Prova P001 Cálculo Númerico 60-2020 - Univesp

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GABARITO 
DISCIPLINA 
MCN001 - Cálculo Numérico 
APLICAÇÃO 
30/06/2020 
CÓDIGO 
DA PROVA P001 
 
QUESTÕES OBJETIVAS 
Questão 1.1 
A resposta correta é: III, apenas. 
 
Justificativa 
I. Incorreta: a convergência do método de Gauss-Seidel é mais rápida que no método de Jacobi. 
II. Incorreta: a curva de ajustes pode ou não interceptar os pontos tabelados. 
III. Correta. 
 
 
Questão 1.2 
A resposta correta é: 210,5; 3,031; -0,1299 e -0,05501. 
 
Justificativa 
Representação: (sinal) 0,d1d2d3d4 x 10^{-3,-2,-1,0,1,2,3} 
 
Logo, 
210,578 = + 0,2105 x 10^{3} = 210,5 
3,0312 = +0,3031x10^{1} =3,031 
-0,1299356 = -0,1299 x 10^{0} = -0,1299 
-0,055015 = -0,5501 x 10^{-1} = -0,05501 
 
 
Questão 1.3 
A resposta correta é: x=11/6, y=4/3, z=3/4 
 
Justificativa 
R1:2x+y+0z=5 
R2:x+5y+2z=10 
R3:2x+y+4z=8 
 
 
 
 
Questão 1.4 
A resposta correta é: 1,8667 
 
Justificativa 
Temos: 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 2𝑥2 − 5 com 𝑓(1) = −5 < 0 e 𝑓(2) = 3 > 0, 𝑓’(𝑥) = 6𝑥2 − 4𝑥 
Logo, 
 
 
 
QUESTÕES DISSERTATIVAS 
 
Questão 2 
Considere a integral ∫ √𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 1 
1
0
. Aproxime o valor da integral usando o método do trapézio com 
𝑛 = 5 repetições. 
 
RESOLUÇÃO 
Temos 𝑎 = 0, 𝑏 = 1, 𝑛 = 5 𝑒 ℎ = (𝑏 − 𝑎)/𝑛 =
1
5
. Logo, os intervalos considerados serão [0, ⅕], [⅕, , ⅖], [2/
5, ⅗], [⅗, ⅘], [⅘, 1]. 
 
Pelo método do trapézio com repetição, calcularemos: 
∫ √𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 1
1
0
𝑑𝑥 ≈
1
10
[𝑓(0) + 2. (𝑓(⅕) + 𝑓(⅖) + 𝑓(⅗) + 𝑓(⅘)) + 𝑓(1)] 
 
Logo, 
 
 
∫
1
0
√𝑠𝑖𝑛2(𝑥) + 1 ≈1.12504966670579. 
 
Rubricas | critérios de correção 
• Retirar 1,0, se o aluno não apresentou a expressão matemática da aproximação, 
∫
1
0
√𝑠𝑖𝑛2(𝑥) + 1 ≈1/10[f(0)+2.(f(⅕)+f(⅖)+f(⅗)+f(⅘))+f(1)] 
• Retirar pelo menos 0,5, por erro nos cálculos 
 
 
Questão 3 
Considere a tabela de dados abaixo: 
 
X 4 5 6 7 8 
Y 7.5 15.5 23.6 35.3 55.5 
 
 
Calcule o valor de Y quando X=3 e X=9. Construa a tabela das diferenças divididas. 
 
RESOLUÇÃO 
 
 X Y 1aOrd 2aOrd 3aOrd 4aOrd 
 
Y(x)=y0+(x-x0)f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1,x2]+(x-x0)(x-x1)(x-x2)f[x0,x1,x2,x3] 
 +(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)f[x0,x1,x2,x3,x4] 
 
Para X=3, temos: 
Y(3)=7.5+(3-4)×8+(3-4)(3-5)×0.05+(3-4)(3-5)(3-6)×0.58333+(3-4)(3-5)(3-6)(3-7)×0.05833 
 
Y(3)=7.5+(-1)×8+(-1)(-2)×0.05+(-1)(-2)(-3)×0.58333+(-1)(-2)(-3)(-4)×0.05833 
 
Y(3)=7.5-8+0.1-3.49998+1.39992 
 
Y(3)=-2.50006 
 
Para Y=9, temos: 
 
Y(9)=7.5+(9-4)×8+(9-4)(9-5)×0.05+(9-4)(9-5)(9-6)×0.58333+(9-4)(9-5)(9-6)(9-7)×0.05833 
 
Y(9)=7.5+(5)×8+(5)(4)×0.05+(5)(4)(3)×0.58333+(5)(4)(3)(2)×0.05833 
 
Y(9)=7.5+40+1+34.9998+6.9996 
 
Y(9)=90.4994 
 
Rubricas | critérios de correção 
● Retirar 0.5 ponto se a tabela de diferença dividida não foi apresentada 
● Retirar 0.5 ponto se houver erro nos cálculos.