CONSTANTE DE TEMPO CIRCUITO RC

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FISD40-P01 Experimento 7
Experimento 7: Constante de Tempo em Circuitos
RC
J. C. Enrique, Discente Eng. Elétrica, DEEC, A. Marilia, Discente BI de CT, IHAC
Universidade Federal da Bahia (UFBA)
FISD40-P01-Fı́sica Experimental III
Professor: Luan Orion de Oliveira
Salvador, Bahia, 2021
1. Objetivos
O experimento consiste em verificar a constante de tempo de carga e descarga de um
capacitor. Nesse sentido, vamos analisar como se comporta seu descarregamento, bem
como seu carregamento, através desses pontos obtidos iremos plotar no gráfico e verifi-
car como se comporta esses pontos no gráfico e poder constatar algumas observações.
Além disso, através dos dados vamos calcular a resistência interna do voltı́metro.
2. Introdução
Um circuito RC é produzido a partir de um capacitor e um resistor, ligados em série. A
função do capacitor é armazenar energia por um perı́odo determinado pelo circuito e o
resistor é pode interferir o quanto o capacitor carrega ou descarrega energia.
Figura 1: Circuito RC com chave SPDT de 3 terminais
A definição de capacitância ou capacidade (C) é a quantidade de energia que o
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capacitor pode armazenar, isso dependendo da geometria das placas, sua unidade de
medida definida por Farad (F).
Logo sua equação é definida por:
C =
Q
V
(1)
Sendo Q a quantidade cargas e V a diferença de potencial nos terminais.
Numa estrutura de duas placas paralelas a capacitância é calculada através
C = ǫ
A
d
(2)
Sendo A a área das placas, d a distância entre elas e ǫ a uma caracterı́stica do meio
entre as armaduras, quando este meio é o vácuo ǫ = ǫ0.
2.1. Circuito RC Série - Constante de Tempo Capacitiva
O circuito da figura (1) contém uma fonte de tensão 10V, um resistor R de 50 ohms, e
um capacitor 5 Microfarad, em série.
Inicialmente, o capacitor está descarregado. Ligamos o circuito no instante t=0, chave
na posição 1. Vamos ver agora que a carga Q do capacitor não se estabelece de maneira
instantânea.
Sabendo que a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo:
I =
dQ
dt
(3)
E pela Lei de Ohm temos:
V R = RI (4)
2.2. Carga do Capacitor
Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff ao circuito da figura 1, (chave na posição 1),
temos:
V0 = V R+ Vc (5)
Entretanto V0 = 10V .
Logo, 10 = V R+ Vc.
Das equações 1 e 4, podemos escrever:
V0 = RI +
Q
C
(6)
Então 10 = RI + Q
C
.
Da equação 3, substituindo em 6 temos:
V0 = R
dQ
dt
+
Q
C
(7)
Então 10 = RdQ
dt
+ Q
C
.
A solução para esta equação diferencial é do tipo:
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Q = C ∗ Vo(1− ǫ
−t
RC ) (8)
Considerando t = RC
Q = C ∗ Vo(1−
1
ǫ
) (9)
Substituindo os valores de V0 = 10V e C = 5µF .
Q = 5 ∗ 10(1−
1
ǫ
) = 50 ∗ 0, 63% = 31, 61
A grandeza RC, que tem dimensão de tempo, é chamada de constante de tempo
capacitiva. Ela representa o tempo necessário para que a carga ou a tensão atinja, no
capacitor, um valor de aproximadamente 63% do seu valor máximo. No experimento o
valor encontrado Q = 31, 61FV .
O comportamento da tensão Vc, tensão no capacitor, é obtido a partir do comporta-
mento de Q, equação 1.
Vc = QC = Vo(1− ǫ
−t
RC ) (10)
2.3. Descarga do Capacitor
Suponha agora que, na figura (1), a chave tenha permanecido na posição 1 por um longo
perı́odo de tempo, de modo que o capacitor esteja completamente carregado. Levando
a chave para a posição 3 ele começa a ser descarregado pelo resistor R.
Aplicando novamente a equação das malhas de Kirchhoff para esse circuito, chave
em 3, temos:
V R+ V C = 0 (11)
Da equação 1 e 4:
RI +
Q
C
= 0 (12)
Substituindo equação 3 na 12:
R
dQ
dt
+
Q
C
= 0 (13)
Organizando os termos e aplicando a integral em ambos os lados da EDO separável,
temos:
∫
dQ
Q
= −
1
RC
∫
dt
Logo a solução da equação diferencial:
Q = Q0 ∗ ǫ
−t
RC (14)
Q0 é a carga inicial ou carga máxima no capacitor. Derivando a equação 14, com
respeito a t temos a corrente:
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I =
dQ
dt
= −
Q0
RC
∗ ǫ
−t
RC (15)
O sinal negativo na equação 15 define que a corrente é em sentido contrário ao que
convencionamos inicialmente.
RI = −
Q0
C
∗ ǫ
−t
RC (16)
Fazendo as substituições das equações 1, 4 e 11 em 16 temos:
Vc = V0 ∗ ǫ
−t
RC (17)
A equação acima fornece o valor da tensão V da descarga do capacitor em função
do tempo.
3. Procedimentos Experimentais
O experimento se deu 4 pré-determinadas etapas evidenciadas nos subtópicos abaixo:
3.1. Chave em 1 - Carga do Capacitor
De inı́cio carregou-se o capacitor, fechando o circuito com a chave na posição 1, isto
é no caminho do resistor e do capacitor, com visto na figura (1). Por conseguinte foi
cronometrado e anotado valores de tensão no capacitor até atingir o valor de 63% da
tensão da fonte independente do circuito de 10V, isto é, medições até, aproximadamente,
6.3V registrados nos terminais capacitor.
3.2. Chave em 3 - Descarga no capacitor
Na segunta etapa, com a chave na posição 3, como mostra a figura (2), foi cronometrado
e anotado os valores de tensão no capacitor em descarga, até atingir o valor de 37%
da tensão da fonte indepente, ou seja, até 3.7V, aproximadamente.
Figura 2: Circuito RC com chave na posição 3
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3.3. Chave em 2 - Descarga sobre o resistor
Nesta terceira etapa, ao colocar a chave na posição 2, intermediária ou do meio, o
resistor iria descarregar a sua tensão sobre os resistores, tanto o interno do voltı́metro,
quanto o em série do capacitor, dissipando-a pelo Efeito Joulle. Entretanto, devido ao
software de simulação tratar de simulação ideal, ao simular com a chave nessa posição o
capacitor permaneceu carregado, sem declı́nio, caracterizando como um circuito aberto
livre de dissipações. Mas é válido ressaltar que experimentalmente, em nı́vel real, ou
em um software mais robusto, ocorreria o descrito acima, do capacitor descarregar-se
sobre a resistência.
3.4. Repetição dos procedimentos de carga e descarga
Na quarta e última etapa repetiram-se as etapas anteriores para provar a consistência
dos dados coletados.
4. Resultados e Discussões
4.1. Chave em 1 - Carga do Capacitor
Com a chave em 1 foram anotados, com o auxı́lio de um cronômetro digital, 8 valores de
tensão e tempo, como evidenciado na tabela abaixo. O tempo necessário para a carga
chegar em 63% da tensão da fonte foi de 25,65 segundos.
Chave em 1 - Carregamento até 63%V
DDP no Capacitor (V) 0 0,356 0,54 0,907 1,825 3,293 5,21 6,358
Tempo (s) 0 2,8 6,654 10,204 16,384 20,48 23,211 25,65
Construiu-se e analisou-se, por conseguinte, o gráfico resultante dos pontos encon-
trados (figura (3)), este cuja expressão exponencial:
y = 0.01 ∗ 1.286x
Figura 3: Gráfico V x t - Carregamento do capacitor até 63% de V
É válido ressaltar, de acordo com a teoria e evidenciado no experimento, que quando
t → 0 o valor da tensão no capacitor tende a 0V, e, quando t → ∞, o valor da tensão
no capacitor tende a ∞, porém, devido à limitação da fonte em 10V, ele tenderá a 10V,
valor da fonte.
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4.2. Chave em 3 - Descarga do capacitor
Com a chave em 3 foram anotados, com o auxı́lio de um cronômetro digital, 8 valores
de tensão e tempo, como evidenciado na tabela abaixo. O tempo necessário para a
descarga chegar em 37% da tensão da fonte foi de 24,48 segundos.
Chave em 3 - Descarregamento até 37%V
DDP no Capacitor (V) 10 7,414 7,121 6,339 4,284 4,081 3,98 3,791
Tempo (s) 0 4,911 10.769 14,382 18,385 20,435 22,03 24,48
Construiu-se e analisou-se, por conseguinte, o gráfico resultante dos pontos encon-
trados (figura (6)), este cuja expressão exponencial:
y = 10 ∗ 0.9611x
Figura 4: Gráfico V x t - Descarregamento do capacitor até 37% de V
É válido,de acordo com a teoria e evidenciado no experimento, que quando t → ∞ o
valor da tensão no capacitor tende a 0V, e, quando t → 0, o valor da tensão no capacitor
tende a 10V, valor inicial
4.3. Chave em 2 - Descarga sobre o resistor
Sem medições, explicação descrita no tópico Procedimentos Experimentais
4.4. Repetição dos procedimentos de carga e descarga
Ao refazer as medições foi então observada, vide tabela abaixo, que os valores, em
tempo, mensurados nas medições de carga, e, posteriormente, em descarga, foram
muito próximos, validando então o experimento.
Medida 1 Medida 2 Medida 3
t1 (Tempo para tensão se elevar até 63% de V) 25,65s 24,892s 26,10s
t3 (Tempo para tensão decair até 37% de V) 24,48s 22,98s 24,523s
Por outro lado, a pequena variação deve-se, primordialmente, ao erro do operador no
pausar do cronômetro, computando alguns centésimos de segundos.
A partir da refação da medição é possı́vel visualizar também que o tempo de carga
e descarga dos capacitores são iguais, desde que seja feito nas mesmas condições e
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com a mesma resistência, que foi o que verificou-se na tabela acima, onde todos os
valores de tempo são muito próximos.
Observando a figura (??) abaixo conseguimos também notar visualmente que o tempo
de carregamento é próximo do tempo de descarregamento.
Figura 5: Gráfico V x t - Comparação Carga e Descarga
Abaixo, com o eixo Y sendo logaritmo, o gráfico linearizado do carregamento do
capacitor, bem como sua linha de tendência, de onde será calculado C.
Figura 6: Gráfico V x t - Monolog Carregamento e Descarregamento
Esse gráfico tem duas reta de tendência, uma para carregamento, em azul, e outra
para descarregamento, em laranja, cujas equações da reta são do tipo V = at+ b. Sa-
bemos que, para descarregamento é válida a equação (17). Desse modo, calcularemos
o coeficiente angular da seguinte forma:
a =
log(Vf )− log(Vi)
tf − ti
,
Escolhendo dois pontos da linha de tendência de descarregamento e substituindo:
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a =
log(3, 98)− log(6, 339)
22, 03− 14, 382
a = −0.0264
Dessa forma, aplicando o log na equação (17), tem-se que:
a =
−log(ǫ)
RC
(18)
Desse modo, isolando C:
C =
−log(ǫ)
Ra
(19)
Substituindo:
C =
−log(ǫ)
50 ∗ −0.0264
C = 0.329F
Já é possı́vel verificar um discrepância gigantesca em relação ao valor experimental
da capacitância, sendo de 5µF, enquanto calculado de 0.329F. Isto se dá devido, na
simulação, podermos controlar o tempo de descarregamento.
Por outro lado não se faz possı́vel encontrar a resistência interna do voltı́metro, devido
às medidas, no software, terem sido feitas com a ponta de prova (mouse) em relação
ao terra, como um voltı́metro ”ideal”, sem resistência interna.
5. Conclusão
Através do experimento, foi possı́vel entender, na prática, o que são e a importância dos
circuitos RC, bem como do que é de fato um capacitor. Esses conhecimentos adquiridos
serão importantes para os próximos experimentos.
Devido a simulação ter sido feita em ambiente virtual ocorreu que não foi possı́vel
fazer a parte onde a chave estaria na posição 2, porque o software tratava como se não
houvesse dissipação no resistor. Por outro lado, o experimento possibilitou, na prática,
a analisar o circuito RC, bem como a importância e caracterı́sticas da carga e descarga
do capacitor e como o mesmo interage com a resistência. servindo de alicerce para toda
a teoria estudada na parte teórica do curso.
Referências
[1] Halliday and Resnick, “Fundamentos de Fı́sica: Eletromagnetismo”, vol. 3, oitava edição, GEN.
[2] H Moysés Nussenzveig, “Curso de Fı́sica Básica: Eletromagnetismo”, vol. 3, primeira edição.
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