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1 SUMÁRIO 1 A ORIGEM DA GEOMETRIA ...................................................................... 2 2 ASPECTOS DO DESENVOLVIMENTO DA GEOMETRIA ......................... 5 2.1 NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA ................................................ 22 2.2 FIGURAS GEOMÉTRICAS ................................................................ 26 3 BIBLIOGRAFIA PARA ESTUDOS COMPLEMENTARES ........................ 33 4 ARTIGO PARA REFLEXÃO ..................................................................... 35 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................... 48 2 1 A ORIGEM DA GEOMETRIA Fonte: www.math.ist.utl.pt A Geometria nasceu no Egito antigo pela necessidade de medir terras. Os agricultores egípcios cultivavam as terras que ficavam nas margens do rio Nilo, dividias em lotes. Na época das chuvas, o Nilo transbordava alagando a terra e, quando voltava ao nível normal, deixava o solo fertilizado, ideal para a agricultura. Como as marcas dos lotes eram carregadas a cada cheia, tornava-se necessário refazer as demarcações para que os lotes fossem redistribuídos aos agricultores. Dessa forma, medindo e desenhando terrenos, os egípcios descobriram métodos e adquiriram conhecimentos que, depois, foram aprendidos pelos gregos. Foram os gregos que estudaram e desenvolveram esses conhecimentos, aos quais chamaram de Geometria, que significa “medida da terra” (geo=terra; metria=medida). Usando apenas uma régua não graduada e um compasso, Euclides fez as primeiras construções gráficas e descobriu muitas relações entre os elementos geométricos. Tais conhecimentos foram publicados em sua obra Elementos (Euclides, geômetra grego, viveu entre os séculos IV e III a. C. por volta de 300 a, C., lecionava em Alexandria, cidade que ficava ao norte da África, no Egito. Sua obra, os Elementos, é um conjunto de 13 volumes, nos quais sintetizou o conhecimento matemático da Grécia Antiga). Tanto a Geometria como o Desenho Geométrico estudam figuras geométricas com seus conceitos e suas propriedades. 3 A Geometria relaciona figura com números (medidas). Os números são abstratos e pertencem ao campo das ideias. Fonte: www.aprendiendodematematicas.bligoo.com.com O Desenho Geométrico relaciona as figuras com suas representações gráficas (desenhos). Os desenhos são concretos e pertencem ao campo das imagens. O mundo das imagens virtual ou gráfico está intimamente relacionado com o mundo das ideias. Construir, significava para os gregos construir apenas com régua e compasso. No entanto o historiador Plutarco (46-120 d. C.) testemunha que a separação exigida por Platão (428-355 a. C.) entre a “mecânica e a geometria” tinha raízes profundas nas próprias concepções filosóficas do platonismo, que sublinhavam a diferença entre o que é objeto dos sentidos e o que é objeto da inteligência pura. Do ponto de vista matemático, a concepção grega de número real era inteiramente geométrica, a distinção entre construções com régua e compasso e construções mecânicas (amplamente utilizadas por eles) continha já um germe de classificação dos números reais, como ficaria claro séculos mais tarde. 4 Fonte: mathmatterscaddo.weebly.com Desde cedo, os gregos esbarraram na dificuldade de, somente com régua e compasso, duplicar o cubo, quadrar o círculo, tri-seccionar um ângulo e construir certos polígonos regulares. Logo perceberam que havia aí um problema, o que algumas pessoas até hoje não perceberam, confundindo construções aproximadas ou mecânicas com construções exatas com régua e compasso. Contudo, o instrumental matemático de que tais construções eram impossíveis só viria ocorrer no século XIX d. C. 5 2 ASPECTOS DO DESENVOLVIMENTO DA GEOMETRIA Fonte: www.webquestfacil.com.br Texto adaptado de Claudio Gorodski Este texto pretende apresentar em uma linguagem não técnica algumas linhas históricas importantes do desenvolvimento da geometria. Após um brevíssimo prelúdio sobre as etapas iniciais do assunto, mergulhamos no mundo da geometria diferencial, que é a área de interesse do autor. Mesmo aí, devido às limitações de espaço, a exposição é de nível notadamente superficial. Estamos conscientes da inerente tecnicalidade da matemática, característica que dificulta a compreensão de suas motivações pelo leigo. Assim, com esse texto esperamos pelo menos causar alguma impressão positiva no leitor no que diz respeito à magnitude e ao alcance das realizações da geometria. Acrescentamos que importantes seções da geometria que são extremamente ativas hoje em dia foram completamente omitidas, como a geometria simplética, área relativamente nova, mas que têm raízes mais antigas na mecânica clássica, e a geometria algébrica, possivelmente mais antiga do que a geometria diferencial. Apesar de o historiador grego Heródoto escrever que a geometria nasceu no antigo Egito, os registros mais antigos de atividades humanas no campo da geometria 6 de que dispomos remontam à época dos babilônios há talvez cerca de cinco mil anos e foram aparentemente motivadas por problemas práticos de agrimensura1. Formas primitivas de geometria são encontradas também entre os hindus, chineses e japoneses. Entre todos esses povos nota-se que as verdades geométricas são afirmadas nas formas de proposições particulares cujas justificativas são completamente negligenciadas, de modo que a geometria apresenta-se como um conjunto de regras empíricas. Essa maneira de se ver a geometria transforma-se profundamente com os gregos. Tales de Mileto, que viveu por volta do ano 600 antes da era comum, é normalmente considerado o pai da geometria grega. Pouca certeza se tem sobre sua vida e obra. Fonte: www.mat.ufmg.br A proposição conhecida como o teorema de Tales - que um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto - já era conhecida pelos sumérios cerca de dois mil anos antes. De qualquer forma, parece seguro dizer que Tales, juntamente com a escola pitagórica grega, fez contribuições importantes na direção de estabelecer o método dedutivo-formal em matemática, o que foi finalmente concretizado com o aparecimento de Os Elementos (ca. 300 AEC), obra máxima de Euclides e 1 O nome geometria é de origem grega e significa literalmente “medição da Terra”. 7 provavelmente um dos tratados mais importantes já escritos em toda a história ocidental. Os treze volumes de Os Elementos não apenas incluiram toda a matemática da sua época, mas forneceram um modelo para o desenvolvimento rigoroso das idéias matemáticas que é utilizado até os dias de hoje: inicialmente definições e axiomas são apresentados, então proposições são provadas a partir dessas premissas e de outras proposições através de dedução lógica. Um capítulo crucial na história da geometria, e que de fato faz a ligação entre a geometria grega e a geometria diferencial moderna, é a história do Postulado V de Euclides, também conhecido como postulado das paralelas: “É verdade que, se uma reta corta duas outras retas formando ângulos internos no mesmo lado cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então as duas retas se continuadas indefinidamente encontrar-se-ão no lado em que estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos.” Uma formulação equivalente e mais conhecida deste postulado, atribuída a Playfair, é: “Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada.” Para seus primeiros leitores, Os Elementos forneciam uma descrição idealizada do espaço físico,mas a frase “se continuadas indefinidamente” contida no Postulado V desafiava uma intuição baseada em construções com régua e compasso. Devido à complexidade relativa de formulação e o insuficiente apelo intuitivo, o Postulado V fez com que através dos séculos diversos matemáticos tentassem deduzí-lo dos demais axiomas e, portanto prová-lo com um teorema. O resultado desse esforço continuado, que durou cerca de dois mil anos, produziu um grande número de afirmações equivalentes (um exemplo é o supracitado axioma de Playfair), mas o Postulado V resistiu a todas as tentativas de demonstração. Entre o tempo de Euclides a 1829, o ano da publicação em russo de Sobre os Princípios da Geometria do matemático russo Nikolai Lobachevski (1793-1856), muitas das críticas de Os Elementos estavam relacionadas com o desejo de “purificar” o trabalho de Euclides de suas imperfeições. Tão forte era a convicção de que o Postulado V dependia dos Postulados I a IV, que esses críticos não perceberam no seu trabalho a base para uma nova geometria. Lobachevski entrou para a história como o primeiro matemático a publicar um trabalho desenvolvendo uma geometria construída sobre uma hipótese em conflito direto com o Postulado V de Euclides: “Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar mais de uma reta paralela à reta dada”. Seu trabalho mostrou que a geometria Euclideana não era a verdade absoluta que supunha ser e desferiu um golpe devastador na filosofia Kantiana, representando um 8 ato de audácia intelectual comparável ao que havia sido em outra época o sistema heliocêntrico de Copérnico. Fonte: queconceito.com.br Apesar de Lobachevski ter sido o primeiro a publicar um trabalho sobre a geometria não-Euclideana, existe documentação comprovando que Carl Friedrich Gauss (1777-1855), a então figura dominante no mundo matemático, já havia começado a desenvolver as idéias da nova geometria na década de 1820, como ele disse “para si próprio”, e não publicou ou divulgou seu trabalho, talvez por medo de incompreensão e perseguição. De fato, a geometria de Lobachevski inicialmente não foi bem recebida, como é comumente o caso com descobertas revolucionárias que afetam convicções firmemente estabelecidas, e apenas lentamente foi se tornando conhecida. O húngaro Janos Bolyai (1802-1860) chegou independentemente à mesma descoberta que Lobachevski e publicou seu trabalho Ciência Absoluta do Espaço como apêndice de um livro de seu pai, Wolfgang, que era amigo de Gauss, em 1831. A reação de Gauss tanto ao trabalho de Bolyai como de Lobachevski foi o mesmo: aprovação sincera, mas sem apoio impresso. A geometria não-Euclideana continuou por várias décadas a ser um aspecto da matemática um tanto à margem antes de ser completamente integrada. Mas para entender esse processo, é interessante interrompermos esse fluxo de idéias e retornarmos um pouco no tempo a fim de discutirmos um outro aspecto importante da geometria que estava emergindo. 9 A história da geometria diferencial começa com o estudo de curvas. Noções como retas tangentes a curvas já são encontradas entre os gregos Euclides, Arquimedes e Apolônio. No século XVII, os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650) criam o método das coordenadas ou a “geometria analítica” 2 enquanto que o alemão Gottfried Leibniz (1646-1716) e o inglês Isaac Newton (1643-1727) descobrem os algoritmos do cálculo infinitesimal, os quais permitirão o estudo de curvas e superfícies através de suas propriedades diferenciais. A curvatura de uma curva plana em um ponto da curva é uma medida numérica de quanto à curva se afasta de ser uma reta numa vizinhança daquele ponto: é a taxa de variação naquele ponto da direção tangente à curva em relação ao comprimento de arco3. Os conceitos de curvatura de uma curva plana e de círculo osculador já eram conhecidos por Newton e Leibniz, mas o precursor do assunto talvez seja o holandês Christian Huygens (1629-1695), que ainda não conhecia o cálculo, mas que em 1673 publicou um trabalho sobre curvas planas introduzindo os conceitos de involuta e evoluta de uma curva o qual foi curiosamente motivado pelo seu interêsse em pêndulos e relógios. Durante o século XVIII e até o início do século XIX, desenvolvem-se os fundamentos da teoria de curvas e superfícies mergulhadas nos espaço tridimensional. Em 1731, Alexis Clairaut (1713-1765) estuda curvas no espaço tridimensional mas se limita às propriedades de primeira ordem (que envolvem apenas as derivadas primeiras, como retas tangentes). Em 1775, Gaspard Monge (1746- 1818) vai mais longe e discute os conceitos de curvatura e torção de uma curva espacial.4 Uma transição natural da teoria de curvas para a teoria de superfícies se encontra no problema geodésico, i. e. o problema de se encontrar o caminho mais curto entre dois pontos de uma superfície. Nunca ocorreu aos matemáticos do século XVIII a necessidade de mostrar a existência de um tal caminho, sendo que a sua 2 Método que atribui a cada ponto do espaço tridimensional uma tripla de coordenadas (x,y,z) em relação a três eixos ortogonais e permite relacionar a geometria com a álgebra. 3 Isto quer dizer o limite da razão entre o ângulo entre as retas tangentes às extremidades de um arco e o comprimento s daquele arco quando ele se contrai a um ponto: k = 0s lim s . Essa curvatura é também o inverso do raio de curvatura no ponto em questão, i. e. o raio do círculo osculador à curva naquele ponto. Aqui, o círculo osculador em um ponto P de uma curva é definido como sendo o limite dos círculos determinados por três pontos sobre a curva quando eles tendem a P. 4 A torção em um ponto de uma curva mergulhada no espaço é uma medida numérica de quanto a curva se afasta de estar contida em um plano numa vizinhança daquele ponto; as curvas espaciais que estão contidas em um plano, ditas curvas planas, são caracterizadas por terem torção nula. 10 preocupação era apenas a de determinar a caracterização geométrica da curva que teria tal propriedade. O problema atraiu a atenção dos irmãos Bernoulli5, Jacob (1654- 1705) e Johannes (1667-1748), que, entre outros, forneceram ambos soluções corretas, sendo a de Johannes mais clara, enquanto que a de Jacob - embora mais confusa e laboriosa - era mais geral. O pródigo Leonhard Euler (1707-1783), cuja torrente de descobertas dominou a matemática durante a maior parte do século XVIII, foi aluno de Johannes Bernoulli. Sua maior contribuição à geometria diferencial talvez tenha sido o estudo da curvatura das seções planas de uma superfície6. Em 1772, Euler escreve sobre o problema de se determinar quando uma superfície pode ser desenvolvida isometricamente (isto é, sem distorcê-la) sobre um plano, como por exemplo é o caso do cilindro e do cone. Ele descobre que a condição necessária para que isso ocorra é que a superfície seja regrada (ou seja, folheada por retas). Uma das mais significativas obervações de Euler acerca da teoria de superfícies encontra-se num fragmento sem importância: “Et quia per naturam superficierum quaelibet coordinata debet esse functio binarium variabilium”. Esse é o reconhecimento do fato das coordenadas (x,y,z) dos pontos de uma superfície serem funções de duas variáveis independentes. É curioso notar que nem ele nem seus contemporâneos seguiram essa idéia e estudaram superfícies através da representação das coordenadas x, y, z em termos de funções de duas variáveis. Foi necessário o gênio de Gauss para dar esse passo aparentemente óbvio. Citamos ainda os nomes de Charles Dupin (1784-1873), aluno de Mongee continuador de sua obra, e de Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Em seu Leçons sur l'application du calcul infinitésimal à la géométrie que foi publicado em 1826, Cauchy principalmente introduz novos métodos ao assunto e sistematiza e esclarece diversos cálculos feitos por seus predecessores. Em particular, ele precisa e refina o trabalho de Monge sobre a curvatura k e a torção de uma curva espacial, e chega às fórmulas, hoje conhecidas como de Frenet-Serret7, que expressam o comportamento local da curva em função 5 O clã dos Bernoulli foi para a matemática o que o dos Bach foi para a música, tendo produzido oito matemáticos em três gerações, sendo dois deles brilhantes: Jacob e Johannes. 6 Essas são as curvas na superfície que são obtidas pela intersecção da superfície com um plano normal a ela. Uma bela apresentação desse assunto foi também elaborada pelo menos conhecido soldado francês Jean Baptiste Marie Meusnier (1754-1793). 7 Essas fórmulas foram redescobertas independentemente por Jean Frenet (1816-1900) e Joseph Serret (1819-1885) que publicaram seus trabalhos respectivamente em 1847 e 1850. 11 de k e em relação a um sistema de coordenadas móvel.8 Os teoremas de existência e unicidade de soluções de equações diferenciais devidos a Cauchy permitem mostrar que as funções k e determinam completamente a curva a menos de um movimento rígido do espaço. O trabalho de Cauchy marca o final de um período definido na história da geometria diferencial. Suas técnicas eram belas, mas tiveram de ceder espaço aos métodos do gigante que viria a dar o tom final ao assunto e obter os teoremas mais importantes até então inimagináveis. Fonte: 1.bp.blogspot.com Por volta de 1820, Gauss foi chamado pelo governo de Hanover para supervisionar um levantamento topográfico do reino, e vários aspectos dessa tarefa, incluindo exaustivo trabalho de campo e tediosas triangulações, ocuparam-no por vários anos, mas propiciaram o estímulo que o conduziu às idéias de sua obra Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827). Já comentamos que Euler havia percebido que as coordenadas x, y, z de um ponto de uma superfície podem ser 8 Esse é essencialmente o “triedro móvel” introduzido por Gaston Darboux (1842-1917) mais tarde em 1872, que substitui o sistema Cartesiano de eixos fixos por um sistema de eixos que acompanha a curva: em cada ponto P da curva considerada, o triedro tem origem em P, o seu primeiro eixo é tangente à curva, o segundo eixo é a direção normal principal (definida de modo que os dois primeiros eixos geram o plano osculador à curva, que é o plano que mais se aproxima de conter a curva numa vizinhança do ponto) e o terceiro eixo é ortogonal aos dois primeiros. Essa idéia seria consideravelmente generalizada no século XX por Élie Cartan (1869-1951) e aplicada por ele (sob o nome de método do referencial móvel) de maneira muito frutífera ao estudo dos grupos de Lie e variedades diferenciáveis, conduzindo enfim, com Charles Ehresmann (1905-1979) à teoria moderna dos fibrados principais e conexões. 12 consideradas como funções de duas variáveis independentes u, v, mas é Gauss quem utiliza tal representação paramétrica sistematicamente. As variáveis u e v são chamadas de “coordenadas curvilíneas” sobre a superfície. Gauss introduz a forma diferencial quadrática ds2, hoje conhecida como primeira forma fundamental, que essencialmente exprime as distâncias sobre a superfície, e escreve ds2 em termos de três funções E, F e G de u e v o que lhe permite escrever equações para as curvas geodésicas9. Inspirado por seus trabalhos em astronomia e geodesia, ele introduz a noção de “representação esférica” de uma superfície, hoje conhecida como aplicação de Gauss10. O estudo dessa representação o leva a definir a “medida de curvatura” da superfície em P, hoje conhecida como curvatura Gaussiana11. Fonte: www.fafit.com.br A fim de calcular a curvatura Gaussiana através das coordenadas curvilíneas, ele introduziu uma outra forma diferencial quadrática, derivada da aplicação de Gauss e que hoje é conhecida como segunda forma fundamental12. Um de seus maiores 9 Estas são as curvas na superfície com a propriedade que qualquer segmento suficientemente pequeno é o caminho mais curto entre os seus extremos. 10 Esta é a aplicação que associa a cada ponto P da superfície o ponto P’ da esfera de raio um tal que o raio OP’ é paralelo à normal unitária à superfície em P. 11 Trata-se de uma espécie de taxa de variação da normal unitária à superfície em P, ou equivalentemente uma medida de quanto a superfície se afasta de ser plana numa vizinhança de P (como a normal unitária a um plano é constante, a sua taxa de variação em qualquer ponto do plano é zero, e portanto a curvatura Gaussiana do plano é zero em qualquer ponto). 12 A segunda forma fundamental de certa forma descreve a maneira pela qual a superfície se curva dentro do espaço ambiente. 13 resultados é o famoso theorema egregium, que afirma que a curvatura Gaussiana, apesar de ter sido definida através da aplicação de Gauss e portanto parecer depender de como a superfície está mergulhada no espaço, depende somente da primeira forma fundamental e é portanto invariante se transformarmos a superfície sobre outra superfície (ou a deformarmos) isometricamente (isto é, sem alterar distâncias sobre ela). Dessa maneira, o cilindro e o cone têm curvatura Gaussiana nula, assim como o plano. Mas a esfera têm curvatura Gaussiana positiva, sendo esta inversamente proporcional ao quadrado do raio da esfera. O ponto crucial envolvido no theorema egregium e em outras realizações de Gauss é o conceito de geometria intrínseca. Ele mostrou como estudar a geometria de uma superfície operando exclusivamente na própria superfície, sem se preocupar com o espaço à sua volta onde ela se encontra. Para tornar isso mais concreto, imaginemos um ser inteligente e bidimensional que habita uma superfície e não toma conhecimento de uma terceira dimensão ou de nada que não esteja na superfície. Se essa criatura for capaz de se mover e medir distâncias ao longo da superfície, então ela também é capaz de medir a curvatura Gaussiana em qualquer ponto e de criar uma rica geometria na superfície - essa geometria será Euclidiana (plana) se e somente se a curvatura Gaussiana for sempre nula. É um fato básico de geometria Euclideana que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus ou radianos. Quando consideramos um triângulo geodésico numa superfície (isto é, um triângulo cujos lados são geodésicas), a soma de seus ângulos internos (em radianos) e não precisam coincidir, pode haver uma diferença. Outro resultado fundamental de Gauss é que essa diferença é igual à área da representação esférica do triângulo (ou, o que dá no mesmo, a integral da curvatura Gaussiana estendida sobre o triângulo). Este resultado de Gauss estava fortemente ligado ao seu interesse pelas geometrias não-Euclideanas. Além disso, como será discutido mais adiante, esse teorema foi sucessivamente generalizado por gerações posteriores de matemáticos e constitui um resultado seminal no desenvolvimento da linha de pesquisa global em geometria diferencial. Mas a conceituação dessa linha de pesquisa levaria ainda cerca de cem anos até ser mais claramente formulada. 14 Fonte: 2.bp.blogspot.com Alguns destacados continuadores do trabalho de Gauss são Pierre Bonnet (1819-1892), Carl Jacobi (1804-1851) e Ferdinand Minding (1806-1885). Em 1848, Bonnet generalizouo teorema de Gauss relativo à área de um triângulo geodésico. Uma outra contribuição importante de Bonnet à teoria de superfícies foi a de estabelecer o que nós chamamos hoje em dia de teorema fundamental de existência de superfícies. Gaspare Mainardi (1800-1879) em 1856 e Delfino Codazzi (1824-1873) em 1867 haviam exprimido as condições de compatibilidade entre os coeficientes das duas formas fundamentais e suas derivadas. Bonnet demonstra em 1867 que essas condições, hoje conhecidas como equações de Gauss-Codazzi-Mainardi, são suficientes para que exista uma superfície com essas formas fundamentais dadas. Um segmento suficientemente curto de uma geodésica é o caminho mais curto entre os seus extremos, como por exemplo um segmento do meridiano de Greenwich terrestre que una a cidade de Greenwich a algum ponto da África. No entanto, se prolongarmos esse segmento nos dois sentidos, na direção norte para além do pólo norte e na direção sul para além do pólo sul, o caminho mais curto entre os seus extremos será agora um trecho de um outro meridiano (que corta o oceano Pacífico). Por volta de 1840, Jacobi se ocupou da questão de saber quando um segmento de geodésica que é prolongado cessa de ser o caminho mais curto entre os seus extremos. Este é um problema de geometria diferencial global. Jacobi dá uma resposta correta em termos de uma equação diferencial de segunda ordem (hoje 15 conhecida como equação de Jacobi), mas sem demonstração; esta é fornecida por Bonnet. Em 1839, Minding mostrou que duas superfícies com a mesma curvatura Gaussiana constante podem ser transformadas isometricamente uma sobre a outra. Em outro trabalho, no ano seguinte, ele estabeleceu as relações trigonométricas de triângulos geodésicos em superfícies de curvatura constante negativa. Apesar de este artigo ter sido publicado na mesma revista em que apareceu a tradução para o francês do artigo de Lobachevski Geometria imaginária sobre geometria não-Euclideana, nenhum dos dois notou que as fórmulas trigonométricas no plano hiperbólico de Lobachevski coincidiam com as fórmulas trigonométricas nas superfícies de curvatura constante negativa. Quem percebeu essa coincidência foi Eugenio Beltrami (1835- 1900), que considerou o assunto em Saggio di interpretazione della geometria non- Euclidea em 1868 e assim construiu o primeiro modelo concreto do plano de Lobachevski demonstrando a consistência da geometria não-Euclideana. No décimo dia do mês de junho de 1854 Bernhard Riemann (1826-1860) proferiu uma conferência para os docentes da faculdade de filosofia da Universidade de Göttingen com o intuito de satisfazer os requerimentos para a promoção a Privatdozent. Como era de costume, Riemann ofereceu três possíveis tópicos para a sua conferência. Os dois primeiros lidavam com partes de sua Habilitationsschrift (uma segunda tese também requerida para a promoção), e o terceiro com os fundamentos da geometria. Contrariamente à prática usual, Gauss, que era o chefe do departamento, escolheu o terceiro tópico. Riemann afastou-se de seus outros interesses no momento e durante os dois meses seguintes preparou a sua conferência. O resultado foi talvez a mais importante conferência científica jamais proferida, Über die Hypotheses, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Conta-se que mesmo Gauss ficou entusiasmado. 16 Fonte: 2.bp.blogspot.com Aqui Riemann deslanchou o próximo estágio no desenvolvimento da geometria diferencial. O texto da conferência não foi publicado durante a sua vida, mas a publicação póstuma em 1868 repercutiu quase que imediatamente entre a comunidade de matemáticos trabalhando em geometria diferencial. O artigo de Beltrami supracitado não concluía o seu estudo da geometria não-Euclideana. Ele deixou em aberto o problema de construir o espaço hiperbólico de Lobachevski em três dimensões, e, de fato, acreditava ser impossível construir tal espaço. No entanto, em 1869, com o aparecimento do artigo de Riemann, Beltrami publicou uma análise de espaços de curvatura constante em várias dimensões baseda nas idéias de Riemann incluindo uma versão detalhada do espaço hiperbólico tridimensional. Mais tarde, Felix Klein (1849-1925) e o grande matemático e físico francês Henri Poincaré (1854-1912) propuseram outros modelos para a geometria de Lobachevski. Riemann tentou redigir o texto da conferência de maneira o menos técnica possível para atingir mesmo os docentes com pouca experiência matemática. Mesmo assim, haviam detalhes suficientes para direcionar a pesquisa de diversas gerações subsequentes de geômetras. Ele introduziu o conceito de variedade n-dimensional de pontos (x1, x2, ... , xn) que generaliza a idéia de superfície bidimensional tanto no sentido de considerar um número maior de dimensões quanto no sentido de descartar a necessidade do objeto estar mergulhado em algum espaço circundante. Em seguida introduziu uma forma diferencial quadrática (hoje chamada de métrica Riemanniana) na variedade que generaliza a primeira forma fundamental das superfícies e define as distâncias sobre ela. Esse é um dos pontos essenciais de sua visão: a separação 17 entre os conceitos do conjunto de pontos (a variedade n-dimensional) e as possíveis métricas que podem ser definidas sobre ele. Dessa maneira, Riemann aprofundou brutalmente o conceito de geometria intrínseca da teoria de superfícies de Gauss. Finalmente, ele ainda introduziu a curvatura Riemanniana (que generaliza a curvatura Gaussiana) e discutiu o caso de variedades Riemannianas de curvatura constante. O trabalho de Riemann não apenas unificou a geometria Euclideana e a não-Euclideana, mas representou uma vasta generalização dessas geometrias. As investigações de Riemann foram continuadas por Elwin Christoffel (1829- 1900) que publicou um trabalho em 1869 onde colocou a questão de se saber em que condições duas métricas Riemannianas determinam a mesma geometria. Assim como a intenção de Riemann era de generalizar a teoria de superfícies de Gauss, a intenção de Christoffel era de generalizar o problema de superposição de superfícies. Para resolver esse problema, ele introduziu os hoje chamados símbolos de Christoffel e o tensor de curvatura de Riemann-Christoffel, e derivou como condição necessária a coincidência das tensores de Riemann-Christoffel calculados para as duas métricas Riemannianas. Os cálculos de Christoffel formam a base dos métodos invariantes em geometria Riemanniana que caracterizariam o próximo estágio de desenvolvimento. Fonte: wefashionyou.com No final do século XIX a teoria de superfícies já estava bem estabelecida. Entre 1887 e 1896 apareceram os quatro volumes do clássico Leçons sur la théorie générale des surfaces de Gaston Darboux. Por outro lado, o trabalho de Riemann havia 18 despertado considerável interesse em variedades Riemannianas de dimensão arbitrária e curvatura constante arbitrária, e o problema de se classificar tais variedades, proposto por Killing em seu livro de 1891, ficou conhecido como problema de Clifford-Klein pelas contribuições desses dois matemáticos ao assunto. Em um desenvolvimento paralelo, o Erlanger Programm de Klein de 1872 sintetizava a geometria como o estudo das propriedades do espaço que são invariantes sob um grupo de transformações dado. O norueguês Sophus Lie (1842-1899), inspirado por conversações com Klein e motivado pelo seu desejo de criar uma teoria de solubilidade de equações diferenciais análoga à teoria de solubilidade de equações algébricas de Galois, inventou a teoria geral dos grupos contínuos de transformações (hoje conhecidos como grupos de Lie) em 1885-6.As pesquisas de Riemann também influenciaram questões da filosofia do espaço físico. William Clifford (1845-1879) formulou um programa de geometrização a física onde ele admitia a possibilidade de que pequenas variações de curvatura, dependentes do tempo, podem ocorrer de ponto para ponto no nosso espaço e causar efeitos que nós atribuímos a causas físicas. Também a esse respeito, Poincaré escreveu que espaço e tempo assim como todas as leis da natureza são meros símbolos criados pelo homem para a sua conveniência, e que as hipóteses fundamentais da geometria não são fatos baseados nem em lógica nem em experiência, mas que a observação de certos fenômenos físicos nos leva a acolher certas hipóteses em detrimento de outras. Albert Einstein (1879-1955), ao contrário de Poincaré, parte da realidade física e da possibilidade de escolher arbitrariamente axiomas geométricos que, conjuntamente com as leis físicas, devem confrontar a experiência. Assim ele acredita que a questão de saber qual geometria concebível corresponde à geometria do mundo real deve ser decidida experimentalmente. 19 Fonte: 3.bp.blogspot.com A apresentação da teoria geral da relatividade foi iniciada por Einstein juntamente com o matemático alemão Marcel Grossmann (1878-1936) em Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und Theorie der Gravitation (1913) e concluída com Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie (1916). O mais importante elemento dessa teoria é a interpretação geométrica da gravidade: a densidade da matéria numa certa região, e portanto a intensidade do campo gravitacional é proporcional à curvatura do espaço-tempo na métrica pseudo- Riemanniana13. Essa teoria deu grande ímpeto ao avanço da geometria diferencial. Já no artigo de 1913 Einstein e Grossmann usaram o cálculo tensorial criado em 1884 pelo geômetra italiano Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) e subsequentemente desenvolvido com o seu aluno Tullio Levi-Civita (1873-1941) em 1901, o qual era uma reformulação das idéias de Christoffel que permitia considerar objetos do cálculo diferencial em variedades independentemente da escolha de coordenadas. Esse interesse ampliado em geometria Riemanniana advindo da teoria da relatividade levou mais tarde Levi-Civita a descobrir o importante conceito de transporte paralelo de vetores (1917). Por sua vez, as tentativas de se unificar as teorias do campo gravitacional e eletromagnético também beneficiaram a geometria e incentivaram o desenvolvimento do conceito de conexões afins em espaços fibrados através dos 13 Generalização da métrica Riemanniana. 20 sucessivos esforços de Weyl (1918), Schouten (1922), Cartan (1923) e Ehresmann (1950). As variedades introduzidas por Riemann e os grupos introduzidos por Lie, assim como outros espaços considerados pelos geômetras até o início do século XX tinham em geral um carácter local - estavam definidos apenas no domínio de uma sistema de coordenadas. Mas mesmo sem contar com definições precisas, em 1857 Riemann havia introduzido idéias globais com suas superfícies de Riemann em teoria de funções analíticas e mais tarde, a partir de 1895, Poincaré iniciou o estudo da topologia global de variedades tridimensionais. O crescente interesse dos matemáticos pela nova área da topologia14 repercutiu entre os geômetras. Em 1912, no livro de Weyl sobre superfícies de Riemann, apareceu uma definição do conceito global de variedade diferenciável mostrando como “colar” os diversos sistemas de coordenadas de maneira compatível a fim de formar um “atlas”. Em 1924 o mesmo Weyl reconheceu a importância dos métodos topológicos na teoria dos grupos de Lie e assim inaugurou o ponto de vista global nessa teoria. O conceito de variedade diferenciável global amadureceu até atingir o seu formato definitivo com os trabalhos de O. Veblen e J. H. C. Whitehead (1933) e H. Whitney (1936). Fonte: www.culturamix.com 14 Tipo de geometria inventado por Poincaré que não se ocupa de propriedades métricas dos objetos mas apenas de suas propriedades invariantes por deformações contínuas. Em topologia, o ponto de vista global é freqüentemente substancialmente mais importante do que o local. 21 Como consequência da evolução do conceito de variedade diferenciável, antigos problemas em geometria foram revistos sob o novo ponto de vista global e novos problemas surgiram. S. Cohn-Vossen, W. Blaschke, S. S. Chern e outros estudaram as propriedades globais relacionando os invariantes Riemannianos com a topologia das variedades. H. Poincaré, G. Birkhoff, M. Morse, J. Hadamard e E. Hopf estudaram várias propriedades de geodésicas de diversos pontos de vistas diferentes. H. Hopf estudou as propriedades globais dos espaços de curvatura constante e É. Cartan definiu e investigou exaustivamente os espaços simétricos, uma classe notável de variedades Riemannianas. Através desse esforço monumental, a geometria Riemanniana foi ligada a diversas áreas de matemática, e foi reconhecido que a relação entre as propriedades locais determinadas pelas métricas Riemannianas (e. g. curvatura) e as propriedades globais relacionadas com a estrutura global da variedade (e. g. invariantes topológicos) são importantes objetos de investigação (e. g. o teorema de Gauss-Bonnet generalizado). Através da noção de completude introduzida por H. Hopf e W. Rinow (1931), as noções globais foram firmemente estabelecidas. A geometria diferencial que foi desenvolvida durante o período que vai da época de Riemann até a Segunda Guerra Mundial pode ser chamada de “geometria Riemanniana clássica”. Ela corresponde mais ou menos ao que é usualmente lecionado em um primeiro curso de pós-graduação em geometria Riemanniana (a teoria de superfícies de Gauss faz parte dos currículos de graduação). O texto básico correntemente em uso, e que contém também a moderna teoria de conexões criada nos anos 50, é o Foundations of Differential Geometry, em dois volumes, de S. Kobayashi e K. Nomizu (1963-9). Um dos resultados mais importantes do pós-guerra é o teorema da esfera que foi demonstrado através dos sucessivos esforços de H. Rauch, M. Berger, V. Toponogov e W. Klingenberg entre 1951 e 1961. Aqui, métodos de comparação, que comparam uma variedade Riemanniana dada com uma variedade Riemanniana de curvatura constante em termos de alguns invariantes geométricos, foram desenvolvidos. Desde então esses métodos têm conduzido a outros teoremas profundos relacionados com a seguinte pergunta: como é o espaço formado por todas aquelas variedades Riemannianas que estão sujeitas à limitação de determinados elementos geométricos (como curvatura, diâmetro, volume etc.)? As idéias de Mikhail Gromov, considerado por muitos o maior geômetra em atividade (suas idéias 22 ultrapassam as fronteiras da geometria e chegam a ter alcance em outras áreas de matemática, como teoria dos grupos e análise funcional), têm sido uma das principais fontes promotoras de desenvolvimento recente em geometria Riemanniana e têm inspirado um sem-número de excelentes jovens geômetras. 2.1 NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA Fonte: mathmatterscaddo.weebly.com A palavra Geometria tem origem grega e significa medida da Terra (geo = Terra, metria = medida). Para se aprender Geometria é necessário partir de três noções importantes, adotadas sem definição e por essa razão, chamadas de primitivas geométricas: Ponto: “A marca de uma ponta de lápis bem fina no papel dá a ideia do que é um ponto. Toda figura geométrica é considerada um conjunto de pontos.”(Imenes & Lellis. Microdicionário de Matemática. São Paulo: Scipione, 1998). Ponto P Costuma-se representar pontos por letras maiúsculas do nosso alfabeto. Reta: uma linha traçada com régua é uma reta. Imagine agora uma linha reta sem começo, sem fim, sem espessura. É assim que se concebe uma reta em matemática. (Imenes & Lellis. Microdicionário de Matemática. São Paulo: Scipione, 1998). 23 Reta r As retas são representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto. Plano: A superfície de uma mesa é plana. Imagine que tal superfície, conservando-se plana, se estenda infinitamente em todas as direções. A nova superfície assim obtida é um plano. (Imenes & Lellis. Microdicionário de Matemática. São Paulo: Scipione, 1998). Plano Os planos são representados por letras gregas minúsculas. Por exemplo: α (alfa), β (beta) e γ (gama). Outras definições geométricas importantes: Semirreta: Escolhendo-se um ponto sobre uma reta, formamos duas semirretas: A reta r Costuma-se dizer que as semirretas têm começo, mas não tem fim, já que é uma parte da reta. Segmento de reta: é uma parte da reta compreendida entre dois de seus pontos. É representado pelos dois pontos que o limita, estes são chamados de extremos. Costuma-se dizer que um segmento de reta tem começo e fim. Segmento AB 24 Ângulo: é o espaço compreendido entre duas semirretas de mesma origem, ou seja, que iniciam no mesmo ponto. Ângulo AÔB Ao nomear um ângulo devemos prestar atenção, pois o ponto de origem das semirretas, também chamado de vértice do ângulo deve ficar no centro e apresentar o símbolo ^ que significa ângulo. As unidades para medir ângulos são chamadas graus e o instrumento usado para medi-los é o transferidor: Para utilizá-lo, deve-se colocar seu centro (C) sobre o vértice do ângulo e sua linha base sobre um dos lados do ângulo. O valor apontado pelo outro lado do ângulo será igual à medida deste. Classificação dos ângulos: Quando um ângulo mede 90º chamamos de ângulo reto. Como o ângulo de 90º é muito utilizado (é só olhar nos cantos da sala de aula ou de uma mesa retangular, por exemplo), ao invés de colocar sua medida em 25 números, utiliza-se do símbolo: Quando ele mede menos de 90º é chamado de ângulo agudo. Quando ele mede mais de 90º é chamado de ângulo obtuso. Retas (ou segmentos) paralelas: dizemos que duas ou mais retas (ou segmentos) são paralelos quando a distância entre as retas (ou segmentos) não se altera. diz-se que r//s (r é paralela a s). Retas concorrentes: são assim chamadas as retas que se encontram em um ponto: São representadas por r X s. Retas (ou segmentos) perpendiculares: duas retas são chamadas perpendiculares quando são concorrentes e o ângulo formado entre elas mede 90º. diz-se que r s (r é perpendicular a s). s r 26 2.2 FIGURAS GEOMÉTRICAS Fonte: www.escolakids.com Polígonos: As figuras geométricas recebem nomes diferentes dependendo da quantidade de lados que possuem. Abaixo você encontrará alguns desses nomes: Número de lados Nome Número de lados Nome 3 Triângulo 7 Heptágono 4 Quadrilátero 8 Octógono 5 Pentágono 9 Eneágono 6 Hexágono 10 Decágono Um polígono é chamado regular quando seus lados têm todos a mesma medida e seus ângulos tem medidas iguais. Estas figuras são muito utilizadas para se fazer mosaicos, em pavimentos de ruas, no chão de casas etc. Entre os quadriláteros temos várias figuras, algumas com características especiais como por exemplo: 1. Trapézio: possui dois lados paralelos. 27 2. Paralelogramo: possui lados opostos paralelos. Todo paralelogramos é também trapézios pois tem dois lados paralelos. 3. Retângulo: possui lados opostos iguais e todos os ângulos medem 90º. Todos os retângulos são também paralelogramos pois tem lados opostos paralelos. 4. Quadrado: possui quatro lados de mesma medida e os quatro ângulos medem 90º. Podemos dizer que os quadrados são um tipo especial de retângulo: um retângulo de 4 lados iguais. SUGESTÃO DE ATIVIDADE: TANGRAM 28 O Tangram é um quebra-cabeça chinês antigo. O nome significa "7 tábuas da sabedoria". Ele é composto de sete peças: 5 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo. Além do quadrado, diversas outras formas podem ser obtidas, sempre observando duas regras: todas as peças devem ser sempre usadas e não é permitido sobrepô-las. Entre as figuras que podem ser montadas tem-se: Fonte: portaldoprofessor.mec.gov.br Fonte: encrypted-tbn0.gstatic.com Circunferência: 29 É uma linha fechada onde cada ponto está a uma mesma distância do seu centro (C). Para se desenhar uma circunferência, costuma-se utilizar-se um instrumento chamado compasso: Fonte: www.realmais.com.br Outros elementos importantes da circunferência: Raio(r): é o segmento que une o centro a qualquer ponto da circunferência. 30 Corda: é um segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência. Diâmetro(d): é uma corda que passa pelo centro. Pode-se observar que o diâmetro é igual a dois raios, ou seja, d = 2.r Quando se considera o interior da circunferência, e não apenas seu contorno, tem-se um círculo. GEOMETRIA ESPACIAL Fonte: matematicadegraca.com.br Ao observarmos objetos do nosso dia-a-dia, como por exemplo uma caixa de sapato, podemos perceber que nem todos os seus lados ficam em cima de um mesmo plano. Por esta razão, estas figuras são chamadas de figuras espaciais. Em uma figura espacial, temos, por exemplo: Faces: são os “lados” do objeto; Vértices: pontos comuns às arestas dos objetos; Arestas: segmento onde duas faces se encontram. As figuras espaciais também têm nomes especiais assim como os polígonos. Abaixo se encontram alguns deles: Face Vértice Aresta 31 Paralelepípedo ou bloco retangular Todas as suas faces são retangulares, por exemplo, o desenho acima. Cubo É um paralelepípedo onde todas as faces são quadrados. Prisma As bases são um polígono qualquer e as faces são retangulares. Exemplos: Prisma de base triangular prisma de base hexagonal Quando o prisma apresenta as bases retangulares temos um paralelepípedo. Portanto, podemos dizer que o paralelepípedo é um tipo especial de prisma. Pirâmide: A base é um polígono qualquer, as faces são triângulos e estes se encontram em um único ponto chamado vértice da pirâmide. A mais conhecida é a pirâmide de base quadrada. 32 Pirâmide de base quadrada Quando toda a base é também um triângulo, a pirâmide é chamada tetraedro. Cilindro Tem bases circulares. Esfera Todos os seus pontos estão a uma mesma distância de seu centro. 33 Por exemplo, as bolas: 3 BIBLIOGRAFIA PARA ESTUDOS COMPLEMENTARES 1. Atividades e jogos com Áreas e Volumes – Investigação Matemática Marion Smoothey Papirus Scipione, 1997 2. Retângulo áureo, divisão áurea e sequência de Fibonacci Geraldo Ávila Revista do Professor de Matemática – n. 6 3. Atividades de Geometria – Coleção Matemática:aprendendo e ensinando Nilson José Machado Atual, 1996 4. Aprendendo e Ensinando Geometria Mary M. Lindquist e Albert P. Shulte Atual, 1994 5. O uso de quadriculados no ensino da Geometria Fusako H. Ochi, Rosa M. Paulo, Joana H. Yokoia e João K. Ikegami IME/USP, 1992 6. O ensino de Geometria no Ensino Fundamental – três questões para a formação do professor dos ciclos iniciais Maria Fonseca, Maria Lopes, Maria Barbosa, Maria Gomes e Mônica Dayrell 34 Editora Autêntica, 2001 7. Explorando figuras feitas com palitos: áreas e perímetros Joaquim Giménez Educação Matemática em Revista – ano 3, n. 5, 1996 8. Quebra-cabeças geométricos e formas planas – conversando com o professor Ana Maria Kaleff EDUFF, 1997 9. A matemática das sete peças do Tangram Eliane Reame Souza CAEM/USP, 1995 10. Geometria experimental: livro do aluno UNICAMP/FAE, 1985 35 4 ARTIGO PARA REFLEXÃO AUTORES: Maria Lucia Cordeiro Rogenski e Sandra Mara Dias Pedroso DISPONÍVEL EM: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/44-4.pdf ACESSO: 27 de julho de 2018 O ENSINO DA GEOMETRIA NA EDUCAÇAO BÁSICA: REALIDADE E POSSIBILIDADES Maria Lucia Cordeiro Rogenski Profª PDE de Matemática da Rede Estadual de Ensino, Colégio E. Polivalente, Ponta Grossa-PR. Email: mlcrogenski@yahoo.com.br Sandra Mara Dias Pedroso Profª do Departamento de Métodos e Técnicas, Estágio Supervisionado de Biologia (UEPG), Faculdade União, Faculdade Sant’Ana, Instituto de Educação César P. Martinez. E-mail: sandrrinha@bol.com.br. Orientadora PDE Resumo O presente artigo relata a investigação, realizada com alunos do 2º ano do Ensino Médio, abordando a matemática a partir de diferentes situações da realidade do aluno, possibilidade esta amplamente encontrada na geometria. Partindo dessas situações vivenciadas pelo aluno, é possível explorar diversos conceitos geométricos, desde o reconhecimento da percepção espacial e visualização até conceitos mais complexos tratados no ensino médio, não apenas para a matemática como também para as demais áreas de ensino. Foi utilizado o cinema como ponto de partida, relacionando-o às artes, à biologia, à arquitetura e a outros aspectos do mundo físico, assim, pretendeu- se demonstrar aos alunos que a geometria está presente em diversas situações do cotidiano e que é possível associá-la aos conteúdos trabalhados em sala de aula. Para isso, foram abordados conceitos relacionados à proporção, número de ouro e sequências. Os alunos interagiram com o corpo humano, com as obras de arte, com a natureza, com os sólidos e com as figuras geométricas, realizando observações, medições, construções e cálculos. Por fim, através da investigação verificou-se que os alunos apresentavam dificuldades de conceituação e visualização geométrica. Contudo, buscou-se, com a realização das atividades propostas, minimizar as dificuldades apresentadas e reconstruir conceitos, tornando-os participantes de um ambiente de aprendizagem significativa. Palavras-chave: visualização; geometria da natureza; sólidos geométricos; percepção espacial; geometria das artes. Introdução 36 Estamos imersos num mundo de formas. Para onde quer que se direcione o olhar, as ideias geométricas estão presentes no mundo tridimensional, seja na natureza, nas artes, na arquitetura ou em outras áreas do conhecimento. Daí a constituição da geometria como um dos conteúdos estruturantes para o Ensino Fundamental e para o Ensino Médio. Essa é ponte que une diferentes conteúdos, é rica em elementos facilitadores à aprendizagem da álgebra e números. Sabe-se que a geometria é considerada a ciência do espaço, pois trabalha com formas e medições, nesse sentido, as Diretrizes Curriculares Estaduais contribuem ao dizer que “conhecer Geometria implica em reconhecer-se num dado espaço e, a partir dele, localizar-se no plano”. Essa ciência favorece a percepção espacial e a visualização, sendo conhecimento relevante para as diferentes áreas, permitindo que o aluno desenvolva sua percepção, sua linguagem e raciocínio geométrico de forma a construir conceitos. Tomando-se por base as experiências da prática pedagógica, verifica-se a dificuldade dos alunos de Ensino Médio quando se trata da Geometria Espacial, com relação à visualização, conhecimentos básicos da geometria plana e nas relações existentes entre as formas. Quando o aluno se depara com cálculos de área e volume, o entendimento torna-se ainda mais complicado, realiza-os por mecanização, não entendendo a aplicação em novas situações. Esse fato ocorre devido à defasagem existente no Ensino Fundamental, em que a geometria nem sempre é apresentada ao aluno inter-relacionada com os demais conteúdos estruturantes, como a álgebra e números, torna-se mera ilustração e exemplificação, sem entendimento de conceitos e propriedades. Em estudos realizados percebe-se que “na prática, vem sendo dada à geometria menos atenção do que ao trabalho com outros temas e, muitas vezes confunde-se seu ensino com o ensino de geometria” afirmação de Almouloud (citado por Machado, 2003, p.125). Buscou-se, portanto, a abordagem no Ensino Médio, dos conceitos geométricos não compreendidos anteriormente, partindo de situações do mundo real, de forma que os alunos desenvolvam sua percepção espacial e a visualização tão necessárias para que a geometria seja a conexão didática pedagógica da Matemática e demais áreas do conhecimento. A pesquisa teve como proposta resgatar, nos alunos de Ensino Médio, a visualização, a representação e a interpretação geométrica, presentes nos aspectos globais e/ou corriqueiros, dessa forma, buscando proporcionar o entendimento desse conhecimento e a correlação com os conteúdos de sala de aula, utilizando-se dessas 37 informações para facilitar as relações com as outras áreas da matemática e diferentes áreas do conhecimento. Os autores que pontuam a respeito desse tema são Kallef, Lindquist e Fainguelernt. A organização do presente texto está abordando num primeiro momento a definição de geometria, na sequência a relação da autora com o tema, a geometria no livro didático, as questões da globalização e da informática, os recursos metodológicos e uma breve síntese da pesquisa. Geometrias Quando pensamos em geometria reportamo-nos a algumas imagens e conceitos. Sabe-se que a Geometria, segundo Ferreira (1999, p.983) é ciência que investiga as formas e as dimensões dos seres matemáticos” ou ainda “um ramo da matemática que estuda as formas, plana e espacial, com as suas propriedades, ou ainda, ramo da matemática que estuda a extensão e as propriedades das figuras (geometria Plana) e dos sólidos (geometria no espaço). Ainda pode-se acrescentar que de acordo com Boyer (1996, p. 5), “o desenvolvimento da geometria pode ter sido estimulado por necessidades práticas de construção e demarcação de terras, ou por sentimentos estéticos em relação a configurações e ordem”. Etimologicamente a palavra geometria (geo+metria) significa “medição da terra”. A partir dessa definição, é fundamental reconhecer o que está presente no mundo físico e visualizar aquilo que é apresentado tridimensionalmente, para avançar na construção de conceitos dentro da geometria e no entendimento dessas informações visuais. Nesse sentido, Kaleff (2003, p.14) cita os estudos de Van Hiele em que “a visualização, a análise e a organização informal (síntese) das propriedades geométricas relativas a um conceito geométrico são passos preparatórios para o entendimento da formalização do conceito”. A preocupaçãocom a visualização em geometria é citada pela autora (idem, p.15), baseada em pesquisas em Educação Matemática que “(...) apontaram para a importância de se incentivar nos meios educacionais o desenvolvimento de habilidades de visualizar”. 38 Conforme citado por Ferreira (1996, p.1784), visualizar é “formar ou conceber uma imagem visual, mental de (algo que não se tem ante os olhos no momento)” e visualização “ato ou efeito de visualizar” ou “transformação de conceitos abstratos em imagens real ou mentalmente visíveis”. No que se refere à visualização, o uso de materiais manipulativos, um desenho ou outro modelo, servem de representação para gerar uma imagem mental, permitindo evocar o objeto na sua ausência, inicia-se um processo de raciocínio visual, facilitando a representação de um esboço gráfico ou modelo manuseável. Conforme Lindquist (1994, p. 77) “materiais de manipulação fornecem oportunidades para raciocinar com objetos e, portanto, para ensinar a resolver problemas e ensinar para resolver problemas”. O aluno recorre à habilidade de visualização para executar diferentes processos mentais. Porém, os materiais concretos permitem ver o objeto em estudo, mas não garantem a habilidade de visualização, que segundo Kaleff (idem, p.17) “não é inata a todos os indivíduos”. Dessa forma, encontramos indivíduos que visualizam e outros que não- visualizam. Sendo assim, a exploração de diferentes materiais manuseáveis aguça a curiosidade e oportuniza o desenvolvimento da percepção sensorial. Por meio de situações cotidianas ou das diferentes áreas do ensino, a interpretação dessas informações visuais requer treinamento, partindo do que é mais simples como um esboço, até situações mais complexas como um mapa que indique o caminho entre duas localidades, (...) sofisticadas representações gráficas (...), de plantas de objetos, de imagens impressas em fotos ou raio-X, de imagens observadas em microscópio ou de imagens pintadas por artistas representando a natureza ou suas visões próprias(...). (idem) Os conteúdos trabalhados em sala de aula, quando partem de situações vivenciadas pelo aluno, facilitam o entendimento do “espaço como referência, de modo que seja possível situá-lo, analisá-lo e perceber seus objetos para então ser representado” e, posteriormente, explorar todas as propriedades dos objetos. Para a geometria é importante partir de “objetos que tenham relação com as formas geométricas usuais”, aqueles que lembram os sólidos geométricos e que estão ao nosso alcance. (DCE’s, p.30-31) 39 Com isso, percebe-se a importância de fazer com que os alunos desenvolvam um olhar geométrico sobre a realidade de forma a “construir e apropriar-se de conceitos geométricos abstratos, sobretudo daqueles que se referem ao objeto geométrico em si”. (idem, p.37). Concordando com Dienes (1974, p.01), “os conceitos não se ensinam – tudo que se pode fazer é criar, apresentar situações e as ocorrências que ajudarão a formá- los”. Assim, é primordial permitir que os alunos façam atividades experimentais e através de diferentes situações formem os conceitos que serão utilizados em outros momentos no decorrer de sua aprendizagem. Vivências em geometria Ao optar-se pela pesquisa sobre a geometria espacial, toma-se como ponto de partida aquilo que já se experimentou em sala de aula, com alunos do Ensino Fundamental e, principalmente, do Ensino Médio. No que se refere às aulas de geometria espacial e geometria analítica, verifica-se que os alunos têm amplas dificuldades, primeiramente com relação à visualização e representação, pois reconhecem poucos conceitos da geometria básica e, por conseguinte da geometria espacial. Também apresentam problemas de percepção das relações existentes entre os objetos de identificação das propriedades das figuras que formam os sólidos, dentre outros conceitos. Quando se deparam com cálculos de área ou volume, realizam aqueles de aplicação direta e apresentam certa dificuldade em situações mais complexas, como no entendimento da sistematização. Nesse caso, acompanham o raciocínio utilizado na realização das atividades, porém aplicá-lo em outra situação torna-se complicado. Conforme citado por Lindquist (p.240) “são cada vez maiores os indícios de que as dificuldades de nossos alunos em cálculo se devem a uma formação deficiente em geometria”. Sugere a autora que o papel da geometria seja ampliado de forma que “seu estudo propiciará a prontidão para o cálculo e desenvolverá a visualização espacial” (idem). Percebe-se então, que toda a problemática encontra-se nos conhecimentos básicos do Ensino Fundamental, seja no encaminhamento da prática, como nos recursos. Geometria no livro didático 40 As considerações anteriores instigaram a análise de livros didáticos utilizados em sala de aula, a partir da quinta série. Percebeu-se que diversos autores sugerem que a geometria seja explorada ao longo do período letivo, intercalada com outros conteúdos da série, e que não seja conteúdo tratado apenas no final desse. Os professores, conforme pesquisas realizadas, devido à sua formação têm uma tendência em pensar que a geometria é assunto para segundo plano, sendo que os outros assuntos de álgebra, por exemplo, são mais importantes e por isso têm prioridade. Nesse sentido, no artigo de Ivan Nivem, organizado por Lindquist (p.50) ele acrescenta que “devemos ensinar geometria como geometria, do mesmo modo como a álgebra e o cálculo são ensinados”. Essas ideias são reforçadas por Lorenzato (2006, p.59) quando afirma que “por mais conhecimentos sobre outras partes da matemática que alguém possuir, eles não serão suficientes para resolver questões que demandarem percepção e raciocínio geométrico”. Assim, a matemática apresenta questões que exigem uma maneira própria de raciocínio que é desenvolvido apenas pelo estudo da geometria. No entanto, estudos esclarecem que a geometria promove o entendimento de diferentes conteúdos matemáticos, é por isso que precisa ser trabalhada em conjunto com cada conteúdo, pois dessa forma os alunos entenderão melhor até mesmo o cálculo algébrico, que, muitas vezes, parece ser abstrato. A abordagem de conceitos e construções geométricas, no Ensino Fundamental, é de grande importância para o entendimento de outros conteúdos do Ensino Médio, seja na trigonometria, na geometria espacial e analítica, entre outros das diferentes áreas de ensino. A geometria está presente na física, na natureza, nas obras de arte, no artesanato, nas esculturas, nas pinturas, nas artes em geral, portanto faz-se imprescindível sua integração às outras disciplinas. Assim reforça as Diretrizes Curriculares (idem, p.37) ao dizer que “A geometria é rica em elementos que favorecem a percepção espacial e a visualização; constitui, portanto, conhecimentos relevantes, inclusive para outras disciplinas escolares”. Também postula que a geometria é elemento importante de conexão, interligando-se com a álgebra e a aritmética, citando Lorenzato (1995, p.7) esclarece que “conceitos, propriedades e questões aritméticas ou algébricas podem ser clarificados pela geometria, que realiza uma verdadeira tradução para o aprendiz”. 41 Cabe destacar, conforme Lindquist (1994, p.50), que a geometria não deve servir apenas como exemplificação, pois se o aluno não visualiza e não entende os significados do que está vendo, será desnecessária a ilustração geométrica, além de não atingir o objetivo que é fazer a interrelação entre os conteúdos, pois Nossa questão principal, então, é libertar a geometria elementar de seu papel tradicional de servir como introduçãogeral à estrutura axiomática da matemática. Por que deveria o primeiro curso de geometria carregar o fardo especial de ilustrar e exemplificar os fundamentos da matemática? Acredita-se que para chegar ao entendimento de conceitos da geometria espacial é imprescindível, tendo como ponto de partida todas as situações possíveis do cotidiano com as quais se pode deparar, a reexploração dos conceitos básicos, para tentar minimizar os impasses existentes, conforme já citado. O mundo globalizado Estamos vivendo na era midiática, em que as tecnologias estão presentes desde os mais simples equipamentos até os mais sofisticados, de forma que provocam alterações nas relações humanas e na organização do trabalho, num modelo de sociedade que exige um trabalhador flexível, que se adapte facilmente, seja criativo, atualizado e em constante aperfeiçoamento. Conforme cita Teruya (2006, p.75) “o uso do computador no ensino deve criar ambientes de aprendizagem com novas formas de pensar e aprender”. Os alunos estão cada vez mais se utilizando de recursos oferecidos pelas tecnologias da comunicação e da informação, dessa forma, não se pode deixar de lado esses recursos também nas escolas. “(...) como o uso de computadores, de vídeo, de redes, de multimídias, permitem acesso à pesquisa e a informações novas, de forma mais interessante e envolvente, o que facilita o processo ensino- aprendizagem” (idem, p.88). Assim, a proposta de pesquisa foi desenvolvida a partir de situações do cotidiano percebidas na natureza, nas construções, nas artes, nas embalagens, no artesanato, dentre outras áreas, como na física e na geografia. A partir dessa relação com a realidade, exploraram-se situações e utilizou-se de materiais manipuláveis para o desenvolvimento da visualização e da construção de conceitos geométricos, apontando para a possibilidade da construção de conceitos, utilizando-se das mídias tecnológicas. 42 Recursos metodológicos Tendo como ponto de partida, o cinema, atividade considerada atraente para os alunos dessa faixa etária, buscou-se a exploração da história do cinema e com uma sessão na própria escola, orientando os alunos a observarem os aspectos matemáticos existentes. Por meio do filme e de seus comentários, contemplaram-se os aspectos da matemática relacionados à biologia e às artes, culminando com a geometria espacial, que é o objetivo do trabalho aqui apresentado. Muitos foram os objetivos almejados com a realização desse trabalho, dentre eles o de aproximar os temas apresentados nos filmes da realidade em que vivem os alunos, tornando para eles o tópico em questão ainda mais cativante e intenso. Além disso, buscou-se explorar os aspectos matemáticos presentes no filme, em correlação com as demais áreas do conhecimento e ainda o desenvolvimento da sensibilidade para melhor usufruírem e sentirem as artes. Outro objetivo foi de proporcionar que os alunos identifiquem, no mundo físico, a presença de aspectos matemáticos e sua importância para o entendimento de variadas situações, além da percepção do homem como agente de produção de conhecimento cultural, artístico e científico, ao longo de toda a sua história. Com isso, surgiu um questionamento: de que forma pode o professor apresentar aos alunos novas perspectivas e fazê-los descobrir as belezas da matemática? Um dos caminhos é fazer a conexão da matemática com a arte, já que essas áreas do conhecimento caminham juntas e são fundamentais à evolução do ser humano. Tudo isso contribui para o desenvolvimento do pensamento crítico, da sensibilidade, tão necessários num mundo de individualismo e da criatividade na solução de problemas que surgem na vida pessoal e profissional. Também colabora na construção de uma sociedade mais humana e justa, desenvolvendo o ser humano integralmente, fortalecendo-o como agente modificador da realidade na qual está inserido. Conforme afirmado pelas Diretrizes Curriculares Estaduais (p.24), “pela apropriação do conteúdo matemático, o estudante também se apropria de conhecimentos que lhe possibilitam criar relações sociais”. 43 O ensino de matemática relacionado à arte torna-se mais atrativo, criativo e de encantamento pelo assunto em questão, o que propicia que os alunos tenham novos olhares sobre essa disciplina. Esse foi um dos motivos que influenciou o estudo de conceitos matemáticos envolvidos nas artes, entre eles sólidos e figuras geométricas, proporção e perspectiva. Sabe-se que a matemática desenvolve o raciocínio dedutivo e auxilia na estruturação do pensamento, além disso, também está presente nas diferentes atividades humanas e áreas do conhecimento. É por isso que se buscou, por meio desse estudo, associar a arte à matemática. As artes propiciam a ampliação do universo cultural e da participação social, tendo em vista que toda produção artística faz parte de um contexto histórico, social, filosófico, religioso, cultural e político, denunciando violências e injustiças. Segundo Oliveira (2006, p.20) “a experiência estética que a arte proporciona é uma forma de felicidade muito especial porque é transformadora. Ela modifica pela emoção que proporciona”. Muitos aspectos da matemática estão presentes nas obras de arte de diversos artistas, nas pirâmides do Egito, em estátuas gigantescas, no Parthenon, em mosaicos que repetem padrões, no Coliseu com forma circular, entre outros exemplos. Contribuindo com essas ideias têm-se a citação de Fainguelernt (2006, p.26) que diz: “Escher utilizava a matemática como ferramenta que lhe ampliava a percepção e a exploração”. De forma a aplicar os conceitos acima apresentados colocou-se em prática a proposta de investigação, que contemplou a presença do número de ouro nas proporções do corpo humano, a partir do homem vitruviano citado no filme. Nessa atividade os alunos tiveram a oportunidade de realizar medições de diferentes partes do corpo e calcular a razão existente entre essas medidas, chegando-se à razão áurea que representa a harmonia do corpo humano. Esse estudo das proporções do corpo humano é importante para o trabalho realizado por pintores e escultores e foi iniciado por Leonardo da Vinci. Após serem feitas as medições, os alunos realizaram um desenho livre do corpo humano e, posteriormente, um desenho orientado, em que foram indicadas as proporções do corpo com relação ao tamanho da cabeça. 44 Tem-se conhecimento de que o corpo humano adulto mede de 7,5 a 8 medidas da cabeça, assim foi possível desenhar uma pessoa, permitindo que seus braços, pernas, cabeça e outras partes fossem proporcionais e apresentassem harmonia. Nas obras de arte e arquitetônicas também se encontra a proporção áurea, conferindo valor harmônico aos olhos de quem observa. Baseandose na informação de que diversos artistas utilizam-se da proporção áurea em suas obras, realizou-se com os alunos, no laboratório de informática, uma pesquisa sobre o assunto. Em seguida, explorando outros aspectos matemáticos do filme, por meio da observação do homem vitruviano inscrito em figuras geométricas – o círculo e o quadrado – foi realizada a atividade de construção do pentagrama e do retângulo de ouro, os quais surgem na forma de dobraduras e também com utilização de régua e compasso. A partir dessa atividade, outras figuras geométricas foram sendo identificadas e exploradas. A sequência de Fibonacci foi outro aspecto matemático identificado pelos alunos, ela pode ser obtida iniciando-se com o zero e o um, os números seguintes originam-se a partir da soma de seus dois antecessores. Ao realizar a divisão de cada número pelo seu antecessor,percebe-se um valor constante que é o número de ouro. Com os resultados obtidos criou-se um gráfico, no qual o eixo horizontal indica os elementos da sequência de Fibonacci, com isso observou-se a constante que resulta desses valores. Essa sequência está presente em diversos aspectos da natureza, um dos exemplos típicos é o problema dos coelhos. Assim, a fim de identificar esse caso, proporcionou-se aos alunos que realizassem os cálculos do número de coelhos, ao final de um ano. Ainda em relação à sequência, mostrou-se aos alunos que é possível observá- la até mesmo no cotidiano, tendo em vista sua presença nas espirais das pinhas das coníferas, na disposição das sementes do girassol, na concha dos moluscos, na casca do abacaxi, nos brócolis, na disposição e organização das pétalas nas flores, das folhas nos caules e dos ramos das árvores entre outras tantos exemplos. Todas essas situações foram exploradas por meio de pesquisas, em sites que abordavam o assunto. Além disso, levaram-se, para a sala de aula, objetos concretos como pinhas e abacaxi para identificação das espirais, de modo que os alunos puderam realizar o manuseio e observação desses objetos. 45 Em outra situação, os alunos construíram a espiral em papel quadriculado a partir da junção de dois quadrados de lado 1, obtendo-se um retângulo de lado 2x1. Ao anexarem outro quadrado de lado 2, os alunos obtiveram um retângulo de lado 3x2. Eles também anexaram quadrados de lados iguais ao maior dos comprimentos, dos quais obtiveram a sequência de Fibonacci. Da mesma forma, foi possível realizarem a construção geométrica da espiral, utilizando-se compasso e régua, isso pode ser observado na concha de moluscos. A sequência de Fibonacci e suas relações áureas também foram verificadas no retângulo áureo, esse de ampla aplicação em diversas áreas, ao realizar a sua construção geométrica a partir de um quadrado de lado unitário. Após essas abordagens iniciais, considerou-se que seria importante a aplicação do teste de Van Hiele, adaptado por Nasser (2006, p. 83-85), citado no início desse artigo. Esse teste possibilitou a identificação do nível geométrico em que se encontravam os alunos. Ele foi aplicado em 3 etapas, pois à medida que avançavam em cada uma delas, encontravam as respostas do nível anterior. Na primeira etapa, as atividades propostas apresentam-se no nível de reconhecimento das figuras geométricas, associando nomes às figuras. Avançando para a etapa 2, agora no nível de análise, foram analisadas as figuras, conforme suas propriedades. Finalmente, na terceira etapa, nível de abstração, propiciou-se que fossem compreendidas as inter-relações entre as figuras geométricas e suas definições. Buscou-se simultaneamente a abordagem de figuras tridimensionais e bidimensionais, relacionando-as, inicialmente, aos sólidos geométricos presentes no filme, identificados ou não pelos alunos. Entre os sólidos geométricos estava a pirâmide, o cubo, o paralelepípedo, o cilindro e outros. Dessa maneira, foi possível fazer com que os alunos recordassem os polígonos, a partir dos poliedros que foram sendo explorados, por meio da realização de atividades de identificação de semelhanças e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais diversas, bem como cálculos de área. A partir dos aspectos encontrados no mundo físico, os alunos construíram a representação dos sólidos geométricos considerados relevantes para estudos, principalmente os sólidos geométricos de Platão, com diferentes materiais e que possuem aplicação prática nas construções, nas embalagens e em outras situações. 46 Com a representação dos sólidos geométricos, abordou-se a geometria espacial, partindo-se da visualização dos elementos geométricos e suas relações, avançando para os cálculos de área total e volume dos poliedros. Essa proposta fez com que se efetivassem alguns conteúdos como a geometria não euclidiana: dos fractais, a geometria hiperbólica e esférica. Foram exploradas questões que são possíveis de serem resolvidas somente pela geometria não euclidiana, como medições de ângulos em superfícies esféricas e a sua comparação com a geometria euclidiana, que é trabalhada no currículo escolar. Apresentação dos resultados Nesse trabalho, o que motivou a utilização de cinema, exploração de obras de arte e a biologia foi a leitura do livro “A Matemática e a Mona Lisa”, que analisa a ciência e a matemática presentes na obra de Leonardo da Vinci. O estudo tornou-se ainda mais interessante ao se saber que esse artista é considerado um gênio da história, brilhante como artista, cientista, matemático e engenheiro. O livro contempla o desenvolvimento da ciência e da arte desde os primórdios da civilização, além da ciência da arte e a arte da ciência, e ainda a dinâmica interna entre elas. Essa obra de Leonardo da Vinci perpassa o tempo e o espaço e as maravilhas da natureza desvendadas pela ciência e pela matemática. Nessa perspectiva, o filme “O Código da Vinci” retrata diversas obras de Leonardo da Vinci, entre elas, o homem vitruviano, “A Última Ceia” e a “Monalisa”, obras nas quais ele utilizou a perspectiva, as proporções, padrões e simetrias que também se identificam na natureza. Tanto no filme, como nas obras de Da Vinci está presente a sequência de Fibonacci, ou seja, sequência numérica cujas relações expressam a razão áurea ou divina proporção. Ainda, com esse estudo, foi possível explorar a geometria espacial, assunto de difícil entendimento pelos alunos, pois se exige que se relacionem os elementos presentes nos sólidos geométricos. Portanto, pretendeu-se desenvolver nos alunos, através de diferentes estratégias, “o olhar geométrico sobre a realidade que os circunda”, fazendo-os perceber que tudo ao seu redor constitui-se de formas geométricas espaciais e que a partir delas podem-se explorar os conceitos geométricos, que são abstratos. No decorrer da proposta, conforme os alunos foram realizando as atividades, puderam identificar situações conhecidas como sólidos e figuras geométricas; o 47 homem vitruviano inserido numa figura bidimensional, o pentagrama, mas não conheciam as proporções do corpo humano. Também puderam identificar a presença de uma sequência numérica, a sequência de Fibonacci, porém não percebiam sua relação com as situações do mundo. Já no que diz respeito à abordagem da geometria tridimensional e bidimensional foram relembrando conceitos e relações de área e volume; o que foi favorecido pela construção dos sólidos de Platão e sua planificação, pois a visualização foi clarificando conceitos importantes nos cálculos de área e volume e também possibilitou que as outras geometrias ficassem conhecidas. Conclusão Este estudo não teve a intenção de ser fatigante, nem de esgotar as possibilidades de aprofundamento do assunto, mas apenas de levantar questões sobre a problemática da geometria na forma como vem sendo trabalhada nas escolas. Percebe-se que essa preocupação é crescente entre os profissionais da educação, que buscam novas formas de cativar os alunos para a aprendizagem. Nas análises realizadas, no decorrer da proposta, observou-se que os alunos apresentam conhecimentos geométricos defasados e principalmente, que não compreendem a sua relação com a realidade que os cerca. Com a aplicação da proposta, perceberam-se mudanças significativas de interesse, participação e entendimento de conteúdos considerados problemáticos no ensino de matemática. Ainda, foi possível despertar nos alunos o gosto pelas artes em suas diferentes formas, fazer a correlação da matemática com as demais
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