Lista 8_GABARITO

existem 100 firmas no mercado, a curva de oferta do mercado é dada por: 
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Em equilíbrio: 
 
 
 
 
Que são o preço e a quantidade de equilíbrio de mercado. 
 
Questão 07 
Em uma ilha há 50 armadores maximizadores de lucro, numerados de 1 a 50. Cada um deles 
pode fabricar até 5 navios por ano. A função custo do armador é dada por: 
 
onde , representa o número de navios fabricados por ano e a constante $5 
representa um custo quase-fixo, ou seja, só se incorre em tal custo se a produção for não nula. 
Se o preço de mercado de cada navio for $5, quantos armadores terão lucro positivo? Quantos 
navios serão produzidos no total? 
 
A função custo mostra que quanto maior for a ordem do armador, maior será seu custo. O 
problema de cada armador será: 
 
 
 
 
 
A derivada da função lucro com relação a será: 
 
 
 
Podemos verificar que somente os armadores tais que terão lucro marginal 
positivo. Portanto, somente os armadores de 1 a 5 produzirão quantidades positivas. Note, 
porém que dada a restrição temos: 
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Portanto, o armador 1 deve produzir uma quantidade maior do que para ter lucro 
positivo; supondo que os navios são bens discretos, o mínimo será 2. O armador 2 deve 
produzir uma quantidade maior do que , e assim por diante. Note que o armador 5 não é 
capaz de ter lucro positivo, pois não existe quantidade definida para . Portanto, somente 
4 armadores terão lucro positivo. 
Como para esses quatro armadores o lucro marginal é positivo para qualquer quantidade, eles 
produzirão a quantidade máxima que puderem; ou seja, cada uma produzirá 5 navios, com um 
total de 20 navios. 
 
Questão 08 
As vendas de ingressos para os jogos de um time de futebol dependem do número de vitórias 
do time por temporada e do preço dos ingressos. Em outras palavras, a função demanda pelos 
ingressos é dada por 
 
em que é o preço dos ingressos, é a quantidade de ingressos (em milhares) e é a 
proporção de jogos ganhos. O time pode aumentar se investir reais (em milhares) na 
contratação de novos talentos. Nesse caso, tem-se que 
 
 
 
 
Assuma que o custo fixo e o custo marginal de vender um ingresso sejam zero e responda o 
que se pede: 
(a) Qual é o preço dos ingressos que maximiza o lucro do time? Qual é o lucro máximo? 
(b) Qual é o valor do investimento em jogadores, , ótimo? 
(c) Ache a proporção ótima de vitórias. 
 
A função lucro dessa firma será dada por: 
 
 
 
 
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Então, o problema da firma será: 
 
 
 
 
 
 
As CPO são: 
i. 
 
 
 
 
 
 
ii. 
 
 
 
 
 
 
O nível máximo de lucro será então: 
 
 
 
 
 
A proporção ótima de vitórias será: 
 
 
 
 
 
Questão 09 
Uma firma fecha um contrato para produzir eletricidade para atender à demanda de uma 
cidade. O preço que ela pode cobrar pela eletricidade é fixado pelo governo e a firma precisa 
atender a toda a demanda àquele preço. A quantidade de eletricidade demandada é sempre a 
mesma em cada período de 24 horas, porém as demandas diferem do dia (das 6h00m às 
18h00m) para a noite (das 18h00min às 6h00min). Durante o dia, 4 unidades são demandadas, 
enquanto à noite somente 3 unidades são demandadas. A produção total para cada período 
de 24 horas é então sempre igual a 7 unidades. A firma produzirá eletricidade em uma 
termoelétrica conforme a função de produção 
 
 
 
onde é o tamanho da planta geradora e são toneladas de combustível utilizadas. A firma 
precisa construir uma única planta geradora e não pode mudar seu tamanho do dia para a 
noite. Se uma unidade do tamanho da planta custa por período de 24 horas e uma 
tonelada de combustível custa , qual será o tamanho ótimo da planta? 
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O problema será de minimização de custos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos resolver o problema pelo método do lagrangeano com duas restrições, ou podemos 
trabalhar as restrições e substituí-las na função objetivo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então 
O problema se torna: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando em relação a e igualando a zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 10 
Uma firma em um setor competitivo tem uma função custo total 
 , onde 
 , é o produto da firma, e é diferente para cada firma. 
(a) Se para todas as firmas, o que determina a quantidade produzida por cada 
firma? Elas produzirão quantidades iguais? Explique. 
A função custo marginal será dada por: 
 
Como , então trata-se de uma reta com inclinação positiva dada por , no plano de 
custos vs. produto. 
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Com não temos custos fixos, a função custo médio da empresa é nesse caso igual à de custo 
variável médio e é dada por: 
 
 
 
 
Note que essa é uma reta no plano de custos por produto cujo intercepto é e cuja inclinação 
é . Portanto, ela sempre estará abaixo da curva de custo marginal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em um mercado competitivo a empresa opera de modo que a sua função custo marginal se 
iguala ao preço de mercado do bem produzido: 
 
 
 
 
 
 
 
Isso acontece para preços que fazem com que seu lucro seja não negativo. Essa condição 
requer que: 
 
A função de oferta da empresa depende do parâmetro , que varia conforme a empresa (é 
indexa em ), portanto, a oferta das empresas não é necessariamente igual. Além disso, o 
 
 
 
 
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preço mínimo a partir do qual as empresas começam a produzir quantidades positivas também 
depende de , então dependendo do preço de mercado, algumas empresas podem nãoestar 
em operação enquanto outras estão com produzindo. 
(b) O que acontece se ? 
Se , então a função de custo marginal 
 
é decrescente com a quantidade . Isso significa que as empresas sempre podem aumentar o 
lucro aumentando a produção, pois o lucro marginal será positivo. No curto prazo, as 
empresas produzirão o máximo, com a restrição da demanda de mercado. 
 
Questão 11 
Uma firma utiliza dois fatores de produção (trabalho e capital) para produzir um único 
produto. Seu produto é vendido e o capital comprado sob condições de competição perfeita, 
ao passo que a firma possui poder de monopsônio no mercado de trabalho. A função de 
produção é dada por , em que Q mede o produto anual da firma em 
unidades, L o número de empregados e K denota o número de unidades de capital. A oferta de 
trabalho defrontada pela firma é dada por , em que w representa o salário 
anual. Sabe-se também que o preço do produto é dado por p=18 e que K=25. Qual o produto 
médio do trabalhador associado à solução ótima dessa firma? 
Vamos escrever a função lucro de tal firma. 
 
Agora, vamos escrever w em função de L: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . A função 
lucro fica: 
 
 
 
 
 
 . Derivando essa 
última função em relação a L, chega-se à escolha ótima para os trabalhadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resta achar o produto, para então dividirmos pelo número de trabalhadores a fim de obter o 
produto médio do trabalho. 
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O produto será: . O produto por 
trabalhador será: 
 
 
 
Questão 12 
Uma empresa produz detergentes, poluindo o rio de uma cidade. O preço de mercado do 
barril de detergente é R$