LISTA DE EXERC´ICIOS #3 - ELETROMAGNETISMO

Prévia do material em texto

LISTA DE EXERCÍCIOS #3 - ELETROMAGNETISMO I
1. Determine a capacitância dos seguintes capacitores, desprezando efeitos de borda, quando
necessário:
(a) Capacitor de placas planas paralelas. As placas têm área A e são separadas por uma
distância d.
(b) Capacitor esférico, formado por duas superf́ıcies esféricas concêntricas de raios a e
b, a < b. Aplicar depois o limite b → ∞ para obter a capacitância de um capacitor
esférico onde uma das placas está no infinito. Supondo que a = R, onde R é o raio
da Terra, ache a “capacitância” da Terra.
(c) Capacitor ciĺındrico formado por duas superf́ıcies ciĺındricas coaxiais e concêntricas,
de raios a e b, a < b, e altura L.
2. Mostre que, muito próximo à superf́ıcie de um condutor, o campo elétrico é dado por
~E = σ
ε0
n̂, onde n̂ é a normal à superf́ıcie do condutor, orientada para fora do mesmo, e σ
é a densidade superficial de carga.
3. A força elétrica exercida sobre uma superf́ıcie que tem uma densidade superficial σ envolve
a determinação dos campos elétricos dos dois lados da superf́ıcie, em pontos muito próximos
a ela. Considere que o campo elétrico de um dos lados da superf́ıcie vale ~E1, enquanto o
outro lado tem um campo ~E2. O campo médio sobre a superf́ıcie é dado por
~Emed =
~E1 + ~E2
2
∣
∣
∣
S
lembrando que os campos acima devem ser calculados em pontos sobre a superf́ıcie. A
partir do campo médio ~Emed, define-se a densidade superficial de força elétrica sobre a
superf́ıcie, mediante
~f = σ ~Emed
A força elétrica sobre a superf́ıcie é obtida integrando-se ~f sobre a superf́ıcie, ou seja,
~F =
∫
S
~f dS =
∫
S
σ ~Emed dS
Para o caso espećıfico de um condutor maciço, como ~Ec,d = 0 dentro dele, e ~Ec,f =
σ
ǫ0
n̂
fora dele, em pontos em sua superf́ıcie, a densidade de força fica
~f =
σ2
2ǫ0
n̂
onde n̂ aponta no sentido de dentro para fora do condutor, na superf́ıcie considerada. Com
base nas informações acima, determine a a força eletrostática exercida por uma das placas
de um capacitor de placas planas paralelas sobre a outra placa. Despreze efeitos de borda.
1
4. Uma casca esférica condutora de raio R tem uma carga total Q distribúıda uniformemente
sobre a superf́ıcie. Determinar a força eletrostática que um dos hemisférios dessa casca
exerce sobre o outro.
5. Considerando que
~r = ~rP + ~ra
que ~rP é constante, e que
~r = x ı̂+ y ĵ+ z k̂ ~ra = xa ı̂+ ya ĵ+ za k̂
mostre que ∇~r = ∇~ra, onde
∇~r = ı̂
∂
∂x
+ ĵ
∂
∂y
+ k̂
∂
∂z
∇~ra = ı̂
∂
∂xa
+ ĵ
∂
∂ya
+ k̂
∂
∂za
Será preciso usar regras da cadeia para expressar as derivadas.
6. Um duto retangular metálico infinitamente longo de lados a e b estende-se paralelamente
ao eixo z. Três lados estão aterrados, gerando as condições de contorno
V (x, 0) = 0 V (x, b) = 0 V (0, y) = 0
O quarto lado está submetido a um potencial espećıfico, dado pela condição V (a, y) =
V0(y). Note que o potencial não depende de z, sendo este um problema essencialmente
bidimensional.
(a) Obtenha uma expressão geral para o potencial dentro do tubo que satisfaça as quatro
condições de contorno dadas.
(b) No caso espećıfico em que V0(y) = V0, obtenha explicitamente o potencial.
7. Expresse explicitamente os polinômios de Legendre P4(x) e P5(x).
8. Uma esfera oca de raio a está sujeita a um potencial V (a, θ) sobre sua superf́ıcie. Obtenha
uma expressão geral para o potencial dentro da esfera. Escreva uma expressão para os
coeficientes que aparecem na série do potencial.
9. Queremos agora o potencial gerado pela esfera oca do exerćıcio anterior fora dela, quando
sujeita ao mesmo potencial V (a, θ) sobre sua superf́ıcie. Obtenha uma expressão geral para
o potencial fora da esfera. Escreva uma expressão para os coeficientes que aparecem na
série do potencial.
2