Lista séries numéricas

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LISTA 4 - Cálculo 3: Séries Numéricas
1. Determine a soma das seguintes sequências infinitas
(a)
{
an =
1
5n , n = 1, 2, 3, · · ·
}
R.: 1/4
(b)
{
an =
1
3n , n = 0, 1, 2, · · ·
}
R.: 3/2
(c)
{
an =
3n
5n , n = 1, 2, 3, · · ·
}
R.: 3/2
(d)
{
an =
3
2n , n = 0, 1, 2, · · ·
}
R.: 6
(e)
{
an =
2
n(n+1) , n = 1, 2, 3, · · ·
}
R.: 2
(f)
{
an =
1
(n+1)(n+2) , n = 0, 1, 2, · · ·
}
R.: 1
2. Responda se a sequência converge ou não. Se convergir calcule o número para o qual ela
converge.
(a) an = 1− (0, 2)n R.: converge para 1
(b) an =
n3
n3+1 R.: converge para 1
(c) an =
n4−n3+n2
n4−n+100 R.: converge para 1
(d) an =
n3
n+1 R.: diverge
(e) cn = e
1/n R.: converge para 1
(f) cn = log
(
1− 1n
)
R.: converge para 0
(g) an =
(−1)nn
n2+1 R.: converge para 0
(h) an =
√
n+1
9n+1 R.: converge para 1/9
(i) an =
(
1 + 2n )
n R.: converge para e2
(j) an =
(2n−1)!
(2n+1)! R.: converge para 0
(k) an = n−
√
(n+ 1)(n+ 2) R.: converge para −3/2
(l) an =
n!
2n R.: diverge
3. Determine se a seguinte sequência definida recursivamente
a1 = 1 an+1 = 4− an , n ≥ 1
converge ou não. O que ocorre se a1 = 2? R.: a sequencia diverge. Se a1 = 2, converge para
2.
4. Se {an} é convergente, pode-se mostrar que limn→∞ an+1 = limn→∞ an. Uma sequência
{an} é definida por a1 = 1 e an+1 = 1/(1+an) para n ≥ 1. Se esta sequencia {an} converge,
encontre seu limite. R.: converge para −1+
√
5
2
5. Uma piscicultora possui 5000 carpas em sua lagoa. O número de carpas aumenta a uma
taxa de 8% ao mês e a piscicultora retira 300 carpas por mês. Mostre que a população de
carpas pn depois de n meses é dada recursivamente por
pn = 1, 08pn−1 − 300 , p0 = 5000
Quantas carpas há na lagoa após 6 meses? Se ela retirar 1000 peixes por mês, em quanto
tempo a população de carpas se extinguirá? Quantos peixes ao mês ela deve retirar para
que a população se mantenha constante? R.: 5734. 6 meses. 400.
1
6. Você acha que x = 0, 999999 · · · é menor do que 1 ou igual a 1? Represente x como a soma
de uma PG infinita e mostre que x vale 1.
7. Escreva as d́ızimas periódicas a seguir em termos de uma série infinita.
(a) 0, 888 · · · R.: 89
(b) 0, 464646 · · · R.: 4699
(c) 2, 516516516 · · · R.: 838333
8. A série
+∞∑
n=1
ln
(
1 +
1
n
)
diverge ou converge? Para responder esta pergunta, primeiramente escreva a soma dos
logaritmos como
+∞∑
n=1
ln
(
1 +
1
n
)
= ln
[
+∞∏
n=1
(
1 +
1
n
)]
Em seguida, considere o limite
ln
[
+∞∏
n=1
(
1 +
1
n
)]
= lim
k→∞
ln
[
k∏
n=1
Pn
]
onde Pn = 1 +
1
n . Finalmente, mostre que
∏k
n=1 Pn = k + 1 e substitua na expressão acima
para mostrar, então, que a soma dos logaritmos é infinita (diverge). Mostre que, apesar da
série divergir, limn→∞ an = 0.
9. Encontre os valores de c tais que
+∞∑
n=2
(1 + c)−n = 2 e
+∞∑
n=2
enc = 10
R.: 12 (
√
3− 1), ln(5
√
5− 5)
10. Use o teste da integral para analisar a convergência das seguintes séries
(a)
∑+∞
n=1
1
(2n+1)3 R.: converge
(b)
∑+∞
n=1
1√
n+4
R.: diverge
(c)
∑+∞
n=1 n
2e−n
3
R.: converge
(d)
∑+∞
n=1
1
n(lnn)p R.: converge para p > 1
11. A função zeta de Riemann ζ é definida por
ζ(x) =
+∞∑
n=1
1
nx
e é usada em teoria dos números para estudar a distribuição dos números primos. Qual é o
domı́nio dessa função? R.: D = {x ∈ R/x > 1}1
12. Use o teste da razão ou da raiz para analisar a convergência das séries abaixo
(a)
∑+∞
n=1
(
2
3
)n
R.: converge
(b)
∑+∞
n=1
n!
100nn100 R.: diverge
2
(c)
∑+∞
n=1
n22n
n! R.: converge
(d)
∑+∞
n=1
n!
nn R.: converge
(e)
∑+∞
n=1
arctan(n)
n2 R.: converge
(f)
∑+∞
n=1
(
n2+1
2n2+1
)n
R.: converge
(g)
∑+∞
n=1
(
1 + 1n
)n2
R.: diverge
Lembre-se de que limn→∞
(
1 + 1n
)n
= e
13. Use um teste de comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(a)
∑+∞
n=1
n
2n3+1 R.: converge
(b)
∑+∞
n=1
n+1
n
√
n
R.: diverge
(c)
∑+∞
n=1
9n
3+10n R.: converge
(d)
∑+∞
k=1
ln k
k R.: diverge
(e)
∑+∞
n=1
√
n
n−1 R.: diverge
(f)
∑+∞
n=1
√
n+2
2n2+n+1 R.: converge
(g)
∑+∞
n=1
n22n
n! R.: converge
(h)
∑+∞
n=1
n+4n
n+6n R.: converge
14. Como sabemos, se
∑∞
n an e
∑∞
n bn são séries de termos finitos tais que limn→∞
an
bn
= L,
L > 0 e finito, então ou ambas convergem ou ambas divergem. Mas, também pode-se
mostrar que se a série dos bn converge(diverge) e se limn→∞
an
bn
= 0(∞), então, a série dos
an converge(diverge). Use estes fatos para mostrar o que se pede:
(a) Se an ≥ 0 e
∑∞
n an converge, então
∑∞
n a
2
n também converge.
(b) Se an > 0 e
∑∞
n an for convergente, mostre que
∑∞
n ln(1 + an) também é convergente.
Use o teste de comparação junto com o Teorema de L’Hospital.
(c) Se an > 0 e
∑∞
n an for convergente, mostre que
∑∞
n sen(an) também é convergente.
15. Mostre que se an > 0 e limn→∞ nan 6= 0, então
∑∞
n an diverge. Use o teste da razão.
16. Determine se as seguintes séries são divergentes ou convergentes. No caso de convergência
diga ainda se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
(a)
∑+∞
n=1
(−1)n
n+1 R.: condicionalmente convergente
(b)
∑+∞
n=1
(−1)n−1n
n2+4 R.: condicionalmente convergente
(c)
∑+∞
n=1
(−1)ne1/n
n3 R.: absolutamente convergente
(d)
∑+∞
k=1
(−1)k
ln(k) R.: condicionalmente convergente
(e)
∑+∞
k=1
cos(kπ)
k R.: condicionalmente convergente
(f)
∑+∞
k=1 sen(kπ) R.: divergente
3