Equivalencia de taxas e de Capitais

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Nesta lição, veremos como é relevante saber calcular a equivalência de taxas 
para tomar decisões a respeito dos mais diferentes investimentos. Com esses 
cálculos em mãos, também podemos calcular o valor real de uma mercadoria, 
que pode ter variação significativa de preço em uma ou outra loja. O cálculo da 
equivalência de capitais ou de taxas nos permite a comparação, e é comparan-
do que tomamos decisões de compra, de investimento, de financiamento etc.
Aprenderemos ainda como funcionam as séries de fluxos de caixa ou de ca-
pital, e que elas se referem a todo tipo de sequência de pagamentos ou rece-
bimentos que, por algum motivo, venham a ocorrer: prestações de dívidas, 
retornos de investimentos etc. Por isso, a importância de saber calculá-las.
Ao término desta lição, você será capaz de:
a) desenvolver o cálculo da equivalência de taxas e capitais;
b) descobrir o valor real de uma mercadoria;
c) conhecer as características das séries de pagamento e recebimento;
d) proceder no cálculo de prestações iguais.
1. Equivalência de Taxas de Juros Simples
Duas taxas de juros simples são consideradas equivalentes quando a diferen-
ça entre elas é devida exclusivamente ao fato de que representam períodos 
diferentes de tempo. Assim, uma taxa de juros simples de 5% ao mês é equi-
valente a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre, 30% ao semestre ou 
60% ao ano. 
Veja, a seguir, exemplos resolvidos:
Qual é a taxa anual equivalente à taxa mensal de 3% (juros simples)? 
ianual = (0,03 . 12 meses) = 0,36 ou 36% ao ano 
Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa anual de 20% (juros simples)? 
itrimestral = (0,20 ÷ 4 trimestres) 
itrimestral = 0,05 ou 5% ao trimestre 
Nesses exemplos, percebemos que, ao aplicar determinada quantia de di-
nheiro por seis meses, a uma taxa de 5% ao trimestre ou de 20% ao ano, o 
resultado (montante) será o mesmo.
Lição 2 - Equivalência de Taxas
e de Capitais
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2. Equivalência de Taxas de Juros Compostos
O conceito de taxa equivalente para juros compostos é o mesmo aplicado aos 
juros simples, considerando-se aqui a característica da capitalização com-
posta. Veja, a seguir, exemplos resolvidos: 
Uma taxa mensal de 2% equivale a qual taxa anual composta? 
ianual = [(1 + 0,02)
12 – 1] 
ianual = 0,2682 ou 26,82% ao ano 
Uma taxa anual composta de 40% equivale a qual taxa mensal? 
imensal = [(1 + 0,40)
 – 1] 
imensal = 0,0284 ou 2,84% ao mês 
3. Equivalência de Capitais Envolvendo Valor Presente e Valor Futuro
O cálculo da equivalência entre capitais permite tomar decisões adequadas so-
bre compras, investimentos, financiamentos etc.
A uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, R$ 1.000,00 hoje equivalem 
a quanto daqui a três meses? 
Valor Presente (VP) = R$ 1.000,00 
Valor Futuro (VF) = ? 
VF = 1.000 (1 + 0,03)3 
VF = 1.092,73 
Portanto, R$ 1.000,00 hoje equivalem a R$ 1.092,73 daqui a três meses, 
considerando-se uma atualização mensal de 3%.
Vejamos um exemplo em que desejamos calcular o valor presente de uma 
determinada quantia, sabendo seu valor futuro. 
Se a inflação mensal prevista é de 1% ao mês, R$ 1.000,00 daqui a seis meses 
equivalem qual valor hoje?
VF = R$ 1.000,00 
VP = ? 
VP = 1.000 (1 + 0,01)-6 
VP = 1.000 (0,942045) 
VP = R$ 942,05
De outro modo: 
VP = 1000 
(1 + 0,01)6
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VP = 1000 
1,061529
VP = R$ 942,05 
Dessa forma, “transportamos” o valor de R$ 1.000,00 (locado seis meses 
adiante) para a data-zero ou momento atual.
R$ 942,05 R$ 1.000,00
data-zero 6 meses 
depois
Veja como aplicar esse conhecimento a situações do cotidiano:
Exemplo 1
Uma loja vende uma geladeira por R$ 200,00 de entrada e mais duas pres-
tações mensais de R$ 300,00. Se a loja cobra juros de 8% ao mês, qual será o 
valor equivalente, à vista, dessa geladeira?
Os fluxos de caixa na perspectiva do comprador:
1º mês 2º mês
R$ 200,00 R$ 300,00R$ 300,00
Trazendo para valor presente (VP) todos os valores futuros (VF), e somando-
-os ao valor da entrada (VE), teremos:
VP = 200 + 300 
1,08
 + 300 
1,082
VP = 200 + 277,78 + 257,2 
VP = 734,98
Ou seja, uma entrada de R$ 200,00 e mais duas prestações mensais de R$ 
300,00 equivalem a um valor à vista de R$ 734,98.
Exemplo 2
O Sr. Nogueira deseja comprar um aparelho de televisão vendido em duas 
prestações mensais iguais de R$ 300,00 na loja A, e em 6 prestações mensais 
iguais de R$ 110,00 na loja B. Sabendo-se que ambas as lojas cobram juros 
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mensais de 5%, em que loja o Sr. Nogueira deve adquirir seu aparelho de te-
levisão? 
Na loja B, o preço à vista do aparelho será de:
VP = 110 
1,05
 + 110 
1,052
 + 110 
1,053
 + 110 
1,054
 + 110 
1,055
 + 110 
1,056
VP = 104,76 + 99,77 + 95,02 + 90,50 + 86,19 + 82,08
VP = R$ 558,32
Na loja A, o preço à vista do 
aparelho será de:
VP = 300 
1,05
 + 300 
1,052
VP = R$ 557,82
Loja BLoja A
TV 21”
por 2 x $ 300,00
TV 21”
por 6 x $ 110,00
Transportando os dois conjuntos de prestações para a mesma data, que é a 
data atual (valor presente), é possível perceber que as duas ofertas não são 
equivalentes. Na loja A o aparelho de televisão é mais barato.
Exemplo 3
A loja de automóveis RT Veículos vende um carro com entrada de R$ 6.000,00 
e mais duas prestações de R$ 4.500,00. A loja de automóveis GP Veículos vende 
um carro idêntico em três prestações de R$ 5.210,00. Sabendo que os juros de 
financiamento de veículo são de 3% a.m., qual das duas lojas vende mais barato?
Loja RT:
VP = 6.000 + 4.500 
1,03
 + 4.500 
1,032
VP = 6.000 + 4.368,93 + 4.241,68
VP = R$ 14.610,61
Loja GP:
VP = 5.210 
1,03
 + 5.210 
1,032
 + 5.210 
1,033
VP = 5.058,25 + 4.910,92 + 4.767,89
VP = R$ 14.737,07
A loja RT vende mais barato, pois seu preço à vista equivale a um valor menor 
que o preço à vista da loja GP.
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4. Série Uniforme de Pagamento e Recebimento
Veremos agora o que são séries de pagamentos antecipados, postecipa-
dos e diferidos; como fazer os cálculos das prestações do principal e do 
montante de séries uniformes; e como funcionam as taxas de juros das 
séries uniformes.
4.1 Características das Séries Uniformes
Considerando somente a capitalização composta, as séries uniformes, que 
também são chamadas de anuidades constantes, representam apenas um 
tipo de série de pagamentos ou de recebimentos, ou seja, são as sequências de 
pagamentos que se caracterizam por serem iguais, constantes ou uniformes.
Uma série uniforme pode constituir-se, por exemplo, em uma sequência de 
diversas prestações iguais, e sucessivas em intervalos constantes, correspon-
dendo aos períodos de capitalização.
R$ tomado emprestado
1ª
prestação 
2ª
prestação 
3ª
prestação 
Prestação n
Observe que as prestações ocorrem ao final de cada período (postecipa-
das). Elas também podem ocorrer em início de período, quando são cha-
madas de antecipadas.
As rendas certas, ou séries periódicas uniformes, podem ser divididas em sé-
ries postecipadas, antecipadas e diferidas.
As séries postecipadas são aquelas em que os pagamentos ocorrem no final 
de cada período e não na origem. Exemplo: pagamentos de fatura de cartão 
de crédito.
Nas séries antecipadas, os pagamentos são feitos no início de cada período 
respectivo. Exemplo: financiamentos com pagamento à vista.
Nas séries diferidas, o período de carência constitui um prazo que separa o 
início da operação do período de pagamento da primeira parcela. Exemplo: 
promoções do tipo – compre hoje e comece a pagar daqui a “x” dias. Quando o 
primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período após o término da 
carência, temos uma série diferida antecipada; quando ocorre no final, temos 
uma série diferida postecipada.
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4.2 Valor Presente de Séries Periódicas Uniformes
A fórmula de cálculo para uma série de prestações iguais, pagas ao final do 
período é:
R = P . i . (1 + i)
n 
(1 + i)n - 1
Em que:
R: valor da prestação uniforme
P: valor do principal
i: taxa de juros
n: número de períodos de capitalização
Exercícios Resolvidos
1. Um comerciante quer vender, em trêsprestações iguais, sem entrada, bici-
cletas que custam à vista R$ 450,00. Cobrando juros de 4% a.m. Qual será o 
valor das prestações?
R = 450 . 0,04 (1 + 0,04)
3 
(1+0,04)3 - 1
R = 450 . 0,044995 
1,124864 - 1
R = 20,247750 
0,124864
R = R$ 162,16
O comerciante deve vender as bicicletas em três prestações iguais de R$ 162,16.
Para o comerciante, os fluxos de caixa são:
R$ 162,16 R$ 162,16 R$ 162,16
R$ 450,00 (valor à vista da bicicleta)
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2. Em uma determinada loja, um comprador foi informado de que um apa-
relho de som, cujo valor à vista é de R$ 900,00, pode ser adquirido em 
6 prestações iguais, sem entrada. Considerando um juro composto de 3% 
a.m., qual será o valor de cada prestação?
R = 900 . 0,03 (1,03)
6 
(1,03)6 - 1
R = 32,239412 
0,194052
R = R$ 166,14
Exercícios Propostos
1. A taxa de juros simples de 6% a.m. equivale a qual taxa anual?
( ) a) 72%
( ) b) 60%
( ) c) 58%
( ) d) 54%
( ) e) 49%
2. A taxa mensal de 3% equivale a que taxa anual composta?
( ) a) 28,3%
( ) b) 37,15%
( ) c) 42,58%
( ) d) 43,67%
( ) e) 13,28%
3. Qual será o valor à vista de uma geladeira comprada em quatro presta-
ções iguais de R$ 450,00 sem entrada, a uma taxa de juros de 1,6%?
( ) a) R$ 1.450,23
( ) b) R$ 1.528,40
( ) c) R$ 1.692,60
( ) d) R$ 1.730,24
( ) e) R$ 1.810,28
4. Uma pessoa pretende comprar um equipamento no valor de R$ 9.600,00 
em quatro parcelas. A empresa oferece pagamento com taxa de juros de 
1,5% a.m. Fazendo a simulação, qual será o valor de cada parcela?
( ) a) R$ 1.970,00
( ) b) R$ 1.986,50
( ) c) R$ 2.150,60
( ) d) R$ 2.490,67
( ) e) R$ 2.507,56
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5. Uma série uniforme pode constituir-se, por exemplo, em uma sequência 
de diversas prestações iguais que se sucedem em intervalos constantes, 
correspondendo aos períodos de capitalização. As prestações que ocor-
rem ao final de cada período são chamadas de:
( ) a) antecipadas
( ) b) idênticas
( ) c) progressão
( ) d) postecipadas
( ) e) reguláveis