Análise Bidimensional - Exercícios

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LISTA DE EXERCÍCIOS 
ESTATÍSTICA I (BIOLOGIA) 
 
Análise Bidimensional / Regressão Linear 
 
 
1. Numa pesquisa sobre rotatividade de mão-de-obra, para uma amostra de 40 pessoas foram 
observadas duas variáveis: número de empregos nos últimos dois anos (X) e salário mais recente, em 
número de salários mínimos (Y). Os resultados foram: 
 
Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
X 1 3 2 3 2 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 4 1 2 2 2 
Y 6 2 4 1 4 1 3 5 2 2 5 2 6 6 2 2 5 5 1 1 
 
Indivíduo 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
X 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 2 1 4 2 4 3 1 3 2 2 
Y 4 2 1 5 4 2 1 5 4 3 2 1 1 6 2 1 4 2 3 5 
 
a. Usando a mediana, classifique os indivíduos em dois níveis, alto e baixo, para cada uma das 
variáveis, e construa a distribuição de frequências conjunta das duas classificações. 
b. Qual a porcentagem das pessoas com baixa rotatividade e ganhando pouco? 
c. Qual a porcentagem das pessoas que ganham pouco? 
d. Entre as pessoas com baixa rotatividade, qual a porcentagem das que ganham pouco? 
e. A informação adicional dada no ítem (d) mudou muito a porcentagem observada em (c) ? O 
que isso significa? 
f. Verifique se há relação entre as variáveis rotatividade e salário. 
g. Qual o valor de 2χ e do coeficiente de contingência para estes dados? 
h. Construa a tabela de frequências conjuntas para as variáveis X e Y. 
i. Construa o gráfico de dispersão destes dados. 
j. Calcule o coeficiente de correlação. Baseado neste número você diria que existe dependência 
entre as duas variáveis? 
 
Respostas: 
(a) Temos que 0,2)( =Xmd e 5,2)( =Ymd . Assim, 
 
 Y 
X Baixo Alto Total 
Baixo 1 (0,025) 7 (0,175) 8 (0,20) 
Alto 19 (0,475) 13 (0,325) 32 (0,80) 
Total 20 (0,50) 20 (0,50) 40 (1,00) 
 
(b) Da tabela, tem-se que 2,5% dos indivíduos encontram-se nessas condições. 
 2 
(c) 50%. 
(d) Dentre as pessoas com baixa rotatividade, 12,5% ganham pouco. 
(e) A probabilidade em (c) foi bastante modificada. Isto indica que a maioria das pessoas que 
ganham pouco têm rotatividade. 
 
 
2. Uma companhia de seguros analisou a frequência com que 2000 segurados (1000 homens e 1000 
mulheres) usaram o hospital. Os resultados foram: 
 Homens Mulheres 
Usaram o hospital 100 150 
Não usaram o hospital 900 850 
 
a. Calcule a proporção de homens entre os indivíduos que usaram o hospital. 
b. Calcule a proporção de homens entre os indivíduos que não usaram o hospital. 
c. O uso do hospital independe do sexo do segurado? 
d. Encontre uma medida de dependência entre as variáveis. 
 
Respostas: 
(a) A proporção de homens entre os indivíduos que usaram o hospital é: 4,0250100 = 
(b) A proporção de homens entre os indivíduos que não usaramo hospital é: 514,01750900 = 
(c) Tabela do total de colunas. 
Usaram o hospital 100 (0,10) 150 (0,15) 0,25 
Não usaram o hospital 900 (0,90) 850 (0,85) 0,75 
 1,00 1,00 1,00 
Independentemente do sexo, 25% das pessoas usam e 75% não usam o hospital. Essas porcentagens deveriam ser 
iguais nas duas colunas e não são. Portanto, o uso do hospital depende do sexo do segurado. 
 
 
3. No estudo de uma certa comunidade verificou-se que: 
 
(I) A proporção de indivíduos solteiros é de 0,4. 
(II) A proporção de indivíduos que recebem até 10 salários mínimos é de 0,2. 
(III) A proporção de indivíduos que recebem até 20 salários mínimos é de 0,7. 
(IV) A proporção de indivíduos casados entre os que recebem mais de 20 salários mínimos é de 0,7. 
(V) A proporção de indivíduos que recebem até 10 salários mínimos entre os solteiros é de 0,3. 
 
a. Construa a distribuição conjunta das variáveis estado civil e faixa salarial e as respectivas 
distribuições marginais. 
b. Você diria que existe relação entre as duas variáveis consideradas? 
 
 3 
Respostas: 
(a) 
 Salário 
Estado Civil Menos de 10 SM Entre 10 e 20 SM Mais de 20 SM Total 
Solteiro 0,12 0,19 0,09 0,40 
Casado 0,08 0,31 0,21 0,60 
Total 0,20 0,50 0,30 1,00 
(b) Considere-se a tabela do total de colunas: 
 Salário 
Estado Civil Menos de 10 SM Entre 10 e 20 SM Mais de 20 SM Total 
Solteiro 0,60 0,38 0,30 0,40 
Casado 0,40 0,62 0,70 0,60 
Total 1,00 1,00 1,00 1,00 
Pelas diferenças entre as proporções marginais e as do interior da tabela, parece haver relação entre as 
variáveis. 
 
 
4. Uma pesquisa para verificar a tendência dos alunos a prosseguir os estudos, segundo a classe social 
do respondente, mostrou o seguinte quadro: 
 
Pretende Classe Social Total 
continuar? Alta Média Baixa 
Sim 200 220 380 800 
Não 200 280 720 1200 
 
a. Você diria que a distribuição de respostas afirmativas é igual a de respostas negativas? 
b. Existe dependência entre os dois fatores? Dê uma medida quantificadora da dependência. 
c. Se dos 400 alunos da classe alta 160 escolhessem continuar e 240 não, você mudaria sua 
conclusão? Justifique. 
 
Respostas: 
(a) Tabela dos totais de colunas. 
Pretende 
continuar? 
Classe social 
Alta Média Baixa Total 
Sim 0,50 0,44 0,38 0,40 
Não 0,50 0,56 0,72 0,60 
Há evidências de que a distribuição das respostas afirmativas e negativas não coincidem. 
(b) Tabela dos valores observados e esperados: 
Pretende 
continuar? 
Classe social 
Alta Média Baixa Total 
Sim 200 (160) 220 (200) 380 (440) 800 
Não 200 (240) 280 (300) 720 (660) 1200 
 4 
( )
∑ =+++++=
−
= 63,3345,533,167,618,800,200,10
2
2
i
ii
e
eoχ 
Existe dependência entre as variáveis. 
(c) Se houvesse tal modificação, a dependência entre as variáveis seria apenas menor ( 01,72 =χ ). 
 
 
 
5. Lançam-se, simultaneamente, uma moeda de um real e uma de um quarto de dólar. Em cada 
tentativa anotou-se o resultado obtido, cujos dados estão resumidos na tabela. 
 
Número de caras e coroas em 100 lançamentos de uma moeda de 1 real e de 1/4 de dólar 
 
 Cara 
(moeda de 1 real) 
Coroa 
(moeda de 1 real) 
 Total 
Cara 
(moeda 1/4 de dólar) 
24 22 46 
Coroa 
(moeda 1/4 de dólar) 
28 26 54 
 Total 
 
52 48 100 
 
a. Estes dados sugerem que os resultados da moeda de um real e as de 1/4 de dólar estão 
associados? 
b. Atribua para ocorrência de cara o valor 0, e para a ocorrência de coroa o valor 1. Chamando de 
1X o resultado da moeda de um real e de 2X o resultado do quarto de dólar, calcule a correlação 
entre 1X e 2X . Esta medida está de acordo com a resposta que você deu anteriormente? 
 
 
Respostas: 
(a) Tabela dos valores observados e dos observados: 
 Cara Coroa Total 
Cara 24 (23,92) 22 (22,08) 46 
Coroa 28 (28,08) 26 (25,92) 54 
Total 52 48 100 
( )
∑ =+++=
−
= 0008,00002,00002,00002,00002,0
2
2
i
ii
e
eoχ 
Logo, não há associação entre os resultados das moedas de um real e de um quarto de dólar. 
(b) O coeficiente de correlação linear entre as variáveis X1 e X2 é 0, pois X1 e X2 são 
independentes. Esse resultado está de acordo com o resultado do item anterior 
 
 
 5 
6. Os dados referem-se ao índice de inflação (y) de 1967 a 1979: 
 
Ano (x) 1967 1969 1971 1973 1975 1977 1979 
Inflação (y) 128 192 277 373 613 1236 2639 
 
a. Faça o gráfico de y em relação a t (onde t=0 corresponde a 1973). 
b. Encontre as estimativas para o modelo ttf βα +=)( . 
c. De acordo com o modelo, qual seria a previsão de inflação para 1981 ? 
d. Você teria alguma restrição em adotar o modelo linear neste caso? 
 
Respostas: (b) ttf 6,3557,779)(ˆ +=/ (onde t=0 corresponde a 1973) ; (c) 2202; (d) Sim, pois o gráfico 
sugere uma função quadrática. 
 
 
7. A velocidade v de um corpo em queda livre foi determinada em função do tempo t . Desprezando a 
resistência do ar, a relação esperada entre v e t é tgv = onde g é a aceleração da gravidade local. 
Os resultados da experiência são mostrados na tabela: 
t (s) v (m/s) 
0,00 0,00 
0,05 0,71 
0,10 0,96 
0,15 1,69 
0,20 2,10 
0,25 2,54 
0,30 2,81 
0,35 3,57 
0,40 3,90 
 
a. Estabeleça a equação de regressão linear tgv ˆˆ = . Construa o diagrama de dispersão e trace a reta 
de regressão. 
b. A partir dos dados, qual é a estimativa para a aceleração da