Metro-11

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Mensurando Numero de 
medições 
Erros 
sistemáticos 
Expressão 
Invariável 𝑛 = 1 Compensado 𝑅𝑀 = 𝐼 + C ± 𝑅𝑒 
Invariável 𝑛 > 1 Compensado 𝑅𝑀 = 𝐼 + C ± 𝑅𝑒/ 𝑛 
Invariável 𝑛 ≥ 1 Não 
Compensado 
𝑅𝑀 = 𝐼 + 𝐸𝑚á𝑥 
Variável 𝑛 > 1 Compensado 𝑅𝑀 = 𝐼 + C ± 𝑡 𝑢 
Variável 𝑛 > 1 Não 
Compensado 
𝑅𝑀 = 𝐼 ± (𝐸𝑚á𝑥 + 𝑡 𝑢) 
O resultado da medição de um mensurando na 
presença de uma fonte dominante 
indicação média 
+ C 
+ t . u - t . u 
u = incerteza padrão 
determinada a partir 
das várias indicações 
RM = I + C ± t . u 
Mensurando variável 
n > 1 
Corrigindo erros sistemáticos 
Caso 4 
A 
B 
C 
D 
C = - 0,80°C 
As temperaturas foram medidas 
durante duas horas, uma vez por 
minuto, por cada sensor. 
Dos 480 pontos medidos, foi calculada 
a média e incerteza padrão: 
u = 1,90°C 
Da curva de calibração dos sensores 
determina-se a correção a ser aplicada: 
I = 5,82°C 
Exemplo 
Temperatura no refrigerador 
Mensurando variável 
n > 1 
Corrigindo erros sistemáticos 
Caso 4 
RM = I + C ± t . u 
RM = 5,82 + (-0,80) ± 2,00 . 1,90 
RM = 5,02 ± 3,80 
RM = (5,0 ± 3,8)°C 
4 6 8 0 2 
Exemplo 
Temperatura no refrigerador 
Mensurando variável 
n > 1 
Corrigindo erros sistemáticos 
Caso 4 
mensurando 
sistema de 
medição 
RB 
faixa de variação das 
indicações 
± t . u 
- Emáx + Emáx 
Mensurando variável 
n > 1 
Não corrigindo erros sistemáticos 
Caso 5 
indicação média 
+ Emáx - Emáx 
+ t . u - t . u 
RM = I ± (Emáx + t . u) 
Mensurando variável 
n > 1 
Não corrigindo erros sistemáticos 
Caso 5 
Emáx = 0,20 m/s 
A velocidade do vento foi medida 
durante 10 minutos uma vez a cada 
10 segundos. 
Dos 60 pontos medidos, foi 
calculada a média e a incerteza 
padrão: 
u = 1,9 m/s I = 15,8 m/s 
Mensurando variável 
n > 1 
Não corrigindo erros sistemáticos 
Caso 5 
Exemplo 
Velocidade do vento 
O sistema de medição da 
velocidade do vento tem um erro 
máximo de 0,20 m/s. 
RM = I ± (Emáx + t . u) 
RM = 15,8 ± (0,2 + 2,0*1,9) 
RM = (15,8 ± 4,0) m/s 
15 17 19 11 13 
Mensurando variável 
n > 1 
Não corrigindo erros sistemáticos 
Caso 5 
Exemplo 
Velocidade do vento 
O resultado da medição na presença de 
várias fontes de incertezas 
Determine a incerteza da medição da massa de uma pedra preciosa realizada nas 
seguintes condições: 
É usada uma balança eletrônica com certificação de calibração. Onze valores da correção 
e das respectivas incertezas expandidas estão disponíveis para vários pontos da faixa de 
medição. 
Essa balança apresenta um indicador digital com resolução de 0,02 g. A temperatura no 
local onde a medição foi efetuada oscila tipicamente entre 24,0 e 26,0 oC. 
Sabe-se que a balança apresenta deriva térmica , isto é, acresce o valor da indicação de 
+0,008 g para cada kelvin de variação da temperatura ambiente acima da temperatura 
de calibração (20,0 oC). 
A calibração da balança foi realizada há cinco meses. Sabe-se que a estabilidade do zero 
da balança em função do tempo permanece dentro dos limites de ± 0,01 g/mês, o que 
corresponde à sua deriva temporal. 
Foram efeituadas as doze medições independentes listadas na figura. 
Deve ainda ser acrescentado que se deseja compensar todos os efeitos sistemáticos 
possíveis, reduzindo ao máximo a incerteza. 
- Balança eletrônica com certificação de calibração 
- Indicador digital com resolução de 0,02 g 
- Onze valores da correção e das respectivas incertezas expandidas 
- A temperatura no local entre 24,0 e 26,0 oC 
- Balança apresenta deriva térmica 0,008 g/K, acima da temperatura de calibração (20,0 oC) 
- Calibração da balança foi realizada há cinco meses 
- Derivada temporal: a estabilidade do zero da balança em função do tempo permanece dentro dos 
limites de ± 0,010 g/mês 
P1 – Análise do processo de medição 
1. Mensurando: massa de uma jóia. Invariável e 
bem definida. 
2. Procedimento: ligar, limpar, aguardar 30 min, 
regular zero, medir 12 vezes e média. 
3. Ambiente: Temperatura de (25,0 ± 1,0) °C, 
diferente da de calibração. 
4. Operador: exerce pouca influência. Indicação 
digital e sem força de medição. 
5. Sistema de medição: correções conhecidas 
porém de 4 meses atrás. 
P2 – Fontes de incertezas 
P2 – Fontes de incertezas 
1. precisão de medição da balança (P) 
2. Resolução limitada da balança (R) 
3. Correção da balança levantada na calibração (CCal) 
4. Deriva temporal (DTmp) 
5. Deriva térmica (DTer) 
P3 – Estimativa da correção: 
1. A precisão de medição da balança e a resolução 
limitada trazem apenas componentes aleatórias. 
2. A correção da balança possui componente 
sistemática de CCCal = -0,15 g (média das 12 
indicações: 19,950 g) 
3. Não é possível prever a componente sistemática 
da deriva temporal. 
4. A deriva térmica possui componente sistemática: 
probabilidade 
probabilidade 
22 20 24 26 
temperatura 
0,016 0,000 0,032 0,048 
erro 
0,040 
CDTer = -0,040 g 
(C) 
(g) 
Deriva térmica: 0,008 g/K 
T𝑑 = 0,008 𝑔𝐾 × 5𝐾 = 0,040𝑔 
P4 – Correção combinada 
1. Calculada pela soma algébrica das correções 
estimadas para cada fonte de incertezas: 
 
Cc = 0,00 + 0,00 + (-0,15) + 0,00 + (-0,04) 
Cc = CP + CR + CCCal +CDTmp + CDTer 
Cc = -0,19 g 
BALANÇO DE INCERTEZAS 
processo de medição medição da massa de uma pedra preciosa unidade: g 
fontes de incertezas efeitos sistemáticos efeitos aleatórios 
símbolo descrição correção a distribuição u ν 
P precisão de medição - 
R resolução do mostrador - 
CCal correção da calibração -0,15 
DTmp deriva temporal - 
DTer deriva térmica -0,04 
Cc correção combinada -0,19 
uc incerteza combinada normal 
U incerteza expandida normal 
P5 – Incertezas padrão 
1. Precisão de medição: 
 Estimada experimentalmente através das 12 
medições repetidas. 
 A média das 12 medições será adotada 
 
𝑢𝑃 = 𝑢12 = 0,031312 = 0,0090 𝜈𝑃 = 11 
𝑢(𝐼) = (𝐼𝑘 − 𝐼 )2𝑛𝑘=1𝑛 − 1 
P5 – Incertezas padrão 
2. Resolução limitada: 
 O valor da resolução é 0,02 g. 
 Sua incerteza tem distribuição retangular com 𝑎 = 𝑅/2 = 0,01 𝑔. 
Logo: 
 𝑢𝑅 = 𝑎3 = 𝑅2 3 = 0,013 = 0,00577 𝜈𝑅 = ∞ 
P5 – Incertezas padrão 
3. Correção da balança 
 Incerteza expandida disponível no certificado de 
calibração. 
 A incerteza padrão é calculada dividindo a 
incerteza expandida pelo coeficiente de Student, 
cujo menor valor possível é 2, o que corresponde a 
infinitos graus de liberdade: 
 
𝑢𝐶𝐶𝑎𝑙 = 𝑈𝐶𝐶𝑎𝑙2 = 0,042 = 0,02 𝜈𝐶𝐶𝑎𝑙 = ∞ 
P5 – Incertezas padrão 
4. Deriva temporal 
 A balança degrada cerca de ± 0,010 g/mês 
 Após 4 meses pode chegar a ± 0,040 g 
 Assume-se distribuição retangular: 
 
- 0,04 g + 0,04 g 
𝑢𝐷𝑇𝑚𝑝 = 0,0403 = 0,0231 
𝜈𝐷𝑇𝑚𝑝 = ∞ 
probabilidade 
probabilidade 
22 20 24 26 
temperatura 
0,016 0,000 0,032 0,048 
erro 
0,008 g 
𝑢𝐷𝑇𝑒𝑟 = 𝑎3 = 0,0083 = 0,0046 𝜈𝐷𝑇𝑒𝑟 = ∞ 
5. Deriva térmica 
BALANÇO DE INCERTEZAS 
processo de medição medição da massa de uma pedra preciosa unidade: g 
fontes de incertezas efeitos sistemáticos efeitos aleatórios 
símbolo descrição correção a distribuição u ν 
P precisão de medição - normal 0,0090 11 
R resolução do mostrador - 0,01 retang 0,00577 ∞ 
CCal correção da calibração -0,15 0,04 normal 0,0200 ∞ 
DTmp deriva temporal - 0,05 retang 0,0231 ∞ 
DTer deriva térmica -0,04 0,008 retang 0,00461 ∞ 
Cc correção combinada -0,19 
uc incerteza combinada normal 
U incerteza expandida normal 
P6 – Incertezas padrão combinada 
 Combinando tudo: 
 
𝑢𝑐 = 𝑢𝑃2 + 𝑢𝑅2 + 𝑢𝐶𝐶𝑎𝑙2 + 𝑢𝐷𝑇𝑚𝑝2 + 𝑢𝐷𝑇𝑒𝑟2 𝑢𝑐 = 0,0090² + 0,00577² + 0,020² + 0,0231² + 0,0046² 𝑢𝑐 = (81,0 + 33,3 + 400,0 + 533+ 21,1).10−6 𝑢𝑐 = 0,0327 𝑔 
P6 – Graus de liberdade efetivos 
𝑢𝑐4𝜈𝑒𝑓 = 𝑢𝑅𝑒4𝜈𝑅𝑒 + 𝑢𝑅4𝜈𝑅 + 𝑢𝐶𝐶𝑎𝑙4𝜈𝐶𝐶𝑎𝑙 + 𝑢𝐷𝑇𝑚𝑝4𝜈𝐷𝑇𝑚𝑝 + 𝑢𝐷𝑇𝑒𝑟4𝜈𝐷𝑇𝑒𝑟 0,03704𝜈𝑒𝑓 = 0,0090411 + 0,005774∞ + 0,0204∞ + 0,02314∞ + 0,00464∞ 𝜈𝑒𝑓 = 3096 
P7 – Incerteza expandida 𝑈 = 𝑡 . 𝑢𝑐𝑈 = 2,00 . 0,0327 𝑈 = 0,0654 𝑔 
BALANÇO DE INCERTEZAS 
processo de medição medição da massa de uma pedra preciosa unidade: g 
fontes de incertezas efeitos sistemáticos efeitos aleatórios 
símbolo descrição correção a distribuição u ν 
P precisão de medição - normal 0,0090 11 
R resolução do mostrador - 0,01 retang 0,00577 ∞ 
CCal correção da calibração -0,15 0,04 normal 0,0200 ∞ 
DTemp deriva temporal - 0,05 retang 0,0231 ∞ 
DTer deriva térmica -0,04 0,008 retang 0,00461 ∞ 
Cc correção combinada -0,19 
uc incerteza combinada normal 0,0327 3096 
U incerteza expandida normal 0,0654 
P8 – Expressão do resultado 
 Nestas condições é possível afirmar com o nível de 
confiança 95,45% que o valor da massa da pedra 
preciosa está dentro do intervalo (19,76 ± 0,07) g. 
𝑅𝑀 = 𝐼 + 𝐶𝑐 ±𝑈 𝑅𝑀 = 19,95 + (−0,19) ± 0,0654 𝑅𝑀 = 19,76 ± 0,07 𝑔 
Zona de aceitação: 
Zona de rejeição: 
LSR = LST - C + U 
LSR 
LSA = LST - C - U 
LSA 
LST LIT 
LIA = LIT - C + U 
LIA 
LIR = LIT - C - U 
LIR 
Tolerâncias 
LIA limite inferior de aceitação 
LSA limite superior de aceitação 
LIT limite inferior de tolerância 
LST limite superior de tolerância 
U incerteza da medição 
Qual o tamanho ideal da zona de 
dúvidas? 
Um bom equilíbrio custo/benefício é 
atingido quando: 
sendo: 
IT = intervalo de tolerância 
IT = LST - LIT 
U = incerteza da medição 
𝑈 = 𝐼𝑇10 
Caso 1 - Sacos de café 
 Dimensione um processo de medição adequado para efetuar o controle 
de qualidade de sacos de café, cuja massa total, incluindo a embalagem 
(“peso” bruto), esteja dentro da tolerância (505 ± 10) g. 
 Tolerância a ser obedecida: 
o T = (505 ± 10) g 
 O intervalo de tolerância é: 
o IT = 20 g 
 O processo de medição bem equilibrado deve ter incerteza de: 
o U = 20/10 = 2 g 
 
Caso 1 - Sacos de café 
 Uma balança com erro máximo de 2 g pode 
ser usada para este fim. 
 Neste caso, uma única medição pode ser 
efetuada, sem necessidade de compensar 
erros sistemáticos. 
0 g 
 Limites de aceitação: 
o LIT = 495 g 
o LST = 515 g 
o LIA = 495 + 2 = 497 g 
o LSA = 515 - 2 = 513 g 
0 g 
500 g 510 g 520 g 480 g 490 g 530 g 
LSA LSR LIR LIA 
Caso 1 - Sacos de café 
500 g 510 g 520 g 480 g 490 g 530 g 
OK 
0 g 508 g 492 g 
ñ OK 
497 g 514 g 
? 
Caso 1 - Sacos de café 
Caso 2 - Balcão refrigerado 
 Para conservar alimentos, balcões refrigerados 
devem ser mantidos dentro do intervalo de 
temperatura entre 3 e 7 °C. 
 Um termômetro deve ser selecionado para 
fazer esta verificação regularmente. Dispõe-se 
das duas opções especificadas a seguir. 
 Verifique se um dos termômetros disponíveis 
pode ser usado e, caso positivo, que estratégia 
ele deve usar para o teste? 
 
Caso 2 - Termômetros disponíveis 
Intervalo de medição: 
 -10 a + 15 °C 
Correção (5 °C) 
 0,0 °C 
Precisão (5 °C) 
 0,2 °C 
Intervalo de medição: 
 -50 a + 80 °C 
Correção para 5 °C: 
 + 1,0 °C 
Precisão (5 °C) 
 0,5 °C 
Caso 2 - Requisitos 
 Limites de tolerância: 
o LIT = 3,0 °C 
o LST = 7,0 °C 
 Intervalo de tolerância 
o IT = LST - LIT = 7,0 - 3,0 = 4,0 °C 
 Incerteza recomendada: 
o U = IT/10 = 4,0/10 = 0,4 °C 
Caso 2 - Analisando termômetro digital 
Intervalo de medição: 
 -50 a + 80 °C 
Correção para 5 °C: 
 + 1,0 °C 
Precisão (5 °C) 
 0,5 °C 
Sem corrigir os erros 
sistemáticos, a U seria: 
U = |C| + P = 1,5 °C 
1,5 °C > 0,4 °C não atende 
Corrigindo os erros 
sistemáticos, a U seria: 
U = P = 0,5 °C 
0,5 °C > 0,4 °C não atende 
U = IT/10 = 4,0/10 = 0,4 °C 
Caso 2 - Analisando termômetro analógico 
Intervalo de medição: 
 -10 a + 15 °C 
Correção (5 °C) 
 0,0 °C 
Precisão (5 °C) 
 0,2 °C 
Neste caso, a U seria: 
U = P = 0,2 °C 
0,2 °C < 0,4 °C atende 
Zona de aceitação: 
Zona de rejeição: 
LSR = LST - C + U 
LSR 
LSA = LST - C - U 
LSA 
LST LIT 
LIA = LIT - C + U 
LIA 
LIR = LIT - C - U 
LIR 
Tolerâncias 
LIA limite inferior de aceitação 
LSA limite superior de aceitação 
LIT limite inferior de tolerância 
LST limite superior de tolerância 
U incerteza da medição 
Caso 2 - Limites de controle 
 Limites de tolerância: 
o LIT = 3,0 °C 
o LST = 7,0 °C 
o LIA = 3,0 + 0,2 = 3,2 °C 
o LSA = 7,0 - 0,2 = 6,8 °C 
5 ,0 °C 6 ,0 °C 7 ,0 °C 3,0 °C 4 ,0 °C 
LSA LSR LIR LIA 
U = P = 0,2°C