendo v o volume de mistura contido em cada recipiente, tem-
se:
 
1º recipiente: de substância A e de substância B.
 
 
2º recipiente: de substância A e de substância B. 
 
 
Recipiente final: v = v de subs tância A 
em um volume 2v.
 Assim: 2v → 100%
 � p = 35% → p 
 Resposta: E
�
10a + 15g + 3s = 61,60
10a – 10g – 2s = – 11,90
10a – 10g = – 8,50 �
10a + 15g + 3s = 61,60
10a – 10g = – 8,50
2s = 3,40
�
10a + 15g = 56,50
10a – 10g = – 8,50
s = 1,70 �
10a + 15g = 56,50
25g = 65
s = 1,70 �
a = 1,75
g = 2,60
s = 1,70
1
2
3
1
1
0
1
– 1
1
1
– 2
1
1
– 3
– 2
– 1
– 2
– 2
– 2
– 1
– 5
0
– 5
– 5
– 2
1
1
1
– 1
– 5
0
– 5
– 5
– 2
1
2
3
1
1
0
1
– 1
1
1
– 2
1
4
0
0
0
2
3
1
0
1
– 1
1
– 2
1
Dx4
––––
D
� x – 3y – m = 02x + 3my – 4 = 0 �
x – 3y = m
2x + 3my = 4
� x – 3y = m(3m + 6)y = 4 – 2m
� 3m + 6 = 04 – 2m = 8
600 mg
–––––––––
12 mg/m�
1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 36
––––––––––––––––––––––––––––––––
9
91
–––
9
2v
–––
5
3v
–––
5
3v
–––
10
7v
–––
10
� 2 3–– + –––5 10 �
7
–––
10
�
10a + 15g + 3s = 61,60
15a + 10g + 2s = 55,65
12a + 13g + 3s = 59,90 �
10a + 15g + 3s = 61,60
5a – 5g – s = – 5,95
2a – 2g = – 1,70
k > – 1
 3
⇔� 3 ⇔ – 1 < k < –––k < ––– 2
 2 
x > 0� ⇒y > 0
5
–––––– > 0
k + 1 
⇔� 3 – 2k––––––– > 0
k + 1
k + 1 > 0� ⇔3 – 2k > 0
x – y = 2� kx + y = 3
– kx + ky = –2k�kx + y = 3
3 – 2k
–––––––
k + 1
x – y = 2� kx + y = 3 5––––––k + 1
7v
–––
10
TAR_REV I_MAT_E_2016_Rose 19/08/16 09:50 Página 19
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
20 –
4) 1 veículo por segundo equivale a 60 veículos por minuto.
 De 10 veículos para 60 veículos, houve um aumen to de 50 
veículos, ou seja, = = 500%.
 
 Resposta: D
5) a) A porcentagem de crescimento da concentração de CO2 no
período de 1870 a 1930 é aproxima damente 3,8%, pois 
 300 ÷ 289 ≅ 1,038 = 103,8%.
 b) A taxa de concentração de CO2, em 2010, será 
 350 . 1,086 = 380,1.
 Respostas: a) 3,8% b) 380,1
 
6) – Valor da mercadoria: R$ 662,00
 – Pagou no ato: p
 – Ficou devendo: (662,00 – p)
 – Dívida no final do 1º mês: (662,00 – p) . 1,10
 – Pagou no final do 1º mês: p
 – Ficou devendo: (662,00 – p) . 1,10 – p
 – Dívida no final do 2º mês:
 [(662,00 – p) . 1,10 – p] . 1,10 = p
 662,00 . (1,10)2 – p .(1,10)2 – p . (1,10) = p
 662,00 . (1,10)2 = ((1,10)2 + 1,10 + 1) . p
 662,00 . 1,21 = 3,31 . p
 200 . 1,21 = p
 p = 242,00
 Resposta: B
7) Se a torneira de saída esvaziar o tanque T em x horas, então:
 
 
 
 Resposta: E
8) Sendo C o custo inicial do bem, após os aumentos, passa a ser:
 1,50 . 30%C + 2 . 30%C + 1,75 . 20%C + 
 + 1,50 . 20%C = 0,45C + 0,6C + 0,35C +
 + 0,3C = 1,70C. Houve reajuste de 70%.
 Resposta: A
9) Sendo V o número total de votos, o total de votos válidos é
80%V e o candidato teve 40% V. O candidato teve 50% dos
votos válidos, pois:
 40% V = . 80%V = 50% . 80% V
 Resposta: A
10) M = =
 M = 1,74
 Resposta: C
q MÓDULO 8
1) 
 
 
 
 Seja BD = � e CD = h.
 I) Δ BCD
 
 tg 60° = ⇒ 
 
 
 II) Δ ACD
 
 tg45°= ⇒ 
 
 
 III) De I e II, resulta: = h – 30 ⇒
 
 
⇒ �
3 h – h = 30�
3 ⇒ 
 Resposta: A
2) I) cos x = = 
 II) sen2x = 1 – cos2x = 1 – = 
 
 III) tg2x = = = 8
 
 Assim: y = sen2x + 2 tg2x = + 16
 ∴
 Resposta: D
 sen x = 0
3) sen2x = 2 sen x ⇔ � sen x = 2 (impossível) 
 Assim: x ∈ [0; 3π] e sen x = 0 ⇔ V = {0; π; 2π; 3π}
 Resposta: E
h
–––
�
h
� = –––––
�
3
h
––––––
� + 30
� = h – 30
h
–––––
�
3
30�
3
h = –––––––– m
�
3 – 1
1
–––––––
sec x
1
–––
3
1
–––
9
8
–––
9
sen2x
–––––––
cos2x
8
–––
9
–––––
1
––
9
8
–––
9
152
y = –––––
9
T T T T 1 1 1 2
–– + –– – –– = –––– ⇒ –– + –– – –– = –– ⇒
2 3 x 1,5 2 3 x 3
1 1 1
⇒ –– – –– = –– ⇒ x = 6
2 3 x
1
––
2
1,55 × 3 + 1,65 × 8 + 1,75 × 10 + 1,85 × 6 + 1,95 × 3
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3 + 8 + 10 + 6 + 3
50
–––
10
500
––––
100
TAR_REV I_MAT_E_2016_Rose 19/08/16 09:50 Página 20
4) I) a = = = 
 II) b = = = 
 III) Sendo z = a + bi = sen + i cos ,
 
 temos: � z � = ���
a2 + b2 = . 
 Resposta: C
5) I) cos2x = 1 – sen2x = 1 – = 
 ∴ 0 < x < e cos2x = ⇒ 
 
 II) sen2y = 1 – cos2y = 1 – = 
 ∴ < y < 2π e sen2y = ⇒
 III) cos (x + y) = . – . = + 
 ∴ cos (x + y) = 
 Resposta: D
6) A matriz A = ( ), com 0 < x < π, não admite
 
inversa ⇔ = 0 ⇔ 2 sen x cos x + sen x = 0 ⇔
 ⇔ sen x (2 cos x + 1) = 0 ⇔
 sen x = 0 (não convém)
 ⇔ � cos x = – ⇒ x = .
 
Resposta: D
7) 
 O menor ângulo do triângulo é o oposto ao menor lado.
Portanto, pela Lei dos Cos senos, temos:
 52 = 62 + 72 – 2 . 6 . 7 cos α ⇔
 ⇔ cos α = 
 Resposta: D
8) Conforme enunciado, temos:
 
 sen 30° = ⇒ = ⇒ x = 
 cos 30° = ⇒ = ⇒ y = 
 A soma das medidas dos catetos vale:
 
+ = 
 Resposta: E
9) 
 No triângulo retângulo ABC, temos:
 sen  = = ⇒  = 30°
 Assim, no triângulo retângulo ABD, temos:
 tg  = ⇒ = ⇒
 Resposta: A
5
–––
7
1
–––
2
2π
––––
3
4
––
5
5
–––
13
3
––
5
(–12)
–––––
13
4
–––
13
36
–––
65
56
–––
65
2 sen x – 1
sen x cos x
2 sen x – 1
sen x cos x
 12
sen y = – ––––
 13
144
–––––
169
3π
–––
2
25
–––––
169
144
–––––
169
π
––
8 
π
––
8 
π π
sen2 –– + cos2 –– = 1
8 8
9
–––
25
16
–––
25
π
––
2
16
–––
25
 4
cos x = –––
 5
π
sen ––
2 
π
sec ––
5
sen π
π
cos ––
8
1
π
sec ––
5
0
π
cos ––
8 
π
cos ––
8 
π
sen ––
8 
π
cos ––
2
π
tg ––
4 
cos 2π
π
sen ––
8 
0
1
1
π
sen ––
8 
x
–––
15
1
–––
2
x
–––
15
15
–––
2
y
–––
15
�
3
–––
2
y
–––
15
15�
3
––––––
2
15
–––
2
15�
3
––––––
2
15 (1 + �
3 )
–––––––––––
2
2
——
4
1
——
2
BD
––––
AB
�
3
——
3
BD
––––
4
4�
3
—––—
3
M
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Á
T
IC
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10) 1.°) sec x = , x ∈ ⇒ cos x = = 
 2.°) sen2x = 1 – cos2x = 1 –
2
= ⇒ sen x = 
 
 (pois x ∈ 4.° quadrante)
 3.°) tg x = = = 
 Resposta: D
11) 
 a) Δ OAB: tg(O
^
AB) = 1 ⇒ O
^
AB = 45°
 b) Δ OAC: tg(O
^
AC) = �
3 ⇒ O^AC = 60°
 c) θ = B
^
AC = 60° – 45° = 15°
 Resposta: E
12) 
 Pela figura, temos:
 15 1
 a) cos α = –––– = ––– ⇒ α = π/3
 30 2
 π 2π
 b) β = π – α = π – ––– = ––––
 3 3
 comp (AP�) 2π comp (AP�) 2π
 –––––––––––– = –––– ⇒ –––––––––––– = –––– ⇒
 r 3 30 3
 ⇒ comp (AP�) = 20π m
 
 
 Resposta: C
13) No intervalo [0; 2π], temos:
 sen (2x) = sen x ⇔ 2 sen x . cos x = sen x ⇔
 ⇔ sen x [2 cos x – 1] = 0 ⇔ sen x = 0 ou cos x = ⇔
 ⇔ x = 0 ou x = π ou x = 2π ou x = ou x = ⇒
 ⇒ 0 + π + 2π + + = 5π 
 Resposta: E
14) �
3 . tg x = 2 . sen x ⇔ �
3 . = 2 . sen x ⇔
 ⇔ 2 . sen x . cos x – �
3 .sen x = 0 ⇔ sen x .(2 .cos x – �
3 ) = 0 ⇔
 ⇔ sen x = 0 ou cos x = 
 
 
 
 Para 0 ≤ x ≤ 2π, temos: V = �0; π; 2π; ; �
 Resposta: E
15) Sendo AF
––
bissetriz do ângulo BÂE, temos
 BÂF = EÂF = α
 
 No ΔABF, temos tg α = ⇔ tg α = 
 No ΔADE, temos:
 tg(2α) = ⇔ = ⇔ 
5––
4
3π[–––; 2π]2 1–––––sec x 4––5
4�––�5 9––25
3
– ––
5
sen x
––––––
cos x
– 3/5
–––––
4/5
3
– ––
4
1
––
2
π
––
3
5π–––
3
π––
3
5π–––
3
sen x
––––––
cos x
�
3
––––
2
π–––
6
11π––––
6
BF
–––
AB
���5
––––
4
1
–––
DE
2 tgα
––––––––
1 – tg2α
AD
–––
DE
M
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Á
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22 –
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⇔ = ⇔ = ⇔ DE = 
 Resposta: D
16) sen2x – 2cos4x = 0
 1 – cos2x – 2 cos4x = 0
 2 cos4x + cos2x – 1 = 0
 cos2x = ⇔ cos2x = ⇔
 ⇔ cos x = ± ⇔ x = ou x = ou x = 
 ou x = 
 Logo, a soma das raízes é 
 
+ + + = = 4π
 Resposta: C
q MÓDULO 9
 1) Seja AB = �. A área do triângulo ABC é .
 Assim:
 I) A (0; 0) B (x; y) e M (�
3; 1)
 = �
3 ⇒ x = 2�
3
 �⇒ B(2 �
3; 2) = 1 ⇒ y = 2
 II) AB = � = �
(2 �
3 – 0)2 + (2 – 0)2 = �
12 + 4 = 4 
 ∴ = = 4�
3
 
 Resposta: C
2) I) A reta 3x – 2y = 12 intercepta os eixos coor denados nos
pontos A (x; 0) e B (0; y). Assim:
 Para y = 0 ⇒ 3x – 2 . 0 = 12 ⇔ x = 4 ∴ A (4; 0).
 Para x = 0 ⇒ 3 . 0 – 2y = 12 ⇔ y = – 6 ∴ B (0; – 6).
 II) O ponto médio do segmento AB é:
M (2; – 3)
 III) A mediatriz do segmento AB é perpen di cular à reta 
3x – 2y = 12 e, portanto, seu coeficiente angular é – .
 IV) A equação da mediatriz de AB é:
 y + 3 = – (x – 2) ⇔ 2x + 3y + 5 = 0
 Resposta: C
3) I) Sejam A(0; y) e B(x; 0) os interceptos da reta x + y – 1 = 0.
 Para x = 0 ⇒ 0 + y – 1 = 0 ⇔ y = 1 ∴ A (0; 1).
 Para y = 0 ⇒ x + 0 – 1= 0 ⇔ x = 1 ∴ B (1; 0). 
 II) Sendo M o centro da circunferência e R o seu raio, temos:M ; e
 R = AM = 
 R = 
 
 Assim, a equação de λ é �x – �
2
+ �y – �
2
= .
 
 Resposta: B
4) I) A circunferência x2 – 4x + y2 + 2y + 1 = 0 possui centro 
C (2; –1) e raio R = 2.
 II) A reta 4y – 3x + k = 0 é tangente à circun ferência se, e
somente se:
 � 4 (–1) – 3 . 2 + k � � k – 10 �
 –––––––––––––––––– = R ⇔ ––––––––– = 2 ⇔
 �
�
(4)2 + (–3)2 5
 k – 10 = 10 ⇒ k = 20
 ⇔ � k – 10 � = 10 ⇔ � k – 10 = –10 ⇒ k = 0
 ∴ a soma dos possíveis valores de k é 20.
 Resposta: E
5) 
�1––2
1
––
2�
1 2 1 2�0 – ––� + �1 – ––�2 2 
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
2
––
3
�2�
3
–––––
4
x + 0
––––––
2
y + 0
––––––
2
42�
3
––––––
4
�2�
3
–––––
4
2
––
3
���5
2 . ––––
4
––––––––––––
���5
1 – �––––�2
4
1
–––
DE
8���5
–––––
11
1
–––
DE
11���5
––––––
40
– 1 ± 3
––––––––
4
1
––
2
�
2
––––
2
π
––
4
3π
––
4
5π
––
4
7π
––
4
π
––
4
3π
––
4
5π
––
4
7π
––
4
16π
––––
4
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 a) I) A reta r de equação y = – �
3 x + 7 intercepta os eixos
coordenados nos pontos A(0; 7) e
 B e forma 120° com o eixo x, pois seu 
 coeficiente angular é – �
3.
 II) A reta s da equação y = x + 7 intercepta os eixos coor -
denados nos pontos A(0; 7) e C(– 7; 0) e forma 45° com
o eixo x, pois seu coeficiente angular é 1.
 III) No triângulo ABC, temos:
 �r = � + �S ⇒ 120° = � + 45° ⇒ � = 75°
 b) A área do triângulo ABC é:
 SABC = = =
 = 
 Respostas: a) 75°
 
b)
6) 
 A distância do ponto C(3; yc) à reta y = x, ou seja, 
x – y = 0 é 3. Assim:
 
= 3 ⇒ �3 – yc� = 3 �
2 ⇒ yc = 3 �
2 + 3,
 pois C pertence ao 1.º quadrante.
 Resposta: D
7) I) Se o ponto A for a intersecção das retas de equação 
 y – x = 1 e y + x = 5, então:
 ⇒ ⇒ ⇒ A(2;3)
 II) Se o ponto B for a intersecção das retas de equação 
y – x = 1 e x = 5, então B(5; 6).
 III) Se o ponto C for a intersecção das retas de equação 
 y + x = 5 e x = 5, então C(5; 0).
 
 IV) Se M for o ponto médio de 
—
BC, então M(5; 3).
 V) A distância de M(5; 3), ponto médio da hipotenusa, à
origem O(0; 0) é ��������������������(5 – 0)2 + (3 – 0)2 = ����34.
 Resposta: C
8) A circunferência (x – 8)2 + (y – 6)2 = 25 tem centro
 C(8; 6) e raio r = 5.
 Da figura, conclui-se que:
 1.o) ΔAOC: OA = 8, OB = AC = 6 e OC = 10
 2.º) ΔOAC � ΔCQP ⇒ = = ⇒
 ⇒ CQ = 4 e QP = 3
 O ponto da circunferência, que fica mais afastado da origem,
é o ponto P, cujas coordenadas são:
 
 Resposta: E
5
–––
10
QP
––––
6
CQ
–––––
8
7 �
3�–––––; 0�3
7�
3�––––– – (– 7)� . 73
–––––––––––––––––
2
BC . AO
––––––––
2
49 . (3 + �
3 )
––––––––––––––
6
49 . (3 + �
3 )
––––––––––––––
6
�3 – yc�
–––––––––––
�
12 + 12
x = 2
y = 3�
y – x = 1
y = 3�
y – x = 1
y + x = 5�
⇒ P(12; 9)�xP = OA + CQ = 8 + 4 = 12 
yP = OB + QP = 6 + 3 = 9
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24 –
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9) Conforme o enunciado, temos:
 
= 6 ⇔ �3m + 8� = 30 ⇔
 
⇔ 3m + 8 = ± 30 ⇔ m = ⇔
 ⇔ m = ou m = – 
 Assim, a soma dos valores de m é:
 – + = – 
 Resposta: A
10) (x2 + y2 + 1)(2x + 3y – 1)(3x – 2y + 3) = 0 ⇔
 
 
⇔ ⇔
 pois x2 + y2 + 1 = 0 não tem solução real.
 
 
 
 
 Resposta: D
11) x + 3 = ���������1 – y2 ⇔ (x + 3)2 = 1 – y2, com x + 3 ≥ 0 ⇔
 ⇔ (x + 3)2 + y2 = 1, com x ≥ – 3.
 Portanto o conjunto dos pontos (x; y) tais que x + 3 = ���������1 – y2
é um arco de circunferência de centro (– 3; 0) e r = 1, conforme
representação a seguir.
 
 
 
 Resposta: E
12) 
 I) A circunferência x2 + y2 = 5 tem centro C(0; 0) e raio 
r = �
5. A distância de P à reta AB
↔
é a menor possível
quando a reta PC
↔
é per pendicular à reta AB
↔
. 
 Assim:
 mr = mAB = = – ⇒ ms = 2(r ⊥ s)
 Equação da reta s: y – 0 = 2 . (x – 0) ⇔ y = 2x
 II) O ponto P é a intersecção da reta s com a circunferência:
 � ⇒ �
 Sendo P um ponto do 1.º quadrante, tem-se P(1; 2).
 Resposta: A
q MÓDULO 10
1) 
 
 
 De acordo com o teorema do ângulo externo, no triângulo
ACD, tem-se:
 72° = θ + 2θ ⇔ 3θ = 72° ⇔ θ = 24°
 Resposta: B
2) 
 
 
 
 Num polígono regular de 2p lados (p ≥ 2), tem-se:
 1o. ) Número total de diagonais: = p (2p – 3)
 2o. ) Número total de diagonais que passam pelo centro:
 = p
�3 . m + 4 . 1 + 4 �
–––––––––––––––––
���������32 + 42
± 30 – 8
–––––––––
3
38
––––
3
22
––––
3
16
––––
3
22
––––
3
38
––––
3
2x + 3y – 1 = 0 (I)
ou
3x – 2y + 3 = 0 (II) �
x2 + y2 + 1 = 0 
ou
2x + 3y – 1 = 0 
ou
3x – 2y + 3 = 0 
�
1
–––
2
4 – 3
––––––
0 – 2
x = 1 e y = 2
x = – 1 e y = – 2
x2 + y2 = 5
y = 2x
2p (2p – 3)
–––––––––––
2
2p
–––
2
M
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 3o. ) Probabilidade de a diagonal sorteada passar pelo centro
do polígono:
 P = ⇔ P = 
 Resposta: B
3) Sendo r a medida, em centímetros, do raio da cir cun ferência
inscrita, p o semi perímetro, em cen tímetros, e S a área, em
centímetros qua dra dos, do referido tri ângu lo, tem-se:
 
1º. ) p = ⇔ p = 9
 2º. ) S = ��������������������������9 . (9 – 5) (9 – 6) (9 – 7) ⇔ S = 6���6
 3º. ) S = p . r
 Assim: 6���6 = 9 . r ⇔ r = 
 
Resposta: B
4) 
 
 x + 50 + x + 14 = 124
 � ⇔ x = 30 e h = 24, h2 = x2 – 182
 pois h e x são positivos.
 A distância da luminária ao teto é 24 cm.
 Resposta: D
5) 
 No triângulo ADF, de acordo com o teorema do ângulo exter -
no, tem-se:
 med(DF̂C) = med(AD̂F) + med(DÂF)
 Assim:
 60° + β = α + 20° ⇔ α – β = 60° – 20° ⇔ α – β = 40°
 Resposta: B
6) I) âe = ⇔ 18° = ⇔ n = 20
 
 II) d = = = 170
 
 III) Como o polígono tem 20 lados, o número de diagonais que
passam pelo centro é 10 e, portanto, a probabi lidade p de
uma diagonal passar pelo centro é:
 p = = 
 Resposta: C
7) 
 Sendo x = QB, tem-se:
 1o. )AP = PQ = 
 2o. ) PB = x + ⇔ PB =
 
3o. ) CP = PD = = 6
 3o. ) PA . PB = PC . PD
 
Assim: . = 6 . 6 ⇔
 ⇔ 169 – x2 = 144 ⇔ x2 = 25 ⇔ x = 5
 Resposta: A
1
–––––––
2p – 3
p
––––––––––
p (2p – 3)
5 + 6 + 7
–––––––––
2
2���6
–––––
3
Se
–––
n
360°
–––––
n
n . (n – 3)
–––––––––––
2
20 . (20 – 3)
–––––––––––
2
10
––––
170
1
–––
17
13 – x
–––––––
2
13 – x
–––––––
2
13 + x
––––––
2
12
–––
2
13 – x
––––––
2
13 + x
––––––
2
M
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q MÓDULO 11
1) 
 
 Sendo x o raio de cada esfera e R o raio de cada cilindro, 
tem-se:
 R + x = R���3 ⇔ x = R – 1
 Assim:
 x = 30 – 1 ⇔ x = 10(2���3 – 3)
 Resposta: E
2) Sendo r o raio, em milímetros, da esfera, tem-se:
 Vesfera = 18 . Vmoeda
 π r3 = 18 . π . 122 . 3 ⇔ r3 = 23 . 36 ⇔
 ⇔ r = 2 . 32 ⇔ r = 18 
 Resposta: A 
3) 
 
 
 
 
 Sendo V o volume do cone de altura h, V’ o volume