Prova resolvida - Matrizes

Prévia do material em texto

MATRIZES 
 
 
Sejam as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥3, onde 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖
2 + 3𝑗, 𝐵 = (
−1 7 −5
0 4 −2
3 2 2
), e 𝐶 = (
1 1 12
3 4 15
1 −1 9
). 
 
 
1) Determine a transposta de A, ou seja, 𝐴𝑡 . 
 
Solução: 
A ordem da matriz A é 2x3, logo, possui 2 linhas e 3 colunas. Escrevendo a matriz genérica temos: 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
), onde cada elemento é obtido pela lei 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖
2 + 3𝑗. 
 
Dessa maneira: 
 𝑎11 = 1
2 + 3 ∙ 1 = 1 + 3 = 4 
 𝑎12 = 1
2 + 3 ∙ 2 = 1 + 6 = 7 
 𝑎13 = 1
2 + 3 ∙ 3 = 1 + 9 = 10 
 𝑎21 = 2
2 + 3 ∙ 1 = 4 + 3 = 7 
 𝑎22 = 2
2 + 3 ∙ 2 = 4 + 6 = 10 
 𝑎23 = 2
2 + 3 ∙ 3 = 4 + 9 = 13 
 
𝐴 = (
4 7 10
7 10 13
). 
 
Para obter a transposta de A, basta transformar linhas em colunas, logo 
𝐴𝑡 = (
4 7
7 10
10 13
). 
 
 
2) Calcule 𝐵 + 𝐶; 
 
Solução: 
Para somar, subtrair e multiplicar por números reais, operamos os elementos correspondentes, aqueles 
que ocupam as mesmas posições nas matrizes. 
𝐵 + 𝐶 = (
−1 7 −5
0 4 −2
3 2 2
) + (
1 1 12
3 4 15
1 −1 9
) 
 = (
−1 + 1 7 + 1 −5 + 12
0 + 3 4 + 4 −2 + 15
3 + 1 2 + (−1) 2 + 9
) = (
0 8 7
3 8 13
4 1 11
). 
 
PROVA RESOLVIDA 
 
3) Calcule −2𝐵 − 𝐶𝑡; 
 
Solução: 
−2𝐵 − 𝐶𝑡 = −2 (
−1 7 −5
0 4 −2
3 2 2
) − (
1 3 1
1 4 −1
12 15 9
) 
 = (
(−2)(−1) − 1 (−2)7 − 3 (−2)(−5) − 1
(−2)0 − 1 (−2)4 − 4 (−2)(−2) − (−1)
(−2)3 − 12 (−2)2 − 15 (−2)2 − 9
) 
 = (
1 −17 9
−1 −12 5
−18 −19 −13
). 
 
 
4) Calcule 𝐴𝐵, caso exista. 
 
Solução: 
O produto existe, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. O resultado será uma 
matriz de ordem 2x3, que corresponde ao número de linhas de A e o número de colunas de B. 
 
Cada elemento 𝐴𝐵𝑖𝑗 resulta do somatório dos produtos dos elementos da i-ésima linha da matriz A pela 
j-ésima coluna da matriz B. Logo: 
 
(
4 7 10
7 10 13
) ∙ (
−1 7 −5
0 4 −2
3 2 2
) 
= (
4(−1) + 7 ∙ 0 + 10 ∙ 3 4 ∙ 7 + 7 ∙ 4 + 10 ∙ 2 4(−5) + 7(−2) + 10 ∙ 2
7(−1) + 10 ∙ 0 + 13 ∙ 3 7 ∙ 7 + 10 ∙ 4 + 13 ∙ 2 7(−5) + 10(−2) + 13 ∙ 2
) 
= (
−4 + 0 + 30 28 + 28 + 20 −20 − 14 + 20
−7 + 0 + 39 49 + 40 + 26 −35 − 20 + 26
) 
= (
26 76 −14
32 115 −29
).