carga_descarga_capacitor
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CARGA E DESCARGA EM CAPACITORES - CIRCUITOS RC 
 
Introdução 
 
 Nos circuitos simples analisados as grandezas, força eletromotriz \u3b5, ddp V, resistência R e corrente I foram 
consideradas constantes (independentes do tempo). Quando se analisa o comportamento dessas grandezas no 
processo de carga e descarga de um capacitor verifica-se que ocorrem variações nos valores da voltagem, da 
corrente e da potência no circuito. Os capacitores possuem muitas aplicações que usam sua propriedade de 
armazenar carga e energia por isso é de grande interesse saber como são carregados e descarregados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do que foi exposto, tem-se: 
 
 
 
Em t = 0 : Num instante t durante o carregamento: 
 
 
 
Aplicando a lei das malhas de Kirchoff : 
0=\u2212\u2212
C
q
iR\u3b5 (Eq.01) 
à medida que o capacitor é carregado a sua carga aumenta e portanto aumenta o potencial bcv e diminui abv . 
Depois de um longo tempo, a carga tende para um valor final fQ e a corrente no circuito se torna nula., portanto a 
expressão da Lei de Kirchoff, fica: 
 
 
\u2022 
\u2022 
i 
 
 
\u2022 
\u2022 
A 
B 
O circuito ao lado, denominado circuito RC é um circuito 
que possui um resistor de resistência R, em série com um 
capacitor de capacitância C. A bateria conectada ao circuito 
possui fem \u3b5 e resistência interna nula e despreza-se a 
resistência dos fios condutores usados no circuito. 
Inicialmente o capacitor está descarregado e chave está 
desconectada tanto do ponto A quanto do ponto B. Como as 
grandezas corrente, voltagem/fem e carga vão sofrer 
variações no decorrer do tempo, elas serão designadas por 
letras minúsculas i, \u3b5 e q. 
 
 
 
 
 
 
No instante t = o ( momento em que a chave é conectada ao 
ponto A) o capacitor está descarregado, a ddp nos seus 
terminais é igual a zero e a tensão no resistor será igual à 
fem da bateria \u3b5. A corrente inicial no resistor será portanto 
RR
v
I abo
\u3b5
== 
À medida que o capacitor se carrega, sua voltagem bcv
aumenta e a diferença de potencial abv através do resistor 
aumenta ocorrendo em conseqüência uma diminuição da 
corrente no circuito. No entanto, a soma dessas duas 
voltagens permanece constante e igual à força eletromotriz 
da fonte. Depois de um longo tempo, o capacitor fica 
completamente carregado, a corrente torna-se nula e a 
diferença de potencial no resistor é igual a zero. Dessa 
forma a ddp final nos terminais do capacitor é igual à fem \u3b5
da bateria. 
A 
0=
=
==
bc
ab
o
v
v
R
Ii
\u3b5
\u3b5
C
q
v
iRv
bc
ab
=
=
Carregando um capacitor 
\u3b5
\u3b5
CQ
RC
Q
R
f
f =\u21d2= 
 
Observação : A carga final não depende do valor de R 
 
Dedução das expressões para )(tq e )(ti 
 
Escolhemos para aplicação da Lei das malhas de Kirchoff o sentido positivo da corrente como sendo o percurso das 
cargas positivas que chegam do pólo positivo da bateria à placa esquerda do capacitor (placa positiva). Mas a 
corrente elétrica é a taxa com que as cargas chegam à placa, isto é: 
 
dt
dq
i = 
Substituindo na Eq.01, obtém-se: 0=\u2212\u2212
C
q
R
dt
dq
\u3b5 e portanto : 
RC
q
Rdt
dq
\u2212=
\u3b5
 
Pode-se rearranjar a expressão e temos : dt
RCCq
dq 1
\u2212=
\u2212 \u3b5
 
Integrando com os limites de 0 a t para o tempo e de 0 a q para a carga: 
 
\u222b\u222b \u2212=\u2212
tq
dt
RCCq
dq
00
1
\u3b5
 
 
Efetuando a integração obtém-se: 
( )
t
q
RC
Cq
0
0
1
ln \uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb\u2212=\u2212 \u3b5 \u21d2 ( ) ( )
RC
t
CCq
\u2212
=\u2212\u2212\u2212 \u3b5\u3b5 lnln 
t
RCC
Cq 1
ln \u2212=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
\u3b5
\u3b5
 
Aplica-se a propriedade da função inversa de logaritmo neperiano : 
RC
t
e
C
Cq \u2212
=
\u2212
\u2212
\u3b5
\u3b5
 
e resulta finalmente ( usando o fato de que fQC =\u3b5 ) : 
 
 \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=
\u2212\u2212
RC
t
f
RC
t
eQeCq 11\u3b5 (Eq.02) 
Como 
dt
dq
i = , derivando a Eq.02 obtém-se a expressão para i(t): 
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb\u22c5=
\u2212
RC
t
e
RC
Ci 1
1
\u3b5 e então : 
RC
t
o
RC
t
eIe
R
i
\u2212\u2212
==
\u3b5
 (Eq.03) 
 
 
 
Circuito RC carregando um capacitor 
Expressão da variação da carga 
Circuito RC carregando um capacitor 
Expressão da corrente no circuito 
Comportamento temporal da ddp no capacitor 
A diferença de potencial no capacitor, Vbc pode ser obtida usando-=se a expressão bcCVq = na equação (2): 
 )1( RC
t
bc eCCV
\u2212
\u2212= \u3b5 e obtém-se a expressão 
 
 
 
 
 
Observação: 
A carga no capacitor, a corrente no circuito e a ddp entre as placas são funções exponenciais do tempo: 
 
Análise gráfica do processo de carregamento de um capacitor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura (a) apresenta o gráfico da equação da corrente (Eq.03), 
a figura (b) mostra o gráfico da variação da carga e a figura (c) 
fornece a variação da ddp entre as placas do capacitor durante o 
seu carregamento num circuito R-C. Analisemos as equações 
de corrente carga e ddp em alguns instantes especiais: 
\u2022 Para o instante t = 0, as equações assumem os valores: 
 
 ( )
( ) 01
01
0
0
0
=\u2212=
=\u2212=
==
eV
eQq
IeII
bc
f
oo
\u3b5
 
 
\u2022 Para um valor muito grande de t a corrente tende para zero, 
enquanto que a carga no capacitor tende para um valor 
máximo, a carga final Qf. Por exemplo, para t = 10RC as 
equações apresentam os valores: 
 
( ) \u3b5\u3b5\u3b5 \u2245=\u2212=
\u2245=\u2212=
\u2245== \u2212
999955,0000045,01
999955,0)000045,01(
0000045,010
bc
fff
oo
V
QQQq
IeII
 
 
\u2022 Para um valor de tempo RCt = : 
 
 
( ) \u3b5\u3b5 632,0368,01
632,0)368,01(
368,01
=\u2212=
=\u2212=
== \u2212
bc
ff
oo
V
QQq
IeII
 
 
\u2022 Depois de um tempo igual a RC a corrente no 
circuito atinge um valor 1/e (aproximadamente 
36,8%) de seu valor inicial. Nesse mesmo intervalo 
a carga e a ddp nas placas atingem (1-1/e) de seus 
valores finais, conforme mostram os cálculos e as 
representações gráficas ao lado. 
\u2022 O produto RC fornece a medida da velocidade de 
variação de corrente, carga e ddp nas placas durante 
o processo de carregamento. RC é denominado 
constante de tempo ou tempo de relaxação do 
circuito: 
Constante de tempo de um circuito R-C RC=\u3c4 
 
Quando \u3c4\u3c4\u3c4\u3c4 é pequeno o capacitor se carrega rapidamente. 
Circuito RC carregando um capacitor 
Expressão da tensão no capacitor )1( RC
t
bc eV
\u2212
\u2212= \u3b5 (Eq.04) 
t = 0 
t = RC 
0,632Qf 
Vf /e 
Vf 
Vbc 
0,632Vf 
Descarregando um capacitor 
 
 Suponhamos que um capacitor se encontre carregado e seja em seguida conectado em série a um resistor R: 
 
 
 
 
RC
t
oeQq
\u2212
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No momento em que a chave é fechada aciona-se um cronômetro inicia-se a 
contagem do tempo em t = 0. Nesse momento a carga no capacitor é oQq = , a ddp 
nas placas é obc Vv = e a corrente no circuito é OIi = . Levando em conta as 
mesmas considerações já feitas anteriormente e aplicando a lei das malhas de 
Kirchoff, obtemos: 
 0=\u2212\u2212
C
q
iR 
Então: 
C
q
R
dt
dq
\u2212= \u21d2 dt
RCq
dq 1
\u2212= integrando a expressão obtém-se: 
 
 
RC
t
Q
q
o
\u2212=ln e finalmente: 
 
 RC
t
oeQq
\u2212
= (Eq.05) 
 
 
Derivando a expressão obtém-se a equação para a corrente : 
 
 RC
t
oeIi
\u2212
= (Eq.06) 
 
Usando a Eq.05 e o fato de que q = CV pode-se obter a expressão da voltagem entre 
as placas do capacitor: 
 
 RC
t
obc eVv
\u2212
= (Eq.07) 
 
 
Circuito R-C descarregando um capacitor 
Expressão da variação da carga 
Circuito R-C descarregando um capacitor 
Expressão da variação da corrente 
Circuito R-C descarregando um capacitor 
Expressão da variação da ddp 
0,368Vo