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existem 100 firmas no mercado, a curva de oferta do mercado é dada por: 9 Em equilíbrio: Que são o preço e a quantidade de equilíbrio de mercado. Questão 07 Em uma ilha há 50 armadores maximizadores de lucro, numerados de 1 a 50. Cada um deles pode fabricar até 5 navios por ano. A função custo do armador é dada por: onde , representa o número de navios fabricados por ano e a constante $5 representa um custo quase-fixo, ou seja, só se incorre em tal custo se a produção for não nula. Se o preço de mercado de cada navio for $5, quantos armadores terão lucro positivo? Quantos navios serão produzidos no total? A função custo mostra que quanto maior for a ordem do armador, maior será seu custo. O problema de cada armador será: A derivada da função lucro com relação a será: Podemos verificar que somente os armadores tais que terão lucro marginal positivo. Portanto, somente os armadores de 1 a 5 produzirão quantidades positivas. Note, porém que dada a restrição temos: 10 Portanto, o armador 1 deve produzir uma quantidade maior do que para ter lucro positivo; supondo que os navios são bens discretos, o mínimo será 2. O armador 2 deve produzir uma quantidade maior do que , e assim por diante. Note que o armador 5 não é capaz de ter lucro positivo, pois não existe quantidade definida para . Portanto, somente 4 armadores terão lucro positivo. Como para esses quatro armadores o lucro marginal é positivo para qualquer quantidade, eles produzirão a quantidade máxima que puderem; ou seja, cada uma produzirá 5 navios, com um total de 20 navios. Questão 08 As vendas de ingressos para os jogos de um time de futebol dependem do número de vitórias do time por temporada e do preço dos ingressos. Em outras palavras, a função demanda pelos ingressos é dada por em que é o preço dos ingressos, é a quantidade de ingressos (em milhares) e é a proporção de jogos ganhos. O time pode aumentar se investir reais (em milhares) na contratação de novos talentos. Nesse caso, tem-se que Assuma que o custo fixo e o custo marginal de vender um ingresso sejam zero e responda o que se pede: (a) Qual é o preço dos ingressos que maximiza o lucro do time? Qual é o lucro máximo? (b) Qual é o valor do investimento em jogadores, , ótimo? (c) Ache a proporção ótima de vitórias. A função lucro dessa firma será dada por: 11 Então, o problema da firma será: As CPO são: i. ii. O nível máximo de lucro será então: A proporção ótima de vitórias será: Questão 09 Uma firma fecha um contrato para produzir eletricidade para atender à demanda de uma cidade. O preço que ela pode cobrar pela eletricidade é fixado pelo governo e a firma precisa atender a toda a demanda àquele preço. A quantidade de eletricidade demandada é sempre a mesma em cada período de 24 horas, porém as demandas diferem do dia (das 6h00m às 18h00m) para a noite (das 18h00min às 6h00min). Durante o dia, 4 unidades são demandadas, enquanto à noite somente 3 unidades são demandadas. A produção total para cada período de 24 horas é então sempre igual a 7 unidades. A firma produzirá eletricidade em uma termoelétrica conforme a função de produção onde é o tamanho da planta geradora e são toneladas de combustível utilizadas. A firma precisa construir uma única planta geradora e não pode mudar seu tamanho do dia para a noite. Se uma unidade do tamanho da planta custa por período de 24 horas e uma tonelada de combustível custa , qual será o tamanho ótimo da planta? 12 O problema será de minimização de custos: Podemos resolver o problema pelo método do lagrangeano com duas restrições, ou podemos trabalhar as restrições e substituí-las na função objetivo: Então O problema se torna: Derivando em relação a e igualando a zero: Questão 10 Uma firma em um setor competitivo tem uma função custo total , onde , é o produto da firma, e é diferente para cada firma. (a) Se para todas as firmas, o que determina a quantidade produzida por cada firma? Elas produzirão quantidades iguais? Explique. A função custo marginal será dada por: Como , então trata-se de uma reta com inclinação positiva dada por , no plano de custos vs. produto. 13 Com não temos custos fixos, a função custo médio da empresa é nesse caso igual à de custo variável médio e é dada por: Note que essa é uma reta no plano de custos por produto cujo intercepto é e cuja inclinação é . Portanto, ela sempre estará abaixo da curva de custo marginal: Em um mercado competitivo a empresa opera de modo que a sua função custo marginal se iguala ao preço de mercado do bem produzido: Isso acontece para preços que fazem com que seu lucro seja não negativo. Essa condição requer que: A função de oferta da empresa depende do parâmetro , que varia conforme a empresa (é indexa em ), portanto, a oferta das empresas não é necessariamente igual. Além disso, o 14 preço mínimo a partir do qual as empresas começam a produzir quantidades positivas também depende de , então dependendo do preço de mercado, algumas empresas podem nãoestar em operação enquanto outras estão com produzindo. (b) O que acontece se ? Se , então a função de custo marginal é decrescente com a quantidade . Isso significa que as empresas sempre podem aumentar o lucro aumentando a produção, pois o lucro marginal será positivo. No curto prazo, as empresas produzirão o máximo, com a restrição da demanda de mercado. Questão 11 Uma firma utiliza dois fatores de produção (trabalho e capital) para produzir um único produto. Seu produto é vendido e o capital comprado sob condições de competição perfeita, ao passo que a firma possui poder de monopsônio no mercado de trabalho. A função de produção é dada por , em que Q mede o produto anual da firma em unidades, L o número de empregados e K denota o número de unidades de capital. A oferta de trabalho defrontada pela firma é dada por , em que w representa o salário anual. Sabe-se também que o preço do produto é dado por p=18 e que K=25. Qual o produto médio do trabalhador associado à solução ótima dessa firma? Vamos escrever a função lucro de tal firma. Agora, vamos escrever w em função de L: . A função lucro fica: . Derivando essa última função em relação a L, chega-se à escolha ótima para os trabalhadores. Resta achar o produto, para então dividirmos pelo número de trabalhadores a fim de obter o produto médio do trabalho. 15 O produto será: . O produto por trabalhador será: Questão 12 Uma empresa produz detergentes, poluindo o rio de uma cidade. O preço de mercado do barril de detergente é R$