Apostila 01

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GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
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CONVERSA INICIAL
Olá! Seja bem-vindo(a) a esta aula!
Nessa disciplina serão abordados temas de grande importância para a resolução de problemas
do cotidiano e para um bom aproveitamento em outras disciplinas do curso. Além dos aspectos
teóricos, teremos situações e problemas práticos relacionados não só aos aspectos acadêmicos e
profissionais, mas muitas vezes relacionados também às nossas vidas.
Desde já nos colocamos à disposição para auxiliá-lo no que for necessário. A cada aula, novos
assuntos serão abordados e as aulas estão organizadas de modo a facilitar os estudos. Para isso, é
importante seguir as orientações de leituras, assistir aos vídeos, participar do fórum da disciplina,
resolver os exercícios propostos e realizar as avaliações.
Sempre que possível, crie grupos de estudos. Está cientificamente comprovado que quando há
interação e ajuda mútua entre os estudantes, o aprendizado de todos é muito maior. A leitura
também tem um importante papel na aprendizagem. Busque sempre complementar os estudos
recorrendo às referências indicadas no plano de ensino. O nosso principal objetivo é a aprendizagem.
Saiba que faremos sempre o melhor e que o nosso sucesso depende da participação de todos.
Nesta aula abordaremos a origem e a importância da geometria analítica. Aprenderemos a
representar pontos e vetores em sistemas de eixos coordenados. Aprenderemos a calcular módulo e
inclinação de vetores e teremos diversos exemplos e exercícios para fixarmos os temas abordados.
 Bons estudos e conte sempre conosco!
TEMA 1 – A GEOMETRIA ANALÍTICA
A geometria analítica é uma área da Matemática que utiliza a álgebra na resolução de problemas
de geometria, ou seja, está baseada em uma forma de resolver esses problemas utilizando fórmulas
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específicas e cálculos matemáticos, na maioria das vezes elementares.
Há séculos, problemas de geometria eram resolvidos com o uso de instrumentos, tais como
régua e compasso. Com o passar do tempo, os problemas geométricos passaram a ser resolvidos
com o uso da álgebra.
Essa relação entre geometria e álgebra teve início no século XVII, com René Descartes, que
formalizou os princípios matemáticos necessários para que fosse possível analisar as propriedades de
ponto, reta e circunferência. Outro importante matemático que colaborou com o surgimento da
geometria analítica foi Pierre de Fermat, que desenvolveu um sistema de coordenadas permitindo a
localização de pontos em um plano.
Esses sistemas de coordenadas permitem que nos dias de hoje possamos, por exemplo, localizar
objetos em um plano ou em um sistema tridimensional, utilizar um dispositivo eletrônico para
escrever e-mails, jogar, ver fotos, assistir a vídeos em duas ou em três dimensões entre muitas outras
aplicações. Por meio da geometria analítica também foi possível ampliar todo esse estudo para
contextos que não possuem uma representação geométrica. Podemos, por exemplo, estudar
situações que com quatro, cinco, seis, ou “n” dimensões bem como suas aplicações práticas tais como
a computação, robótica etc., mas que não há representação geométrica nesses casos.
Com todo esse potencial, a geometria analítica deu suporte ao desenvolvimento do cálculo
diferencial e integral como é conhecido nos dias de hoje, ocorrido a partir do século XVII, e que
promoveu diversos avanços científicos e tecnológicos.
A partir do sistema de coordenadas cartesianas, desenvolvido por Fermat, mas denominado em
homenagem a Descartes, surgiram também as primeiras abordagens envolvendo vetores que são o
tema desta aula. Falaremos sobre vetores mais detalhadamente a seguir, mas, antecipando algumas
explicações, os vetores são amplamente utilizados na física e em outras áreas do conhecimento.
Em diversas situações do cotidiano nos deparamos com problemas que envolvem vetores.
Muitos filmes utilizam a computação gráfica como recurso para a criação de cenas.
Muitos softwares possuem ferramentas que facilitam o trabalho de criar animações, mas em
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alguns casos é preciso programar o movimento desejado. Mas como esse movimento é feito
computacionalmente?
No caso de movimentos bidimensionais, o computador precisa da expressão matemática
associada ao movimento e, ao variar o valor de x, é possível obter os respectivos valores de y. A cada
par ordenado (x, y), o personagem ou objeto tem a respectiva posição na tela do computador. Por
exemplo, se o objetivo é fazer com que um determinado objeto se desloque sobre uma reta, é
preciso a equação dessa reta.
De uma forma mais abrangente, podemos identificar muitas relações entre elementos da
geometria analítica e situações reais relacionadas ao nosso cotidiano.
Circunferências e elipses, por exemplo, são amplamente utilizadas nos logos de empresas e, mais
uma vez, a representação gráfica dessas figuras, feita por meio de softwares, utiliza as respectivas
equações.
Mas as aplicações da geometria analítica vão muito além do ambiente virtual. Diversas
construções utilizam figuras geométricas conhecidas para otimizar suas funções. O formato de um
hiperboloide observado em torres de usinas nucleares, por exemplo, permite um melhor resfriamento
do calor que passa por elas.
Créditos: Distelapparath/Pixabay.
Na construção da Igreja da Pampulha, em Minas Gerais, é possível observar o uso de uma
parábola como referência para a sua construção.
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Créditos: Wjgomes/Pixabay.
Esferas são utilizadas em objetos que servem como peças de decoração, mas que também
seguem princípios físicos.
Créditos: Blue Andy/Shutterstock.
Para a produção de determinados modelos de pendentes, a base do projeto pode ser feita por
meio de paraboloides.
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Créditos: Imagens XBQS42/Pixabay.
Nos esportes temos a presença direta da geometria, desde as marcações no campo e as
construções de arenas e ginásios até os artigos esportivos e os movimentos dos atletas.
Créditos: Jarmoluk/Pixabay.
Um nadador, por exemplo, para ter um melhor desempenho, precisa de precisão nos
movimentos e posicionar os membros de acordo com determinados ângulos.
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Créditos: Fotoemotions/Pixabay.
O eletromagnetismo estuda as relações entre eletricidade e magnetismo e também utiliza
fortemente elementos da geometria analítica.
Créditos: Clker-Free-Vector-Images/Pixabay.
Estas são algumas das relações da geometria analítica com as nossas vidas. É claro que existem
muitas outras aplicações importantes e veremos algumas delas no decorrer dos nossos estudos.
Para começarmos, vamos estudar elementos associados ao plano cartesiano.
TEMA 2 – O PLANO CARTESIANO
Um sistema cartesiano ortogonal é muito utilizado para a localização de pontos em um plano e é
composto de duas retas perpendiculares entre si. Uma reta é geralmente denominada de eixo x e a
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outra de eixo y. Em cada uma delastemos uma escala de tal maneira que ambas possuem a mesma
origem.
Cada ponto do plano pode ser representado por dois valores. Um indica a distância do ponto ao
eixo y e o outro a distância do ponto ao eixo x.
Podemos dizer que o ponto P é um par ordenado composto por dois números reais x e y em que
x é a abscissa e y é a ordenada do ponto.
Exemplo: Represente graficamente o ponto A (4, 2).
Resolução: A representação do ponto é feita de uma forma simples. Inicialmente, a partir da
origem do sistema de eixos coordenados, vamos considerar quatro unidades para a direita. Em
seguida, para cima, duas unidades. Assim, teremos a seguinte representação.
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Exemplo: Faça a representação gráfica do ponto B (-3, -5).
Resolução: Considerando 3 unidades no sentido do eixo x, da direita para a esquerda e em
seguida, 5 unidades no sentido do eixo y, de cima para baixo, temos a seguinte representação do
ponto B.
Será que temos exemplos de localização de coordenadas em situações do nosso dia a dia? A
resposta é sim. Se prensarmos em um computador, cada ponto localizado na tela corresponde a um
par ordenado do tipo (x, y), algo muito parecido com as coordenadas cartesianas que conhecemos. A
única diferença é que os valores positivos de y são contados de cima para baixo, e não de baixo para
cima como estamos acostumados.
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Créditos: Teeraphoto/Shutterstock.
Também é possível representar, de maneira análoga, pontos em um sistema tridimensional:
Exemplo: Represente graficamente o ponto A (3, 2, 1).
Resolução: Precisamos considerar 3 unidades em relação ao eixo x, 2 em relação ao eixo y e 1 em
relação ao eixo z:
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A partir de dois pontos em um espaço bidimensional R2, podemos obter a distância entre eles
por meio da fórmula
que corresponde a uma aplicação do Teorema de Pitágoras.
Observe que
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.
Exemplo: Em uma parede, uma tomada com interruptor está localizada na posição A de
coordenadas (2, 1) e uma luminária está na posição B de coordenadas (3, 2).
Sabendo que as unidades estão em metros, qual é a distância entre a tomada e a luminária?
Resolução:
Para a distância entre pontos localizados no espaço tridimensional, ou seja, no R3, a fórmula
segue o mesmo princípio:
Exemplo: Unreal Engine é uma suíte de ferramentas para o desenvolvimento de jogos. Um
personagem foi inicialmente colocado em um ponto A de coordenadas (-30, -40, 20).
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Fonte: <https://www.unrealengine.com/en-US/>.
Fonte: <https://www.unrealengine.com/en-US/>.
Qual é a distância deste personagem a um objeto colocado no ponto B de coordenadas (0, 20,
20) conforme a figura a seguir?
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Resolução:
A (-30, -40, 20)
B (0, 20, 20)
Exemplo: Dois objetos em um ambiente 3D estão posicionados nos pontos A e B de coordenadas
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A (5, -17, 0) e B(3, 6, -2). Calcule a distância d(A, B).
Fonte: <https://www.unrealengine.com/en-US/>.
Resolução:
Dados A e B, temos:
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Um importante ponto é conhecido como baricentro. O baricentro é o encontro das medianas de
um triângulo, ou seja, o encontro das linhas que vão do ponto médio de cada lado do triângulo até o
vértice oposto.
Para obtermos as coordenadas do baricentro, basta calcularmos as médias das coordenadas dos
vértices do triângulo:
Exemplo: Considere o triângulo de vértices nos pontos A(-2, 1), B(5, 4) e  C( 6, -2). Calcule o
baricentro desse triângulo.
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Resolução:
Agora que já sabemos localizar pontos em sistemas de eixos coordenados, vamos aprender mais
sobre vetores.
TEMA 3 – VETORES
A origem da palavra “vetor” está em “levar”, “transportar”. Mais precisamente, na Física e na
geometria, o termo está associado ao fato de levar um ponto a outro. Um vetor que tem origem no
ponto A e final no ponto B é um segmento orientado de reta e pode ser denotado por .
Um vetor consiste então em um segmento de reta que possui uma intensidade ou comprimento,
também chamado de módulo, uma direção e um sentido.
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Utilizamos vetores para representarmos grandezas que não podem ser descritas apenas por um
número. A força é um exemplo de uma grandeza vetorial. Ao aplicarmos uma força sobre um objeto,
podemos mover esse objeto em uma determinada direção e sentido, utilizando uma certa
intensidade. A velocidade e o campo elétrico também são grandezas vetoriais.
Um vetor pode ser representado graficamente por meio de uma seta e analiticamente por meio
de componentes.
Exemplo: Represente graficamente o vetor .
Resolução: Para representarmos , basta considerarmos um segmento com início na
origem do sistema de eixos coordenados e final no ponto de coordenadas (3, 1).
Também podemos representar vetores em que o ponto inicial é um ponto qualquer.
Exemplo: Represente graficamente o vetor  que tem origem no ponto A(2, 1) e final no ponto
B(5, 2).
Resolução: O primeiro passo é representarmos em um sistema de eixos coordenados os pontos A
e B.
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Em seguida, basta desenharmos o vetor com início em A e final em B.
Observe que as componentes do vetor  correspondem a (3, 1). Para obtermos as componentes
de um vetor que tem origem em A e final em B, basta fazermos B – A, ou seja, fazermos as
coordenadas do ponto final menos as coordenadas do ponto inicial: (5, 2) - (2, 1) = (5 - 2, 2 - 1) = (3,
1).
Podemos dizer que se dois vetores possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo
sentido, então são vetores equipolentes (iguais), mesmo que estejam em localizações em diferentes.
A seguir, alguns casos particulares de vetores:
Vetores iguais: possuem mesmo módulo, direção e sentido.
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Vetores paralelos: possuem a mesma direção.
Vetor nulo: vetor de módulo igual a 0; qualquer ponto do espaço.
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Vetores opostos: vetores de mesmo módulo e direção, mas de sentidos contrários.
Vetor unitário: vetor de módulo igual a 1.
Vetores ortogonais: vetores que formam um ângulo reto.
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Vetores coplanares: vetores que estão no mesmo plano.
Falamos em módulo de um vetor, mas o que é o módulo e como podemos calcular o módulo de
um vetor? É o que veremos a seguir.
TEMA 4 – MÓDULO DE UM VETOR
O módulo é o comprimento do vetor e pode ser calculado pela fórmula
.
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Para vetores tridimensionais, a fórmula é análoga:
.
Exemplo: Determine o módulo do vetor indicado na figura a seguir.
Resolução: O módulo   consiste no comprimento do vetor . Para calcularmos este
comprimento, vamos utilizar a fórmula .
Como x = 4 e y = 3, temos
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Portanto, o módulo de , representado por , é igual a 5.
Para vetores tridimensionais, a fórmula é análoga:
.
Exemplo: Dado o vetor , calcule .
Resolução: Para calcularmos o módulo, vamos utilizar a fórmula
.
Observe que x = 5, y = 6 e z = 3. Logo
Além do módulo, um temo muito importante para os nossos estudos é a inclinação de um vetor.
TEMA 5 – INCLINAÇÃO DE UM VETOR
A inclinação de um vetor é a medida  em relação à horizontal, no sentido anti-horário.
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Como temos um triângulo retângulo e as componentes x e y do vetor correspondem aos catetos,
temos a seguinte relação:
e para determinarmos o valor de , utilizaremos o arco tangente de . O arco tangente é obtido
por meio de uma calculadora científica.
Exemplo: Determine a inclinação do vetor .
Resolução: Para determinarmos a inclinação do vetor , podemos utilizar a relação
Como x = 4 e y = 3, temos
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Precisamos, agora, determinar qual é o ângulo cuja tangente é igual a 0,75. Vamos utilizar a
função inversa , também conhecida como arco tangente e representada por . O cálculo do
arco tangente é feito facilmente com o uso de uma calculadora científica. Sendo assim, o valor de  é
dado por
Nesse caso, o valor de  é 36,8698976...°. Portanto, com duas casas decimais,
Mas como utilizar uma calculadora científica para calcularmos o arco tangente? Dependendo do
modelo da calculadora, pode haver pequenas diferenças, mas na maioria das calculadoras o
procedimento é bem simples.
Créditos: Apisith/Shutterstock.
Utilizaremos as teclas  e .
Dependendo do modelo da calculadora, primeiro iremos fazer a divisão de y por x. Depois
deveremos pressionar a tecla [SHIFT] e em seguida a tecla [tan-1]. Em outros modelos, primeiro
pressionamos a tecla [SHIFT], em seguida a tecla [tan-1] e depois digitamos, entre parênteses, a
divisão de y por x.
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Veja como é simples:
1° Caso: [3] [ ] [4] [=] [SHIFT] [tan-1]
2° Caso: [SHIFT] [tan-1] [(] [3] [ ] [4] [)] [=]
Obs.: Dependendo do modelo da calculadora, vamos encontrar a tecla [2ndf] no lugar da tecla
[SHIFT].
Exemplo: Determine o módulo e a inclinação do vetor .
Resolução: Neste exercício temos dois itens a serem calculados: o módulo e a inclinação do vetor.
Para calcularmos o módulo de , vamos utilizar a fórmula .
É importante ressaltar que x = 9 e y = 5. Vamos agora substituir os valores na fórmula
.
Para calcularmos a inclinação do vetor , precisamos observar um detalhe: como o ângulo que o
vetor forma com a horizontal está entre 90° e 180°, inicialmente vamos considerar o ângulo 
 indicado na figura a seguir.
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Para que possamos calcular o valor de , precisaremos calcular o valor de . Como ,
temos que . Para calcularmos , basta utilizarmos a relação
Com o uso de uma calculadora científica, chegamos à conclusão que  é igual a 29,25°.
Vamos determinar agora o valor de . Como , e , temos
Logo
ou seja, a inclinação do vetor  é igual a 150,75°.
Exemplo: Determine as componentes do vetor  sabendo que seu módulo é igual a 17 e sua
inclinação é igual a 60°.
Resolução: Quando conhecemos o módulo do vetor e a sua inclinação, podemos utilizar as
relações a seguir para encontrarmos as componentes x e y do vetor .
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Sabemos que  e que . Inicialmente, vamos calcular o valor de y
O primeiro passo é substituirmos os valores de  e de  por 60° e 17, respectivamente
Como , podemos escrever
O cálculo de x pode ser feito de forma análoga ao cálculo de y. Para isso, vamos utilizar a relação
Substituindo  por 60° e  por 17, temos
Sabendo que , temos
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Sendo assim, as componentes do vetor  são  e . A representação de  é dada
por
Exemplo: Determine a inclinação de uma viga que deverá estar apoiada em uma estrutura que
tem 20 metros de comprimento e 10 metros de altura conforme a figura abaixo.
Resolução:
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Exemplo: Para que um cadeirante possa ter acesso a planos elevados por meio de rampas,
existem normas que levam em conta o esforço necessário para o deslocamento sobre rampas. É
bastante comum a relação de 8,33%, que corresponde à proporção 1:12, ou seja, para cada
centímetro de altura, são necessários 12 centímetros de comprimento. Caso uma rampa tenha a
finalidade de fornecer acesso a um plano com elevação de 60 cm, a base da rampa precisa ter 720 cm
(7,2 m). Sabemos que essa rampa tem uma relação de 8,33%. Mas qual é a respectiva inclinação em
graus?
Resolução: Para essa rampa, temos x = 720 e y = 60. Sendo assim,
Podemos concluir que a inclinação da rampa que tem uma relação de 8,33% entre altura e
comprimento da base corresponde a 4,76°.
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FINALIZANDO
Chegamos ao final da nossa aula. Agora sabemos o que é geometria analítica e qual a sua
importância em diversas áreas do conhecimento. Sabemos como devemos proceder para
representarmos pontos e vetores em um sistema de eixos coordenados. Também aprendemos a
calcular o módulo e a inclinação de vetores.
Esperamos que você tenha aprendido da melhor forma possível os temas desta aula. Se
necessário, retome os conteúdos abordados e refaça os exercícios propostos. Para que possamos
avançar nos nossos estudos, é importante que os assuntos vistos até aqui estejam bem definidos e
que as possíveis dúvidas sejam esclarecidas.
REFERÊNCIAS
BORIN JUNIOR, A. M. S. (org). Geometria analítica. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
FERNANDES, L. F. D. Geometria Analítica. Curitiba: InterSaberes, 2016.
SANTOS, F. J. dos; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Artmed, 2009.
THOMAS, G. B.; HASS, J.; WEIR, M. D. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2008. 2 v.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.
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