Cálculo 5° trabalho

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Cálculo – 5° trabalho 
Nome: Gerson de Pontes Costa 
N°: 496415 
Fonte das questões 1 a 6 : James Stewart, Cálculo Volume 1 
Fonte das questões 7 a 10: UFTPR 
 
Verifique, por derivação, que a fórmula está correta. 
1. ∫
𝒙
√𝒙𝟐+𝟏
dx = √𝒙𝟐 + 𝟏 + C 
f’(√𝒙𝟐 + 𝟏) = (1 + x²) / 2√𝒙𝟐 + 𝟏 
f’(x) = 2x / 2√𝒙𝟐 + 𝟏 = x/√𝒙𝟐 + 𝟏 
 
2. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ½ x + ¼ sen 2x + C 
f’(1/2x + ¼ sen 2x) = ½(f’(x) + ¼(f’(sen(2x) 
f’ = ½(cos(2x)+1) → f’(x) = cos²(x) 
 
Encontre a integral indefinida geral. 
3. ∫(𝒙𝟐 + 𝒙 -2) dx 
 ∫(𝑥2 + 𝑥 -2) = ∫(𝑥2) + ∫
1
𝑥²
 
= x³/3 + (-1/x) ou ((x4 – 3) / 3x) + C 
 
4. ∫(𝐮 + 𝟒)(𝟐𝐮 + 𝟏)𝐝𝐮 
∫(𝑢 + 4)(2𝑢 + 1)𝑑𝑢 = ∫(2𝑢2 + 9𝑢 + 4)𝑑𝑢 
2∫ 𝑢²𝑑𝑢 + 9∫ 𝑢 𝑑𝑢 + 4∫ 1𝑑𝑢 
= 2(u³/3) + 9(u²/2) + 4u + C 
 
5. ∫(√𝒙𝟑) 𝐝𝐱 
Substituindo u = √𝑥 e du = 
1
2√𝑥
 : 
 ∫ √𝑥³ = 2∫ 𝑢4 𝑑𝑢 = 2u5/5 
∫ √𝑥³ = 
2x√𝑥³
5
 + C 
6.∫
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒅𝒙 
∫
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑑𝑥 
= usando identidade trigonométrica, sen(2x) = 2sen(x)cos(x) 
=∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 2sen(x) + C 
 
Resolva as seguintes integrais por meio da integração por partes. 
7. ∫ 𝒙𝒆𝒙𝒅𝒙 
u = x → du/dx = 1 
dv = ex → v = ex 
∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = xex - ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 
= xex - ex + C 
 
8. ∫ 𝐥𝐧(𝒙) 𝒅𝒙 
∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 1. ln(𝑥) 𝑑𝑥 
u = ln(x) → du = dx/x 
dv = 1du → v=x 
então: ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥 = xln (x) - ∫ 𝑑𝑥 
= xln(x) - x + C 
 
9.∫ 𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙)𝒅𝒙 
u = x → du = dx 
dv = sen(5x)dx → v = -cos(5x)/5 
então: ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(5𝑥)𝑑𝑥 = -x/5(cos(5x)) + ∫ −
cos(5𝑥)
5
𝑑𝑥 
= -x/5(cos(5x)) + sen(5x)/25 + C 
 
10.∫ 𝒙𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒅𝒙 
u = x² → du=2xdx 
dv = sen(x)dx → v = -cos(x) 
então: ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = -x²cos(x) + ∫ cos (𝑥) 2𝑥𝑑𝑥 
= -x²cos(x) + 2∫ xcos (𝑥) 𝑑𝑥 
 
Para a integral de xcos(x)dx: 
u = x → du = dx 
dv= cos(x)dx → v = sen(x) 
 
Dessa forma: 
∫ xcos (𝑥) 𝑑𝑥 = xsen(x) - ∫ sen(𝑥) 𝑑𝑥 
= xsen(x) + cos(x) 
 
Voltando para a integral principal: 
∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = -x²cos(x) + 2(xsen(x) + cos(x)) + C