Grátis
135 pág.

Denunciar
Pré-visualização | Página 24 de 27
da viga da direc¸a˜o longitudinal. A aplicac¸a˜o destas u´ltimas equac¸o˜es segue enta˜o um procedimento bastante parecido com o exposto no item anterior. Deve-se ter bastante atenc¸a˜o no ca´lculo do momento esta´tico, identificando corretamente qual a a´rea a ser considerada no seu ca´lculo. Obvia- mente a aplicac¸a˜o destas equac¸o˜es podem ser extendidas a vigas de um so´ elemento. Observa-se que das equac¸o˜es 3.106 e 3.107 que o fluxo de cisalhamento e´ uma grandeza vetorial e define a direc¸a˜o das tenso˜es as tenso˜es Observa-se tambe´m que na aba do perfil o fluxo de cisalhamento na direc¸a˜o vertical provoca tenso˜es τxy de baixa magnitude pois a espessura t e´ relativamente grande. Por um outro lado o fluxo de cisalhamento na direc¸a˜o horizontal provoca tenso˜es de cisalhamento τxz de altas magnitudes pois a espessura e e´ relativamente pequena. Assim sendo, e´ comum analisarmos o fluxo de cisalhamento somente nas direc¸o˜es paralelas aos lados da sec¸a˜o: direc¸a˜o horizontal na(s) aba(s) e direc¸a˜o vertical na alma. O sentido do fluxo de cisalhamento e, consequ¨entemente das tenso˜es cisalhantes, nas abas sa˜o mostrados na figura 3.130 e sa˜o obtidos pela simetria do tensor de tenso˜es (equac¸o˜es de equil´ıbrio). Ja´ na alma a direc¸a˜o do fluxo e´ a mesma direc¸a˜o do cortante atuante na sec¸a˜o. 110 M τzx τxz τzx τxz τzx τxz dx dF F + dF F τxz τzx dx t e M + dMx y z F dx F + dF dF F dx dF F + dF dx F + dF F dF Figura 3.130: Fluxo de cisalhamento num perfil I A figura 3.131 resume as direc¸o˜es de fluxo de cisalhamento considerados na ana´lise de uma viga I, bem como suas intensidades. Estas u´ltimas sera˜o discutidas logo a seguir. f max aba f max aba f max alma max aba2f Figura 3.131: Fluxo de cisalhamento num perfil I No que se refere a` intensidade do fluxo de cisalhamento tem-se para uma viga I, tem-se: • Para as abas do perfil: (ver figura 3.132) y z d/2 e b/2 x Q dz Figura 3.132: Fluxo de cisalhamento nas abas de um perfil I 111 f = QMs I = Qd 2 ( b 2 − z)e I = Qed 2I ( b 2 − z ) (3.109) Verifica-se que o fluxo de cisalhamento varia linearmente com z conforme mostra figura 3.131. A forc¸a total desenvolvida em cada trecho das abas pode ser obtida pela integrac¸a˜o que segue e as resultantes sa˜o mostradas na figura 3.133 Faba = ∫ dF = ∫ fdz = ∫ 0 b/2 Qed 2I ( b 2 − z ) dz = Qedb2 16I (3.110) Faba Faba FabaFaba Falma = Q Figura 3.133: Resultantes do fluxo de cisalhamento num perfil I Observa-se facilmente que a resultante de forc¸as na horizontal e´ nula, como era de se esperar ja´ que para o caso analisado so´ existe cortante na direc¸a˜o y. • Para a alma do perfil: (ver figura 3.134) Similarmente, observando figura 3.134 faz-se a ana´lise da alma. y z e Q b t dy y e d/2 Figura 3.134: Fluxo de cisalhamento na alma de um perfil I Pode-se escrever para o ca´lculo do momento esta´tico na alma: Ms = bed/2 + t(d/2− e/2− y)(d/2− e/2− y)1/2 (3.111) Considerando que d/2 À e/2 (paredes finas), pode-se simplificar a equac¸a˜o 3.111 por: Ms ' bed/2 + t(d/2− y)(d/2− y)1/2 = bed/2 + t/2(d2/4− y2) (3.112) Resultando para o fluxo de cisalhamento, para o caso de t = e: 112 f = QMs I = Qt I [ db 2 + 1 2 ( d2 4 − y2 )] (3.113) Neste caso, conforme mostrado na figura 3.131 o fluxo de cisalhamento varia de modo parabo´lico, de f = 2fabamax = Qtdb/(2I) em y = d/2 ao ma´ximo de f = falmamax = (Qtd/I)(b/2 + d/8) em y = 0. A forc¸a total desenvolvida na alma pode ser obtida pela integrac¸a˜o que segue e a resultante e´ mostrada na figura 3.133 Falma = ∫ dF = ∫ fdy (3.114) Desenvolvendo a integral da equac¸a˜o 3.114, sendo o valor do fluxo de cisalhamento dado por 3.113, pode-se mostrar que: Falma = ∫ dF = ∫ d/2 −d/2 fdy = Q (3.115) ou seja, que a resultante vertical e´ igual ao cortante que atua na sec¸a˜o, conforme era esperado. (ver figura 3.133) 3.4.6 Exerc´ıcios 1. Um esforc¸o cortante vertical de 18 kN atua na sec¸a˜o transversal de uma viga con- stitu´ıda de quatro pec¸as de madeira 50 mm × 200 mm (veja figura 3.135 Determinar: (a) a tensa˜o tangencial horizontal ma´xima, indicando onde ela ocorre na sec¸a˜o transversal. (b) a tensa˜o tangencial vertical a 80 mm abaixo do topo. Resposta: 821,7 kPa e 706,7 kPa ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� Figura 3.135: Figura do exerc´ıcio 1 2. Uma viga caixa e´ formada por quatro ta´buas de madeira 25 mm × 150 mm, unidas com parafusos. O esforc¸o cortante de 4 kN e´ constante ao longo do comprimento. Calcular o espac¸amento entre os parafusos, no comprimento, se cada um suporta uma forc¸a de cisalhamento de 1 kN. Resposta: 110 mm, no ma´ximo. 113 ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� Figura 3.136: Figura do exerc´ıcio 2 3. Uma viga caixa˜o de madeira sec¸a˜o quadrada 250mm × 250 mm externamente, espessura de 50 mm, e´ formada por quatro pec¸as de madeira pregadas de uma das treˆs formas indicadas. O esforc¸o cortante de 3,02 kN ao longo do comprimento e cada prego resiste a uma forc¸a cortante de 240 N. escolher a soluc¸a˜o que exige menor nu´mero de pregos e calcular o espac¸amento entre os pregos para esta soluc¸a˜o. Resposta: (b) 60 mm (para (a) 36 mm e para (c) 45 mm) ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �������� �������� �������� �������� �������� �������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ (a) (b) (c) Figura 3.137: Figura do exerc´ıcio 3 4. A sec¸a˜o transversal AB da viga da figura 3.138, e´ constitu´ıda por va´rias pec¸as de madeira (dimenso˜es em mm), conforme a figura 3.138. O momento de ine´rcia em relac¸a˜o a` LN e´ igual a 2360×106 mm4. Cada parafuso representado e´ capaz de resistir a uma forc¸a de cisalhamento longitudinal de 2 kN. Pede-se o espac¸amento, ao longo do comprimento, dos parafusos necessa´rios a` ligac¸a˜o: (a) nos trechos AC e DB. (b) no trecho CD. Resposta: 120 mm e 240mm 3.4.7 Centro de cisalhamento Seja uma sec¸a˜o com perfil U como a mostrada na figura 3.139. que esta´ em balanc¸o em um apoio fixo e submetida a` forc¸a P. Se a forc¸a for aplicada ao longo do eixo vertical assime´trico que passa pelo centro´ide C da a´rea da sec¸a˜o transversal,