FT 3 - Transporte de Massa Molecular

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Universidade Federal de Mato Grosso – UFMT
Faculdade de Engenharia – FAENG
Campus Universitário de Várzea Grande - CUVG
Fenômenos de
Transporte 3
Novembro de 2021
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi
prof.ghjusti@gmal.com .
gabrielhjusti ,
Unidade 3
Tópicos:
1. Transporte de massa molecular
2. Equação de Fick
3. Definições molares e mássicas
4. Fluxos
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
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1. TRANSPORTE DE MASSA MOLECULAR
Em 1815, Parrot observou:
❑ Quantitativamente que uma mistura de gases contendo duas ou mais
espécies moleculares;
❑ As concentrações relativas variam de um ponto ao outro;
❑ Um processo natural resulta em diminuir a desigualdade da composição;
▪ Conhecido como difusão molecular.
❑ Considerando o processo de TM ao lado (célula de Arnold).
Fonte: O autor. 
Figura 1. Célula de Arnold. 
Líquido volátil
100% de A
z
Escoamento do ar (B)
Sumidouro
Fonte
líquido volátil
ar
1) Um líquido volátil (espécie A).
2) A pressão de vapor faz com que as moléculas de A se difundem com o ar;
3) O espaço com o gás dentro não tem agitação externa;
4) As moléculas se movem randomicamente;
5) O fluxo líquido da espécie A é a soma de todas as moléculas de A movendo-
5) se através da seção transversal do tubo;
6) Sumidouro: moléculas de A são varridas pela corrente de ar .
7) Ambas espécies podem ter um gradiente de concentração.
8) Como o ar (espécie B) não tem uma fonte, apenas a espécie A está sujeita à
5) transferência de massa.
9) A presença da espécie B possa afetar sua taxa.
10) Tendência natural.
Três exigências para a TM:
❑ Em uma mistura
❑ Uma substância se mova (fonte → sumidouro)
❑ 𝑊𝐴 ∝ ∇𝑥𝐴
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2. EQUAÇÃO DE FICK
❑ As leis de TM mostram a relação entre:
▪ Fluxo da substância que se difunde; e o
▪ Gradiente de concentração.
❑ A descrição da difusão molecular (mais complexa).
▪ Do que as de momento e de energia (apenas em uma fase da espécie).
▪ Como a difusão de massa ocorre somente em mistura, deve-se considerar o efeito de cada componente.
Exemplo sobre isso...
❑ Saber a taxa de difusão de um componente em específico em relação a velocidade da mistura na qual ele está se
movendo.
▪ Cada componente pode apresentar diferentes mobilidade.
▪ Assim, a velocidade da mistura pode ser determinada a partir da média das velocidades dos componentes
na mistura.
❑ A partir disso, precisamos considerar algumas definições e relações:
▪ Concentrações;
▪ Velocidades; e
▪ Fluxos.
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❑ Considera-se as misturas:
▪ Binárias,
▪ Multicomponentes e
▪ Pseudobinárias.
❑ Binária:
▪ Apenas dois componentes estão presentes.
❑ Multicomponente:
▪ Mais de dois componentes estão presentes (sem dominância populacional).
❑ Pseudobinária:
▪ Um componente é dominante.
▪ E a população da outra espécie é pequena em relação a dominante.
❑ Para gases: espécie dominante é denominada gás de arraste.
❑ Para líquidos: espécie dominante é chamada solvente.
3. DEFINIÇÕES MOLARES E MÁSSICAS
3.1. Concentrações
Fonte: Adaptado de Welty, Rorrer e Foster (2017).
Figura 2. Célula de Arnold. 
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❑ A TM podem ocorrer em:
▪ Gases,
▪ Líquidos e
▪ Sólidos.
❑ Gases:
▪ As moléculas não se tocam, embora colidam com frequência.
❑ Líquidos:
▪ As moléculas estão em uma fase condensada, mas ainda se movem livremente, com velocidades menores
do que as dos gases.
❑ Sólidos:
▪ Um ou mais componentes estão conectados em uma estrutura de grade ou ligados em um estado amorfo.
Fonte: Toda Matéria (2020).
Figura 3. Estado físico da matéria. 
3. DEFINIÇÕES MOLARES E MÁSSICAS
3.1. Concentrações
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❑ Concentração mássica (𝜌):
▪ Espécie A:
𝜌𝐴 =
𝑚𝐴
𝑉
(3.1)
▪ Total ou densidade:
𝜌 =
𝑚𝑇
𝑉
= ෍
𝑖=𝐴
𝑛
𝜌𝑖 (3.2)
▪ Fração mássica (𝑤):
• Espécie A:
𝑤𝐴 =
𝑚𝐴
𝑚𝑇
3.3
𝑤𝐴 =
𝜌𝐴
σ𝑖=𝐴
𝑛 𝜌𝑖
=
𝜌𝐴
𝜌
(3.4)
▪ Equação de restrição mássica:
෍
𝑖=𝐴
𝑛
𝑤𝑖 = 1,0 (3.5)
❑ Concentração molar (𝑐):
▪ Espécie A:
𝑐𝐴 =
𝑛𝐴
𝑉
3.6
𝑐𝐴 =
𝑝𝐴
𝑅𝑇
(gases ideais) 3.7
▪ Total:
𝑐 =
𝑛𝑇
𝑉
= ෍
𝑖=𝐴
𝑛
𝑐𝑖 (3.8)
𝑐 =
𝑃
𝑅𝑇
(gases ideais) 3.9
▪ Fração molar (𝑥 e 𝑦):
• Espécie A:
𝑥𝐴 =
𝑐𝐴
𝑐
(misturas líquidas) 3.10
𝑦𝐴 =
𝑝𝐴
𝑃
(misturas gasosas) 3.11
3. DEFINIÇÕES MOLARES E MÁSSICAS
3.1. Concentrações
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❑ Concentração molar (𝑐):
▪ Equação de restrição molar:
෍
𝑖=𝐴
𝑛
𝑥𝑖 = 1,0 misturas líquidas 3.12
෍
𝑖=𝐴
𝑛
𝑦𝑖 = 1,0 misturas gasosas (3.13)
❑ Relações:
▪ Massa e mol (𝑀):
𝑐𝐴 =
𝜌𝐴
𝑀𝐴
3.14
▪ Fração mássica para fração molar:
𝑥𝐴 ou 𝑦𝐴 =
Τ𝑤𝐴 𝑀𝐴
Τ𝑤𝐴 𝑀𝐴 + Τ𝑤𝐵 𝑀𝐵
3.15
▪ Fração molar (líquidos) para fração mássica:
𝑤𝐴 =
𝑥𝐴𝑀𝐴
𝑥𝐴𝑀𝐴 + 𝑥𝐵𝑀𝐵
3.16
▪ Fração molar (gases) para fração mássica:
𝑤𝐴 =
𝑦𝐴𝑀𝐴
𝑦𝐴𝑀𝐴 + 𝑦𝐵𝑀𝐵
3.17
3. DEFINIÇÕES MOLARES E MÁSSICAS
3.1. Concentrações
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EF 3.1 Uma mistura gasosa contém em base molar 15,00% de oxigênio (O2), 4,00% de monóxido de carbono (CO),
17,00% de dióxido de carbono (CO2) e o restante de nitrogênio (N2), em base molar, está submetida a 500,0℃ e 2,0
atm. Determine:
a) A concentração molar total.
b) As concentrações molares de cada espécie.
c) As frações mássicas de cada espécie.
d) A concentração mássica total
Resposta:
a) 𝑐 = 3,152 × 10−2 Τkgmol m3
b) 𝑐𝐴 = 4,729 × 10
−3 Τkgmol m3 ; 𝑐𝐵 = 1,261 × 10
−3 Τkgmol m3 ; 𝑐𝐶 = 5,359 × 10
−3 Τkgmol m3 ; 𝑐𝐷 = 2,018 × 10
−2 Τkgmol m3
c) 𝑤𝐴 = 15,32%;𝑤𝐵 = 3,58%; 𝑤𝐶 = 23,88%;𝑤𝐷 = 57,22%
d) 𝜌 = 0,987 Τkg m3
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (EF)
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❑ Em um sistema multicomponentes:
▪ Normalmente, as espécies se movem em diferentes velocidades.
▪ Com isso, o cálculo da velocidade de uma mistura gasosa requer o cálculo da média das velocidades das
espécies presentes.
❑ Em uma mistura multicomponente:
▪ A velocidade mássica média:
𝑣 =
σ𝑖=1
𝑛 𝜌𝑖𝑣𝑖
σ𝑖=1
𝑛 𝜌𝑖
=
σ𝑖=1
𝑛 𝜌𝑖𝑣𝑖
𝜌
3.18
onde:
𝑣𝑖 → é a velocidade absoluta da espécie 𝑖.
▪ A velocidade molar média:
𝑉 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑐𝑖𝑣𝑖
σ𝑖=1
𝑛 𝑐𝑖
=
σ𝑖=1
𝑛 𝑐𝑖𝑣𝑖
𝑐
3.19
3. DEFINIÇÕES MOLARES E MÁSSICAS
3.2. Velocidades
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❑ Definição:
▪ É uma grandeza vetorial.
▪ Quantidade de uma espécie (molar ou mássica) que passa por uma unidade de tempo em um unidade de
área normal ao vetor.
fluxo molar de
𝐴 na mistura
=
mols transferidos da espécie 𝐴
área de seção transversal ∙ tempo
kgmol 𝐴
m2 ∙ s
❑ Difusão molecular:
▪ A primeira lei de Fick:
𝐉𝐴 = −𝐷𝐴𝐵𝛁𝑐𝐴 3.20
▪ Difusão do componente A em um sistema isobárico e isotérmico é proporcional ao gradiente de
concentração.
▪ Sinal negativo (−)... Por quê?
Adolf Eugen Fick
• O gradiente é negativo porque o componente 𝐴 se
move para a menor concentração ao longo do eixo 𝑧.
4. FLUXOS
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❑ Para difusão unidirecional:
𝐽𝐴,𝑧 = −𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑐𝐴
𝑑𝑧
3.21
❑ Equação proposta por de Groot (1951):
▪ Não é restrita a sistemas isobáricos e isotérmicos.
▪ Concentração total, 𝑐, é constante em condições a 𝑃 e 𝑇 constantes.
𝐽𝐴,𝑧 = −𝑐𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
3.22
▪ Expressão equivalente para o fluxo mássico, 𝑗𝐴,𝑧:
𝑗𝐴,𝑧 = −𝜌𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑤𝐴
𝑑𝑧
3.23
𝑗𝐴,𝑧 = −𝐷𝐴𝐵
𝑑𝜌𝐴
𝑑𝑧
3.24 𝐽𝐴,𝑧 ≠ 𝑗𝐴,𝑧
4. FLUXOS
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❑ A massa pode ser transferida com frequência simultaneamente de dois modos:
1) Como resultado de diferenças de concentração (lei de Fick).
2) Por diferenças de convecção induzidas por diferenças de densidade.
1) Corante sendo lançado em um lago (em repouso):
▪ O corante se difundirá em todas as direções
radiais pela água a partir da fonte.
2) Corante sendo lançado em um lago:
▪ O corante tanto se difundirá como será
carregado na direção da própria corrente.
Fonte: Gfycat (2020).
Figura 4. Dispersão de corante em água(repouso). 
Fonte: Auin (2010).
Figura 5. Dispersão de resíduo industrial em um córrego. 
4. FLUXOS
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❑ Stefan (1872) e Maxwell (1877):
▪ Empregando a teoria cinética dos gases, provaram que o fluxo de massa, em relação a um sistema fixo
de coordenadas, era o resultado de duas contribuições:
• Gradiente de concentração e
• Movimento global.
massa total
transportada
=
massa transportada
por difusão
+
massa transportada pelo
movimento global do fluido
ou
𝑁𝐴,𝑧 = 𝐽𝐴,𝑧 + 𝑐𝐴𝑉𝑧 3.25
❑ Para um sistema binário com velocidade média constante na direção 𝑧, o fluxo molar será expresso por:
𝐽𝐴,𝑧 = 𝑐𝐴 𝑣𝐴,𝑧 − 𝑉𝑧 3.26
▪ Igualando-se as equações (3.21) e (3.26), obtém-se:
(definição)
4. FLUXOS
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𝐽𝐴,𝑧 = 𝑐𝐴 𝑣𝐴,𝑧 − 𝑉𝑧 e 𝐽𝐴,𝑧 = −𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑐𝐴
𝑑𝑧
𝐽𝐴,𝑧 = 𝑐𝐴 𝑣𝐴,𝑧 − 𝑉𝑧 = −𝑐𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
▪ Rearranjando a equação acima;
▪ Considerando um sistema binário; e
▪ Relembrando que, os termos 𝑐𝐴𝑣𝐴,𝑧 e 𝑐𝐵𝑣𝐵,𝑧 são os fluxos dos componentes 𝐴 e 𝐵 (𝑁𝐴,𝑧 e 𝑁𝐵,𝑧), obtemos:
𝑁𝐴,𝑧 = −𝑐𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
+ 𝑦𝐴 𝑁𝐴,𝑧 + 𝑁𝐵,𝑧 3.27
4. FLUXOS
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❑ A equação (3.21) pode ser generalizada e escrita na forma vetorial como:
𝐍𝐴 = −𝑐𝐷𝐴𝐵𝛁𝑦𝐴 + 𝑦𝐴 𝐍𝐴 + 𝐍𝐵 3.28
▪ Para uma mistura multicomponente, têm-se:
𝐍𝐴 = −𝑐𝐷𝐴−𝑚𝑖𝑠𝑡𝛁𝑦𝐴 + 𝑦𝐴෍
𝑖=1
𝑛
𝐍𝑖 3.29
❑ Para o fluxo de massa em um sistema binário, têm-se:
𝐧𝐴 = −𝜌𝐷𝐴𝐵𝛁𝑤𝐴 + 𝑤𝐴 𝐧𝐴 + 𝐧𝐵 3.30
onde:
𝐧𝐴 = 𝜌𝐴𝐯𝐴
𝐧𝐵 = 𝜌𝐵𝐯𝐵
4. FLUXOS
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EF 3.2 A partir das informações do Exercício de Fixação 3.1 e sabendo que as velocidades absolutas na direção 𝑧
(𝑣𝑖,𝑧) do oxigênio, do monóxido de carbono, do dióxido de carbono e do nitrogênio são 10, 13, 19 e 11 cm/s,
respectivamente, calcule:
a) As velocidades molar e mássica média da mistura.
b) As velocidades de difusão das espécies na mistura, utilizando como referência a velocidade molar.
c) O fluxo molar total das espécies.
Resposta:
a) V𝑧 = 12,293 Τcm s; v𝑧 = 12,831 Τcm s
b) 𝑐𝐴 = 4,729 × 10
−3 Τkgmol m3 ; 𝑐𝐵 = 1,261 × 10
−3 Τkgmol m3 ; 𝑐𝐶 = 5,359 × 10
−3 Τkgmol m3 ; 𝑐𝐷 = 2,018 × 10
−2 Τkgmol m3
c) 𝑣𝐴,𝑧 − V𝑧 = −2,293 Τcm s ; 𝑣𝐵,𝑧 − V𝑧 = 0,707 Τcm s ; 𝑣𝐶,𝑧 − V𝑧 = 6,707 Τcm s ; 𝑣𝐷,𝑧 − V𝑧 = 1,293 Τcm s
d) 𝑁𝐴,𝑧 = 4,729 × 10
−4 Τkgmol m2 s ; 𝑁𝐵,𝑧 = 1,639 × 10
−4 Τkgmol m2 s ; 𝑁𝐶,𝑧 = 1,018 × 10
−3 Τkgmol m2 s ; 𝑁𝐷,𝑧 = 2,220 × 10
−3 Τkgmol m2 s
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (EF)
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EF 3.3 Para uma mistura binária de A e B, usando as definições de concentrações, velocidades e fluxos, mostre
que:
a) 𝑥𝐴 =
𝑤𝐴
𝑀𝐴
𝑤𝐴
𝑀𝐴
+
𝑤𝐵
𝑀𝐵
b) 𝑑𝑥𝐴 =
𝑑𝑤𝐴
𝑀𝐴𝑀𝐵
𝑤𝐴
𝑀𝐴
+
𝑤𝐵
𝑀𝐵
2
a) 𝑑𝑤𝐴 =
𝑀𝐴𝑀𝐵𝑑𝑥𝐴
𝑥𝐴𝑀𝐴 + 𝑥𝐵𝑀𝐵
2
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (EF)
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REFERÊNCIAS E LINKS
➢ CREMASCO, M. C. Fundamentos de transferência de massa. 3ª edição. São Paulo: Blucher, 2016.
➢ WELTY, J. R.; RORRER, G. L.; FOSTER, D. G. Fundamentos de transferência de momento, de calor e de massa. 6ª edição. São Paulo: LTC, 2017.
[1]
[1] Disponível em: <https://tinalison.wixsite.com/savenature/single-post/2015/10/19/11-REFERENCE-LIST>. Acesso em: 06 de ago. de 2020.