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Universidade Estadual do Ceará PROBABILIDADE I Prof. Jorge Luiz de Castro e Silva LISTA 3 DE EXERCÍCIOS - NOVA VARIÁVEL ALEATÓRIA – ESPERANÇA – VARIÂNCIA – DESVIO PADRÃO A função P(x) = x/5, em que x assume os valores 0, 1, 2 e 3, define uma função de probabilidades? Justifique. Encontre a média (, a variância (2 e o desvio padrão ( de cada uma das seguintes distribuições: a) b) Xi 2 3 8 Xi -1 0 1 2 3 P(Xi) 1/4 1/2 1/4 P(Xi) 0,3 0,1 0,1 0,3 0,2 Um par de dados não viciados é lançado. Seja X a variável aleatória denotando o menor dos dois números observados. Encontre a distribuição de probabilidades de X. Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja X: número de bolas brancas, determinar a distribuição de probabilidades de X. Uma moeda não viciada é lançada 4 vezes. Seja X o número de caras que ocorrem. Encontre a distribuição, a média, a variância e o desvio padrão de X. Dada a distribuição de probabilidades: X 0 1 2 3 4 5 P(X) 0 A2 A2 A A A2 Ache A. Calcule P(X ( 4). Calcule P(X ( 3). Calcule P(|X – 3| < 2). Duas cartas são selecionadas aleatoriamente de uma caixa que contém 5 cartas numeradas 1, 1, 2, 2 e 3. Seja X a soma e Y o máximo dos dois números obtidos. Encontre a distribuição, a média, a variância e o desvio padrão de: X Y As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral num Sábado são, respectivamente 0,05; 0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Qual o número médio de pessoas por carro? SE chegam ao litoral 4000 carros por hora, qual o número esperado de pessoas em 10 horas de contagem? Um produtor de sementes vende pacotes com 15 sementes cada um. O s pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 95%. Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado? Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão indenizados? Se um pacote é indenizado o produtor tem um prejuízo de R$ 24,50, e se o pacote não é indenizado, tem um lucro de R$ 50,40. Qual o lucro esperado por pacote? Uma moeda é lançada até que seja observado uma cara ou quatro coroas, o que ocorrer primeiro. Encontre o número esperado de lançamentos da moeda. Um caixa contém 10 transistores dos quais 2 são defeituosos. Um homem seleciona 3 objetos. Encontre o número esperado de objetos defeituosos selecionados. A probabilidade do time A vencer qualquer jogo é 1/2. A joga com o time B num torneio. O primeiro time que ganhar dois jogos seguidos ou um total de três jogos, vence o torneio. Supondo que não exista a possibilidade de empate, encontre o número esperado de jogos do torneio. Um jogador lança três moedas não viciadas. Ganha R$ 10,00 se 3 caras ocorrerem, R$ 5,00 se 2 caras ocorrerem, R$ 3,00 se 1 cara ocorrer e R$ 2,00 se nenhuma cara ocorrer. Supondo o jogo honesto, quanto poderia apostar? Sendo P(X = x) = 0,5x, x = 1, 2, 3, ...., calcule E(X). Uma turma de Estatística compreende 3 canhotos e 24 destros. Selecionam-se aleatoriamente dois estudantes diferentes para um projeto de coleta de dados, representando-se por X o número de estudantes canhotos escolhidos, calcule a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória X. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA – COVARIÂNCIA – CORRELAÇÃO Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta: X\Y -3 2 4 1 0,1 1,2 0,2 3 0,3 0,1 0,1 Encontre as distribuições de X e Y; Calcule Cov (X; Y); Determine ((X; Y); X e Y são independentes? Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com as seguintes distribuições: X 1 2 Y 5 10 15 P(X) 0,6 0,4 P(Y) 0,2 0,5 0,3 Distribuição de X Distribuição de Y Encontre a distribuição conjunta de X e Y. Uma moeda não viciada é lançada 3 vezes. Seja X igual a 0 ou 1, conforme ocorra cara ou coroa no primeiro lançamento, e seja Y o número de caras que ocorram. Determine: as distribuições de X e Y; a distribuição conjunta de X e Y; Cov(X;Y). Sejam X: renda familiar em R$ 1.000,00 e Y: N.º de aparelhos de TV em cores. Considere o quadro: X 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 Y 2 1 3 1 3 3 2 1 2 3 Verificar, usando o coeficiente de correlação, se há dependência entre as duas variáveis; Determinar a renda familiar média de quem possui 2 aparelhos de TV. Use a distribuição de probabilidades E(X/Y = 2). 20) Sejam X: renda familiar em R$ 1.000,00 e Y: número de carros da família. Considere o quadro: X 2 3 4 2 3 3 4 2 2 3 Y 1 2 2 2 1 3 3 1 2 2 Calcule: E(2X – 3Y) Cov(X;Y) Var(5X – 3Y) ( Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 verdes. Dessa urna, retiram-se 2 bolas sem reposição. Sejam: X = 0, se a primeira bola for verde, ou X = 1, se a primeira bola for vermelha; e Y = 0, se a segunda bola for verde, ou Y = 1, se segunda bola for vermelha. Determinar a distribuição conjunta para X e Y. Calcular E(X), E(Y), V(X) e V(Y). Calcular E(X + Y) e V(X + Y). d) Calcular o coeficiente de correlação de X e Y. Suponha que (X,Y) tenha uma distribuição de probabilidade: X\Y 1 2 3 1 1/18 1/6 0 2 0 1/9 1/5 3 1/12 1/4 2/15 Mostre que a tabela anterior é realmente uma distribuição de probabilidade. Calcule E(X/Y = 2). Calcule V(Y/X = 1) a) Complete o quadro abaixo, supondo que X e Y são independentes. b) Calcule a esperança de Y, dado que X = 2. c) Seja Z = 4X – 3Y, calcule E(Z) e V(Z). d) Encontre a distribuição de Z e obtenha através da mesma os valores de E(Z) e V(Z) (observe que esses são os mesmos obtidos no item c). Respostas: Não, pois a soma das probabilidades é diferente de um. a) ( = 4; (2 = 5,5; ( = 2,3 b) ( = 1; (2 = 2,4; ( = 1,5 3) X 1 2 3 4 5 6 P(X) 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 ( = 2,5; (2 = 2,1; ( = 1,4 4) X 0 1 2 3 P(X) 1/35 12/35 18/35 4/35 5) X 0 1 2 3 4 P(X) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 ( = 2; (2 = 1; ( = 1 6) a) 01 b) 4/9 c) 2/9 d) 7/9 7) a) X 2 3 4 5 P(X) 0,1 0,4 0,3 0,2 ( = 3,6; (2 = 0,84; ( = 0,9 b) Y 1 2 3 P(Y) 0,1 0,5 0,4 ( = 2,3; (2 = 0,41; ( = 0,64 8) 3,15 pessoas e 126.000 pessoas 9) a) 0,9638 b) 72,4 c) R$ 47,69 10) 1,875 11) 0,6 12) 2,875 13) R$ 4,50 14) 02 15) ( = 0,222; (2 = 0,19; ( = 0,436 16) a) X 1 3 Y -3 2 4 P(X) 0,5 0,5 P(Y) 0,4 0,3 0,3 b) –1,2 c) –0,4 d) Não, pois por exemplo, P(X = 1,Y = -3) ( P(X = 1).P(Y = -3) 17) X\Y -3 2 4 1 0,1 0,2 0,2 3 0,3 0,1 0,1 18) a) X 0 1 Y 0 1 2 3 P(X) 1/2 1/2 P(Y) 1/8 3/8 3/8 1/8 b) X\Y 0 1 2 3 0 0 1/8 2/8 1/8 1 1/8 2/8 1/8 0 c) –0,25 a) ( = 0,7113, há dependência linear entre X e Y b) E(X/Y = 2) = 2 20) a) 0,1 b) 0,28 c) 10,01 d) 0,533 21) a) X\Y 0 1 0 1/10 3/10 1 3/10 3/10 b) 0,6; 0,6; 0,24 e 0,24 c) 1,2 e 0,36 d) –0,25 22) a) Todos os valores variam de 0 a 1 e a correspondente soma é 1 b) 41/19 c) 3/16 23) a) Use p(xi,yj) = p(xi).p(yj), ( i, j b) 3,3 c) –2,3 e 16,53
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