A04 - Estatica das estruturas espaciais

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ESTÁTICA – DEC 3674 35
4 Estática das estruturas espaciais1 
4.1 Componentes Retangulares de uma Força Espacial. 
Vamos discutir os problemas que envolvem as três dimensões do espaço. Consideremos uma 
força F atuante na origem O de um sistema de coordenadas retangulares x, y e z, conforme 
mostra a figura abaixo (figura (a)). A força F pode ser decomposta em uma componente 
vertical Fy e uma componente horizontal Fh (figura (b)) dentro do plano OBAC. 
 
 
 
 
 
 
As correspondentes componentes escalares são: 
 cos seny y h yF F F Fθ θ= = (16) 
Mas Fh pode ser decomposta em duas componentes retangulares Fx, e Fz segundo os eixos x 
e z, respectivamente (figura (c)). Obtemos, então, as seguintes expressões para as 
componentes escalares correspondentes: 
 cos sen cos
 sen sen sen
x h y
z h y
F F F
F F F
φ θ φ
φ θ φ
= =
= =
 (17) 
A força F foi decomposta em três componentes vetoriais retangulares Fx, Fy, e Fz, orientadas 
segundo os três eixos coordenados. Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e 
OCD da Figura acima, escrevemos 
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2y hF OA OB BA F F= = + = + 
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2h x zF OC OD CD F F= = + = + 
 
1 Mecânica vetorial para engenheiros - Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976 
φ 
y 
z 
x 
C 
O 
F 
A 
B 
θy 
Fy
Fh
y 
z 
x 
C
O
F
A
B
θy 
φ 
Fx 
Fz 
E 
D
Fy 
Fh 
y 
z 
x 
C
O 
B 
ESTÁTICA – DEC 3674 36
Ou seja, 2 2 2 2 2 2y h y x zF F F F F F= + = + + e a relação a intensidade de F e suas correspondentes 
componentes escalares retangulares é: 
2 2 2
x y zF F F F= + + intensidade da força. (18) 
 
Esta relação entre a força E e suas três componentes Fx, Fy e Fz, é visualizada mais 
facilmente através da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 cos cos cosx x y y z zF F F F F Fθ θ θ= = = (19) 
Os três ângulos θx, θy, e θz, definem a direção da força F. Os co-senos de θx, θy, e θz, são 
conhecidos como os co-senos diretores da força F. 
 
 
 
Usando os vetores unitários i, j e k, orientados 
segundo os eixos x, y e z, respectivamente podemos 
exprimir F na forma: 
x y zF F i F j F k= + + (20) 
 
onde as componentes escalares Fx, Fy e Fz são: 
 cos , cos e cosx x y y z zF F F F F Fθ θ θ= = = . (21) 
y 
z 
x 
Fy 
Fz 
Fx
E 
D
C 
O 
F 
A B
θz 
θx 
y 
z 
x 
Fy 
Fz 
Fx 
E 
D 
C
O 
F 
A B 
θy 
y 
z 
x 
Fy
Fz
Fx
E
D
C
O
F
AB
ESTÁTICA – DEC 3674 37
Exemplo 1. Uma força de 1000 N forma ângulos de 60°, 45° e 120°, respectivamente, com os 
eixos x, y e z. Determinar as componentes Fx, Fy e Fz, da força. 
 cos , cos cosx x y y z zF F F F e F Fθ θ θ= = = 
Fx = F cos θx = 1000 x 0,5 = 500 N 
Fy = F cos θy = 1000 x 0,707 = 707 N 
Fz = F cos θz = 1000 x (-0,5) = -500 N 
 
x y zF F i F j F k= + + F (N) = 500 i + 707 j – 500 k 
 
Como no caso de problemas bidimensionais, o sinal positivo indica que a componente tem 
mesmo sentido do eixo correspondente e o sinal negativo indica que ela tem sentido oposto. 
( ) cos cos cos cos cos cos . x y z x y zF F i F j F k F i j k Fθ θ θ θ θ θ λ= + + = + + = 
 
Sendo = cos cos cos 1x y zi j kλ θ θ θ+ + = (22) 
um vetor unitário com componentes = cos = cos = cosx x y y z zλ θ λ θ λ θ (23) 
 
Devemos observar que os valores dos três ângulos θx, θy e θz, não são independentes. A 
soma dos quadrados das componentes de λ é igual ao quadrado de sua intensidade. 
2 2 2+ + =1x y zλ λ λ λ= ou 
2 2 2cos cos cos 1 x y zθ θ θ+ + = (24) 
 
Quando são dadas as componentes de uma força F, Fx, Fy e Fz, a intensidade da força é 
obtida por 2 2 2x y zF F F F= + + e os co-senos diretores (eq. 19) também podem ser obtidos 
conforme a expressão abaixo: 
cos cos cos 1yx z
x y zF F F F
θθ θ
= = = (25) 
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Exemplo 2. Urna força F tem as componentes Fx = 200 N, Fy = -300 N e Fz = 600 N. 
Determinar a intensidade F e os ângulos θx, θy e θz, que ela forma com os eixos coordenados. 
a) equação (18) 2 2 2x y zF F F F= + + =700N 
b) de (25) 
coscos cos 1yx z
F F F F
θθ θ
= = = 
coscos cos 1
200 300 600 700
yx z
θθ θ
= = =
−
 
 θx = 73,4° θy = 115,4° e θz = = 31,0° 
 
4.2 Adição de Forças Concorrentes no Espaço 
A resultante R de duas ou mais forças no espaço é dada pela soma de suas componentes 
retangulares. Os métodos gráficos e trigonométricos não são geralmente práticos no caso de 
forças no espaço. O melhor método é análogo ao usado para as forças coplanares. 
R = ΣF 
 
decompomos cada força em suas componentes retangulares e escrevemos 
( ) ( ) ( ) ( )x y z x y z x y zR i R j R k F i F j F k F i F j F k+ + = Σ + + = Σ +Σ +Σ 
da qual se segue que 
x x y y z zR F R F R F= Σ = Σ = Σ (31) 
A intensidade da resultante R e os ângulos θx, θy e θz (formados com os eixos coordenados) 
são obtidos: 
2 2 2
x y zR R R R= + + (32) 
coscos cos 1yx z
x y zR R R R
θθ θ
= = = (33) 
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Exercício 01 
O cabo de sustentação de uma torre está fixado em A. A 
tração no cabo é de 2.500 kgf. Determinar (a) as 
componentes Fx, Fy e Fz da força atuante sobre escora, (b) 
os ângulos θx, θy e θz que definem a direção e o sentido da 
força. 
 
a) Componentes da força. A linha de ação da força atuante sobre o vínculo A passa por A e B 
e está orientada de A para B. As componentes do vetor AB que tenham a mesma direção da 
força são: 
dx = -30 m dy = 60 m dz = 22,5 m 
A distância de A e B é 2 2 2x y zd d d d= + + = 70,7 m 
Introduzindo os vetores unitários i, j e k, segundo os eixos 
coordenados, e o vetor unitário λ ao longo de AB, 
escrevemos 
 
AB = -(30 m) i + (60 m) j + (22,5 m) k = (70,7 m) λ (1) 
F = Fx i + Fy j + Fz k = (2.500 kgf) λ (2) 
 
Expressando a proporcionalidade dos coeficientes dos vetores unitários em (1) e (2), temos 
2500 
30 60 22,5 70,7 
yx z
FF F kgf
m m m m
= = =
−
 
e obtemos Fx = -1060 kgf Fy = +2120 kgf Fz = +794 kgf 
 
b) Direção da Força. Relembrando que as componentes do vetor unitário λ são 
respectivamente iguais aos co-senos diretores de F (eq. 22): 
 = cos cos cos 1x y zi j kλ θ θ θ+ + = (22) 
F = -(1060 kgf) i + (2120 kgf) j + (794 kgf) k = (2500 kgf) λ 
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Expressando a proporcionalidade dos coeficientes dos vetores unitários nas duas equações 
anteriores, temos 
coscos cos 1
1060 2120 794 2500
yx z
θθ θ
= = =
− + +
 
θx = 180° - 64,9º = 115,1°, θy = 32,0° e θz = 71,5° 
 
Este resultado pode também ser obtido pelo uso das proporções que envolvem as 
componentes do vetor AB ao invés das referentes às componentes de F. 
 
Exercício 02 
A fim de remover um caminhão acidentado, dois 
cabos são atados ao caminhão em A e puxados 
por dois guinchos B e C como é mostrado. 
Determinar a resultante das forças exercidas 
sobre o caminhão pelos dois cabos, sabendo-se 
que a tração no cabo AB é 2.000 kgf e no AC de 
1.500 kgf. 
 
Solução. As forças exercidas por cada cabo sobre o caminhão são decompostas nas 
componentes x, y e z. Primeiro determinamos as componentes e intensidades dos vetores AB 
e AC, medindo-os do caminhão em direção aos guinchos. 
 
Cabo AB (De A para B) 
dx = -26 m dy = +25 m 
d, = +20 m d = 41,2 m 
Cabo AC (De A para C) 
dx = -26 m dy= +31 m 
dz = -25 m d = 47,5 m 
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Denominando por i, j e k os vetores unitários segundo os eixos coordenados e por λAB o vetor 
unitário segundo AB, escrevemos 
AB = -(26 m) i +(25 m) j + (20 m) k = (41,2 m) λAB 
TAB = Fx i + Fy j + Fz k = (2.000 kgf) λAB 
 
e encontramos as componentes de TAC pelas proporções 
TAC = - (1.260 kgf) i + (1.212 kgf) j + (970 kgf) k 
 
Determinando por λAB o vetor unitário segundo AC, escrevemos de modo análogo 
AC = -(26 m) i +(31 m) j - (25 m) k = (47,5 m) λAC 
TAC = Fx i + Fy j + Fz k = (1500 kgf) λAC 
 
e encontramos as componentesde TAC pelas proporções. Temos pois 
TAB = - (820 kgf) i + (978 kgf) j + (788 kgf) k 
 
A resultante R das forças exercidas pelos dois cabos é: 
R = TAB + TAC = -(2.080 kgf) i + (2.190 kgf) j + (182 kgf) k 
 
A intensidade R da resultante é 
2 2 2
x y zR R R R= + + = √ ((-2.080)
2 + (2.190)2 + (182)2) = 3.030 kgf 
e 
λR = cosθx i + cosθy j + cosθz k = 
R = -(2.080 kgf) i + (2.190 kgf) j + (182 kgf) k e pelas proporções 
coscos cos 1yx z
x y zR R R R
θθ θ
= = = 
coscos cos 1
2080 kgf 2190 kgf 182 kgf 3030 kgf
yx z
θθ θ
= = =
− + + +
 
θx = 180° - 46,6º = 133,4°, θy = 43,7° e θz = 86,6°