Geometria Analítica e Álgebra Linear para Engenharias

Prévia do material em texto

Mantenedora e Diretora Geral
Dra. Lucinéia de Caires Bressanin
Vice-diretora
Nathalia Roschildt
Direção Acadêmica
Prof. Dr. Antonio Peixoto de Araujo Neto
Direção Administrativa
Sr. Gilmar Sanches Júnior
Geometria Analítica 
e Álgebra Linear
Antonio Peixoto de Araujo Neto 
Maringá, PR
2020
4
A reprodução total ou parcial desta publicação somente 
será permitida com prévia autorização por escrito da FEITEP.
A FEITEP-EAD segue o Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa em vigor no Brasil desde 2009. 
A aceitação das alterações textuais e de normalização bibliográfica sugeridas pelo revisor 
é uma decisão do autor/organizador.
Supervisão técnica: Érika Janini Maia
Revisão: Raquel Fregadolli Cerqueira Reis Gonçalves
Diagramação, projeto gráfico e capa: Candida Bitencourt Haesbaert | Paruna Editorial
Avenida Paranavaí, 1164 - Zona 06, CEP: 87070-130
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© Antonio Peixoto de Araujo Neto, 2020. 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
Bibliotecária: Nadja Honarra Aranha – CRB-9 – 1972
A663g 
 Araújo Neto, Antonio Peixoto de 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear / Antonio Pei-
xoto de Araújo Neto. - Maringá - PR: FEITEP, 2020. 
 96 p. : il. 
 Inclui Referências. 
 ISBN: 978-65-991746-3-6 
1. Matrizes. 2. Determinantes. 3. Retas, planos e Côni-
cas. I. Araújo Neto, Antonio Peixoto de. II. Título. 
 CDD: 516.3+512.5
5
Bem-vindos!
Caro(a) aluno(a),
A Educação a Distância é uma modalidade de ensino que tomou grandes proporções 
na última década e, por isso, desenvolvemos um ensino de excelência para você!
A proposta dessa modalidade de ensino permite um alcance significativo, ampliando 
a efetividade do direito ao acesso ao Ensino Superior. 
O cenário atual se constitui por aparatos, instrumentos e estratégias tecnológicas que 
reconfiguram os preceitos da prática tradicional de ensino a partir da mescla entre tecno-
logia, informação e conhecimento. 
Essa tríade marca a identidade de uma era educacional que cria oportunidades de for-
mação e qualificação por meio da construção do saber científico mediada por princípios 
interacionistas.
No espaço virtual, a relação entre professor e aluno se estabelece por meio de estraté-
gias inovadoras e efetivas, dentre elas, a necessidade e relevância de um material exclusi-
vo que visa a especificidade dessa instituição: a formação em engenharias!
Assim, convidamos você a ingressar no universo acadêmico por meio de cada disci-
plina! 
Desejamos a você, acadêmico, ótimos estudos! 
Coordenação Nead
Fonte: Paruna Editorial
6
O Autor
Antonio Peixoto de Araujo Neto é professor, Pesquisador e Procurador Institucional 
e Diretor Acadêmico da FEITEP - Faculdade de Engenharias e Arquitetura, doutor em Edu-
cação para a Ciência e a Matemática pelo Programa de Pós-Graduação em Educação para 
a Ciência e a Matemática (PCM) da Universidade Estadual de Maringá (UEM) e membro do 
GHMEM - Grupo de Estudos em História da Matemática e Educação Matemática da UEM. 
Possui graduação em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá. 
É mestre em Educação para a Ciência e a Matemática e Especialista em Tutoria em Educa-
ção a Distância. Possui trabalhos em revistas científicas e anais de eventos. Apresentou e 
organizou eventos. Os termos - chave vinculados à sua produção científica são: História da 
Ciência, Educação Matemática, História da Matemática no Brasil, Biografia, História Institu-
cional, Educação em Engenharia. 
7
Apresentação
Prezado(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) ao livro intitulado Geometria Analítica e 
Álgebra Linear. Ele foi elaborado para ser trabalhado especificamente em cursos de en-
genharias e consiste nas minhas impressões e experiências como professor desta discipli-
na. Na verdade, construí os conteúdos da mesma forma como faço em minhas aulas.
Desta forma, você perceberá que o livro possui uma linguagem acessível e que o ri-
gor matemático das demonstrações, simbologias e propriedades não foi conduzido como 
prioridade, justamente por conta de os leitores serem alunos de engenharias. De toda for-
ma, caso você tenha alguma curiosidade sobre alguma abordagem matemática, poderá 
realizar uma leitura das obras que indico no final de cada uma das quatro unidades. Outra 
coisa muito importante: os conceitos apresentados não foram esgotados neste material, 
isto é, alguns conteúdos que abrangem os conceitos estudados podem não ser encontra-
dos neste texto por conta da afinidade com as áreas das engenharias.
Caso você seja um(a) aluno(a) que teve um Ensino Médio raso ou que está afastado da 
sala de aula há bastante tempo, não se preocupe! Preparei com carinho esse material para 
que os conceitos possam ser apresentados desde a sua essência, ou seja, a matemática 
básica, que deles se fizer necessária. Ao longo do texto, indico algumas leituras de concei-
tos complementares, basta você ir seguindo as minhas orientações que certamente não 
terá problemas.
Na primeira unidade, apresento a teoria de Matrizes, desde a sua lei de formação, aná-
lise e interpretação dos seus elementos, dos seus tipos e as operações com matrizes. Esta 
unidade é introdutória e bem simples. Capriche!
Na segunda unidade, dando continuidade à teoria de Matrizes, desenvolvo os deter-
minantes de matrizes de ordem 1, 2, 3 e 4. A fim de agilizar os nossos estudos, utilizei ape-
nas uma técnica para cada ordem para a obtenção do determinante. São elas: a Regra de 
Sarrus e a Regra de Laplace. Caso você já tenha estudado outras técnicas, fique tranquilo, 
pois estas que eu escolhi são bem simples de serem entendidas e manipuladas.
Ainda nessa unidade, estudaremos estratégias para a obtenção da inversa de uma ma-
triz e faremos a discussão e a classificação de sistemas lineares.
Na terceira unidade, você encontrará a teoria de Vetores, desde a sua concepção geo-
métrica até as suas operações. Nesta seção, você encontrará os produtos de vetores que 
são três: produto escalar, cuja principal aplicação é o cálculo de distâncias, ângulos e com-
primentos; produto vetorial, em que a principal aplicação é o cálculo de áreas; e produto 
misto, na qual a principal aplicação é o cálculo de volumes.
Para finalizar o material, na quarta unidade, discutiremos sobre retas, suas equações e 
posições relativas, planos e suas equações e fecharemos com as equações e gráficos das 
cônicas centradas e não centradas.
Apesar de ser um material compacto, ele possui uma densidade de conceitos e com-
prometimento da sua parte. Portanto, estude e faça o seu melhor. Em caso de dúvidas, 
conte comigo pelo e-mail: <direcaoacademica@feitep.edu.br> ou entre em contato com 
a equipe de suporte.
Tenha um bom divertimento!
Prof. Antonio.
8
Sumário
UNIDADE I – Matrizes .......................................................................................................................... 10
Tópico 1 – Matrizes ....................................................................................................................................... 12
1.1 Classificação de matrizes ................................................................................................................. 13
1.1.1 Matriz nula ................................................................................................................................. 13
1.1.2 Matriz linha ................................................................................................................................ 13
1.1.3 Matriz coluna ............................................................................................................................. 13
1.1.4 Matriz quadrada ....................................................................................................................... 13
1.1.5 Matriz identidade .....................................................................................................................14
1.1.6 Matriz triangular superior ...................................................................................................... 14
1.1.7 Matriz triangular inferior ........................................................................................................ 14
1.1.8 Matriz transposta ..................................................................................................................... 14
1.1.9 Matriz simétrica ........................................................................................................................ 14
1.1.10 Matriz antissimétrica ............................................................................................................. 15
1.2 Lei de Formação de Matrizes .......................................................................................................... 16
1.3 Operações com Matrizes.................................................................................................................. 16
1.3.1 Adição de matrizes .................................................................................................................. 16
1.3.2 Subtração de matrizes ............................................................................................................ 17
1.3.3 Multiplicação de matriz por escalar .................................................................................... 18
1.3.4 Multiplicação de matrizes ...................................................................................................... 18
1.3.5 Expressões com matrizes ....................................................................................................... 19
Considerações finais ..................................................................................................................................... 22
Referência........................................................................................................................................................ 23
UNIDADE II – Determinantes, Sistemas Lineares e Matriz Inversa ........................... 24
Tópico 1 – Determinantes ........................................................................................................................... 26
1.1 Determinante de matrizes de ordem 1 ........................................................................................ 26
1.2 Determinante de matrizes de ordem 2 ........................................................................................ 26
1.3 Determinante de matrizes de ordem 3 ........................................................................................ 28
1.4 Determinante de matrizes de ordem 4 ........................................................................................ 30
Tópico 2 – Sistemas lineares ....................................................................................................................... 32
2.1 Sistema normal .................................................................................................................................. 33
2.2 Classificação de sistemas 2x2 ......................................................................................................... 34
2.2.1 Sistema Possível e Determinado .......................................................................................... 34
2.2.2 Sistema Possível e Indeterminado ....................................................................................... 35
2.2.3 Sistema Impossível .................................................................................................................. 36
2.3 Classificação de sistemas 3x3 ......................................................................................................... 37
Tópico 3 – Matriz inversa ............................................................................................................................. 42
Considerações finais ..................................................................................................................................... 45
Referência........................................................................................................................................................ 45
UNIDADE III – Vetores ......................................................................................................................... 46
Tópico 1 – Vetores ......................................................................................................................................... 48
1.1 Axiomas da existência ...................................................................................................................... 48
1.1.1 Existe ponto ............................................................................................................................... 48
1.1.2 Existe reta .................................................................................................................................. 48
1.1.3 Existe plano ............................................................................................................................... 48
1.2 Vetor...................................................................................................................................................... 52
9
1.2.1 Classificação de vetores .......................................................................................................... 52
1.2.1.1 Vetor nulo ..................................................................................................................... 52
1.2.1.2 Vetor unitário ............................................................................................................... 52
1.2.1.3 Versor ............................................................................................................................ 52
1.2.1.4 Vetores colineares ...................................................................................................... 52
1.2.1.5 Vetores coplanares ..................................................................................................... 53
1.2.2 Operações geométricas com vetores .................................................................................. 54
1.2.2.1 Adição de vetores ....................................................................................................... 54
1.2.2.2 Subtração de vetores ................................................................................................. 55
1.2.2.3 Multiplicação de vetor por escalar ......................................................................... 57
1.2.3 Visão analítica de vetores ...................................................................................................... 58
1.2.3.1 Notação ......................................................................................................................... 58
1.2.3.2 Vetor definido por dois pontos ................................................................................ 58
1.2.3.3 Operações analíticas com vetores .......................................................................... 58
1.2.3.3.1 Adição e subtração de vetores ............................................................... 58
1.2.3.3.2 Multiplicação de vetor por escalar ........................................................ 59
1.2.3.4 Dependência linear .................................................................................................... 60
1.2.3.4.1 Dependência Linear - dois vetores ........................................................ 60
1.2.3.4.2 Dependência Linear - três vetores ......................................................... 60
1.2.3.5 Produtos de vetores ................................................................................................... 62
1.2.3.5.1 Produto escalar .......................................................................................... 62
1.2.3.5.1.1 Módulo de um vetor.............................................................. 62
1.2.3.5.1.2 Versor de um vetor ................................................................ 64
1.2.3.5.1.3 Ângulo entre vetores............................................................. 64
1.2.3.5.1.4 Condição de ortogonalidade entre dois vetores ............ 65
1.2.3.5.2 Produto vetorial ......................................................................................... 66
1.2.3.5.2.1 Áreas ......................................................................................... 68
1.2.3.5.3 Produto misto ............................................................................................. 70
1.2.3.5.3.1 Volumes.................................................................................... 71
Considerações finais ..................................................................................................................................... 73
Referências ...................................................................................................................................................... 73
UNIDADE IV – Retas, Planos e Cônicas...................................................................................... 74
Tópico 1 – Retas, Planos e Cônicas ........................................................................................................... 76
1.1 Retas .................................................................................................................................................... 76
4.1.1 Equações da reta ...................................................................................................................... 76
4.1.1.1 Dados dois pontos ...................................................................................................... 76
4.1.1.2 Dados um ponto e um vetor diretor....................................................................... 78
4.1.2 Posição relativa entre retas ................................................................................................... 81
4.2 Planos ................................................................................................................................................... 85
4.3 Cônicas ................................................................................................................................................. 87
4.3.1 Elipse ........................................................................................................................................... 87
4.3.1.1 Elipse não centrada na origem ................................................................................ 91
4.3.2 Hipérbole ................................................................................................................................... 92
Considerações finais ..................................................................................................................................... 95
Referências ...................................................................................................................................................... 95
Conclusão ........................................................................................................................................................ 96
Plano de Estudo:
• Conceito de matrizes
•	 Definições	dos	tipos	de	matrizes
•	 Obtenção	de	uma	matriz	dada	a	sua	lei	de	
formação
•	 Operações	com	matrizes
• Breve histórico da teoria de matrizes
Objetivos de Aprendizagem:
•	 Conceituar	e	contextualizar	a	teoria	 
de	matrizes	no	contexto	da	formação	 
inicial	do	engenheiro;
•	 Compreender	os	tipos	de	matrizes	 
a	partir	das	suas	ordens;
•	 Apresentar	as	operações	com	 
matrizes	e	as	suas	principais	 
propriedades	e	características;
•	 Estabelecer	a	importância	da	 
teoria	de	matrizes	no	curso	 
de	engenharia.
UNIDADE I
Matrizes
11
Introdução
Prezado(a) aluno(a), iniciamos nesta unidade os nossos estudos sobre a teoria de Ma-
trizes. Possivelmente, você já estudou este conceito no Ensino Médio. Porém, caso você 
não tenha familiaridade com o conteúdo, não se preocupe, pois construímos este texto 
com o intuito de instrumentar por meio de definições e exemplos o conceito de Matriz.
Para tanto, indicamos que antes de assistir às aulas, você leia o texto desta unidade 
e, após a leitura, assista às videoaulas presentes no seu Ambiente Virtual de Aprendiza-
gem (AVA). Além disso, recomendamos que você não utilize calculadora no decorrer dos 
exemplos e dos exercícios acerca da teoria de Matrizes. Neste momento do curso, é impor-
tante que você desenvolva manualmente as operações matemáticas elementares. Você 
observará que não há operações que não sejam possíveis de serem desenvolvidas manu-
almente. Isso corroborará para o desenvolvimento do seu raciocínio lógico matemático 
e, consequentemente, fortalecerá o processo de ensino e de aprendizagem da disciplina.
A teoria de Matrizes visa instrumentalizar você, aluno(a), para as disciplinas específicas 
do seu curso. Ela está inserida no início do seu curso, pois será uma ponte para as discipli-
nas dos módulos posteriores. Caso permaneça a dúvida em algum tópico, você poderá re-
alizar a leitura dos materiais complementares que são indicados no final da unidade. Estes 
materiais são constituídos por livros e vídeos. Além disso, você tem acesso às videoaulas e 
poderá contatar a equipe de tutoria via AVA. 
Para finalizar, reforço que o texto a seguir foi construído com o intuito de te instrumen-
talizar para as disciplinas específicas do curso de engenharia com uma linguagem simples 
e acessível, sem o rigor das demonstrações e fórmulas matemáticas. Uma leitura mais pro-
funda você encontra nos livros indicados no final da unidade. 
Espero que tenha uma boa experiência nesta disciplina. Bons estudos!
12
Tópico 1 
1 Matrizes
Pedro é acadêmico do primeiro ano do curso de Engenharia Civil da FEITEP. Ele possui 
as seguintes notas bimestrais até o momento:
Tabela 1: Notas do aluno Pedro
1º bimestre 2º bimestre
Cálculo I 5,2 7,3
GAAL 6,1 6,5
Introdução à Engenharia 9,6 9,4
Fonte: o autor.
Observe que para cada nota há duas informações necessárias para o seu entendimen-
to: a disciplina e o bimestre que ela pertence. Assim, dizemos que a tabela acima é uma 
tabela de dupla entrada, pois para cada valor (nota) estão associadas duas informações. 
Tomando na tabela acima apenas os valores das notas, teremos o que chamamos de 
Matriz.
Definição: 
Uma matriz é uma tabela que contém números.
Os elementos de uma matriz são apresentados entre colchetes. Assim, organizando os 
elementos da tabela 1, temos a seguinte matriz:
5,2 7,3
6,1 6,5
9,6 9,4
Denotamos uma matriz por letras maiúsculas do nosso alfabeto e os seus elementos 
por letras minúsculas. Além disso, em toda matriz consideramos uma ordem que é cons-
tituída pelo número de linhas e colunas que a matriz possui. No caso da matriz acima, 
temos três linhas e duas colunas. Denotando a matriz por A, temos:
A3x2
Que é a representação de A dada a sua ordem. De um modo geral, sempre indicamos a 
ordem de uma matriz apresentando primeiro o número de linhas e em segundo o número 
de colunas. Assim, é intuitivo observar que:
A3x2 ≠ A2x3
 
13
Genericamente, podemos representar a matriz como:
A3x2 = 
Veja que para cada elemento denotamos a linha e a coluna em que está inserido. As-
sim, por exemplo, o elemento a31 está na terceira linha e na primeira coluna. De modo 
geral, o elemento de uma matriz A será representado por aij, em que i representa o número 
da linha e j corresponde ao número da coluna.
Uma matriz pode ser classificada de acordo com a sua ordem. Veja, a seguir, os princi-
pais tipos de matrizes.
1.1 Classificação de matrizes
1.1.1 Matriz nula
Toda matriz cujos elementos são todos iguais a zero.
Exemplos: A = [0], B = 
0 0
0 0
, C = 
0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 
1.1.2 Matriz linha
Todamatriz do tipo A1xn, ou seja, toda matriz que possui apenas uma linha. Observe 
que não há restrições quanto ao número de colunas.
Exemplo: A = [2 –1 3]
1.1.3 Matriz coluna
Toda matriz do tipo Amx1, ou seja, toda matriz que possui apenas uma coluna. Observe 
que não há restrições quanto ao número de linhas.
Exemplos: A = [–2], B = 
2
– 1
3
 
1.1.4 Matriz quadrada
Toda matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas, ou seja, Amxm ou, 
simplesmente, Am.
Exemplos: A = [- 2], B = 
2 –1
3 4
, C = 
 2 –1 3 
 4 0 2
–5 7 1 
Veja que C é uma matriz que possui três linhas e três colunas. Logo, sua ordem é indi-
cada por C3x3 ou C3.
Em uma matriz quadrada, definimos as suas duas diagonais. Uma é a diagonal princi-
pal e a outra é a diagonal secundária, conforme segue:
No primeiro caso temos que A é uma matriz que possui três linhas e duas colunas e no 
segundo caso temos uma outra matriz A que possui duas linhas e três colunas.
REFLITA
a11 a12
a21 a22
a31 a32
14
 
1.1.5 Matriz identidade
Toda matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a um e os de-
mais elementos são iguais a zero.
Exemplos: = 
1.1.6 Matriz triangular superior
Toda matriz quadrada cujos elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
Exemplo: 
1.1.7 Matriz triangular inferior
Toda matriz quadrada cujos elementos acima da diagonal principal são iguais a zero.
Exemplo: 
1.1.8 Matriz transposta
A transposta da matriz Amxn é a matriz A
T
nxm em que as linhas de A se transformam nas 
colunas de AT.
Exemplo 1: Se A = 
 3 0
–2 1
, então AT = 
 3 –2
 0 1
Exemplo 2: Se C = 
 7 0 0 
 8 –2 0
 –1 0 2 
, qual é a transposta da matriz transposta de C?
Queremos saber qual é a matriz (CT)T . Vejamos:
 CT = 
 7 8 –1 
 0 –2 0
 0 0 2 
. Agora, vamos obter a transposta de CT: (CT)T = 
 7 0 0 
 8 –2 0
 –1 0 2 
Observe que (CT)T = C, isto é, a transposta da matriz transposta de C é a própria matriz C.
1.1.9 Matriz simétrica
Uma matriz A é denominada matriz simétrica quando A for igual à sua transposta, ou 
seja, A = AT.
Exemplo 1: A matriz A = 
 2 –1
 –1 0
 é simétrica, pois AT = 
 2 –1
 –1 0
 = A.
Exemplo 2: Determine os valores de x e y para que a matriz C = 
 7 8 y2 
 8 0 3x
 4 9 2 
seja simé-
trica.
15
Note que para C ser simétrica devemos ter C = CT. Logo 
CT = 
 7 8 4 
 8 0 9
 y2 3x 2 
. Assim, fazendo C = CT, temos:
C = CT  
 7 8 y2 
 8 0 3x
 4 9 2 
 = 
 7 8 4 
 8 0 9
 y2 3x 2 
. Comparando as duas matrizes, temos:
3x = 9  x = 3 e y² = 4  y = ±2.
Portanto, para que C seja uma matriz simétrica, devemos ter x = 3 e y = ±2.
1.1.10 Matriz antissimétrica
Uma matriz A é antissimétrica quando a sua matriz transposta AT for igual à sua matriz 
oposta – A. 
Assim, se A = 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 , então, pela definição, temos que: para que A 
seja uma matriz antissimétrica AT = - A. Logo,
AT = - A  
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
 = – 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
  
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
 = 
– a11 – a12 – a13
– a21 – a22 – a23
– a31 – a32 – a33
 
a11 = – a11  a11 = 0; a11 = – a12; a31 = – a13; a12 = – a21; 
a22 = – a22  a22 = 0; a32 = – a23; a13 = – a31; a23 = – a32; 
a33 = – a33  a33 = 0.
Observe que os elementos da diagonal principal de A devem ser iguais a zero, pois é o 
único número que é igual ao seu oposto.
Exemplo: A matriz B = 
 0 2 –4 
 –2 0 1
 4 –1 0
 é antissimétrica, pois
BT = 
 0 –2 4 
 2 0 –1
 –4 1 0
 e – B = 
 0 –2 4 
 2 0 –1
 –4 1 0
 . Logo, BT = - B e, portanto, B é antissimétrica.
Observe que uma mesma matriz pode ser classificada em várias categorias, como é o caso 
da matriz simétrica. Assim, caso seja questionado quanto ao tipo de uma matriz, não fique 
atrelado apenas a uma classificação. Você deverá verificar todas as possibilidades apresentadas!
REFLITA
16
1.2 Lei de Formação de Matrizes
Uma matriz pode ser obtida a partir de uma lei de formação, que é uma fórmula mate-
mática que a caracteriza a partir da sua ordem. 
Exemplo 1: Obtenha a matriz A2x3 tal que aij = 2i – j.
Observe que a forma genérica da matriz A é A = 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
 .
Pela lei de formação de A dada por aij = 2i – j, temos:
a11 = 2.1 – 1 = 2 – 1 = 1
a12 = 2.1 – 2 = 2 – 2 = 0
a13 = 2.1 – 3 = 2 – 3 = – 1
a21 = 2.2. – 1 = 4 – 1 = 3
a22 = 2.2 – 2 = 4 – 2 = 2
a23 = 2.2 – 3 = 4 – 3 = 1
Portanto, temos que A = 
1 0 –1
3 2 1 .
Exemplo 2: Determine a transposta da matriz B2 tal que bij = j
i.
Queremos obter a transposta de B. Para tanto, precisamos calcular os seus elementos. 
Temos que B2 = 
b11 b12
b21 b22
 . Assim,
b11 = 1¹ = 1
b12 = 2¹ = 2
b21 = 1² = 1
b22 = 2² = 4
Logo, B = 
1 2
1 4 e, assim, B
T = 
1 1
2 4 .
1.3 Operações com Matrizes
Conforme vimos, uma matriz é uma tabela que contêm números. Assim, com esses 
números estabelecemos as operações básicas com as matrizes. Inicialmente, observamos 
que uma matriz possui uma ordenação que a diferencia das propriedades dos números. 
Assim, para as matrizes, veremos que as operações possuem propriedades específicas.
1.3.1 Adição de matrizes
A adição de matrizes é estabelecida apenas quando as matrizes possuem a mesma 
ordem. A operação é realizada somando-se os termos correspondentes.
Exemplo: Dadas as matrizes A = 
 3 –2
 0 5
–8 1
 , B = 
 –1 4
 –3 0
 1 –6
 e C = 
2 –1
3 4 , faça o que se 
pede:
17
a) Determine M = A + B
M = 
 3 –2
 0 5
–8 1
 + 
–1 4
–3 0
 1 –6
  M = 
3+(–1) –2+4
0+(–3) 5+0
–8+1 1+(–6)
  M = 
 2 2
–3 5
–7 –5
 
b) Determine N = B + A
N = 
–1 4
–3 0
 1 –6
 + 
 3 –2
 0 5
–8 1
  N = 
–1+3 4+(–2)
–3+0 0+5
1+(–8) –6+1
  N = 
 2 2
–3 5
–7 –5 
 
c) O que podemos conjecturar a partir das matrizes M e N?
Conjecturamos que a adição de matrizes é uma operação comutativa, isto é, 
 A + B = B + A, pois M = N.
d) Determine O = A + C
A operação não está estabelecida pois A3x2 e C2, ou seja, a adição de A e C não é possível 
pois as matrizes possuem ordens diferentes.
1.3.2 Subtração de matrizes
Assim como na adição, a subtração de matrizes é estabelecida apenas quando as ma-
trizes possuem a mesma ordem. A operação é realizada subtraindo-se os elementos cor-
respondentes.
Exemplo: Dadas as matrizes X2x4 tal que xij = j – i e Y2x4 tal que yij = i.j, faça o que se pede:
a) Determine Z = X – Y
b) Determine W = Y – X
c) O que podemos conjecturar a partir das matrizes Z e W?
Inicialmente, precisamos obter as matrizes X e Y a partir da lei de formação de cada uma.
X2x4 tal que xij = j – i
X = 
x11 x12 x13 x14
x21 x22 x23 x24
  X = 1 – 1 2 – 1 3 – 1 4 – 1
1 – 2 2 – 2 3 – 2 4 – 2
  X = 0 1 2 3
–1 0 1 2 
 
y2x4 tal que xij = i.j
y = 
y11 y12 y13 y14
y21 y22 y23 y24
  Y = 1.1 1.2 1.3 1.4
2.1 2.2 2.3 2.4
  Y = 1 2 3 4
 2 4 6 8 
 
Agora, temos:
a) Z = X – Y  Z = 0 1 2 3
– 1 0 1 2
 - 1 2 3 4
2 4 6 8
  
Z = 
 0 – 1 1 – 2 2 – 3 3 – 4
–1 – 2 0 – 4 1 – 6 2 – 8
  Z = –1 –1 –1 –1
–3 –4 –5 –6
 
b) W = Y – X  W = 1 2 3 4
2 4 6 8
 - 0 1 2 3
– 1 0 1 2
 
W = 
 1 – 0 2 – 1 3 – 2 4 – 3
 2 – (–1) 4 – 0 6 – 1 8 – 2
  W = 1 1 1 1
3 4 5 6
 
18
Conjecturamos que a subtração de matrizes não é uma operação comutativa, pois X 
– Y ≠ Y – X.
1.3.3 Multiplicação de matriz por escalar
A operação éestabelecida multiplicando-se o escalar (número real) por cada elemen-
to da matriz.
Exemplo: Dada a matriz A = 
2 –1
3 4
 , faça o que se pede:
a) Determine B = 
1—
2 A
B = 
1—
2 
2 –1
3 4
  B = 
1—
2
.2 1—
2
.(–1)
1—
2
.3 1—
2
.4
  B = 
1 – 1—
2
3—
2
 2
b) Calcule C = - 2A + 3AT
C = - 2 
2 –1
3 4
 + 3 2 3
–1 4
  C = –4 2
–6 –8
 + 6 9
–3 12
  C = 2 11
–9 4
 
1.3.4 Multiplicação de matrizes
A multiplicação de matrizes é estabelecida se o número de colunas da primeira matriz 
for igual ao número de linhas da segunda. A operação é realizada somando-se os produtos 
dos elementos das linhas da primeira matriz pelos elementos das colunas da segunda matriz.
Se C = A . B, tal que A3x2 e B2x4, então, a operação está estabelecida, pois o número de 
colunas de A é igual a dois que é o número de linhas de B, e a matriz resultante C será do 
tipo C3x4, isto é, C possui o número de linhas de A e o número de colunas de B.
Exemplo: Dadas as matrizes A = 
2 –1
3 4
 e B = 
1 –1 0
2 5 –3 , calcule:
a) M = A.B
A operação está estabelecida, pois A2x3 e B2x3. Logo, M2x3. Vejamos:
M = 
2 –1
3 4
 . 
1 –1 0
2 5 –3  
M = 
M = 
2.1 + (–1) . 2 2. (–1) + (–1). 5 2.0 + (–1) . (–3)
 3 . 1 + 4 . 2 3 . (–1) + 4.5 3 . 0 + 4 . (–3) 
M = 
2 – 2 –2 – 5 0 + 3
3 + 8 –3 + 20 0 – 12  M = 
0 –7 3
11 17 –12
 
b) N = B.A
A operação não está estabelecida, pois B2x3 e A2x3, ou seja, o número de colunas da 
primeira matriz, B, é igual a três que é diferente do número de linhas da segunda matriz, 
A, que é dois.
c) O que podemos conjecturar a partir dos itens a) e b)?
Conjecturamos que a multiplicação de matrizes não é uma operação comutativa, isto 
é, A.B ≠ B.A.
19
d) O = A²
Observe que para obter a matriz O não podemos simplesmente elevar os termos da 
matriz A ao quadrado, pois A² = A.A e vimos que o produto de matrizes é obtido pela soma 
dos produtos das linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e não a par-
tir dos elementos correspondentes, como fizemos na adição e na subtração de matrizes. 
Assim,
O = A²  O = A.A.  O = 
2 –1
3 4
 . 2 –1
3 4
  
O = 
2 . 2 + (–1) . 3 2 . (–1) + (–1) . 4 
 3 . 2 + 4 . 3 3 . (–1) + 4 . 4 
  O = 
 4 – 3 –2 – 4 
 6 + 12 –3 + 16  O = 
 1 –6
18 13
 
Note que se erroneamente tivéssemos elevado os termos de A ao quadrado, teríamos 
obtido 4 1
9 16
 , que é uma matriz diferente da que encontramos em O.
1.3.5 Expressões com matrizes
As expressões com matrizes são sentenças matemáticas constituídas pelas operações 
com matrizes que estudamos anteriormente. Para tanto, seguimos os parâmetros estabe-
lecidos em cada operação.
Exemplo: Dadas as matrizes A2 tal que aij = (i + j)² e B2 tal que bij = (i - j)², verifique se é 
verdadeira ou falsa a sentença
(A + B)² = A² + 2AB + B²
Neste exercício, devemos observar que a expressão acima envolve matrizes e não 
corresponde ao quadrado perfeito da teoria de álgebra. Logo, devemos desenvolver os 
cálculos de acordo com as características e propriedades das operações com as matrizes. 
Vamos separar a sentença acima em duas partes, I e II, para facilitar o desenvolvimento dos 
cálculos. No final do exercício, comparamos as partes.
I = (A + B)² e II = A² + 2AB + B²
Inicialmente, devemos obter as matrizes A e B. Temos:
 A2 tal que aij = (i + j)². Assim, a forma genérica de A é A = 
a11 a12
a21 a22
 . Logo,
 a11 = (1 + 1)² = 2² = 4
 a12 = (1 + 2)² = 3² = 9
 a21 = (2 + 1)² = 3² = 9
 a22 = (2 + 2)² = 4² = 16
Não se precipite na tomada de decisão no que tange a teoria de Matrizes. Em alguns casos, as 
propriedades operatórias são divergentes em relação à teoria de Números. Na multiplicação de 
matrizes, por exemplo, a operação não é comutativa, o que contraria a propriedade da teoria 
de Números em que a ordem dos fatores não altera o produto.
REFLITA
20
Desta forma, temos que A = 
4 9
9 16
 .
B2 tal que bij = (i - j)². Assim, a forma genérica de B é B = 
b11 b12
b21 b22
 . Logo,
b11 = (1 – 1)² = 0² = 0
b12 = (1 – 2)² = (–1)² = 1
b21 = (2 – 1)² = 1² = 1
b22 = (2 – 2)² = 0² = 0
Desta forma, temos que B = 
0 1
1 0
 .
Agora, vamos verificar a veracidade da sentença dada no enunciado:
I = (A + B)²  I = ( 
4 9
9 16
 + 0 1
1 0
 )²  I = ( 4 10
10 16
 )²  
I = 
4 10
10 16
 . 4 10
10 16
  I = 
 4 . 4 + 10 . 10 4 . 10 + 10 .16 
10 . 4 + 16.10 10 . 10 + 16 . 16 
 
I = 
 16 + 100 40 + 160 
 40 + 160 100 + 256 
  I = 
116 200
200 356
 .
II = A² + 2AB + B²  II = A.A + 2A.B + B.B 
II = 
4 9
9 16
 . 4 9
9 16
 + 2. 4 9
9 16
 . 0 1
1 0
 + 0 1
1 0
 . 0 1
1 0
 
II = 
 4.4 + 9.9 4.9 + 9.16 
 9.4 + 16.9 9.9 + 16.16 
 + 2 . 
 4.0 + 9.1 4.1 + 9.0 
 9.0 + 16.1 9.1 + 16.0 
 + 
 
 0.0 + 1.1 0.1 + 1.0 
 1.0 + 0.1 1.1 + 0.0 
  II = 
 16 + 81 36 + 144 
 36 + 144 81 + 256 
 + 2 . 
 0 + 9 4 + 0 
 0 + 16 9 + 0 
 + 
 
 0 + 1 0 + 0 
 0 + 0 1 + 0 
  II = 
 97 180
180 337
 + 2 9 4
16 9
 + 0 1
1 0
  
II = 
 97 180
180 337
 + 18 8
32 18
 + 0 1
1 0
 
II = 
 97 + 18 + 1 180 + 8 + 0
180 + 32 + 0 337 + 18 + 1
  II = 
116 188
212 356
 
Assim, temos que I = 
116 200
200 356
 ≠ II = 116 188
212 356
 . Portanto, a sentença 
(A + B)² = A² + 2AB + B² é falsa para a teoria de matrizes.
Com este exercício, devemos observar que as propriedades para a teoria de números 
nem sempre se aplicam para a teoria de matrizes, pois estas possuem características pró-
prias.
21
Fontes:
KUERTEN, Cristini.  Algumas aplicações de matrizes.  2002. 60 f. Trabalho de Conclusão (Licen-
ciatura em Matemática) - Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Universidade Federal de 
Santa Catarina, Florianópolis, 2002. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/hand-
le/123456789/96804/Cristini_Kuerten.PDF?sequence=1>. Acesso em: 25 fev. 2019.
SOCIEDADE PARANAENSE DE MATEMÁTICA. Ata da reunião realizada no dia 27 de maio de 1954. 
Curitiba, livro 1, f. 5, 1954.
SURGIMENTO DA TEORIA DAS MATRIZES. Disponível em: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/pas-
sa3b.html>. Acesso em: 25 fev. 2018.
A teoria de Matrizes é relativamente recente no contexto do desenvolvimento matemático. 
Por volta de 1826, por influência de Cauchy, foi atribuída a primeira denotação para matrizes: 
tabela. O nome Matriz, cujo significado é “local onde se gera ou cria” veio poucos anos mais 
tarde, por volta de 1850, por intermédio de James Joseph Sylvester. Até este momento 
histórico, as matrizes eram vistas em decorrência da teoria dos Determinantes. Somente a 
partir dos esforços mobilizados por Cayley que a teoria de Matrizes se potencializa como uma 
área bem definida e estruturada.
No Estado do Paraná, um dos primeiros registros de um curso sobre teoria das Matrizes, está 
vinculado ao matemático português João Remy Teixeira Freire, conforme ata da reunião da 
diretoria da Sociedade Paranaense de Matemática realizada em 27 de maio de 1954, que 
foi o idealizador para a criação da Sociedade Paranaense de Matemática e promotor de um 
ambiente matemático moderno para a época em que esteve estabelecido em Curitiba, entre 
1950 e 1955. 
Segundo Kuerten (2002), a teoria das Matrizes possui diversas aplicações nas diferentes áreas 
das engenharias, como por exemplo, na criptografia para codificar e decodificar mensagens, 
em modelos populacionais para a análise do crescimento populacional, em cadeias de Markov 
que é uma probabilidade de transição de um estado para outro, dentre outras aplicações.
SAIBA MAIS
22
Considerações finais
Prezado(a) aluno(a), estamos finalizando a primeira unidade do nosso caminho pela 
Geometria Analítica e ÁlgebraLinear. Até aqui, estudamos conceitos introdutórios que 
instrumentalizarão e servirão de base para os conceitos elencados nas próximas unidades.
Espero que tenha atingido os objetivos da unidade e, em caso de dúvidas, você poderá 
recorrer aos materiais indicados como complementares e, também, à equipe de tutoria da 
Instituição. É imprescindível que você tenha compreendido os conceitos apresentados até 
aqui, pois os demais estão intimamente conectados a estes.
De um modo geral, vimos: como se estrutura uma Matriz e como realizar a leitura dos 
seus elementos de acordo com a sua ordem; como classificar a Matriz de acordo com a sua 
ordem; como obter uma Matriz dada a sua lei de formação; como realizar as operações de 
adição, subtração, multiplicação de matriz por escalar e multiplicação de matrizes, bem 
como a análise do estabelecimento da propriedade comutativa para cada uma delas. 
Você deve ter em mente no decorrer desta disciplina que a teoria das Matrizes não 
segue as propriedades e estruturas da teoria dos Números, por exemplo, vimos que na 
multiplicação de matrizes, A.B ≠ B.A, e nas expressões com matrizes vimos que (A + B)² ≠ 
A² + 2AB + B².
Os livros indicados como leitura complementar são fontes para aprofundamento dos 
conceitos discutidos nesta unidade, bem como uma possibilidade para obtenção de uma 
nova interpretação dos tópicos apresentados. Observamos ainda que os conceitos apre-
sentados não foram esgotados, o que torna o conhecimento sobre Matrizes algo a ser 
continuado.
Até a próxima unidade!
Com o intuito de disponibilizar acesso a materiais complementares ao conceito de Matrizes, 
indicamos a seguir uma lista de trabalhos desenvolvidos no âmbito de pesquisas de 
mestrado e doutorado, para que você possa visualizar a teoria estudada em diferentes 
situações aplicadas à vivência do engenheiro, nas mais variadas áreas da Engenharia. Outros 
trabalhos podem ser localizados sob esta ótica no site1, da Biblioteca Digital Brasileira de 
Teses e Dissertações (BDTD).
1. Matrizes, determinantes e sistemas lineares: aplicações na Engenharia e Economia, 
de Gabriela Baptistella Peres Levorato
Em sua pesquisa de mestrado, Levorato (2017) mostra a importância da Álgebra Linear e em 
particular da Teoria de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares para resolver problemas 
práticos e contextualizados. Além disso, apresenta aplicações em circuitos elétricos, no 
balanceamento de equações químicas, nos modelos aberto e fechado de Leontief, e no 
funcionamento do GPS. Ainda, foi aplicado um plano de aula para os alunos do segundo ano 
do Ensino Médio e apresentadas sugestões de exercícios de vestibulares sobre os tópicos 
estudados para serem abordados em sala de aula.
Referência: 
LEVORATO, Gabriela Baptistella Peres.  Matrizes, Determinantes e Sistemas 
Lineares:  Aplicações na Engenharia e Economia. 2017. 65 f. Dissertação (Mestrado 
1 Disponível em: <http://bdtd.ibict.br/vufind/>. Acesso em: 25 fev. 2019.
LEITURA COMPLEMENTAR
23
Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, 
Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Rio Claro, 2017. Disponível em: 
<https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/151612/levorato_gbp_me_rcla.
pdf?sequence=3&isAllowed=y>. Acesso em: 25 fev. 2019.
2. Uma proposta para o ensino do conceito de matrizes em ambiente computacional, 
de Nilce Maria de Oliveira Pereira
O trabalho dissertativo desenvolvido por Pereira (2015) consiste em propor atividades 
alternativas ao tradicional ensino do conceito de Matriz no Ensino Médio. Para tanto, a 
autora buscou detectar as dificuldades que os alunos encontram ao resolver problemas 
que necessitam da compreensão do conceito de Matriz. Em seguida, propôs atividades a 
partir de rotinas, utilizando o ambiente Scilab para resolução dos exercícios. As atividades 
seguiram os passos da Engenharia Didática como metodologia de pesquisa. As atividades 
foram aplicadas a alunos da terceira série do Ensino Médio de uma escola da Rede Pública 
Estadual, na qual trabalha a pesquisadora há mais de vinte e cinco anos.
Referência:
PEREIRA, Nilce Maria de Oliveira. Uma Proposta Para o Ensino do Conceito de Matrizes em 
Ambiente computacional. 2015. 117 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências Exatas) 
- Centro de Ciências Exatas e Tecnologia, Universidade Federal de São Carlos, Sorocaba, 2015. 
Disponível em: <https://repositorio.ufscar.br/bitstream/handle/ufscar/7673/DissNMOP.
pdf?sequence=1&isAllowed=y>. Acesso em: 25 fev. 2019.
3. Utilização de mensagens criptografadas no ensino de matrizes, de Reinaldo 
Donizete de Oliveira
A pesquisa de mestrado defendida por Oliveira (2013) teve por objetivo mostrar a elaboração 
e a realização de uma Engenharia Didática sobre o uso de mensagens criptografadas no 
ensino de matrizes com alunos de uma turma da 2ª série do Ensino Médio. Para tanto, o 
autor sugere o ensino de matrizes por meio da transposição de letras.
Referência:
OLIVEIRA, Reinaldo Donizete de. Utilização de mensagens criptografadas no ensino de 
matrizes. 2013. 85 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional), 
Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2013. Disponível em:<https://repositorio.
ufscar.br/bitstream/handle/ufscar/5930/5047.pdf?sequence=1&isAllowed=y>. Acesso em: 
25 fev. 2019.
Referência
STEIBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.
Plano de Estudo:
•	 Cálculo	de	determinantes	de	matrizes	de	
ordem 1, 2, 3 e 4
•	 Classificação	e	discussão	de	Sistemas	
Lineares
•	 Obtenção	de	matrizes	inversas	via	sistemas	
lineares	e	via	escalonamento.
Objetivos de Aprendizagem:
•	 Conceituar	e	contextualizar	os	 
determinantes	na	formação	inicial	 
do	engenheiro;
•	 Compreender	os	sistemas	lineares	 
a	partir	de	problemas	e	exercícios;
•	 Entender	a	estruturação	de	 
matrizes	inversas.
UNIDADE II
Determinantes, 
Sistemas 
Lineares e 
Matriz Inversa
25
Introdução
Prezado(a) aluno(a), com o intuito de organizarmos pedagogicamente a estrutura 
conceitual desta nova unidade, viemos apresentar os tópicos que serão discutidos. Inicia-
mos este capítulo do livro com a teoria dos Determinantes. São diversos os métodos para 
se calcular o determinante de uma matriz, porém, no texto que segue, mostramos apenas 
um método para obtenção de cada determinante, dados o espaço e o objetivo do texto: 
instrumentalizar os conceitos de Geometria Analítica e Álgebra Linear para o ensino das 
Engenharias.
Dando sequência, após a teoria dos Determinantes, veremos como se constituem os 
Sistemas Lineares, as possíveis classificações e discussões que serão estabelecidas a partir 
de situações-problemas e desenvolvimento dos cálculos. Para tanto, estudaremos siste-
mas com duas equações e duas incógnitas e sistemas com três equações e três incógnitas, 
sendo no primeiro caso realizada uma abordagem técnica do seu desenvolvimento e uma 
abordagem geométrica da sua solução. Já, no último caso, será aplicada a técnica do esca-
lonamento para a discussão quanto a sua classificação e eventual solução. 
Para finalizar os conteúdos da unidade, veremos estratégias para obtenção da matriz 
inversa de uma matriz, caso exista, via escalonamento e sistemas lineares, o que justifica 
a inserção deste conceito nesta parte do livro. Apesar de existirem outros métodos para 
obtenção da inversa de uma matriz, no texto que segue apresentaremos apenas as duas 
estratégias indicadas anteriormente. 
Assim, diante do exposto, observamos que nesta unidade você não terá um eixo-con-
teúdo norteador, como no caso da primeira unidade. Aqui, teremos três tópicos distintos, 
mas complementares, que darão forma para a constituição do texto que segue. Novamen-
te, não recomendamos o uso de calculadora no decorrer dos cálculos. Caso você queira, 
existem aplicativos gratuitos para o celular em que é possível obter o desenvolvimento 
dos cálculos discutidos neste capítulo. 
Espero que tenhamos novamenteuma boa discussão nesta nova unidade!
26
Tópico 1 
Determinantes
Definição: 
O determinante é um número que associamos 
a toda matriz quadrada.
No que segue, veremos estratégias para o cálculo do determinante de Matrizes de 
ordem 1, 2, 3 e 4. Usualmente, denotamos o determinante de uma matriz A como det(A) e 
substituímos os colchetes por barras verticais paralelas.
Por exemplo, se A = 
2 –1
3 4
 , então det(A) = 2 –1
3 4
 .
1.1 Determinante de matrizes de ordem 1
Uma matriz é de ordem 1 quando possui apenas uma linha e uma coluna. Conforme 
a definição, o determinante é um número que associamos a toda matriz quadrada. Como 
a matriz de primeira ordem possui apenas um elemento, é intuitivo dizer que o seu deter-
minante é o elemento que a constitui. 
Exemplo: Se A = [–2], então det(A) = – 2.
1.2 Determinante de matrizes de ordem 2
Uma matriz é de ordem 2 quando possui duas linhas e duas colunas. O seu determi-
nante é obtido por meio da diferença dos produtos dos elementos da diagonal principal 
e da diagonal secundária. 
Assim, se A = 
a b
c d
 , então det(A) = a b
c d  det(A) = ad – bc.
O procedimento para o cálculo do determinante sempre envolverá todos os elemen-
tos da matriz.
Exemplo 1: Calcule o determinante da matriz A = 
2 –1
3 4
 e, em seguida, obtenha o de-
terminante da sua matriz transposta. O que podemos conjecturar?
det(A) = 
2 –1
3 4
 det(A) = 2.4 – (-1).3  det(A) = 8 + 3  det(A) = 11.
AT =  
 2 3
–1 4
 det (AT) = 2 3
–1 4
  det (AT) = 2.4 – 3.(-1)  det (AT) = 8 + 3  det (AT) = 11.
Assim, como det(A) = det (AT), conjecturamos que o determinante de uma matriz é 
igual ao determinante da sua matriz transposta. 
Exemplo 2: Determine o valor de x na equação 
–3 3
 x 9
 = 3.
Como em toda equação, o objetivo aqui é determinar o valor da incógnita que torna 
a igualdade verdadeira. Porém, temos que observar que se trata de uma equação, cujo 
primeiro membro é um determinante. Mesmo sem estar explícito no enunciado, sabemos 
que se trata de um determinante pelas barras verticais paralelas na matriz. Assim, temos:
27
 
–3 3
 x 9
 = 3  –3.9 – 3.x = 3  - 27 – 3x = 3  - 27 – 3 = 3x  3x = - 30  x = - 10.
De fato, substituindo x = - 10 na equação dada, temos:
 
–3 3
 x 9
 = 3  
–3 3
 –10 9
 = - 3.9 – 3.(-10) = - 27 + 30 = 3, como queríamos.
Exemplo 3: Dadas as matrizes A = 
 2 –6
 1 –2
 e B = –3 5
 2 –1
 , verifique se são verdadeiras 
ou falsas as sentenças a seguir:
a) det(A.B) = det(A).det(B)
Inicialmente, vamos organizar os cálculos em duas partes, sendo:
I: det(A.B) e II: det(A).det(B). Temos:
I: det(A.B)
A.B = 
 2 –6
 1 –2
 . –3 5
 2 –1
 = –6 –12 10 + 6
 –3 –4 5 + 2
 = –18 16 –7 7 
det(A.B) = 
–18 16
 –7 7
 = -126 – (-112)  det(A.B) = - 126 + 112  det(A.B) = - 14
II: det(A).det(B)
det(A).det(B) = 
2 –6 
1 –2 . 
–3 5 
 2 –1
 = (- 4 – (-6)) . (3 – 10) 
 det(A).det(B) = (- 4 + 6) . (- 7)
 det(A).det(B) = 2 . (- 7) 
det(A).det(B) = - 14
Assim, como I: det(A.B) = II: det(A).det(B), concluímos que a sentença é verdadeira.
b) det(A + B) = det(A) + det(B)
Novamente, vamos dividir a resolução em duas partes, sendo:
I: det(A + B) e II: det(A) + det(B). Temos: 
I: det(A + B)
A + B = 
 2 –6
 1 –2
 + 
 –3 5
 2 –1
 = 
 –1 –1
 3 –3
 
det(A + B) = 
–1 –1
 3 –3
 = + 3 + 3  det(A + B) = 6
II: det(A) + det(B)
No item a) deste exemplo vimos que det(A) = 2 e det(B) = - 7. Logo, 
det(A) + det(B) = 2 + (- 7)  det(A) + det(B) = - 5.
Portanto, como det(A + B) ≠ det(A) + det(B), concluímos que a sentença é falsa.
c) det(2.A) = 2.det(A)
Temos que 2.A = 2. 
 2 –6
 1 –2
 = 
 4 –12
 2 –4
 . Assim, 
det(2.A) = 
 4 –12
 2 –4
 = - 16 – (- 24) = - 16 + 24  det(2.A) = 8.
Já vimos que det(A) = 2, logo 2.det(A) = 2.2  2.det(A) = 4.
Portanto, como det(2.A) ≠ 2.det(A), concluímos que a sentença é falsa.
28
Exemplo 4: O que podemos dizer sobre o determinante de uma matriz que possui uma 
linha nula?
Para responder a este tipo de questionamento, vamos tomar uma matriz quadrada 
qualquer que possua uma linha com elementos iguais a zero. Nesta matriz, vamos calcular 
o seu determinante e analisar o resultado.
Seja A = 
 2 –1
 0 0
. 
Temos que det(A) = 
2 –1 
0 0 = 0 + 0  det(A) = 0.
Assim, se uma matriz possui uma linha nula, então, o seu determinante será igual a 
zero.
Exemplo 5: O que podemos dizer sobre o determinante de uma matriz que possui uma 
linha múltipla da outra?
Para efeito de cálculo, vamos tomar uma matriz cuja segunda linha seja o triplo da pri-
meira. Sobre esta matriz, vamos calcular o seu determinante e analisar o resultado.
Seja A = 
 2 –1
 6 –3
.
Temos que det(A) = 
2 –1 
6 –3 = - 6 – (- 6) = - 6 + 6  det(A) = 0.
Assim, se uma matriz possui linhas múltiplas, então, o seu determinante será igual a 
zero. 
1.3 Determinante de matrizes de ordem 3
Uma matriz de terceira ordem possui três linhas e três colunas. Existem diversos méto-
dos para obtenção de determinantes de matrizes com esta ordem, porém, no que segue, 
apresentaremos apenas um deles: a Regra de Sarrus. 
A Regra de Sarrus consiste em dobrarmos as duas primeiras colunas da matriz à sua 
direita e obtermos três diagonais principais e três diagonais secundárias. O determinante 
será a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e das 
diagonais secundárias.
Exemplo 1: Calcule o determinante da matriz dada a seguir.
A = 
2 –1 3 
3 –2 0
4 1 –1
 
Inicialmente, vamos dobrar as duas primeiras colunas à direita da matriz e obter as 
diagonais principais e secundárias. Em seguida, vamos calcular a diferença dos produtos 
dos elementos das diagonais principais pelas diagonais secundárias.
Historicamente, os resultados de estudos e pesquisas na Matemática são denotados pelo nome 
dos seus “inventores”. Há casos clássicos e famosos, como o Teorema de Pitágoras para triângulos 
retângulos, Fórmula de Bháskara para resolução de equações do segundo grau etc. Da mesma 
forma, a Regra de Sarrus remete ao matemático francês Pierre Frédéric Sarrus (1789-1861).
SAIBA MAIS
29
det (A) = 
2 –1 3 2 –1
3 –2 0 3 –2
4 1 –1 4 1
 
 -24 +0 +3 +4 +0 +9
 det (A) = (diagonais principais) – (diagonais secundárias)
 det (A) = (+ 4 + 0 + 9) – ( - 24 + 0+ 3)
 det(A) = (13) – (- 21)
 det(A) = 13 + 21
 det(A) = 34
Exemplo 2: Resolva 
x x + 1 x + 2
 1 –1 0 
 –2 3 2
 = 2
Observe que se trata de uma equação cujo primeiro membro é um determinante. 
Logo, aplicaremos a Regra de Sarrus no primeiro membro da igualdade e vamos igualar o 
resultado do determinante a dois:
 
x x + 1 x + 2 x x + 1
 1 –1 0 1 –1
 –2 3 2 –2 3
 = 2
Selecionando as diagonais principais e secundárias e calculando os seus produtos, 
teremos:
 
 x x + 1 x + 2 x x + 1
 1 –1 0 1 –1
–2 3 2 –2 3
 = 2
 +2(x+2) +0 +2(x+1) -2x +0 +3(x+2)
 (diagonais principais) – (diagonais secundárias) = 2
 (- 2x + 0 + 3(x+2)) – (2(x+1) + 0 + 2(x+2)) = 2
 (-2x + 3x + 6) – (2x + 2 + 2x + 4) = 2
 (x + 6) – (4x +6) = 2
 x + 6 – 4x – 6 = 2
 - 3x + 0 = 2
 - 3x = 2
 x = - 2 
3
30
1.4 Determinante de matrizes de ordem 4
Uma matriz é dita de quarta ordem quando possui quatro linhas e quatro colunas. Cal-
cularemos o determinante de uma matriz de quarta ordem pela Regra de Laplace.
Assim como vimos o desenvolvimento do cálculo do determinante de uma matriz de terceira 
ordem de acordo com a Regra de Sarrus, veremos o cálculo do determinante de uma matriz de 
quarta ordem pelaRegra de Laplace. Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) foi um estudioso que 
teve inúmeras contribuições para a Matemática, a Física e a Astronomia. 
SAIBA MAIS
No que segue, apresentaremos a Regra de Laplace para o cálculo do determinante de 
uma matriz de quarta ordem sem utilizarmos fórmulas matemáticas. Isso se justifica para 
que o leitor não fique “preso” a fórmulas pré-estabelecidas, mas entenda o raciocínio da 
sua aplicação. 
Para facilitar o entendimento da técnica, vamos considerar a seguinte matriz:
A = 
 2 –1 3 4
–2 2 –2 0
 1 –1 0 1
–3 2 –2 –4
 
Sobre esta matriz, vamos escolher uma linha que será chamada de linha pivô. Pode 
ser escolhida qualquer linha, entretanto, o cálculo torna-se mais fácil se escolhermos a 
que possuir a maior quantidade de zeros (caso exista). Na matriz A, observamos que a 
linha dois e a linha três possuem um zero cada. Vamos adotar a linha dois como linha pivô. 
Novamente, frisamos que qualquer outra linha poderia ter sido escolhida como pivô, o 
resultado seria o mesmo. Assim, destacando a linha pivô, temos:
 
 2 –1 3 4
–2 2 –2 0
 1 –1 0 1
–3 2 –2 –4
 
Sobre a linha pivô, aplicaremos os seguintes sinais, de acordo com a matriz dos sinais 
disposta a seguir. Os sinais dos elementos fora da linha pivô permanecem sem alterações:
 
 + – + –
 – + – +
 + – + –
 – + – +
 
Assim, aplicando os sinais sobre os elementos da linha pivô, teremos:
 
 2 –1 3 4
–(–2) +2 –(–1) +0
 1 –1 0 –1
 –3 2 –2 –4
 = 
 2 –1 3 4
 2 2 1 0
 1 –1 0 1
–3 2 –2 –4
 
31
Multiplicaremos cada elemento da linha pivô pelo determinante da matriz obtida ex-
cluindo-se a linha e a coluna que o elemento pertence. Por exemplo, o primeiro elemento 
da linha pivô é o 2. Multiplicaremos o número 2 pelo determinante da matriz obtida, ex-
cluindo-se a linha e a coluna que o elemento pertence, ou seja, excluindo-se a segunda 
linha e a primeira coluna. Veja o esquema a seguir:
Excluindo a linha e a coluna que o primeiro elemento da linha pivô está inserido, 
temos:
 2 –1 3 4
 2 2 1 0
 1 –1 0 1
–3 2 –2 –4
 
Multiplicando o número 2 pelo determinante da matriz resultante, temos:
2 . 
–1 3 4
–1 0 1
 2 –2 –4
 
Note que a matriz resultante é de terceira ordem. Logo, obteremos o seu determinante 
pela Regra de Sarrus. Assim, repetindo o processo para os demais elementos da linha pivô, 
e somando os quatro resultados parciais, teremos o determinante de A:
 = 0
det(A) = 2 . 
–1 3 4
–1 0 1
 2 –2 –4
 + 2 . 
 2 3 4
 1 0 1
–3 –2 –4
 + 1 . 
 2 –1 4
 1 –1 1
–3 2 –4
 + 0 . 
 2 –1 3
 1 –1 0
–3 2 –2
 
Veja que a justificativa para a escolha da linha pivô ser pela quantidade de zeros se dá 
pela facilidade do cálculo. No último produto, o elemento é zero, logo não será necessário 
calcularmos o determinante da matriz que está sendo multiplicada por ele, pois o produto 
de zero por qualquer número é zero. Assim, desenvolvendo os cálculos dos determinantes 
de terceira ordem, teremos:
det(A) = 
2 . 
 –1 3 4 –1 3
 –1 0 1 –1 0
 2 –2 –4 2 –2
 = 2 . [(0 + 6 + 8) – (12 + 2 + 0)] = 2 . [(14) – (14)] = 2 . 0 = 0
+ 2 . 
 2 3 4 2 3
 1 0 1 1 0
 –3 –2 –4 –3 –2
 = 2 . [(0 – 9 – 8) – (- 12 – 4 + 0)] = 2 . [(- 17) – (- 16)] = 2 . (- 17 
 
 + 16) = 2 . (- 1) = - 2 
+ 1 . 
 2 –1 4 2 –1
 1 –1 1 1 –1
 –3 2 –4 –3 2
 = 1 . [(+ 8 + 3 + 8) – (4 + 4 + 12)] = 1 . [(19) – (20)] = 1 . (-1) = -1
 
   det(A) = 0 – 2 – 1  det(A) = - 3. 
Como forma de fixar o conceito, convidamos você, leitor(a), para desenvolver a Regra 
de Laplace para a obtenção do determinante da matriz A, dada anteriormente, escolhen-
do outra linha da matriz para ser a pivô.
32
Tópico 2 
Sistemas lineares
Paulo foi à feira em dois sábados consecutivos e observou que não houveram altera-
ções nos preços do quilograma da banana e da laranja. No primeiro sábado, ele comprou 
3 kg de banana e 2 kg de laranja e pagou R$ 17,00 no total. No segundo sábado, Paulo 
comprou 2 kg de banana e 5 kg de laranja e pagou R$ 26,00 no total. Quanto Paulo pagou 
no quilograma da banana e da laranja?
Vamos realizar a transcrição da linguagem materna do exercício para a linguagem ma-
temática. Para tanto, vamos denotar por B o peso da banana e por L o peso da laranja. 
Assim, substituindo nas frases, teremos
3 kg de banana e 2 kg de laranja e pagou R$ 17,00  3B + 2L = 17
2 kg de banana e 5 kg de laranja e pagou R$ 26,00  2B + 5L = 26
Assim, matematicamente falando, temos duas equações que possuem o mesmo con-
junto solução, ou seja, temos um sistema linear. Usualmente, apresentamos um sistema 
com uma chave:
 
3B + 2L = 17
2B + 5L = 26
Definição: 
Um sistema é um conjunto de equações 
que possuem o mesmo conjunto solução.
Existem diversos procedimentos para a resolução de um sistema. A técnica que uti-
lizaremos para a resolução de um sistema que possui duas equações e duas incógnitas, 
denominado sistema 2x2, é intuitiva. Veja:
No sistema: 
 
3B + 2L = 17
2B + 5L = 26
Multiplicaremos a primeira equação pelo coeficiente da primeira incógnita da segun-
da equação e multiplicaremos a segunda equação pelo coeficiente da primeira incógnita 
da primeira equação com o sinal oposto:
 
3B + 2L = 17 x(+2)
2B + 5L = 26 x(–3)

 
 6B + 4L = 34
–6B – 15L = –78
Somando as duas equações, temos:
 6B + 4L = 34
–6B – 15L = –78
 - 11L = - 44
 L = 4
33
Substituindo L = 4 na primeira (ou qualquer outra) equação do sistema linear, temos:
3B + 2L = 17  3B + 2.4 = 17  3B + 8 = 17  3B = 9  B = 3
Portanto, concluímos que Paulo pagou R$ 4,00 no quilograma da laranja e R$ 3,00 no 
quilograma da banana quando foi à feira.
Podemos verificar a solução encontrada, substituindo os valores de L e B no sistema 
original. Veja:
 
3B + 2L = 17
2B + 5L = 26
 
3.3 + 2.4 = 9 + 8 = 17
2.3 + 5.4 = 6 + 20 = 26
Agora, já sabemos o que é um sistema linear e como se resolve um sistema de or-
dem 2x2. Entretanto, nem todo sistema possui solução. Assim, é necessário analisarmos 
os diferentes tipos de sistemas existentes. Quanto à tipologia, classificamos um sistema de 
acordo com a sua solução.
Antes, vejamos algumas denominações, usando como exemplo o sistema 
 
3B + 2L = 17
2B + 5L = 26
.
Matriz dos coeficientes: matriz obtida por meio dos coeficientes (números) das in-
cógnitas. Assim, a matriz dos coeficientes do sistema acima é dada por:
 3 2
 2 5
 
Termos independentes: são os números que não estão unidos às incógnitas. 
Eles devem ficar sempre após a igualdade. No caso do sistema anterior, os termos 
independentes são 17 e 26. 
Matriz ampliada do sistema: matriz obtida unindo-se a matriz dos coeficientes aos 
termos independentes:
 3 2 17
 2 5 26
 
2.1 Sistema normal
Um sistema é normal quando o número de equações (m) é igual ao número de incóg-
nitas (n) e o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. 
Exemplo: Verifique se os sistemas a seguir são normais.
a) 
3B + 2L = 17
2B + 5L = 26
Temos que o número de equações m é igual ao número de incógnitas n, m = n = 2.
O determinante da matriz dos coeficientes é 
 3 2
 2 5
 = 15 – 4 = 11.
Portanto, o sistema é normal.
b) 
 B + L = 1
2B + 2L = –1
Temos que o número de equações m é igual ao número de incógnitas n, m = n = 2.
O determinante da matriz dos coeficientes é 
 1 1
 2 2
 = 2 – 2 = 0.
Logo, o sistema não é normal.
34
c) 
 B+ L = 3
2B + 2L = 6
Note que a segunda equação é equivalente a primeira, pois para obtê-la basta multi-
plicar a primeira equação por dois. Logo, temos duas equações equivalentes, isto é, temos 
uma equação e duas incógnitas. Assim, o sistema não é normal.
2.2 Classificação de sistemas 2x2
Neste tópico, veremos como classificar um sistema de ordem 2x2 pela sua solução. 
Além disso, veremos como se comporta geometricamente a solução de um sistema linear.
2.2.1 Sistema Possível e Determinado
Um sistema é possível e determinado (SPD) quando o determinante da matriz dos 
coeficientes é diferente de zero e o número de equações é igual ao número de incógnitas, 
isto é, um sistema é possível e determinado quando é normal.
Exemplo: Classifique, resolva e dê a representação gráfica da solução do sistema dado 
a seguir.
 
 x – y = –1
 –x – y = –7
Temos que m = n = 2 e 
 1 –1
 –1 –1
 = - 1 – 1 = - 2. Logo, SPD.
Resolvendo, temos:
 
 x – y = –1 x(–1)
 –x – y = –7 x(–1)

 –x + y = 1
 x + y = 7
 2y = 8
 y = 4
Substituindo y = 4 na primeira equação do sistema dado, temos:
x – y = - 1  x – 4 = - 1  x = 3
Assim, temos que o conjunto solução do sistema será S = {(3, 4)}.
Geometricamente, reescrevendo as duas equações no formato da equação da reta do 
tipo y = ax + b, temos:
x – y = - 1  y = x + 1 e – x – y = - 7  y = - x + 7. Atribuindo valores para x nas duas 
equações e organizando os dados em uma tabela, temos:
Tabela 1 – Gráfico SPD
X y = x + 1 y = - x + 7
0 1 7
1 2 6
2 3 5
3 4 4
4 5 3
5 6 2
6 7 1
Fonte: o autor.
35
Plotando os gráficos das duas retas em um mesmo plano cartesiano, utilizando o 
software GeoGebra, temos:
Figura 1 – Gráfico SPD
Fonte: GeoGebra.
Note que as retas são concorrentes, isto é, se encontram em um único ponto S cujas 
coordenadas são (3, 4), ou seja, o conjunto solução do sistema. Assim, temos que em um 
SPD, a solução é o ponto de interseção das retas que compõem o sistema. Portanto, con-
cluímos que um SPD possui apenas uma solução.
Dada a finalidade da disciplina, nos próximos exemplos não mostraremos os cálculos 
realizados na Tabela 1. Você, caro(a) aluno(a), poderá plotar os gráficos no software Geo-
Gebra, de domínio público e gratuito, que possui versão online. 
2.2.2 Sistema Possível e Indeterminado
Um sistema é dito possível e indeterminado (SPI) quando possui infinitas soluções. Em um 
SPI, o determinante da matriz dos coeficientes é zero e o número de equações é menor que 
o número de incógnitas. Na resolução do sistema, teremos uma sentença do tipo 0 = 0. Veja:
Exemplo: Classifique, resolva e dê a representação gráfica da solução do sistema dado 
a seguir.
 
 x – y = –1
 2x – 2y = –2 
Veja que a segunda equação é o dobro da primeira, logo m = 1 que é menor que o nú-
mero de incógnitas, n = 2. Além disso, o determinante da matriz dos coeficientes é dado por:
 
 1 –1
 2 –2
 = 0.
Portanto, temos um SPI.
Resolvendo o sistema dado, temos:
 
 x – y = –1 x(+2)
 2x – 2y = –2 x(–1)
 
 
 2x – 2y = –2
 2x + 2y = 2 
 0 = 0
36
Plotanto os gráficos das retas formadas pelas equações do sistema, temos:
Figura 2 – Gráfico SPI
Fonte: GeoGebra.
Veja que, como as retas estão sobrepostas, todos os pontos que estão sobre elas cons-
tituem solução do sistema. 
De acordo com a imagem, são algumas das infinitas soluções do sistema os pontos: 
(- 1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7). Verifique!
REFLITA
2.2.3 Sistema Impossível
Um sistema é impossível (SI) quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero 
e o número de equações é igual ao número de incógnitas, isto é, m = n. Um sistema im-
possível não possui solução.
Exemplo: Classifique, resolva e dê a representação gráfica da solução do sistema dado 
a seguir.
 
 x – y = 1
 2x – 2y = 3
Inicialmente, veja que o número de equações é igual ao número de incógnitas, isto é, 
m = n = 2. O determinante da matriz dos coeficientes é dado por:
 
 1 –1
 2 –2
 = - 2 + 2 = 0
Resolvendo o sistema, temos:
 
 x – y = 1 x(+2)
 2x – 2y = 3 x(–1)

 
 2x – 2y = 2
 –2x + 2y = –3 
 0 = - 1 (Absurdo!)
Portanto, o sistema é impossível e ao plotar as equações do sistema dado no GeoGe-
bra, temos:
37
Figura 3 – Gráfico SI
Fonte: GeoGebra.
Note que o gráfico das equações de um SI é constituído por duas retas paralelas dis-
tintas, isto é, retas que não possuem pontos em comum. Intuitivamente, isto faz sentido, 
uma vez que consideramos o ponto de interseção como uma solução do sistema e, como 
neste caso, não temos solução. Logo, não temos ponto em comum.
Assim, organizando em uma tabela um resumo das classificações dos sistemas estuda-
dos e do gráfico das possíveis soluções, temos:
Tabela 2 – Resumo sistemas
Sistema
Determinante diferente de zero Determinante igual a zero
SPD SPI SI
Retas concorrentes Retas coincidentes Retas paralelas
Fonte: o autor.
2.3 Classificação de sistemas 3x3
Neste tópico, veremos como classificar os sistemas que possuem três equações e três 
incógnitas. As mesmas classificações e análises que realizamos nos sistemas 2x2 valem 
para os sistemas 3x3. Entretanto, utilizaremos para resolução a técnica do escalonamento.
A técnica do escalonamento que utilizaremos neste texto consiste em zerarmos os 
elementos abaixo da diagonal principal da matriz dos coeficientes, por meio de operações 
elementares sobre as linhas da matriz ampliada do sistema. As operações elementares são 
as seguintes:
1. Trocar linhas
2. Somar linhas
3. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero
Acompanhe os próximos exemplos.
Exemplo: Classifique e resolva os sistemas dados a seguir.
a) 2x – y + z = 3
 3x – 2y + z = 4
 x + y + 2z = 9
38
Inicialmente, devemos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para verifi-
carmos se o sistema é determinado ou não. Temos:
 
 2 –1 1 2 –1
 3 2 –1 3 2
 1 1 2 1 1
 
det = (diagonal principal) – (diagonal secundária)
 det = (8 + 1 + 3) – (- 6 – 2 + 2)
 det = 12 – (- 6)
 det = 12 + 6
 det = 18
Como m = n = 3 e det = 18, temos que o sistema é classificado como SPD.
Agora, vamos iniciar o escalonamento. Consideremos novamente o sistema: 
 2x – y + z = 3
 3x + 2y – z = 4
 x + y + 2z = 9
Vamos escrever a matriz ampliada do sistema:
 
 2 –1 1 3
 3 2 –1 4
 1 1 2 9
 
A partir de agora, denotaremos as linhas de toda matriz ampliada do sistema por L1 
(linha 1), L2 (linha 2), e L3 (linha 3).
De modo geral, é mais fácil iniciarmos o escalonamento seguindo a ordem das colunas 
e em cada coluna transformarmos o elemento da diagonal principal em um para depois 
zerarmos os demais elementos da coluna. Entretanto, esta regra deve ser ignorada caso 
haja algum caminho mais fácil.
Veja que na primeira coluna, o número um está na L3. Logo, vamos trocar a L1 pela L3, 
de forma que o número um fique na posição da diagonal principal. Esta troca será repre-
sentada por:
L1 ↔ L3: 1 1 2 9
 3 2 –1 4
 2 –1 1 3
 
Quando temos o número um de cada coluna na posição da diagonal principal da ma-
triz dos coeficientes, o denominamos pivô da coluna. Além disso, observe que o que faze-
mos para um número deve ser feito para toda a sua linha.
Para zerarmos os elementos abaixo do pivô da primeira coluna, 3 e 2, multiplicaremos 
o pivô pelo oposto dos números e somaremos nas linhas dos números. 
L2 = L1(- 3) + L2
L3 = L1(- 2) + L3 1 1 2 9
 0 –1 –7 –23
 0 –3 –3 –15
 
39
Agora, vamos continuar o escalonamento na segunda coluna. Para tanto, transforma-
remos o seu elemento – 1 em + 1, multiplicando a linha dois por – 1. Veja que o escalona-
mento estará concluído quando zerarmos o elemento abaixo do pivô da segunda coluna.
L2 = L2(- 1) 1 1 2 9
 0 17 23
 0 –3 –3 –15
 
Definido o pivô, vamos zerar o elemento abaixo dele. Para tanto, multiplicaremos o 
pivô pelo oposto do elemento e somaremos o resultado na linha do elemento.
L3 = L2(3) + L3 1 1 2 9
 0 1 7 23
 0 0 18 54
 
Agora que zeramos os elementos abaixo da diagonal principal da matriz ampliada do 
sistema, obtemos uma nova matriz ampliada que é equivalente ao sistema linear inicial:
 x + y + 2z = 9
 0x + y + 7z = 23
 0x + 0y + 18z = 54
Da terceira equação, temos:
18z = 54  z = 3. Substituindo z = 3 na segunda equação, temos:
y + 7z = 23  y + 7.3 = 23  y + 21 = 23  y = 2. Substituindo y = 2 na primeira equa-
ção, temos:
x + y + 2z = 9  x + 2 + 2.3 = 9  x + 2 + 6 = 9  x + 8 = 9  x = 1.
Portanto, a solução do sistema é S = {(1, 2, 3)}.
O resultado pode ser verificado substituindo os valores encontrados no sistema dado 
no enunciado:
 
 2x – y + z = 3
 3x + 2y – z = 4
 x + y + 2z = 9
 
 
 2.1 – 2 + 3 = 2 – 2 + 3 = 3
 3.1 + 2.2 – 3 = 3 + 4 – 3 = 4
 1 + 2 + 2.3 = 1 + 2 + 6 = 9
 b) 
 3x – y + 2z = 0
 x + y – z = 1
 –2x – 2y + 2z = –2
Calculando o determinante da matriz dos coeficientes, temos:
 3 –1 2 3 –1
 1 1 –1 1 1
 –2 –2 2 –2 –2
 
det = (diagonal principal) – (diagonal secundária)
 det = (6 – 2 – 4) – (- 2 + 6 – 4)
 det = (0) – (0)
 det = 0.
Logo, temos que o sistema não é SPD. Assim, ele é um SPI ou SI. Vejamos:
Vamos escrever a matriz ampliada do sistema:
40
 3 –1 2 0
 1 1 –1 1
 –2 –2 2 –2
 
Lembre-se que o nosso intuito é zerar os elementos abaixo da diagonal principal, se-
guindo-se a ordem das colunas e em cada coluna definir, inicialmente, o seu pivô, que é o 
número um na ordem da diagonal principal.
Assim, vamos trocar a linha um e a linha dois:
L1 ↔ L2
 1 1 –1 1
 3 –1 2 0
 –2 –2 2 –2
 
Agora, para zerarmos os elementos abaixo do pivô, vamos multiplicá-lo pelo oposto 
dos elementos abaixo dele e somar na linha dos elementos:
L2 = L1(-3) + L2
L3 = L1(2) + L3
 1 1 –1 1
 0 –4 5 –3
 0 0 0 0
 
Veja que na linha três temos a inconsistência 0 = 0, logo temos um SPI. Note que é a 
mesma análise que realizamos em sistemas 2x2.
c) 
 2x – 4y + 2z = 1
 3x – y – 2z = 2
 –x + 2y – z = 3
Inicialmente, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:
 2 –4 2 2 –4
 3 –1 2 3 –1
 –1 2 –1 –1 2
 
det = (diagonal principal) – (diagonal secundária)
 det = (2 + 8 + 12) – (12 + 8 + 2)
 det = (22) – (22)
 det = 0.
Logo, o sistema não é SPD. Assim, verificaremos se é SPI ou SI.
Vamos escrever a matriz ampliada do sistema:
 
 2 –4 2 1
 3 –1 2 2
 –1 2 –1 3
 
Agora, vamos iniciar o escalonamento, trocando a linha um pela linha três:
L1 ↔ L3
 
 –1 2 –1 3
 3 –1 2 2
 2 –4 2 1
 
41
Vamos multiplicar a linha um por menos um:
L1 = L1(- 1)
 
 1 –2 1 –3
 3 –1 2 2
 2 –4 2 1
 
Para zerar os elementos abaixo do pivô, 3 e 2, vamos multiplicar o pivô pelo oposto dos 
elementos e somar na linha deles:
L2 = L1(- 3) + L2
L3 = L1(- 2) + L3
 
 1 –2 1 –3
 0 5 –1 11
 0 0 0 7
 
Note que na linha três temos um absurdo do tipo 0 = 7. Logo, o sistema é impossível 
(SI).
Observamos ao leitor que em cada escalonamento teremos uma possibilidade de cál-
culo distinta e que nem sempre haverá um único caminho a ser seguido. Além disso, exis-
tem outras técnicas para a resolução de sistemas 3x3, mas para os objetivos deste texto, 
adotaremos apenas a técnica do escalonamento.
Existem ainda outros sistemas que não são “quadrados” do tipo 2x2 ou 3x3. Deixamos 
a cargo do leitor uma leitura na bibliografia indicada no final da unidade para um maior 
aprofundamento do conteúdo e das suas propriedades. Frisamos, mais uma vez, que o 
rigor matemático não é o fio condutor do presente texto, pois este foi construído para 
instrumentalizar os acadêmicos dos cursos de engenharias.
42
Tópico 3 
Matriz inversa
Usualmente, este tópico é apresentado logo após as operações com matrizes e antes 
de determinantes. Entretanto, para a estratégia definida neste texto, fez-se necessário rea-
locá-lo para este momento.
Quando falamos no inverso de um número a ≠ 0, estamos nos referindo a um número 
b tal que a.b = 1. Sabemos que o inverso de um número a ≠ 0 é 1 
a
 e que a . 1 
a
 = 1 e que 
1 é o elemento neutro da multiplicação.
Igualmente, quando falamos na inversa de uma matriz quadrada A, estamos nos refe-
rindo a uma matriz quadrada 1 
A
 = A–1. Sabemos que a matriz identidade é o elemento 
neutro com relação a multiplicação de matrizes. Logo, A . A–1 = I. 
De acordo com a propriedade operatória dos determinantes que estudamos, temos:
Se A . A–1 = I, então:
det(A . A–1) = det (I)
 det(A) . det(A–1) = 1 
Assim, como o produto entre os determinantes deverá ser um, temos que as parcelas 
do produto devem ser diferentes de zero. Logo, concluímos que A possuirá inversa se o 
seu determinante for diferente de zero.
No que segue, veremos duas técnicas para a obtenção da inversa de uma matriz.
Exemplo 1: Obtenha, se possível, a inversa da matriz A = 
 1 –1
 0 1
 .
Inicialmente, vejamos se a matriz A possui inversa:
 1 –1
 0 1
 = 1. Logo, A admite inversa.
Obteremos a inversa de A via sistema.
Pela definição, sabemos que A . A–1 = I. Denotando A–1 = 
 a b
 c d
 , temos:
A . A–1 = I  
 1 –1
 0 1
 . 
 a b
 c d
 = 
 1 0
 0 1
 
 = 
 a – c b – d
 c d
 = 
 1 0
 0 1
 
Assim, temos:
a – c = 1 b – d = 0
c = 0 d = 1
Logo, temos dois sistemas com duas equações cada um:
 
 a – c = 1
 c = 0
 e b – d = 0
 d = 1
Resolvendo os sistemas, temos:
 
 a – c = 1
 c = 0
  a – c = 1  a – 0 = 1  a = 1 e c = 0.
 
 b – d = 0
 d = 1
 b – d = 0  b – 1 = 0  b = 1 e d = 1.
43
Portanto, 
 A–1 = 
 1 1
 0 1
 
Podemos verificar o resultado encontrado multiplicando a matriz inversa pela matriz 
dada:
A . A–1 = 
 1 –1
 0 1
 . 
 1 1
 0 1
 = 
 1 0
 0 1
 , como queríamos.
Exemplo 2: Obtenha, se possível, a inversa da matriz B = 
 3 6
–1 –2
 .
Vamos calcular o determinante de B:
 
 3 6
–1 –2
 = - 6 + 6 = 0.
Logo, B não possui inversa.
Exemplo 3: Obtenha, se possível, a inversa da matriz C = 
 1 –1 0
 2 1 –1
 1 –2 1
 
Vamos calcular o determinante de C:
 1 –1 0 1 –1
 2 1 –1 2 1
 1 –2 1 1 –2
 
 det(C) = (diagonal principal) – (diagonal secundária)
 det(C) = ( 1 +1 +0) – (- 2 + 2 + 0)
 det(C) = 2
Logo, C possui inversa.
No que segue, obteremos a inversa de C via escalonamento.
Para tanto, anexaremos a C a matriz identidade e sobre esta grande matriz realiza-
remos as operações elementares sobre as suas linhas com o objetivo de transformar os 
elementos da matriz C nos elementos da matriz identidade. No final, os elementos que 
estiverem no lugar dos elementos da matriz identidade, serão os elementos da matriz in-
versa. Esta técnica pode ser usada para matrizes quadradas de outras ordens. Acompanhe 
a resolução do exemplo:
Vamos escrever a matriz C e anexar a ela a matriz identidade:
 1 –1 0 1 0 0
 2 1 –1 0 1 0
 1 –2 1 0 0 1
 
Como o pivô da primeira coluna já está estabelecido, vamos transformar os elementos 
abaixo dele em zero:
L2 = L1 (- 2) + L2
L3 = L1(- 1) + L3 1 –1 0 1 0 0
 0 3 –1 –2 10
 0 –1 1 –1 0 1
 
44
Agora, na segunda coluna, vamos trocar a segunda linha com a terceira:
L2 ↔ L3 1 –1 0 1 0 0
 0 –1 1 –1 0 1
 0 3 –1 –2 1 0
 
Vamos multiplicar a linha dois por menos um para que o pivô seja estabelecido:
L2 = L2(- 1) 1 –1 0 1 0 0
 0 1 –1 1 0 –1
 0 3 –1 –2 1 0
 
Assim, vamos zerar os outros dois elementos da segunda coluna, multiplicando os 
seus opostos na linha do pivô e somando nas suas respectivas linhas:
L1 = L2(1) + L1
L3 = L2(- 3) + L3 1 0 –1 2 0 –1 
 0 1 –1 1 0 –1
 0 0 2 –5 1 3
 
Veja que não podemos mais trocar linhas neste momento, pois se trocássemos alte-
raríamos os valores das duas primeiras colunas que já estão escalonadas. Desta forma, só 
nos resta multiplicar a linha três pelo inverso do elemento dois:
L3 = L3( 1 
α
) 1 0 –1 2 0 –1
 0 1 –1 1 0 –1
 0 0 1 – 5 
2
 1 
2
 3 
2
 
 
Por fim, vamos zerar os demais elementos da terceira coluna:
L1 = L3 + L1
L2 = L3 + L2 1 0 0 – 1 
2
 1 
2
 1 
2
 
 0 1 0 – 3 
2
 1 
2
 1 
2
 
 0 0 1 – 5 
2
 1 
2
 3 
2
 
 
Portanto, C–1 = 
 – 1 
2
 1 
2
 1 
2
 
 – 3 
2
 1 
2
 1 
2
 
 – 5 
2
 1 
2
 3 
2
 
.
Podemos verificar o resultado, multiplicando a matriz encontrada pela matriz dada:
C . C–1 = 
 1 –1 0
 2 1 –1
 1 –2 1
 .
 – 1 
2
 1 
2
 1 
2
 
 – 3 
2
 1 
2
 1 
2
 
 – 5 
2
 1 
2
 1 
2
 
 =
 – 1 
2
 + 1 
2
 + 0 1 
2
 – 1 
2
 +0 1 
2
 – 1 
2
 +0
 –1– 3 
2
 + 5 
2
 1 + 1 
2
 – 1 
2
 1 + 1 
2
 – 1 
2
 
 – 1 
2
 + 3 – 5 
2
 1 
2
 –1 + 1 
2
 1 
2
 –1 + 3 
2
 
 = 
 1 0 0
 0 1 0
 0 0 1
,
Como queríamos.
Note que é necessário indicar os comandos durante o escalonamento, seja para a reso-
lução de um sistema ou para a obtenção de uma matriz inversa. Ele deixa claro o que você 
pretende fazer no passo seguinte.
45
Considerações finais
Chegamos ao final da segunda unidade. Até aqui, vimos como se caracterizam as ma-
trizes por meio da sua classificação, lei de formação e operações. Nas operações com ma-
trizes, observamos que as propriedades da teoria de números nem sempre se estendem 
para a teoria das matrizes, como é o caso da multiplicação de matrizes, que não é uma 
operação comutativa. 
Além das matrizes, estudamos nesta unidade tópicos da teoria dos determinantes, que 
são números que associamos a toda matriz quadrada. Vimos como obter o determinante 
de: uma matriz de primeira ordem, cujo determinante é o próprio elemento; uma matriz 
de segunda ordem, cujo determinante é a diferença dos produtos dos elementos da dia-
gonal principal pela diagonal secundária; uma matriz de terceira ordem, cujo determinan-
te foi obtido pela Regra de Sarrus; e de uma matriz de quarta ordem, cujo determinante 
foi obtido por meio da Regra de Laplace. Apesar de essas não serem as únicas estratégias 
para a obtenção de um determinante, são suficientes para o objetivo dos nossos estudos. 
Ainda na segunda unidade, vimos como resolver e classificar sistemas 2x2 e 3x3. Nos 
sistemas 2x2 encontramos a solução mecânica e geométrica, em que observamos que: o 
gráfico de um SPD é formado por duas retas concorrentes, cujo ponto de interseção é a 
solução do sistema e que um SPD é normal, pois o determinante da matriz dos coeficien-
tes é diferente de zero e o número de equações é igual ao número de incógnitas; o gráfico 
de um SPI é formado por duas retas coincidentes, em que todos os pontos da reta são so-
luções do sistema e, assim, um SPI possui infinitas soluções; o gráfico de um SI é formado 
por duas retas paralelas distintas, logo não possuem ponto em comum, ou seja, o sistema 
não possui solução. 
Nos sistemas 3x3, apesar de não plotarmos a solução gráfica, encontramos a solução 
via escalonamento, que consiste em operações elementares sobre as linhas da matriz am-
pliada do sistema com o objetivo de zerar os elementos abaixo da diagonal principal da 
matriz dos coeficientes. 
Finalizamos a unidade com um esboço sobre matrizes inversas. Vimos que uma matriz 
quadrada admite inversa se o seu determinante for diferente de zero. Obtemos a inversa 
de uma matriz de duas formas, sendo uma via sistema e outra via escalonamento.
Diante desta visão panorâmica dos conceitos estudados, frisamos que os conteúdos 
não foram esgotados. O leitor certamente encontrará outras interpretações e olhares so-
bre os mesmos conceitos, o que o torna, propositalmente, inacabado e passível de ser 
continuado e refutado. Este material consiste em notas reflexivas do autor quanto ao seu 
olhar para esta área, considerando o enfoque de instrumentalizar os acadêmicos de cur-
sos de engenharias. 
Referência
STEIBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.
Plano de Estudo:
•	 Conceitos	e	definições	de	vetores
•	 Operações	geométricas	e	analíticas	 
com vetores
•	 Aplicação	dos	produtos	de	vetores
Objetivos de Aprendizagem:
•	 Conceituar	a	teoria	de	vetores;
•	 Compreender	os	tipos	de	vetores;
•	 Estabelecer	a	visão	geométrica	e	a	visão	
analítica	nas	operações	com	vetores;
•	 Contextualizar	os	produtos	de	vetores	 
com	as	aplicações	em	medidas	de	
comprimento,	áreas	e	volumes.
UNIDADE III
Vetores
47
Introdução
Caro(a) aluno(a), chegamos na terceira parte do nosso livro. Aqui, veremos uma intro-
dução à teoria de Vetores. Assim como nas duas primeiras unidades, priorizamos na escrita 
deste texto uma linguagem acessível em que o rigor matemático não foi o fio condutor da 
abordagem. Indicamos como forma de aprofundamento teórico a leitura da bibliografia 
indicada no final da unidade, em que o leitor poderá observar demonstrações das fórmu-
las matemáticas e as suas principais propriedades.
Além disso, observamos que o conteúdo foi construído de forma que não se finde em 
si mesmo, isto é, haverá espaços para questionamentos de propriedades e outros usos dos 
conceitos e abertura para um maior aprofundamento das teorias apresentadas. 
O leitor deve ter como pré-requisito as noções de matemática básica quanto às ope-
rações elementares, trigonometria, matrizes e determinantes. Em caso de dúvida, você 
poderá contatar o autor do texto, bem como a equipe de mediação. Não permaneça com 
a dúvida!
Nesta unidade, iniciaremos os estudos da teoria da Geometria Analítica, ramo da Ma-
temática que estuda conceitos geométricos por meio da Álgebra e da Análise, isto é, uma 
área de estudos de componentes geométricos por meio da linguagem algébrica. Assim, 
temos que a Geometria Analítica estabelece relações entre a Geometria e a Álgebra. 
No que segue, veremos a definição de vetor, os seus principais tipos, a Dependência 
Linear, as operações geométricas e algébricas com vetores e as principais aplicações en-
volvendo os produtos de vetores que estão relacionadas ao cálculo de comprimento, área 
e volume. 
Usualmente, a teoria de vetores é abordada no contexto da disciplina de Física no En-
sino Médio, distante da Geometria Analítica que é apresentada até então na Educação 
Básica. Assim, iniciaremos a unidade com uma retomada de alguns axiomas matemáticos 
como forma de introduzirmos a teoria de vetores.
Tenha uma boa leitura!
48
Tópico 1 
Vetores
Iniciaremos o texto desta unidade com a apresentação de três axiomas. 
Um axioma é uma sentença matemática que não possui demonstração, isto é, a veracidade da 
sua existência não é provada, apenas aceitada. 
SAIBA MAIS
1.1 Axiomas da existência
1.1.1 Existe ponto
O ponto é um componente geométrico adimensional, isto é, não possuidimensão. É 
representado por letras maiúsculas do nosso alfabeto.
Exemplo: . A (lê-se: ponto A).
1.1.2 Existe reta
A reta é um componente geométrico unidimensional, isto é, possui uma direção. É 
constituída por infinitos pontos e não possui origem (início) e extremidade (fim). Com a 
reta, podemos calcular a distância entre dois pontos. É representada por letras minúsculas 
do nosso alfabeto.
Exemplo: r (lê-se: reta r). 
1.1.3 Existe plano
O plano é um componente geométrico bidimensional, isto é, possui duas dimensões. 
É constituído por infinitas retas. Com o plano, podemos calcular a medida de superfícies 
(áreas). É representado por letras do alfabeto grego.
Exemplo: (lê-se: plano π)
 π
49
No decorrer do texto, veremos estes axiomas com mais detalhamento. Por hora, tome-
mos novamente o axioma 1.1.2: Existe reta. Seja r uma reta. Vamos considerar os pontos A 
e B pertencentes a r:
Figura 4 – Reta r
Fonte: GeoGebra.
Vamos, agora, “cortar” a reta r em AB. Este “pedaço” da reta r denominamos segmento 
de reta:
Figura 5 – Segmento AB
Fonte: GeoGebra.
Veja que é mais simples trabalharmos com o segmento do que com a reta. Vamos 
analisar algumas definições com segmentos:
Dois segmentos possuem o mesmo módulo (comprimento) quando as distâncias da 
origem até a extremidade em ambos são iguais.
Exemplo:
Figura 6 – Segmentos com o mesmo módulo
Fonte: GeoGebra.
50
Note que os segmentos AB e CD possuem o mesmo módulo, pois a distância de A até 
B é igual a distância de C até D.
Dois segmentos possuem a mesma direção quando são paralelos. 
Exemplo:
Figura 7 – Segmentos AB, CD e EF
Fonte: GeoGebra.
Observe que os segmentos AB e CD possuem a mesma direção, pois são paralelos. 
Já os segmentos AB e EF; CD e EF não possuem a mesma direção, uma vez que não são 
paralelos.
Dizemos que um segmento é orientado quando definimos nele um sentido. Por exem-
plo, no segmento com origem em A e extremidade em B, temos um segmento orientado 
AB e indicamos por uma seta o sentido: 
Figura 8 – Segmento orientado
Fonte: GeoGebra.
51
Dois segmentos possuem o mesmo sentido quando possuem a mesma direção e a 
mesma orientação. 
Exemplo:
Figura 9 – Segmentos com o mesmo sentido
Fonte: GeoGebra.
Observe que AB e CD possuem sentidos iguais, uma vez que são paralelos e possuem 
a mesma orientação. Além disso, temos que AB e EF possuem a mesma direção, porém 
possuem sentidos contrários. Em relação aos segmentos AB e GH, nada podemos dizer, 
pois não possuem a mesma direção, logo não realizamos análise quanto ao sentido.
Dois ou mais segmentos que possuem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo 
módulo são denominados de segmentos equipolentes.
Exemplo:
Figura 10 – Segmentos equipolentes
Fonte: GeoGebra.
Observe que os quatro segmentos da figura acima possuem o mesmo módulo (com-
primento), a mesma direção e o mesmo sentido. Logo, são equipolentes. O símbolo da 
equipolência é “~”. Por exemplo, AB é equipolente a CD, então AB ~ CD. Empiricamente, a 
palavra equipolência substitui a palavra igualdade, pois geometricamente dois segmen-
tos equipolentes ocupam lugares distintos no plano.
52
1.2 Vetor
Definição: 
Um vetor é um representante de um conjunto 
infinito de segmentos equipolentes.
Portanto, temos que um vetor é simplesmente um segmento orientado. Usualmente, 
denotamos um vetor AB como u, isto é, AB = u:
Figura 11 – Vetor u 
Fonte: GeoGebra.
1.2.1 Classificação de vetores
1.2.1.1 Vetor nulo
Todo vetor cuja origem coincide com a extremidade, ou seja, um ponto.
1.2.1.2 Vetor unitário
Todo vetor cujo módulo é igual a um.
1.2.1.3 Versor
O versor v de um vetor u é um vetor unitário de mesma direção e sentido de u .
1.2.1.4 Vetores colineares
Dois ou mais vetores são colineares quando possuem a mesma direção ou se tiverem 
representantes em uma mesma reta.
Figura 12 – Vetores colineares
Fonte: GeoGebra.
53
1.2.1.5 Vetores coplanares
Dois vetores são sempre coplanares, pois sempre conseguimos tomar representantes 
deles com origem em um único ponto. 
Sejam u e v dois vetores distintos:
Figura 13 – Vetores coplanares
Fonte: GeoGebra.
Vamos construir os dois vetores com origem em um mesmo ponto, tomando, para 
tanto, representantes equipolentes:
Figura 14 – Vetores coplanares
Fonte: GeoGebra.
Pela figura acima, observamos que os vetores são coplanares, isto é, os dois pertencem 
a um mesmo plano. Essa afirmação é válida para quaisquer dois vetores.
Três vetores são coplanares quando possuem representantes em um mesmo plano. 
Três vetores poderão ou não ser coplanares.
Figura 15 – Vetores coplanares
Fonte: GeoGebra.
54
Note que os vetores acima são coplanares, pois pertencem ao mesmo plano α. Agora, 
veja a figura a seguir:
Figura 16 – Vetores não coplanares
Fonte: GeoGebra.
Observe que os vetores u e v pertencem ao plano α mas o vetor w não pertence ao 
plano α, ele pertence ao plano β. Logo, u, v e w não são coplanares.
1.2.2 Operações geométricas com vetores
Neste tópico, veremos como se realizam as operações com vetores envolvendo a adi-
ção, a subtração e a multiplicação por escalar, em uma visão geométrica. A visão analítica 
será realizada em um outro tópico desta unidade.
Para tanto, vamos considerar nas três operações que serão apresentadas a seguinte 
base vetorial:
Figura 17 – Base vetorial
Fonte: GeoGebra.
1.2.2.1 Adição de vetores
A adição entre dois vetores é realizada conectando-se à extremidade do primeiro ve-
tor na origem do representante do segundo. O vetor resultante, que une a primeira ori-
gem à última extremidade, da construção é o vetor soma.
Exemplo: Nos itens abaixo, determine o que se pede.
a) α = u + v 
55
Figura 18 – Adição de vetores
Fonte: GeoGebra.
b) b = v + u 
Figura 19 – Adição de vetores
Fonte: GeoGebra.
Observe que apesar de caminhos diferentes, obtivemos o mesmo vetor resultante.
c) O que podemos conjecturar a partir dos vetores a e b ?
Conjecturamos que a adição de vetores é uma operação comutativa, pois a ∼ b 
 d) c = w + u + v 
Figura 20 – Adição de vetores
Fonte: GeoGebra.
Observe que independentemente da quantidade de vetores envolvidos na constru-
ção, o vetor resultante sempre terá origem coincidente a do primeiro vetor e extremidade 
coincidente a do último vetor.
Sempre que você for tomar um representante de um vetor, lembre-se das proprieda-
des da equipolência: mesma direção (paralelo), mesmo sentido e mesmo módulo (com-
primento).
1.2.2.2 Subtração de vetores
A diferença entre dois vetores é definida como uma operação inversa da adição. Assim, 
a diferença entre os vetores u e v é indicada como u - v = u + (- v ). 
Vale observar que o vetor - v possui a mesma direção e módulo de v com sentido 
contrário:
Figura 21 – Vetores com sentidos contrários
Fonte: GeoGebra. 
56
A subtração de vetores é realizada de maneira análoga à adição, conectando-se à ori-
gem do segundo vetor à extremidade do primeiro.
Exemplo: Considerando a base vetorial dada no início da seção 1.2.2, faça o que se 
pede.
 a) m = u – v 
Figura 22 – Subtração de vetores
Fonte: GeoGebra.
b) n = v – u 
Figura 23 – Subtração de vetores
Fonte: GeoGebra.
O que podemos conjecturar a partir dos vetores m e n ?
Conjecturamos que a subtração de vetores não é uma operação comutativa, pois ape-
nas possuem a mesma direção e o mesmo módulo. Os vetores m e n possuem sentidos 
contrários.
d) o = u – w – v 
Figura 24 – Subtração de vetores
Fonte: GeoGebra.
57
1.2.2.3 Multiplicação de vetor por escalar
Conforme já vimos, um escalar é simplesmente um número real. Assim, a multiplica-
ção de um vetor por um escalar consiste em construirmos um segundo vetor de mesma 
direção do primeiro com a proporção do módulo e sentido do escalar.
Exemplo: Considerando a base vetorial indicada no início da seção 1.2.2, faça o que se 
pede:
a) x = 2u 
Figura 25 – Multiplicação de vetor por escalar
Fonte: GeoGebra.
Logo, temosque o vetor x é simplesmente o dobro do vetor u .
b) y = -3v 
Figura 26 – Multiplicação de vetor por escalar
Fonte: GeoGebra.
Observe que o sinal negativo inverteu o sentido do vetor .
 c) z = - u + 2v - 1 2 w 
Figura 27 – Multiplicação de vetor por escalar
Fonte: GeoGebra.
58
1.2.3 Visão analítica de vetores
Nesta seção, veremos como escrever algebricamente um vetor no plano ( ²: ℝx ℝ - 
dois eixos: abscissas (eixo dos x) e ordenadas (eixo dos y)) e no espaço ( ³: ℝx ℝx ℝ- três 
eixos: abscissas, ordenadas e cotas (eixo dos z)).
1.2.3.1 Notação
Todo vetor u com coordenadas no plano xy, pode ser escrito como:
 u = ax + by (notação vetorial) ou u = (a, b) (notação de terno).
Certamente, você estudou a notação de terno na teoria de Funções, vista na Educação 
Básica. Usualmente (a, b) é denominado par ordenado. Note que aqui consideramos o Pla-
no Cartesiano como uma base vetorial, que é uma sequência de vetores, neste caso dois 
vetores ortogonais entre si.
Da mesma forma, todo vetor v com coordenadas no espaço xyz, pode ser escrito como:
v = ax + by + cz (notação vetorial) ou v = (a, b, c) (notação de terno).
Usualmente (a, b, c) é denominado tripla ordenada.
A notação mais utilizada é a de terno/tripla ordenada, por conta da facilidade da escri-
ta e visualização.
1.2.3.2 Vetor definido por dois pontos
Se u é um vetor com origem no ponto A(x1, y1, z1) e extremidade no ponto B(x2, y2, z2), 
então:
 u = AB = B – A = (x2, y2, z2) - (x1, y1, z1)  u = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Exemplo: Dados A(2, - 1, 3) e B(1, - 1, 0), determine o vetor em cada caso.
a) u = AB
 u = AB = B – A  u = (1, -1, 0) – (2, - 1, 3)  u = (- 1, 0, - 3).
b) v = BA
 v = BA = A – B  v = (2, - 1, 3) – (1, - 1, 0)  v = (1, 0, 3).
c) O que podemos analisar a partir dos itens a) e b)?
Analisamos que os vetores u e v possuem sentidos contrários, pois a origem do pri-
meiro é a extremidade do segundo, isto é, v = - u .
1.2.3.3 Operações analíticas com vetores
Neste espaço, estudaremos as seguintes operações analíticas com vetores: adição, sub-
tração e multiplicação por escalar. A multiplicação de vetores será abordada mais adiante.
1.2.3.3.1 Adição e subtração de vetores
A operação é estabelecida se os vetores possuírem a mesma base vetorial, isto é, se 
ambos pertencerem ao plano ou se ambos pertencerem ao espaço. Realizamos a opera-
ção somando-se ou subtraindo-se as coordenadas correspondentes.
Exemplo: Dados os vetores u = (3, - 2) e v = (- 5, 1), faça o que se pede:
 a) a = u + v 
 a = (3, - 2) + (- 5, 1)  a = (- 2, - 1)
 b = v + u 
59
 b = (- 5, 1) + (3, - 2)  b = (- 2, - 1)
c) c = u - v 
 c = (3, - 2) - (- 5, 1)  c = (8, - 3)
 d) d = v – u 
 d = (- 5, 1) - (3, - 2)  d = (- 8, 3)
e) O que podemos conjecturar a partir dos itens anteriores?
A partir dos itens anteriores, reafirmamos as propriedades que analisamos na visão 
geométrica de vetores, isto é, a adição de vetores é uma operação comutativa pois a ~ b e 
a subtração de vetores não é uma operação comutativa. 
1.2.3.3.2 Multiplicação de vetor por escalar
Dado um vetor u = (x1, y1, z1), definimos o vetor v como um produto de u por um 
escalar α, com α ∈ ℝ, da seguinte forma:
 v = α u  v = α (x1, y1, z1)  v = (αx1, αy1, αz1) .
Assim, para multiplicarmos um vetor por um escalar (número), multiplicamos cada 
coordenada do vetor pelo escalar.
Exemplo: Dados os vetores u = (2, - 1, 3) e v = (3, – 4, 1) e os pontos A(2, - 4, 7) e B(- 1, 
3, 0), determine:
 a) x = - 2 u 
 x = - 2(2, - 1, 3)  x = (- 4, 2, - 6).
 b) y = v – 2AB + 3u 
 y = v – 2(B – A) + 3u 
 y = (3, – 4, 1) – 2[(- 1, 3, 0) – (2, - 4, 7)] + 3(2, - 1, 3)
 y = (3, – 4, 1) – 2(- 3, 7, - 7) + 3(2, - 1, 3)
 y = (3, – 4, 1) – (- 6, 14, - 14) + (6, - 3, 9)
 y = (15, - 21, 24)
 c) u + z = 3BA - 2 z + 4 v 
Observe que inicialmente devemos arrumar a equação dada de modo que a incógnita 
que estamos procurando, z , fique isolada no primeiro membro da igualdade. Sabemos 
que z é a incógnita procurada, pois é a única parcela da sentença que não temos informa-
ção. Assim, temos:
 u + z = 3BA - 2z + 4v z + 2z = - u + 3BA + 4v  3z = - u + 3(A – B) + 4v 
 3z = - (2, - 1, 3) + 3[(2, - 4, 7) – (- 1, 3, 0)] + 4(3, – 4, 1)
 3z = (- 2, 1, - 3) + 3(3, - 7, 7) + (12, - 16, 4)
 3z = (- 2, 1, - 3) + (9, - 21, 21) + (12, - 16, 4)
 3z = (19, - 36, 22)
 z = 1 3 (19, - 36, 22)
 z = ( 1 3 .19, 
 1 
3 (- 36), 
 1 
 3 .22)
 z = ( 19 3 , –12, 
 22 
3 ).
Apesar de ser um tópico de fácil entendimento e resolução, indicamos cautela ao lei-
tor nas passagens das operações básicas, principalmente em relação aos jogos de sinais 
e frações.
60
1.2.3.4 Dependência linear
Dois ou mais vetores formam uma Combinação Linear (CL) se um for uma expressão 
do(s) outro(s). 
Por exemplo, se u e v formam uma Combinação Linear, então:
u = α v ou v = β v ; com α e β ∈ ℝ.
Quando dois ou mais vetores formam uma CL, dizemos que eles são Linearmente De-
pendentes (LD). Caso não formem uma CL, dizemos que eles são Linearmente Indepen-
dentes (LI).
No que segue, faremos uma análise para o caso de dois e três vetores quanto a Depen-
dência Linear.
1.2.3.4.1 Dependência Linear - dois vetores
Sejam os vetores u e v . Pela definição, temos:
u e v formam uma Combinação Linear ↔
u e v são Linearmente Dependentes ↔ 
u = α v ou v = β u ; com α e β ∈ ℝ	 	 ↔ 
u // v .
A condição de paralelismo no caso dos vetores expressos da forma u = αv ou v = βu 
já foi abordada na seção de visão geométrica de vetores no item multiplicação de vetor 
por escalar.
Portanto, concluímos que:
Dois vetores são Linearmente Dependentes se, e somente se, são paralelos.
Da mesma forma, se dois vetores não são paralelos eles são Linearmente Independentes.
1.2.3.4.2 Dependência Linear - três vetores
Sejam os vetores u , v e w . Pela definição, temos: 
u , v e w formam uma Combinação Linear ↔
u , v e w e são Linearmente Dependentes ↔
u = α1 v + b1 w ou v = α2 u + b2 w ou w = α3 u + b3 v ; com αn e bn ∈ ℝe n ∈ ℕ 
↔u , v e w são coplanares.
Na seção de visão geométrica de vetores, nos exemplos do item multiplicação de ve-
tor por escalar, vimos que a construção de uma expressão do tipo u = α1 v + b1 w gera um 
plano.
Portanto, concluímos que:
Três vetores são Linearmente Dependentes se, e somente se, são coplanares.
Da mesma forma, se três vetores não são coplanares eles são Linearmente Independentes.
Para verificarmos se uma das três condições u = α1 v + b1 w ou v = α2 u + b2 w ou w = 
α3 u + b3 v é verdadeira, teremos um sistema para ser resolvido, o que nem sempre é uma 
tarefa rápida, sobretudo se os vetores possuírem três coordenadas cada. Entretanto, há 
um conceito que estudamos que será utilizado para facilitar a verificação da Combinação 
Linear entre três vetores com três coordenadas cada: o determinante. Isso mesmo, o de-
terminante!
61
Na unidade II, vimos que se uma matriz possui duas linhas múltiplas o determinante 
dela será zero. Possuir linhas múltiplas equivale a dizer que as linhas formam uma combina-
ção entre si. Portanto, concluímos que se o determinante da matriz constituída pelos três 
vetores com três coordenadas cada for zero, então os vetores serão Linearmente Depen-
dentes e caso seja diferente de zero, então os vetores serão Linearmente Independentes.
Para a verificação da Dependência Linear entre três vetores com duas coordenadas 
cada, você deverá resolver um sistema simples.
Quatro ou mais vetores são sempre Linearmente Dependentes. Uma leitura da demonstração 
desse e outros resultados da teoria de Vetorespode ser encontrada em Mello e Watanabe (2009).
SAIBA MAIS
Exemplo: LI ou LD?
 a) u = (2, -1, 3) e v = (- 6, 3, - 9).
Se u e v forem LD então, pela definição, v = au (ou u = b v ). Vejamos:
 v = au  (- 6, 3, - 9) = a(2, -1, 3)  (- 6, 3, - 9) = (2a, -1a, 3a)
 2a = - 6, então a = - 3; -1a = 3, então a = - 3; 3a = - 9, então a = - 3.
Portanto, v = - 3u e, assim, temos que u e v são Linearmente Dependentes.
 b) u = (3, - 6, 1) e v = (1, - 2, 2).
Vamos verificar se u = bv . Temos:
 u = bv  (3, - 6, 1) = b(1, - 2, 2)  (3, - 6, 1) = (b, - 2b, 2b)
 b = 3; - 2b = - 6, então b = 3; 2b = 1, então b = 1 2 . Logo, não há um número 
real b que satisfaça a condição u = bv . Portanto, concluímos que u e v são Linearmente 
Independentes.
c) u = (1, - 3, 2), v = (0, 4, - 1) e w = (- 2, 6, - 4).
Vamos verificar a Dependência Linear entre os três vetores por meio do cálculo do 
determinante, via Regra de Sarrus, da matriz constituída pelas suas coordenadas:
 1 –3 2 1 –3
 0 4 –1 0 4
 –2 6 –4 –2 6
 =
(- 16 – 6 + 0) – (0 – 6 – 16) = - 22 – (- 22) = - 22 + 22 = 0. 
Logo, u , v e w são Linearmente Dependentes.
Observe que os conceitos entre as unidades não são desconectados, logo é imprescindível que 
você assimile os conteúdos de forma acumulativa. Em caso de dúvidas, você deve retornar aos 
tópicos das unidades anteriores.
REFLITA
62
1.2.3.5 Produtos de vetores
Os produtos de vetores marcam o último tópico que estudaremos da teoria de Veto-
res. Eles aparecem aqui, distante das operações com vetores por possuírem características 
e aplicações próprias em que demandaremos um maior espaço para análise. 
São três os produtos de vetores: produto escalar, produto vetorial e produto misto. No 
que segue, veremos cada um deles.
1.2.3.5.1 Produto escalar
O produto escalar entre os vetores u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) é um número real α 
obtido por meio da soma dos produtos das coordenadas correspondentes entre u e v .
Denotamos o produto escalar entre u e v como u . v (lê-se: u escalar v ). É importante 
você utilizar adequadamente a simbologia dos produtos de vetores, uma vez que temos 
três tipos de produtos de vetores, cada um com a sua própria simbologia.
Assim, se u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) e u . v = α, então:
 u . v = (a1, b1, c1) . (a2, b2, c2) = a1 . a2 + b1 . b2 + c1 . c2 = α.
Exemplo 1: Dados os vetores u = (2, - 1, 3) e v = (- 4, - 1, 7), faça o que se pede:
a) u . v 
 u . v = (2, - 1, 3) . (- 4, - 1, 7) = - 8 + 1 + 21 = 14.
b) v . u 
 v . u = (- 4, - 1, 7) . (2, - 1, 3) = - 8 + 1 + 21 = 14.
c) O que podemos conjecturar a partir dos itens a) e b)?
Conjecturamos que o produto escalar é uma operação comutativa.
Exemplo 2: Sabendo que o produto escalar entre os vetores u = (- 3, 1, - 6) e v = (3, m, 
2) é – 16, determine o valor de m.
Temos que u . v = - 16. Logo, 
(- 3, 1, - 6) . (3, m, 2) = - 16  - 9 + m – 12 = - 16  m – 21 = - 16  m = 5.
1.2.3.5.1.1 Módulo de um vetor
Vimos que o módulo de um vetor é o comprimento da sua origem até a extremidade. 
Matematicamente falando, o módulo de um número é a sua distância até a origem. 
Como o módulo é uma medida, ele deverá sempre ser positivo. Por exemplo, o módulo 
do número – 5 é 5 e é indicado por I- 5I = 5. Mecanicamente, o módulo de – 5 é calculado 
assim:
I – 5I = √(–5)² = √25 = 5, ou seja, garantimos a manutenção do número e ao mesmo 
tempo garantimos que ele fique sempre positivo, pois todo número ao quadrado é posi-
tivo.
Da mesma forma, definimos o módulo de um vetor u = (a, b, c), como segue:
I u I = √ u ² = √ u . u = √(a, b, c). (a, b, c) = √ a2 + b2 + c2.
Exemplo 1: Determine o módulo do vetor = (- 3, 0, 4).
Temos:
Iu I = √(–3)² + 02 + 42 = √9 + 0 + 16 = √25 = 5 u.c. (unidades de comprimento).
63
Exemplo 2: Calcule o comprimento do vetor com origem em A(- 1, 2, - 3) e extremidade 
em B(2, - 1, 4).
Temos que o comprimento do vetor definido por AB será o módulo:
IABI = IB – AI = I(2, - 1, 4) - (- 1, 2, - 3)I = I(3, - 3, 7)I = √3² + (–3)² + 72 = 
√9 + 9 + 49 = √67 u.c.
Exemplo 3: Determine o valor de x para que o vetor u = ( 1 3 , x, - 
 1 
 3 ) seja unitário.
Sabemos que um vetor unitário possui módulo igual a um. Logo, queremos que 
Iu I = 1, ou seja,
 √( 1 3 )
2 + x2 + (– 1 3 )
2 = 1  √ 1 9 + x
2 + 1 9 = 1  √
 2 
 9 + x
2 = 1. 
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
(√ 2 9 + x
2)² = 1²  2 9 + x² = 1  x² = 1 - 
 2 
 9  x² = 
 7 
 9  x = ± √
 7 
 9  x = ±
 √7 
 3 .
A veracidade do resultado por ser verificada calculando o módulo do vetor u = 
( 1 3 , ±√
 7 
 3 , -
 1 
 3 ). De fato, temos:
Iu I = √( 1 3 )
2 (± 7 3 )
2 + (– 1 3 )
2 = 1  √ 1 9 + 
 7 
 9 +
 1 
 9 = √
 9 
 9 = √1 = 1. 
Portanto, temos que u é unitário quando x = ± 7 
 3
, como queríamos.
Exemplo 4: Calcule o perímetro do triângulo com vértices em A(1, - 3, 5), B(1, 0, -1) e 
C(- 2, 1, 3). 
Ludicamente, apresentamos uma ilustração da situação para facilitar o entendimento:
Figura 28 – Triângulo ABC
Fonte: GeoGebra.
Observamos que a imagem é meramente ilustrativa e não representa o formato do 
triângulo.
Sabemos que o perímetro P do triângulo ABC é a soma das medidas dos seus lados. 
Assim, temos que:
P = IABI + IBCI + IACI
 P = IB – AI + IC – BI + IC – AI
 P = I(1, 0, -1) - (1, - 3, 5)I + I(- 2, 1, 3) - (1, 0, -1)I + I(- 2, 1, 3) - (1, - 3, 5)I
 P = I(0, 3, - 6)I + I(- 3, 1, 4)I + I(- 3, 4, - 2)I
 P = 02 + 32 + (–6)2+ (–3)2 + 12 + 42 + (–3)2 + 42 + (–2)2
 P = 9 + 36 + 9 + 12 + 16 + 9 + 16 + 4 
 P = 45 + 26 + 29 u.c.
64
Como as raízes não são exatas, deixaremos o perímetro como a soma das raízes, consi-
derando que no início do material, orientamos o leitor a não utilizar calculadora.
1.2.3.5.1.2 Versor de um vetor
Conforme já vimos, o versor de um vetor v é um vetor unitário de mesma direção e 
sentido de u .
É fácil perceber que v = u |u |
. 
Intuitivamente, se tomarmos um objeto e o dividirmos pelo seu tamanho n, teremos 
n partes de 1 u.c.
Exemplo: Obtenha o versor do vetor u = (2, - 1, 3).
Temos que |u | = 22 + (–1)2 + 3 2 = 4 + 1 + 9 = 14 u.c.
Assim, temos que o versor será dado pela expressão v = u |u |
.
 v = 
 14
(2, – 1,3)  v = (
 14
2 , 
 14
–1 , 
 14
3 ).
Podemos verificar a solução encontrada, calculando o seu módulo, pois para ser ver-
sor, o vetor deve ser unitário. De fato:
Iv I = (
 14
2 )2 + (
 14
–1 )2 + (
 14
3 )2 = 
14
4 + 
14
1 + 
14
9 = 
14
14 = 1 = 1. Portanto, v 
é versor, como queríamos.
1.2.3.5.1.3 Ângulo entre vetores
O produto escalar fornece uma fórmula para o cálculo de ângulo entre dois vetores. 
Sejam os vetores u e v . Temos que o ângulo entre os vetores pode ser obtido pela 
equação:
 u . v = Iu I . Iv I . cos θ
Figura 29 – Ângulo entre dois vetores
Fonte: GeoGebra.
O ângulo entre dois vetores é sempre a medida da menor abertura entre eles, fixado com a 
origem em um mesmo ponto.
REFLITA
65
Exemplo: Calcule o ângulo entre os vetores u = (-2, 1, 2) e v = (- 1, - 1, 4).
Obteremos o ângulo entre os vetores por meio da fórmula
 u . v = Iu I . Iv I . cos θ
Temos:
(-2, 1, 2) . (-1, -1, 4) = (–2)2 + 12 + 22 . (–1)2 + (–1)2 + 42 . cos θ
 2 - 1 + 8 = 4 + 1 + 4 . 1 + 1 + 16 . cos θ
 9 = 4 + 1 + 4 . 1 + 1 + 16 . cos θ
 9 = 9 . 18 . cos θ
 9 =3 9.2 . cos θ 
 9 =3.3 2 . cos θ 
 9 =9. 2 . cos θ 
 1 = 2 . cos θ 
 cos θ = 
 2
1
 cos θ = 
 2
1 . 
 2
 2 
 cos θ = 
 2
 2 
 θ = 45º ou θ = π 4 . rad.
1.2.3.5.1.4 Condição de ortogonalidade entre dois vetores
Vamos considerarnovamente a fórmula para o cálculo do ângulo entre dois vetores 
u e v :
 u . v = I u I . I v I . cos θ
Note que se u ⊥ v ou seja se u e v forem ortogonais entre si (formarem um ângulo de 
90º), de acordo com a fórmula acima, teremos:
 u . v = I u I . I v I . cos 90º
 u . v = I u I . I v I . 0
 u . v = 0
Portanto, concluímos que o produto escalar é zero quando os vetores forem ortogo-
nais.
Exemplo: Determine o valor m para que os vetores u = (7, - 1, 3) e v = (- 2, m, 5) sejam 
ortogonais. 
Temos que u e v serão ortogonais se u . v = 0. Assim, temos:
 u . v = 0  (7, - 1, 3) . (- 2, m, 5) = 0  - 14 – m + 15 = 0  m = 1.
Uma dedução da fórmula para o cálculo do ângulo entre dois vetores pode ser encontrada 
em Steinbruch e Winterle (1987).
SAIBA MAIS
66
1.2.3.5.2 Produto vetorial
O produto vetorial entre os vetores u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) é um vetor obtido 
por meio do determinante da matriz gerada a partir das coordenadas de u e v em que a 
primeira linha é sempre uma base vetorial ortonormal e positiva i , j e k .
Denotamos o produto vetorial entre u e v como u x v ou u ^ v (lê-se: u vetorial 
v ). Novamente, ressaltamos a importância de utilizarmos adequadamente a simbologia 
dos produtos de vetores, uma vez que temos três tipos de produtos de vetores, cada um 
com a sua própria simbologia.
Assim, se u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2), então:
 u x v = 
 i j k 
 a1 b1 c1
 a2 b2 c2
 
Exemplo: Dados os vetores u = (2, - 1, 3) e v = (1, - 4, - 1), faça o que se pede:
a) u x v 
 u x v = 
 i j k i j 
 2 –1 3 2 –1 
 1 –4 –1 1 –4 
 
 u x v = ( i + 3 j - 8k ) – (- 2 j - 12 i - k )
 u x v = i + 3 j - 8k ) + 2 j + 12 i + k 
  u x v = 13i + 5 j - 7k 
 u x v = (13, 5, - 7)
b) v x u 
 v x u = 
 i j k i j 
 1 –4 –1 1 –4 
 2 –1 3 2 –1 
 
  v x u = (-12i - 2 j - k ) – (3 j + i - 8 k )
 v x v = –12i - 2 j - k – 3 j – i + 8 k 
 v x u = -13i - 5 j + 7 k 
 v x u = (- 13, - 5, 7).
c) O que podemos conjecturar a partir dos itens a) e b)?
Conjecturamos que o produto vetorial não é uma operação comutativa, isto é, u x v 
≠ v x u . 
O primeiro resultado do produto vetorial é o seguinte:
O produto vetorial u x v é simultaneamente ortogonal a u e v . 
Uma base ortonormal e positiva é uma sequência de vetores Linearmente Independentes.
SAIBA MAIS
67
Figura 30 – Produto vetorial
Fonte: GeoGebra.
No produto escalar, vimos que quando os vetores são ortogonais, o produto escalar 
entre eles é zero. 
Assim, temos que se u x v é ortogonal a u , então (u x v ) . u = 0.
Da mesma forma, se u x v é ortogonal a v , então (u x v ) . v = 0. Vejamos!
Consideremos novamente os vetores do exemplo anterior u = (2, - 1, 3) e v = (1, - 4, - 1). 
Já vimos que u x v = (13, 5, - 7). Temos:
(u x v ) . u = (13, 5, - 7) . (2, - 1, 3) = 26 – 5 – 21 = 0. Logo, u x v é ortogonal a u .
(u x v ) . v = (13, 5, - 7) . (1, - 4, - 1) = 13 – 20 + 7 = 0. Logo, u x v é ortogonal a v .
Portanto, concluímos que, de fato, u x v é simultaneamente ortogonal a u e v .
Exemplo: Determine um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal aos vetores 
u = (- 1, 2, 1) e v = (2, - 3, 2).
Queremos encontrar um vetor w simultaneamente ortogonal aos vetores u = (- 1, 2, 
1) e v = (2, - 3, 2) em que Iw I = 5.
Sabemos que u x v assim como w é simultaneamente ortogonal a u e v . Logo, 
w // u x v . Portanto, temos a seguinte figura ilustrativa:
Figura 31 – Produto vetorial
Fonte: GeoGebra.
Como w // u x v , temos que w e u x v formam uma Combinação Linear, isto é, w e 
u x v são Linearmente Dependentes. Assim:
 w = α (u x v ), em que α ∈ ℝ. 
68
Vamos encontrar u x v . Temos:
 u x v = 
 i j k i j 
–1 2 1 –1 2 
 2 –3 2 2 –3 
 
 u x v = (4i + 2j + 3k ) – (- 2j - 3i + 4k )
 u x v = 4i + 2j + 3k + 2j + 3i - 4k 
 u x v = 7i + 4j – k 
 u x v = (7, 4, - 1).
Desta forma, temos:
 w = α (u x v )  w = α (7, 4, - 1). 
Sabemos ainda que Iw I = 5. Logo, aplicando o módulo em ambos os lados da última 
igualdade, temos:
Iw I = IαI . I(7, 4, - 1)I  5 = IαI . 72 + 42 + (–1)2  5 = IαI . 49 + 16 + 1
 5 = IαI . 66  IαI = 
 66
5  α = ± 
 66
5 . Portanto, 
 w = ± 
 66
5 (7, 4, - 1)  w = (± 
 66
5 . 7, ± 
 66
5 . 4, ± 
 66
5 . (- 1))
 w = (± 
 66
35 , ± 
 66
20 , ± 
 66
5 ).
Podemos verificar o resultado obtido, calculando o seu módulo. Temos:
Iw I = (± 66
35 )2+ (± 66
20 )2 + (± 66
5 )2
 Iw I = 
66
1225 + 
66
400 + 
66
25  Iw I = 
66
1650  Iw I = 25  Iw I = 5, como querí-
amos.
1.2.3.5.2.1 Áreas
Uma das principais aplicações do produto vetorial é o cálculo de medidas de superfí-
cies, áreas. No que segue, veremos como obter a área de duas superfícies.
Área do paralelogramo:
Figura 32 – Paralelogramo
Fonte: GeoGebra.
A = Iu x v I
69
Área do triângulo:
Figura 33 – Triângulos
Fonte: GeoGebra.
A = 1 2 . Iu x v I
Exemplo 1: Calcule a área do triângulo de vértices em A(2, - 1, 3), B(1, - 1, 0) e C(3, 2, - 1).
Ilustrativamente, temos a seguinte situação:
Figura 34 – Área do triângulo
Fonte: GeoGebra.
Veja que neste caso temos que u = AB e v = AC, logo:
u = AB = B – A = (1, - 1, 0) - (2, - 1, 3) = (- 1, 0, - 3) e 
v = AC = C – A = (3, 2, - 1) - (2, - 1, 3) = ( 1, 3, - 4). Assim:
u x v = 
 i j k i j 
–1 0 –3 –1 0 
 1 3 –4 1 3
 
 u x v = (0i - 3j - 3k ) – (4j - 9i + 0k )
 u x v = 0i - 3j - 3k – 4j + 9i – 0k 
 u x v = 9i - 7j – 3k 
 u x v = (9, - 7, - 3). Portanto:
A = 1 2 . Iu x v I A = 
1 
2 I(9, - 7, - 3)I  A = 
1 
2 9
2 + (–7)2 + (–3)3 
 A = 1 2 81 + 49 + 9  A = 
1 
2 139 u.a. (unidades de área).
Exemplo 2: Considere os vetores u = (m, 0, 2) e v = (3, 1, - 1). Determine o valor de m 
para que a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v seja de 2 6 u.a.
Queremos que a área do paralelogramo determinado por u e v seja 2 6 . Sabemos 
que a área do paralelogramo é definido por A = Iu x v I. Assim, temos que Iu x v I = 2 6 . 
Vamos encontrar u e v . Temos:
u x v = 
 i j k i j 
m 0 2 m 0 
 3 1 –1 3 1
 
70
 u x v = (0i + 6 j + mk ) – (- mj + 2 i + 0k )
 u x v = 0i + 6 j + mk + mj – 2 i – 0k 
 u x v = –2i + (6 + m)j + mk 
 u x v = (- 2, 6 + m, m). Portanto:
A = I u x v I  I(- 2, 6 + m, m)I = 2 6  (–2)2 + (6 + m)2 + m2 = 2 6 
Elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado, temos:
 ( (–2)2 + (6 + m)2 + m2)
2
 = (2 6 )2 
 (–2)2 + (6 + m)2 + m2 = 4.6  4 + 36 + 12m + m² + m² = 24
 2m² + 12m + 40 – 24 = 0  2m² + 12m + 16 = 0  m² + 6m + 8 = 0
 m = - 2 ou m = - 4.
1.2.3.5.3 Produto misto
O produto misto é uma mistura de produto escalar e produto vetorial.
O produto misto entre os vetores u , v e w é denotado como [ u , v , w ] e definido 
como segue: 
 [u , v , w ] = u . vx w 
Um dos primeiros questionamentos que podemos nos fazer é: por qual produto de-
vemos iniciar o cálculo do produto misto? Note que se iniciarmos pelo produto escalar, 
teremos:
[u , v , w ] = (v . w ) x w = número x w . Absurdo, pois não existe produto vetorial entre 
um vetor e um número. Logo, o único caminho possível é iniciarmos pelo produto vetorial. 
Veja:
[u , v , w ] = u . (v x w ) = u . vetor = número. Portanto, temos que o produto misto 
gera um número.
Exemplo 1: Dados os vetores u = (2, - 1, 3), v = (1, - 1, 0) e w = (3, 2, - 1), faça o que se 
pede:
a) Determine u . v x w 
Vamos iniciar obtendo v x w . Temos:
v x w = 
 i j k i j 
1 –1 0 1 –1 
 3 2 –1 3 2
 
 v x w = (1i + 0 j + 2k ) – (-1j + 0 i - 3k )
 v x w = 1i + 0 j + 2k + 1j – 0 i + 3k 
 v x w = i + j + 5k 
 v x w = (1, 1, 5). Portanto:
 u . v x w = (2, - 1, 3) . (1, 1, 5) = 2 – 1 + 15 = 16.
b) Determine u x v . w . 
Vamos iniciar obtendo u x v . Temos:
 u x v = 
 i j k i j 
2 –1 3 2 –1 
1 –1 0 1 –1
 
71
 u x v = (0i + 3 j – 2k ) – (0j - 3 i - k )
 u x v = 0i + 3 j – 2k – 0j + 3 i + k 
 u x v = 3i + 3 j – k 
 u x v = (3, 3, - 1). Portanto:
 u x v . w = (3, 3, - 1) . (3, 2, - 1) = 9 + 6 +1 = 16.
c) O que podemos conjecturar a partir dos itens a) e b)?
Conjecturamos que independente da ordem dos produtos, o produto misto entre u , 
v e w é o mesmo, isto é, [u , v , w ] = u . v x w = u x v . w . 
Há uma estratégia mais simples para a obtenção de um produto misto: via determi-
nantes. Como vimos, tanto o produto misto quanto o determinante são um número que 
associamos a toda matriz quadrada e a mistura de produto escalar e produto vetorial, 
respectivamente. Assim, para obtermos um produto misto, basta calcular o determinante 
da matriz formada pelos vetores.
Exemplo 2: Calcule o produto misto entre os vetores u = (2, - 1, 3), v = (1, - 1, 0) e w = 
(3, 2, - 1).
Temos: [u , v , w ]= 
 2 –1 3 2 –1
 1 –1 0 1 –1 
 3 2 –1 3 2
 
 [ u , v , w ] = (2 + 0 + 6) – (1 + 0 – 9)
 [ u , v , w ] = 8 – (- 8)
 [ u , v , w ] = 8 + 8
 [ u , v , w ] = 16.
Observe que o determinante é uma estratégia mais simples do que calcular o produto 
misto pela definição.
Note que, como o produto misto pode ser assumido como um determinante, temos 
que todas as propriedades da teoria dos determinantes se estendem ao produto misto. 
Em especial, destacamos a propriedade cíclica, isto é, se trocarmos alternadamente as li-
nhas da matriz, o determinante não altera o valor:
[ u , v , w ] = [ w , u , v ] = [v , w , u ].
1.2.3.5.3.1 Volumes
A principal aplicação do produto misto é o cálculo de medidas de capacidade, ou seja, 
volume.
No que segue, veremos como calcular o volume de alguns sólidos geométricos.
Volume do tetraedro:
Figura 35 –Tetraedro
Fonte: GeoGebra.
V = 1 6 . I[u , v , w ]I
72
Volume do prisma triangular:
Figura 36 – Prisma triangular
Fonte: GeoGebra.
V = 1 2 . I[u , v , w ]I
Volume do paralelepípedo:
Figura 37 – Paralelepípedo
Fonte: GeoGebra.
V = I[u , v , w ]I
Exemplo: Determine o volume do tetraedro com vértices em A(2, - 1, 3), B(1, - 1, 0), 
C(3, - 2, 2) e D(5, - 1, - 1).
Pela figura 35, temos que u = AB, v = AC e w = AD. Assim:
 u = B – A = (1, - 1, 0) - (2, - 1, 3) = (- 1, 0, - 3);
 v = C – A = (3, - 2, 2) - (2, - 1, 3) = (1, - 1, - 1);
 w = D – A = (5, - 1, - 1) – (2, - 1, 3) = (3, 0, - 4).
Desta forma, [u , v , w ] = 
 –1 0 –3 –1 0
 1 –1 –1 1 –1 
 3 0 –4 3 0
 
 [u , v , w ] = (- 4 + 0 + 0) – (0 + 0 + 9)
 [u , v , w ] = - 4 – 9
 [u , v , w ] = - 13.
Portanto, temos que:
V = I[u , v , w ]I  V = 1 6 . I-13I  V = 
1 
6 . 13  V = 
13 
6 u. v. (unidades de volume).
73
Considerações finais
Prezado(a) aluno(a), chegamos ao final de mais uma unidade e esta foi intensa! Espero 
que você tenha compreendido e assimilado a evolução dos conceitos até aqui. Reforço 
mais uma vez que os conceitos estudados não foram esgotados nas seções deste texto. 
Uma sugestão para o seu aprofundamento no assunto é a leitura das obras indicadas nas 
referências desta unidade.
Iniciamos esta unidade com uma construção dos conceitos introdutórios da teoria de 
Vetores e vimos como se operam geometricamente e analiticamente os vetores quanto as 
operações: adição, subtração e multiplicação por escalar.
Sobre a comutatividade, vimos que a adição de vetores é uma operação comutativa e 
que a subtração de vetores não é uma operação comutativa.
Uma das principais aplicações da teoria de Vetores está no produto de vetores, em que 
cada um dos três produtos possibilitam uma aplicação. Vimos que o produto escalar nos 
permite calcular medidas de vetores, perímetros e ângulos entre vetores. Com o produto 
vetorial, calculamos a medida de superfícies, áreas de algumas regiões. Já com o produto 
misto, obtivemos a medida de capacidade, isto é, volumes de alguns sólidos. 
Sobre os produtos de vetores, vimos ainda que o produto escalar é um número, o 
produto vetorial é um vetor e o produto misto uma mistura de produto escalar e produto 
vetorial. Apesar de distintos e bem definidos, os produtos de vetores possuem procedi-
mentos de cálculo simples.
Antes de iniciarmos a nossa última unidade, sugiro que você reforce os conceitos es-
tudados nas três unidades até aqui, pois, conforme vimos, os conceitos são acumulativos. 
Bons estudos e lembre-se: estamos juntos!
Referências
MELLO, Dorival A. de; WATANABE, Renate G. Vetores e uma iniciação à Geometria Analítica. São 
Paulo: Livraria da Física, 2009.
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo.  Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1987.
Plano de Estudo:
•	 Equações	da	reta
•	 Posições	relativas	de	retas
•	 Equações	do	plano
• Cônicas
Objetivos de Aprendizagem:
•	 Determinar	as	equações	da	reta	dados	 
dois	pontos	ou	um	ponto	e	um	vetor	diretor;
•	 Estudar	as	posições	relativas	das	retas;
•	 Obter	as	equações	do	plano;
•	 Analisar	as	cônicas	centradas	e	não	 
centradas	na	origem,	seus	elementos	 
e	seus	gráficos.
UNIDADE IV
Retas, 
Planos 
e Cônicas
75
Introdução
Estimado(a) aluno(a), chegamos na nossa última unidade. Percorremos um caminho 
significativo até aqui. Espero que você tenha assimilado bem os conceitos apresentados 
e entendido o desenvolvimento e a evolução dos conteúdos, visto que eles estão intima-
mente conectados.
Sugiro que, sempre que necessário, você retome a leitura das unidades deste material, 
que consiste em instrumentalizar conceitualmente os alunos dos cursos de engenharias. 
Ressaltamos que o rigor matemático não foi levado em conta, para que a linguagem pu-
desse ser a mais presente possível do seu contexto. Você pode consultar as referências 
indicadas no final de cada unidade e realizar uma leitura mais profunda e sob outra pers-
pectiva para cada tópico desenvolvido neste texto.
Nesta última unidade, veremos como obter as equações da reta dados dois pontos 
ou um ponto e um vetor diretor. Analisaremos, também, as posições relativas de retas; as 
equações do plano e faremos um estudo das cônicas centradas e não centradas quanto às 
suas equações, elementos constituintes e gráficos. 
Para fecharmos a introdução desta unidade, reforçamos que os conceitos apresenta-
dos não estão esgotados ou finalizados, isto é, haverão outras características, proprieda-
des e aplicações que por motivo de espaço e objetivos não estão contemplados neste 
material.
Sempre que necessário, entre em contato com o autor e com a equipede suporte para 
dúvidas, críticas ou elogios e sugestões. 
Te desejo uma excelente experiência de leitura nesta unidade.
Bons estudos!
76
Tópico 1 
Retas, Planos e Cônicas
Organizaremos a estrutura desta unidade em três tópicos sendo: retas, planos e 
cônicas.
1.1 Retas 
Conforme vimos na Unidade III, uma reta é um componente geométrico unidimen-
sional, isto é, possui uma dimensão, infinitos pontos e não possui origem e extremidade; 
com ela podemos calcular a distância entre dois pontos. Representamos a reta por letras 
minúsculas do nosso alfabeto:
Figura 39 – Reta r
Fonte: GeoGebra.
No que segue, veremos as equações da reta.
4.1.1 Equações da reta
Neste tópico, estudaremos as equações da reta dados dois pontos ou um ponto e um 
vetor diretor. 
4.1.1.1 Dados dois pontos
Seja r a reta que contém os pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2):
Figura 39 – Reta r dados os pontos A e B
Fonte: GeoGebra.
77
Seja P(x, y, z) um ponto qualquer de r:
Figura 40 – Reta r dados os pontos A e B com um ponto P
Fonte: GeoGebra.
P é denominado ponto parâmetro de r. Como os pontos A, B e P são colineares, pode-
mos dizer que eles formam uma Combinação Linear, isto é, 
AP // AB ↔
AP e AB são Linearmente Dependentes ↔
AP = α AB em que α ∈ ℝ ↔
P – A = α (B – A) ↔
P = A + α (B – A) ↔
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + α [(x2, y2, z2) - (x1, y1, z1)] ↔
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + α (x2 – x1, y2– y1, z2 – z1) ↔
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (α (x2 – x1), α (y2, y1), α (z2 – z1)) ↔
(x, y, z) = (x1 + α (x2 – x1), y1 + α(y2, y1), z1 + α (z2 – z1)).
Temos que (x, y, z) = (x1 + α(x2 – x1), y1 + α ( y2– y1), z1 + α (z2– z1)) é a equação vetorial de r.
 
 x = x1 + α (x2 – x1)
 y = y1 + α (y2 – y1)
 z = z1 + α (z2 – z1)
são as equações paramétricas de r.
Veja que α é o único termo comum nas três equações. Assim, isolando α nas três equa-
ções, temos:
 x = x1 + α (x2 – x1)  α (x2 – x1) = x – x1  α = 
x – x1
x2 – x1
;
 x = y1 + α (y2 – y1)  α (y2 – y1) = y – y1  α = 
y – y1
y2 – y1
;
z = z1 + α (z2 – z1)  α (z2 – z1) = z – z1  α = 
z – z1
z2 – z1
;
78
Como α = 
x – x1
x2 – x1
, α = 
y – y1
y2 – y1
 e α = 
z – z1
z2 – z1
, temos que:
 
x – x1
x2 – x1
 = 
y – y1
y2 – y1
 = 
z – z1
z2 – z1
 . Estas são as equações simétricas de r. 
Expressando y e z em função de x, temos:
 
y – y1
y2 – y1
 = 
x – x1
x2 – x1
  y – y1 = 
(y2 – y1) (x – x1)
x2 – x1
  y = y1 + 
(y2 – y1) (x – x1)
x2 – x1
 ;
 
z – z1
z2 – z1
 = 
x – x1
x2 – x1
  z – z1 = 
(z2 – z1) (x – x1)
x2 – x1
  z = z1 + 
(z2 – z1) (x – x1)
x2 – x1
 ;
Estas são as equações reduzidas de r.
Assim, neste texto, consideraremos quatro possíveis equações para uma reta, sendo 
elas: vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas. 
4.1.1.2 Dados um ponto e um vetor diretor
Seja s uma reta que contém o ponto A e possui a direção do vetor v . Sabemos que se s 
possui a direção de v , então s // v . Seja P(x, y, z) um ponto qualquer de s. Temos:
Figura 41 – Reta s dados um ponto e um vetor diretor
Fonte: GeoGebra.
Desta forma, como AP // v , então temos que AP e v formam uma Combinação Linear 
AP e v são Linearmente Dependentes ↔
AP = β v ↔
P – A = β v ↔
P = A + β v .
E, assim, obtemos as equações de s de maneira análoga ao caso anterior.
Exemplo: Seja r a reta que contém os pontos A(2, 1, 3) e B(1, - 1, - 2). Faça o que se pede.
a) Determine as equações da reta r.
Esta situação é análoga à ilustração da figura 40. Seja P(x, y, z) um ponto qualquer de r. 
Temos:
79
AP = α AB  P – A = α (B – A)
 (x, y, z) - (2, 1, 3) = α [(1, - 1, - 2) - (2, 1, 3)]
 (x, y, z) = (2, 1, 3) +α(- 1, - 2, - 5)
 (x, y, z) = (2, 1, 3) + (-α, - 2α, - 5α)
 (x, y, z) = (2 - α, 1 - 2α, 3 - 5α). Equação vetorial de r.
 x = 2 – α
 y = 1 – 2α
 z = 3 – 5α
. Equações paramétricas de r.
 x = 2 – α  α = 2 – x
 y = 1 – 2α  2α = 1 – y  α = 
1 – y
2
 z = 3 – 5α  5α = 3 – z  α = 
3 – z
5 
Assim, 2 – x = 
1 – y
2 = 
3 – z
5 são as equações simétricas de r.
Expressando y e z em função de x, temos:
 
1 – y
2 = 2 – x  1 – y = 2 (2 – x)  1 – y = 4 – 2x  y = 1 – 4 + 2x  y = 2x - 3 
 
3 – z
5 = 2 – x  3 – z = 5 (2 – x)  3 – z = 10 – 5x  z = 3 – 10 + 5x  z = 5x – 7.
Estas são as equações reduzidas da reta.
b) Verifique se os pontos L(- 1, - 5, - 12), M(3, 3, 8), N(- 3, - 9, - 22) e O(1, - 5, 8) Pertencem 
a reta r. Faça uma figura ilustrando a situação.
Inicialmente, observamos que um ponto pertence a uma reta se satisfazer as equações 
da reta. Assim, vamos tomar as equações paramétricas encontradas no item a) e verificar 
se ao substituir as coordenadas do ponto P(x, y, z) pelos pontos dados, o valor de α é o 
mesmo nas três equações. Caso não seja, o ponto não pertence à reta.
Vimos que as equações paramétricas de r são dadas por:
 x = 2 – α
 y = 1 – 2α
 z = 3 – 5α
Ponto L(- 1, - 5, - 12):
–1 = 2 – α  α = 3
–5 = 1 – 2α  2α = 6  α = 3
–12 = 3 – 5α  5α = 15  α = 3
Portanto, temos que L pertence a r.
Na equação vetorial de r vimos que AP = α AB. Como aqui substituímos P por L e en-
contramos α = 3, temos: 
AL = 3 AB
Logo, temos que a distância que A está de L é igual a três vezes a distância que A está 
de B.
80
Ponto M(3, 3, 8):
3 = 2 – α  α = –1
3 = 1 – 2α  2α = –2  α = –1
8 = 3 – 5α  5α = –5  α = –1
Portanto, temos que M pertence a r.
Na equação vetorial de r vimos que AP = α AB. Como aqui substituímos P por M e en-
contramos α = - 1, temos: 
AM = - AB
Logo, temos que a distância que A está de M é igual a distância que A está de B, mas 
com sentido contrário.
Ponto N(- 3, - 9, - 22):
–3 = 2 – α  α = 5
–9 = 1 – 2α  2α = 10  α = 5
–22 = 3 – 5α  5α = 25  α = 5
Portanto, temos que N pertence a r.
Na equação vetorial de r vimos que AP = α AB. Como aqui substituímos P por N e en-
contramos α = 5, temos: 
AN = 5 AB
Logo, temos que a distância que A está de N é igual a cinco vezes a distância que A 
está de B.
Ponto O(1, - 5, 8):
1 = 2 – α  α = 1
–5 = 1 – 2α  2α = 6  α = 3
8 = 3 – 5α  5α = –5  α = –1
Portanto, temos que O não pertence a r.
Assim, representando a situação em uma figura ilustrativa, temos:
Figura 42 – Pontos da reta r
Fonte: GeoGebra.
81
c) Determine as coordenadas do ponto médio de AB.
É dado que A(2, 1, 3) e B(1, - 1, - 2). O ponto médio M é o ponto que divide o segmento 
AB em dois segmentos de mesma medida:
Figura 43 – Ponto médio do segmento AB
Fonte: GeoGebra.
Assim, temos que AM = MB  M – A = B – M  2M = A + B  M = 
A + B
2 .
Logo, as coordenadas do ponto médio M de AB são dadas por:
M = 
A + B
2  M = 
(2, 1, 3) + (1, –1, –2)
2  M = 
(3, 0, 1)
2  M(
3
2 , 0, 
1
2 ).
4.1.2 Posição relativa entre retas
Aqui, seremos capazes de analisar se duas retas são concorrentes, paralelas distintas, 
paralelas coincidentes ou reversas.
Duas retas concorrentes possuem apenas um ponto em comum, denominado ponto de interseção.
Duas retas paralelas coincidentes possuem todos os pontos em comum, elas são sobrepostas.
Duas retas paralelas distintas são coplanares e não possuem pontos em comum.
Duas retas reversas não são coplanares e não possuem pontos em comum.
Você certamente sempre pensou que duas retas que não possuem pontos em comum são 
retas paralelas. Mas, te digo que você estava enganado! Duas retas que não possuem pontos 
em comum podem ser paralelas ou reversas. Isso vai depender se elas são coplanares ou não. 
Para duas retas serem paralelas elas precisam, além de não possuírem pontos em comum, 
serem coplanares, isto é, pertencerem a um mesmo plano.
SAIBA MAIS
REFLITA
82
No que segue, vamos analisar na prática de um exercício a posição relativa entre retas.
Exemplo 1 (adaptado de Mello e Watanabe (2009)): Seja r uma reta que contêm os pon-
tos A(1, 5, 2) e B(2, 3, 1); e as retas dadas pelas equações:
s { x – 1 = 
y + 2
5 = z – 1; t 
 x = 2 + m
 y = 3 – 2m
 z = 2 – m
; u 
 x = 3– 2l
 y = 1 + 4l
 z = 2l
Determine a posição relativa entre as retas.
Inicialmente, vamos escrever as equações das retas na forma paramétrica para unifor-
mizar e facilitar a leitura dos dados:
Reta r:
AP = α AB em que P(x, y, z)
 P – A = α (B – A)  P = A + α[(2, 3, 1) - (1, 5, 2)]
 (x, y, z) = (1, 5, 2) + α(1, - 2, - 1)  (x, y, z) = (1, 5, 2) + (α, - 2α, - α)
 (x, y, z) = (1 + α, 5 - 2 α, 2 – α)
r 
 x = 1 + α
 y = 5 – 2α
 z = 2 – α
Reta s:
s { x – 1 = 
y + 2
5 = z – 1; 
Veja que são fornecidas as equações simétricas de s em que é isolado o coeficiente 
comum às equações. Denominando esse coeficiente de β, temos:
x – 1 = β  x = 1 + β
y + 2
5 = β  y + 2 = 5 β  y = - 2 + 5 β
z – 1 = β  z = 1 + β
Logo, 
s 
 x = 1 + β
y = – 2 + 5 β
 z = 1 + β
Reta t:
 t 
 x = 2 + m
 y = 3 – 2m
 z = 2 – m
Reta u:
 u 
 x = 3 – 2l
 y = 1 + 4l
 z = 2l
83
Em cada uma dessas retas, conseguimos obter um ponto e o vetor diretor (unido ao 
coeficiente). Organizando esses dados em uma tabela para facilitar o entendimento e a 
visualização, temos:
Tabela 4 – Posição relativa de retas
RETA PONTO DA RETA VETOR DIRETOR
r (1, 5, 2) v r = (1, - 2, - 1)
s (1, - 2, 1) v s = (1, 5, 1)
t (2, 3, 2) v t = (1, - 2, - 1)
u (3, 1, 0) v u = (- 2, 4, 2)
Fonte: o autor.
De imediato, observamos que os vetores diretores das retas r e t são iguais, o que não 
implica na igualdade entre as retas, uma vez que um vetor pode ser diretor à infinitas re-
tas. Porém, sabemos que se o vetor diretor é paralelo a r e t, então r e t são retas paralelas 
distintas ou paralelas coincidentes. Se forem coincidentes, possuirão infinitos pontos em 
comum e se forem paralelas, não possuirão pontos em comum. 
Assim, faremos o teste: verificaremos se o ponto de r satisfaz as equações de t. Se o 
resultado for positivo, ou seja, se o ponto de r pertencer a t, então r é coincidente a t, pois 
as retas ou possuem todos pontos ou nenhum ponto em comum.
Retas r e t:
Vamos verificar se o ponto de r pertence a t:
 t 
1 = 2 + m; m = –1
5 = 3 – 2m; 2m = – 2; m = –1
2 = 2 – m; m = 0
Logo, o ponto de r não pertence a t. Portanto, r e t são retas paralelas distintas.
Retas r e u:
De acordo com a tabela, os vetores diretores das retas r e u são paralelos, pois 
 v r = - 
1
2 v u . Logo, r e u são retas paralelas distintas ou paralelas coincidentes, isto é, ou 
não possuem ponto em comum ou possuem todos os pontos em comum. Vamos verificar 
se o ponto de r pertence a u:
u 
1 = 3 + 2l; 2l = 2; l = 1
5 = 1 + 4l; 4l = 4; l = 1
2 = 2l ; l = 1
Assim, temos que o ponto de r está em u, ou seja, r e u são retas paralelas coincidentes.
Retas u e t:
Se r e u são a mesma reta e r é paralela a t, então temos que u também é paralela a t.
Retas r e s:
Pela tabela, vemos que os vetores diretores das retas r e s não são paralelos. Assim, 
temos que as retas são concorrentes ou reversas. 
84
Vamos supor que sejam concorrentes. Assim, temos que r e s possuem um único pon-
to em comum, denominado ponto de interseção. Desta forma, vamos igualar as equações 
de r e s:
 
 x = 1 + α
 y = 5 – 2α
 z = 2 – α
 = 
x = 1 + β
y = –2 + 5β
z = 1 + β
  
1 + α = 1 + β
5 – 2α = –2 + 5β
2 – α = 1 + β
 
Da primeira e da terceira equações do último sistema indicado, temos que 1 + α = 2 – α 
 α = 
1
2 .
Assim, 1 + α = 1 + β  1 + 
1
2 = 1 + β  β = 
1
2 . Substituindo esses valores na segunda 
equação, temos:
5 – 2α = –2 + 5 β  5 – 2. 
1
2 = - 2 + 5. 
1
2  5 – 1 = - 2 + 
5
2  4 = 
1
2 , que é um absurdo. 
Desta forma, temos que r e s não são concorrentes.
Portanto, concluímos que r e s são retas reversas.
Retas s e t:
Da mesma forma, temos que os vetores diretores das retas s e t não são paralelos. 
Logo, s e t são retas concorrentes ou reversas. Vamos supor que sejam concorrentes e pro-
curar o ponto de interseção. Temos:
 
 x = 1 + β
 y = –2 + 5β
 z = 1 + β
 = 
x = 2 + m
y = 3 – 2m
z = 2 – m
 
1 + β = 2 + m
–2 + 5β = 3 + 2m
1 + β = 2 – m
 
Da primeira e da terceira equações, temos: 2 + m = 2 – m  m = 0. Assim:
 1 + β = 2 + m  1 + β = 2 + 0  β = 1. Substituindo m = 0 e β = 1 na segunda equação, 
temos: 
– 2 + 5β = 3 – 2 m  - 2 + 5.1 = 3 – 2.0  3 = 3. Logo, s e t são retas concorrentes. 
O ponto de interseção é facilmente obtido substituindo-se m = 0 ou β = 1 nas equa-
ções das retas:
 
 x = 1 + β
 y = –2 + 5β
 z = 1 + β
 = 
x = 1 + 1
y = –2 + 5.1
z = 1 + 1
 
 x = 2
y = 3
z = 2
 
 
Portanto, o ponto de interseção entre as retas s e t possui coordenadas (2, 3, 2).
85
4.2 Planos
Conforme vimos na Unidade III, o plano é um componente geométrico bidimensional, 
isto é, possui duas dimensões. 
No que segue, veremos como obter as equações de um plano.
Seja π um plano que contém o ponto A (x1, y1, z1) e os vetores u = (a1, b1, c1) e v = 
(a2, b2, c2):
Figura 44 – Plano π
Fonte: GeoGebra.
Sabemos que se três vetores são coplanares, então, o produto misto entre eles é zero. 
Assim, vamos tomar um ponto P(x, y, z) qualquer de π para obtermos três vetores:
Figura 45 – Plano π
Fonte: GeoGebra.
Assim, como AP, u e v são coplanares, temos que [AP, u , v ] = 0
[P - A, u , v ] = 0  
x – x1 y – y1 z – z1
 α1 b1 c1
 α2 b2 c2
 = 0.
Este cálculo nos fornecerá a equação geral ou cartesiana do plano π.
Exemplo: Determine a equação geral do plano que contém os pontos A(2, - 1, 3), 
B(1, 3, - 1) e C(4, - 2, - 2).
86
Seja P(x, y, z) um ponto qualquer do plano. Temos:
Figura 46 – Plano que contém os pontos A, B e C
Fonte: GeoGebra.
Observe que, neste caso, u = AB e v = AC. Portanto, temos que a equação geral do 
plano será dada por [AP, AB, AC] = 0
 [P - A, B - A, C - A] = 0
 
x – 2 y + 1 z – 3 x – 2 y + 1
 – 1 4 – 4 – 1 4
 2 – 1 – 5 2 – 1
 = 0
 [- 20(x – 2) – 8(y + 1) + 1(z – 3)] – [5(y + 1) + 4(x – 2) + 8(z – 3)] = 0
 - 20x + 40 – 8y – 8 + z – 3 – [5y + 5 + 4x – 8 + 8z – 24] = 0
 - 20x – 8y + z + 29 – 5y – 5 – 4x + 8 – 8z + 24 = 0
 - 24x – 13y – 7z + 56 = 0
Vamos considerar o vetor n = (- 24, - 13, - 7) cujas coordenadas são os coeficientes das 
incógnitas da equação geral do plano do exemplo anterior. Agora, vamos calcular o pro-
duto escalar do vetor n com os vetores u = AB = (- 1, 4, - 4) e v = AC = (2, - 1, - 5), também 
do exemplo anterior. Temos:
n . u = (- 24, - 13, - 7) . (- 1, 4, - 4) = 24 – 52+ 28 = 0.
n . v = (- 24, - 13, - 7) . (2, - 1, - 5) = - 48 + 13 + 35 = 0.
Na unidade III, em produto escalar, vimos que quando o produto escalar entre dois 
vetores é zero, eles são ortogonais entre si. Assim, temos que n ⊥ u e n ⊥ v . Logo, n é 
ortogonal ao plano.
Figura 47 – Vetor normal ao plano
Fonte: GeoGebra.
87
Se o plano π possui equação geral do tipo ax + by + cz + d = 0, denominamos n = 
(a, b, c) como o vetor normal ao plano, obtido por meio dos coeficientes das incógnitas da 
equação geral.
Exemplo: Determine a equação geral do plano π que contém o ponto A(3, 5, - 2) e é 
normal ao vetor n = (6, - 2, 5). 
Considerando que a equação geral do plano é do tipo ax + by + cz + d = 0 e que é 
normal ao plano, temos:
6x – 2y + 5z + d = 0.
Sabemos que o ponto A pertence ao plano. Logo, ele deve satisfazer a equação do 
plano:
6.3 – 2.5 + 5.(- 2) + d = 0  18 – 10 – 10 + d = 0  - 2 + d = 0  d = 2.
Portanto, a equação geral do plano é 6x – 2y + 5z + 2 = 0.
4.3 Cônicas
As cônicas são seções do cone. Temos três tipos de cônicas: a parábola, a elipse e a hi-
pérbole. Como a parábola é um conceito estudado na Educação Básica e na disciplina de 
Cálculo Diferencial e Integral, não será tratada neste texto. 
4.3.1 Elipse
A elipse é o lugar geométrico dos pontos P’s cuja soma das distâncias a dois pontosfixos, F1 e F2, é constante e igual a 2a:
Figura 48 – Elipse
Fonte: GeoGebra.
Vamos obter a equação da elipse, cujo eixo maior é o eixo das abscissas:
Considere a elipse:
Figura 49 – Elipse
Fonte: GeoGebra.
88
São elementos constituintes da elipse:
Focos: F1 e F2. I F1 F2 I = 2c é a distância focal. Logo, a distância do foco até a origem tem 
c unidades de comprimento.
Vértices: A1, A2, B1 e B2
Eixo maior: I A1A2 I = 2a é o comprimento do maior eixo. Assim, a distância do vértice do 
eixo maior até a origem é a unidades de comprimento.
Eixo menor: IB1 B2I = 2b é o comprimento do menor eixo. Desta forma, a distância do 
vértice do eixo menor até a origem é b unidades de comprimento.
Vale a relação Pitagórica: a² = b² + c²
Excentricidade: e = 
c
α .
Voltemos à definição de elipse: lugar geométrico dos pontos P’s, cuja soma das distân-
cias a dois pontos fixos, F1 e F2 é constante e igual a 2a.
Seja P(x, y) um ponto qualquer da elipse. Pela Figura 49, vemos que as coordenadas 
dos vértices são: A1 (- a, 0), A2 (a, 0), B1 (0, - b) e B2 (0, b) e que as coordenadas dos focos são: 
F1(- c, 0) e F2(c, 0).
Pela definição, temos:
IPF1I + IPF2I = 2a  IF1– PI + IF2– PI = 2a
 I(- c, 0) – (x, y)I + I(c, 0) – (x, y)I = 2a
 I(- c – x, - y)I + I(c – x, - y)I = 2a
 c2 + 2cx + x2 + y2 + (c – x)2 + (– y)2 = 2a
 c2 + 2cx + x2 + y2 + c 2 – 2cx + x2 + y2 = 2a
 c2 + 2cx + x2 + y2 = 2a - c 2 – 2cx + x2 + y2 
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
( c2 – 2cx + x2 + y2 )2= (2a2 – c2 – 2cx + x2 + y2 )2
 c2 + 2cx + x2 + y2 = 4a4 – 4a c2 – 2cx + x2 + y2 + c2 – 2cx + x2 + y2 
 4cx =4a2 – 4a c2 – 2cx + x2 + y2 
 cx =a2 – a c2 – 2cx + x2 + y2 
 a c2 – 2cx + x2 + y2 = a2 – cx
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
(a c2 – 2cx + x2 + y2 )2= (a2 – cx)2
 a2(c2 + 2cx + x2 + y2) = a4 – 2a2cx + c 2x2 
 a2c2 - 2a2cx + a2x2 + a2y2 = a4 – 2a2cx + c 2x2 
 a2c2 + a2x2 + a2y2 = a4 + c2x2
 a2x2 – c2x2 + a2y2 = a4 – a2c2
 x2 (a2– c2) + a2y2 = a4 (a2 – c2)
Da relação Pitagórica, temos que a² = b² + c²  b² = a² - c². Assim, temos:
x²(a² - c²) + a²y² = a²(a² - c²)
 x²b² + a²y² = a²b²
89
Dividindo ambos os lados por a²b², temos:
 
x2 b2
a2 b2 + 
a2 y2
a2 b2 = 
a2 b2
a2 b2 
 
x2
a2 + 
y2
b2 = 1.
Esta é a equação padrão da elipse, cujo eixo maior está sobre o eixo dos x.
A mesma análise pode ser realizada para o caso quando o eixo maior está sobre o eixo 
dos y e, neste caso, a equação padrão passa a ser 
x2
b2 + 
y2
a2 = 1, ou seja, a medida será 
sempre o denominador do maior eixo.
Exemplo 1: Determine a equação da elipse cujo eixo maior é o eixo das ordenadas, 
com distância focal igual a 6 u.c. e semieixo maior medindo 5 u.c. Esboce o gráfico e deter-
mine os elementos.
Sabemos que a distância focal é dada por 2c. Assim, temos que 2c = 6  c = 3. Se o 
semieixo maior mede 5, então a = 5. Pela relação Pitagórica, temos: a² = b² + c²  5² = b² 
+ 3²  25 = b² + 9  b² = 16  b = 4.
Como o eixo maior é o eixo das ordenadas, temos que a equação padrão é da forma: 
x2
b2 + 
y2
a2 = 1. Assim, temos que a equação da elipse é dada por: 
x2
42 + 
y2
52 = 1 ou ainda 
 
x2
16 + 
y2
25 = 1, e o seu gráfico está representado na Figura 50.
Figura 50 – Elipse
Fonte: GeoGebra.
Elementos: 
Focos: (0, - 3) e (0, 3)
Vértices do maior eixo: (0, - 5) e (0, 5)
Vértices do menor eixo: (- 4, 0) e (4, 0)
90
Excentricidade: e = 
c
a  e = 
3
5 .
Exemplo 2: Sabendo que a excentricidade de uma elipse, cujo eixo maior está sobre 
o eixo das abscissas é 
1
2 e que o eixo menor mede 6, determine a sua equação padrão.
Sabemos que e = 
c
a . Como e = 
1
2 , temos que 
c
a = 
1
2  a = 2c. Além disso, temos 
que 2b = 6  b = 3. Logo, pela relação Pitagórica a² = b² + c², temos: (2c)² = 3² + c²  4c² = 
9 + c²  3c² = 9  c² = 3  c = 3 e, assim, a = 2c  a = 2 3 . Portanto, considerando que 
a equação padrão da elipse, cujo eixo maior está sobre o eixo dos x é do tipo 
x2
a2 + 
y2
b2 = 1, 
temos que a equação da elipse será x2
22 3 2
 + y
2
32
 = 1 ou ainda x
2
12
 + y
2
9
 = 1.
Exemplo 3: Esboce o gráfico da elipse 9x² + 25y² - 225 = 0.
Note que devemos, inicialmente, arrumar a equação dada escrevendo-a na forma pa-
drão. Temos:
9x² + 25y² - 225 = 0 
 9x² + 25y² = 225
 9x2
225
 + 25x2
225
 = 225
225
 
 x
2
25
 + y
2
9
 = 1
 x
2
52
 + y
2
32
 = 1
Veja que a = 5 e b = 3. Assim, pela relação Pitagórica, temos: a² = b² + c²  5² = 3² + c² 
 25 = 9 + c²  c² = 16  c = 4. Desta forma, o gráfico da elipse é o seguinte:
Figura 51 – Elipse
Fonte: GeoGebra.
91
4.3.1.1 Elipse não centrada na origem
Considere a elipse fora da origem (0, 0) com centro C(h, k):
Figura 52 – Elipse não centrada na origem
Fonte: GeoGebra.
Neste caso, as equações permanecem com as mesmas características. O que muda é 
que consideramos o deslocamento da cônica para o novo centro C(h, k). Assim, temos as 
equações:
(x – h)2
a2
 + (y – k)2
b2
 = 1, se o eixo maior é paralelo ao eixo das abscissas;
(x – h)2
b2
 + (y – k)2
a2
 = 1, se o eixo maior é paralelo ao eixo das ordenadas.
Exemplo: Construa o gráfico da elipse 16x² + 9y² - 64x + 54y + 1 = 0.
Inicialmente, vamos escrever a equação dada na forma padrão. Para tanto utilizaremos 
a técnica do completamento de quadrados.
Assim, temos:
16x² + 9y² - 64x + 54y + 1 = 0
 (16x² - 64x) + (9y² + 54y) = - 1
 16(x² - 4x) + 9(y² + 6y) = - 1
 16(x² - 4x + 4) + 9(y² + 6y + 9) = - 1 + 64 + 81
 16(x - 2)² + 9(y + 3)² = 144
 16 (x – 2)2
144
 + 9 (y – 3)2
144
 = 144
144
 
O completamento de quadrados é uma técnica utilizada para fatorar expressões quadráticas 
(do 2º grau). Este é um conceito estudado na Educação Básica e, caso você não se recorde, 
sugiro para que procure rever. Ele será importante aqui!
SAIBA MAIS
92
 (x – 2)2
9
 + (y – 3)2
16
 = 1
 (x – 2)2
32
 + (y – 3)2
42
 = , que é a equação padrão da elipse, cujo eixo maior é paralelo ao 
eixo das ordenadas. 
Note que o centro C(h, k) = C(2, - 3), pois a fórmula padrão é (x – h)2
b2
 + (y – k)2
a2
 = 1.
Além disso, temos pela relação Pitagórica que a² = b² + c²  4² = 3² + c²  16 = 9 + c² 
 c² = 7  c = 7 ≈ 2,7. Assim, o gráfico da elipse é dado por:
Figura 53 – Elipse não centrada na origem
Fonte: GeoGebra.
Observe que construímos a elipse no novo sistema de coordenadas com centro em 
C(h, k) e marcamos as coordenadas no sistema antigo com centro na origem (0, 0).
4.3.2 Hipérbole
A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos, cuja diferença das distâncias de um pon-
to qualquer P a dois pontos fixos é constante e igual a 2a. Assim, como na elipse, esses 
pontos fixos são os focos:
Figura 54 – Hipérbole
Fonte: GeoGebra.
93
O processo para a obtenção da equação padrão da hipérbole é análogo ao da elipse. 
Deixamos como exercício o desenvolvimento do cálculo para se obter a equação da hi-
pérbole.
Vamos, agora, analisar os elementos da hipérbole centrada na origem:
Figura 55 – Hipérbole
Fonte: GeoGebra.
Elementos:
Eixo real: A1A2 (eixo positivo da equação). Comprimento do eixo real: 2a. A hipérbole 
sempre é construída sobre o eixo real.
Eixo imaginário: B1B2 (eixo negativo da equação). Comprimento do eixo imaginário: 2b.
Focos: F1 e F2. Distância focal: 2c.
A relação Pitagórica para hipérbole muda em relação à elipse: c² = a² + b².
Assíntotas: r e s. 
Equações das assíntotas: r: y = b
x
 x e s: y =- b
a
x. As assíntotas indicam a magnitude da 
abertura da hipérbole. Veja na figura que as assíntotas passam pela diagonal do retângulo 
formado pelas medidas 2a e 2b. 
Excentricidade: e = c
a
.
A equação padrão da hipérbole centrada na origem, cujo eixo real é o eixo das abscis-
sas é: 
x²
a² 
- 
y²
b² 
= 1.
Já a equação padrão da hipérbole centrada na origem, cujo eixo real é o eixo das or-
denadas é: - 
x²
b² 
+
y²
a² 
= 1.
94
Observe que a medida a fica sempre embaixo do eixopositivo. Neste caso, a não é, 
necessariamente, maior que b.
Exemplo: Determine os elementos e um esboço do gráfico da hipérbole x² - 4y² + 16 = 0. 
Inicialmente, devemos escrever a equação na forma padrão:
x² - 4y² + 16 = 0  x² - 4y² = - 16  x²
–16
 - 4y²
–16
 = –16
–16
  x²
4²
 + y²
2²
 = 1, que é uma 
hipérbole, cujo eixo real está sobre o eixo das ordenadas.
Assim, temos que a = 2 e b = 4. Logo, c² = a² + b²  c² = 2² + 4²  c² = 4 + 16  c² = 
20  c = 20 ≈ 4,5. Desta forma, temos:
Focos: F1 (0; - 4,5) e F2(0; 4,5); 
Vértices do eixo real: A1 (0, - 2) e A2 (0, 2)
Vértices do eixo imaginário: B1(- 4, 0) e B2(4, 0)
Equações das assíntotas:
r: y = x  y = x  y = 2x e s: y =- x  y = - 2x
Excentricidade: e = c
a
  e = 20 2  e 
 4.5 
 2 =  e =
2 5 
 2  e = 
 5 .
E, assim, temos o gráfico:
Figura 56 – Hipérbole
Fonte: GeoGebra.
Assim como na elipse, uma hipérbole pode ser centrada ou não centrada na origem. Para 
tanto, consideramos os mesmos elementos constituintes e o deslocamento do novo centro na 
equação da cônica não centrada. O processo é análogo ao que fizemos com as elipses.
SAIBA MAIS
95
Considerações finais
Prezado(a) aluno(a), chegamos ao final da nossa quarta unidade do material. Esta é 
uma unidade, cujos conceitos são demasiadamente extensos e não foram nela esgotados. 
Assim, como nas outras unidades, sugiro que você leia as bibliografias dos livros indica-
dos nas referências para que possa aprofundar em um determinado tópico que tenha, 
eventualmente, lhe chamado a atenção ou, então, sanar alguma dúvida por meio de mais 
exemplos e enfoques de conteúdos. 
Além disso, para uma boa construção das cônicas, indico que você sempre utilize ré-
gua e, se possível, uma folha quadriculada para facilitar na visualização, pois são muitos 
elementos. Em todas as figuras, utilizei o GeoGebra por ser um software gratuito, de do-
mínio público e simples de ser manipulado. Aconselho fortemente para que baixe esse 
aplicativo no seu celular ou computador. 
Você deve ter percebido que diferentemente da seção de retas, na seção de planos 
não estudamos as suas posições relativas. Isso se justifica pelo enfoque do material e do 
espaço disponível. Entretanto, você também consegue acessar esses e outros conceitos 
nas bibliografias indicadas. 
Quando você estiver trabalhando com mais de uma reta, é importante que chame o 
coeficiente da incógnita por termos distintos entre as retas, para que você não acabe mis-
turando os seus elementos. Lembre-se que sempre obtemos primeiro a equação vetorial, 
depois as equações paramétricas, depois as equações simétricas e, por fim, as equações 
reduzidas. Logo, se um exercício lhe cobrar uma ordem diferente dessas você deverá se-
guir a ordem lógica dos cálculos. 
Em caso de dúvidas, contate o autor ou a equipe de suporte.
Espero que tenha tido uma boa experiência!
Sempre que necessário, os conceitos estarão por aqui!
Referências
MELLO, Dorival A. de; WATANABE, Renate G. Vetores e uma iniciação à Geometria Analítica. São 
Paulo: Livraria da Física, 2009.
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo.  Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1987.
96
Conclusão
Querido(a) aluno(a), ufa! Chegamos ao final desta longa viagem ao mundo da Geo-
metria Analítica e da Álgebra Linear! Espero fortemente que você tenha amadurecido nos 
conceitos discutidos ao longo das unidades.
Como é um texto com o intuito de te instrumentalizar para as outras disciplinas das 
engenharias, com esse material não vou concluir nada. Na verdade, meu singelo interesse 
é abrir caminhos para você navegar pela sua área de estudos.
Sempre que necessário, retome os conteúdos deste texto. Apesar de simples, eles car-
regam consigo uma bagagem pesada de informações que, muitas vezes, acabamos es-
quecendo. 
Peço desculpas pela simplicidade na condução do texto, mas esse é justamente o meu 
objetivo: fazer com que os conteúdos matemáticos apresentados sejam acessíveis em 
uma linguagem simples e clara. 
E, para encerrar, digo que sentirei saudades e desejo sucesso nos seus objetivos. Faça 
o seu melhor sempre, por mais que a situação pareça desafiadora. 
Estamos sempre juntos!
Um forte abraço e até a próxima.
Prof. Antonio.