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Professor: Hiron Pereira Farias

Disciplina:Probabilidade Estatística

1 Distribuição Normal

Dizemos que a variável aleatória contínua X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2,

−∞ < µ < +∞ e 0 < σ2 <∞, se sua função densidade de probabilidade (f.d.p) é dada por

f(x;µ, σ2) =
1

σ
√

2pi
e−

1
2
(x−µ
σ

)2 , −∞ < x < +∞ (1.1)

em que:

pi = 3,1415 . . .

e = 2,718281828 . . .

Os parâmetros µ e σ2 representam, respectivamente, a média e a variância da distribuição,

neste caso escrevemos que E(X) = µ e V ar(X) = σ2 respectivamente . Usaremos a notação

X ∼ N(µ, σ2), para indicar que X tem distribuição Normal com parâmtros µ e σ2 .
A densidade f(x;µ, σ2) é simétrica em relação a reta x = µ, isto é:

f(µ+ x;µ, σ2) = f(µ− x;µ, σ2) para todo x real;
Para x = µ f(x;µ, σ2) assumi valor máximo ,isto é, f(x;µ, σ2) = 1

σ
√
2pi

;

Para x = µ− σ e x = µ+ σ são pontos de inflexão de f(x;µ, σ2);
Para f(x;µ, σ2) −→ 0, quando x−→ ±∞.
Com auxílio do Cálculo, vamos verificar as afirmações sobre a função fazendo o esboço do

gráfico de f(x;µ, σ2), e para que não se perca nos cálculos o leitor tem que ater ao fato que os

parâmetros µ e σ2 são conhecidos ou estimáveis, sendo assim sempre olharemos os parâmetros µ e

σ2 como constantes. Para esboçar o gráfico de f(x;µ, σ2) seguiremos o seguinte roteiro:

Primeiro, determinaremos o domínio de f(x;µ, σ2), identificando assim, para quais valores reais

a função f(x;µ, σ2) terá como valor um número real; Segundo, faremos a derivada primeira de

f(x;µ, σ2) e igualaremos a zero para determinarmos os candidatos a máximos e mínimos da função

em estudo;

Terceiro, faremos a derivada segunda de f(x;µ, σ2) e ao igualar a zero e resolvendo esta equação

encontraremos caso exista os pontos de inflexão, isto é, os valores de x onde a função muda de

concavidade;

Quarto, estudaremos o sinal da função f ′(x;µ, σ2) determinando os pontos de máximos e ou míni-

mos caso existam de f(x;µ, σ2);

Quinto, estudo do sinal de f ′′(x;µ, σ2), determinando assim os valores de x para os quais a função

assume o valor zero, ao determinarmos estes valores, estudaremos o sinal de f ′′(x;µ, σ2) nos in-

tervalos gerados, tendo assim conclusão a respeito do comportamento da função nos intervalos

gerados.

Podemos olhar a função f(x;µ, σ2) como o produto de dois fatores, a saber, 1
σ
√
2pi

e e−
1
2
(x−µ
σ

)2 .

Observe que o primeiro fator é uma constante positiva e o segundo uma função exponencial, que

como sabemos so assume valores positivos, desta observação conclui-se que a função

f(x;µ, σ2) =
1

σ
√

2pi
e−

1
2
(x−µ
σ

)2

tem como domínio os reais, isto é, para qualquer x real f(x;µ, σ2) terá como valor um número

real e positivo, ou seja, f(x) > 0 para todo x real. Sabendo que o domínio de f(x) é os reais

podemos calcular o limite dessa função quando x tende para +∞ e quando x tende para −∞, mas
é fácil ver que ambos os limites tenderam para zero, pois, a medida que x assume valores cada vez

maiores o valor de f(x) assume valor cada vez menor, tendo em vista que o expoente −1
2
(x−µ

σ
)2

é negativo e cada vez menor levando assim a potência e−
1
2
(x−µ
σ

)2 assumir valores cada vez menor,

matemáticamente podemos escreve

lim
x→+∞

f(x) =
1

σ
√

2pi
lim

x→+∞
e−

1
2
(x−µ
σ

)2 = 0 e lim
x→−∞

f(x) =
1

σ
√

2pi
lim

x→−∞
e−

1
2
(x−µ
σ

)2 = 0.

Um fato importante que se apresenta é que aos estudarmos os sinais das derivadas primeira

e segunda de f(x;µ, σ2) não precisaremos considerar o fator e−
1
2
(x−µ
σ

)2 , pois , será positivo para

qualquer valor de x, sendo assim, não infuenciará no estudo do sinal das funções f ′(x) e f ′′(x).

Sendo X ∼ N(µ, σ2) , sua f.d.p é

f(x;µ, σ2) =
1

σ
√

2pi
e−

1
2
(x−µ
σ

)2

e sua derivada é dada por

f ′(x;µ, σ2) =
1

σ
√

2pi
e−

1
2
(x−µ
σ

)2 .− 1
2
.2(
x− µ
σ

).
1

σ

reescrevendo f ′(x;µ, σ2), temos

f ′(x;µ, σ2) = − 1
σ2
√

2pi
.(
x− µ
σ

)e−
1
2
(x−µ
σ

)2 (1.2)

fazendo f ′(x) = 0, temos
−x+µ
σ

= 0⇒ x = µ.
Neste caso, temos que para x = µ é um ponto de máximo, pois, para x = µ − σ temos que

f ′(x) = 1
σ2
√
2pi
e−

1
2 > 0 e para x = µ+ σ temos que f ′(x) = − 1

σ2
√
2pi
e−

1
2 < 0 e consequentemente

a função f(x;µ, σ2) e crescente no intervalo (−∞;µ] e decrescente no intervalo (µ; +∞] .
Fazendo a derivada segunda, temos o seguinte resultado

f ′′(x) =
1

σ
√

2pi
e−

1
2
(x−µ
σ

)2 .
[(−x+ µ

σ2

)2
− 1
σ

]
que pode ser reescrito assim,

f ′′(x) = f(x).
[(−x+ µ

σ2

)2
− 1
σ2

]
. (1.3)

Como f(x) > 0, fazendo f ′′(x) = 0, obtemos
(
−x+µ
σ2

)2
= 1

σ2
o que implica que

∣∣∣−x+µσ ∣∣∣ = 1σ .
Daí

x = µ± σ.
Para x = µ − 2.σ , temos que f ′′(µ − 2.σ) = 3

σ3
√
2pi
e−2 > 0 , para x = µ + 2.σ , temos que

f ′′(µ + 2.σ) = 3
σ3
√
2pi
e−2 > 0 e para x = µ , temos que f ′′(µ) = −1

σ3
√
2pi
< 0. Desses resultados

obtidos, temos que, a função f(x;µ, σ2) tem concavidade para cima nos intervalos (−∞;µ− σ] e
(µ+ σ; +∞] e concavidade para baixo no intervalo (µ− σ;µ+ σ) .

Uma propriedade muito importante do modelo normal, cuja demonstração será omitida, é

aquela que garante que qualquer combinação linear de variáveis Normais independentes, também,

terá distribuição normal. Em outras palavras, se X1, X2, . . . , Xn formam uma sequência de va-

riáveis aleatórias N(µi, σ2i ) independentes e a1, a2, . . . , an, são constantes quaisquer, então W=
n∑
i=1

aiXi terá distribuição normal. Seus parâmetros são determinados a partir das propriedades do

valor esperado e da variância, ou seja,

µw = E(
n∑
i=1

aiXi) =
n∑
i=1

E(aiXi) =
n∑
i=1

aiE(Xi) =
n∑
i=1

aiµi

σ2w = V ar(
n∑
i=1

aiXi) =
n∑
i=1

V ar(aiXi) =
n∑
i=1

a2iV ar(Xi) =
n∑
i=1

a2iσ
2
i

este resultado amplia, consideravelmente, o uso da Normal em várias situações.

No cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, devemos resolver a integral da função

densidade, isto é,

P (a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a

f(x)dx =

∫ b
a

1

σ
√

2pi
e−

1
2
(x−µ
σ

)2dx (1.4)

Entretanto, a integral só pode ser resolvida de modo aproximado e por métodos numéricos.

Por essa razão utiliza-se uma transformação da Variável aleatória na variável aletória padrão Z

de parâmtros (0, 1), isto é, média 0 e variância 1 e as probabilidades para o modelo normal são

calculadas com auxílio de tabelas.

Considere X ∼ N(µ, σ2) e defina uma nova variável
Z= X−µ

σ
. Pode-se verificar que essa transformação não afeta a normalidade e, assim, a variável

aleatória Z terá distribuição N(0, 1) e será denominada de Normal Padrão ou normal reduzida. No

caso específico da normal padrão sua função de distribuição acumulada definida como P (Z ≤ z),
será denotada utilizamos a seguinte notação universal:

Φ(z) =

∫ z
−∞

1√
2pi
e−

z2

2 para −∞ < z < Z (1.5)

Isto é,

F (z) = P (Z ≤ z) = Φ(z)

Pelas propriedades do valor esperado e da variância segue que

E(Z) = E(X−µ
σ

) = 1
σ
E(X − µ) = 1

σ
[E(X)− µ] = 1

σ
[µ− µ] = 0

V ar(Z) = V ar(X−µ
σ

) = 1
σ2
V ar(X − µ) = 1

σ2
V ar(X) = 1.

Para determinar a probabilidade de X� [a, b], procedendo da seguinte forma: Padroniza-se os

valores que variável aleatória X assumi e com auxílio da tabela da distribuição normal padrão acu-

mulada, encontraremos a área compreendida entre os valores a e b que é a probabilidade desejada.

De modo geral, podemos calcular, como se segue.

P (a ≤ X ≤ b) = P (a− µ ≤ X − µ ≤ b+ µ) = P (a−µ
σ
≤ X−µ

σ
≤ b+µ

σ
) =

P (a−µ
σ
≤ Z ≤ b+µ

σ
) = Φ( b+µ

σ
)− Φ(a+µ

σ
).

Conclui-se de modo geral que, calcular probabilidade de uma variável aleatória contínua X

com dada distribuição de assumir valor em um intervalo qualquer, resume em um cálculo de área.

Consideremos o intervalo
(
µ−kσ;µ+k.σ), para todo x pertencente a este intervalo a desigual-

dade se verifica ∣∣X − µ∣∣ ≤ k.σ
, isto é, ∣∣X − µ∣∣ ≤ k.σ ⇔ −k.σ ≤ X − µ ≤ k.σ
. logo calculemos a probabilidade de

P (
∣∣X − µ∣∣ ≤ k.σ) = P (−k.σ ≤ X − µ ≤ k.σ) = P(µ− kσ ≤ X ≤ µ+ k.σ)

como X ∼ N(µ, σ2) , padronizando a variável aletória X , ou seja fazendo a transformação
linear Z =

X − µ
σ

, obteremos a variável normal padrão Z , em que sua distribuição é assim

Z ∼ N(0; 1).Daí
P
(