PA e PG

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
Consideremos as sequencias: 
 Dos números naturais impares 
(1, 3, 5, 7, 9, 11, ...) 
 Múltiplos de 6 
(16, 12, 6, 0, -6, -12, ...) 
Observe que, nessas sequencias, cada termo, depois do primeiro, é 
igual ao anterior adicionado a um número fixo: 2 na primeira sequência e -6 
na segunda. 
Essas sequências são chamadas de progressão aritmética (PA), e o 
número fixo adicionado é chamado de razão (r) da progressão. 
 (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...) – é uma PA de razão r = 2 
 (16, 12, 6, 0, -6, -12, ...) - é uma PA de razão r = -6 
Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a 
partir do segundo é igual ao anterior adicionado a um número fixo, chamado 
razão da progressão. 
Quando r > 0, a progressão aritmética é crescente; quando o r < 0, 
decrescente e quando r = 0 constante ou estacionária. Veja: 
 (2, 5, 8, 11, 14, ...) 
Temos r = 3. Logo, a PA é crescente. 
 (10, 8, 6, 4, 2) 
Temos r = -2. Logo, a PA é decrescente. 
 (7, 7, 7, 7, ...) 
Temos r = 0. Logo, a PA é decrescente. 
Se a progressão aritmética possui um último termo, ela é finita. Caso 
contrário, ela é infinita. 
A representação matemática de uma progressão aritmética (PA) é: 
 (a1 , a2 , a3 , ....................., an , an + 1 , ...) na qual a2 = a1 + r , a3 = a2 + r 
, a4 = a3 + r , ... . 
Se a razão de uma progressão aritmética é a quantidade que 
acrescentamos a cada termo para obter o seguinte, podemos dizer que ela é 
igual à diferença entre qualquer termo, a partir do segundo, e o anterior. 
 (2, 5, 8, 11, 14, ...) 
r = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3 
 (10, 8, 6, 4, 2) 
r = 8 – 10 = 6 – 8 = 4 – 6 = 2 – 4 = -2 
 (7, 7, 7, 7, ...) 
r = 7 – 7 = 7 – 7 = 7 – 7 = 0 
De modo geral, temos: 
a2 – a 1 = a3 – a2 = ... 
Exemplo 
Qual a razão das progressões aritméticas a seguir? 
a) (3, 9, 15, 21, ...) 
b) (6, 
11
2
, 5, 
9
2
 , 4) 
A razão é igual à diferença entre um termo qualquer e o anterior. Assim, 
calculamos a diferença entre o 2º e o 1º termos, temos em cada item: 
a) r = 9 – 3 = 6  r = 6 
 
b) r = 
11
2
 – 6  r = 
11−12
2
  r = −
1
2
 
 
FORMULA GERAL DE UMA PA 
Vamos, agora, encontrar uma formula que permita obter um termo 
qualquer de uma progressão aritmética conhecendo o primeiro termo e a 
razão. Para isso, considere a seguinte progressão aritmética de razão r. 
Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão 
igual a r, sabemos que: 
 
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r 
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r 
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r 
… 
 
a n = a1 + (n – 1) . r 
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte 
fórmula: 
 
an = a1 + (n – 1) . r 
Na fórmula acima, temos: 
an  termo geral ou enésimo termo 
a1  primeiro termo 
n  número de termos 
r  razão 
 
Exemplo 1: 
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3. 
 
an = a1 + (n – 1) . r 
a16 = -10 + (16 – 1) . 3 
a16 = -10 + 15 . 3 
a16 = -10 + 45 
a16 = 35 
 
O 16º termo de uma P.A é 35. 
Exemplo 2: 
Calcule o 500º termo da PA (2, 5, …). 
O primeiro termo dessa PA é 2, e a razão é 3. Na fórmula do termo 
geral, teremos: 
an = a1 + (n – 1)r 
a500 = 2 + (500 – 1)·3 
a500 = 2 + (499)·3 
a500 = 2 + 1497 
a500 = 1499 
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PA 
Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos 
(elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos 
de uma P.A finita. 
 
Sn = 
 𝒂𝟏+𝒂𝒏 𝒏
𝟐
 
 
 
Na fórmula acima, temos: 
Sn = soma dos n termos 
a1 = primeiro termo 
an = enésimo termo 
n = número de termos 
 
Exemplo 1: 
Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos 
é 324 e que 
a 8 = 79. 
 
Retirando os dados: 
n = 8 
Sn = 324 
a8 = 79 
Sn = 
 𝑎1+𝑎𝑛 .𝑛
2
 
324 = 
 𝑎1+79 .8
2
 
324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8 
648 = 8 a1 + 632 
16 = 8 a1 
a1 = 2 
Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos 
outros elementos. 
 
a n = a1 + (n – 1) . r 
79 = 2 + (8 – 1) . r 
79 = 2 + 7 . r 
79 – 2 = 7r 
77 = r 
 7 
r = 11 
PA = (2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79)  essa é a PA que precisávamos 
determinar. 
 
Exemplo 2 
Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, …), calcule a soma dos seus 100 primeiros 
termos. 
Para calcular essa soma, é necessário conhecer o último termo dessa 
PA. Para tanto, usaremos a fórmula do termo geral de uma PA. 
 
an = a1 + (n – 1)r 
a100 = 2 + (100 – 1)2 
a100 = 2 + (99)2 
a100 = 2 + 198 
a100 = 200 
 
Agora, usando a fórmula para soma dos n primeiros termos de uma 
PA, teremos: 
 
S100 = 
100 2+200 
2
 
S100 = 
100 2+200 
2
 
S100 = 
20200
2
 
S100 = 10100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Qual a razão das progressões aritméticas a seguir? 
a) (3, 9, 15, 21, ...) 
a) (6, 
11
2
 , 5, 
9
2
 , 4) 
2. Escreva uma PA: 
a) De 5 termos, em que o 1º termo (a1) é 10 e a razão (r) é 3. 
b) De 8 termos, em que a1 = 6 e r = -4. 
c) De 6 termos que a1 = -3 e r = 5. 
3. Determinar a razão da PA sabendo que o decimo termo é igual a 126 
e o primeiro termo é igual a 6. 
4. Determinar o primeiro termo da PA sabendo que o decimo termo é 
igual a 51. 
5. Calcular a razão de uma PA de 8 termos, cujos extremos são 4 e 39. 
6. Em relação à progressão aritmética (10, 17, 24,...), determine: 
a) O termo geral dessa PA 
b) O seu 15º termo; 
c) A soma de a10 + a20 
7. Determine: 
a) A soma dos 10 primeiros termos da PA (2, 5, ....); 
b) A soma dos 15 primeiros termos da PA (-1, -7, ...); 
c) A Soma dos 20 primeiros termos da PA (0,5; 0,75; ...); 
8. Determine o sétimo termo da PA (4, 7, 10, ...). 
9. Determine o decimo termo da PA (3, 6, 9, ...). 
10. O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo 
é? 
11. A soma dos sete primeiros termos de uma PA é 84. Sabendo que a1 = 
3, calcule a razão. 
12. A soma dos sete primeiros termos de uma PA é 280. Sabendo que a1 
= 10, calcule a razão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Sejam as sequencias: 
a) (4, 8, 16, 32, 64) 
Nessa sequência, observamos que: 
8 = 4 . 2 
16 = 8 . 2 
32 = 16 . 2 
64 = 32 . 2 
Número fixo (razão = 2) 
b) (6, -18, 54, -162 
Nessa sequência, observamos que: 
-18 = 6 . (-3) 
 54 = -18 . (-3) 
-162 = 54 . (-3) 
Número fixo (razão = -3) 
Nessas sequencias, a lei de formação é: cada termo, a partir do 
segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo. 
Toda a sequência que tiver essa lei de formação é denominada 
progressão geométrica (PG). 
O número fixo, pelo qual estamos multiplicando cada termo, é 
chamado de razão da progressão e será representado pela letra q. 
Progressão geométrica é uma sequência de números não-nulos em que 
cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um 
número fixo, chamado razão da progressão. 
A representação matemática de uma progressão geométrica é (a1, a2, 
a3 , ..., an-1 , an), na qual a2 = a1 . q, a3 = a2 . q, a4 = a3 . q etc. 
De modo geral, escrevemos: an+1 = an . q . 
Numa PG, a razão q é igual ao quociente entre qualquer termo, a partir 
do segundo e o anterior, isto quer dizer que para determinarmos a razão (q) 
de uma PG, basta dividirmos qualquer termo, a partir do segundo, pelo seu 
antecessor (anterior). 
Exemplo 
 ( 4, 8, 16, 32, 64) 
q = 
8
4
=
16
8
=
32
16
=
64
32
= 2 
 
 (6, -18, 54, -162) 
q = 
−18
6
=
54
−18
= −
162
54
= −3 
 
 (8, 2, 
1
2
 ,
1
8
 ,
1
32
 ) 
q = 
2
8
=
1
2
2
=
1
8
1
2
=
1
32
1
8
=
1
4
 
Classificação da PG 
 
Dependendo dos termos que compor uma PG ela será classificada em: 
 
• PG crescente são aquelas que os valores dos termos vão crescendo. 
 
a 1 > 0 e q > 1, por exemplo: (1,2,4,8,16,32,64, ... ) 
 
a 1 < 0 e 0 < q < 1, por exemplo (-1 , -1/2, -1/4,....) 
 
• PG decrescente são aquelas que os termos vão diminuindo. 
 
a 1 > 0 e 0 < q < 1, por exemplo: (64, 32, 16,8,... ) 
 
a 1 < 0 e q > 1, por exemplo: (-2,-4,-8,...) 
 
• PG constante são aquelas que os termos são iguais, ou seja, a razão é igual 
a q = 1. 
Por exemplo: (5,5,5,5,...,5) 
 
• PG oscilante é uma PG que os seus termos intercalam em negativos e 
positivos, ou seja, que a1 ≠ 0 e q < 0. 
 
• PG quase nula é uma PG que apenas o 1º elemento é diferente de zero. 
Por exemplo: (2,0,0,0,0,0, ... ) 
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PG 
A formula do termo geral de uma progressão geométrica vai permitir 
encontrar qualquer termo da progressão. 
Portanto, o termo geral da PG é calculado com a utilização da fórmula: 
 
an = a1 . qn – 1 
Exemplo 1 
Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e 
a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG. 
 
a8 = 4 . 3
8-1 
a8 
a8 = 4 * 2187 
a8 = 8748 
 
O 8º termo da PG descrita é o número 8748. 
 
Exemplo 2 
 
Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo. 
 
a20 = 3 . 3
20-1 
a20 = 3. 3
19 
a20 = 3 . 1.162.261.467 
a20 = 3.486.784.401 
 
FORMULA DA SOMA DOS N TERMOS DE UMA PG 
Progressão geométrica finita é uma PG que tem um número 
determinado de elementos. Por exemplo, a sequência (3,6,12,24,48) é uma 
PG de razão igual a q = 2. 
A soma dos temos dessa PG será 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93. Fazer 
essa soma é fácil, pois ela possui apenas cinco elementos, caso seja 
necessário somar os termos de uma PG com mais de dez elementos, o que é 
mais complicado, é preciso utilizar uma fórmula. 
 
 
 
A fórmula para obter a soma dos n elementos de uma PG finita é: 
 
Sn = 
𝒂𝟏 𝒒𝒏−𝟏 
𝒒−𝟏
 
 
Exemplo: 
Dê a soma dos termos da seguinte PG (7,14,28, ... , 3584). 
Para utilizarmos a fórmula da soma é preciso saber quem é o 1º 
termo, a razão e a quantidade de elementos que essa PG possui. 
 
a1 = 7 
q = 2 
n = ? 
Sn = ? 
Portanto, é preciso que encontremos a quantidade de elementos que 
possui essa PG, utilizando a fórmula do termo geral. 
 
an = a1 . q
n-1 
3584 = 7 . 2n-1 
3584 : 7 = 2n-1 
512 = 2n-1 
29 = 2n-1 
n – 1 = 9 
n = 10 
 
Sn = 
𝑎1 𝑞𝑛−1 
𝑞−1 
 
 
S10 = 
7 210−1 
2−1
 
 
S10 = 
7 1024−1 
2−1
 
 
S10 = 7 . 1023 
 
S10 = 7161 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Determine a razão de cada uma das seguintes progressões 
geométricas. 
a) (3, 12, 48, ...) 
b) (10, 5, ...) 
c) (5, -5, ...) 
d) (√5, 5, ...) 
e) (2, 22, ...) 
f) (5, 
5
2
 , ...) 
2. Escreva: 
a) Uma PG de quatro termos em que a1 = 5 e q = 3. 
b) Uma PG de seis termos em que a1 = -2 e q = 2. 
c) Uma PG de cinco termos em que a1 = 540 e q = 
1
3
. 
3. Veja quais das sequências são PG e determine a razão: 
a) (2, 6, 18 ...) 
b) (64, 32, 16, 8, ...) 
c) (3, -6, 12, -24, ...) 
4. Verifique quais das sequencias abaixo são PG e determine a razão: 
a) (48, 12, 3, ...) 
b) (2, 5, 10, ...) 
c) (1, 4, 16, ...) 
5. Dados a1 e q, escreva a PG com 4 termos: 
a) a1 = 3 e q = 4 
b) a1 = -2 e q = 3 
c) a1 = 5 e q = 2 
6. Determine a razão de cada uma das progressões geométricas abaixo: 
a) (3, 6, 12, 24, ...) 
b) (10, 20, 40, 80, ...) 
c) (5, 15, 45, ...) 
7. Calcule o nono termo da PG (9, 27, 81, ...) 
8. Determine o primeiro termo da PG cujo o oitavo termo é 1 e a razão 
é 
1
2
. 
9. Calcule a razão de uma PG de seis termos, cujos extremos são 3 e 
96. 
10. Determine o sétimo termo da PG (1, 3, 9, ...). 
11. Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (-3, -6, -12, ...).