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SISTEMA DE ENSINO
MATEMÁTICA
Geometria Plana
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MATEMÁTICA
Geometria Plana
Prof. Thiago Cardoso
Geometria .................................................................................................4
1. Ponto, Reta e Plano .................................................................................5
1.1. Posições Relativas entre Retas ...............................................................5
1.2. Plano ..................................................................................................7
1.3. Ângulos ..............................................................................................8
1.4. Ângulos em Retas Paralelas .................................................................11
2. Circunferência ......................................................................................12
2.1. Ângulo Central ...................................................................................13
2.2. Ângulo Inscrito ..................................................................................14
2.3. Posições Relativas entre Reta e Circunferência .......................................15
3. Polígonos .............................................................................................16
3.1. Soma dos Ângulos Internos .................................................................17
3.2. Soma dos Ângulos Externos ................................................................20
3.3. Polígonos Inscritos .............................................................................20
4. Triângulos ............................................................................................23
4.1. Postulado de Euclides .........................................................................23
4.2. Triângulo Isósceles .............................................................................26
4.3. Semelhança de Triângulos ...................................................................31
4.4. Triângulos Retângulos .........................................................................34
4.5. Circunferência Circunscrita ..................................................................37
4.6. Circunferência Inscrita ........................................................................45
5. Triângulos ............................................................................................49
5.1. Quadrado e Retângulo ........................................................................49
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5.2. Paralelogramo ...................................................................................53
5.3. Trapézio ............................................................................................54
Questões de Concurso ...............................................................................57
Gabarito ..................................................................................................80
Gabarito Comentado .................................................................................81
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GEOMETRIA
Olá, aluno(a), seja bem-vindo(a) a mais uma aula. Nela, falaremos sobre Geo-
metria.
O assunto de Geometria é bastante extenso e cobrado de maneira bastante di-
versificada em questões de prova.
Embora seja pouco comum em editais, tenha certeza de que, se o seu edital 
contempla esse assunto, a probabilidade de uma questão ser cobrada é grande.
Isso acontece porque Geometria é um dos assuntos favoritos dos professores 
de Matemática.
Sendo assim, você precisará despender bastante atenção neste material em 
PDF.
Gostaria de recordar também que a lista de exercícios referente a esse material 
foi entregue com antecedência em relação a ele para que você tivesse mais folga 
até a sua prova.
Como sempre, deixo minhas redes sociais para que acesse mais conteúdos.
Instagram: @thiagofernando.pe
YouTube: Prof. Thiago Cardoso
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1. Ponto, Reta e Plano
Ponto, reta e plano são conceitos primitivos, ou seja, não possuem uma defini-
ção formal na Matemática.
No texto original de Os elementos, um tratado sobre matemática e geométrica 
escrito pelo matemático grego Euclides, fala-se de segmentos de reta, não de 
retas. Para Euclides, um segmento de reta é a menor distância imaginável entre 
dois pontos distintos.
É importante destacar que tanto a reta quanto o plano são infinitos. Porém, 
é impossível realmente desenhar algo infinito no papel, por isso, sempre que re-
presentarmos uma reta, o que desenhamos, na verdade, é um segmento de reta.
De antemão, guarde as seguintes definições:
• segmento de reta: menor distância imaginável entre dois pontos;
• semirreta: é o segmento extrapolado em um sentido;
• reta: é o segmento extrapolado nos dois sentidos.
1.1. Posições Relativas entre Retas
Para facilitar o entendimento das posições relativas entre duas retas, considera-
remos um cubo e uma de suas arestas destacadas como reta de referência.
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Concorrentes: quando se encontram 
em um único ponto.
As retas destacadas em vermelho são 
concorrentes à reta preta de referên-
cia. Perceba que se encontram em um 
único ponto.
Paralelas: quando não se encontram, 
mas pertencem a um mesmo plano.
As retas vermelhas são paralelas à 
reta destacada em preto. Também 
são paralelas entre si.
Podemos, adicionalmente, desenhar 
os planos comuns às retas envolvi-
das. São os planos que envolvem as 
faces do cubo e as faces diagonais.
Reversas: quando não possuem 
nenhum plano em comum.
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1.2. Plano
O plano pode ser definido por:
• duas retas concorrentes;
• duas retas paralelas;
• três pontos não colineares.
Os planos definidos por duas retas concorrentes ou paralelas já puderam ser 
visualizados na seção anterior.
Planos definidos retas concorrentes
Planos definidos por retas paralelas
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Adicionalmente, o plano também pode ser definido por três pontos não colineares, ou 
seja, não alinhados, o que significa que não pertencem a uma mesma reta. Isso aconte-
ce porque três pontos não colineares definem um par de retas paralelas. Vejamos:
Par de retas paralelas definidas por três pontos não colineares
1.3. Ângulos
Os ângulos se referem ao encontro entre duas retas. Normalmente, são repre-
sentados por letras gregas.
A unidade de medida mais comum é o grau, representado por º. Uma volta 
completa em torno de um ponto corresponde ao ângulo de 360
Outros ângulos importantes são:
• a meia-volta ou ângulo raso (180º) que é o ângulo ao longo de uma reta;
• o ângulo reto (90º) que corresponde ao ângulo entre duas retas perpendicu-
lares ou um quarto de volta;
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Ângulos raso e reto
Os ângulos são classificados em:
• Agudos: quando são menores do que um ângulo reto;
• Obtusos: quando são maiores do que um ângulo reto.
Existem ainda algumas definições interessantes de saber:
• ângulos complementares: quando a sua soma é igual a 90º ou um ângulo 
reto;
• ângulos suplementares: quando a sua soma é igual a 180º; o suplemento 
de um ângulo agudo é sempre um ângulo obtuso, e vice-versa.
Ângulos complementares e suplementares
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Uma forma bastante prática de representar ângulos dentro de figuras geométri-
cas envolve os segmentos de reta que o formam. Se o ângulo é formado pelos seg-
mentos de reta OA e OB, denominamos esse ângulo de AOB. Nessa representação, 
o vértice do ângulo corresponde à letra colocada no meio. Por exemplo, considere 
o triângulo.
O ângulo ABC é o ângulo com vértice em B, no caso, β. O ângulo BAC é o ângulo 
com vértice A, portanto, é o ângulo α. Por fim, o ângulo ACB é o ângulo com vértice 
em C, portanto, é o ângulo γ.
1.3.1. Distância de Ponto a Reta e entre duas Retas
Um conceito que muito importante em Geometria plana é que a distância de 
ponto a reta ou entre duas retas paralelas é sempre calculada de maneira per-
pendicular à reta.
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Isso acontece porque a distância perpendicular é sempre a menor distân-
cia entre um ponto e uma reta ou entre duas retas.
1.4. Ângulos em Retas Paralelas
Quando há um par de retas paralelas e uma transversal, podemos identificar 
vários ângulos que são iguais ou complementares.
Ângulos opostos pelo vértice: são iguais.
Ângulos opostos pelo vértice
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Ângulos alternos internos e externos: são iguais.
Ângulos alternos internos e externos
2. Circunferência
A circunferência é o conjunto de todos os pontos que distam de um centro O 
exatamente a mesma distância, conhecida como raio.
É importante não confundir a circunferência com o círculo. Vejamos:
• Circunferência: é o perímetro;
• Círculo: é a área delimitada pela circunferência.
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Há, à esquerda, a circunferência em preto. À direita, o círculo que corresponde 
a toda a área delimitada pela circunferência.
As relações mais importantes dizem respeito ao perímetro da circunferência e à 
área do círculo, que são dados respectivamente por:
P = 2πR
S = πR²
2.1. Ângulo Central
Um ângulo central é todo ângulo que possui vértice no centro da circunferência. 
O ângulo central é sempre igual ao arco subentendido por ele.
Matematicamente, podemos escrever:
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2.2. Ângulo Inscrito
O ângulo inscrito na circunferência é aquele cujo vértice é também um ponto da 
circunferência. Esse igual é igual à metade do arco ou metade do ângulo central.
Todos os ângulos com vértices em C, D e E estão inscritos no arco AB. Uma pro-
priedade é que todos esses ângulos são exatamente iguais.
Matematicamente, podemos escrever:
Uma curiosidade sobre o tema está relacionada a grandes teatros de apresen-
tação de concertos. Esses teatros geralmente são circulares ou ovais, não retos.
São feitos dessa forma para que todas as pessoas enxerguem a apresentação 
por um mesmo ângulo de visada. Pense, por exemplo, que os pontos C, D e E cor-
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responderiam à plateia enquanto o arco AB seria o palco. Todas as pessoas na pla-
teia enxergam o palco sob o mesmo ângulo de visada, portanto, terão experiências 
visuais semelhantes.
2.3. Posições Relativas entre Reta e Circunferência
Quando se tem uma reta e uma circunferência, a reta pode ser:
• Secante: quando corta a circunferência em dois pontos. Nesse caso, a dis-
tância da reta ao centro é inferior ao raio da circunferência;
• Tangente: quando toca a circunferência em único ponto. Nesse caso, a dis-
tância da reta ao centro é igual ao raio da circunferência;
• Externa: quando a reta não toca a circunferência. Nesse caso, a distância da 
reta ao centro é maior que o raio da circunferência.
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Uma propriedade interessante é que, por um ponto P qualquer externo a uma 
circunferência, é possível traçar exatamente duas retas tangentes e que as tan-
gentes PA e PB possuem o mesmo comprimento.
PA = PB
3. Polígonos
Os polígonos são figuras geométricas fechadas formadas pela união de vários 
segmentos de reta. Vejamos alguns exemplos:
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Um polígono é convexo quando todos os segmentos de reta entre dois pontos 
no interior do polígono estão inteiramente contidos no interior do polígono.
Vejamos um exemplo de polígono convexo. No pentágono e no hexágono a 
seguir, qualquer conjunto de dois pontos do interior do polígono produzirá um seg-
mento de reta que está inteiramente contido no interior do polígono.
Por outro lado, a bandeira de São João é um polígono côncavo, porque é pos-
sível traçar um segmento de reta ligando dois pontos no interior do polígono, mas 
esse segmento de reta atravessa o polígono e não está inteiramente contido no seu 
interior.
Esse conceito de polígono côncavo e convexo é bastante importante para a Ma-
temática.
3.1. Soma dos Ângulos Internos
Esse é um assunto bastante recorrente em questões de Geometria. A soma dos 
ângulos internos de um polígono convexo de N lados depende unicamente do 
número de lados do polígono.
S = (N-2).180º
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Essa expressão não vale para os polígonos côncavos.
A explicação para essa fórmula é que qualquer polígono convexo de N lados 
pode ser fracionado em N – 2 triângulos, partindo de um vértice qualquer.
Veja que fracionamos o pentágono (5 lados) em 3 triângulos e o hexágono (6 
lados) em 4 triângulos.
A soma dos ângulos internos do polígono é igual à soma de todos os ângulos 
internos de todos os triângulos. E, futuramente, mostraremos que a soma dos ân-
gulos internos de um triângulo é igual a 180º.
Dessa maneira, podemos calcular que a soma dos ângulos internos do pentágo-
no e do hexágono valem, respectivamente:
S5 = (5-2).180º = 3.180º = 540º
S6 = (6-2).180º = 4.180º = 720º
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3.1.1. Ângulo Interno de um Polígono Regular
Um polígono é regular quando atende às seguintes condições:
• é convexo;
• todos os seus lados são iguais;
• todos os seus ângulos são iguais.
O ângulo interno de um polígono regular pode ser calculado facilmente com a 
fórmula estudada na seção anterior.
Já sabemos calcular a soma dos ângulos internos de um polígono de N lados. 
Como um polígono de N lados tem também N ângulos, a medida de cada ângulo é:
Dessa forma, os ângulos internos do pentágono e do hexágono são:
α5 = 540º/5 = 108º
α6 = 720º/6 = 120º
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3.2. Soma dos Ângulos Externos
Um ângulo externo é aquele que é formado entre um lado de um polígono e o pro-
longamento de um lado vizinho. Vejamos exemplos do que seriam ângulos externos.
A soma de todos os ângulos externos de um polígono regular convexo é sem-
pre igual a 360º, independentemente do número de lados do polígono.
Dessa forma, o ângulo externo do pentágono e do hexágono regular são iguais a:
β5 = 360º/5 = 72º
β6 = 360º/6 = 60º
3.3. Polígonos Inscritos
Um polígono é inscrito numa circunferência quando todos os seus vértices 
são pontos da circunferência.
Em questões de prova de concurso, é razoável que cobrem o triângulo regular, 
o quadrado e o hexágono inscrito.
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3.3.1. Quadrado
Para o caso do quadrado, façamos o seguinte desenho.
Na figura, podemos notar que a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro 
da circunferência.
A diagonal do quadrado pode ser calculada em função do lado pelo teorema de 
Pitágoras.
D² = a² + a² = 2a²
Agora, basta igualar a diagonal ao diâmetro da circunferência.
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Sendo assim, o lado do quadrado inscrito na circunferência é igual ao raio da 
circunferência multiplicado por raiz de dois.
Eu não recomendo que você decore as expressões para o lado do quadrado ou 
do hexágono em função do raio da circunferência.
3.3.2. Triângulo
O triângulo é também uma situação bastante comum, porém, deixaremos para 
mais adiante quando teremos mais ferramentas para entender esse problema.
3.3.3. Hexágono
Uma sacada interessante é que traçando o raio da circunferência, o hexágono a 
fatia em 6 partes, produzindo 6 ângulos de 60º.
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Dessa maneira, o lado do hexágono forma um triângulo equilátero com os raios 
da circunferência. Logo, podemos escrever:
a = R
4. Triângulos
Os triângulos são polígonos de três lados. São classificados em:
No triângulo equilátero, todos os lados são iguais e os ângulos são iguais 60º. 
No triângulo isósceles, dois lados são iguais e os dois ângulos a eles opostos tam-
bém são iguais. Por fim, no triângulo escaleno, todos os lados e ângulos são dife-
rentes entre si.
4.1. Postulado de Euclides
O teorema de Euclides estabelece que, sendo uma reta r e um ponto P externo 
à reta, existe uma única retaparalela à reta dada que passa pelo ponto P.
Considere a seguinte situação.
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De acordo com o postulado de Euclides, podemos traçar uma única reta paralela 
que passa pelo ponto P.
Esse postulado, apesar de parecer muito simples, é a base de toda a Geometria 
plana que estudamos tradicionalmente.
Uma de suas principais consequências diz respeito à soma dos ângulos internos 
de um triângulo. Considere um triângulo qualquer.
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Podemos traçar uma paralela à reta BC passando pelo vértice A pelo postulado 
de Euclides.
Há um sistema de duas retas paralelas e transversais. Os lados AB e AC são 
duas transversais entre o par de retas paralelas que está desenhado. Podemos ver 
agora que os ângulos alternos internos são iguais.
A soma dos ângulos em torno do vértice A deve ser igual a 180º, pois corres-
ponde a um ângulo raso. Sendo assim:
α + β + γ = 180º
Portanto, a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.
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4.2. Triângulo Isósceles
Um fato importante a respeito dos triângulos isósceles é que existe uma re-
lação de compromisso entre lado e ângulo oposto. Quanto maior for um ângulo, 
maior será o lado a ele oposto.
Se dois ângulos forem iguais, necessariamente os lados a eles opostos serão 
iguais. Da mesma forma, se dois lados forem iguais, necessariamente os ângulos 
a eles opostos são iguais.
Nessa figura, como os ângulos B e C são iguais, o triângulo é isósceles. Portan-
to, os lados opostos a esses ângulos também são iguais. O lado b = 7 é oposto ao 
ângulo de 50º com vértice em B.
Dessa maneira, já podemos concluir que o lado oposto ao vértice C também 
deve ser igual a 7. Portanto: c = 7.
A recíproca também é verdadeira. Por exemplo, considere a figura. Qual o valor 
do ângulo x?
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Como existem dois lados iguais a 5, o triângulo é isósceles, portanto, há dois 
ângulos iguais. Esses ângulos devem ser os ângulos opostos ao lado 5. No caso, 
são os ângulos no vértice B e no vértice C.
Agora, basta aplicar a regra de que a soma dos ângulos de um triângulo é igual 
a 180º.
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4.2.1. Altura do Triângulo Isósceles
Um triângulo ABC isósceles em A significa que os lados AB e AC são iguais.
Esse triângulo pode ser dividido ao meio pelo vértice A por um segmento que 
será mediana, mediatriz, bissetriz e altura ao meio tempo. Mais adiante, você será 
apresentado(a) mais detalhadamente a esses conceitos.
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Por hora, você precisa saber que o segmento que divide o triângulo ao meio:
• isso significa que esse segmento passará exatamente pelo ponto médio do 
lado oposto (BC);
• é perpendicular ao lado BC;
• e divide o ângulo do vértice A em duas partes iguais.
Vamos representar na figura.
Essa interessante propriedade permite calcular a área de um triângulo equilá-
tero. Considere um triângulo equilátero genérico de lado a. Como todos os ângulos 
internos são iguais a 60º:
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A altura pode ser calculada, pois ADC é um triângulo retângulo com hipotenusa 
a e cateto a/2. Portanto:
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4.3. Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando possuem os mesmos ângulos. Nesse 
caso, os seus lados proporcionais. 
O caso mais simples e comum de semelhança acontece quando se traça uma 
reta paralela a um dos lados de um triângulo. Vejamos:
O enunciado clássico do problema de semelhança de triângulos é:
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Vejamos um exemplo. São fornecidos os seguintes dados:
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Com base nesses dados, será que podemos calcular os lados AD e AE? Pode-
mos, basta utilizar a relação de semelhança.
Uma variante desse problema acontece quando traçamos a paralela por fora do 
triângulo. Ficam dois triângulos, sendo um de cabeça para baixo, mas com os lados 
todos paralelos.
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Podemos aplicar também a semelhança:
4.4. Triângulos Retângulos
Um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto (90º). Esse nome 
deriva do fato de que podem ser obtidos a partir de cortes em um retângulo.
Nesse tipo de triângulo, os lados recebem denominações específicas:
• Hipotenusa (a): é o maior lado, sempre oposto ao ângulo reto;
• Catetos (b e c): são os dois lados que formam o ângulo de 90º
Perceba que, no triângulo retângulo, um cateto é a altura relativa em relação ao 
outro. Por isso, a sua área pode ser expressa simplesmente pela metade do produ-
to dos catetos.
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Uma relação métrica muito importante é o teorema de Pitágoras, que estabele-
ce que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Uma demonstração simples do teorema de Pitágoras é traçando um retângulo 
de lado b + c.
Perceba que a área do quadrado é o quadrado do lado e que também pode ser 
expressa como a soma da área do quadrado menor com as áreas dos quatro triân-
gulos que vemos na figura.
Os quatro triângulos são congruentes, ou seja, possuem exatamente os mes-
mos lados e ângulos. Portanto, suas áreas são iguais.
A área de um triângulo retângulo pode ser obtida como a metade do produto 
dos catetos.
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4.4.1. Altura Relativa à Hipotenusa
Esse tipo de problema é mais comum com o triângulo deitado sobre a hipotenusa.
A área do triângulo retângulo pode ser expressa em função da altura relativa à 
hipotenusa.
Por outro lado, já sabíamos expressar essa área em termos dos catetos. Sendo 
assim:
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A altura relativa à hipotenusa também define duas projeções da hipotenusa so-
bre cada um dos catetos. São as projeções m e n.
Um fato interessante sobre essas projeções em um triângulo retângulo é que 
são proporcionais aos catetos do triângulo.
Para calcular os valores de m e n, devemos nos lembrar ainda de que a soma 
dessas duas projeções é igual ao comprimento da hipotenusa.
4.5. Circunferência Circunscrita
A circunferência circunscrita ao triângulo é tal que todos os vértices do triângulo 
são pontos da circunferência.
Diz-se que o triângulo está inscrito nessa circunferência.
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Perceba que as palavras circunscrita e inscrita são inversas. Se a circunferência 
está circunscrita ao triângulo, é porque o triângulo está inscrito na circunferência. 
E vice-versa.
Podemos obter uma importante relação entre os lados do triângulo e seus ân-
gulos traçando-se as diagonais passando por cada um dos vértices. Por exemplo, 
para o vértice A. 
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Perceba que os ângulos BAC e ADC estão inscritos no mesmo arco AC. Sendo 
assim, são iguais.
Além disso, o ângulo ACD está inscrito em metade da circunferência (180º), por-
tanto, mede a metade desse arco, no caso, 90º. Logo, o triângulo ACD é retângulo.
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Portanto, podemos calcular o seno do ângulo:
Fazendo o esmo procedimento com os vértices, podemos ter uma importante 
relação conhecida como Lei dos Senos.
4.5.1. Casos Particulares
Embora a Lei dos Senos apresente um resultado de fácil utilização, em questões 
de prova, é muito mais comum serem cobradas as circunferências circunscritas a 
triângulos retângulos e a triângulos equiláteros.
O caso mais simples é o triângulo retângulo, pois a hipotenusa é igual ao próprio 
diâmetro da circunferência circunscrita.
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Por outro lado, no triângulo equilátero, podemos aplicar a Lei dos Senos para 
calcular o raio da circunscrita.
Vamos anotar, portanto, esses dois resultados.
4.5.2. Demonstração da Circunferência Circunscrita
Optei por fazer essa demonstração em uma seção separada porque é pouco 
provável que os conceitos aqui aprendidos sejam objeto de questões de prova. Po-
rém, caso você consiga aprendê-los, isso aumentará bastante o seu conhecimento 
de Geometria.
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É possível demonstrar que todo triângulo tem uma circunferência circunscrita 
partindo do conceito de mediatrizes.
A mediatriz do segmento AB é uma reta perpendicular a esse segmento que 
passa pelo seu ponto médio.
A propriedade da reta mediatriz é que ela é o lugar geométrico dos pontos 
equidistantes de A e B, ou seja, para qualquer ponto P pertence à mediatriz: 
PA = PB.
Para demonstrar isso, basta traçar os triângulos.
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Os triângulos PAO e PBO são congruentes, porque possuem dois lados iguais 
(PO é comum aos dois e OA = OB, já que O é o ponto médio de AB). Além disso, 
possuem um ângulo em comum, que é o ângulo reto. Os dois ângulos em torno de 
O são retos. Trata-se de uma congruência LAL.
Se os dois triângulos são congruentes, os lados PA e PB também devem ser 
iguais. Portanto, qualquer ponto da mediatriz se situa à igual distância dos dois 
pontos A e B.
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Agora, vamos a um triângulo qualquer ABC. Podemos traçar as mediatrizes dos 
lados AB e AC. Como não são paralelas, se encontrarão em algum ponto O.
O ponto O pertence à mediatriz de AB, portanto, OA = OB. Além disso, o ponto 
O pertence à mediatriz de AC, portanto, OA = OC.
Dessa maneira, concluímos que OB = OC, logo, O também pertence à mediatriz 
do segmento BC.
Sendo assim, O é o ponto de encontro das três mediatrizes do triângulo e é de-
nominado circuncentro.
O tem a propriedade de que OA = OB = OC. Essa distância pode ser chamada 
genericamente de raio da circunferência circunscrita.
Adicionalmente, podemos concluir que todo triângulo tem um circuncentro que 
é o centro da circunferência circunsta.
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4.6. Circunferência Inscrita
A circunferência inscrita no triângulo é aquela que é tangente aos três lados do 
triângulo.
Em outras palavras, o centro dessa circunferência dista igualmente dos três la-
dos do triângulo.
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O ponto S é denominado incentro é corresponde ao centro da inscrita. O modo 
mais fácil de se calcular o raio da inscrita é tomando a área dos três triângulos de-
finidos ABS, ACS e BCS.
Note que os triângulos ABS, ACS e BCS possuem a altura referente ao vértice 
S exatamente igual ao raio da inscrita. Portanto, a área do triângulo ABC pode ser 
escrita como
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Na expressão anterior, p significa o semiperímetro do triângulo ABC, ou seja, a 
soma dos lados dividida por 2.
É interessante observar que a área igual ao semiperímetro vezes o raio da ins-
crita é uma relação válida para qualquer polígono.
Além disso, essa relação é muito útil para calcular o raio da inscrita, pois a área 
pode ser obtida de outras formas, por exemplo, base vezes altura dividida por 2. De 
posse da área do triângulo, podemos calcular o raio da inscrita facilmente graças a 
essa relação.
4.6.1. Demonstração da Circunferência Inscrita
É possível demonstrar que todo triângulo tem uma circunferência inscrita. Para 
isso, precisaremos do conceito de bissetriz.
Seja um ângulo formado por duas retas r e s. A bissetriz desse ângulo é uma 
reta que divide o ângulo em duas partes iguais.
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Todos os pontos da bissetriz têm a propriedade de que são equidistantes das 
retas r e s. Por exemplo, considere um ponto P genérico.
Podemos provar que as distâncias de P às retas r e s são iguais construindo os 
dois segmentos PA e PB que são perpendiculares, respectivamente, a r e s.
Os triângulos OPA e OPB são congruentes porque possuem dois ângulos iguais: os 
ângulos de α/2 e os ângulos retos PBO e PAO e também um lado comum, o lado OP.
Como os dois triângulos são congruentes, as medidas são iguais, ou seja, PA = PB. 
Dessa maneira, P é o centro de uma circunferência que é tangente às duas retas r e s.
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Além disso, ainda pela congruência dos triângulos OPA e OPB, provamos um 
resultado que já havíamos apresentado previamente. Podemos concluir que os 
comprimentos OA = OB.
Sendo assim, considerando um ponto O qualquer, é possível construir duas tan-
gentes à circunferência e elas terão o mesmo comprimento.
5. Triângulos
Um quadrilátero é um polígono formado por quatro vértices e quatro lados.
5.1. Quadrado e Retângulo
O quadrado é o quadrilátero regular em que todos os lados iguais e todos os 
ângulos são retos.
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A área do quadrado é simplesmente o quadrado do lado.
O retângulo, por sua vez, é um quadrilátero equiângulo, mas não é equilátero. 
Ou seja, todos os ângulos são retos, mas os lados são diferentes.
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A área do retângulo é igual ao produto-base vezes altura:
As diagonais do quadrado e do retângulo podem ser calculadas pelo teorema de 
Pitágoras diretamente a partir dos lados.
O losango, por sua vez, é um quadrilátero equilátero, porém, não é equiângulo, 
ou seja, nesse caso, todos os lados são iguais, mas os ângulos internos não são 
iguais.
No caso do losango, os lados continuam sendo paralelos dois a dois e as duas 
diagonais são perpendiculares entre si.
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A área do losango é igual à soma das áreas dos quatro triângulos retângulos 
definidos pelas duas diagonais. Como esses quatro triângulos são iguais:
Portanto, a área do losango corresponde ao produto das diagonais dividido por 2:
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5.2. Paralelogramo
O paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos dois a dois são 
paralelos. Na figura a seguir, o lado AB é paralelo a CD e o lado AC é paralelo a BD.
O modo mais simples e conhecido de calcular a área do paralelogramo consiste 
em traçar a sua altura. Seja AE a altura do paralelogramo, ou seja, a distância entre 
as bases paralelas AB e CD.
Os triângulos ACE e BDF são congruentes. Portanto, a área do paralelogramo 
ABCD é igual à área do retângulo ABEF.
A área do retângulo é facilmente calculada.
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5.3. Trapézio
O trapézio é um quadrilátero que possui somente um par de lados paralelos.
Nesse caso, o lado AB é paralelo ao lado CD, porém, os lados AC e BD não são 
paralelos entre si.
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O modo mais simples e conhecido de calcular a área do trapézio é dividindo-o 
em dois triângulos pela diagonal.
A área do trapézio é igual à soma das áreas dos triângulos ABC e BCD. Esses 
dois triângulos possuem a mesma altura h.
Portanto, a área do trapézio é igual à média aritmética das bases multiplicada 
pela altura.
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É importante destacar que a altura do trapézio corresponde à distância entre 
suas duas bases. E que por distância entre retas devemos ter a distância perpen-
dicular.
É preciso, portanto, traçar um segmento de reta que une as duas bases e que 
seja perpendicular a elas.
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QUESTÕES DE CONCURSO
Questão 1 (FGV/SEE-PE/2016/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Seja A uma aresta 
de um cubo. O número de arestas desse cubo que são reversas com a aresta A é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 7
Questão 2 (CONSULPLAN/PREFEITURA DE CASCAVEL-PR/AGENTE COMUNITÁRIO 
DE SAÚDE) Considere duas circunferências de perímetro 62,8 cm e 94,2 cm. Qual 
a diferença entre os raios destas circunferências? (Considere π=3,14).
a) 2,5 cm
b) 5 cm
c) 9,5 cm
d) 12 cm
e) 15 cm
Questão 3 (FGV/CODEMIG/2015/ADVOGADO SOCIETÁRIO) A região sombreada 
na figura é conhecida como “barbatana de tubarão” e foi construída a partir de um 
quadrante de círculo de raio 4 e de um semicírculo.
A área dessa “barbatana de tubarão” é:
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a) 2π
b) 5π/2
c) 3π
d) 7π/2
e) 4π
Questão 4 (CESPE/TSE/2007/TÉCNICO JUDICIÁRIO/ÁREA ADMINISTRATIVA) Um 
novo prédio de 40 m de altura está sendo planejado para um tribunal regional elei-
toral. A figura acima ilustra a planta baixa da base desse novo prédio, composta 
de duas partes iguais, onde cada parte é formada por semicírculos concêntricos de 
diâmetros 40 m e 60 m, respectivamente. Tomando-se 3,1 como valor aproximado 
para ∏, é correto concluir que a área da base desse novo prédio é:
a) Inferior a 1.600 m².
b) Superior a 1.600 m² e Inferior a 2.000 m².
c) Superior a 2.000 m² e Inferior a 2.400 m².
d) Superior a 2.400 m².
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Questão 5 (FGV/CODESP-SP/2017/GUARDA PORTUÁRIO) No triângulo ABC da fi-
gura a seguir, AB = 7, AC = 10 e BC =11, e a circunferência inscrita no triângulo 
tangencia o lado CB no ponto D.
O segmento DC mede:
6,5.
5,5.
6.
7.
7,5.
Questão 6 (IBFC/TCM-RJ/2016/TÉCNICO DE CONTROLE EXTERNO) Sabe-se que 
a soma dos ângulos internos de um polígono é igual a 1260º. Se esse polígono é 
regular, então cada ângulo externo desse polígono é igual a:
a) 140º
b) 40º
c) 126º
d) 54º
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Questão 7 (FGV/CODEBA/2016/GUARDA PORTUÁRIO) Um barco de pesca partiu 
do ponto P e navegou em linha reta, com velocidade constante por 3 milhas. Em 
seguida, virou a proa de um ângulo de 45º para a direita e navegou com a mesma 
velocidade por mais 3 milhas. A manobra foi repetida, sempre da mesma forma e 
com a mesma velocidade.
A figura a seguir mostra o início do percurso desse barco. Após certo número de 
manobras, o barco voltou ao ponto P de partida.
Nesse percurso, o barco percorreu uma distância total de:
a) 18 milhas.
b) 21 milhas.
c) 24 milhas.
d) 27 milhas.
e) 30 milhas.
Questão 8 (FGV/PREFEITURA DE SALVADOR-BA/2017/TÉCNICO DE NÍVEL SUPE-
RIOR II/DIREITO) A figura a seguir mostra um rio de margens retas e paralelas.
João, que está em uma das margens, gostaria de obter uma medida aproximada da 
largura do rio. Paraisso, adotou o seguinte procedimento:
•	 buscou um ponto de referência na margem oposta e encontrou a pedra P;
•	 fixou uma estaca no ponto A, de forma que AP fosse perpendicular ao rio;
•	 caminhou paralelamente ao rio, fixou uma estaca em B e depois outra em C;
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•	 a partir de C, caminhou perpendicularmente ao rio até que, no ponto D, viu 
as estacas B e P alinhadas com D;
•	 fixou mais uma estaca nesse ponto e, com uma trena, mediu as distân-
cias AB = 20m, BC = 6m e CD = 8,4m.
A distância, em metros, de A até P é de:
a) 22,6
b) 24,0
c) 25,5
d) 27,2
e) 28,0
Questão 9 (FGV/PREFEITURA DE JOÃO PESSOA-PB/2014/PROFESSOR DE MATE-
MÁTICA) Um triângulo tem lados cujas medidas em centímetros são números intei-
ros. Um dos lados mede 12 cm e, dos outros dois, um deles mede o dobro do outro. 
O menor perímetro possível para esse triângulo é:
a) 21 cm
b) 24 cm
c) 27 cm
d) 30 cm
e) 33 cm
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Questão 10 (FGV/PREFEITURA DE SALVADOR-BA/2017/TÉCNICO DE NÍVEL MÉ-
DIO II) A distância entre Alice e Beatriz é de 12 m. A distância de Beatriz até Carla 
é de 5 m. A distância de Beatriz até Carla é de 5 m. A distância de Carla até Diego 
é de 3 m. A menor distância possível entre Alice e Diego é:
a) 3 m
b) 4 m
c) 5 m
d) 15 m
e) 20 m
Questão 11 (CESPE/DEPEN/2013/AGENTE PENITENCIÁRIO) Abaixo a figura 1 
apresenta o arco de circunferência AB correspondente ao ângulo central de 2π/3 
de uma circunferência de centro O e raio AO=12 cm e figura 2 apresenta alguns 
triângulos. A partir dessas informações e considerando que XY denote a distância 
entre os pontos X e Y considere, ainda, as seguintes proposições:
Com base nas informações e nas figuras acima apresentadas e tomando 3,14 como 
valor aproximado de π, julgue o item a seguir.
A proposição U→V é falsa.
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Questão 12 (FGV/PROCEMPA/2014/TÉCNICO EM TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO 
E COMUNICAÇÃO) A figura a seguir mostra três polígonos regulares todos com la-
dos do mesmo tamanho e com os vértices A, B, F e I sobre a reta r.
O ângulo GJH mede em graus:
a) 54
b) 57
c) 60
d) 63
e) 66
Questão 13 (FGV/SEE-PE/2016/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) A figura a seguir 
mostra o retângulo ABCD onde AB = 10 e BC = 7 e duas circunferências de raio 
igual a 2. As circunferências são tangentes a dois lados do retângulo.
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A distância entre os centros dessas duas circunferências é:
a) 5 2
b) 3 3
c) 4 3
d) 2 5
e) 3 5
Questão 14 (CESPE/SERES-PE/2017/AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA) A 
figura a seguir mostra o esquema utilizado por um indivíduo na travessia de um rio 
— de margens paralelas e com forte correnteza —, saindo do ponto A, na margem 
inferior, e indo ao ponto B, na margem superior.
Ele nadava por 4 m na direção perpendicular às margens e, enquanto descansava, 
a correnteza o levava por 4 m rio abaixo na direção paralela às margens.
Fez esse esquema por três vezes e, na quarta vez que nadou perpendicularmente 
às margens, ele atingiu a margem superior, no ponto B. Nessa situação, a distância 
do ponto A ao ponto B é igual a:
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a) 12 m
b) 16 m
c) 20 m
d) 28 m
e) 32 m
Questão 15 (FGV/PREFEITURA DE SALVADOR-BA/2017/TÉCNICO DE NÍVEL SUPE-
RIOR I) No polígono representado na figura a seguir, dois lados consecutivos são 
sempre perpendiculares.
Esse polígono representa uma sala vista de cima, e os números que aparecem na 
figura são as medidas, em metros, dos respectivos segmentos.
Uma câmera foi colocada no ponto C da figura, conseguindo, dessa posição, regis-
trar imagens de quase toda a sala. Entretanto, há uma região da sala que a câmera 
não consegue ver.
A área, em m², da região que não pode ser alcançada pela câmera é de:
a) 3,6
b) 4,0
c) 4,5
d) 6,4
e) 7,2
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Questão 16 (VUNESP/MPE-SP/2016/OFICIAL DE PROMOTORIA I/ADAPTADA) No 
triângulo retângulo ABC da figura, BH é a altura relativa ao lado AC. O perímetro do 
triânulo BHC, em cm, é um número real que se encontra entre:
a) 16 e 17
b) 15 e 16
c) 18 e 19
d) 19 e 20
e) 17 e 18
Questão 17 (CESPE/2007/TRT (9ª REGIÃO)/ANALISTA JUDICIÁRIO – ÁREA AD-
MINISTRATIVA) O piso de uma sala deve ser revestido com peças de cerâmica em 
forma de triângulos retângulos isósceles cuja hipotenusa mede 16 2 cm. Calculou-
-se que seriam necessárias pelo menos 3.000 peças para cobrir todo o piso. Nessa 
situação, conclui-se que a área desse piso é superior a 38 m².
Obs.: � Use que 1 m = 100 cm ou que 1 m² = 10000 cm².
Questão 18 (QUESTÃO INÉDITA) Alexandre pode ir da cidade A até a cidade B por 
dois caminhos. O caminho direto é uma estrada que mede 10 km com muitos obs-
táculos, na qual a velocidade média é de 40 km/h. O caminho alternativo é com-
posto por duas vias perpendiculares entre si passando por uma cidade C. Sabe-se 
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que o ângulo entre as estradas AB e AC é de 37º e que sen 37º=0,6. A velocidade 
mínima que Alexandre deve utilizar nesse caminho para que esse caminho alterna-
tivo seja mais rápido que o caminho direto é de 48 km/h.
Questão 19 (VUNESP/UNESP/2017/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) O quadrado 
da altura de um triângulo equilátero é exatamente300. O perímetro desse triângu-
lo, em uma determinada unidade de medida, é:
a) 60
b) 50
c) 30
d) 20
e) 10
Questão 20 (CESPE/MEC/2011/GUARDA MUNICIPAL) Três crianças costumam 
brincar de caça ao tesouro, em local plano, na praia, da forma descrita a seguir: de 
posse de uma bússola, elas fixam um ponto P na praia com uma bandeirinha, uma 
delas esconde um brinquedo sob a areia e, depois, passa o mapa e a bússola para 
que as outras duas tentem encontrar o tesouro. O mapa consiste em uma sequên-
cia de instruções formadas pelo número de passos em linha reta e um sentido — a 
partir da bandeirinha —, que deve ser observada para se encontrar o tesouro.
A partir do texto acima e considerando que a medida do passo de todas as crianças 
seja idêntica e que as instruções do mapa sejam seguidas na ordem apresentada, 
julgue os itens seguintes.
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Se as crianças se unirem no ponto P e a primeira caminhar 2 passos para o norte, 
a segunda, 2 passos para o sudoeste e a terceira, 2 passos para o sudeste, o triân-
gulo cujos vértices corresponderão às posições finais das crianças será equilátero.
Questão 21 (CESPE/PC-ES/2011/PERITO CRIMINAL) Suponha, também que as 
estações A, B e C tenham sido construídas em pontos equidistantes, de modo que 
a distância de uma dessas três estações para a outra seja de 150 km.
Com referência às informações contidas no texto acima e à considerações hipoté-
ticas que a ele se seguem, e considerando 1,73 como valor aproximado para , 
julgue o item a seguir:
Supondo que uma nova estação, D, seja instalada em um ponto equidistante das 
estações A, B e C, então a distância da estação D para as estações A, B e C será 
inferior a 87 km.
Questão 22 (CESPE/ANS/2013/ESPECIALISTA EM REGULAÇÃO DE SAÚDE SUPLE-
MENTAR) Considerando que as retas R1, R2, R3 e R4 sejam distintas e estejam no 
mesmo plano, e que, se a reta Ri intercepta a reta Rj , Pij — em que i, j= 0, 1, 2, 
3, 4 e i ≠ j — denote o ponto de interseção dessas retas, julgue os itens seguintes.
No caso de os pontos P12, P13 e P14 existirem e P12 = P13 = P14, então os pontos P34 e 
P23 também existirão e P34 = P23.
Questão 23 (CESPE/ANS/2013/ESPECIALISTA EM REGULAÇÃO DE SAÚDE SUPLE-
MENTAR) Se R1 for perpendicular a R2 e se R3 for perpendicular a R4, então, no 
mínimo, duas dessas quatro retas serão paralelas.
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Questão 24 (CESPE/ANS/2013/ESPECIALISTA EM REGULAÇÃO DE SAÚDE SUPLE-
MENTAR) Se os pontos P12, P13 e P23 existirem e forem distintos, então a reta 
R1 não poderá ser perpendicular à reta R2.
Questão 25 (VUNESP/UNESP/2016/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO I) Francisco 
adquiriu um terreno cuja área é de 700 m2 . Ele pretende reservar um espaço para 
construir uma área de lazer que irá ocupar um quarto do terreno e que irá possuir 
as seguintes características:
A extensão da cerca, em metros, que separa a área de lazer do espaço restante do 
terreno é igual a:
a) 5
b) 7
c) 35
d) 40
e) 175
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Questão 26 (FGV/PREFEITURA DE SALVADOR-BA/2017/AUXILIAR DE DESENVOL-
VIMENTO INFANTIL) Uma varanda retangular de 6,0m por 1,8m terá sua superfície 
coberta com cerâmica. O metro quadrado (m2) dessa cerâmica custa R$ 60,00.
O valor aproximado em reais para o custo dessa cerâmica é de:
a) 618
b) 632
c) 650
d) 675
e) 700
Questão 27 (CESGRANRIO/IBGE/2016/AGENTE DE PESQUISAS POR TELEFONE) 
Na Figura a seguir, PQ mede 6 cm, QR mede 12 cm, RS mede 9 cm, e ST mede 4 
cm.
A distância entre os pontos P e T, em cm, mede:
a) 21
b) 20
c) 19
d) 18
e) 17
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Questão 28 (FUNRIO/PREFEITURA DE TRINDADE/2016/PEDAGOGO) As dimen-
sões de um terreno retangular são proporcionais a 3 e 4, e a medida de sua diago-
nal é igual a 50 m. A área desse terreno, em m2 , equivale a:
a) 300
b) 400
c) 800
d) 1000
e) 1200
Questão 29 (FGV/TJ-PI/2015/ANALISTA JUDICIÁRIO – ESCRIVÃO) A figura abai-
xo mostra a planta de um salão. Os ângulos A, B, C, D e E são retos e as medidas 
assinaladas estão em metros. A área desse salão em m2 é:
a) 81
b) 86
c) 90
d) 94
e) 96
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Questão 30 (CESPE/FUB/2008/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO/ADAPTADA) Um 
quarto de uma casa tem o formato de um retângulo com área igual a 18 metros 
quadrados e perímetro igual a 20 metros.
A respeito dessa situação, julgue o item subsequente:
A medida das diagonais desse retângulo, em metros, não é um número inteiro.
Questão 31 (FGV/TJ-PI/2015/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESCRIVÃO) A figura abaixo 
ilustra a urna eletrônica usada nas últimas eleições no Brasil. Ela contém um painel 
frontal retangular, ABGF, com inclinação θ=45º em relação à base ABCH – o vér-
tice H, que não aparece explicitamente na figura, é comum às faces ABCH, CDEH 
e AFEH. As faces BCDG e AFEH são paralelas entre si e são trapézios retângulos; 
todas as outras faces são retângulos:
O retângulo IJKL, correspondente ao monitor de vídeo, tem dimensões IJ = 20 cm 
e JK = 15 cm; a distância do segmento KL ao segmento AB é igual a 2 cm e a dis-
tância do segmento IJ ao segmento FG é igual a 3 cm.
Caso se resolva aumentar as dimensões da urna eletrônica, de modo que o monitor 
de vídeo da nova urna seja semelhante ao da mostrada na figura e o comprimento 
do lado maior do novo monitor seja igual a 24 cm, então a razão entre a área do 
novo monitor e a do antigo será igual a:
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a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 20/15
e) 36/25
Questão 32 (CESPE/PRF/2008) Considerando, em relação às figuras acima, que, 
na figura I, as 4 curvas são quartos de círculo; nas figuras II, III e IV, ascurvas são 
2 semicírculos; na figura V, aparece 1 quarto de círculo e, interno a ele, um semicír-
culo, nessa situação, as figuras em que as partes sombreadas têm áreas iguais são:
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a) I e IV
b) I e V
c) II e III
d) II e V
e) III e IV
Questão 33 (FUNRIO/IFPA/2016/TÉCNICO EM SECRETARIADO) O quadrilátero 
ABCD da figura abaixo é um paralelogramo e DE é bissetriz do ângulo CDA. Se BC 
= 5 cm e BE = 3 cm, o perímetro desse paralelogramo é igual a:
a) 26 m
b) 24 m
c) 22 m
d) 20 m
e) 18 m
Questão 34 (FGV/TJ-PI/2015/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESCRIVÃO) A plantação de 
um agricultor fica em um terreno em forma de trapézio retangular, cujas dimensões 
constam da figura a seguir:
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Sabendo que este agricultor utiliza diariamente, para irrigação, quatro litros de 
água por metro quadrado de plantação, a quantidade total de água utilizada em um 
dia para irrigar a plantação é, em litros,
a) 35,2
b) 120
c) 1200
d) 35200
Questão 35 (INSTITUTO LEGATUS/PREFEITURA DE PASSAGEM FRANCA DO 
PIAUÍ/2016/AGENTE ADMINISTRATIVO) Pode-se afirmar que a área e o perímetro 
do trapézio abaixo são, respectivamente:
a) 96 cm² e 46 cm
b) 120 cm² e 38 cm
c) 120 cm² e 48 cm
d) 144 cm² e 38 cm
e) 144 cm² e 42 cm
Questão 36 (UFRPE/2016/AUXILIAR EM ADMINISTRAÇÃO) Um reservatório tem a 
forma de um cubo e capacidade de 64m3. De quanto teria que se aumentar cada 
uma das arestas do reservatório para se obter um outro reservatório cúbico, com 
capacidade superior em 152m3 ao anterior?
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a) 20 dm
b) 18 dm
c) 16 dm
d) 14 dm
Questão 37 (FGV/CODEBA/2016/GUARDA PORTUÁRIO) Um contêiner possui, 
aproximadamente, 6,0 m de comprimento, 2,4 m de largura e 2,3 m de altura. 
A capacidade cúbica desse contêiner é de, aproximadamente:
a) 31 m³
b) 33 m³
c) 35 m³
d) 37 m³
e) 39 m³
Questão 38 (FGV/CODEBA/2016/ANALISTA PORTUÁRIO/ADMINISTRADOR) O 
quadrado ABCD e o triângulo BAE estão contidos, respectivamente, em planos per-
pendiculares. BAE é um triângulo retângulo isósceles com ângulo reto no vértice A. 
O triângulo BDE é:
a) equilátero
b) retângulo isósceles
c) retângulo não - isósceles
d) escaleno
e) obtusângulo
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Questão 39 (FGV/TJ-PI/2015/ANALISTA JUDICIÁRIO – ESCRIVÃO) A figura abaixo 
ilustra a urna eletrônica usada nas últimas eleições no Brasil. Ela contém um painel 
frontal retangular, ABGF, com inclinação θ=45º em relação à base ABCH - o vér-
tice H, que não aparece explicitamente na figura, é comum às faces ABCH, CDEH 
e AFEH. As faces BCDG e AFEH são paralelas entre si e são trapézios retângulos; 
todas as outras faces são retângulos:
O retângulo IJKL, correspondente ao monitor de vídeo, tem dimensões IJ = 20 cm 
e JK = 15 cm; a distância do segmento KL ao segmento AB é igual a 2 cm e a dis-
tância do segmento IJ ao segmento FG é igual a 3 cm.
Considere que se deseje reformar a urna, de modo que o monitor seja um quadra-
do de 20 cm de lado, aumentando-se o comprimento do segmento JK de 15 cm 
para 20 cm. O comprimento da aresta CD e as distâncias entre os segmentos AB e 
KL e entre IJ e FG deverão manter-se fixas.
Para isso, as arestas EF e DG serão diminuídas, as arestas BG e AF serão aumenta-
das, e o ângulo 2 deverá ser diminuído de 45º até um valor de θ0 , de modo que o 
segmento JK passe a medir 20 cm. Com base nessas informações, é correto afirmar 
que o valor de sen θ0 será igual a:
a) 1/2
b) 2 2
5
c) 2
2
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MATEMÁTICA
Geometria Plana
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d) 3/4
e) 4/5
Questão 40 (FGV/PROCEMPA/2014/TÉCNICO EM TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO 
E COMUNICAÇÃO) A figura a seguir mostra um reservatório cilíndrico circular que 
tem 5,0 m de comprimento e 1,6 m de diâmetro.
A capacidade desse reservatório é de, aproximadamente,
a) 7500 litros
b) 8600 litros
c) 9200 litros
d) 10000 litros
e) 12500 litros
Questão 41 (FGV/IBGE/2016/TÉCNICO EM INFORMAÇÕES GEOGRÁFICAS E ES-
TATÍSTICAS) Uma pirâmide regular é construída com um quadrado de 6 m de lado 
e quatro triângulos iguais ao da figura abaixo.
O volume dessa pirâmide em m3 é aproximadamente:
a) 84
b) 90
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MATEMÁTICA
Geometria Plana
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c) 96
d) 108
e) 144
Questão 42 (CESPE/SEDU-ES/2010) O volume de um cone circular reto de altura 
5 cm e raio da base 6 cm é 60π cm3.
Questão 43 (CESPE/PC-ES/2011) Os policiais da delegacia de defesa do consumi-
dor apreenderam, em um supermercado, 19,5 kg de mercadorias impróprias para 
o consumo: potes de 150 g de queijo e peças de 160 g de salaminho. Com base 
nessa situação, julgue os itens a seguir.
Suponha que os potes de queijo tenham a forma de um tronco de cone de 7 cm de 
altura, em que o raio da base maior meça 4 cm e da base menor, 3 cm. Nesse caso, 
tomando 3,14 como valor aproximado de π, é correto afirmar que essas embala-
gens têm capacidade para, no máximo, 250 mL.
Questão 44 (QUESTÃO INÉDITA) Considerando 1,73 como valor aproximado da 
raiz de 3 a área de hexágono inscrito numa circunferência de raio 10 cm é superior 
a 250 cm².
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GABARITO
1. c
2. b
3. a
4. a
5. d
6. b
7. c
8. e
9. c
10. b
11. C
12. b
13. e
14. c
15. a
16. c
17. C
18. E
19. a
20. E
21. C
22. C
23. E
24. E
25. a
26. c
27.