Lista de Exercícios - Sistemas Lineares - ENEM e Vestibulares

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LISTA DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA – SISTEMAS 
LINEARES 
 
1. (Espcex (Aman) 2020) A condição para que o sistema {
𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
, 𝑎 ∈ ℝ, tenha solução 
única é 
a) 𝑎 ≠ 1. 
b) 𝑎 ≠ −1. 
c) 𝑎 ≠ 2. 
d) 𝑎 ≠ −2. 
e) 𝑎 ≠ 0. 
 
2. (Fuvest 2020) Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os destinos: 
Lisboa, Paris e Roma. Sabe‐se que o número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do 
número de passagens vendidas para os outros dois destinos conjuntamente. Sabe‐se também 
que, para Roma, foram vendidas duas passagens a mais que a metade das vendidas para 
Lisboa. Qual foi o total de passagens vendidas, conjuntamente, para Paris e Roma? 
a) 26 
b) 38 
c) 42 
d) 62 
e) 68 
 
3. (Enem PPL 2018) Visando atingir metas econômicas previamente estabelecidas, é comum 
no final do mês algumas lojas colocarem certos produtos em promoção. Uma determinada loja 
de departamentos colocou em oferta os seguintes produtos: televisão, sofá e estante. Na 
compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria 𝑅$ 3.800,00. Se ele levasse o sofá mais a 
estante, pagaria 𝑅$ 3.400,00. A televisão mais a estante sairiam por 𝑅$ 4.200,00. Um cliente 
resolveu levar duas televisões e um sofá que estavam na promoção, conseguindo ainda mais 
5% de desconto pelo pagamento à vista. 
 
O valor total, em real, pago pelo cliente foi de 
a) 3.610,00. 
b) 5.035,00. 
c) 5.415,00. 
d) 5.795,00. 
e) 6.100,00. 
 
4. (Unicamp 2018) Sabendo que 𝑘 é um número real, considere o sistema linear nas variáveis 
reais 𝑥 e 𝑦, 
 
{
𝑥 + 𝑘𝑦 = 1,
𝑥 + 𝑦 = 𝑘.
 
 
É correto afirmar que esse sistema 
a) tem solução para todo 𝑘. 
b) não tem solução única para nenhum 𝑘. 
c) não tem solução se 𝑘 = 1. 
d) tem infinitas soluções se 𝑘 ≠ 1. 
 
 
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5. (Ufjf-pism 3 2018) Considere o seguinte sistema: 
 
{
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 − 4𝑦 = 0
 
 
É CORRETO afirmar que: 
a) O sistema é possível e indeterminado. 
b) 𝑥 = 4,  𝑦 = 1 e 𝑧 = 0 é a única solução do sistema. 
c) 𝑥 = −4,  𝑦 = 1 e 𝑧 = 1 é a única solução do sistema. 
d) O sistema é impossível. 
e) 𝑥 = 0,  𝑦 = 0 e 𝑧 = 0 é a única solução do sistema. 
 
6. (Espcex (Aman) 2017) Considere o sistema linear homogêneo {
𝑥 − 3𝑦 + 𝑘𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 0
𝑘𝑥 + 𝑦 = 0
, onde 𝑘 é 
um número real. 
 
O único valor que torna o sistema, acima, possível e indeterminado, pertence ao intervalo 
a) (−4, −2] 
b) (−2,  1] 
c) (1,  2] 
d) (2,  4] 
e) (4,  6] 
 
7. (Unioeste 2017) Sobre o sistema de equações lineares {
3𝑥 + 5𝑦 = 7
3𝑥 + 𝛽𝑦 = 7
, é CORRETO afirmar 
que 
a) possui uma única solução, qualquer que seja 𝛽. 
b) possui infinitas soluções, qualquer que seja 𝛽. 
c) possui ao menos uma solução, qualquer que seja 𝛽. 
d) só tem solução se 𝛽 = 5. 
e) é impossível se 𝛽 ≠ −5. 
 
8. (Enem PPL 2017) Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua câmera duas vezes, 
somente com vídeos e fotos. Na primeira vez, conseguiu armazenar 10 minutos de vídeo e 190 
fotos. Já na segunda, foi possível realizar 15 minutos de vídeo e tirar 150 fotos. Todos os 
vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre si, assim como todas as fotos. Agora, 
essa pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória exclusivamente fotos, com a mesma 
qualidade das anteriores. 
 
Disponível em: www.techlider.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012. 
 
 
O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é 
a) 200. 
b) 209. 
c) 270. 
d) 340. 
e) 475. 
 
9. (Enem 2013) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em 
cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 
 
 
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segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa igual a 
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3
 do tempo em que a luz 
vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo 
dura Y segundos. 
 
Qual a expressão que representa a relação entre X e Y? 
a) 5X – 3Y + 15 = 0 
b) 5X – 2Y + 10 = 0 
c) 3X – 3Y + 15 = 0 
d) 3X – 2Y + 15 = 0 
e) 3X – 2Y + 10 = 0 
 
10. (Enem 2000) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada 
cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. 
O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca 
Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. 
O número esperado de carros roubados da marca Y é: 
a) 20. 
b) 30. 
c) 40. 
d) 50. 
e) 60. 
 
11. (Enem PPL 2015) Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio 
de 𝑅$20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele 
errar o alvo deverá pagar 𝑅$10,00. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um 
participante deu 80 tiros e, ao final, recebeu 𝑅$100,00. 
 
Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo? 
a) 30 
b) 36 
c) 50 
d) 60 
e) 64 
 
12. (Enem 2ª aplicação 2010) Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas para se obter 
arroz e feijão com maiores teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 
100 g de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5 mg e o de zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de 
feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias 
dos dois micronutrientes para uma pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de ferro e 
10 mg de zinco. 
 
Disponível em: http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado). 
 
Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades diárias de ferro e zinco 
ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente todos os 
micronutrientes oriundos desses alimentos. 
Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e feijão, 
respectivamente? 
a) 58 g e 456 g 
b) 200 g e 200 g 
c) 350 g e 100 g 
d) 375 g e 500 g 
e) 400 g e 89 g 
 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
O sistema é possível e determinado se, e somente se, 
|
𝑎 1 1
1 2 1
1 1 1
| ≠ 0 ⇔ 2𝑎 + 1 + 1 − 2 − 𝑎 − 1 ≠ 0 
   ⇔ 𝑎 ≠ 1. 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
Sejam ℓ,  𝑝 e 𝑟, respectivamente, o número de passagens vendidas para Lisboa, Paris e Roma. 
Logo, tem-se que 
{
𝑝 = 2(ℓ+ 𝑟)
𝑟 =
ℓ
2
+ 2
ℓ+ 𝑝 + 𝑟 = 78
∼ {
𝑝 = 2(78 − 𝑝)
2𝑟 − ℓ = 4
ℓ+ 𝑟 = 78 − 𝑝
 
   ∼ {
𝑝 = 52
2𝑟 − ℓ = 4
ℓ+ 𝑟 = 26
 
   ∼ {
𝑝 = 52
𝑟 = 10
ℓ = 16
 . 
 
A resposta é 𝑝 + 𝑟 = 52 + 10 = 62. 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Sejam 𝑡,  𝑠 e 𝑒, respectivamente, o preço de uma televisão, o preço de um sofá e o preço de 
uma estante. Logo, vem 
{
𝑡 + 𝑠 = 3800
𝑠 + 𝑒 = 3400
𝑡 + 𝑒 = 4200
⇒ {
𝑡 + 𝑠 = 3800
𝑡 − 𝑠 = 800
 
   ⇒ {
𝑡 = 2300
𝑠 = 1500
 . 
 
A resposta é 
0,95 ⋅ (2 ⋅ 2300 + 1500) = R$ 5.795,00. 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
O sistema possui solução única se, e somente se, 
1
1
≠
𝑘
1
⇔ 𝑘 ≠ 1. 
 
Por outro lado, se 𝑘 = 1 as equações do sistema serão idênticas e, portanto, o sistema terá 
mais de uma solução. 
Em consequência, o sistema tem solução para todo 𝑘. 
 
 
 
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Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
O sistema dado é homogêneo. 
Observemos o determinante da matriz dos coeficientes. 
|
1 3 1
2 −1 1
1 −4 0
| = 0, logo, o sistema é possível e indeterminado. 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Para que o sistema homogêneo seja indeterminado devemos considerar o determinante dos 
coeficientes nulo. 
 
Então: 
|
1 −3 𝑘
3 𝑘 1
𝑘 1 0
| = 0 ⇒ 𝑘3 + 1 = 0 ⇒ 𝑘3 = −1 
 
Como 𝑘 é um número real, devemos considerar 𝑘 = −1. 
 
Portanto, 𝑘 = −1 ∈ −2,  1. 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
O sistema possui uma única solução se, esomente se, 
3
3
≠
5
𝛽
⇔ 𝛽 ≠ 5. Ademais, o sistema 
possui infinitas soluções se, e somente se, 
𝛽
=
5
.
 
Finalmente, como os termos independentes das duas equações são iguais, podemos concluir 
que o sistema possui ao menos uma solução, qualquer que seja o real 
𝛽
.
 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Sejam 𝑥 a memória ocupada por um minuto de vídeo e 𝑦 a memória ocupada por uma foto. 
Logo, temos 
10𝑥 + 190𝑦 = 15𝑥 + 150𝑦 ⇔ 𝑥 = 8𝑦. 
 
Portanto, a capacidade total do disco é 10 ⋅ 8𝑦 + 190𝑦 = 270𝑦 e, assim, o resultado é 270. 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Seja 𝑍 o tempo que a luz vermelha fica acesa. Logo, temos 
 
𝑋 =
2𝑍
3
⇔ 𝑍 =
3𝑋
2
 
 
e, portanto, 
 
𝑌 = 5 + 𝑋 + 𝑍 ⇔ 𝑌 = 5 + 𝑋 +
3𝑋
2
 
 ⇔ 5𝑋 − 2𝑌 + 10 = 0. 
 
 
 
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Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
x = número de carros roubados da marca X 
y = número de carros roubados da marca Y 
 
{
𝑥 = 2𝑦
𝑥 + 𝑦 =
60
100
⋅ 150
 
2𝑦 + 𝑦 = 90 ⇔ 𝑦 = 30 
 
Portanto, o número de carros roubados da marca Y é 30. 
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
Sendo 𝑥 o número de acertos e 𝑦 o número de erros, montando um sistema de equações, tem-
se: 
{
20𝑥 − 10𝑦 = 100
𝑥 + 𝑦 = 80
 
20𝑥 − 10 ⋅ (80 − 𝑥) = 100 
20𝑥 − 800 + 10𝑥 = 100 
30𝑥 = 900 
𝑥 = 30 
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
 
Sejam 𝑎 e 𝑓, respectivamente, os números de porções de 100 gramas de arroz e de feijão que 
deverão ser ingeridas. 
De acordo com o enunciado, obtemos o sistema {
1,5𝑎 + 7𝑓 = 12,25
2𝑎 + 3𝑓 = 10
∼ {
6𝑎 + 28𝑓 = 49
−6𝑎 − 9𝑓 = −30
∼
{
𝑎 = 3,5
𝑓 = 1
. 
Portanto, as quantidades de arroz e feijão que deverão ser ingeridas são, respectivamente, 
3,5 ⋅ 100 = 350 𝑔 e 1 ⋅ 100 = 100 𝑔.