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CARGA E DESCARGA EM CAPACITORES - CIRCUITOS RC Introdução Nos circuitos simples analisados as grandezas, força eletromotriz ε, ddp V, resistência R e corrente I foram consideradas constantes (independentes do tempo). Quando se analisa o comportamento dessas grandezas no processo de carga e descarga de um capacitor verifica-se que ocorrem variações nos valores da voltagem, da corrente e da potência no circuito. Os capacitores possuem muitas aplicações que usam sua propriedade de armazenar carga e energia por isso é de grande interesse saber como são carregados e descarregados. Do que foi exposto, tem-se: Em t = 0 : Num instante t durante o carregamento: Aplicando a lei das malhas de Kirchoff : 0=−− C q iRε (Eq.01) à medida que o capacitor é carregado a sua carga aumenta e portanto aumenta o potencial bcv e diminui abv . Depois de um longo tempo, a carga tende para um valor final fQ e a corrente no circuito se torna nula., portanto a expressão da Lei de Kirchoff, fica: • • i • • A B O circuito ao lado, denominado circuito RC é um circuito que possui um resistor de resistência R, em série com um capacitor de capacitância C. A bateria conectada ao circuito possui fem ε e resistência interna nula e despreza-se a resistência dos fios condutores usados no circuito. Inicialmente o capacitor está descarregado e chave está desconectada tanto do ponto A quanto do ponto B. Como as grandezas corrente, voltagem/fem e carga vão sofrer variações no decorrer do tempo, elas serão designadas por letras minúsculas i, ε e q. No instante t = o ( momento em que a chave é conectada ao ponto A) o capacitor está descarregado, a ddp nos seus terminais é igual a zero e a tensão no resistor será igual à fem da bateria ε. A corrente inicial no resistor será portanto RR v I abo ε == À medida que o capacitor se carrega, sua voltagem bcv aumenta e a diferença de potencial abv através do resistor aumenta ocorrendo em conseqüência uma diminuição da corrente no circuito. No entanto, a soma dessas duas voltagens permanece constante e igual à força eletromotriz da fonte. Depois de um longo tempo, o capacitor fica completamente carregado, a corrente torna-se nula e a diferença de potencial no resistor é igual a zero. Dessa forma a ddp final nos terminais do capacitor é igual à fem ε da bateria. A 0= = == bc ab o v v R Ii ε ε C q v iRv bc ab = = Carregando um capacitor ε ε CQ RC Q R f f =⇒= Observação : A carga final não depende do valor de R Dedução das expressões para )(tq e )(ti Escolhemos para aplicação da Lei das malhas de Kirchoff o sentido positivo da corrente como sendo o percurso das cargas positivas que chegam do pólo positivo da bateria à placa esquerda do capacitor (placa positiva). Mas a corrente elétrica é a taxa com que as cargas chegam à placa, isto é: dt dq i = Substituindo na Eq.01, obtém-se: 0=−− C q R dt dq ε e portanto : RC q Rdt dq −= ε Pode-se rearranjar a expressão e temos : dt RCCq dq 1 −= − ε Integrando com os limites de 0 a t para o tempo e de 0 a q para a carga: ∫∫ −=− tq dt RCCq dq 00 1 ε Efetuando a integração obtém-se: ( ) t q RC Cq 0 0 1 ln −=− ε ⇒ ( ) ( ) RC t CCq − =−−− εε lnln t RCC Cq 1 ln −= − − ε ε Aplica-se a propriedade da função inversa de logaritmo neperiano : RC t e C Cq − = − − ε ε e resulta finalmente ( usando o fato de que fQC =ε ) : −= −= −− RC t f RC t eQeCq 11ε (Eq.02) Como dt dq i = , derivando a Eq.02 obtém-se a expressão para i(t): −⋅ ⋅= − RC t e RC Ci 1 1 ε e então : RC t o RC t eIe R i −− == ε (Eq.03) Circuito RC carregando um capacitor Expressão da variação da carga Circuito RC carregando um capacitor Expressão da corrente no circuito Comportamento temporal da ddp no capacitor A diferença de potencial no capacitor, Vbc pode ser obtida usando-=se a expressão bcCVq = na equação (2): )1( RC t bc eCCV − −= ε e obtém-se a expressão Observação: A carga no capacitor, a corrente no circuito e a ddp entre as placas são funções exponenciais do tempo: Análise gráfica do processo de carregamento de um capacitor A figura (a) apresenta o gráfico da equação da corrente (Eq.03), a figura (b) mostra o gráfico da variação da carga e a figura (c) fornece a variação da ddp entre as placas do capacitor durante o seu carregamento num circuito R-C. Analisemos as equações de corrente carga e ddp em alguns instantes especiais: • Para o instante t = 0, as equações assumem os valores: ( ) ( ) 01 01 0 0 0 =−= =−= == eV eQq IeII bc f oo ε • Para um valor muito grande de t a corrente tende para zero, enquanto que a carga no capacitor tende para um valor máximo, a carga final Qf. Por exemplo, para t = 10RC as equações apresentam os valores: ( ) εεε ≅=−= ≅=−= ≅== − 999955,0000045,01 999955,0)000045,01( 0000045,010 bc fff oo V QQQq IeII • Para um valor de tempo RCt = : ( ) εε 632,0368,01 632,0)368,01( 368,01 =−= =−= == − bc ff oo V QQq IeII • Depois de um tempo igual a RC a corrente no circuito atinge um valor 1/e (aproximadamente 36,8%) de seu valor inicial. Nesse mesmo intervalo a carga e a ddp nas placas atingem (1-1/e) de seus valores finais, conforme mostram os cálculos e as representações gráficas ao lado. • O produto RC fornece a medida da velocidade de variação de corrente, carga e ddp nas placas durante o processo de carregamento. RC é denominado constante de tempo ou tempo de relaxação do circuito: Constante de tempo de um circuito R-C RC=τ Quando ττττ é pequeno o capacitor se carrega rapidamente. Circuito RC carregando um capacitor Expressão da tensão no capacitor )1( RC t bc eV − −= ε (Eq.04) t = 0 t = RC 0,632Qf Vf /e Vf Vbc 0,632Vf Descarregando um capacitor Suponhamos que um capacitor se encontre carregado e seja em seguida conectado em série a um resistor R: RC t oeQq − = No momento em que a chave é fechada aciona-se um cronômetro inicia-se a contagem do tempo em t = 0. Nesse momento a carga no capacitor é oQq = , a ddp nas placas é obc Vv = e a corrente no circuito é OIi = . Levando em conta as mesmas considerações já feitas anteriormente e aplicando a lei das malhas de Kirchoff, obtemos: 0=−− C q iR Então: C q R dt dq −= ⇒ dt RCq dq 1 −= integrando a expressão obtém-se: RC t Q q o −=ln e finalmente: RC t oeQq − = (Eq.05) Derivando a expressão obtém-se a equação para a corrente : RC t oeIi − = (Eq.06) Usando a Eq.05 e o fato de que q = CV pode-se obter a expressão da voltagem entre as placas do capacitor: RC t obc eVv − = (Eq.07) Circuito R-C descarregando um capacitor Expressão da variação da carga Circuito R-C descarregando um capacitor Expressão da variação da corrente Circuito R-C descarregando um capacitor Expressão da variação da ddp 0,368Vov A figura mostra a representação gráfica da variação da tensão nas placas do capacitor durante a descarga. A tensão tende para zero num tempo suficientemente grande ( para t = 10 RC a tensão assume um valor aproximado de 0,000045Vo. Para t = RC a ddp atinge 1/e do valor da tensão inicial, ou seja 36,8% de Vo. Vo RC é o tempo para que a ddp no capacitor atinja 36,8% do seu valor inicial
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