Cálculo 6° trabalho

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Cálculo – 6° trabalho 
Nome: Gerson de Pontes Costa 
N°: 496415 
Fonte das questões 1 a 5 : Engenharia exercícios 
Fonte das questões 6 a 8: UFRN 
 
Resolva as seguintes integrais trigonométricas: 
01 - ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄(𝒙) 𝒅𝒙 
Realizando uma substituição simples: 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑑𝑥 = 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)
1
.
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)−𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)−𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
 = 
∫(𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥)−𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥).𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)−𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
 
Tomando u = cossec(x) – cotg(x) → du = -cossec(x).cotg(x) + cossec²(x)dx 
∫
1
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)−𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
(𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥). 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 
= ln |cossec(x) – cotg(x)| + C 
 
02- ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) 𝒅𝒙 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫
1
𝑠𝑒𝑛²(𝑥)
 → - ∫ 𝑑𝑢 = −𝑢 = -cotg(x) + C 
Utilizando substituição: 
Se u = cotg(x) = cos(x)/sen(x) 
du = -sen(x).sen(x) – cos(x).cos(x) / sen²(x) dx 
du = -(sen²(x) + cos²(x)) / sen²(x) dx 
du = -1/sen²(x) dx 
 
03- ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒(𝒙)𝒄𝒐𝒔𝟓(𝒙)𝒅𝒙 
∫ 𝑠𝑒𝑛4(𝑥)𝑐𝑜𝑠5(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛4(𝑥)cos4(𝑥)cos (𝑥)𝑑𝑥 
Dessa forma, aplicando a lei fundamental da trigonometria e trocando de 
variável: 
=∫ 𝑠𝑒𝑛4(𝑥)(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)²𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢4(1 − 𝑢2)²𝑑𝑢 
= ∫(𝑢2 − 2𝑢6 + 𝑢8)𝑑𝑢 → = u5/5 - 2u7/7 + u9/9 + C 
Retornando para a variável original: 
= 1/5sen5(x) – 2/7sen7(x) + 1/9sen9(x) + C 
 
04- ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑(𝒙)𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙)𝒅𝒙 
∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 
= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥(-1) → − ∫ −(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 
Tomando u = cos(x) → du = -sen(x)dx, então: 
∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫(1 − 𝑢2)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑢2𝑑𝑢 
→ − ∫(𝑢2 − 𝑢4)𝑑𝑢 = -u³/3 + u5/5 + C, logo: 
∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = 1/5 cos5(x) – 1/3cos³(x) + C 
 
05- ∫ 𝒔𝒆𝒏³(𝒙) 𝒅𝒙 
∫ 𝑠𝑒𝑛³(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥))𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
Tomando u = cos(x) → du = -sen(x)dx 
∫(1 − 𝑢2)𝑑𝑢 = -u + u³ + C = -cos(x) + cos³(x)/3 + C 
 
 
Dê a resolução para as seguintes integrais por meio da substituição 
trigonométrica: 
 
06 - ∫ √𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 
∫ √𝑥2 + 4 𝑑𝑥 = ∫ 2sec(θ)2sec²(θ)dθ = 4 ∫ sec³(θ)dθ 
Tomando u = sec(θ) → du = sec(θ)tg(θ)dθ 
4 ∫ sec³(θ)dθ = 2sec(θ)tg(θ) + 2 ln |sec(θ) + tg(θ)| + C 
Voltando à variável original: 
tg(θ) = x/2 e sec(θ) = 
√𝑥2+4
2
 
Dessa forma: 
∫ √𝑥2 + 4 𝑑𝑥 = 4 ∫ sec³(θ)dθ = 
𝑥√𝑥2+4
2
 + 2 𝑙𝑛 |
√𝑥2+4𝑥+𝑥
2
| + 𝐶 
 
07- ∫
√𝟗−𝒙𝟐
𝟐𝒙²
𝒅𝒙 
∫
√9−𝑥2
2𝑥²
𝑑𝑥 = ½ ∫
√3²−𝑥2
𝑥²
𝑑𝑥 
Dessa forma, x = 3sen(θ) → dx = 3cos(θ)dθ 
√3² − 𝑥2 = 3 cos(θ) 
A partir dessa substituição: 
1
2
∫
3𝑐𝑜𝑠(θ)3cos(θ)
9𝑠𝑒𝑛²θ
dθ = 
1
2
∫
cos²(θ)
𝑠𝑒𝑛²θ
dθ = 
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔2θdθ = 
1
2
∫(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2θ)dθ 
= 1/2 (- cotgθ – θ) + C 
Retornando à variável: 
Senθ = x/3, θ = arcsen(x/3), 𝑡𝑔𝜃 =
𝑥
√9−𝑥2
 , 𝑐𝑜𝑡 𝑔𝜃 =
√9−𝑥2
𝑥
 
 ∫
√9−𝑥2
2𝑥²
𝑑𝑥 = 1/2 (-
√9−𝑥2
𝑥
 – arcsen(x/3)) + C 
 
08- ∫(√𝟏 − 𝒙𝟐)𝒅𝒙 
∫(√1 − 𝑥2)𝑑𝑥 = ∫(√1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃)cos (𝜃)𝑑𝜃 = ∫ √𝑐𝑜𝑠²𝜃 cos (𝜃)𝑑𝜃 
= ∫ cos² (𝜃)𝑑𝜃 → ∫(√1 − 𝑥2)𝑑𝑥 = 
1
2
∫ 𝑑𝜃 + 
1
2
∫ cos(2𝜃) 𝑑𝜃 
= x/2 + 2sen(x)cos(x)/4 + C 
 
(SIMULADO) Certa partícula tem velocidade 1/(x²+6x+9)^1/2 
Julgar itens verdadeiros (V) ou falsos (F) 
09- Sua aceleração é ln|x+3| + C 
Falso 
Dv/dt = -1/(x+3)² 
 
10 – Sua função deslocamento é ln|x+3| + C 
Verdadeiro 
x = ∫
1
√𝑥2+6𝑥+9
𝑑𝑥 , o que pode ser reescrito como ∫
𝑑𝑥
√(𝑥+3)²
 
= ∫
𝑑𝑥
𝑥+3
 , tomando u = x+3, temos uma integral do tipo du/u 
= ln |u| → ∫
1
√𝑥2+6𝑥+9
𝑑𝑥 = ln |x+3| + C