Analise Matematica - Limite e continuidade

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Profa. Ana Cristina Munaretto
Aula 3
Análise Matemática Conversa inicial
lim�	→� �	�
	��	�
���
lim�→
∑ � �� �������
Toda função contínua 
é integrável
Toda função 
derivável é contínua
Topologia da reta
Limite e continuidade
Operações, limites 
laterais e limites 
infinitos
Teorema do valor 
intermediário
Continuidade 
uniforme
Limite e continuidade
Topologia da reta
�: � → �, � � � ∪
�
� |� ∈ �
lim�→�� �	�
Fonte: Ana Cristina Munaretto
1
x
2
Pontos de acumulação e 
aderência
Fonte: Oliver Kolossoski
ba
ba
Conjuntos abertos e fechados
� � �, 
															� �																
Fonte: Ana Cristina Munaretto
Um conjunto é 
fechado se e somente 
se o seu 
complementar é 
aberto
Um conjunto 
compacto é um 
conjunto fechado e 
limitado
Um conjunto é 
fechado se e somente 
se toda sequência de 
pontos do conjunto 
converge para um 
ponto do conjunto
Limite e continuidade
Seja � um ponto de acumulação 
de � e �: � → � uma função. 
Então lim�→�� � �! se:
Dado " # �, existe $ # �
tal que � ∈ � e � % � & $
implique
� � % ! & '.
3
Limite e continuidade
Fonte: Oliver Kolossoski
2+ξ
2-ξ
-δ +δ
2+ξ
2-ξ
-δ +δ
f(x)=
x²+1
x-1
f(x)= x+1 
Exemplo
�:� → �, � � � (� )�, lim�→� �	�
 � � � � *
Dado ' # �, $ �?
� % � & $ ⇒ |� � %�	�
| & '
(� ) � % * � (� % ( �
	 ( � % � & ($
	 ∴ $ � '(
Uma função é 
contínua se, e 
somente se, para toda 
sequência 
�� → � ∈ .	�
	tem-se: � �� 	→ 		� �
Composta de funções 
contínuas é contínua
Se lim�	→��	�
 � 	/, então, 
para toda sequência 
�� 	de 0 convergindo 
a 1, vale 2 3� 	→ /.
Operações com 
limites, limites 
laterais e limites 
infinitos
lim�→��	�
 � !, lim�→�4	�
 � 5, 
então:
1.1.1.1. lim�→�� � ) 4	�
 � ! )5
2.2.2.2. lim�→�� � . 4	�
 � !.5
3.3.3.3. lim�→� � �4 � � !5 ,	se	5 : �
4
Operações com funções 
contínuas
�, 4 contínuas em 1, então:
1.1.1.1. � ) 4 é contínua em �
2.2.2.2. 2. ; é contínua em 1
3.3.3.3. �4 é contínua em 1
se 	4 � : �
Exemplos
2:� → � dada por 2 3 � 	 3� é contínua
Atividade de 
aprendizagem:
Mostre que 
	 � � � �* ) *�( ) (� ) <
é contínua
Limites laterais
� � � =�, � & ((, � > (
Fonte: Ana Cristina Munaretto
y
x
2
4
1
-1
321-1
Seja �: � ⊂ � → � uma função e �	um ponto de acumulação à 
direita de �
lim�→�� �	�
 � ! se: 
Dado @ # � existe $ # �
tal que � & �	 % � & $ ⇒
� � 	% !	 & @
Seja �: � ⊂ � → � uma função e �	um ponto de acumulação de �
lim�	→��	�
 � 	/ se, 
e somente se, os 
limites laterais
existem e são iguais
Limites infinitos
Fonte: Ana Cristina Munaretto
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-1 1 2 43
A
2
y
x
5
Teorema do valor 
intermediário
�: �, 	→ � contínua 
Se � � & B & �	 
, 
então existe C ∈ 	�, 
tal que � C � B
Fonte: Ana Cristina Munaretto
4
3
2
1
-1
-1
1 2 43 5 76
5
a
[
b
]
f(a)
f(b)
d
x
y
Aplicações
A função 2:� → �	dada por 
	 2 3 � 	 CDE	3( ) FEG�	� % F
admite pelo menos
uma raiz real
Continuidade 
uniforme
Dado @ # � existe $ # �
tal que para todos �, H ∈
.	�
 com � % H & $ vale
� � % � H & @
6
Fonte: Ana Cristina Munaretto
				
				%''
%$ $
y
x
Resultados
�:. ⊂ 	�	 → � é 
uniformemente 
contínua se e 
somente se para 
todas sequências 
�� , H� em . com 
I�J	 �� % H� � � vale 
I�J	 �	��
 	% �	H�
 � �
�:K ⊂ �	 → �,
	 K compacto. Então:
	 � é limitada,
	 � tem máx. e mín.,
	 � é unif. contínua
Fonte: Ana Cristina Munaretto
4
3
2
1
-1
-1
1 2 43 5
a
[
b
]
f(a)
f(b)
x
y
Na prática
Exercícios:
1.1.1.1. lim�	→��	�
 � 	)∞	 ⇒ lim�→� �� � � �
2.2.2.2. lim�	→��	�
 � !,	lim�	→� 	4 � � !,	 � � M N � M 4 � , ∀�
	 ⇒ lim�	→�4	�
 � !
7
3.3.3.3. lim�	→	P
 � ) ��
� � G Finalizando
Topologia da reta
Limites e 
continuidade
Operações com 
limites, limites 
laterais e infinitos
Teorema do Valor 
Intermediário 
Continuidade 
uniforme
Referências
Lima, E. L., Curso de 
Análise, vol I. Rio de 
Janeiro: IMPA, 1989
Guidorizzi, H. L., Um 
Curso de Cálculo, vol
I. Rio de Janeiro: 
Grupo Editorial 
Nacional, 1985