AULA 05 - PA e PG

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MATEMÁTICA
Prof. Eduardo Jupi Valério
Sequências
Sequências podem ser consideradas um dos assuntos mais
intuitivos dentro de RLM, pois não necessariamente
aplicamos algum conceito ou fórmula para resolver os
exercícios. Por exemplo:
Qual o próximo termo das seguintes sequências:
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
• 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ...
• 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
Progressão Aritmética (PA) 
Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada
termo, a partir do segundo, é igual ao anterior adicionado a um
número fixo, chamado razão da progressão 𝑟 .
Quando 𝑟 > 0, a progressão aritmética é crescente; quando 𝑟 <
0, decrescente e quando 𝑟 = 0, constante ou estacionária.
• (2, 5, 8, 11, ... ), temos 𝑟 = 3. Logo, a PA é crescente.
• (20, 18, 16, 14, ... ), temos 𝑟 = −2. Logo, a PA é decrescente.
• (5, 5, 5, 5, ... ), temos 𝑟 = 0. Logo, a PA é constante.
Termo Geral da PA
A representação matemática de uma progressão aritmética é: 
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛, 𝑎𝑛+1, … na qual 
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟
𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟
𝑎4 = 𝑎3 + 𝑟
⋮
Logo: 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑟, ∀𝑛 ∈ ℕ
∗
Exemplo:
Calcular o 20° termo da PA (26, 31, 36, 41, ...) 
Exemplo
A soma de três termos reais é 21 e o produto é 280. Determiná-los, 
sabendo que são os termos de uma PA. 
• PROPRIEDADES
𝑃1. Em toda PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos 
é igual à soma dos extremos.
𝑃2. Uma sequência de três termos é PA se, e somente se, o termo médio 
é igual à média aritmética entre os outros dois, isto é: 𝑎, 𝑏, 𝑐 é 𝑃𝐴 ⇔
𝑏 =
𝑎+𝑐
2
Exemplo: seja a PA (2, 4, 6), então, 4 =
2+6
2
.
𝑃3. Em uma PA com número ímpar de termos, o termo médio é a média 
aritmética entre os extremos. 
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39 , 21 =
3 + 39
2
𝑃4. A soma 𝑆𝑛 dos n primeiros termos da PA 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … 𝑎𝑛 é dada 
por: 
𝑆𝑛 =
𝑎1 + 𝑎𝑛 . 𝑛
2
Um estudante calculou, parcela a parcela, a soma dos trinta primeiros 
termos da PA (23, 40, 57, ...), mas, por distração, esqueceu-se de 
contar o 15° e o 25° termos. Qual foi o valor encontrado pelo 
estudante?
Progressão Geométrica (PG)
Progressão geométrica é uma sequência de números não-
nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao
anterior multiplicado por um número fixo, chamado razão da
progressão 𝑞 .
A representação matemática de uma progressão geométrica
é 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 , na qual 𝑎2 = 𝑎1. 𝑞, 𝑎3 = 𝑎2. 𝑞, …
etc. De modo geral, escrevemos: 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛. 𝑞 , ∀ 𝑛 ∈
ℕ∗ 𝑒 𝑞 ∈ ℝ.
Numa PG, a razão q é igual ao quociente entre qualquer termo, a partir 
do segundo, e o anterior. Exemplo:
• (4, 8, 16, 32, 64) 
• 𝑞 =
8
4
=
16
8
=
32
16
=
64
32
= 2
• 6,−18, 54, −162
• 𝑞 =
−18
6
=
54
−18
=
−162
54
= −3
• Assim, podemos escrever: 
•
𝑎2
𝑎1
=
𝑎3
𝑎2
= ⋯ =
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= 𝑞, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞 𝑎 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑎 𝑃𝐺.
Podemos classificar uma PG como: 
• Crescente 
Quando 𝑎1 > 0 𝑒 𝑞 > 1
2, 6, 18, 54, … é 𝑢𝑚𝑎 𝑃𝐺 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑎1 = 2 𝑒 𝑞 = 3
Quando 𝑎1 < 0 𝑒 0 < 𝑞 < 1
−40,−20,−10,… é 𝑢𝑚𝑎 𝑃𝐺 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑎1 = −40 𝑒 𝑞 =
1
2
• Decrescente
Quando 𝑎1 > 0 𝑒 0 < 𝑞 < 1
256, 64, 16, … é 𝑢𝑚𝑎 𝑃𝐺 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑐𝑜𝑚 𝑎1 = 256 𝑒 𝑞 =
1
4
Quando 𝑎1 < 0 𝑒 𝑞 > 1
−2,−10,−50,… é 𝑢𝑚𝑎 𝑃𝐺 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑐𝑜𝑚 𝑎1 = −2 𝑒 𝑞 = 5
• Constante 
Quando 𝑞 = 1
3, 3, 3, 3, 3, … é 𝑢𝑚𝑎 𝑃𝐺 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑐𝑜𝑚 𝑎1 = 3 𝑒 𝑞 = 1
• Alternada 
Quando 𝑞 < 0
2,−6, 18, −54 é 𝑢𝑚𝑎 𝑃𝐺 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑑𝑎, 𝑐𝑜𝑚 𝑎1 = 2 𝑒 𝑞 = −3
Termo Geral da PG
A fórmula do termo geral de uma PG nos permite encontrar qualquer 
termo da progressão. 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛−1
• Exemplo: numa PG, o 4° termo é igual a 32 e o 1° termo é igual a ½. 
Determine a razão e o 8° termo dessa PG. 
Propriedades
𝑃1. Em toda PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos 
extremos é igual ao produto dos extremos.
𝑃2. Uma sequência de três termos, em que o primeiro é diferente de 
zero, é uma PG se, e somente se, o quadrado do termo médio é igual 
ao produto dos outros dois, isto é, sendo 𝑎 ≠ 0.
𝑎, 𝑏, 𝑐 é 𝑃𝐺 ⇔ 𝑏² = 𝑎𝑐
2, 4, 8 ⇔ 4² = 2. 8 = 16
𝑃3. Em uma PG com número ímpar de termos, o quadrado do termo 
médio é igual ao produto dos extremos. 
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 32² = 2. 512 = 1024
𝑃4. Soma dos n primeiros termos de uma PG 𝑆𝑛 =
𝑎1 1−𝑞
𝑛
1−𝑞
𝑃5. Produto dos n primeiros termos de uma PG 𝑃𝑛 = 𝑎1
𝑛. 𝑞
𝑛−1 𝑛
2
• 𝑃6. Soma dos infinitos termos de uma PG 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
, 𝑠𝑒 𝑞 < 1, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 − 1 < 𝑞 < 1
𝑆∞ = +∞, 𝑠𝑒 𝑞 > 1, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑞 < −1 𝑜𝑢 𝑞 > 1 𝑒 𝑎1 > 0
𝑆∞ = −∞, 𝑠𝑒 𝑞 > 1, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑞 < −1 𝑜𝑢 𝑞 > 1 𝑒 𝑎1 < 0
𝑥 +
𝑥²
4
+
𝑥³
16
+⋯ =
4
3