7-Circuitos em serie-paralelo

Prévia do material em texto

Circuitos em 
série-paralelo
7.1 INTRODUÇÃO
Os capítulos 5 e 6 foram dedicados aos fundamentos 
dos circuitos em série e em paralelo. De certa forma, esses 
capítulos podem ser os mais importantes do livro, pois 
estabelecem uma fundação para todo o material que vem 
posteriormente. As configurações de circuitos restantes 
não podem ser definidas por uma lista estrita de condi-
ções devido à variedade de configurações que existem. 
Em termos amplos, podemos olhar para as possibilida-
des restantes como se elas fossem em série-paralelo ou 
complexas.
Uma configuração em série-paralelo é aquela que 
é formada por uma combinação de elementos em série-
-paralelo.
Uma configuração complexa é aquela em que ne-
nhum dos elementos está em série ou em paralelo.
Neste capítulo, usaremos a combinação em série-
-paralelo utilizando as leis básicas introduzidas para os 
circuitos em série-paralelo. Não há lei ou regra nova al-
guma a aprender; há, simplesmente, uma abordagem que 
permite a análise de tal estrutura. No próximo capítulo, 
consideraremos circuitos complexos usando métodos de 
análise que permitirão analisar qualquer tipo de circuito.
Objetivos
Aprender a respeito das características singulares das configurações em série-paralelo e como solucionar problemas en-
volvendo tensão, corrente, ou potência de qualquer elemento individual ou de qualquer combinação de elementos.
Familiarizar-se com a fonte com divisor de tensão e com as condições necessárias para usá-la efetivamente.
Aprender a usar um potenciômetro para controlar a tensão através de uma dada carga.
As possibilidades para configurações em série-pa-
ralelo são infinitas. Portanto, você precisa examinar cada 
circuito como se ele fosse uma entidade separada e definir 
a abordagem que fornece o melhor caminho para deter-
minar as quantidades desconhecidas. Consequentemente, 
você encontrará similaridades entre as configurações que 
tornam mais fácil definir a melhor rota para uma solução, 
mas isso ocorre apenas com exposição, prática e paciên-
cia. A melhor preparação para a análise de circuitos em 
série-paralelo é uma firme compreensão dos conceitos 
introduzidos para circuitos em série e em paralelo. Todas 
as regras e leis a serem aplicadas neste capítulo já foram 
introduzidas nos dois capítulos anteriores.
7.2 CIRCUITOS EM SÉRIE-PARALELO
O circuito na Figura 7.1 é um circuito em série-
-paralelo. Em um primeiro momento, você tem de tomar 
muito cuidado para determinar quais elementos estão em 
série e quais estão em paralelo. Por exemplo, os resisto-
res R1 e R2 não estão em série devido ao resistor R3 estar 
conectado ao ponto comum b entre R1 e R2. Os resistores 
R2 e R4 não estão em paralelo porque eles não estão co-
nectados em ambas as extremidades. Eles estão separados 
em uma extremidade pelo resistor R3. A necessidade de ter 
certeza absoluta a respeito de suas definições dos últimos 
dois capítulos agora se torna óbvia. Na realidade, pode ser 
uma boa ideia fazer referência a essas regras na medida 
em que fizermos progressos neste capítulo.
Se olharmos com bastante cuidado a Figura 7.1, 
veremos que os dois resistores R3 e R4 estão em série 
porque compartilham somente o ponto c, e nenhum outro 
elemento está conectado àquele ponto. Além disso, a 
fonte de tensão E e o resistor R estão em série porque 
compartilham o ponto a, e não há nenhum outro elemento 
conectado ao mesmo ponto. Em toda a configuração, não 
há dois elementos em paralelo.
Como podemos analisar esse tipo de configuração? 
A abordagem exige que primeiro identifiquemos os ele-
mentos que podem ser combinados. Tendo em vista que 
não há elementos em paralelo, temos que nos voltar para 
as possibilidades com os elementos em série. A fonte de 
tensão e o resistor em série não podem ser combinados 
porque são tipos diferentes de elementos. Entretanto, os 
resistores R3 e R4 podem ser combinados para formar um 
único resistor. A resistência total dos dois é sua soma, 
como definido pelos circuitos em série. A resistência 
resultante está então em paralelo com o resistor R2, e eles 
podem ser combinados usando-se as leis para elementos 
em paralelo. O processo começou: estamos lentamente 
reduzindo o circuito a um apenas, que será representado 
por um único resistor igual à resistência total ‘vista’ 
pela fonte.
A corrente fornecida pela fonte pode agora ser de-
terminada usando a lei de Ohm, e podemos trabalhar 
retrocedendo através do circuito para descobrir todas 
as outras correntes e tensões. A capacidade de definir o 
primeiro passo na análise pode ser difícil, às vezes. Entre-
tanto, combinações podem ser feitas usando-se somente as 
regras para elementos em série ou em paralelo, de maneira 
que, naturalmente, o primeiro passo pode, simplesmente, 
definir quais elementos estão em série e quais estão em 
paralelo. Então, você tem de definir como descobrir coisas 
como a resistência total e a corrente fornecida pela fonte 
e proceder com a análise. Em geral, os passos a seguir 
proporcionam alguma orientação para a ampla variedade 
de combinações possíveis que você pode encontrar.
Abordagem geral
1. Reserve algum tempo para estudar o problema ‘como 
um todo’, construindo mentalmente um resumo do 
procedimento que planeja usar. Isso pode resultar 
em economia de tempo e energia.
2. Em seguida, analise cada região do circuito sepa-
radamente antes de associá-las em combinações 
série-paralelo. Isso geralmente simplifica o circuito 
e possivelmente revela um método direto para a de-
terminação dos valores de uma ou mais incógnitas. 
Esse procedimento também elimina muitos dos erros 
devido à falta de um método sistemático.
3. Redesenhe o circuito, quando possível, com os ramos 
simplificados, mantendo intactas as quantidades 
desconhecidas para manter o circuito em um modo 
mais fácil de ser entendido e proporcionar circuitos 
reduzidos para que, a partir da fonte, sejam deter-
minadas as quantidades desconhecidas.
4. Quando obtiver uma solução, verifique se ela é 
razoá vel, considerando os valores associados à 
fonte de energia e aos elementos do circuito. Caso 
a solução não pareça razoável, resolva o circuito 
usando outro método ou recapitule todo o trabalho 
cuidadosa mente. 
7.3 MÉTODO DE REDUÇÃO 
E RETORNO
O circuito da Figura 7.1 é redesenhado, resultando 
na Figura 7.2(a). Para essa discussão, presumiremos que 
a tensão V4 é desejada. Como foi descrito na Seção 7.2, 
primeiro combine os resistores em série R3 e R4 para formar 
um resistor equivalente R', como mostra a Figura 7.2(b). 
Os resistores R2 e R' estão em paralelo, e podem ser com-
binados para estabelecer um resistor equivalente R'T, como 
mostra a Figura 7.2(c). Os resistores R1 e R'T estão em série, 
e podem ser combinados para estabelecer a resistência total 
do circuito como mostra a Figura 7.2(d). Agora, a fase de 
redução da análise está completa. O circuito não pode ser 
colocado de uma forma mais simples.
Podemos proceder agora com a fase de retorno, 
através da qual realizamos nosso caminho de volta para 
a tensão desejada V4. Devido à configuração de série 
resultante, a corrente fornecida pela fonte também é a 
corrente por R1 e R'T. A tensão através de R'T (e, portanto, 
R2) pode ser determinada usando-se a lei de Ohm como 
mostra a Figura 7.2(e). Por fim, a tensão desejada V4 pode 
a
R3R1
R2 R4
b c
+
–
E
Figura 7.1 Circuito CC em série-paralelo.
206 Introdução à análise de circuitos
ser determinada por uma aplicação da regra do divisor de 
tensão como mostra a Figura 7.2(f).
O método da redução e retorno acaba de ser intro-
duzido. Esse processo o capacita a reduzir o circuito a sua 
forma mais simples através da fonte e, então, determinar a 
corrente fornecida pela fonte. Na fase de retorno, você usa 
a corrente fornecida pela fonte resultante para trabalhar a 
incógnita desejada. Para a maioria dos circuitos em série-
-paralelo de fonte única, o método anterior proporciona 
uma opção viável para a solução. Em alguns casos, atalhos 
que poupamtempo e energia podem ser aplicados. Agora, 
veremos alguns exemplos.
EXEMPLO 7.1
Calcule a corrente I3 para o circuito em série-paralelo 
na Figura 7.3.
Solução:
Ao conferir os elementos em série e em paralelo, des-
cobrimos que os resistores R2 e R3 estão em paralelo. 
Sua resistência total é:
′ = =
+
= ( )( )
+
=R R R R R
R R2 3
2 3
2 3
12 6
12 6
4||
k k
k k
k
Ω Ω
Ω Ω
Ω
Ao substituir a combinação em paralelo por uma re-
sistência equivalente única, temos a configuração da 
Figura 7.4. Os resistores R1 e R' estão em série, resul-
tando em uma resistência total de:
RT = R1 + R'
A corrente fornecida pela fonte é então determinada 
usando-se a lei de Ohm:
I E
Rs T
= = =
54
6
9V mA
kΩ
Na Figura 7.4, tendo em vista que R1 e R' estão em série, 
elas têm a mesma corrente Is. O resultado é:
I1 = Is = 9 mA
Retornando à Figura 7.3, descobrimos que I1 é a cor-
rente total que entra na combinação em paralelo de R2 
+
–
(a)
R4
R1 R3
R2E
Is V4
(b)
R′ = R3 + R4
R1
E
Is
(f)
R4
R1 R3
R2E
Is
V4 =
R4V2
R4 + R3
(e)
R1
E
Is
R′T
(d)
RT = R1 + R′TE
Is =
E
RT
V2 = IsR′T
V2
(c)
R′T = R2⏐⏐R′
R1
E
Is
R2
Fa
se
 d
e 
re
du
çã
o
Fa
se
 d
e 
re
to
rn
o
+
–
+
–
+
–
Figura 7.2 Introdução ao método de redução e retorno.
E 54 V R3 6 kR2 12 k
I3
+
–
2 k
R1
Figura 7.3 Circuito em série-paralelo para o Exemplo 7.1.
E 54 V R′ 4 k
2 k
R1
Is
RT
I1 I1
+
–
Figura 7.4 Substituição da resistência equivalente paralela 
para os resistores R2 e R3 na Figura 7.3.
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 207
e R3. A aplicação da regra do divisor de corrente resulta 
na corrente desejada:
I R
R R
I3 2
2 3
1
12
12 6
9=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=k
k k
Ω
Ω Ω
mA 6 mA
Observe que, na solução para o Exemplo 7.1, todas 
as equações usadas foram introduzidas nos últimos dois 
capítulos; nada de novo foi introduzido, exceto como abor-
dar o problema e usar a equação de maneira apropriada.
EXEMPLO 7.2
Considerando o circuito na Figura 7.5:
a) determine as correntes I4 e Is e a tensão V2;
b) insira os medidores para medir a corrente I4 e a 
tensão V2.
Soluções:
a) Ao conferir o circuito, descobrimos que não há dois 
resistores em série, e que a única combinação em 
paralelo são os resistores R2 e R3. Combinar os dois 
resistores em paralelo resulta em uma resistência 
total de:
′ = =
+
= ( )( )
+
=R R R R R
R R2 3
2 3
2 3
18 2
18 2
1 8|| ,
k k
k k
k
Ω Ω
Ω Ω
Ω
Ao redesenhar o circuito com a resistência R' inserida, 
temos a configuração na Figura 7.6.
Você pode se sentir tentado a combinar os resistores em 
série R1 e R', e a redesenhar o circuito. Entretanto, um 
exame cuidadoso da Figura 7.6 revela que, tendo em 
vista que os dois ramos resistivos estão em paralelo, a 
tensão é a mesma através de cada ramo. Isto é, a tensão 
pela combinação em série de R1 e R' é 12 V, e aquela 
pelo resistor R4 é 12 V. O resultado é que I4 pode ser 
determinado diretamente usando-se a lei de Ohm, como 
ocorre a seguir:
I V
R
E
R4
4
4 4
12
8 2
= = = =V
k, Ω
1,46 mA
Na realidade, pela mesma razão, I4 poderia ser de-
terminado diretamente a partir da Figura 7.5. Como 
a tensão total através da combinação em série de R1 
e R'T é 12 V, a regra do divisor de tensão pode ser 
aplicada para determinar a tensão V2, como ocorre 
a seguir:
V R
R R
E2
1
1 8
1 8 6 8
12= ′
′ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=,
, ,
k
k k
VΩ
Ω Ω
2,51 V
A corrente Is pode ser encontrada de duas maneiras. 
Calcule a resistência total e use a lei de Ohm, ou 
calcule a corrente através do outro ramo em paralelo 
e aplique a lei de Kirchhoff para corrente. Tendo em 
vista que já temos a corrente I4, a segunda abordagem 
será aplicada:
I E
R R1 1
12
6 8 1 8
1 40=
+ ′
=
+
=V
k k
mA
, ,
,
Ω Ω
e Is = I1 + I4 = 1,40 mA + 1,46 mA = 2,86 mA
b) Os medidores foram inseridos de maneira apro-
priada na Figura 7.7. Observe que o voltímetro 
está entre ambos os resistores, tendo em vista que 
a tensão através dos elementos em paralelo é a 
mesma. Além disso, observe que o amperímetro 
está em série com o resistor R4, fazendo com que 
a corrente do medidor seja a mesma que atravessa 
o resistor em série. A fonte de alimentação exibe a 
corrente fornecida.
Sem dúvida, o Exemplo 7.2 revelou como o estudo 
cuidadoso de um circuito pode eliminar passos desneces-
sários em busca da solução desejada. Muitas vezes, vale 
a pena reservar um tempo extra para refletir e examinar 
cuidadosamente um circuito antes de tentar todas as equa-
ções que pareçam apropriadas.
R1 6,8 k I4
E 12 V
V2
+
–
R3 2 kR2 18 k
R4 8,2 k
Is
+
–
Figura 7.5 Circuito em série-paralelo para o Exemplo 7.2.
12 V
R1
I4
E
6,8 k
R4 8,2 k 12 V
R′ = 1,8 k V2
+
–
+
–
+
–
Is
Figura 7.6 Representação esquemática do circuito na 
Figura 7.5 após a substituição da resistência equivalente R' 
pela combinação em paralelo de R2 e R3.
208 Introdução à análise de circuitos
7.4 MÉTODO DO DIAGRAMA 
EM BLOCOS
No exemplo anterior, usamos o método da redução e 
retorno para descobrir as incógnitas desejadas. O sentido 
parecia relativamente óbvio, e a solução, relativamente fá-
cil de compreender. Entretanto, ocasionalmente o método 
não é tão óbvio, e talvez você precise olhar para grupos de 
elementos em vez de componentes individuais. Assim que 
o agrupamento de elementos revelar o método mais direto, 
você poderá examinar o impacto dos componentes indi-
viduais em cada grupo. Esse agrupamento de elementos 
é chamado de método do diagrama em blocos, e é usado 
nos exemplos a seguir.
Na Figura 7.8, os blocos B e C estão em paralelo 
(pontos b e c em comum), e a fonte de tensão E está em 
série com o bloco A (ponto a em comum). A combinação 
em paralelo de B e C também está em série com A e com 
a fonte de tensão E, devido aos pontos em comum b e c, 
respectivamente.
Para assegurar que a análise a ser seguida seja a 
mais clara e simples possível, a equação a seguir é usada 
para combinações em série e em paralelo de elementos. 
Para os resistores em série R1 e R2, uma vírgula é inserida 
entre suas notações subscritas, como é mostrado a seguir:
R1,2 = R1 + R2
Para os resistores em paralelo R1 e R2, o símbolo em 
paralelo é inserido entre suas notações subscritas, como 
é mostrado a seguir:
R R R
R R
R R1 2 1 2
1 2
1 2
|| ||= = +
Se cada bloco na Figura 7.8 fosse um único elemento 
resistivo, teria-se, como resultado, o circuito na Figura 
7.9. Observe que ele é uma réplica exata da Figura 7.3 no 
Exemplo 7.1. Os blocos B e C estão em paralelo, e sua 
combinação está em série com o bloco A.
Entretanto, como mostra o exemplo a seguir, a mes-
ma configuração de bloco pode resultar em um circuito 
totalmente diferente.
EXEMPLO 7.3
Determine todas as correntes e tensões do circuito na 
Figura 7.10.
V O L T A G E
C U R R E N T ( m A )
+
OFF ON
Coarse
Fine
Coarse
Fine
CV
CC
V2
I4
20V
V
+ COM
2mA
mA
COM+
R1
R2 R3
R4+
–
Is
12.0
2.86
02.51 1.46
Figura 7.7 Inserção de um amperímetro e de um voltímetro para medir I4 e V2, respectivamente.
A
C
a b
c
E B
+
–
Figura 7.8 Introdução ao método do diagrama em blocos.
A
B C
b
c
2 k
RT
54 V
a
Is
12 k 6 k
I3
+
–
Figura 7.9 Formato do diagrama em blocos da Figura 7.3.
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 209
Solução:
Os blocos A, B e C têm a mesma posição relativa, 
mas os componentes internos são diferentes. Observe 
que os blocos B e C ainda estão em paralelo, e o bloco A 
está em série com a combinação em paralelo. Primeiro, 
reduza cada bloco a um único elemento e proceda como 
descrito para o Exemplo 7.1.
Nesse caso:
A: RA
B: RB = R2 || R3 = R2||3 = 
R
N
= 4
2
Ω
C: RC = R4 + R5 = R4,5
Os blocos B e C ainda estão em paralelo, e
R R
NB C||
= =
2
2
Ω
 = 
com RT = RA + RB||C
e I
E
RS T
= = =10
5
V
Ω
2 A
Podemos descobrir as correntes IA, IB e IC usando a 
redução do circuito na Figura 7.10 (lembre-se do Passo 
3) como fizemos na Figura 7.11. Observe que IA, IB e 
IC são os mesmos nas figuras 7.10 e 7.11 e, portanto,também aparecem na Figura 7.11. Em outras palavras, 
as correntes IA, IB e IC na Figura 7.11 têm o mesmo 
valor absoluto que as mesmas correntes na Figura 
7.10. Temos:
IA = IS = 2 A
e IB = IC = 
I IA S
2 2
2
2
= = A = 1 A
Voltando ao circuito na Figura 7.10, temos:
(Observe a similaridade 
entre essa equação e aquela 
obtida para o Exemplo 7.1.)
IR2 = IR3 = 
IB
2
 = 0,5 A
As tensões VA, VB e VC de qualquer uma das figuras são:
VA = IARA 8 V
VB = IBRB 2 V
VC = VB = 2 V
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões para a malha 
indicada na Figura 7.11, obtemos:
V = E – VA – VB = 0
 E = EA + VB = 8 V + 2 V
ou 10 V = 10 V (confere)
EXEMPLO 7.4
Outra variação possível da Figura 7.8 aparece na Figura 
7.12. Determine todas as correntes e tensões.
Solução:
R RA = =
( )( )
+
=
5
=1 2
9 6
9 6
4
15
3 6|| ,
Ω Ω
Ω Ω
Ω
Ω
R R RB = + = +
( )( )
+
= + =3 4 5 4
6 3
6 3
4 2 6|| Ω
Ω Ω
Ω Ω
Ω Ω Ω
RC
O circuito na Figura 7.12 pode então ser redesenhado 
na forma reduzida, como mostra a Figura 7.13. Observe 
as similaridades entre esse circuito e os circuitos nas 
figuras 7.9 e 7.11. Temos:
 RT = RA + RB||C = 3 6
6 3
6 3
, Ω
Ω Ω
Ω Ω
+ ( )( )
+
 Is = 
E
RT
= =16 8
5 6
,
,
V
Ω
3 A
 IA = Is = 3 A
Ao aplicarmos a regra do divisor de corrente, temos:
E R2 4 4 R3
B
R1
4 
A
C
0,5 R4
1,5 R5
10 V
RT
Is
a
IA
IB IC
b
c
+
–
Figura 7.10 Exemplo 7.3.
VBRB = 2 
+ VA –
RA = 4 
10 V
+
–
VC
+
–
2 RC
IB IC
IA
+
–
Is
Figura 7.11 Equivalente reduzido da Figura 7.10.
210 Introdução à análise de circuitos
I R I
R RB
C A
C B
=
+
=
( )( )
+
= =
3 3
3 6
9
9
Ω
Ω Ω
A A 1 A
Pela lei de Kirchhoff para corrente:
IC = IA – IB = 3 A – 1 A = 2 A
Pela lei de Ohm:
VA = IARA 10,8 V
VB = IBRB = VC = ICRC = 6 V
Ao retornar ao circuito original (Figura 7.12) e aplicar 
a regra do divisor de corrente, temos:
I R I
R R
A
1
2
2 1
6 3
6 9
18
15
=
+
=
( )( )
+
= =
Ω
Ω Ω
A A 1,2 A
Pela lei de Kirchhoff para corrente:
I2 = IA – I1 = 3 A – 1,2 A = 1,8 A
As figuras 7.9, 7.10 e 7.12 são apenas algumas 
de uma variedade infinita de configurações que o cir-
cuito pode assumir ao começar pelo arranjo básico na 
 Figura 7.8. Elas foram incluídas na nossa discussão para 
enfatizar a importância de considerar cada região do 
circuito independentemente antes de encontrar a solução 
para o circuito como um todo.
Os blocos na Figura 7.8 podem ser arranjados de 
diversas maneiras. Na realidade, não há limite para o 
número de configurações em série-paralelo que podem 
aparecer dentro de um determinado circuito. Pelo con-
trário, o método do diagrama em blocos pode ser usado 
efetivamente para reduzir a complexidade aparente de um 
sistema ao identificar os principais componentes em série 
e em paralelo do circuito. Esse método é demonstrado nos 
exemplos a seguir.
7.5 EXEMPLOS DESCRITIVOS
EXEMPLO 7.5
Calcule a corrente I4 e a tensão V2 para o circuito na 
Figura 7.14 usando o método do diagrama de blocos.
Solução:
Observe as similaridades com o circuito na Figura 7.5. 
Nesse caso, desejamos conhecer somente algumas 
R1
9 
R2
6 I2
I1
A
R4 6 R5 3 
R3 4 
B
R6 3 
C
IA
E 16,8 V
a
IB IC
b
c
+
–
Figura 7.12 Exemplo 7.4.
RB 6 
RA
3,6 
RC 3 E 16,8 V
RT
+ VA –
Is
IA
IB
VB
+
–
IC
VC
+
–
+
–
Figura 7.13 Equivalente reduzido da Figura 7.12.
Figura 7.14 Exemplo 7.5.
R1 4 I4
R3 6 R2 3 
E 12 V
V2
+
–
+
–
R4 8 
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 211
grandezas em particular, e não uma solução completa. 
Portanto, seria uma perda de tempo calcular todas as 
correntes e tensões do circuito. O método empregado 
deve possibilitar apenas a obtenção das incógnitas dese-
jadas. Com o uso do método do diagrama em blocos, o 
circuito apresenta a estrutura básica mostrada na Figura 
7.15, que indica claramente que os três ramos estão 
em paralelo e que a tensão entre os terminais de A e 
B é a tensão de saída da fonte. Agora está óbvio que a 
corrente I4 é dada pela razão entre a tensão da bateria 
e a resistência associada ao bloco B. Caso se deseje, o 
bloco A pode ser ainda subdividido, como ilustra a Fi-
gura 7.16, de modo a identificar C e D como elementos 
em série, para que a tensão V2 possa ser determinada 
com o auxílio da regra dos divisores de tensão, desde 
que as resistências associadas a C e a D sejam reduzi-
das a um único valor. Esse é um exemplo de como um 
esboço mental do método pode ser feito antes de se 
aplicar leis, regras etc., a fim de evitar caminhos sem 
saída e frustrações.
Aplicando a lei de Ohm, temos:
I E
R
E
RB
4
4
12
8
= = = =V
Ω
1,5 A
Combinando os resistores R2 e R3 da Figura 7.14, temos:
RD = R2 || R3
3 6
3 6
18
9
Ω Ω
Ω Ω
Ω( )( )
+
=
e aplicando a regra dos divisores de tensão, temos:
V R E
R R
D
D C
2
2 12
2 4
24
6
=
+
= ( )( )
+
= =
Ω
Ω Ω
V V 4 V
EXEMPLO 7.6
Determine as correntes e as tensões indicadas para o 
circuito na Figura 7.17.
Solução:
Novamente é solicitado o valor de apenas algumas in-
cógnitas específicas. Quando o circuito é redesenhado, 
é particularmente importante observar quais incógni-
tas serão mantidas e quais terão de ser determinadas 
usando-se a configuração original. O diagrama em 
blocos para esse circuito pode ser o ilustrado na Figura 
7.18, que mostra claramente que A e B estão em série. 
Observe o número de incógnitas que foram preserva-
das nesse formato. A tensão V1 será a mesma entre os 
terminais dos três ramos em paralelo na Figura 7.17, 
enquanto V5 será a tensão entre os terminais de R4 e R5. 
As correntes desconhecidas I2 e I4 são perdidas, pois 
são correntes que percorrem apenas um dos ramos de 
uma associação em paralelo. Entretanto, uma vez que 
V1 e V5 sejam conhecidas, essas correntes podem ser 
determinadas usando-se a lei de Ohm.
Figura 7.15 Diagrama de blocos da Figura 7.14.
A BE
I4
+
–
Figura 7.16 Diagrama alternativo de blocos para o 
primeiro ramo em paralelo da Figura 7.14.
–
E
+
–
V2
+
C
D
R1
6 
R3
2 
+ V1 –
R4 8 R5 12 V5
+
–
I4
R2
6 
I2
RT
Is
E 24 V
+
–
Figura 7.17 Exemplo 7.6.
+ –V1
Is
RTE V5
Is
+
–
A
B
+
–
Figura 7.18 Diagrama de blocos para o circuito da 
Figura 7.17.
212 Introdução à análise de circuitos
 R1||2 = 
R
N
= =6
2
3Ω Ω
 RA = R1 2 3
3 2
3 2
6
5
1 2|| || ,=
( )( )
+
= =
Ω Ω
Ω Ω
Ω Ω
 RB = R4 5
8 12
8 12
96
20
4 8|| ,=
( )( )
+
= =
Ω Ω
Ω Ω
Ω Ω
A forma reduzida do circuito na Figura 7.17 então 
aparece como mostra a Figura 7.19, e:
 RT = R1||2||3 + R4||5
 Is = 
E
RT
= =24
6
V
Ω
4 A
com V1 = IsR1||2||3 4,8 V
 V5 = IsR4||5 19,2 V
Aplicando a lei de Ohm, temos:
 I4 = 
V
R
5
4
19 2
8
= =, V
Ω
2,4 A
 I2 = 
V
R
V
R
2
2
1
2
4 8
6
= = =, V
Ω
0,8 A
O exemplo a seguir demonstra que podemos ter 
tensões desconhecidas não apenas entre os terminais de 
um elemento, mas também entre dois pontos quaisquer 
de um circuito. Além disso, a importância de redesenhar 
o circuito de modo a fazê-lo adquirir um formato mais 
familiar também é apresentada na análise que se segue.
EXEMPLO 7.7
a) Determine as tensões V1, V3 e Vab no circuito mos-
trado na Figura 7.20.
b) Calcule a corrente Is fornecida pela fonte.
Soluções:
Esse é um exemplo de uma situação em que pode 
ser melhor redesenhar o circuito antes de começar a 
análise. Visto que a combinação das duas fontes não 
afeta o cálculo das incógnitas, o circuito é redesenhado 
como mostra a Figura 7.21, estabelecendo um circuito 
paralelo no qual a tensão total da fonte aparece sobre 
os terminais dos ramos em paralelo. A tensão da fonte 
resultante da combinação é dada pela diferença entre 
as tensões das fontes originais, tendo a polaridade da 
fonte original de maior tensão.
a) Observe a semelhança com a Figura 7.16, que nos 
permite usar a regra dos divisores de tensão para 
determinar V1 e V3:
V1 = 
R E
R R
1
1 2
5 12
5 3
60
8+
= ( )( )
+
= =
Ω
Ω Ω
V V 7,5 V
V3 = 
R E
R R
3
3 4
6 12
6 2
72
8+
= ( )( )
+
= =
Ω
Ω Ω
V V 9 V
A tensão de circuito aberto, Vab, é determinada aplican-
do-sea lei de Kirchhoff para tensões à malha indicada 
na Figura 7.21, no sentido horário a partir do ponto a. 
Temos:
+V1 – V3 + Vab = 0
e Vab = V3 – V1 = 9 V – 7,5 V = 1,5 V
b) Pela lei de Ohm:
I1 = 
V
R
1
1
7 5
5
1 5= =, ,V A
Ω
I3 = 
V
R
3
3
9
6
1 5= =V A
Ω
,
+ –V1
Is
RT
E V5
+
–
4,8 
1,2 
R1 2 3
R4 524 V
+
–
Figura 7.19 Forma reduzida do circuito da Figura 7.17.
Is
E1
–
+
b6 
6 V
R3
E218 V
2 
R4
5 
R1
3 
R2a
V3+ –
V1+ –
Vab
+
–
+
–
Figura 7.20 Exemplo 7.7.
a
R3 6 
R4 2 
R1 5 
R2 3 
12 VE
V1
+
–
Is
V3
+
–
I1 I3
b
Vab+ –
+
–
Figura 7.21 Circuito da Figura 7.20 redesenhado.
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 213
Aplicando a lei de Kirchhoff para correntes, temos:
Is = I1 + I3 = 1,5 A + 1,5 A = 3 A
EXEMPLO 7.8
Determine, no circuito da Figura 7.22, as tensões V1 e 
V2 e a corrente I.
Solução:
Seria realmente difícil analisar o circuito na forma em 
que aparece na Figura 7.22, com a notação simbólica 
para as fontes e a ligação ao terra no canto superior 
esquerdo do diagrama. Entretanto, quando o circuito 
é redesenhado no formato ilustrado na Figura 7.23, as 
relações entre os ramos e o papel das incógnitas ficam 
consideravelmente mais claros. Observe a conexão 
comum ao terra e o uso explícito de fontes de tensão.
Agora, é óbvio que:
V2 = –E1 = –6 V
O sinal negativo indica simplesmente que a polaridade 
escolhida para V2 na Figura 7.18 é oposta à real. Apli-
cando a lei de Kirchhoff para tensões à malha indicada, 
obtemos:
–E1 + V1 – E2 = 0
e V1 = E2 + E1 = 18 V + 6 V = 24 V
Aplicando a lei de Kirchhoff para correntes ao nó a, 
temos:
I I I I
V
R
E
R
E
R R
I
= + +
= + +
+
= + +
= + +
=
1 2 3
1
1
1
4
1
2 3
24
6
6
6
6
12
4 1 0 5
V V V
A A A
Ω Ω Ω
,
55,5 A
O exemplo a seguir mostra claramente o fato de que 
as técnicas aprendidas até este capítulo têm um campo 
de aplicação muito vasto, e não serão substituídas por 
métodos mais sofisticados. Embora ainda não tenhamos 
introduzido o conceito de transistor neste livro, os valo-
res das tensões contínuas em um circuito que contém um 
transistor podem ser determinados com o auxílio de regras 
e leis básicas introduzidas nos capítulos iniciais deste livro.
EXEMPLO 7.9
Considerando o transistor na configuração mostrada na 
Figura 7.24, em que VB e VBE foram fornecidas:
a) Determine a tensão VE e a corrente IE.
b) Calcule V1.
c) Determine VBC utilizando o fato de que a aproxima-
ção IC = IE é frequentemente usada em circuitos que 
envolvem transistores.
d) Calcule VCE utilizando as informações obtidas nos 
itens anteriores.
Solução:
a) A partir da Figura 7.24, podemos determinar que:
V2 = VB = 2 V
–
V1
+
–
V2
+
R1 6 
R4 6 
R3
7 
R2 5 
a E1 = –6 V
E2 + 18 V
I
Figura 7.22 Exemplo 7.8.
a
V1
+
–
I2
R1 6 
R4 6 
R3 7 
6 VE1
18 VE2
I
R2 5 
I3
+
I1–
V2
+
–
+
–
Figura 7.23 Circuito da Figura 7.22 redesenhado.
RE 1 k
B
+
IE
E
C
VBE = 0,7 V –
VCC = 22 V
–
VCE
–
+
IC
RC 10 k
R1 40 k
R2 4 kV2
–
+
V1
–
+
VBC
+
VB = 2 V
VE
Figura 7.24 Exemplo 7.9.
214 Introdução à análise de circuitos
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões à malha 
inferior, obtemos:
V2 – VBE + VE = 0
ou VE = V2 + VBE = 2 V – 0,7 V = 1,3 V
e IE = 
V
R
E
E
= =1 3
1
, V
kΩ
1,3 mA
b) Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões no lado 
de entrada (lado esquerdo do circuito), obtemos:
V2 + V1 – VCC = 0
e V1 = VCC – V2
mas V2 = VB
e V1 = VCC – V2 = 22 V – 2 V = 20 V
c) Se redesenharmos a parte do circuito que nos inte-
ressa, obteremos o resultado visto na Figura 7.25, 
em que a aplicação da lei de Kirchhoff para tensões 
resulta em:
VC + VRC – VCC = 0
e VC = VCC – VRC = VCC – ICRC
mas IC = IE
e VC = VCC – IERC
 = 9 V
Então: VBC = VB – VC
 = 2 V – 9 V
 = –7 V
d) VCE = VC – VE
 = 9 V – 1,3 V
 = 7,7 V
EXEMPLO 7.10
Calcule as correntes e tensões indicadas na Figura 7.26.
Solução:
Redesenhando esse circuito, depois de combinar os 
elementos em série, obtemos o circuito visto na Figura 
7.27, e:
I5 =
E
R R1 2 3 4 5
72
12 12
72
24, , ||( ) +
=
+
= =V
k k
V
kΩ Ω Ω
3 mA
com:
V7 = 
R E
R R
7 8 9
7 8 9 6
4 5 72
4 5 12
324
16 5
|| ,
|| ,
,
, ,
( )
( ) +
= ( )( )
+
= =
k V
k k
VΩ
Ω Ω
19,66 V
I6 = 
V
R
7
7 8 9
19 6
4 5|| ,
,
,( )
= =V
kΩ
4,35 mA
e Is = I5 + I6 = 3 mA + 4,35 mA = 7,35 mA
Como a diferença de potencial entre os pontos a e b 
na Figura 7.26 tem o valor fixo de E volts, o circuito à 
direita ou à esquerda não é afetado se reconstruirmos 
o circuito conforme ilustra a Figura 7.28.
Podemos determinar todas as incógnitas, exceto Is, 
analisando cada circuito de maneira independente. Para 
RC 10 k
VC
+
–
C
VRC
+
–
IC
VCC = 22 V
Figura 7.25 Determinação de VC para o circuito da 
Figura 7.24.
R2 8 k
R1
4 k
+
R4 24 k
R3
12 k
R5
12 k
I5
Is
a
R6
12 k
R7
9 k
R8
3 k
R9
6 k
–
V7
b
72 VE
+
–
Figura 7.26 Exemplo 7.10.
Is
+
–
I6I5
R1,2,3 24 k R4 24 k
V7 9 k
R7 R8,9 9 k
R6 12 k
72 VE
R5 12 k
I6I5
+
–
Figura 7.27 Circuito da Figura 7.26 redesenhado.
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 215
determinar Is, temos de calcular a corrente fornecida por 
cada uma das fontes e adicioná-las, como na solução 
anterior; ou seja, Is = I5 + I6.
EXEMPLO 7.11
Considerando o circuito na Figura 7.29:
a) determine as tensões Va, Vb e Vc;
b) calcule as tensões Vac e Vbc;
c) calcule a corrente I2;
d) calcule a corrente fornecida pela fonte Is3;
e) insira os voltímetros para medir as tensões Va e Vbc 
e a corrente Is3.
Soluções:
a) O circuito é redesenhado na Figura 7.30 para indicar 
claramente o arranjo entre os elementos.
Primeiro, observe que a tensão Va passa diretamente 
através da fonte de tensão E1. Portanto:
Va = E1 = 20 V
O mesmo é verdade para a tensão Vc, que passa direta-
mente pela fonte de tensão E3. Portanto:
Vc = E3 = 8 V
Para descobrir a tensão Vb, que na realidade é a tensão 
através de R3, temos de aplicar a lei de Kirchhoff para 
tensões em torno da malha 1, como é feito a seguir:
+E1 – E2 – V3 = 0
e V3 = E1 – E2 = 20 V – 5 V = 15 V
e Vb = V3 = 15 V
b) A tensão Vac, que é na realidade a tensão pelo resistor 
R1, pode então ser determinada como a seguir:
Vac = Va – Vc = 20 V – 8 V = 12 V
Similarmente, a tensão Vbc, que é na realidade a tensão 
através do resistor R2, pode então ser determinada 
como a seguir:
Vbc = Vb – Vc = 15 V – 8 V = 7 V
c) A corrente I2 pode ser determinada usando-se a lei 
de Ohm:
I V
R
V
R
bc
2
2
2 2
7
4
= = = =V
Ω
1,75 A
R2 8 k
R1
4 k
+
R4 24 k
R3
12 k
R5
12 k
I6
R6
12 k
R7
9 k R8
3 k
R9
6 k
–
V772 VE
I6I5
I5
72 VE
+
–
+
–
Figura 7.28 Uma abordagem alternativa para o Exemplo 7.10.
20 VE1
Va
I2
Is3
+
–
VcVb
R15 V
E2
R3
10 
+E3
8 V
–
R2
4 
5 
+
–
Figura 7.29 Exemplo 7.11.
R1 10 
V3 R3 5 
R2
4 
20 V
8 V
5 V
E1
E2
E3
Va
Vb Vc
I2
Is3
I1
+
–
+
–
+
–
+
–
Figura 7.30 Circuito na Figura 7.29 redesenhado para 
definir o caminho para as incógnitas desejadas de forma mais 
adequada.
216 Introdução à análise de circuitos
d) A corrente fornecida pela fonte IS3 pode ser determi-
nada usando-se a lei de Kirchhoff para corrente no 
nó c:
Ii Io
I1 + I2 + Is3 = 0
e Is3 = –I1 – I2 = –
V
R
1
1
 – I2
com V1 = Vac = Va – Vc = 20 V – 8 V = 12 V
de maneira que
Is3 = –
12
10
V
Ω
 – 1,75 A = –1,2 A – 1,75 A = –2,95 A
revelando que a corrente está, na realidade, sendo 
forçada através da fonte E3 na direção oposta daquela 
mostrada na Figura 7.29.
e) Ambos os voltímetros têm uma leitura positiva, 
como mostra a Figura 7.31, enquanto o amperímetro 
tem uma leitura negativa.
7.6 CIRCUITOS EM CASCATA
Um circuito em cascata de três seções é mostrado 
na Figura 7.32. A razão para o uso dessa terminologia se 
torna óbvia ao se observar sua estrutura repetitiva. Ba-
sicamente, duas abordagens são usadas para resolver os 
problemas associados a circuitos desse tipo.
Método 1
Calcule a resistência total do circuito e a corrente 
fornecida pela fonte e, em seguida, repita os passosno 
sentido inverso até obter a corrente ou a tensão desejada. 
Aplicaremos esse método para determinar V6 na Figura 
7.32.
Efetuando as combinações de elementos em série 
e em paralelo, como mostra a Figura 7.33, obtemos o 
circuito reduzido mostrado na Figura 7.34, e:
RT
I E
RS T
= = =240
8
30V A
Ω
Retornando a I6 (Figura 7.35), descobrimos que:
I1 = Is
e I3 = 
IS
2
30
2
15= =A A
e, por fim (Figura 7.36),
I
I
6
36
6 3
6
9
15 10= ( )
+
= ( ) =Ω
Ω Ω
A A
e V6 = I6R6 20 V
Método 2
Associe uma letra à corrente no último ramo do 
circuito e analise o circuito na direção da fonte, mantendo 
explícita essa corrente ou qualquer outra em que esteja in-
200VV
+COM
R1
E1 20 V I2
Va
Vb
R3
R2
E2
E3
8 V
5 V
Vc
Is3
20VV
+ COM
A
+ COM
20A
+
–
+
–
+
–
20.00
2.95
7.00
Figura 7.31 Circuito complexo para o Exemplo 7.11.
V6
+
–
RT
I6
R6 2 240 VE R4 6 R2 6 
R1
5 
R3
4 
R5
1 
Is
+
–
Figura 7.32 Circuito em cascata.
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 217
teressado. A corrente desejada pode então ser determinada 
diretamente. A melhor maneira de descrever esse método 
é pela análise do mesmo circuito que consideramos na 
Figura 7.32, redesenhado na Figura 7.37.
A notação designada para a corrente através do ramo 
final é I6:
 I6 = 
V
R R
V V4
5 6
4 4
1 2 3+
=
+
=
Ω Ω Ω
ou V4 I6
de modo que I4 = 
V
R
I
I4
4
6
6
3
6
0 5=
( )
=
Ω
Ω
,
e I3 = I4 + I6 = 0,5I6 + I6 = 1,5I6
 V3 = I3R3 = (1,5I6 I6
Também, V2 = V3 + V4 I6 I6 I6
assim, I2 = 
V
R
I
I2
2
6
6
9
6
1 5= ( ) =Ω
Ω
,
e Is = I2 + I3 = 1,5I6 + 1,5I6 = 3I6
com V1 = I1R1 = IsR1 Is
logo: E = V1 + V2 Is I6
I6 I6 I6
e I6 = 
E
24
240
24
10
Ω Ω
= =
V A
com V6 = I6R6 20 V
o mesmo valor que foi obtido usando-se o Método 1.
R2 6
R1
5
RT
R4 6
R3
4
3
(= 1 + 2 )
(3 )(6 )
3 + 6
= 2
R2 6
R1
5
RT
6 (= 4 + 2 )
6
2
= 3
Figura 7.33 Retorno à fonte para determinar RT para o circuito na Figura 7.32.
3 
RT
Is R1
5 
Figura 7.34 Cálculo de RT e Is.
E
I1
6 6 
R1
5 
R2
Is I3
240 V
+
–
Figura 7.35 Retorno a I6.
I1
6 R2
Is R3
4 
R1
5 
E 240 V 3 
I3 I4 I6
6 R4 R5,6V4
+
–
+
–
Figura 7.36 Cálculo de I6.
R1
5 
V1+ –
I1
V2 R2 6 
+
–
I2 I3
R3
4 
V3+ –
R4 6 
+
–
I4 I5
R5
1 
V5+ –
V4240 V
Is
R6 2 
I6
+
–
V6E
+
–
Figura 7.37 Abordagem alternativa para o circuito em cascata.
218 Introdução à análise de circuitos
7.7 FONTE COM DIVISOR DE TENSÃO 
(COM CARGA E SEM CARGA)
Quando o termo carga é usado para descrever a 
fonte com divisor de tensão, ele se refere à aplicação de 
um elemento, um circuito, ou um sistema a uma fonte que 
drena a corrente desta. Em outras palavras,
o carregamento de um sistema é o processo de introduzir 
elementos que drenarão corrente do sistema. Quanto 
mais pesada a corrente, maior o efeito de carga. 
Lembre-se de que vimos na Seção 5.10 que a apli-
cação de uma carga pode afetar a tensão terminal de uma 
fonte devido à resistência interna.
Condições sem carga
Através de um circuito divisor de tensão como o 
que aparece na Figura 7.38, uma série de tensões termi-
nais diferentes podem ser disponibilizadas por uma única 
fonte. Em vez de ter uma única fonte de 120 V, temos 
agora tensões terminais de 100 V e 60 V disponíveis — 
um resultado maravilhoso para um circuito tão simples. 
Entretanto, pode haver desvantagens. Uma delas é que as 
cargas resistivas aplicadas podem ter valores muito próxi-
mos daqueles que formam o circuito com divisor de tensão.
Em geral,
para que uma fonte com divisor de tensão seja efetiva, as 
cargas resistivas aplicadas devem ser significativamente 
maiores do que os resistores que aparecem no circuito 
com divisor de tensão.
Para demonstrar a validade da declaração anterior, 
examinaremos agora o efeito da aplicação de resistores 
com valores muito próximos aos do circuito com divisor 
de tensão.
Condições com carga
a cada uma das tensões terminais. Observe que esse valor é 
igual a um dos resistores no circuito com divisor de tensão 
e muito próximo dos outros dois.
A tensão Va não é afetada pela carga RL1, tendo em 
vista que a carga está em paralelo com a tensão da fonte E. 
O resultado é Va = 120 V, que é o mesmo do nível sem car-
ga. Para determinar Vb, temos primeiro que observar que 
R3 e RL3 estão em paralelo e R'3 = R3 || RL3
 R'2 = (R2 + R'3) || RL2
Aplicando a regra do divisor de tensão, temos:
E 20 
30 
10 
a
b
c
0 V
60 V
100 V
120 V
120 V
+
–
Figura 7.38 Fonte com divisor de tensão.
R2 20 
R1 10 
E 120 V
R3 30 RL3 20 
RL2 20 
RL1 20 
Vc
Vb
Va = 120 V
0 V
Fonte com divisor de tensão
+
–
Figura 7.39 Fonte com divisor de tensão com cargas iguais ao valor médio dos elementos resistivos que formam a fonte.
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 219
Vb =
( )( )
+
=
12 31 120
12 31 10
,
,
Ω
Ω Ω
V
66,21 V
versus 100 V sob condições sem carga.
A tensão Vc é:
VC =
( )( )
+
=
12 66 21
12 20
Ω
Ω Ω
, V
24,83 V
versus 60 V sob condições sem carga.
O efeito dos resistores de carga próximos em valor 
ao resistor empregado no circuito com divisor de tensão 
é, portanto, a redução significativa de algumas das tensões 
terminais.
Se os resistores de carga são modificados para o 
-
mente próximas dos valores sem carga. A análise é similar 
à anterior, e gera os resultados a seguir:
Va = 120 V Vb = 98,88 V Vc = 58,63 V
Se compararmos as drenagens de corrente estabe-
lecidas pelas cargas aplicadas, descobriremos que para o 
circuito na Figura 7.39:
I
V
RL
L
L
2
2
2
66 21
20
3 31= = =, ,V A
Ω
IL2
98 88
1
98 88 0 1= = <, , ,V
k
mA A
Ω
Como demonstrado antes, quanto maior a drenagem 
de corrente, maior a mudança em tensão terminal com a 
aplicação da carga. Isso é certamente comprovado pelo 
fato de que IL2 é em torno de 33,5 vezes maior com as 
O exemplo a seguir é um exercício de projeto. As 
especificações de tensão e de corrente de cada carga são 
fornecidas juntamente com as especificações terminais da 
fonte. Os resistores com divisor de tensão exigidos têm 
de ser encontrados.
EXEMPLO 7.12
Determine R1, R2 e R3 para a fonte com divisor de tensão 
na Figura 7.40. Resistores de 2 W podem ser usados no 
projeto do circuito?
Solução:
R3:
 R3 = 
V
I
V
I
R
R
R
s
3
3
3 12
50
= =
V
mA
 = 
 PR3 = (IR3)
2R3 = (50 mA)2
R1: Aplicando a lei de Kirchhoff para o nó a, temos:
Is – IR1 – IL1 = 0
e IR1 = Is – IL1 = 50 mA – 20 mA = 30 mA
 R1 = 
V
I
V V
I
R
R
L L
R
1
1
1 2
1
60 20
30
40
30
=
−
= − =V V
mA
V
mA
 = 
 PR1 = (IR1)
2R1 = (30 mA)2
R2: Aplicando a lei de Kirchhoff para corrente no nó 
b, temos:
IR1 – IR2 – IL2 = 0
e IR2 = IR1 – IL2 = 30 mA – 10 mA = 20 mA
 R2 = 
V
I
R
R
2
2
20
20
= V
mA
 = 
 PR2 = (IR2)
2R2 = (20 mA)2
Tendo em vista que PR1, PR2 e PR3 são menores que 2 W, 
resistores de 2 W podem ser usados para o projeto.
7.8 CONEXÃO DE UMA CARGA 
A UM POTENCIÔMETRO
No caso de um potenciômetro sem carga, como o da 
Figura 7.41, a tensão de saída é determinada pela regra dos 
divisores de tensão, com RT representando a resistência 
total do potenciômetro. É muito frequente a suposição de 
que a tensão entre os terminais de uma carga conectada 
ao contato móvel é determinada somente pelo potenciô-
metro, podendo ser ignorado o efeito da carga. Isso não é 
necessariamente verdadeiro, conforme será demonstrado 
nos próximos parágrafos.
Quando o potenciômetro é conectado a uma carga, 
como ilustra a Figura 7.42, a tensão de saída VL passa a 
R2
–12 V
R1
b
R3
a
RL2E 72 V
20 mA
10 mA
20 V
RL1 60 V
+
–
+
–
+
–
Is = 50 mA
Figura 7.40 Fonte com divisor de tensão para o Exemplo 
7.12.
220 Introdução à análise de circuitos
depender da resistência da carga, visto que R1 não é como 
mostra a Figura 7.41, mas uma combinação paralela de 
R1 e RL.
A tensão de saída agora é:
 V R E
R R
R R RL L=
′
′ +
′ =
2
1 com || (7.1)
Se você deseja ter um bom controle da tensão de saí-
da VL utilizando um botão, um pino, um parafuso ou qual-
quer outro dispositivo,é aconselhável escolher uma carga 
ou um potenciômetro que satisfaça à seguinte relação:
 RL >> RT (7.2)
Em geral,
ao conectar uma carga a um potenciômetro, certifique-
-se de que a resistência da carga exceda em muito a 
resistência terminal máxima do potenciômetro, caso um 
bom controle da tensão de saída seja desejado.
Por exemplo, se desprezarmos a Equação 7.2, esco-
correspondente a 1/10 da resistência total, como mostra a 
Figura 7.43, teremos:
 
e VL = 
99 9 10
99 9 900
0 001 1
,
,
,
Ω
Ω Ω
V
k
V mV( )
+
≅ =
que é muito menor do que o valor esperado de 1 V.
Na verdade, se deslocarmos o contato móvel para 
o ponto médio:
 
e VL = 
99 98 10
99 98 500
0 002 2
,
,
,
Ω
Ω Ω
( )( )
+
≅ =
V
k
V mV
que é desprezível em comparação com o valor esperado 
de 5 V. Mesmo quando R1 VL será simplesmente 
0,01 V, ou seja, 1/1.000 da tensão disponível.
Se invertermos a situação, fazendo RT RL = 
a 1/10 de RT, como na Figura 7.44, teremos:
 ≅
e VL = 
10 10
10 90
1
Ω
Ω Ω
V
V( )
+
=
conforme desejado.
No caso de as condições corresponderem ao limite 
inferior da Equação 7.2 (pior caso para projeto), RL = RT = 
intermediária da Figura 7.42:
R1
E
R2
RT
VL
+
–
=
R1E
R1 + R2
+
–
Figura 7.41 Potenciômetro sem carga.
V O L T A G E
C U R R E N T ( A )
+
OFF ON
Coarse
Fine
Coarse
Fine
CV
CC
a
b
c
RL
Potenciômetro
E
Is
RL
R′ = R1 RL
VL
RT
R1
E
R2
a
b
c
+
– +
–
RL
R′ = R1 RL
VL
RT
R1
E
R2
a
b
c
+
– +
–
Figura 7.42 Potenciômetro com carga.
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 221
 
e VL = 
33 33 10
33 33 50
4
,
,
Ω
Ω Ω
V
V( )
+
≅
Pode não ser o valor ideal, que seria 5 V, mas pelo 
menos 40 por cento da tensão E foram alcançados com 
o contato móvel na posição central, em vez de 0,02 por 
cento obtido quanto tínhamos RL RT
Portanto, em geral, devemos sempre tentar, ao proje-
tar um circuito que contenha um potenciômetro, satisfazer 
o critério expresso pela Equação 7.2 da melhor forma 
possível.
Alguém poderia sugerir que escolhêssemos um 
potenciômetro com um valor muito pequeno de RT, de 
modo a assegurar que a tensão se mantivesse constante 
independentemente da carga. Assim, tenha em mente 
que o potenciômetro tem uma especificação de potência, 
e para os circuitos, como o que é visto na Figura 7.44, 
Pmáx ≅ E2/RT = (10 V)2 RT for reduzida a 
Pmáx = (10 V)2
necessário um potenciômetro de dimensões muito maiores.
EXEMPLO 7.13
Determine as tensões de V1 e V2 para o potenciômetro 
com carga ilustrado na Figura 7.45.
Solução:
Ideal (sem carga):
 V1 = 
4 120
10
k V
k
Ω
Ω
( ) = 48 V
 V2 = 
6 120
10
k V
k
Ω
Ω
( ) = 72 V
Com carga:
 
 
 V1 = 
3 120
8
k V
k
Ω
Ω
( ) = 45 V
 V2 = 
5 120
8
k V
k
Ω
Ω
( ) = 75 V
As tensões com carga estão tão próximas das tensões 
ideais que o projeto pode ser considerado adequado 
para a carga usada. Para aplicar as tensões ideais às 
duas cargas, basta modificar ligeiramente a posição do 
cursor do potenciômetro.
7.9 PROJETO DE AMPERÍMETROS, 
VOLTÍMETROS E OHMÍMETROS
Os projetos desta seção usarão o galvanômetro de 
d’Arsonval da Figura 7.46, pois se trata do instrumento 
utilizado com maior frequência por fabricantes de instru-
mentos de corrente. Ele opera usando o princípio de que 
há uma força repulsiva entre polos magnéticos iguais. 
Quando uma corrente é aplicada à bobina enrolada em tor-
no das duas palhetas, um campo magnético é estabelecido 
dentro da bobina, magnetizando as palhetas fixa e móvel. 
Tendo em vista que ambas as palhetas serão magnetizadas 
da mesma maneira, elas terão a mesma polaridade, e uma 
força de repulsão se desenvolverá entre elas. Quanto mais 
forte a corrente aplicada, mais fortes o campo magnético 
e a força de repulsão entre as palhetas. A palheta fixa vai 
permanecer em posição, mas a palheta móvel vai girar e 
fornecer uma medida da força da corrente aplicada.
Um galvanômetro de d’Arsonval fabricado pela 
Simpson Company aparece na Figura 7.47(a). Galva-
nômetros desse tipo são normalmente classificados em 
VL
+
–
1 M Pot.
900 k
100 k
100 
E 10 V
+
–
Figura 7.43 Potenciômetro carregado com RL RT.
E
VL
+
–
10 V
100 Pot.
90 
10 
1 M
+
–
Figura 7.44 Potenciômetro carregado com RL >> RT.
E
V1
+
–
120 V
10 k Pot.
6 k
4 k
12 k
V2
+
–
30 k
+
–
Figura 7.45 Exemplo 7.13.
222 Introdução à análise de circuitos
termos de corrente e resistência. A sensibilidade de cor-
rente (SC) é a corrente que resultará em uma deflexão de 
fundo de escala. A resistência (Rm) é a resistência interna 
do movimento. O símbolo gráfico para o galvanômetro 
aparece na Figura 7.47(b) com a sensibilidade de corrente 
e a resistência interna para a unidade da Figura 7.47(a).
Galvanômetros são normalmente classificados pela 
corrente e pela resistência. As especificações de um galva-
é a sensibilidade de corrente (SC) do galvanômetro, que é 
a corrente exigida para uma deflexão de fundo de escala. 
Ela é denotada pelo símbolo Isc -
tência interna (Rm) do galvanômetro. Uma notação comum 
para o galvanômetro e suas especificações é fornecida na 
Figura 7.48.
Amperímetro
A corrente máxima que um galvanômetro de 
d’Arsonval pode indicar independentemente corresponde 
à sensibilidade de corrente do galvanômetro. Entretanto, 
correntes maiores podem ser medidas se um circuito 
adicional for introduzido. Esse circuito, conforme mostra 
a Figura 7.48, resulta na construção de um amperímetro 
básico.
A resistência Rshunt na Figura 7.49 é escolhida de 
tal modo que, quando uma corrente de 1 A atravessa o 
amperímetro, a corrente no galvanômetro é de 1 mA. Se 
uma corrente menor que 1 A atravessar o amperímetro, o 
Terminais do
galvanômetro
Ponteiro
Mola
Palheta fixa
Palheta móvel
VISÃO LATERAL
Bobina
I
Ponteiro
Mola
VISÃO DE CIMA
Palheta
móvel
Palheta
fixa Para leitura de escala
de ordem elevada
(impressa na armação)
Figura 7.46 Galvanômetro de d’Arsonval.
Rshunt
1 mA, 43 
b
d
a
c
Imáx = 1 A
Is
Im
Amperímetro
Figura 7.48 Amperímetro básico.
Figura 7.47 Galvanômetro de d’Arsonval; (a) foto, (b) 
símbolo e especificações.
1 mA, 43 
(b)(a)
Terminal
externo
Terminal
externo
Chave giratória
Imáx = 1 A I
Imáx = 10 A
Imáx = 100 A
I + –
1 mA, 43 
4,3 m
43 m
0,43 m
Figura 7.49 Amperímetro multifaixa.
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 223
galvanômetro terá menos de 1 mA passando por ele e terá 
uma deflexão menor que a de fundo de escala.
Como a tensão entre os terminais de elementos em 
paralelo é a mesma, a queda de potencial entre a e b na 
Figura 7.49 deve ser idêntica àquela entre c e d, ou seja:
RshuntIs
E também Is tem de ser igual a 1 A – 1 mA = 999 mA, 
se a corrente através do galvanômetro tiver de ser limitada 
em 1 mA (lei de Kirchhoff para correntes).
Portanto:
Rshunt(999 mA)
 Rshunt = 
1 43
999
mA
mA
( )( )Ω
em geral ≅
 R R I
I I
m SC
SC
shunt
m�x
=
−
 (7.4)
Uma maneira de construir um amperímetro de várias 
escalas é mostrada na Figura 7.50, na qual a chave giratória 
determina a resistência Rshunt a ser usada em função da 
máxima corrente a ser medida. Muitos medidores utilizam 
a mesma escala para vários valores máximos de corrente. 
Uma leitura de 375, na escala de 0 a 5 mA, com a chave 
na posição 5, significa que a corrente medida vale 3,75 
mA; com a chave na posição 50, a mesma leitura significa 
uma corrente de 37,5 mA, e assim por diante.
Voltímetro
Uma modificação nos circuitos adicionais permite 
usar o galvanômetro de d’Arsonval no projeto de um vol-
indicação de que a maior tensão que o galvanômetro pode 
medir independentemente é 43 mV. Essa especificação 
em milivolts é algumas vezes denominada sensibilidade 
de tensão (ST ). A construção básica de um voltímetro é 
mostrada na Figura 7.50.
A resistência Rsérie é ajustada de modo a limitar a 
corrente que passa pelo galvanômetro a 1 mA, quando 
a tensão máxima é aplicada ao voltímetro. No caso de uma 
tensão menor, a corrente no circuito diminui e, portanto, a 
deflexão do ponteirodo galvanômetro é menor.
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões na malha 
fechada vista na Figura 7.50, obtemos:
|10 V – (1 mA)(Rsérie)| – 43 mV = 0
ou Rsérie = 
10 43
1
9 957 10
V mV
mA
k
− ( )
= ≅. Ω Ω
Em geral,
 R V V
I
ST
SC
sÈrie
m�x= − (7.5)
Um dos métodos para se construir um voltímetro de 
múltiplas escalas é mostrado na Figura 7.51. Se a chave 
giratória for colocada na posição 10 V, Rsérie
a chave em 50 V, Rsérie
chave em 100 V, Rsérie
Ohmímetro
Em geral, os ohmímetros são projetados separada-
mente para medir resistências baixas, médias e altas. O 
medidor de resistência mais usado é o ohmímetro em 
série, projetado para medir valores médios de resistência. 
Ele é usado na configuração em série na Figura 7.52. Esse 
projeto é bastante diferente em relação aos projetos do am-
perímetro e do voltímetro porque apresenta uma deflexão 
máxima do ponteiro correspondente a uma leitura de zero 
ohm e uma deflexão nula quando a resistência é infinita.
Para determinar a resistência em série RS, as pontas 
de prova são ‘curto circuitadas’ (uma conexão direta de 
zero ohm entre elas) para simular uma resistência nula 
tendo o potenciômetro de ajuste de zero na metade do 
valor máximo. A resistência RS é então ajustada de modo 
a permitir a passagem de uma corrente igual à sensibili-
V = 10 V (máximo)
Im = 1 mA
Rsérie
43 mV+ –
+ –
1 mA, 43 
Figura 7.50 Voltímetro básico.
40 k
50 k
Terminais externos
100 V
50 V
10 V
Chave
giratória
Im = 1 mA
1 mA, 43 
–+
10 k
Figura 7.51 Voltímetro multifaixa.
224 Introdução à análise de circuitos
dade de corrente (1 mA) do galvanômetro. Colocamos o 
potenciômetro de ajuste do zero na posição correspondente 
à metade do valor máximo, para que possam ser compen-
sadas quaisquer variações nos componentes do medidor 
que resultem em uma corrente mais alta ou mais baixa que 
a necessária para que o ponteiro atinja o final da escala. A 
corrente Im é dada por:
I I E
R R
m sc
S m
( )fundo de escala ajuste de zero= = + +
2
 (7.6)
e R E
I
RS
SC
m= − −
ajuste de zero
2
 (7.7)
Se colocarmos agora uma resistência desconhecida 
entre os terminais externos do aparelho, a corrente será 
reduzida provocando a deflexão do ponteiro menor que 
a de fundo de escala. Se deixarmos os terminais abertos, 
simulando uma resistência infinita, não haverá deflexão do 
ponteiro, pois a corrente que percorre o circuito será nula.
Um instrumento projetado para medir resistências 
muito baixas é mostrado na Figura 7.53. Ele é capaz de 
-
pacidade para medições de resistências muito baixas, seu 
circuito é muito mais sofisticado do que o que acabamos 
de descrever. Nele são empregados componentes eletrô-
nicos que eliminam as imprecisões introduzidas pelas 
resistências das pontas de prova e dos contatos, sendo 
considerado semelhante ao sistema que descrevemos pois 
é totalmente portátil e também necessita de uma bateria 
CC para efetuar as medidas. Pontas de provas especiais são 
empregadas para minimizar qualquer resistência adicional 
ao circuito de medição.
O megohmímetro é um instrumento usado para 
medir valores de resistência muito elevados. É usado 
principalmente para testar o isolamento de linhas de trans-
missão, máquinas elétricas, transformadores, entre outros 
equipamentos. Para medir grandes valores de resistência, 
primeiro é gerada uma tensão contínua elevada com o 
auxílio de um gerador manual. Quando o eixo do gerador 
gira com uma velocidade maior que um dado valor espe-
cificado, é possível fixar a tensão de saída em um valor, 
em geral 250, 500 ou 1.000 V — uma boa razão para ser 
cuidadoso ao usá-lo. Uma foto de um instrumento comer-
cial desse tipo é mostrada na Figura 7.54. O modelo da foto 
7.10 APLICAÇÕES
Reforço de uma bateria de automóvel
Embora o reforço de uma bateria de automóvel possa 
parecer inicialmente uma simples aplicação de circuitos 
paralelos, na realidade é uma operação série-palalela que 
merece alguma análise. Conforme abordado no Capítulo 2, 
toda fonte CC possui uma resistência interna. Para uma 
bateria chumbo-ácido típica de automóvel, sua resistên-
cia interna é muito pequena — está na faixa de miliohm. 
1 mA, 43 
Rs
Ajuste de zero
Im
E
Rdesconhecida
+
–
Figura 7.52 Ohmímetro em série.
Figura 7.53 Nanovoltímetro. (Cortesia da PhotoObjects/
Getty Images.)
Figura 7.54 Megohmímetro. (Cortesia da Dja65/
Shutterstock.)
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 225
Na maioria dos casos, essa baixa resistência garante que 
a maior parte da tensão (ou da potência) seja entregue 
à carga, e não perdida na resistência interna. Na Figura 
7.55, a bateria #2 foi descarregada porque os faróis foram 
deixados ligados por três horas durante uma sessão de 
cinema. Felizmente, um amigo que se assegurou de que 
os faróis do seu próprio automóvel estavam desligados 
tem uma bateria totalmente carregada (identificada na 
Figura 7.55 por #1) e também um bom conjunto de cabos 
com comprimento em torno de 5 m, com fio de bitola #6 
e garras bem projetadas. O investimento que se faz em 
um bom conjunto de cabos, de comprimento e capacidade 
suficientes, é algo prudente, principalmente no caso de se 
viver em um local de clima frio. A flexibilidade, propor-
cionada pelo cabo, também é uma característica bastante 
desejada em certas condições. Verifique a bitola do fio, 
não apenas a grossura da cobertura isolante. Recebe-se 
pelo que se paga, pois o cobre é a parte mais cara do cabo. 
Frequentemente, os rótulos informam que se trata de um 
cabo de ‘alta capacidade’, mas a bitola do fio é muito alta.
A sequência adequada dos eventos na operação de 
reforço da bateria de um automóvel depende com frequên-
cia de com quem se fala ou de qual informação se lê. Por 
motivo de segurança, algumas pessoas recomendam que 
o automóvel com a bateria carregada esteja desligado 
no momento de realizar as conexões. No entanto, isso 
pode criar um problema imediato se a bateria descarre-
gada estiver em uma condição muito ruim, de modo que 
quando for conectada à bateria ‘boa’, ela drene imedia-
tamente uma corrente tal que deixe os dois automóveis 
sem condições de partida. Com isso em mente, faz algum 
sentido deixar o motor do automóvel em funcionamento 
para garantir que o processo de carga continue até que o 
motor do outro automóvel dê a partida. Como acidentes 
acontecem, é bastante recomendável que a pessoa que faz 
as conexões use algum tipo de equipamento de proteção 
ocular, mesmo que seja apenas um par de óculos. Gaste 
o tempo suficiente para se certificar de qual é o terminal 
positivo e qual é o negativo em ambos os automóveis. Se 
isso não parecer imediatamente óbvio, tenha em mente que 
o terminal negativo, ou terra, é geralmente conectado ao 
chassi do automóvel com um fio relativamente curto e de 
alta capacidade de corrente.
Quando estiver certo da identificação dos terminais 
positivo e negativo, prenda primeiro a garra do fio verme-
lho dos cabos reforçadores na bateria descarregada — ao 
mesmo tempo, certifique-se de que a outra garra vermelha 
não entre em contato com a bateria ou com o automóvel. 
Em seguida, conecte a outra extremidade do fio vermelho 
ao terminal positivo da bateria carregada. Agora, prenda 
a garra de uma extremidade do fio preto dos cabos re-
forçadores no terminal negativo da bateria reforçadora 
e, finalmente, prenda a outra extremidade do fio preto 
no bloco do motor do veículo parado (não a prenda no 
negativo da bateria descarregada) longe do carburador, 
das mangueiras de combustível ou das partes móveis do 
automóvel. Finalmente, alguém deve manter uma acele-
ração no veículo com a bateria boa enquanto a partida for 
dada no outro veículo. Após ter dado partida no veículo, 
remova os cabos na ordem inversa, começando com o 
cabo conectado ao bloco do motor. Seja sempre cuida-
doso para garantir que as garras não toquem a bateria ou 
o chassi do automóvel, nem se aproximem de quaisquer 
partes móveis.
Algumas pessoas acham que o automóvel que tem a 
bateriaboa deve carregar a bateria ruim de 5 a 10 minutos 
antes de dar partida no veículo com a bateria ruim, de 
modo que esse veículo use essencialmente a própria bateria 
no processo de partida. Tenha em mente que no instante 
em que os cabos reforçadores são conectados, o veículo 
que tem a bateria reforçadora estará empenhado na carga 
da própria bateria e da bateria descarregada. Durante a 
partida, a bateria carregada será solicitada a fornecer uma 
alta corrente para dar partida no outro veículo. Isso é uma 
12 V
20 m 10 m
Reforço de bateria
(#1)
Bateria baixa
(#2)
11,7 V
Cabo de reforço
Icarga
Terminais de bateria
+
–
+
–
+
–
+
–
Figura 7.55 Reforço de uma bateria de automóvel.
226 Introdução à análise de circuitos
carga muito grande para uma única bateria. No caso da 
situação mostrada na Figura 7.55, a tensão da bateria #2 é 
menor que a da bateria #1, e a corrente de carga circulará 
conforme o mostrado. A resistência em série com a bateria 
reforçadora é devida mais ao longo comprimento do cabo 
reforçador para o outro veículo. A corrente é limitada ape-
nas pelos resistores de miliohm em série com as baterias, 
porém, a diferença de tensão é muito pequena, de maneira 
que a corrente de partida estará em uma faixa segura 
para os cabos envolvidos. A corrente inicial de carga será 
I
10 A. Durante a partida, os níveis de corrente devem ser 
como mostra a Figura 7.56 para os níveis de resistência 
e para as tensões de bateria supostos. Durante a partida, 
considere que a resistência interna do circuito de partida 
com problema agora foi carregada até 11,8 V com um 
aumento associado ao nível de potência. A presença de 
duas baterias requer que a análise espere pelos métodos 
apresentados no próximo capítulo.
Observe também que a corrente drenada pelo circui-
to de partida da bateria descarregada está acima de 100 A, 
e que a maioria dos valores de corrente de partida é forne-
cida pela bateria que está sendo carregada. Portanto, em 
essência, a maior parte da corrente de partida é fornecida 
pela bateria descarregada. A bateria boa fornece uma carga 
inicial à bateria ruim, bem como uma corrente adicional 
para a partida do veículo. Porém, a bateria descarregada é 
a fonte primária da corrente de partida. Por essa importante 
razão, é aconselhável deixar que o processo de carga dure 
de 5 a 10 minutos antes que se dê a partida no veículo. Se 
a bateria descarregada estiver realmente em mau estado 
com um nível de tensão de 11 V, os níveis de corrente serão 
invertidos, sendo que a bateria boa fornecerá 68,75 A e a 
bateria ruim, apenas 37,5 A. Assim, é bastante óbvio que 
quanto pior o estado da bateria ruim, maior a corrente dre-
nada da bateria boa. Pode acontecer também que a bateria 
ruim esteja em um estado tão ruim que não aceite carga 
ou não forneça sua cota de corrente de partida. Isso pode 
resultar em contínuas tentativas de partida sem sucesso e, 
possivelmente, na danificação da bateria boa devido às 
enormes quantidades de corrente drenada. Uma vez que 
tenha sido dada a partida e os cabos reforçadores tenham 
sido removidos, o veículo com a bateria descarregada 
continuará com o motor em funcionamento porque o alter-
nador fornecerá corrente para a carga (carregando a bateria 
e providenciando a tensão CC necessária) após a ignição.
A discussão anterior foi bastante simples, mas va-
mos investigar o que poderia acontecer se, em uma noite 
escura e chuvosa, você estivesse com pressa e conectas-
se os cabos incorretamente, conforme mostra a Figura 
7.57. O resultado seria duas baterias em série de forma 
aditiva e um caminho de baixíssima resistência. A cor-
rente resultante pode teoricamente ser extremamente alta 
Figura 7.56 Níveis de corrente durante a partida.
12 V
S
I1 = 43,75 A I2 = 67,5 A
Ipartida = I1 + I2 = 111,25 A
100 m
Motor de
partida
11,8 V
20 m 10 m
+
–
+
–
+
–
Figura 7.57 Níveis de corrente caso a bateria reforçadora tenha sido conectada incorretamente.
12 V
20 m
10 m
11,7 V
Cabo de reforço
Idano = 790 A +
–+
–
+
–
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 227
[I
danificando, talvez permanentemente, o sistema elétrico 
dos dois automóveis e, o pior de tudo, causando uma ex-
plosão que poderia ferir alguém seriamente. Portanto, é 
muito importante que o processo de reforço de uma bateria 
seja realizado com grande cuidado. Use uma lanterna, 
verifique duas vezes as conexões e esteja seguro de que 
todos estejam afastados das conexões quando acionar a 
ignição do veículo.
Antes de finalizar o assunto, devemos ressaltar que 
receber um reforço de um caminhão-reboque resulta em 
uma situação diferente: as conexões na bateria do cami-
nhão são muito seguras; o cabo do caminhão usa um fio de 
maior capacidade de corrente com isolamento mais espes-
so; as garras também são bem maiores e fazem excelente 
conexão com sua bateria; e a bateria é de maior capacidade 
de corrente para esse tipo de carga esperada. O resultado 
é uma resistência interna menor do lado da bateria boa e 
uma capacidade de corrente maior por parte da bateria do 
caminhão. Nesse caso, o caminhão estará realmente dando 
a partida no carro com problema, que simplesmente reage 
ao surto de potência fornecida.
Circuitos eletrônicos
A operação da maioria dos sistemas eletrônicos 
requer uma distribuição da tensão CC por todo o projeto. 
Embora uma explicação completa da necessidade de uma 
tensão CC (já que existe um sinal CA a ser amplificado) 
tenha de esperar pelos cursos introdutórios de circuitos 
eletrônicos, a análise CC será feita de uma maneira muito 
parecida como a que foi descrita neste capítulo. Em outras 
palavras, este capítulo e os anteriores contêm as infor-
mações fundamentais para a realização da análise CC da 
maioria dos circuitos eletrônicos que forem estudados, des-
de que se conheça as características CC dos dispositivos 
eletrônicos. Por exemplo, o circuito mostrado na Figura 
7.58 utiliza um transistor que será estudado em detalhes 
em qualquer curso de fundamentos de eletrônica. A tensão 
CC entre a base (B) do transistor e o emissor (E) é cerca 
de 0,7 V sob condições normais de operação, e a corrente 
do coletor (C) está relacionada à corrente de base por IC = 
IB = 50IB
Esses fatos nos permitem determinar todas as correntes e 
tensões CC do circuito usando as leis apresentadas neste 
capítulo. Portanto, de forma geral, esteja motivado pelo 
fato de que o conteúdo deste capítulo encontrará numero-
sas aplicações nos cursos seguintes.
No caso do circuito mostrado na Figura 7.58, pode-
mos começar nossa análise aplicando a lei de Kirchhoff 
para tensões no circuito da base (a malha esquerda):
+VBB – VRB – VBE = 0 ou VBB = VRB + VBE
e VRB = VBB – VBE = 12 V – 0,7 V = 11,3 V
assim VRB = IBRB = 11,3 V
e IB = 
V
R
R
B
B = 11 3
220
, V
kΩ
 = 
Portanto: IC IB = 50IB 2,57 mA
Para o circuito de saída (a malha da direita):
+VCE + VRC – VCC = 0 ou VCC = VRC + VCE
com VCE = VCC – VRC = VCC – ICRC
 = 12 V – 5,14 V = 6,86 V
Para uma análise CC típica de um transistor, todas 
as correntes e tensões de interesse agora são conhecidas: 
IB, VBE, IC e VCE. Todos os valores de tensões, correntes e 
potências restantes para os outros elementos do circuito 
agora podem ser determinados usando-se as leis básicas 
aplicadas neste capítulo.
O exemplo anterior é um exercício típico que terá 
de ser resolvido no primeiro curso de eletrônica. No mo-
mento, é necessário apenas que se conheça um pouco do 
dispositivo e se entenda as razões das relações entre as 
diversas correntes e tensões do dispositivo.
7.11 ANÁLISE COMPUTACIONAL
PSpice
Fonte com divisor de tensão. Agora, o PSpice 
será usado para verificar os resultados do Exemplo 7.12. 
Os valores calculados dos resistores serão substituídos, e 
os valores de tensões e correntes serão verificados para 
ver se eles são iguais aos obtidos manualmente.
O circuito é desenhado conforme descrito nos capítu-
los anteriores, usando-se apenas as ferramentas já descritas 
(veja aFigura 7.59) — de certa maneira, é um exercício 
prático relativo a tudo o que foi aprendido sobre o Cap-
ture CIS Edition. Observe, nesse caso, como a rotação do 
primeiro resistor ativa a rotação dos resistores restantes. 
Além disso, é uma vantagem interessante poder colocar 
β = 50
VRC
RC
2 kΩ
+ –
220 kΩ
+ –
VRB
RB
12 VVBB 12 VVCC
IC
IB VBE
+
–
+
VCE–
C
B
E +
–
+
–
Figura 7.58 Níveis de polarização de um amplificador 
transistorizado.
228 Introdução à análise de circuitos
um resistor após o outro sem ter de selecionar a opção 
End Mode. Tenha cuidado especial com a colocação do 
GND garantindo que 0/SOURCE seja usado. Observe 
também que, para o resistor R1, que é visto na Figura 7.59, 
Exemplo 7.12. Quando executarmos o programa, veremos 
que as soluções dadas pelo computador não são iguais às 
soluções obtidas manualmente no nível de precisão dese-
jado, a menos que essa alteração seja feita.
Figura 7.59 Uso do PSpice na verificação dos resultados do Exemplo 7.12.
Visto que todas as tensões são relativas ao GND, 
a tensão sobre RL1 é 60 V; sobre RL2, 20 V; e sobre R3, 
–12 V. Os valores das correntes também coincidem com 
os valores calculados manualmente, sendo IE = 50 mA, 
IR1 = 30 mA, IR2 = 20 mA, IR3 = 50 mA, IRL2 = 10 mA e 
IRL1 = 20 mA. Dentre as opções de grandezas mostradas 
na Figura 7.59, a opção W foi desabilitada para permitir 
a concentração nos valores de corrente e tensão. Nesse 
caso, os valores também são iguais aos da solução manual.
PROBLEMAS
Seções 7.2–7.5 Circuitos em série-paralelo
 1. Quais elementos (elementos individuais, não combinações 
de elementos) dos circuitos na Figura 7.60 estão em série? 
Quais estão em paralelo? Na medida em que você confere 
suas suposições, certifique-se de que os ele mentos em 
série tenham a mesma corrente e que os elementos 
em paralelo tenham mesma tensão. Restrinja suas decisões 
a elementos únicos, não a combinações de elementos.
 2. Determine RT para os circuitos na Figura 7.61.
 3. Calcule a resistência total para a configuração da Figura 
7.62.
 *4. Calcule a resistência RT para o circuito da Figura 7.63. 
Dica! Se ele era infinito em comprimento, como a resis-
com a resistência desejada RT?
 *5. A resistência total RT para o circuito da Figura 7.64 é 
R1.
 6. Considerando o circuito na Figura 7.65.
a) Temos Is = I5 = I6? Justifique sua resposta.
b) Se Is = 10 A e I1 = 4 A, calcule I2.
c) A igualdade I1 + I2 = I3 + I4 é verdadeira? Justifique.
d) Se V2 = 8 V e E = 14 V, determine V3.
e) Se R1 R2 R3 R4
RT?
f) 
é a corrente fornecida pela fonte se a tensão aplicada 
for 20 V?
g) Usando os valores da parte (f), determine a potência 
fornecida pela bateria e a potência absorvida pela 
resistência total RT.
 7. Considerando a Figura 7.66.
a) Determine RT.
b) Calcule Is, I1 e I2.
c) Calcule a tensão Va.
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 229
+
–
R1
R2
R4
R3 R5
E
(a) (b)
R
E
4
R3R2
R1
+
–
R1 R4
E
(c)
R3
R2
(d)
R3
R2 R4
R1
2+E
(e)
R1
R2
R5
R3
+
–
E
R4
(f)
+
–
E
R4
R1
R5
R6
R2
R3
+ E1
Figura 7.60 Problema 1.
(a)
10 
4 
RT
4 
4 
4 
(b)
10 
10 
RT
10 
(c)
10 
4 
RT
4 
(d)
10 
RT
4 4 
4 
Figura 7.61 Problema 2.
10 k
10 k 2,2 k
RT
2,2 k
Figura 7.62 Problema 3.
1 
1 
1 1 
1 1 
1 
RT
1 1 
1 
∞
Figura 7.63 Problema 4.
R1R1R1
R1
RT = 7,2 k
Figura 7.64 Problema 5.
R1
R2
I1
I2 + V2 –
R3
R4
I3
I4
+ V3 –
I5Is
RT
E
+
–
I6
Figura 7.65 Problema 6.
230 Introdução à análise de circuitos
 8. Considerando o circuito da Figura 7.67:
a) Calcule as tensões Va e Vb.
b) Calcule as correntes I1 e Is.
 9. Considerando o circuito da Figura 7.68:
a) Calcule as tensões Va, Vb e Vc.
b) Calcule as correntes I1 e I2.
R1 10 R2 15 E
36 V
Is
I1 I2
R3 10 
R4 2 
Va
RT
+
–
Figura 7.66 Problema 7.
 10. Considerando a placa de circuito na Figura 7.69, calcule:
a) a resistência total RT da configuração;
b) a corrente drenada da fonte se a tensão aplicada for 
48 V;
c) a leitura do voltímetro aplicado.
 11. No circuito da Figura 7.70 todos os resistores são iguais. 
Quais são seus valores?
*12. Considerando o circuito na Figura 7.71, calcule:
a) as correntes Is, I2 e I6;
b) as tensões V1 e V5;
c) 
 13. a) Calcule o valor absoluto e o sentido das correntes I, I1, 
I2 e I3 para o circuito na Figura 7.72.
b) Indique o sentido de cada uma na Figura 7.72.
 14. Determine as correntes I1 e I2 para o circuito na Figura 
7.73, construído a partir de valores-padrão.
*15. Considerando o circuito na Figura 7.74:
a) Determine as correntes Is, I1, I3 e I4.
b) Calcule Va e Vbc.
 16. Para o circuito na Figura 7.75:
a) Determine a corrente I1.
b) Calcule as correntes I2 e I3.
c) Determine os níveis de tensão Va e Vb.
*17. Determine os valores CC para o circuito com um transistor 
mostrado na Figura 7.76, considerando o fato de que VBE 
= 0,7 V, VE = 2 V, e IC = IE. Em outras palavras:
a) determine IE e IC;
b) calcule IB;
c) determine VB e VC;
d) calcule VCE e VBC.
Is
I1
+32 V
72 
24 8 
b
18 
12 
a
Figura 7.67 Problema 8.
I1
I2+
–
36 V
+
–
60 V8 k
a
5 k
10 k1 k b c
Figura 7.68 Problema 9.
1 k 2,4 k
1,2 k
2 k
3,3 k
6,8 k
Is
RT
V
48 V
+
–
+ –
Figura 7.69 Problema 10.
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 231
2R
R
R
2R
8 A
120 V
+
–
Figura 7.70 Problema 11.
R1
12 k
R4
9 k
R2
12 k
R3 3 kV1
+
–
R5
6 k
+ V5 –
R6 10,4 kE = 28 V
Is I6
I2
+
–
Figura 7.71 Problema 12.
R2 2 
R3 10 
R1 4 
+24 V
I
I2
I3
I1
+8 V
Figura 7.72 Problema 13.
I1
+ 20 V
I2
47 
160 
270 
– 14 V
Figura 7.73 Problema 14.
R1 10 R3 5 20 V
R4
14 R5
6 
Va
c b
I4
I3
I1 Is
20 
R2
+
–
Figura 7.74 Problema 15.
R3 6 R5 6 
R4 3 
R2 3 
R1 3 
I1
I2
I3
Va
Vb
E 20 V
Figura 7.75 Problema 16.
RE 1 k
RC 2,2 kRB 220 k
IE
IC
IB
VCC = 8 V
C VC
E VE = 2 V
BVB
+
–
VBE
+
VBC
–
VCE
+
–
Figura 7.76 Problema 17.
 18. Considerando o circuito na Figura 7.77:
a) Determine a corrente I.
b) Calcule V1.
*19. Considerando o circuito na Figura 7.78:
a) Determine RT combinando elementos resistivos.
b) Calcule V1 e V4.
c) Calcule I3 (com sentido).
d) Determine Is calculando a corrente através de cada 
elemento e, a seguir, aplicando a lei de Kirchhoff para 
corrente. Depois, calcule RT de RT = E/Is, e compare a 
resposta com a solução da parte (a).
 20. Determine a tensão Vab e a corrente I para o circuito da 
Figura 7.79. Lembre a discussão de circuitos abertos e 
curtos-circuitos na Seção 6.8.
*21. Considerando o circuito da Figura 7.80:
a) Determine a tensão Vab.
232 Introdução à análise de circuitos
b) Calcule a corrente I.
c) Calcule as tensões Va e Vb.
*22. Considerando o circuito na Figura 7.81:
a) Determine a corrente I.
b) Calcule a tensão de circuito aberto V.
*23. Considerando o circuito na Figura 7.82, calcule a resistên-
cia R3, sendo 2 A a corrente que passa através dela.
*24. Se todos os resistores do cubo mostrado na Figura 7.83 
Sugestão: Formule 
algumas hipóteses em relação à distribuição de corrente 
no cubo.)
*25. A leitura do voltímetro visto na Figura 7.84 é V = 27 V:
a) O circuito funciona corretamente?
b) Em caso negativo, qual seria o possível motivo da 
leitura incorreta?
Seção 7.6 Circuitos em cascata
 26. Considerando o circuito em cascata mostrado na Figura 
7.85:
a) Determine a corrente I.
b) Determine a corrente I7.
c) Determine as tensões V3, V5 e V7.
d) Calcule a potência dissipada por R7 e compare-a com 
a potência fornecida pela fonte de 240 V.
 27. Considerando o circuito em cascata mostrado na Figura 
7.86:
a) Determine RT.
b) Calcule I.
c) Calcule a potência fornecida para R7.
*28. Determine a potência dissipada pela resistência de carga 
R1 8 
R2 4 
R3
I
E1 = 
E2 = –22 V
V1
+
–
+22 V
18 
Figura 7.77 Problema 18.
R1
16 
R2
8 
R4
32 
R5
16 
R3
4 
32 V
E
RT
Is
I3
+ V4 –
+ V1 –
+ –
Figura 7.78 Problema 19.
I
+
–
+–
12 V
18 V
10 k 2 k
ba10 k
Figura 7.79 Problema 20.
5 6V
20 V3 
2 
a b
I
+
–
+
–
Figura 7.80 Problema 21.
V
8 
I
3 6 
18 V
20 V
+
–
+
–
+–
Figura 7.81 Problema 22.
R2 20 R3
2 A
R1 12 
120 V
+
–
Figura 7.82 Problema 23.
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 233
 29. Para a configuração de cascatas múltiplas mostrada na 
Figura 7.88:
a) Determine I.
b) Calcule I4.
c) Determine I6.
d) Determine I10.
Seção 7.7 Fonte com divisor de tensão (com carga e 
sem carga)
 30. Dada a fonte com divisor de tensão vista na Figura. 7.89:
a) determine a tensão E da fonte de alimentação;
b) determine os valores dos resistores de carga RL2 e RL3;
c) determine os valores dos resistores R1, R2 e R3 do divi-
sor de tensão.
*31. Determine os valores dos resistores da fonte com divisor 
de tensão para a configuração mostrada na Figura 7.90. 
Determine também a especificação de potência para cada 
resistor e compare os valores entre si.
*32. Uma lâmpada de estúdio exige 40 V a 50 mA para produzir 
uma luz bastante clara. Projete um arranjo de divisor de 
tensão que funcione de maneira adequada a partir de uma 
RT
Figura 7.83 Problema 24.
E 36 k
12 k
6 k
6 k
45 V V
+
–
27 V
Figura 7.84 Problema 25.
R3 4 
R4
2 
R5 6 R7 2 V7
+
–
V5
+
–
V3
+
–
R6
1 
R1
3 
R2
5 
240 V
I
I7
+
–
Figura 7.85 Problema 26.
P
R2 2 
R3
4 
R4 2 R7 2 
R6
4 
R1
4 RT
R5
1 
I
R8
1 
+
–
40 V
Figura 7.86 Problema 27.
4 
12 
E
12 
7 
24 V
2 
24 
P+
– 6 
Figura 7.87 Problema 28.
fonte de 120 V, fornecendo uma corrente de 200 mA. Use 
resistores com valores tão próximos quanto possível dos 
valores-padrão, e especifique a potência mínima de cada um.
Seção 7.8 Conexão de uma carga a um potenciômetro
*33. Considerando o sistema mostrado na Figura 7.91, responda:
a) À primeira vista, ele parece ter sido bem projetado?
b) R1 e de R2 
estabelecem 3 V nos terminais de R2?
c) Determine os valores de R1 e R2 quando a carga é 
inserida para estabelecer VRL = 3V, e compare-os com 
os resultados do item (b).
*34. Para o potenciômetro visto na Figura 7.92, responda:
a) Quais são os valores das tensões Vab e Vbc sem carga 
(RL1 = RL2 
b) Quais são os valores das tensões Vab e Vbc usando-se a 
carga indicada na figura?
c) Qual a potência dissipada pelo potenciômetro usando-
-se as resistências de carga indicadas na Figura 7.92?
d) Qual a potência dissipada pelo potenciômetro sem 
carga? Compare-a com o resultado do item (c).
Seção 7.9 Projeto de amperímetros, voltímetros e oh-
mímetros
 35
e responda:
a) Qual é a sensibilidade de corrente?
b) Projete um amperímetro de 20 A usando o galvanôme-
tro acima. Mostre o circuito e os valores dos compo-
nentes.
 36. 
tenha escalas de 25 mA, 50 mA e 100 mA. Mostre o cir-
cuito e os valores dos componentes.
 37. 
234 Introdução à análise de circuitos
a) Projete um voltímetro CC de 15 V. Mostre o circuito e 
os valores dos componentes.
b) 
 38. 
projete um voltímetro com escalas de 5, 50 e 500 V. Mostre 
o circuito e os valores dos componentes.
 39. 
na escala de 0,5 V. Se você quisesse construir um voltí-
metro analógico usando um galvanômetro de d’Arsonval 
com o mesmo valor de resistência interna, qual deveria ser 
a sensibilidade de corrente?
*40. a) Projete um ohmímetro em série usando um galvanô-
em série cujo valor deve ser determinado.
b) Determine a resistência necessária para as deflexões 
de fundo de escala, de 3/4 da escala, de 1/2 da escala 
e de 1/4 da escala.
c) Usando os resultados do item (b), desenhe a escala a 
ser usada juntamente com esse ohmímetro.
 41. Descreva a construção básica e o funcionamento de um 
megohmímetro.
R9 12 
R8
12 
R7
3 I
R2 6 
R4 10 
R6 4 
R5 = 6 
R3 = 1 
R1 3 
12 V
E
I4
I6
R10
1 
R11 2 
R12 2 
I10
+
–
Figura 7.88 Problema 29.
R2
48 V
1,6 k
R1
R3 RL3
RL2
RL1
E
Is = 72 mA
24 V
8 mA
12 mA
40 mA
Figura 7.89 Problema 30.
R3180 V
20 mA
R2
R1
R4
R5
RL3
36 V
RL2
40 V
RL1
100 V
+
–
10 mA
+120 V
+
–
+
–
4 mA
–60 V
+
–
40 mA
Figura 7.90 Problema 31.
10 k
R1
E
R2 +
–
RL
12 V
1 k Pot.
3 V
+
–
Figura 7.91 Problema 33.
10 k
E
+
–
Vab
40 V
100 Pot.
1 k
+
–
Vbc
b
c
a
20 
+
–
Figura 7.92 Problema 34.
Capítulo 7 Circuitos em série-paralelo 235
*42. Determine a leitura de um ohmímetro para a configuração 
mostrada na Figura 7.93.
Seção 7.11 Análise computacional
 43. Usando PSpice ou Multisim, verifique os resultados do 
Exemplo 7.2.
 44. Usando PSpice ou Multisim, confirme as soluções do 
Exemplo 7.5.
 45. Usando PSpice ou Multisim, verifique os resultados do 
Exemplo 7.10.
 46. Usando PSpice ou Multisim, calcule a tensão V6 da Figura 
7.32.
 47. Usando PSpice ou Multisim, calcule as tensões Vb e Vc da 
Figura 7.40.
GLOSSÁRIO
Circuito em cascata: Circuito que consiste em uma série de 
combinações em série-paralelo e que tem a aparência de uma 
escada.
Circuito em série-paralelo: Rede composta por uma combina-
ção das séries e dos ramos paralelos.
Configuração complexa: Circuito no qual nenhum dos elemen-
tos está em série ou em paralelo.
Fonte com divisor de tensão: Circuito que pode fornecer uma 
gama de níveis de tensão para uma aplicação.
Galvanômetro de d’Arsonval: Galvanômetro que opera no 
princípio de que há uma repulsão entre polos magnéticos 
iguais. Os dois polos são palhetas dentro de uma bobina 
fixa. Uma palheta é fixa e a outra é móvel com um ponteiro 
conectado. Quanto mais alta a corrente aplicada, maior a 
deflexão da palheta móvel e maior a deflexão do ponteiro.
Megohmímetro: Instrumento destinado a medir resistências 
muito altas na faixa dos megohms.
Ohmímetro em série: Instrumento para medir resistências no 
qual o galvanômetro está conectado em série com a resistência 
desconhecida.
Transistor: Dispositivo eletrônico de três terminais que pode 
ser usado para amplificação ou chaveamento.
(a)
R1
18 
R2
18 
R3
18 
(b)
6,2 k 6,2 k 3,3 k 3,3 k
1,2 k
1,2 k
Figura 7.93 Problema 42.
236 Introdução à análise de circuitos