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Análise Bidimensional - Exercícios
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1 LISTA DE EXERCÍCIOS ESTATÍSTICA I (BIOLOGIA) Análise Bidimensional / Regressão Linear 1. Numa pesquisa sobre rotatividade de mão-de-obra, para uma amostra de 40 pessoas foram observadas duas variáveis: número de empregos nos últimos dois anos (X) e salário mais recente, em número de salários mínimos (Y). Os resultados foram: Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 1 3 2 3 2 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 4 1 2 2 2 Y 6 2 4 1 4 1 3 5 2 2 5 2 6 6 2 2 5 5 1 1 Indivíduo 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 2 1 4 2 4 3 1 3 2 2 Y 4 2 1 5 4 2 1 5 4 3 2 1 1 6 2 1 4 2 3 5 a. Usando a mediana, classifique os indivíduos em dois níveis, alto e baixo, para cada uma das variáveis, e construa a distribuição de frequências conjunta das duas classificações. b. Qual a porcentagem das pessoas com baixa rotatividade e ganhando pouco? c. Qual a porcentagem das pessoas que ganham pouco? d. Entre as pessoas com baixa rotatividade, qual a porcentagem das que ganham pouco? e. A informação adicional dada no ítem (d) mudou muito a porcentagem observada em (c) ? O que isso significa? f. Verifique se há relação entre as variáveis rotatividade e salário. g. Qual o valor de 2χ e do coeficiente de contingência para estes dados? h. Construa a tabela de frequências conjuntas para as variáveis X e Y. i. Construa o gráfico de dispersão destes dados. j. Calcule o coeficiente de correlação. Baseado neste número você diria que existe dependência entre as duas variáveis? Respostas: (a) Temos que 0,2)( =Xmd e 5,2)( =Ymd . Assim, Y X Baixo Alto Total Baixo 1 (0,025) 7 (0,175) 8 (0,20) Alto 19 (0,475) 13 (0,325) 32 (0,80) Total 20 (0,50) 20 (0,50) 40 (1,00) (b) Da tabela, tem-se que 2,5% dos indivíduos encontram-se nessas condições. 2 (c) 50%. (d) Dentre as pessoas com baixa rotatividade, 12,5% ganham pouco. (e) A probabilidade em (c) foi bastante modificada. Isto indica que a maioria das pessoas que ganham pouco têm rotatividade. 2. Uma companhia de seguros analisou a frequência com que 2000 segurados (1000 homens e 1000 mulheres) usaram o hospital. Os resultados foram: Homens Mulheres Usaram o hospital 100 150 Não usaram o hospital 900 850 a. Calcule a proporção de homens entre os indivíduos que usaram o hospital. b. Calcule a proporção de homens entre os indivíduos que não usaram o hospital. c. O uso do hospital independe do sexo do segurado? d. Encontre uma medida de dependência entre as variáveis. Respostas: (a) A proporção de homens entre os indivíduos que usaram o hospital é: 4,0250100 = (b) A proporção de homens entre os indivíduos que não usaramo hospital é: 514,01750900 = (c) Tabela do total de colunas. Usaram o hospital 100 (0,10) 150 (0,15) 0,25 Não usaram o hospital 900 (0,90) 850 (0,85) 0,75 1,00 1,00 1,00 Independentemente do sexo, 25% das pessoas usam e 75% não usam o hospital. Essas porcentagens deveriam ser iguais nas duas colunas e não são. Portanto, o uso do hospital depende do sexo do segurado. 3. No estudo de uma certa comunidade verificou-se que: (I) A proporção de indivíduos solteiros é de 0,4. (II) A proporção de indivíduos que recebem até 10 salários mínimos é de 0,2. (III) A proporção de indivíduos que recebem até 20 salários mínimos é de 0,7. (IV) A proporção de indivíduos casados entre os que recebem mais de 20 salários mínimos é de 0,7. (V) A proporção de indivíduos que recebem até 10 salários mínimos entre os solteiros é de 0,3. a. Construa a distribuição conjunta das variáveis estado civil e faixa salarial e as respectivas distribuições marginais. b. Você diria que existe relação entre as duas variáveis consideradas? 3 Respostas: (a) Salário Estado Civil Menos de 10 SM Entre 10 e 20 SM Mais de 20 SM Total Solteiro 0,12 0,19 0,09 0,40 Casado 0,08 0,31 0,21 0,60 Total 0,20 0,50 0,30 1,00 (b) Considere-se a tabela do total de colunas: Salário Estado Civil Menos de 10 SM Entre 10 e 20 SM Mais de 20 SM Total Solteiro 0,60 0,38 0,30 0,40 Casado 0,40 0,62 0,70 0,60 Total 1,00 1,00 1,00 1,00 Pelas diferenças entre as proporções marginais e as do interior da tabela, parece haver relação entre as variáveis. 4. Uma pesquisa para verificar a tendência dos alunos a prosseguir os estudos, segundo a classe social do respondente, mostrou o seguinte quadro: Pretende Classe Social Total continuar? Alta Média Baixa Sim 200 220 380 800 Não 200 280 720 1200 a. Você diria que a distribuição de respostas afirmativas é igual a de respostas negativas? b. Existe dependência entre os dois fatores? Dê uma medida quantificadora da dependência. c. Se dos 400 alunos da classe alta 160 escolhessem continuar e 240 não, você mudaria sua conclusão? Justifique. Respostas: (a) Tabela dos totais de colunas. Pretende continuar? Classe social Alta Média Baixa Total Sim 0,50 0,44 0,38 0,40 Não 0,50 0,56 0,72 0,60 Há evidências de que a distribuição das respostas afirmativas e negativas não coincidem. (b) Tabela dos valores observados e esperados: Pretende continuar? Classe social Alta Média Baixa Total Sim 200 (160) 220 (200) 380 (440) 800 Não 200 (240) 280 (300) 720 (660) 1200 4 ( ) ∑ =+++++= − = 63,3345,533,167,618,800,200,10 2 2 i ii e eoχ Existe dependência entre as variáveis. (c) Se houvesse tal modificação, a dependência entre as variáveis seria apenas menor ( 01,72 =χ ). 5. Lançam-se, simultaneamente, uma moeda de um real e uma de um quarto de dólar. Em cada tentativa anotou-se o resultado obtido, cujos dados estão resumidos na tabela. Número de caras e coroas em 100 lançamentos de uma moeda de 1 real e de 1/4 de dólar Cara (moeda de 1 real) Coroa (moeda de 1 real) Total Cara (moeda 1/4 de dólar) 24 22 46 Coroa (moeda 1/4 de dólar) 28 26 54 Total 52 48 100 a. Estes dados sugerem que os resultados da moeda de um real e as de 1/4 de dólar estão associados? b. Atribua para ocorrência de cara o valor 0, e para a ocorrência de coroa o valor 1. Chamando de 1X o resultado da moeda de um real e de 2X o resultado do quarto de dólar, calcule a correlação entre 1X e 2X . Esta medida está de acordo com a resposta que você deu anteriormente? Respostas: (a) Tabela dos valores observados e dos observados: Cara Coroa Total Cara 24 (23,92) 22 (22,08) 46 Coroa 28 (28,08) 26 (25,92) 54 Total 52 48 100 ( ) ∑ =+++= − = 0008,00002,00002,00002,00002,0 2 2 i ii e eoχ Logo, não há associação entre os resultados das moedas de um real e de um quarto de dólar. (b) O coeficiente de correlação linear entre as variáveis X1 e X2 é 0, pois X1 e X2 são independentes. Esse resultado está de acordo com o resultado do item anterior 5 6. Os dados referem-se ao índice de inflação (y) de 1967 a 1979: Ano (x) 1967 1969 1971 1973 1975 1977 1979 Inflação (y) 128 192 277 373 613 1236 2639 a. Faça o gráfico de y em relação a t (onde t=0 corresponde a 1973). b. Encontre as estimativas para o modelo ttf βα +=)( . c. De acordo com o modelo, qual seria a previsão de inflação para 1981 ? d. Você teria alguma restrição em adotar o modelo linear neste caso? Respostas: (b) ttf 6,3557,779)(ˆ +=/ (onde t=0 corresponde a 1973) ; (c) 2202; (d) Sim, pois o gráfico sugere uma função quadrática. 7. A velocidade v de um corpo em queda livre foi determinada em função do tempo t . Desprezando a resistência do ar, a relação esperada entre v e t é tgv = onde g é a aceleração da gravidade local. Os resultados da experiência são mostrados na tabela: t (s) v (m/s) 0,00 0,00 0,05 0,71 0,10 0,96 0,15 1,69 0,20 2,10 0,25 2,54 0,30 2,81 0,35 3,57 0,40 3,90 a. Estabeleça a equação de regressão linear tgv ˆˆ = . Construa o diagrama de dispersão e trace a reta de regressão. b. A partir dos dados, qual é a estimativa para a aceleração da