Resolução Teste 9

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TESTE 8 IPE – QS_2020 
 
1) Sobre as variáveis serem discretas ou contínuas, analise as afirmativas de I a III, 
indicando se é Verdadeiro (V) ou Falso (F). 
 
I - Termômetro analógico (de mercúrio), a variável representada nele é uma variável 
discreta, pois aceita todos os valores intermediários entre duas temperaturas a e b. 
II - Quilometragem de um corredor em uma pista circular é uma variável contínua, pois 
este valor pode assumir qualquer valor dentro do intervalo real, no caso múltiplos de π 
(pi). 
III - Número de alunos dentro de uma sala de aula só pode ser uma variável discreta, pois 
é um número inteiro racional e positivo. 
 
Assinale a alternativa que traga a sequência correta. 
 
A) V, F, F 
B) F, F, V 
C) V, F, V 
D) F, V, V 
E) F, V, F 
 
Resposta: Item D 
 
Indicação de Solução 
 
I – Afirmação Falsa, pois como a medida da temperatura do termômetro analógico (de mercúrio) é 
expresso em um intervalo entre duas temperaturas a e b, a variável representada nele é uma variável 
contínua. 
II - Afirmação Verdadeira, pois, como a quilometragem de um corredor em uma pista circular 
assume qualquer valor dentro do intervalo real, no caso múltiplos de π (pi), é uma variável contínua. 
III - Afirmação Verdadeira, pois o número de alunos dentro de uma sala de aula é um número inteiro 
racional e positivo, portanto, só pode ser uma variável discreta. 
 
2) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada 
por f(x) = {
2𝑥
5
, 𝑠𝑒 2 < 𝑥 < 3
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 . O valor do desvio padrão de X é, aproximadamente, igual 
a: 
 
A) 0,1538. 
B) 0,2867. 
C) 0,3947. 
D) 0,4000. 
E) 0,6667. 
 
Resposta: Item B 
Indicação de Solução 
𝑬(𝒙) = ∫ 𝒙 ∗
𝟐𝒙
𝟓
𝟑
𝟐
𝒅𝒙 =
𝟐
𝟓
∫ 𝒙𝟐
𝟑
𝟐
𝒅𝒙 =
𝟐
𝟓
𝒙𝟑
𝟑
∫
𝟑
𝟐
=
𝟐
𝟓
∗
𝟏
𝟑
(𝟑𝟑 − 𝟐𝟑) =
𝟐
𝟏𝟓
∗ 𝟏𝟗 =
𝟑𝟖
𝟏𝟓
= 𝟐, 𝟓𝟑𝟑𝟑 
𝑬(𝒙𝟐) = ∫ 𝒙𝟐 ∗
𝟐𝒙
𝟓
𝟑
𝟐
𝒅𝒙 =
𝟐
𝟓
∫ 𝒙𝟑
𝟑
𝟐
𝒅𝒙 =
𝟐
𝟓
𝒙𝟒
𝟒
∫
𝟑
𝟐
=
𝟐
𝟓
∗
𝟏
𝟒
(𝟑𝟒 − 𝟐𝟒) =
𝟐
𝟐𝟎
∗ 𝟔𝟓 =
𝟏𝟑𝟎
𝟐𝟎
= 𝟔, 𝟓 
VAR(X) = E(X2) – [E(X)]2 = 6,5 – [2,5333]2 = 0,082222 
DP(X) =√𝟎, 𝟎𝟖𝟐𝟐𝟐𝟐 = 0,2867. 
 
3) A função densidade de probabilidade da variável bidimensional contínua (X,Y) é dada 
por: f(x,y) = {
𝑘(1 − 𝑥)(1 − 𝑦), 𝑠𝑒 0 < 𝑥 < 1 𝑒 0 < 𝑦 < 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
. 
Qual é o valor da constante K, adequada para tornar f(x,y) uma função densidade de 
probabilidade? 
 
A) 5 
B) 4 
C) 3 
D) 2 
E) 1 
 
Resposta: Item B 
 
Indicação de solução 
 
 
 
4) Sendo X e Y duas variáveis aleatórias contínuas com função de densidade conjunta 
dada por: 
 
f(x,y) = {
1
4
(2𝑥 + 𝑦), 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
e considerando as variáveis aleatórias X e Y e a função de densidade conjunta, é correto 
afirmar que: 
 
A) g(x) = ½(x+1), se 0  x  1. 
B) h(y) = 1/4(2+y), se 0  y  2. 
C) o desvio padrão de Y é igual a 0,507. 
D) as variáveis aleatórias X e Y são independentes. 
E) O valor médio de X é igual a 7/12. 
 
Resposta: Item E 
 
Indicação de solução 
 
 
 
5) A espessura de chapas fabricadas numa indústria está uniformemente distribuída entre 
0,84 cm e 1,04 cm. De um total de 200 chapas inspecionadas, quantas excedem 1,00 cm? 
 
A) 40. 
B) 84. 
C) 100. 
D) 104. 
E) 200. 
 
Resposta: Item A 
 
 
 
6) Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme contínua com média igual a 7,5 e 
variância igual a 6,75. Nessas condições, P(X < 7) é igual a: 
 
A) 1/4. 
B) 1/9. 
C) 4/9. 
D) 9/15. 
E) 15/81. 
 
Resposta: Item C 
 
 
7) Suponha que o tempo de vida útil da lâmpada de um Scanner seja distribuído 
exponencialmente com parâmetro igual a 600 horas. Se T representa a durabilidade da 
lâmpada, não é correto afirmar que: 
 
A) P(T < 600) = 0,6321; 
B) P ( 200 < T < 600) = 0,3486; 
C) P(T > 1500) = e-2,5; 
D) P ( T < 450) = 1 - e-3/4 ; 
E) P(T > 1100) = 0,8401. 
Resposta: Item E 
 
Indicação de Solução 
 
Seja  = 600 horas 
 
P(T < 600) = 1 - e-600/600 = 1 - e-1 = 1 - 0,3679 = 0,6321. 
P ( 200 < T < 600) = P(T > 200) - P(T > 600) = e-200/600 - e-600/600 = e-1/3 - e-1 = 0,7165 - 0,3679 = 0,3486 
P(T > 1500) = e-1500/600 = e-2,5 
P ( T < 450) = 1 - e-450/600 = 1 - e-3/4 
P(T > 1100) = e-1100/600 = e-11/6 
 
8) Uma indústria produz lâmpadas do tipo I e II. Considere as seguintes variáveis 
aleatórias: X = tempo de vida das lâmpadas do tipo I em horas e Y = tempo de vida das 
lâmpadas do tipo II em horas. De um lote de 500 lâmpadas sendo 200 do tipo I e 300 do 
tipo II retira-se ao acaso uma lâmpada. Sabe-se que X tem distribuição exponencial com 
média de 5000 horas e que Y tem distribuição exponencial com média de 8000 horas. 
Nessas condições, a probabilidade da lâmpada selecionada ter duração entre 4000 e 6000 
horas é 
 
A) 0,0722 
B) 0,1105 
C) 0,1341 
D) 0,2308 
E) 0,1803 
 
Resposta: Item C 
 
Indicação de Solução 
 
P ( 4000 < T < 6000) = P(T > 4000) - P(T > 6000) = e4000/8000 - e-6000/8000 = e-0,5 - e-0,75 = 0,6065 - 0,4724 = 
0,1341