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MATEMÁTICA DISCRETA – RAV1
PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc. 
RAV1
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Conteúdo
 Teoria dos Conjuntos 
 Conjuntos numéricos
 Conceitos de Permutações, Arranjos e Combinações
 Teorema Binomial, Triângulo de Pascal
 Relação Binária
 Representação gráfica de uma Relação Binária
 Propriedades em uma relação binária
 Ordem parcial em um conjunto 
 Representação gráfica de uma Relação de Ordem por um diagrama
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RAV1
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos - Coleção não ordenada de objetos (denominados elementos ou membros do conjunto).
Conceitos
Pertinência – Notação:
Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é dito pertencer aquele conjunto, ou ainda, o elemento x possui o predicado P.
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RAV1
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conceitos
Se o elemento x não pertence ao conjunto, denota-se por , que também pode ser equivalente a dizer que x não está no conjunto, ou ainda que x não possui o predicado P.
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RAV1
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Como definir um conjunto?
1. Listando (ou listando parcialmente) os elementos:
Conjunto das vogais: A = {a,e,i,o,u}
2. Indicando um padrão (normalmente para conjuntos infinitos): 
P = {2, 4, 6, 8, ...}
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RAV1
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Como definir um conjunto?
3. Descrevendo uma propriedade P que caracterize o conjunto de elementos:
A={x|x é um inteiro e 3 < x < 7}
S={x|x é solução para x2 – 4 = 0}
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RAV1
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjunto Universo – Notação: U 
	Chama-se Conjunto Universo ou simplesmente Universo de uma Teoria a todos os entes que são considerados como elementos nesta Teoria.
Exemplo: em geometria, o Universo é o conjunto de todos os pontos.
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RAV1
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjunto Potencia: P(A)
	Dado um conjunto arbitrário, é possível construir novos conjuntos cujos elementos são partes do conjunto inicial. 
Sendo A um conjunto qualquer, de nota-se por P(A) o conjunto constituído por todos os subconjuntos de A, isto é:			P(A) = { X : X ⊆ A}
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RAV1
Introdução à Teoria dos Conjuntos
 Complemento:
Dado um conjunto A qualquer, 
o conjunto complementar de
 A em relação ao Universo é
formado por todos os 
elementos do Universo que não pertencem ao conjunto A.
O conjunto complementar de A será: A’ ou Ā.
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RAV1
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Finitos e Infinitos
	Podemos dizer que um conjunto é finito se for possível contar os seus elementos, ou seja, se for o conjunto vazio ou se for possível estabelecer uma correspondência entre os seus elementos.
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RAV1
Introdução à Teoria dos Conjuntos
 Operações sobre Conjuntos
• União:
A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }
Diagrama de Venn :
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RAV1
Introdução à Teoria dos Conjuntos
 Operações sobre Conjuntos
• Intersecção:
A∩B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }
Diagrama de Venn :
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
 Operações sobre Conjuntos
• Diferença:
A-B = {x | x ∈ A ou x  B }
Diagrama de Venn :
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RAV1
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Relações entre conjuntos
Continência - Notação: ⊆
Se todo o elemento de A também for elemento de B (independentemente do fato de todo o elemento de B poder ser ou não elemento de A) podemos dizer que o conjunto A está contido no conjunto B.
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RAV1
Conjunto do números Naturais - N
Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:
N = {0; 1; 2; 3; …}
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Conjunto do números Naturais - N
Subconjuntos:
N* ={1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...} - conjuntos dos números naturais positivos
Np={0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...} n  N - conjunto dos números naturais pares
Ni={1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ...} n  N- conjunto dos números naturais ímpares
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RAV1
Conjunto dos Números Inteiros – Z
Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:
Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
Introdução dos números negativos!
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Conjunto dos Números Inteiros – Z
Subconjuntos
Z+ = {0; 1; 2; 3; …} - conjunto dos inteiros não negativos
Z- = {…; -3; -2; -1; 0}- conjunto dos inteiros não positivos:
Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …} - Conjunto dos inteiros não nulos
 Z+* = {1; 2; 3; …} - Conjunto dos inteiros positivos
 Z-* = {…; -3; -2; -1} - Conjunto dos inteiros negativos
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Conjunto dos Números Racionais – Q
O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:
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RAV1
Conjunto dos Números Racionais – Q
Subconjuntos
Q* (conjunto dos números racionais não nulos), 
Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e 
Q- (conjunto dos números racionais não positivos).
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Conjunto dos Números Irracionais – I
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). 
Exemplos:
O número 0,212112111... não é dízima periódica, pois os algarismos após a vírgula não se repetem periodicamente.
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RAV1
Conjunto dos Números Reais – R
O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais:
R = {x | x é racional ou x é irracional}
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Conjunto dos Números Reais – R
Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.
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Cardinalidade de um Conjunto
Define-se a cardinalidade de um conjunto A como ao número de elementos que pertencem ao conjunto A . 
	Denotamos a cardinalidade de um conjunto A por card(A) ou o(A) , e se lê “cardinalidade de A” ou “número de elementos de A”. 
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RAV1
Princípio Fundamental da Contagem - PFC 
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas:
→ A primeira etapa pode ser realizada de p maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de q maneiras distintas. 
Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por p x q.
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Princípio Multiplicação 
Uma lanchonete oferece a seus clientes
 apenas dois tipos de sanduíches: hot dog e hambúrger. 
Como sobremesa, há três opções: 
sorvete, torta ou salada de frutas. 
Pergunta-se: quantas são as possibilidades de uma pessoa fazer uma refeição incluindo um sanduíche e uma sobremesa? 
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Princípio da casa dos Pombos
Teorema : Se n + 1 pombos voam em direção a n casas e todos os pombos entram em uma casa, haverá pelo menos uma casa com pelo menos dois pombos.		
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Princípio da casa dos pombos
Exemplo: Entre um grupo
 de 367 pessoas, pelo menos
 duas possuem o mesmo
 dia de nascimento, 
pois existem apenas 
366 possibilidades.
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ARRANJO SIMPLES
 Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados p a p, a qualquer seqüência ordenada de p elementos distintos, escolhidos entre os n existentes. 
Temos um Arranjo quando os 
agrupamentos conseguidos 
ficam diferentes ao se inverter
 a posição dos seus elementos.
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ARRANJO SIMPLES
Exemplo: Quantos números de três dígitos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, podemos formar?
	
 		
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PERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutações simples é uma técnica combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades de formação de uma fila ou seqüência em que não há repetição de elementos e todos esses elementos são utilizados no problema.
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PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:  
				
	
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PERMUTAÇÃO SIMPLES
Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra LIVRO começando com vogal?
				___ ___ ___ ___ ___
	 O ou A