Relatório circuito RC/constante de tempo

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Circuito RC em se´rie,
processos de carga e descarga
Fabio Rasera
Fernanda Vito´ria Roman de Oliveira
Luan Bottin de Toni
30 de junho de 2017
1 Introduc¸a˜o
O objetivo deste experimento foi de analisar os fenoˆmenos f´ısicos relaciona-
dos com a carga e a descarga de um capacitor. Realizamos medidas durante
esses processos para determinar a constante de tempo RC tanto para a carga
quanto para a descarga desse capacitor e, a partir dele, medir a resisteˆncia
interna do mult´ımetro utilizado.
2 Referencial Teo´rico
Um circuito RC e´ um circuito constitu´ıdo por um resistor e um capacitor. O
circuito RC mais simples e´ aquele constitu´ıdo por um capacitor inicialmente
carregado com uma tensa˜o VO descarregando sobre um resistor. A lei das
malhas de Kirchhoff aplicada ao circuito nos fornece:
VC(t) = i(t)R (1)
A corrente no resistor e´ devido a` carga que sai do capacitor.
2.1 Carga de um Capacitor
Inicialmente, o capacitor deve estar descarregado e a fonte de tensa˜o desco-
nectada do capacitor. O instante inicial do processo de carga, definido como
t = 0, e´ o instante em que a fonte de tensa˜o e´ ligada. Aplicando a lei das
malhas para qualquer instante t, temos:
� = Ri(t) +
Q(t)
C
(2)
Sendo � a d.d.p. da fonte de tensa˜o, R a resisteˆncia do resistor, i a corrente
ele´trica que circula no circuito, Q a carga acumulada no capacitor, C a
1
capacitaˆncia. Considerando a definic¸a˜o de corrente ele´trica i = dQ/dt, e a
tensa˜o instantaˆnea do capacitor VC(t) = Q(t)/C a expressa˜o 2 e´ reescrita
como:
� = R
dQ(t)
dt
+
Q(t)
C
(3)
E sua soluc¸a˜o:
VC(t) = �(1− e
−t
RC ) (4)
2.2 Descarga de um Capacitor
Consideremos novamente o circuito RC descrito acima, com o capacitor
carregado inicialmente com carga Q e o potencial inicial � entre as placas.
No instante inicial do processo, definido como t = 0, a carga acumulada nas
placas do capacitor flui na forma de corrente ele´trica i atrave´s do circuito,
passando pelo resistor, ate´ a descarga completa do capacitor. O circuito
pode ser resolvido novamente de acordo com a lei das malhas, de acordo
com a equac¸a˜o 2 e a equac¸a˜o 3, mas com o potencial externo � = 0, temos
que:
R
dQ(t)
dt
+
Q(t)
C
= 0 (5)
E sua soluc¸a˜o:
VC(t) = �e
−t
RC (6)
3 Materiais Utilizados
Foram utilizados os seguintes materiais:
• Fonte de tensa˜o;
• Multiteste;
• Capacitor (22µF / 40V);
• Cronoˆmetro Akso (precisa˜o 1/100s).
4 Procedimento de coleta de dados
Foram montados dois circuitos diferentes para analisar a carga e a descarga,
conforme mostram as figuras a seguir:
Na figura 1, verifica-se que o capacitor sera´ carregado quando as chaves L1 e
L2 estiverem na posic¸a˜o 1. O circuito e´ organizado de modo que, ao carregar
o capcitor, a corrente passe primeiramente pelo mult´ımetro (configurado
para volt´ımetro), assim, podemos mensurar o processo de carga devido a`
resisteˆncia interna do mult´ımetro.
2
Figura 1: Montagem para o processo de carga
Figura 2: Montagem para o processo de descarga
Como pode-se ver na figura 2, na situac¸a˜o de descarga, o circuito foi con-
figurado de forma que, quando as chaves L1 e L2 estiverem na posic¸a˜o 3,
o processo de carga do capacitor fosse muito ra´pido. Isso ocorre por es-
tarmos conectando o capacitor direto a` fonte de tensa˜o. Apo´s o capacitor
estar carregado, a chave L2 foi colocada na posic¸a˜o 2, fazendo com que o
capacitor comec¸asse um processo onde a corrente de descarga passasse pelo
mult´ımetro.
Durante os processos de carga e descarga do capacitor, foi utilizado um
cronoˆmetro no qual foi marcado o tempo a cada vez que o capacitor ganhava
um volt (no processo de carga) e perdia um volt (no processo de descarga),
permitindo a construc¸a˜o das tabelas dos dados experimentais.
5 Dados Experimentais
Na situac¸a˜o de carga, o capacitor comec¸a a carregar-se atrave´s da resisteˆncia
interna do mult´ımetro. Portanto, o valor mostrado nele a cada instante e´
a tensa˜o V = �VC . Logo, VC = �V , com � = 12V . No caso da descarga, o
capacitor comec¸a a descarregar atrave´s da resisteˆncia. Assim, o mult´ımetro
indica, a cada instante, o valor V = VC diretamente.
A seguir os dados experimentais organizados nas tabelas:
3
V VC = ε− V t (s)
12 0 0
11 1 16,90
10 2 34,58
9 3 54,74
8 4 78,24
7 5 105,52
6 6 138,24
5 7 178,90
4 8 231,27
3 9 310,58
2 10 441,11
1 11 768,77
Tabela 1: Carregamento do capacitor
VC = V t (s)
12 0
11 16,62
10 33,62
9 53,05
8 75,15
7 100,37
6 129,27
5 164,46
4 207,55
3 269,46
2 357,93
1 514,65
Tabela 2: Descarregamento do capacitor
6 Ana´lise dos dados
Com as medidas de tempo dispostas nas tabelas 1 e 2, pudemos conceber
um gra´fico para cada processo atrave´s do software Sci Davis. Utilizamos o
software para o ajuste de curva nos pontos coletados, atrave´s das equac¸o˜es
4 e 6, que descrevem VC em func¸a˜o do tempo. Os gra´ficos esta˜o dispostos a
seguir.
4
Figura 3: Gra´fico para o processo de carga do capacitor.
Figura 4: Gra´fico para o processo de descarga do capacitor.
5
Para o ajuste de curvas, cedemos func¸o˜es com paraˆmetros ajusta´veis, com o
intuito de que o software nos fornecesse os melhores valores desses paraˆmetros.
Assim, pudemos determinar a constante de tempo RC. No gra´fico do pro-
cesso de carga do capacitor, a expressa˜o cedida para o assistente de ajuste
do SciDavis foi: A(1−e tB ) , onde A deve se aproximar da forc¸a eletromotriz
e B sera´ a constante de tempo RC. No gra´fico do processo de descarga,
a expressa˜o para ajuste foi: Ae
t
B , onde A e B representam os mesmos
paraˆmetros anteriores.
Para fornecermos um valor inicial de A e B, a fim de que o software pudesse
encontrar as melhores curvas poss´ıveis, utilizamos A como 12V, que foi a
forc¸a eletromotriz cedida pelo gerador, e B como o valor de tempo corres-
pondente a RC, ou seja, estimamos em qual porcentagem dos valores de VC
encontrar´ıamos o tempo igual a RC, fazendo −tRC = 1.
Os valores encontrados pelo software para a constante de tempo, foram:
• Processo de carga: RC = 177(±2)s
• Processo de descarga: RC = 192(±2)s
A partir dos valores obtidos acima, e do valor da capacitaˆncia informada
no pro´prio capacitor, podemos estimar o valor da resisteˆncia interna do
mult´ımetro utilizado.
Os valores encontrados para a resisteˆncia nos dois casos foram:
• Processo de carga: R = 8, 05(±0, 09)MΩ
• Processo de descarga: R = 8, 73(±0, 09)MΩ
Para o ca´lculo da incerteza da resisteˆncia, propagamos apenas o valor da
incerteza da constante de tempo obtida, ja´ que na˜o havia informac¸a˜o acerca
da incerteza do capacitor.
7 Conclusa˜o
Demonstramos experimentalmente o comportamento dos circuitos RC.
Entende-se que a carga do capacitor e´ devida a` tensa˜o na fonte, e a des-
carga do mesmo e´ devida a uma diferenc¸a de potencial e ocorre sobre a
resisteˆncia existente no circuito. Percebemos tambe´m que a carga de um
capacitor cresce exponencialmente, assim como a descarga decresce expo-
nencialmente.
As constantes de tempo RC encontradas informam que o intervalo de tempo
necessa´rio para o capacitor carregar 63% da carga total e´ de 177(±2)s, en-
quanto o intervalo de tempo necessa´rio para o capacitor descarregar 37%
da carga total e´ de 192(±2)s. Teoricamente, o valor da constante de tempo
para os casos de carga e descarga do capacitor deveriam ser ideˆnticos, ja´
6
que os equipamentos utilizados nos dois casos eram os mesmos. A dife-
renc¸a entre os valores encontrados, tanto para constante de tempo quanto
para a resisteˆncia, pode ser explicada pela ma´ calibrac¸a˜o do equipamento,
a observac¸a˜o do tempo no cronoˆmetro, fuga de corrente pelo circuito, entre
outros detalhes.
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Refereˆncias
[1] H. M. NUSSENZVEIG, Curso de F´ısica ba´sica - vol. 3 - Eletromagne-tismo, (editora Edgard Blu¨cher, 1a edic¸a˜o, 1997).
[2] D. HALLYDAY, R. RESNICK & J. WALKER, Fundamentos de F´ısica
vol.3 - Eletromagnetismo, (editora LTC, 8a edic¸a˜o, 2010)
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