Apostila - Métodos aplicados a corporate finance

Prévia do material em texto

z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
Com o aumento da competitividade global e a necessidade de 
buscar a rentabilidade no mundo dos negócios, o domínio dos cálculos 
no âmbito das finanças tem-se tornado essencial para o sucesso de 
qualquer projeto de investimento. São os estudos dos Métodos 
Quantitativos Aplicados a Corporate Finance que permitirão ao 
investidor adquirir o conhecimento necessário para saber calcular, 
projetar e analisar a viabilidade de uma decisão de investimento, seja no 
mundo corporativo, seja na busca pela formação do patrimônio pessoal. 
Por essa razão, dominar os conceitos básicos de matemática financeira e 
o seu potencial aplicado às finanças é altamente relevante e essencial para 
a formação de qualquer profissional, independentemente da sua área de 
conhecimento ou atuação. Afinal, potencializar a rentabilidade e 
acumular patrimônio são desejos muito comuns de qualquer pessoa física 
ou jurídica. 
Nesse sentido, serão abordados na disciplina de Métodos 
Quantitativos Aplicados a Corporate Finance os conceitos do valor do 
dinheiro no tempo e a sua aplicabilidade prática no mercado financeiro, 
bem como em decisões de projetos de investimentos. Essa abordagem 
inclui a operacionalização básica, porém essencial, da calculadora 
financeira HP-12C; a aplicabilidade dos regimes de capitalização e taxas 
de juros existentes no mercado corporativo; os sistemas de amortização; 
os métodos da análise de investimentos via fluxos de caixa e a modelagem 
matemática para compreender a correlação existente entre ativos, bem 
como as suas projeções e estimação do risco financeiro. Para esse enfoque, 
esta apostila foi estruturada em cinco módulos. 
No módulo I, serão abordados os aspectos necessários para a devida 
compreensão dos efeitos do valor do dinheiro no tempo, da forma de 
capitalização dos juros e da contagem dos prazos. Além disso, considerando 
a importância de dominar as ferramentas que permitem ganhar agilidade no 
processo decisório, serão apresentadas as principais configurações e funções 
da calculadora HP-12C para possibilitar a execução dos cálculos financeiros 
mais utilizados no mercado corporativo. 
 
 
 
No módulo II, serão demonstradas as aplicabilidades dos regimes de capitalização no mercado 
financeiro, tais como: as operações de desconto bancário de títulos, o sistema de cálculo dos juros 
de contas correntes e os cálculos das variáveis financeiras no regime de juros compostos. Ainda neste 
módulo, serão apresentados os cálculos e os significados das diversas taxas de juros aplicadas em 
finanças que permitem ao investidor saber calcular o custo efetivo de uma operação de crédito ou a 
rentabilidade auferida de um projeto de investimento. 
No módulo III, serão apresentados os sistemas de amortização de empréstimos e 
financiamentos mais utilizados e como se comportam quando são aplicadas taxas variáveis ou 
indexadas a um indicador econômico. A compreensão dos efeitos dos diferentes sistemas de 
amortização é crucial para a estruturação dos fluxos de caixa de investimentos e as análises das suas 
viabilidades quando envolve capital financiado por terceiros. Portanto, entender como são 
estruturados os cálculos inerentes aos sistemas de amortização é fundamental para que o investidor 
saiba como melhor se financiar e rentabilizar o seu negócio. Nesse sentido, neste mesmo módulo, 
serão apresentadas as diferentes séries de pagamentos existentes bem como o comportamento dos 
juros nos casos de parcelas fixas, com carência ou reforços, sejam eles reforços intermediários ou 
apenas no final da operação de crédito. 
No módulo IV, já com o domínio da base matemática necessária para compreender o 
comportamento dos juros e como são calculados, serão apresentados os principais métodos de análise 
de investimentos por meio dos fluxos de caixa aplicados a corporate finance. São critérios que permitem 
ao investidor calcular se um investimento é viável por oferecer a rentabilidade desejada ou se deve ser 
descartado por não cumprir os requisitos mínimos exigidos. Esses requisitos podem ser tanto de 
rentabilização mínima exigida, quanto de prazo máximo de devolução do capital, ou ainda serem 
estruturados para permitir a comparação de performance entre duas opções de investimento. 
Por fim, no módulo V, serão apresentados os conceitos de modelagem matemática para 
permitir ao investidor calcular, bem como compreender, a correlação linear existente entre duas 
variáveis, permitindo ainda, estabelecer projeções a partir de séries históricas. Adicionalmente, serão 
apresentados os conceitos básicos para estimar o retorno esperado para um ativo e os seus riscos 
financeiros para fins decisórios. 
Em virtude da crescente importância do gerenciamento dos investimentos para a 
maximização dos resultados financeiros, o objetivo da apostila de Métodos Quantitativos Aplicados 
a Corporate Finance é descrever os conceitos básicos utilizados no mercado financeiro e a sua 
aplicabilidade para análise de investimentos e operações de empréstimos e financiamentos e, ainda, 
apresentar os conceitos de correlação linear entre duas variáveis e como é possível estimar o risco de 
um ativo financeiro. 
 
 
 
O objetivo geral desta apostila é reunir em um só lugar os principais conceitos de Métodos 
Quantitativos Aplicados a Corporate Finance para oferecer ao interlocutor ferramentas que lhe 
permitam saber calcular, projetar e analisar a viabilidade de uma decisão de investimento, bem 
como compreender os seus riscos financeiros. 
Os objetivos específicos a serem alcançados com esta disciplina são: 
� Apresentar os principais conceitos aplicados a corporate finance para permitir ao leitor a 
compreensão das operações financeiras existentes no mercado e a sua execução por meio 
da operacionalização da calculadora financeira HP-12C. 
� Demonstrar a aplicabilidade dos regimes de capitalização e das taxas de juros existentes no 
mercado financeiro mediante a apresentação: das operações de desconto bancários de 
títulos, do sistema de cálculo dos juros de conta-corrente, dos cálculos das variáveis 
financeiras no regime de juros compostos. 
� Permitir ao leitor compreender as estruturas dos sistemas de amortização de empréstimos 
e financiamentos e as séries de pagamentos mais praticadas no mercado financeiro. 
� Descrever os principais métodos de análise de investimentos por meio dos fluxos de caixa 
aplicados a corporate finance. 
� Evidenciar os aspectos básicos considerados para cálculo e análise da correlação linear 
existente entre duas variáveis e como realizar projeções básicas a partir de séries históricas. 
� Fornecer os métodos quantitativos básicos para a estimação do risco financeiro para fins 
decisórios. 
 
Note que os objetivos geral e específicos descritos acima buscam fornecer conhecimentos de 
Métodos Quantitativos Aplicados a Corporate Finance essenciais para a formação profissional em 
qualquer área de conhecimento, uma vez que, independentemente da área de atuação, é comum 
que no mercado corporativo as pessoas busquem potencializar os retornos financeiros das suas 
decisões de investimentos. Uma boa decisão de investimento só poderá ser tomada por aquele que 
dominar os conceitos de finanças e a sua aplicabilidade, pois são eles que permitem ao investidor 
saber quando, como e onde investir, bem como calcular, projetar e analisar a viabilidade e o risco 
financeiro de um investimento. 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
MÓDULO I – CONCEITOS BÁSICOS APLICADOS A CORPORATE FINANCE ........................................ 11 
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO .................................................................................................. 11 
Custo de oportunidade ...........................................................................................................11 
Taxa mínima de atratividade .................................................................................................. 12 
JUROS ................................................................................................................................................. 12 
Conceito de juros ..................................................................................................................... 13 
Conceito de taxa de juros ....................................................................................................... 13 
Taxa unitária ............................................................................................................................. 13 
Taxa percentual ........................................................................................................................ 14 
Juros simples ............................................................................................................................ 14 
Juros compostos ...................................................................................................................... 14 
Fator de capitalização simples ............................................................................................... 15 
Fator de capitalização composta ........................................................................................... 16 
PRAZOS .............................................................................................................................................. 16 
Ano civil e juros exatos ............................................................................................................ 17 
Ano comercial e juros comerciais .......................................................................................... 17 
Período de capitalização ......................................................................................................... 17 
Capitalização contínua ............................................................................................................ 17 
Capitalização descontínua ...................................................................................................... 17 
OPERACIONALIZAÇÃO DA CALCULADORA HP-12C ..................................................................... 17 
Método de Cálculo RPN .......................................................................................................... 18 
Função primária e secundária das teclas ............................................................................. 18 
Configuração das casas decimais .......................................................................................... 19 
Configuração dos separadores de dígitos ............................................................................ 19 
Configuração do sistema de datas ........................................................................................ 20 
Operações com datas ........................................................................................................ 20 
Função da tecla "CHS" ............................................................................................................. 21 
Função da tecla “CLX” .............................................................................................................. 21 
Função da tecla “yX” ................................................................................................................. 22 
MÓDULO II – APLICABILIDADE DOS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO E TAXAS NO MERCADO 
FINANCEIRO ......................................................................................................................................... 23 
OPERAÇÃO DE DESCONTO BANCÁRIO DE TÍTULOS ................................................................... 23 
Taxa de desconto bancário .................................................................................................... 24 
Custo efetivo total da operação de desconto bancário de títulos .................................... 25 
SISTEMA DE CÁLCULO DOS JUROS DE CONTA-CORRENTE ........................................................ 25 
 
 
 
CÁLCULO DAS VARIÁVEIS FINANCEIRAS NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS ........................ 27 
Cálculo do valor presente (VP) ............................................................................................... 28 
Cálculo do valor das prestações (PMT) ................................................................................. 31 
Cálculo do valor futuro (VF) .................................................................................................... 33 
Cálculo da taxa de juros efetiva (i) ......................................................................................... 34 
Cálculo da quantidade de períodos (n) ................................................................................. 35 
TAXAS DE JUROS APLICADAS NO MERCADO FINANCEIRO ......................................................... 36 
Taxa real .................................................................................................................................... 36 
Taxa nominal ............................................................................................................................ 37 
Taxa efetiva ............................................................................................................................... 39 
Taxas equivalentes .................................................................................................................. 40 
MÓDULO III – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E SÉRIES DE PAGAMENTOS ...................................... 43 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS .................................... 43 
Princípios básicos dos sistemas de amortização ................................................................ 44 
Sistema de Amortização com Prestações Constantes (Price) ............................................ 44 
Sistema de Amortização com a Amortização Constante (SAC) ......................................... 45 
Sistema de Amortização Misto (SAM) ................................................................................... 47 
Sistema de Amortização Americano (SAA) ........................................................................... 48 
Análise comparativa entre os sistemas de amortização .................................................... 49 
COMPORTAMENTO DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO COM ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA ... 50 
SÉRIES DE PAGAMENTOS ................................................................................................................ 52 
Série de pagamentos postecipados ...................................................................................... 52 
Série de pagamentos antecipados ........................................................................................ 52 
Série de pagamentos com carência ...................................................................................... 54 
Série de pagamentos com reforço no último pagamento ................................................. 56 
Série de pagamentos com reforços intermediários, ou periódicos ................................. 57 
MÓDULO IV – MÉTODOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS APLICADOS A CORPORATE FINANCE 61 
INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ............................................................................ 61 
VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) ................................................................................................... 62 
TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) ................................................................................................. 66 
TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA (TIRM) ..................................................................... 68 
PAYBACK SIMPLES (PS)......................................................................................................................72 
PAYBACK DESCONTADO (PD)........................................................................................................... 75 
ÍNDICE DE LUCRATIVIDADE (IL) ...................................................................................................... 78 
 
 
 
MÓDULO V – QUANTITATIVE FINANCE................................................................................................. 81 
MODELAGEM MATEMÁTICA ........................................................................................................... 81 
Correlação linear ...................................................................................................................... 81 
Introdução a projeções a partir de séries históricas........................................................... 86 
VALOR ESPERADO (E), DESVIO PADRÃO (Σ) E RISCO FINANCEIRO ............................................ 90 
Introdução ao value at risk (VaR) ............................................................................................ 92 
ÍNDICE DE SHARPE ........................................................................................................................... 95 
Coeficiente de variação (CV) ................................................................................................... 96 
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 99 
PROFESSOR-AUTOR ........................................................................................................................... 100 
 
 
 
 
 
 
 
Neste módulo, serão abordados os aspectos básicos, porém essenciais, do valor do dinheiro 
do tempo, a forma de capitalização dos juros e a contagem dos prazos. Essa é a base para estruturar 
qualquer pensamento matemático aplicado a corporate finance. Adicionalmente, é imprescindível 
que o investidor domine as ferramentas que lhe permitam ganhar dinamismo na execução de 
cálculos financeiros para embasar o processo decisório de investimento. Nesse sentido, serão 
apresentadas, também neste módulo, as principais configurações e funções da calculadora HP-12C 
para preparar o leitor para a realização de cálculos financeiros com agilidade. 
 
Valor do dinheiro no tempo 
O valor do dinheiro se modifica com o tempo, seja pela sua perda no poder de compra em 
razão da existência de inflação no período em análise, seja em razão da existência de um custo de 
oportunidade. 
 
Custo de oportunidade 
Custo de oportunidade é o custo financeiro de uma aplicação alternativa ao investimento em 
análise. Para melhor compreender este conceito, pergunte-se: considerando o ambiente econômico 
atual, se pudesse escolher entre receber R$ 1.000,00 hoje ou R$ 1.200,00 daqui a um ano, qual 
preferiria? Neste caso, a resposta é simples: Depende! 
Entenda o porquê: considere um cenário em que uma pessoa esteja com o seu limite bancário 
de cheque especial tomado, ou seja, a sua conta está com o saldo negativo em exatos R$ 1.000,00. 
Considere ainda, que essa pessoa não possua a expectativa de receber qualquer recurso que lhe 
MÓDULO I – CONCEITOS BÁSICOS 
APLICADOS A CORPORATE FINANCE 
 
12 
 
permita quitar o referido limite nos próximos meses. Naturalmente, ela preferirá receber os 
R$ 1.000,00 hoje e quitar o limite. Se assim não o fizer, facilmente a dívida ultrapassará o valor de 
R$ 1.200,00 já nos próximos dois meses, uma vez que é comum que as taxas dos cheques especiais 
oferecidos pelos bancos atualmente superem os 10% ao mês. Se esta fosse a taxa, por exemplo, 
dentro de um mês a dívida estaria em R$ 1.100,00, passado o segundo mês já resultaria em 
R$ 1.210,00 e no prazo de um ano ultrapassaria os R$ 3.000,00. 
Agora, considere um cenário em que o investidor, além de possuir saldo positivo na sua conta-
corrente, possua uma significativa quantia de recursos aplicados em renda fixa com remuneração 
de 100% do CDI, que atualmente está em cerca de 6,40% ao ano e, dado o seu perfil extremamente 
conservador, o máximo que o investidor faria se recebesse os R$ 1.000,00 hoje seria engordar ainda 
mais a sua aplicação em renda fixa. Note que, neste caso, em um ambiente onde não existe o risco 
de inadimplência dos R$ 1.200,00 dentro de um ano, pouco atrativo se torna receber os 
R$ 1.000,00 hoje e aplicar em uma alternativa que resultará em algo em torno de R$ 1.064,00 após 
um ano. Logo, sabiamente, este último investidor preferirá esperar para receber os R$ 1.200,00 
após um ano. 
Observe, portanto, que o custo de oportunidade pode estar mais atrelado ao investidor do 
que ao investimento. Essa é a razão de um determinado investimento poder ser viável para um 
investidor e inviável para outro, uma vez que eles podem possuir custos de oportunidades diferentes. 
Esse conceito não deve ser confundido com taxa mínima de atratividade. 
 
Taxa mínima de atratividade 
Taxa mínima de atratividade é a taxa de rentabilidade exigida por um investidor para um 
determinado investimento em razão do risco financeiro de se investir nele. Para a apuração dessa 
taxa, são utilizadas metodologias de estimação do risco financeiro e de cálculo do custo financeiro 
do capital total exigido pelo investimento. Essa é a base que permite apurar qual a rentabilidade 
mínima que justificaria o investidor se sujeitar ao risco de determinado investimento. Portanto, a 
taxa mínima de atratividade é inerente ao investimento, e não ao investidor, diferentemente do 
custo de oportunidade. 
 
Juros 
Os juros podem representar o custo de oportunidade ou a taxa mínima de atratividade de um 
investimento dependendo do contexto. Para quem concede um empréstimo, pode representar a 
remuneração pelo capital emprestado, logo, a rentabilidade desse empréstimo deve ser igual ou 
maior que a taxa mínima de atratividade daquela operação, caso contrário, o investidor não se 
sentiria atraído em dispor do recurso. Já para aquele que tomou o empréstimo, os juros representam 
o custo por utilizar uma quantia de dinheiro que não lhe pertence, logo, esse custo se justificaria 
 
 13 
 
por cobrir os custos de oportunidade de quem decidiu captar o recurso na forma de empréstimo, 
por considerar que os benefícios de pagar os referidos juros e utilizar o dinheiro é maior do que 
deixar de fazê-lo. 
 
Conceito de juros 
Juros são a remuneração, em moeda, pelo uso do capital de outrem. Os juros podem ser 
comparados ao valor pago a terceiros pelo aluguel de um imóvel. Segundo Kuhnen e Bauer (2001, 
p. 20) os juros podem ser compreendidos como “a remuneração pelo direito do uso de uma 
determinada quantia de capital por um determinado período de tempo”. 
 
Conceito de taxa de juros 
Taxa de juros é a remuneração, geralmente expressa em percentual, pelo uso de capital de 
outrem. É o resultado da divisão do valor dos juros de um período, expresso em moeda, pelo total 
do capital ao qual se refere. Exemplificando: 
 
	�	 = 	 JVP 	∴ 	
R$	3,50
R$	100,00 	= 	0,035	��	3,5%	��	�����	 
 
Onde: 
i = taxa de juros equivalente ao período de utilização do capital; 
J = juros, expresso em moeda, referente ao período de utilização do capital; 
VP = capital principal ou capital inicialmente emprestado ou aplicado; 
0,035 = taxa de juros de um período expresso na forma de taxa unitária; 
3,5% = taxa de juros de um período expresso na forma de taxa percentual. 
 
Taxa unitária 
São as taxas expressas a cada unidade de capital. Normalmente, utilizadas para a formação de 
índices de correção, fatores de capitalização ou para utilização em modelos matemáticos. 
Exemplificando: 
0,035 = taxa de juros no período expresso na forma de taxa unitária, equivalente a 3,50%; 
1,035 = fator de capitalização onde se corrige em 3,5% o capital inicial. 
 
 
 
14 
 
Taxa percentual 
São as taxas expressas a cada cento de capital. Normalmente, utilizadas para expressaro custo 
do dinheiro em determinado período de capitalização, portanto, deve sempre vir acompanhada do 
período ao qual se refere, por exemplo: 3,50% ao mês. Logo, a cada mês, o valor será corrigido na 
ordem de três inteiros e cinco décimos por cento. 
 
Juros simples 
Juros simples são os juros calculados no regime de capitalização simples. Capitalização é o 
termo utilizado pelo mercado financeiro para incorporar os juros calculados ao valor principal, 
contudo, no regime de capitalização simples, apenas o valor principal será utilizado como base para 
o cálculo dos juros, independentemente do prazo da operação. Exemplificando: 
 
Tabela 1 – Capitalização pelo regime de juros simples a uma taxa de 10% ao mês 
Descrição Data Inicial Mês 1 Mês 2 Mês 3 
Capital Principal 
Total dos Juros 
 
 
 
 
 
 
 
 
Saldo Capitalizado R$ 100,00 R$ 110,00 R$ 120,00 R$ 130,00 
 
Juros compostos 
Juros compostos são os juros calculados no regime de capitalização composta. No regime de 
capitalização composta, os juros serão sempre incorporados ao valor principal, e o seu total será a 
base de cálculo dos juros do período subsequente. A incorporação ao capital principal será realizada 
a cada período de capitalização, durante todo o prazo da operação. Exemplificando: 
 
 
R$ 100 R$ 100 R$ 100 R$ 100 
R$ 10 
R$ 10 
R$ 10 
R$ 10 
R$ 10 
R$ 10 
 
 15 
 
Tabela 2 – Capitalização pelo regime de juros compostos a uma taxa de 10% ao mês 
Descrição Data Inicial Mês 1 Mês 2 Mês 3 
Capital Principal 
Total dos Juros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Saldo Capitalizado R$ 100,00 R$ 110,00 R$ 121,00 R$ 133,10 
 
Fator de capitalização simples 
Fator de capitalização é um índice que ao ser multiplicado pelo valor principal resultará no 
saldo acumulado já capitalizado com os juros referente ao prazo de determinada operação 
financeira. Considerando o cálculo dos juros simples de um empréstimo de R$ 100,00 a uma taxa 
de 10% ao mês por um período de três meses, temos: 
Juros Simples = VP × i × n 
Juros Simples = R$ 100,00 × 0,10 × 3 
Juros Simples = R$ 30,00 
 
Logo, 
Fator de Capitalização Simples = 1 + (i × n) 
Fator de Capitalização Simples = 1 + (0,10 × 3) 
Fator de Capitalização Simples = 1 + 0,30 
Fator de Capitalização Simples = 1,30 
 
Onde: 
i = taxa de juros equivalente a um período de utilização do capital; 
n = quantidade de períodos referente ao prazo da operação; 
VP = capital principal ou capital inicialmente emprestado ou aplicado; 
 
Portanto, ao se multiplicar o valor inicialmente emprestado ou aplicado pelo fator de 
capitalização simples, resultará no valor capitalizado já com os juros. Ou seja, considerando o 
exemplo acima, temos: R$ 100,00 × 1,30 = R$ 130,00 (saldo capitalizado). 
R$ 100 R$ 100 R$ 100 R$ 100 
R$ 10 
R$ 1 
R$ 10 
R$ 10 
0,10 
R$ 2 
R$ 10 
R$ 1 
R$ 20 
 
16 
 
Fator de capitalização composta 
Fator de capitalização composta é um índice que, ao ser multiplicado pelo valor inicial, 
resultará no saldo acumulado já capitalizado com os juros compostos referentes ao prazo total de 
determinada operação financeira. Considerando o cálculo dos juros compostos de um empréstimo 
de R$ 100,00 a uma taxa de 10% ao mês por um período de três meses, temos: 
 
VF = VP × (1 + i) n 
 
VF	=	R$	100,00	×	(1	+	0,10)	3	
	
VF	=	R$	100,00	×	1,3310	
	
VF	=	R$	133,10	
 
Logo, 
Fator de Capitalização Composta = (1 + i) n 
Fator de Capitalização Composta = (1 + 0,10) 3 
Fator de Capitalização Composta = 1,3310 
 
Onde: 
i = taxa de juros equivalente a um período de utilização do capital; 
n = quantidade de períodos referente ao prazo da operação; 
VP = capital principal ou capital inicialmente emprestado ou aplicado; 
VF = valor capitalizado já com os juros de todos os períodos incorporados. 
 
Portanto, ao se multiplicar o valor inicialmente emprestado ou aplicado pelo fator de 
capitalização composta, resultará no valor capitalizado já com os juros incorporados. Ou seja, 
considerando o exemplo acima, temos: R$ 100,00 × 1,3310 = R$ 133,10 (saldo capitalizado). 
 
Prazos 
O prazo é uma variável essencial para o cálculo dos juros ou da rentabilidade de um ativo. É 
o prazo que servirá de base para o cálculo dos períodos de capitalização existentes dentro de uma 
operação financeira. É o período de capitalização que fornecerá um referencial para ser utilizado na 
comparação da remuneração entre duas ou mais alternativas de investimento. 
 
 
 17 
 
Ano civil e juros exatos 
O prazo calculado pelo ano civil considera o ano com todos os 365 dias, ou 366 nos casos 
dos anos bissextos. Logo, as taxas de juros fazem referência a um período de capitalização, e o tempo 
da aplicação considera o tempo exato de duração da operação financeira. Diferentemente dos juros 
calculados quando o prazo é calculado pelo ano comercial. 
 
Ano comercial e juros comerciais 
O prazo calculado pelo ano comercial considera o ano com apenas 360 dias e todos os meses 
como se 30 dias tivessem. 
 
Período de capitalização 
Período de capitalização é a frequência em que os juros são incorporados ao valor principal, 
podendo fazer referência a um dia, mês, ano ou unidade de tempo pactuada entre as partes. 
 
Capitalização contínua 
Ocorre quando a capitalização dos juros em prazos menores do que um período ou em 
períodos fracionados são calculados considerando todo o prazo da aplicação, sendo que na parte 
fracionária os juros serão calculados proporcionalmente. 
 
Capitalização descontínua 
Ocorre quando a capitalização dos juros somente é considerada a cada período de capitalização 
completo, ou seja, desconsidera os juros sobre os períodos fracionários. É o caso da capitalização em 
uma conta poupança. Caso o investidor decida resgatar o capital aplicado antes de completar um mês, 
a sua remuneração será zero naquele período fracionário. É por essa razão que sempre se recomenda 
verificar as datas bases de capitalização antes de efetuar saques da conta poupança. 
 
Operacionalização da calculadora HP-12C 
A calculadora HP-12C é a mais tradicionalmente utilizada no mercado financeiro, pois 
permite ao analista efetuar cálculos complexos de juros compostos com agilidade e simplicidade. 
Ela possui as principais funções de cálculos financeiros já programadas nas suas teclas. Por essa 
razão, é essencial dominar a sua operacionalização no ambiente corporativo. 
 
 
18 
 
 0,4667 
 RPN D.MY C 
Método de Cálculo RPN 
Notação polonesa reversa ou simplesmente RPN, na sigla em inglês, é o sistema de cálculo 
utilizado pela calculadora HP-12C. O sistema possui algumas vantagens como a redução de passos 
na execução de cálculos matemáticos. As comparações são feitas a seguir: 
 
Tabela 3 – Comparativo dos sistemas de cálculos matemáticos entre algébrico e RPN 
Operação 
Matemática 
Notação 
Algébrica 
Passos na HP-12C 
(Sistema RPN) 
1	+	2	 1	+	2	=	3	
 
 
 
	�	�	 ! 		 (1	+	2)	÷	3	=	1	
 
		
	�	×	 	�	!	×	#$	×	% 		
[(1	×	2)	+	(3	×	4)]	÷	(5	×	
6)	
=	0,4667	
 
 
 
 
Note que no sistema de cálculo RPN não é necessário pressionar a tecla com o sinal de “=”, 
inclusive algumas versões da calculadora HP-12C nem a possuem. 
 
Função primária e secundária das teclas 
Quase todas as teclas da calculadora HP-12C possuem mais de uma função, por essa razão é 
importante entender como acessar as funções secundárias das suas teclas. A função primária das 
teclas é aquela gravada na cor branca, já as funções secundárias são aquelas gravadas na cor laranja 
ou na cor azul. O diagrama a seguir ilustrará o procedimento a ser feito: 
 
+ 
LST x 
2 
ŷ,r 
E 
N 
T 
E 
R 
= 
1 
x,r 
÷ 
↶ 
3 
n! 
+ 
LST x 
2 
ŷ,r 
E 
N 
T 
E 
R 
= 
1 
x,r 
÷ 
↶ 
× 
X² 
6 
ẍw 
E 
N 
T 
E 
R 
= 
5 
M.DY 
+ 
LST x 
× 
X² 
4 
D.MY 
E 
N 
T 
E 
R 
= 
3 
n! 
× 
X² 
2 
ŷ,r 
E 
N 
T 
E 
R 
= 
1 
x,r 
 3,00 
 RPN D.MY C 
 1,00RPN D.MY C 
 
 19 
 
Diagrama 1 – Funcionamento das funções secundárias da calculadora HP-12C 
 
 
 
 
 
 
 
Configuração das casas decimais 
A calculadora HP-12C tem capacidade de mostrar no seu visor até nove dígitos após a vírgula, 
muito embora possua capacidade para efetuar cálculos com mais. 
Para o usuário configurar a quantidade de dígitos que serão mostrados após a vírgula, basta 
pressionar a tecla e, na sequência, a quantidade de dígitos que deseja mostrar. 
 
Configuração dos separadores de dígitos 
A calculadora HP-12C vem configurada de fábrica para exibir os separadores decimais no 
padrão norte-americano. O padrão norte-americano considera o ponto “.” como separador decimal e 
a vírgula “,” como separador dos milhares. Já no Brasil, o padrão utilizado é o mesmo que o europeu, 
a vírgula “,” é usada como separador decimal e o ponto “.” como separador dos milhares. 
Para alternar entre os sistemas basta desligar a calculadora e, na sequência, manter pressionada 
a tecla enquanto liga a calculadora novamente. 
Para expressar o numeral mil, o padrão norte-americano mostrará “1,000.00”, e o padrão 
europeu mostrará “1.000,00”. 
 
· 
S 
FIN 
 
x >< y 
x < y 
Para acessar a função laranja, 
pressionar antes a tecla f Para acessar a função azul, 
pressionar antes a tecla g 
f 
 
20 
 
Configuração do sistema de datas 
Da mesma forma que com os separadores de dígitos, a calculadora HP-12C vem configurada 
no padrão de datas norte-americano que é “mês/dia/ano”. Por exemplo, para expressar a data 
de 2 de setembro de 2018, a calculadora configurada no padrão norte-americano mostrará 
“9.022018”. Já o padrão adotado no Brasil para expressar datas é “dia/mês/ano” e, neste caso, ao 
configurar a calculadora para este padrão, ela mostrará “2.092018” no seu visor. 
Para configurar a calculadora HP-12C para o padrão utilizado no Brasil, basta pressionar a 
tecla e, na sequência, a tecla . Note que aparecerá no visor da calculadora a sigla “D.MY” 
indicando que a configuração foi realizada corretamente. Para retornar a calculadora ao padrão 
norte-americano de datas, basta pressionar novamente a tecla e, na sequência, a tecla . 
Neste caso, a sigla “D.MY” que estava no visor deverá desaparecer, indicando que a calculadora 
agora está configurada para o padrão norte-americano de datas. 
 
Operações com datas 
A calculadora HP-12C realiza a contagem dos dias entre duas datas, bem como estima a data 
futura, ou passada, a partir de uma data específica e uma quantidade de dias. A exemplificação a seguir 
considera que a calculadora está configurada para o padrão brasileiro de datas. 
Para calcular a quantidade de dias existentes entre o dia 15/02/2016 e o dia 15/03/2016, 
basta seguir os seguintes passos: 
Configure a calculadora para o padrão brasileiro de datas e, para melhor visualização, ao 
digitar a data, configure a calculadora para exibir seis dígitos após a vírgula. Posteriormente, digite 
a primeira data e pressione a tecla “ENTER”, como segue: 
 
 
 
Na sequência, digite a segunda data e utilize a função “∆DYS”, como segue: 
 
 
 
 
g 4 
D.MY 
g 5 
M.DY 
1 
x,r 
5 
M.DY 
· 
S 
0 
x 
2 
ŷ,r 
2 
ŷ,r 
0 
x 
1 
x,r 
6 
ẍw 
E 
N 
T 
E 
R 
= 
1 
x,r 
5 
M.DY 
· 
S 
0 
x 
3 
n! 
2 
ŷ,r 
0 
x 
1 
x,r 
6 
ẍw 
g 
 
EEX 
∆DYS 
 29,000000 
 RPN D.MY C 
 
 21 
 
Aparecerá no visor o número “29,000000” indicando que entre as referidas datas transcorreu o 
prazo de 29 dias. Note que o resultado apresenta a quantidade de dias exatos, inclusive considerando 
os anos bissextos. Para saber a quantidade de dias a serem considerados, se o prazo for calculado pelo 
ano comercial, basta pressionar a tecla . Deverá aparecer no visor o número 30. 
Já para que a calculadora mostre, por exemplo, a data 30 dias a partir de 15/02/2016, basta 
digitar a data base e pressionar a tecla “ENTER”, como a seguir: 
 
 
Na sequência, digite a quantidade de dias, no caso 30, e utilize a função “DATE”: 
 
 
Aparecerá no visor a data de “16.03.2016” e, no canto direito, o número “3”. Note que, ao 
mostrar a data resultante, a calculadora apresenta o separador “.” entre o dia e o mês e também 
entre o mês e o ano, inclusive mostrando logo à direita o indicador do dia da semana. Sendo que 
“1” significa segunda-feira, “2” significa terça-feira e assim sucessivamente até chegar ao “7”, que 
significa domingo. 
Observe que a calculadora somente considerará que o número digitado é uma data se for 
utilizada alguma das duas funções de datas. Logo, não há necessidade de desfazer qualquer 
configuração para voltar a calcular, por exemplo, uma soma, subtração ou variável financeira. 
 
Função da tecla "CHS" 
A tecla é basicamente utilizada para alternar, entre positivo ou negativo, o valor 
mostrado no visor. Para isso, basta pressionar a tecla após o visor mostrar um número digitado ou 
resultante de alguma operação realizada. 
 
Função da tecla “CLX” 
A tecla , ao ser pressionada, substituirá o valor no visor pelo numeral “0” (zero), ou seja, 
apagará o número mostrado no visor. Já para apagar todas as memórias e variáveis armazenadas na 
calculadora de uma só vez o correto é pressionar antes a tecla e, na sequência, a tecla . 
Neste caso, a função que se está acionando é a função “laranja” que apaga todos os registros e que 
está indicada logo acima da tecla. 
x >< y 
x < y 
1 
x,r 
5 
M.DY 
· 
S 
0 
x 
2 
ŷ,r 
2 
ŷ,r 
0 
x 
1 
x,r 
6 
ẍw 
E 
N 
T 
E 
R 
= 
3 
n! 
0 
x 
g 
 
CHS 
DATE 
 16.03.2016 3 
 RPN D.MY C 
CHS 
DATE 
CLX 
X = 0 
f 
 
CLX 
X = 0 
 
22 
 
Função da tecla “yX” 
A tecla “yx” é usada para elevar um número, guardado na memória “y”, a uma potência “x”. 
Essa função é muito utilizada para calcular as taxas de juros compostos equivalentes em unidades 
de tempo diferentes e para calcular os fatores de capitalização composta que são aplicados sobre um 
capital para se encontrar o saldo capitalizado, já com os juros incorporados ao valor principal. 
Exemplificando, para calcular o fator de capitalização composta, a ser aplicado sobre um capital, 
que se pretende corrigir a uma taxa de 10% ao mês, por um período de três meses, basta proceder 
da seguinte forma: 
 
 
1 
x,r 
E 
N 
T 
E 
R 
= 
1 
x,r 
0 
x 
% 
INTG 
+ 
LST x 
3 
n! 
yX 
√x 
 1,3310 
 RPN D.MY C 
 
 
 
Neste módulo, serão apresentadas as aplicações práticas dos regimes de capitalização simples 
e composta no mercado corporativo. Para tanto, os cálculos serão evidenciados mediante exemplos 
reais, inclusive com a demonstração do passo a passo na calculadora HP-12C no intuito de dar 
dinamismo ao processo de aprendizagem. Também será demonstrado como a calculadora consegue 
apurar com simplicidade e facilidade o valor de uma variável financeira no regime de juros 
compostos. Ainda neste módulo, serão apresentados os conceitos, com exemplos práticos, das 
diferentes taxas de juros utilizadas em finanças corporativas. 
 
Operação de desconto bancário de títulos 
As operações de descontos bancários de títulos são muito utilizadas pelas empresas para cobrir 
os seus desencaixes, eventualmente detectados no dia a dia dos fluxos de caixa. Esta operação de 
antecipação de recursos também é conhecida como “operação de desconto comercial por fora” uma 
vez que os juros, neste caso, também chamado de desconto, são calculados com base no valor futuro 
do título. 
Os juros ou “desconto”, neste caso, são calculados a partir da aplicação de uma taxa de juros 
simples sobre o valor de face do título com vencimento futuro, multiplicando o seu valor 
encontrado pela quantidade de períodos que expressa o prazo em que se deseja antecipar o 
recebimento. O banco, por exemplo, descontará do valor de face o desconto calculado e 
disponibilizará o seu valor líquido,já descontado, na data presente. 
Na operação de desconto bancário, além do custo referente à taxa de juros, é comum que 
sejam cobradas tarifas, expressas em reais (R$) ou percentual (%), para se realizar a operação. 
MÓDULO II – APLICABILIDADE DOS 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO E TAXAS NO 
MERCADO FINANCEIRO 
 
24 
 
Veja o caso prático a seguir: uma empresa possui um recebível no valor de R$ 1.000,00 com 
data de vencimento para 45 dias, ou seja, 1,5 mês. Em consulta, o banco informou que a taxa de 
desconto para a operação de adiantamento de recebíveis é de 3,5% ao mês e mais uma tarifa de 
R$ 5,70 por título antecipado. Os cálculos são os seguintes: 
 
Juros da Operação ou Desconto (D) = (VF × i × n) + Tarifa 
 
Juros da Operação ou Desconto (D) = (R$ 1.000,00 × 0,035 × 1,5) + R$ 5,70 
Juros da Operação ou Desconto (D) = R$ 52,50 + R$ 5,70 
Juros da Operação ou Desconto (D) = R$ 58,20. 
Logo, na data presente, o valor líquido do título após o desconto será de: 
 
Valor líquido ou Descontado (VP) = (VF – D) 
 
Valor líquido ou Descontado (VP) = (R$ 1.000,00 – R$ 58,20) 
Valor líquido ou Descontado (VP) = R$ 941,80 
Na calculadora HP-12C, temos a sequência dos seguintes passos: 
 
 
 
 
Taxa de desconto bancário 
A taxa de desconto bancário ou desconto comercial simples, “por fora”, é a taxa utilizada nas 
operações de adiantamento de recebíveis para calcular o desconto do título mediante a sua aplicação 
sobre o valor de face. Nesse sentido, é importante entender que tal taxa não expressa o custo efetivo 
total da operação, mas sim uma referência para o cálculo dos juros. 
 
 
1 
x,r 
0 
x 
0 
x 
0 
x 
E 
N 
T 
E 
R 
= 
3 
n! 
· 
S 
5 
M.DY 
% 
INTG 
1 
x,r 
· 
S 
5 
M.DY 
× 
X² 
 52,50 
 RPN D.MY C 
5 
M.DY 
· 
S 
7 
BEG 
+ 
LST x 
 58,20 
 RPN D.MY C 
– 
← 
 941,80 
 RPN D.MY C 
 
 25 
 
Custo efetivo total da operação de desconto bancário de títulos 
O custo efetivo total da operação de desconto bancário de títulos é a taxa que considera todos 
os custos envolvidos na operação e faz referência sempre sobre o capital líquido que foi recebido. 
Considerando o exemplo descrito anteriormente, temos que um título com o valor de face de 
R$ 1.000,00 com vencimento para 45 dias resultou em um valor líquido de R$ 941,80 após serem 
descontados todos os custos da operação, sendo a taxa de desconto de 3,5% ao mês e mais uma tarifa 
de R$ 5,70 por título. Logo, o custo total ficou em R$ 58,20 = (R$ 1.000,00 – R$ 941,80). 
Como o valor de R$ 58,20 é o custo para adiantar o recurso em 45 dias, ao dividir o seu valor 
por 1,5 mês, teremos o custo de R$ 38,80 como sendo o equivalente ao mês. Portanto, 
considerando o regime de juros simples, a taxa efetiva de juros da operação resulta em 4,1198% ao 
mês, ou seja, R$ 38,80 ÷ R$ 941,80 = 0,041198 ou 4,1198%. 
Note que, no referido exemplo, a taxa de desconto aplicada sobre o título foi de 3,5% ao mês, 
e o custo calculado gerou uma taxa de 4,1198%, que é 17,70% maior do que o valor expresso na taxa 
de desconto. A falta de compreensão desses custos pode resultar em decisões equivocadas. 
 
Sistema de cálculo dos juros de conta-corrente 
O sistema de cálculo dos juros pela utilização do cheque especial de uma conta-corrente, 
também conhecido como método “hamburguês”, considera o regime de juros simples. Consiste em 
aplicar a taxa de juros mensal, ponderadamente pela quantidade de dias em que o saldo permaneceu 
negativo, sobre o seu respectivo valor. Contudo, existem algumas considerações importantes de 
serem compreendidas. 
Normalmente, a taxa de juros pactuada faz referência a um mês de utilização e para encontrar 
a sua equivalência ao dia basta dividir por 30, independentemente do mês de utilização. Essa taxa 
diária é aplicada pelo saldo devedor e multiplicado pela quantidade de dias de utilização. Note que 
se, por acaso, o saldo permanecer negativo durante um mês que tenha 31 dias, a taxa mensal será 
dividida por 30, mas aplicada por 31 dias, da mesma forma que será multiplicada por 28 se o mês 
de utilização for fevereiro, ou 29 se o ano for bissexto. A exemplificação é apresentada a seguir, 
considerando a taxa de 8,40% ao mês, sendo 0,28% a sua equivalência ao dia. 
 
 
 
26 
 
Tabela 4 – Demonstração do cálculo de juros de conta-corrente (método hamburguês) 
Movimento da Conta-Corrente Sistema de Cálculo para a Apuração dos Juros 
Data Crédito Débito Saldo Utilização Cálculo Realizado Juros 
31/07/2018 1.000,00 - - - 
01/08/2018 1.500,00 - 500,00 9 dias 500,00 × 9 × 0,0028 = R$ 12,60 
10/08/2018 1.800,00 1.300,00 - - - 
15/08/2018 2.000,00 - 700,00 5 dias 700,00 × 5 × 0,0028 = R$ 9,80 
20/08/2018 2.200,00 1.500,00 - - - 
29/08/2018 1.700,00 - 200,00 2 dias 200,00 × 2 × 0,0028 = R$ 1,12 
31/08/2018 - 200,00 1 dia* 200,00 × 1 × 0,0028 = R$ 0,56 
* último dia do mês, mostrando inclusive a cobrança do 31º dia. Total dos Juros 
Calculados: 
R$ 24,08 
 
Outra consideração importante de ser feita é que, embora os juros sejam calculados pelo 
regime de juros simples, nos primeiros dias do mês subsequente, os juros calculados serão debitados 
na conta-corrente e vão compor a nova base de cálculo dos juros. 
Dessa forma, caso o titular da conta-corrente não cubra o saldo negativo, os juros vão 
comportar-se como se fossem calculados pelo regime de juros compostos, uma vez que são 
incorporados ao saldo a cada mês. 
Para melhor compreensão, considere o seguinte: no exemplo acima, o último dia do mês de 
agosto encerrou com o saldo negativo em R$ 200,00. Caso o titular da conta não efetue nenhum saque 
ou depósito no mês subsequente, qual o valor dos juros referente ao mês de setembro de 2018? 
É fácil entender que, como não houve movimentação por parte do titular, o saldo devedor a 
ser considerado é de R$ 200,00, logo, os juros resultariam em R$ 16,80, pois 
R$ 200,00 × 30 dias × 0,28% ao dia = R$ 16,80. Equívoco! Observe que ainda deverá ser debitado 
na conta-corrente o valor dos juros referente ao mês de agosto, isso resultará em um saldo devedor 
de R$ 224,08, sendo que R$ 200,00 se referem ao saldo devedor do último dia do mês de agosto e 
R$ 24,08 referentes aos juros do período. Portanto, os juros pela utilização do saldo devedor 
referente ao mês de setembro de 2018 resultarão em R$ 18,82, pois R$ 224,08 × 30 dias × 0,28% 
ao dia = R$ 18,82. 
 
 
 27 
 
Cálculo das variáveis financeiras no regime de juros 
compostos 
Os juros compostos são os juros calculados a cada período de capitalização e incorporados ao 
valor principal, de forma que sirvam de base para o cálculo dos juros do período subsequente, por 
essa razão, também são conhecidos pela expressão “juros sobre juros”. 
A calculadora HP-12C permite calcular as variáveis financeiras no regime de capitalização 
composta com muita praticidade e agilidade, bastando, para tanto, o usuário compreender o 
significado de cada variável e identificá-la dentro de um fluxo de caixa. A leitura deve ser a seguinte: 
fluxos de caixa são as movimentações financeiras resultantes, período após período, de um ativo que 
se pretende analisar. As variáveis financeiras de um fluxo de caixa são: 
� Número de períodos, representado pela letra “n” e na HP-12C pela tecla ; 
� Taxa de juros expressa em %, representado pela letra “i” e na HP-12C pela tecla ; 
� Valor Presente ou Inicial, representado pela sigla “PV” e na HP-12C pela tecla ; 
� Valor das parcelas, representado pela sigla “PMT” e na HP-12C pela tecla ; 
� Valor Futuro ou Saldo, representado pela sigla “FV” e na HP-12C pela tecla ; 
 
Diagrama 2 – Visão gráfica dos fluxos de caixa com as variáveis financeiras 
 
 
n 
12× 
i 
12÷ 
PV 
CFo 
PMT 
CFj 
FV 
Nj 
 
28 
 
← É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo. 
Cálculo do valor presente (VP) 
O cálculo de qualquer variável financeirasucede da identificação de um contexto. O valor 
presente ou valor inicial representa qual o valor equivalente, no momento 0 (zero), de um ou mais 
valores no futuro. São diversas as formulações utilizadas, uma para cada caso, por exemplo: calcular 
o valor presente a partir de parcelas mensais, calcular o valor presente a partir de um valor no futuro, 
calcular o valor presente a partir de parcelas mensais e um valor futuro. Inclusive, as parcelas podem 
significar entradas e o valor futuro uma saída ao final do último período. Porém, com o uso da 
calculadora HP-12C o cálculo de qualquer variável se torna muito prático. 
Exemplificando: considerando o regime de capitalização composta com uma taxa de 2,5% 
ao mês, qual o valor financiado (Valor Presente) que foi capaz de gerar 12 prestações mensais e 
sucessivas no valor de R$ 385,13 cada? A resposta é R$ 3.950,57. A seguir, as resoluções pelo 
método algébrico e, na sequência, com o uso da HP-12C. 
Algebricamente, temos: 
 
,- = ,./ × (1 + �)
0 1 1
(1 + �)0 × � 
 
,- = 385,13 × (1 + 0,025)
� 1 1
(1 + 0,025)� × 0,025 
 
,- = 385,13 × 1,34488882 1 11,34488882 × 0,025 
 
,- = 385,13 × 0,344888820,03362222 
 
,- = 385,13 × 10,25776466 
 
,- = 3.950,57 
 
Com o uso da calculadora HP-12C, temos: 
 
 
 
 
 
 
f 
 
CLX 
X = 0 
3 
n! 
8 
END 
5 
M.DY 
· 
S 
1 
x,r 
3 
n! 
CHS 
DATE 
PMT 
CFj 
 - 385,13 
 RPN D.MY C 
2 
ŷ,r 
· 
S 
5 
M.DY 
i 
12÷ 
 2,50 
 RPN D.MY C 
1 
x,r 
2 
ŷ,r 
n 
12× 
 12,00 
 RPN D.MY C 
PV 
CFo 
 3.950,57 
 RPN D.MY C 
 
 29 
 
Observe que a solução com o uso da HP-12C é muito prática, basta digitar cada variável 
conhecida no seu lugar específico na calculadora, independentemente da ordem, e deixar para 
pressionar por último a variável que se deseja calcular. 
Segue outro exemplo para verificação: considerando o regime de capitalização composta com 
uma taxa de 1,54% ao mês, qual o valor financiado (Valor Presente) que foi capaz de gerar 10 
prestações mensais e sucessivas no valor de R$ 250,00 cada e, juntamente com a última parcela, um 
reforço de R$ 3.000,00? A resposta é R$ 4.875,50. A seguir, as resoluções pelo método algébrico e, 
na sequência, com o uso da HP-12C. 
Algebricamente, temos: 
 
,-56789 	= 	,-� 	+ 	,- 						→ 							,- = ,./ × (1 + �)
0 1 1
(1 + �)0 × � 				�				,- =
;-
(1 + �)0	 
 
,-� = 250,00 × (1 + 0,0154)
�< 1 1
(1 + 0,0154)�< × 0,0154 				+ 			,- =
3.000,00
(1 + 0,0154)�<	 
 
,-� = 250,00 × 1,16512250 1 11,16512250 × 0,0154 				+ 			,- =
3.000,00
1,16512250	 
 
,-� = 250,00 × 0,165122500,01794289 				+			,- = 2.574,84	 
 
,-� = 250,00 × 9,20267025				 +			,- = 2.574,84	 
 
,-� = 2.300,66				 + 			,- = 2.574,84	 
 
,-56789 = 4.875,50	 
 
Com o uso da calculadora HP-12C, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
f 
 
CLX 
X = 0 
2 
ŷ,r 
5 
M.DY 
0 
x 
CHS 
DATE 
PMT 
CFj 
 - 250,00 
 RPN D.MY C 
3 
n! 
0 
x 
0 
x 
0 
x 
CHS 
DATE 
FV 
Nj 
 - 3.000,00 
 RPN D.MY C 
1 
x,r 
· 
S 
5 
M.DY 
4 
D.MY 
i 
12÷ 
 1,54 
 RPN D.MY C 
1 
x,r 
0 
x 
n 
12× 
 10,00 
 RPN D.MY C 
PV 
CFo 
 4.875,50 
 RPN D.MY C 
← É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo. 
← Valor positivo por se tratar de uma entrada (empréstimo tomado). 
 
30 
 
Observe que, tanto ao digitar o valor da variável “PMT”, quanto da variável “FV”, para tornar 
os seus valores negativos, foi utilizada a tecla “CHS”. A compreensão desse detalhe é altamente 
importante para a devida operacionalização e interpretação dos resultados fornecidos pela 
calculadora. Observe ainda que, no exemplo em questão, a pergunta foi “qual o valor financiado?”, 
logo, esse valor significa uma entrada. Para tanto, as prestações e os reforços geraram saídas no caixa, 
portanto, devem ser consideradas com o seu valor negativo. Observe que o resultado apresentado 
foi positivo. 
No exemplo acima, caso o usuário não forneça os valores negativos para a “PMT” e para o 
“FV”, a calculadora identificará que se trata de entradas no caixa, logo a resposta apresentará o valor 
como sendo negativo, evidenciando que para receber as prestações e o valor futuro é necessário 
desembolsar o valor no início. A interpretação, nesse caso, não fica tão comprometida, pois apenas 
apresentará a conta matemática pela ótica de quem está concedendo o financiamento. Porém, 
existem casos em que a falta de compreensão do que foi exposto pode gerar resultados muito 
equivocados. 
Observe o exemplo a seguir: considerando o regime de capitalização composta com uma taxa 
de rendimento de 1,54% ao mês, qual o valor que um investidor deveria aplicar hoje (Valor 
Presente) para acumular um valor de R$ 3.000,00 ao final de 10 meses, sabendo que ele vai fazer 
10 aportes mensais e sucessivos de R$ 250,00 cada? A resposta é R$ 274,17. 
Os passos para a resolução com o uso da HP-12C são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que apenas foi alterado o sinal de uma variável, e o resultado calculado gerou uma 
resposta totalmente diferente da do exemplo anterior. 
 
 
f 
 
CLX 
X = 0 
2 
ŷ,r 
5 
M.DY 
0 
x 
CHS 
DATE 
PMT 
CFj 
 - 250,00 
 RPN D.MY C 
3 
n! 
0 
x 
0 
x 
0 
x 
FV 
Nj 
 3.000,00 
 RPN D.MY C 
1 
x,r 
· 
S 
5 
M.DY 
4 
D.MY 
i 
12÷ 
 1,54 
 RPN D.MY C 
1 
x,r 
0 
x 
n 
12× 
 10,00 
 RPN D.MY C 
PV 
CFo 
 - 274,17 
 RPN D.MY C ← Valor negativo por se tratar de uma saída (aplicação inicial). 
← É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo. 
← Valor negativo por se tratar de aplicações. 
← Valor positivo por se tratar de um resgate. 
 
 31 
 
Cálculo do valor das prestações (PMT) 
O cálculo do valor das prestações de um empréstimo ou financiamento é um cálculo muito 
comum no mercado financeiro em razão da sua habitualidade nas operações de crédito. Representa 
uma série de pagamentos iguais e sucessivos que, considerando o custo financeiro pactuado, 
equivalem a um valor no início da operação, ou, no caso de aplicações para acúmulo de capital, a 
um valor de resgate no futuro. 
Exemplificando: considerando o regime de capitalização composta com uma taxa de 2,5% 
ao mês, qual o valor das prestações mensais e sucessivas que possuem capacidade de amortizar um 
empréstimo no valor de R$ 3.950,57 em 12 prestações? A resposta é R$ 385,13. A seguir, as 
resoluções pelo método algébrico e, na sequência, com o uso da HP-12C. 
Algebricamente, temos: 
 
,./ = ,- × (1 + �)
0 × �
(1 + �)0 1 1	 
 
,./ = 3.950,57 × (1 + 0,025)
� × 0,025
(1 + 0,025)� 1 1 
 
,./ = 3.950,57 × 1,34488882 × 0,0251,34488882 1 1 
 
,./ = 3.950,57 × 0,033622220,34488882 
 
,./ = 3.950,57 × 0,09748713 
 
,./ = 385,13 
 
Com o uso da calculadora HP-12C, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
f 
 
CLX 
X = 0 
3 
n! 
9 
MEM 
5 
M.DY 
0 
x 
· 
S 
5 
M.DY 
7 
BEG 
PV 
CFo 
 3.950,57 
 RPN D.MY C 
2 
ŷ,r 
· 
S 
5 
M.DY 
i 
12÷ 
 2,50 
 RPN D.MY C 
1 
x,r 
2 
ŷ,r 
n 
12× 
 12,00 
 RPN D.MY C 
PMT 
CFj 
 - 385,13 
 RPN D.MY C 
← É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo. 
 
32 
 
Note que o resultado encontrado pela calculadora é um valor negativo, indicando que, para 
pagar uma dívida de R$ 3.950,57, deverá ser desembolsado mensalmente o valor de R$ 385,13. 
A seguir, outro exemplo, contudo, para encontrar o valor da aplicação periódica (aportes 
necessários) para o acúmulo de capital. 
Considerando o regime de capitalização composta com uma taxa de rendimento de 0,55% 
ao mês e a intenção do investidor de acumular um valor de R$ 3.000,00 ao final de um ano,qual 
o valor das 12 aplicações mensais e sucessivas que deverá realizar? A resposta é R$ 242,53. A seguir, 
as resoluções pelo método algébrico e, na sequência, com o uso da HP-12C. 
Algebricamente, temos: 
 
,./ = ;- × �(1 + �)0 1 1	 
 
,./ = 3.000,00 × 0,0055(1 + 0,0055)� 1 1 
 
,./ = 3.000,00 × 0,00551,06803356 1 1 
 
,./ = 3.000,00 × 0,00550,06803356 
 
,./ = 3.000,00 × 0,08084245 
 
,./ = 242,53 
 
Com o uso da calculadora HP-12C, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
f 
 
CLX 
X = 0 
3 
n! 
0 
x 
0 
x 
0 
x 
FV 
Nj 
 3.000,00 
 RPN D.MY C 
← Valor positivo por se tratar de um acúmulo. 
0 
x 
· 
S 
5 
M.DY 
5 
M.DY 
i 
12÷ 
 0,55 
 RPN D.MY C 
1 
x,r 
2 
ŷ,r 
n 
12× 
 12,00 
 RPN D.MY C 
PMT 
CFj 
 - 242,53 
 RPN D.MY C 
← É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo. 
← Resultado negativo evidenciando que se trata de desembolsos. 
 
 33 
 
Cálculo do valor futuro (VF) 
O valor futuro corresponde normalmente ao valor acumulado de uma série de aplicações ou o 
valor (montante), já com os juros incorporados, após a tomada de um empréstimo sem que existam 
amortizações periódicas. O mesmo princípio é muito utilizado nos planejamentos previdenciários. 
Exemplificando: considerando o regime de capitalização composta com uma taxa de 
rendimento de 0,55% ao mês e que a disponibilidade do investidor é de, durante os próximos 20 
anos, efetuar 240 aplicações mensais e sucessivas de R$ 350,00, qual valor deverá ter acumulado ao 
final do último período? A resposta é R$ 173.721,34. 
Observe que, embora o prazo seja de 20 anos, as aplicações serão mensais, logo, a capitalização 
deverá ser mensal, portanto, a variável “n” considerada com o seu valor igual a 240, pois são 240 
meses no prazo de 20 anos. A seguir, as resoluções pelo método algébrico e, na sequência, com o 
uso da HP-12C. 
Algebricamente, temos: 
 
;- = ,./ × (1 + �)
0 1 1
� 	 
 
;- = 350,00 × (1 + 0,0055)
 #< 1 1
0,0055 
 
;- = 350,00 × 3,72990683 1 10,0055 
 
;- = 350,00 × 2,729906830,0055 
 
;- = 350,00 × 496,3466967 
 
;- = 173.721,34 
 
Com o uso da calculadora HP-12C, temos: 
 
 
 
 
 
 
f 
 
CLX 
X = 0 
3 
n! 
5 
M.DY 
0 
x 
CHS 
DATE 
PMT 
CFj 
 - 350,00 
 RPN D.MY C 
← Valor negativo por se tratar de aplicações. 
0 
x 
· 
S 
5 
M.DY 
5 
M.DY 
i 
12÷ 
 0,55 
 RPN D.MY C 
2 
ŷ,r 
4 
D.MY 
0 
x 
n 
12× 
 240,00 
 RPN D.MY C 
FV 
Nj 
 173.721,34 
 RPN D.MY C 
← É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo. 
← Resultado positivo evidenciando ser um valor disponível para resgate. 
 
34 
 
A seguir, outro exemplo, porém, apenas com uma aplicação, no início. Exemplificando: 
pensando em formar patrimônio para a sua aposentadoria, um investidor dispõe de R$ 43.000,00 
para aplicar hoje em títulos do Tesouro Direto e só resgatar o capital no vencimento, que ocorrerá 
daqui a 27 anos. Sabendo que se trata de um título sem pagamentos de juros periódicos e que a 
taxa pactuada é de 9,58% ao ano, qual será o valor bruto estimado que o investidor vai resgatar no 
vencimento? A resposta é R$ 508.409,26. As resoluções pelo método algébrico e, na sequência, com 
o uso da HP-12C, serão apresentadas a seguir. 
Algebricamente, temos: 
 
;- = ,- × (1 + �)0 
 
;- = 43.000,00 × (1 + 0,0958) = 
 
;- = 43.000,00 × 1,0958 = 
 
;- = 43.000,00 × 11,82347111 
 
;- = 508.409,26 
 
Com o uso da calculadora HP-12C, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da taxa de juros efetiva (i) 
A taxa efetiva de juros é aquela que expressa linearmente a taxa média representativa de todos 
os custos envolvidos na operação, incluindo tarifas, taxas, comissões e seguros, por exemplo. 
Considere o caso a seguir: pensando em aproveitar a promoção de “Taxa Zero” de uma 
concessionária de veículos, um futuro comprador está analisando a seguinte oferta: “Adquira o seu 
veículo ZERO KM no valor de R$ 48.750,00, dando de entrada R$ 29.250,00 e financiando* o 
restante com taxa zero de juros em 12 prestações”. Logo abaixo, na propaganda, constam os 
seguintes dizeres: “*Sujeito a aprovação do crédito. Serão cobrados R$ 1.500,00 referentes à tarifa 
de aprovação do crédito e impostos diluídos com as parcelas”. Nesse contexto, pergunta-se: qual a 
f 
 
CLX 
X = 0 
4 
D.MY 
3 
n! 
0 
x 
0 
x 
0 
x 
CHS 
DATE 
PV 
CFo 
 - 43.000,00 
 RPN D.MY C 
9 
MEM 
· 
S 
5 
M.DY 
8 
END 
i 
12÷ 
 9,58 
 RPN D.MY C 
2 
ŷ,r 
7 
BEG 
n 
12× 
 27,00 
 RPN D.MY C 
FV 
Nj 
 508.409,26 
 RPN D.MY C 
← É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo. 
← Resultado positivo por ser um valor disponível para resgate. 
 
 35 
 
taxa representativa do custo médio efetivo da operação de financiamento? A resposta é 1,159% ao 
mês. Note que, com o uso da HP-12C, o procedimento para calcular o custo efetivo da operação 
se torna muito simples. 
Vejamos: como o valor total do veículo é de R$ 48.750,00 e a entrada é de R$ 29.250,00, 
resulta em uma diferença de R$ 19.500,00 a ser financiada. Além disso, considerando que são 
cobrados outros custos no valor de R$ 1.500,00 em razão do crédito concedido, o valor total 
financiado passa a ser de R$ 21.000,00, ou seja, R$ 19.500,00 + R$ 1.500,00 = R$ 21.000,00. 
Considerando, ainda, que o valor deve ser dividido em 12 prestações iguais e sucessivas sem 
a incidência de juros, basta dividir o valor por 12 para encontrar o valor da prestação. Esse cálculo 
resulta em R$ 1.750,00, pois R$ 21.000,00 ÷ 12 = R$ 1.750,00. Agora é só lançar as variáveis na 
HP-12C e apurar a taxa que representará o custo efetivo da operação: 
 
 
 
 
 
 
 
Importante perceber que mesmo sendo mencionado que a taxa de juros de financiamento 
é “zero”, a existência de outros custos acessórios à operação de crédito influencia no custo global 
da operação, e a falta da compreensão deste tema pode conduzir o analista a tomar decisões 
equivocadas. 
 
Cálculo da quantidade de períodos (n) 
O cálculo da quantidade de períodos é muito utilizado para a estimação do prazo ideal de 
amortização de uma operação de financiamento, mediante a capacidade de pagamentos periódicos 
de um fluxo de caixa. 
Veja o exemplo: determinado projeto de investimento exige a captação de R$ 100.000,00 em 
financiamentos. Considerando que a capacidade do projeto de devolver o capital financiado é de 
prestações que não ultrapassem o valor de R$ 3.500,00 mensalmente, pergunta-se: se o custo efetivo 
da operação de crédito se traduz em uma taxa de juros igual a 1,3068% ao mês, independentemente 
do prazo, qual é o prazo ideal para a amortização do empréstimo? A resposta é 36 meses. A resolução 
com a HP-12C é apresentada a seguir: 
 
 
f 
 
CLX 
X = 0 
1 
x,r 
9 
MEM 
5 
M.DY 
0 
x 
0 
x 
PV 
CFo 
 19.500,00 
 RPN D.MY C 
← Valor financiado sem as taxas. 
1 
x,r 
7 
BEG 
5 
M.DY 
0 
x 
CHS 
DATE 
PMT 
CFj 
 - 1.750,00 
 RPN D.MY C 
← Valor das parcelas já com as taxas. 
1 
x,r 
2 
ŷ,r 
n 
12× 
 12,00 
 RPN D.MY C 
← Quantidade de prestações. 
i 
12÷ 
 1.159 
 RPN D.MY C 
← É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo. 
← Taxa ao mês equivalente, incluindo todos os custos da operação. 
 
36 
 
 
 
 
 
 
 
Taxas de juros aplicadas no mercado financeiro 
As taxas de juros no mercado financeiro são muito utilizadas para expressar o custo de uma 
operação financeira ou até mesmo a rentabilidade de um determinado ativo. Dependendo do 
contexto, as taxas podem receber diferentes terminologias para melhor evidenciar o que se deseja 
expressar.Os termos mais utilizados são: taxa real, taxa nominal, taxa efetiva e taxa equivalente. A 
aplicação prática de cada um dos termos será demonstrada a seguir. 
 
Taxa real 
Segundo Assaf Neto (2016, p. 68), “o termo real para as operações de Matemática Financeira 
denota um resultado apurado livre dos efeitos inflacionários. Ou seja, quanto se ganhou (ou perdeu) 
verdadeiramente, sem a interferência das variações verificadas nos preços”. Em outras palavras, a 
taxa real expressa a taxa representativa do aumento ou perda no poder de compra do dinheiro depois 
de descontado o efeito da inflação. 
Considere o seguinte exemplo: um investidor, que gastaria o valor de R$ 1.000,00 há um 
ano na aquisição de um determinado bem, decidiu aplicar a quantia na renda fixa para multiplicar 
o seu dinheiro e, somente hoje, após um ano, comprar o bem desejado. A rentabilidade líquida 
da aplicação foi de 6% no ano. Logo, os R$ 1.000,00 aplicados se transformaram em 
R$ 1.060,00. Ocorre que o bem que o investidor compraria, que há um ano custava R$ 1.000,00, 
hoje custa R$ 1.050,00, pois teve o seu preço atualizado pela inflação, que neste caso, foi de 5% 
no mesmo período. 
Observe que, com os R$ 1.060,00, o investidor pode agora comprar o bem desejado por 
R$ 1.050,00 e ainda lhe sobram R$ 10,00. Isso induz ao pensamento que o investidor aumentou 
o seu poder de compra em apenas R$ 10,00, equivalente a 1% sobre os R$ 1.000,00 inicialmente 
aplicados. Porém, em razão da inflação, o bem não custa mais R$ 1.000,00, e sim R$ 1.050,00. 
Logo, o poder de compra deve fazer referência ao valor atual do bem, o que resulta em um aumento 
no poder de compra de apenas 0,95238% no ano. Vejamos: 
 
f 
 
CLX 
X = 0 
1 
x,r 
0 
x 
0 
x 
0 
x 
0 
x 
0 
x 
PV 
CFo 
 100.000,00 
 RPN D.MY C 
3 
n! 
5 
M.DY 
0 
x 
0 
x 
CHS 
DATE 
PMT 
CFj 
 - 3.500,00 
 RPN D.MY C 
← Valor máximo das parcelas. 
1 
x,r 
· 
S 
3 
n! 
0 
x 
6 
ẍw 
8 
END 
i 
12÷ 
 1.3068 
 RPN D.MY C 
n 
12× 
 36,00 
 RPN D.MY C 
← Quantidade de prestações necessárias. 
← É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo. 
 
 37 
 
/>?>	@�>A = (1 + />?>	BC�D�E>)(1 + />?>	��	F�CA>çã�) 	1 	1	 
 
/>?>	@�>A = (1 + 0,06)(1 + 0,05)	– 	1 
 
/>?>	@�>A = 1,061,05	– 	1 
 
/>?>	@�>A = 1,0095238	– 	1 
 
/>?>	@�>A = 0,0095238	��	,95238% 
 
Taxa nominal 
Segundo Martinetti Filho (2010, p. 73), “é a taxa em que a unidade de referência de seu 
período é diferente da unidade do período de capitalização. Geralmente é fornecida em anos”. Em 
outras palavras, a taxa nominal representa a taxa efetivamente usada para incorporar os juros sobre 
o capital a cada período multiplicado pela quantidade de vezes que isso ocorrerá em um espaço de 
tempo, geralmente um ano. Ou seja, podemos afirmar que uma taxa efetiva de 1% ao mês, durante 
um ano (12 meses), pode ser expressa como sendo uma taxa nominal de 12% ao ano capitalizada 
mensalmente. Da mesma forma que uma taxa efetiva de 2% ao mês, durante o mesmo prazo de 
um ano, pode ser expressa com sendo uma taxa nominal de 24% ao ano capitalizado mensalmente. 
Ocorre, porém, que o período de capitalização descrito em uma taxa nominal pode 
influenciar na quantidade de vezes que os juros serão incorporados ao capital principal, e isso 
resultar em valores acumulados diferentes. Para melhor evidenciar esse efeito, a demonstração será 
realizada a seguir partindo da atualização de R$ 1.000,00 por um período de um ano com a taxa 
nominal de 12% ao ano capitalizada mensalmente em comparativo com a mesma taxa nominal de 
12% ao ano, porém capitalizada semestralmente. 
 
 
 
 
38 
 
Tabela 5 – Comparativo entre capitalização mensal e semestral de uma taxa nominal 
12% a.a. Capitalizada ao Mês 
(1% ao mês) 
12% a.a. Capitalizada ao Semestre 
(6% ao semestre) 
Período Capital 
 Juros ao 
Mês Período Capital 
Juros ao 
Sem. 
Mês 0 1.000,00 Mês 0 1.000,00 
Mês 1 1.010,00 10,00 Mês 1 1.000,00 
Mês 2 1.020,10 10,10 Mês 2 1.000,00 
Mês 3 1.030,30 10,20 Mês 3 1.000,00 
Mês 4 1.040,60 10,30 Mês 4 1.000,00 
Mês 5 1.051,01 10,41 Mês 5 1.000,00 
Mês 6 1.061,52 10,51 Mês 6 1.060,00 60,00 
Mês 7 1.072,14 10,62 Mês 7 1.060,00 
Mês 8 1.082,86 10,72 Mês 8 1.060,00 
Mês 9 1.093,69 10,83 Mês 9 1.060,00 
Mês 10 1.104,62 10,94 Mês 10 1.060,00 
Mês 11 1.115,67 11,05 Mês 11 1.060,00 
Mês 12 1.126,83 11,16 Mês 12 1.123,60 63,60 
Total: 1.000,00 126,83 Total: 1.000,00 123,60 
Taxa Efetiva no ano: 12,68% Taxa Efetiva no ano: 12,36% 
 
Note que, para aplicarmos a capitalização de uma taxa nominal, é importante respeitar o 
período de capitalização ao qual faz referência, logo, se a taxa nominal é anual, mas a sua 
capitalização é mensal, basta dividir o seu valor por 12 e, nesse caso, aplicar mensalmente a taxa. 
Da mesma forma que, se a taxa nominal for anual, mas a sua capitalização for semestral, bastará 
dividir o seu valor por 2 e aplicar a cada semestre, afinal são 2 semestres em um ano. 
 
 39 
 
Importante perceber que os efeitos nos juros resultam em montantes acumulados diferentes. 
No caso descrito na tabela acima, se a capitalização for mensal, a taxa efetiva gerada foi de 12,68% 
no ano; já no caso da capitalização semestral, a taxa efetiva gerada foi de 12,36% no ano. 
Exemplificando as taxas nominais, sem a incidência de outros custos ou valores, temos: 
12% ao ano capitalizados mensalmente equivalem a uma taxa efetiva de 1% ao mês; 
12% ao ano capitalizados semestralmente equivalem a uma taxa efetiva de 6% ao semestre; 
24% ao ano capitalizados mensalmente equivalem a uma taxa efetiva de 2% ao mês; 
24% ao ano capitalizados semestralmente equivalem a uma taxa efetiva de 12% ao semestre; 
12% ao ano capitalizados bimestralmente equivalem a uma taxa efetiva de 2% ao bimestre; 
12% ao ano capitalizados trimestralmente equivalem a uma taxa efetiva de 3% ao trimestre. 
 
Taxa efetiva 
Segundo Vieira Sobrinho (2018, p. 164), taxa efetiva é “a taxa de juros calculada com base 
no valor efetivamente emprestado ou aplicado e no valor efetivamente recebido ou resgatado, o qual 
leva em conta eventuais despesas do contrato, com taxas de administração, comissões, impostos e 
outras”. Em outras palavras, a taxa efetiva é a taxa que representa o percentual a ser aplicado, período 
a período, para se calcular o valor atualizado já considerando todos os custos envolvidos na 
operação. A taxa de juros efetiva é a base para o cálculo do custo efetivo total da operação financeira, 
também chamada de CET. 
Exemplo: 
Considere um empréstimo de R$ 10.000,00 para ser pago em 30 dias com a aplicação de 
uma taxa de juros de 10% ao mês, porém, para a tomada do recurso, existe uma tarifa de contrato 
igual a R$ 500,00. São dois os cenários possíveis: 
Cenário 1: o valor de R$ 500,00, referente à tarifa, sendo pago na tomada do recurso, será o 
mesmo que tomar emprestado apenas R$ 9.500,00, pois R$ 10.000,00 – R$ 500,00 = R$ 9.500,00. 
Porém, para quitar a operação após um mês, o valor devido será de R$ 11.000,00, pois 
R$ 10.000,00 + (R$ 10.000,00 × 10%) = R$ 11.000,00. Neste caso, a taxa efetiva da operação será de 
15,79% no mês; afinal, R$ 11.000,00 ÷ R$ 9.500,00 = 1,1579. 
Cenário 2: o valor de R$ 500,00, referente à tarifa, sendo financiado com a operação para 
possibilitar ao tomador receber os R$ 10.000,00 propostos, resultará em um valor de empréstimo 
igual a R$ 10.500,00. Considerando que a taxa aplicadaé de 10% ao mês e que o valor será quitado 
30 dias após a tomada do recurso, o valor necessário para quitar o empréstimo será de R$ 11.550,00, 
uma vez que R$ 10.500,00 + (R$ 10.500,00 × 10%) = R$ 11.550,00. Neste caso, a taxa efetiva da 
operação será de 15,50% no mês; afinal, R$ 11.550,00 ÷ R$ 10.000,00 = 1,1550. 
 
 
40 
 
Taxas equivalentes 
Taxas equivalentes são as taxas que aplicadas sobre o mesmo capital, no mesmo prazo, geram 
o mesmo resultado, mesmo que se referenciem a períodos de capitalização diferentes. 
Exemplificando temos que, aplicando R$ 1.000,00, pelo prazo de um ano, usando taxas que se 
referem a períodos diferentes, pode-se chegar a um mesmo valor acumulado. Neste caso, as taxas 
serão equivalentes. 
Observe: 
� 1% ao mês, durante 12 meses (um ano), sobre R$ 1.000,00, resultará em R$ 1.126,82, e 
� 12,682% ao ano, por um ano (12 meses), sobre R$ 1.000,00, resultará em R$ 1.126,82. 
 
Logo, as taxas de 1,0% ao mês e 12,682% ao ano são equivalentes no regime de juros 
compostos. 
Caso se deseje transformar uma taxa ao mês em uma taxa ao ano, basta capitalizar a taxa. A 
expressão é a seguinte: 
 
�J8KL789LM8N8 = [(1 + �)0 1 1] 	× 	100	 
 
Onde: 
�J8KL789LM8N8 = taxa de juros capitalizada, equivalente ao período maior de tempo; 
i = taxa de juros referenciada a um intervalo menor de tempo; 
n = quantidade de períodos em que se deseja capitalizar a taxa. 
 
Fazendo referência ao exemplo citado anteriormente, temos: 
 
�J8KL789LM8N8 = [(1 + �)0 1 1] 	× 	100	 
 
�J8KL789LM8N8 = [(1 + 0,01)� 1 1] 	× 	100	 
 
�J8KL789LM8N8 = [1,01� 1 1] 	× 	100	 
 
�J8KL789LM8N8 = [1,12682 1 1] 	× 	100	 
 
�J8KL789LM8N8 = 0,12682 × 	100	 
 
�J8KL789LM8N8 = 12,682%	 
 
 
 
 41 
 
Agora, caso se deseje transformar uma taxa ao ano em uma taxa ao mês, basta descapitalizar 
a taxa. A expressão é a seguinte: 
 
�OPQR8KL789LM8N8 = [(1 + �)�0 1 1] 	× 	100	 
 
Onde: 
�OPQR8KL789LM8N8 = taxa de juros descapitalizada, equivalente ao período menor de tempo; 
i = taxa de juros referenciada a um intervalo maior de tempo; 
n = quantidade de períodos em que se deseja descapitalizar a taxa. 
 
Na mesma linha do exemplo anterior, temos: 
 
�OPQR8KL789LM8N8 = [(1 + �)�0 1 1] 	× 	100 
 
	�OPQR8KL789LM8N8 = [(1 + 0,12682) �� 1 1] 	× 	100			
	�OPQR8KL789LM8N8 = [(1,12682) �� 1 1] 	× 	100			
	�OPQR8KL789LM8N8 = [(1,12682)<,<S!!!!!! 1 1] 	× 	100			
	�OPQR8KL789LM8N8 = [1,01 1 1] 	× 	100			
�OPQR8KL789LM8N8 = 0,01 × 	100			
�OPQR8KL789LM8N8 = 1,00%		
 
 
 
42 
 
A calculadora HP-12C permite, mediante alguns procedimentos, calcular a taxa equivalente 
rapidamente, contudo, é importante compreender a lógica por trás dos cálculos. Os passos são os 
seguintes: 
 
Transformar a taxa de 1% ao mês na sua taxa equivalente ao ano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O mesmo pode ser aplicado para o procedimento inverso, transformar a taxa de 12,682% ao 
ano na sua taxa equivalente ao mês: 
 
 
 
 
 
 
 
f 
 
CLX 
X = 0 
1 
x,r 
PV 
CFo 
 1,00 
 RPN D.MY C 
← Valor fixo para todos os casos. 
1 
x,r 
i 
12÷ 
 1,00 
 RPN D.MY C 
← A taxa a ser convertida. 
1 
x,r 
2 
ŷ,r 
n 
12× 
 12,00 
 RPN D.MY C 
FV 
Nj 
 - 1,12682 
 RPN D.MY C 
← Resultado evidenciando o montante capitalizado. 
1 
x,r 
n 
12× 
 1,00 
 RPN D.MY C 
← Se do período menor para o maior, coloque o menor. 
i 
12÷ 
 12,682 
 RPN D.MY C 
← Resultado: taxa equivalente a um período. 
f 
 
CLX 
X = 0 
1 
x,r 
PV 
CFo 
 1,00 
 RPN D.MY C 
← Valor fixo para todos os casos. 
1 
x,r 
2 
ŷ,r 
· 
S 
6 
ẍw 
8 
END 
2 
ŷ,r 
i 
12÷ 
 12,682 
 RPN D.MY C 
← A taxa a ser convertida. 
1 
x,r 
n 
12× 
 1,00 
 RPN D.MY C 
← Se do período maior para o menor, coloque o menor. 
FV 
Nj 
 - 1,12682 
 RPN D.MY C 
← Resultado evidenciando o montante capitalizado. 
1 
x,r 
2 
ŷ,r 
n 
12× 
 12,00 
 RPN D.MY C 
i 
12÷ 
 1,00 
 RPN D.MY C 
← Resultado: taxa equivalente a um período. 
← Se do período menor para o maior, coloque o maior. 
← É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo. 
← Se do período maior para o menor, coloque o maior. 
 
← É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo. 
 
 
 
Neste módulo, serão apresentados os sistemas de amortização de empréstimos e 
financiamentos mais utilizados no mercado financeiro e como se comportam quando são aplicadas 
taxas variáveis ou indexadas a um indicador econômico. Para a compreensão dos efeitos dos 
diferentes sistemas de amortização é altamente relevante a elaboração dos fluxos de caixa de um 
projeto de investimento e a análise da sua viabilidade quando os investimentos possuem parte 
financiada com capital de terceiros. Portanto, entender como são estruturados os cálculos inerentes 
aos sistemas de amortização é fundamental para que o investidor saiba como melhor se financiar e 
rentabilizar o seu negócio. Nesse sentido, ainda neste módulo, serão apresentadas as diferentes séries 
de pagamentos existentes e o comportamento dos juros nos casos de parcelas fixas, com carência ou 
reforços, sejam eles reforços intermediários ou apenas no final da operação de crédito. 
 
Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos 
Segundo Vieira Sobrinho (2018, p. 127), “um sistema de amortização nada mais é do que 
um plano composto por pagamentos periódicos para liquidação de um empréstimo ou de um 
financiamento, de curto ou de longo prazo”. Em outras palavras, os sistemas de amortização 
descrevem a dinâmica em que o saldo devedor de um empréstimo vai sendo liquidado e o valor das 
parcelas necessárias para tal. Os principais sistemas de amortização utilizados no mercado financeiro 
serão apresentados a seguir, mas antes é importante compreender os princípios básicos que regem 
todos os sistemas. 
 
MÓDULO III – SISTEMAS DE 
AMORTIZAÇÃO E SÉRIES DE PAGAMENTOS 
 
44 
 
Princípios básicos dos sistemas de amortização 
Os sistemas de amortização podem estar estruturados de diferentes formas, com parcelas fixas, 
com parcelas decrescentes, com reforços periódicos, ou até mesmo com apenas uma amortização ao 
final do prazo da operação de crédito. Porém, todos os sistemas possuem um mesmo princípio: para 
que a parcela tenha capacidade de amortizar ao menos uma parte da dívida, ela deverá ser maior do 
que os juros referentes ao período de capitalização. Dessa forma, com exceção do sistema de 
amortização americano, é muito comum que a prestação referente a qualquer empréstimo seja 
composta do total dos juros referente ao período mais uma parte destinada à amortização da dívida. 
 
Sistema de Amortização com Prestações Constantes (Price) 
O sistema de amortização com prestações constantes, também conhecido como sistema da 
“Tabela Price” é um dos sistemas de amortizações mais utilizados no mercado financeiro, 
principalmente nas operações de empréstimos e financiamentos bancários. 
O sistema de amortização baseado na “Tabela Price” consiste basicamente em estruturar um 
valor de amortização mais os juros do respectivo período, de forma que, somados, produzam um 
valor de prestação constante durante todo prazo da operação de crédito, desta forma facilitando o 
planejamento financeiro e estruturação de uma análise de investimento. A estrutura do cálculo do 
sistema de amortização com prestações constantes será demonstrada a seguir, partindo do seguinte 
exemplo: empréstimo no valor de R$ 5.000,00, ao custo financeiro de 10% ao período, para ser 
quitado mediante o pagamento de cinco prestações iguais e sucessivas, calculadas pelo sistema Price 
de amortização. 
 
Tabela 6 – Cálculo do Sistema de Amortização com Parcela Constante (Tabela