Relatório - Calibração de uma bobina solenoide de Cobre

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Experimento I – Calibração de uma bobina solenoide de Cu
Fernando Henrique Carvalho de Almeida Cardoso, Bruno Brunello Vieira,
Felipe Todaka da Silva, Fábio de Oliveira e Silva Marques
Departamento de Engenharia Materiais
Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de São Paulo, Lorena - SP - Brasil
Abstract
O estudo das características de um solenoide é de extrema importância pois atualmente existem
diversas aplicações como em transformadores, sistemas de automação, máquinas de lavar, etc.
Portanto, entender as diferenças entre um solenoide ideal e um real pode ser eficaz na confecção
de projetos como os citados acima. Nesse trabalho, foi avaliado o campo magnético gerado no
interior de um solenoide de cobre. Foi possível obter os valores de medição de campo magnético
através do sensor Hall do tipo LakeShore HMMA e também com um gaussímetro da mesma
marca. Os resultados de medição foram bem discrepantes ao valor teórico esperado, porém foi
possível analisar as causas das incertezas sendo a principal delas a montagem e a disposição de
cada uma das bobinas do solenoide. Além das incertezas intrínsecas dos medidores e das fontes
de tensão e corrente.
Palavras-chave: solenoide, Hall, campo, caracterização, magnetismo.
1. Introdução
O mundo atual é repleto de dispositivos, dos
mais variados tamanhos e aplicações, que utili-
zam do magnetismo para o seu funcionamento.
Muitos desses têm também em sua construção
solenoides, que são espiras somada em for-
mato helicoidal. Dessa forma compreender o
comportamento eletromagnético dos solenoi-
des é poder desenvolver novas tecnologias e
entender e aprimorar aquelas já existentes [1].
Neste trabalho, será reportada a construção
e caracterização de um solenoide de Cu. A
parte de medições e aquisição de dados rela-
tivos ao campo magnético gerado pelo sole-
noide será realizada com um gaussímetro e um
sensor Hall. Além disso, também testando-se
eventuais consequências da utilização da ponte
H sobre o sistema.
1.1. Campos Magnéticos e Solenoides
Um solenoide é feito ao se enrolar um fio
condutor de maneira helicoidal e compacta,
visando-se um formato tubular e independente
ao final, como ilustrado pela figura 1. Em ou-
tras palavras, pode-se dizer que um solenoide
é uma concatenação de espirar. Eles têm di-
versas aplicações práticas, sobretudo em uti-
lizações valvulares em projetos de controle e
automação [2].
Preprint submitted to LOM3230 - Métodos Experimentais da Física III 4 de maio de 2021
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Figura 1: Representação de um solenoide ao longo da
condução de uma corrente I . (Fonte: extraído de [2]).
Concebido dessa forma, o solenoide, ao so-
frer passagem de corrente elétrica, possibilita a
criação de um campo magnético. Cada fio de-
senvolve o seu campo magnético circular em
torno de si e cada volta dada ao redor do eixo
principal contribui para um campo magnético
resultante, como é visto na figura 2. No inte-
rior do solenoide, portanto, esse campo é apro-
ximadamente uniforme e constante. Enquanto
isso, na região exterior aquelas contribuições
acabam se cancelando e implicam um campo
aproximadamente nulo [3].
Figura 2: Vista da seção transversal ao longo do eixo
principal do solenoide. A corrente gera um campo mag-
nético resultante. (Fonte: extraído de [3]).
Em uma única espira, o valor da contribui-
ção infinitesimal dB do campo magnético, em
um ponto qualquer sobre o eixo x — que con-
tém a origem da circunferência da espira e é
perpendicular a face anelar — será de
dB =
µ0i
4π
ds
x2 +R2
(1)
em que µ0 é a permeabilidade magnética no
vácuo, i é a corrente e R é o raio da espira [4].
Essa contribuição dB é resultante somente
da parcela do eixo x, uma vez que os eixos y e
z são perpendiculares e suas contribuições são
canceladas. Dessa forma,
dBx = cos θdB
com cos θ = R/
√
x2 +R2. Integrando-se, há
Bx =
∮
cos θdB =
∮
µ0iR
4π
√
x2 +R2
ds
x2 +R2
=
µ0iR
2
2(x2 +R2)3/2
(2)
Na origem, haverá o resultado:
Bx(x = 0) = B =
µ0i
2R
(3)
O solenoide é idealmente infinito e possui
L � R, sendo N o número de espiras e L o
comprimento do solenoide. Isto é, é formado
por um infinitas espiras. De maneira genérica,
aplicando-se a Lei de Ampère, o campo B no
interior do solenoide é∮
~B · d~s = µ0iN
L
(4)
e, portanto [5],
B =
µ0iN
L
(5)
De outra maneira, o mesmo resultado pode
ser encontrado quando consideramos que uma
espira j do solenoide, na altura xj , produz um
campo genérico. Usando o resultado obtido da
equação (2), substituindo o x pelo que se quer,
há
B(x, xj) =
µ0iR
2
2[(x− xj)2 +R2]3/2
(6)
2
Assim, integrando-se a equação (6) para as
N espiras que constituem o solenoide ao longo
do comprimento L [5], tem-se
B(x) =
∫ L/2
−L/2
µ0iR
2Ndx
2[(x− xj)2 +R2]3/2
=
µ0iNR
2
2L
[
x− xj
R2
√
(x− xj)2 +R2
]L/2
−L/2
=
µ0iN
2L
[
L/2− x√
(L/2− x)2 +R2
+
L/2 + x√
(L/2 + x)2 +R2
]
Quando consideramos o centro do sole-
noide, com x = 0, chegamos ao resultado de
B =
µ0iN
2L
[
L/2√
(L/2)2 +R2
]
(7)
para um solenoide real, em que L ≈ 2R [5].
Agora, pode-se observar que, quando o so-
lenoide possui características ideias L � 2R,
o termo entre colchetes tende a 1, levando a re-
sultado semelhante ao da equação (5). Assim
[5],
B =
µ0iN
L
1.2. Efeito Hall
Primeiramente observado pelo físico esta-
dunidense Edwin Hall (1855–1938), o efeito
que carrega seu nome relaciona corrente,
campo, força e tensão em um material capaz
de conduzir eletricidade. O efeito Hall pode
ser observado quando uma corrente elétrica é
conduzida ao longo de um condutor, que por
sua vez já está sob a influência de um campo
magnético aplicado perpendicularmente à di-
reção do fluxo de corrente. A partir desse ce-
nário, é criada uma diferença de potencial elé-
trico entre os lados do material, pois os por-
tadores de carga têm suas trajetórias defletidas
para um desses lados [4].
Figura 3: Ilustração esquemática para a elucidação do
efeito Hall. (Fonte: extraído de [4]).
Essa situação pode ser observada na figura
3, onde há um elemento condutor de espessura
t e largura d, no qual há uma corrente elétrica
I percorrendo o material na direção positiva de
x. Neste caso, segundo o sentido convencional
da corrente elétrica, cujo sentido é o oposto
ao do movimento dos elétrons, os portadores
positivos de carga (as vacâncias) se deslocam
para o sentido positivo do eixo x, enquanto os
portadores negativos (os elétrons) se movem
no sentido contrário. Ambos com velocidade
de deriva ~vd, com sentido conforme a carga do
portador. Além disso, há um vetor densidade
de fluxo magnético ~B sendo aplicado no sen-
tido positivo da direção y [4].
No caso do elétron, da interação do movi-
mento da corrente com o campo magnético
aplicado, é originada uma força de Lorentz ~FB
perpendicular tanto à direção do campo quanto
a da corrente, no sentido positivo do eixo z.
Como escrita na equação 8, a força magnética
resultante ~FB é o produto vetorial entre ~vd e
~B, o que explica o seu sentido. Dessa forma, o
elétron é defletido conforme o mesmo sentido
da força [4].
~FB = q~vd × ~B (8)
O que acontece a partir disso é um acúmulo
de portadores de carga negativos na região su-
3
perior do condutor, criando uma diferença de
potencial entre os pontos a e c. Essa diferen-
ça é a tensão de Hall ∆VH e, se medida por
um voltímetro, apresentará um valor negativo.
Analogamente, caso a maioria dos portadores
de carga do material sejam vacâncias, ocorrerá
um acúmulo de cargas positivas na região su-
perior e, consequentemente, o valor de ∆VH
será positivo. Entretanto, quando encerrada a
aplicação do campo ~B, a tensão de Hall passa
a ser nula [4].
No equilíbrio das forças magnéticas e elé-
tricas, a primeira possui módulo de qvdB, que
deve se igualar ao da segunda, qEH , onde EH
é a intensidade do campo elétrico. Fazendo-
se isso, então, há qvdB = qEH , e, logo,
EH = vdB. Consequentemente, a tensão Hall
pode ser escrita como na equação 9 [4].
∆VH = vdBd (9)
Do modelo de Drude-Lorentz, em que a ve-
locidade de deriva vd é dada pela equação10,
vd =
I
nqA
, (10)
onde A é a área da seção transversal do mate-
rial e n é a densidade de portadores, pode-se
substituir a equação 10 em (9), tornando-a a
equação 11 [4].
∆VH =
IBd
nqA
(11)
A contribuição 1/nq na tensão Hall ∆VH
é nomeada como coeficiente Hall RH , sendo
dado pela equação 12 e permite a determina-
ção da densidade dos portadores de carga [6].
RH =
1
nq
(12)
2. Materiais e Métodos
Os equipamentos e materiais que foram uti-
lizados nesse experimento estão apresentados
na tabela 1.
Tabela 1: Equipamentos utilizados
Equipamento Especificação
Fonte de corrente —
Paquímetro resolução 0, 01 mm
Ponte H —
Solenoide —
Sensor Hall LakeShore HMMA-2504-VF
Gaussímetro LakeShore 475 DSP
Fonte: a Professora.
2.1. Sensor Hall
O sensor Hall é um dispositivo semicondu-
tor capaz de detectar campos magnéticos. Sen-
sores dessa natureza são amplamente empre-
gados nas tecnologias atuais. Somente na in-
dústria automobilística, por exemplo, têm apli-
cações como sensoriamento de deslocamento,
nível de combustível, frenagem do tipo ABS e
outros [7].
O princípio de funcionamento do sensor
Hall é justamente o efeito Hall, a partir de uma
eventual geração de tensão Hall a ser quanti-
ficada por circuitos externos e, assim, serem
utilizadas na aplicação desejada [7].
Os sensores Hall apresentam uma pequena
variação na sensibilidade de leitura de acordo
com a temperatura, já que caso a densidade
de corrente aplicada no solenoide for maior
que a suportada pelo fio de cobre existirá uma
perda de energia dissipada em forma de calor
que pode afetar a medição. Sendo assim, um
sensor de temperatura é acoplado ao Sensor
Hall possibilitando a medição em tempo real
da temperatura, tal informação é repassada ao
gaussímetro que realizará uma compensação
para esse efeito, mantendo a precisão e esta-
bilidade da medição [8].
2.2. Gaussímetro
O gaussímetro nada mais é do que um dis-
positivo para medição da intensidade de um
4
campo magnético contínuo ou alternado. Para
isso, o equipamento utiliza conceitos de efeito
Hall em seu funcionamento e demais disposi-
tivos eletroeletrônicos em sua construção [9]
Os dispositivos para medição de efeito Hall
no gaussímetro geram uma resposta linear na
presença de um campo magnético, essas pe-
quenas contribuições em cada dispositivo po-
dem ser mensuradas e subtraídas do valor de
campo lido pelo equipamento, garantindo alta
precisão de medição em corrente contínua [8].
2.3. Ponte H
A ponte H é um dispositivo fundamental
para o funcionamento de diversos projetos de
automação de sistemas. De maneira geral, ela
é um circuito capaz de alterar o sentido de rota-
ção de motores de corrente contínua (DC) atra-
vés da inversão de polaridade dos seus termi-
nais a partir de um microcontrolador. Não so-
mente o funcionamento da ponte H é simples,
mas também a sua construção [10].
Figura 4: Representação esquemática de uma Ponte H.
(Fonte: extraído de [10]).
Ela consiste de 4 chaves mecânicas ou ele-
trônicas dispostas, cada uma, nas extremida-
des de um circuito em forma de H, em que
o motor DC está localizado no meio. Esse,
por sua vez, irá ser alimentado a partir do
acionamento de duas dessas chaves, diagonal-
mente opostas, tal como o esquema da figura 4.
Quando ligado, ele pode ter sentido do seu mo-
vimento alterado com o desligamento da con-
figuração atual, para o acionamento das outras
duas chaves, ocasionando uma inversão de po-
laridade instantânea [10].
2.4. Aparato experimental
De início foram feitas medições dos diâme-
tros interno e externo do carretel e o compri-
mento do mesmo, o diâmetro do fio e a resis-
tividade do cobre foram obtidos através de sua
especificação. Em seguida fez-se a montagem
do aparato experimental conectando a fonte de
corrente à ponte H, e a mesma ao solenoide. O
sensor Hall foi posicionado no interior da bo-
bina e conectado ao gaussímetro, como mos-
trado na figura 5.
Figura 5: Aparato experimental para medição do campo
H. (Fonte: vídeo-aula "Experimento I", Professora Cris-
tina.)
Os valores do campo magnético H foram
obtidos através da leitura do gaussímetro, as
quais foram realizadas variando a corrente
aplicada em 0,1 A a cada medição, sendo o
primeiro valor de corrente 0,0 A. Para cada
variação de corrente mede-se o campo mag-
nético H e depois inverte-se a chave da Ponte
H para efetuar a leitura do campo magnético
H de mesma intensidade de corrente porém no
sentido negativo.
5
Também é necessário atentar-se à tempera-
tura atingida pela bobina, já que devido a den-
sidade de corrente ser uma propriedade intrín-
seca do fio de cobre utilizado, haverá uma cor-
rente elétrica limite para realizar as medições,
sendo que após esse limite, a energia será dis-
sipada na forma de calor e a variação de campo
magnético gerado pela bobina pelo aumento
de corrente não obedecerá às condições nor-
mais para os cálculos.
3. Resultados e discussão
Para o cálculo da bobina ideal, em um pri-
meiro momento, será encontrado a quantidade
de espiras (Nideal). Para isso, inicialmente,
será utilizada a equação à seguir:
R =
ρ · l
Af
(13)
onde R, ρ, l e Af são, a resistência, a resis-
tividade, o comprimento e a área, respectiva-
mente, do fio utilizado (ver Tabela 2). Por-
tanto, de 13:
l =
Af ·R
ρ
=
πr2f ·R
ρ
⇒
⇒ l = π(0, 406)
2 · 1, 74
0, 0173
⇒ l = 52, 084m
Agora, faz-se possível o cálculo do número
de espiras para a bobina ideal através da Equa-
ção 14:
N =
l
2πRe
(14)
com Re sendo o raio efetivo do carretel, o qual
é dado pelo diâmetro efetivo De, raio externo
D e interno d (os raios externo e interno estão
na Tabela 2). Assim,
2Re = De =
D + d
2
=
Tabela 2: Dados do Experimento 1 - Bobina 4.
Tipo de dado Especificação
Resistência do fio 1,74 Ω
Diâmetro interno carretel 15, 00± 0, 01 mm
Diâmetro externo carretel 53, 50± 0, 01 mm
Comprimento do carretel 19, 30± 0, 01 mm
Diâmetro do fio AWG 20
Resistividade do cobre 0, 0173 Ω ·mm2/m
Fonte: a Professora.
=
53, 5 + 15, 0
2
= 34, 25mm
⇒ Re = 17, 125 mm
retornando em 14:
Nideal =
50, 084 · 103
2π · 17, 125
= 472
Logo, para uma bobina ideal no carretel uti-
lizado, existiriam 472 espiras. Através de tal
resultado, torna-se possível calcular o campo
magnético H ideal. Para isto, será utilizado
a Tabela 3 e a Equação 7, devido ao fato de
L ≈ 2R. Da Tabela 3, será utilizado o va-
lor médio positivo (Im+) e negativo da cor-
rente (Im−), respectivamente, para o cálculo
do campo magnético ideal positivo (H+) e ne-
gativo (H−). Portanto,
B =
µ0NI
2L
L/2√
(L/2)2 +R2e
mas,
B = µ0H
portanto,
H =
NI
2L
L/2√
(L/2)2 +R2e
(15)
6
Agora, torna-se possível calcular o campo
H . Assim,
⇒ H+ = 5, 853 kA/m
consequentemente,
⇒ H− = −5, 853 kA/m
Para se fazer possível a devida comparação
entre os cálculos acima e os resultados obtidos
experimentalmente, tem-se a seguir os dados
obtidos através do sensor Hall no que concerne
ao campo magnético gerado devido a corrente
elétrica aplicada (Tabela 3).
Tabela 3: Dados do campo magnético gerado pelo sole-
noide graças a corrente elétrica aplicada.
I(A) H(kA/m) I(A) H(kA/m)
-2,0 -18,56 0,1 0,933
-1,9 -17,68 0,2 1,95
-1,8 -16,78 0,3 2,84
-1,7 -15,78 0,4 3,76
-1,6 -14,93 0,5 4,69
-1,5 -13,98 0,6 5,66
-1,4 -13,02 0,7 6,62
-1,3 -12,08 0,8 7,53
-1,2 -11,20 0,9 8,4
-1,1 -10,24 1,0 9,33
-1,0 -9,3 1,1 10,27
-0,9 -8,36 1,2 11,22
-0,8 -7,51 1,3 12,10
-0,7 -6,59 1,4 13,04
-0,6 -5,63 1,5 13,99
-0,5 -4,66 1,6 14,96
-0,4 -3,73 1,7 15,81
-0,3 -2,81 1,8 16,80
-0,2 -1,943 1,9 17,71
-0,1 -0,95 2,0 18,58
Fonte: a Professora.
Graças a Tabela 3, fez-se possível gerar
dois gráficos (ver Figuras 6 e 7), onde existe
uma relação linear entre os parâmetros analisa-
dos (campo magnético e corrente elétrica apli-
cada), o que era esperado devido a Equação
15. Além disso, pode-se notar que existe uma
linearização dos dados nos gráficos à seguir, a
qual foi realizada para se fazer possível a com-
paração entre os cálculos ideias já realizados e
as medições feitas em laboratório.
Figura 6: Linearização do tipo y = a+bx para o campo
magnéticoH em função da corrente positiva I . (Fonte:
os Autores).
Para a Figura 6, a linearização resultou em
y = 0, 0530 + 9, 2895x, resultado esperado,
pois, ao analisar a relação entre H e I através
da Equação 15, é simples notar que o coefici-
ente linear é zero e, neste caso, a linearização
resultou em um valor muito próximo de zero
(0,0530), o que corresponde com a realidade.
Realizando a mesma análise para a Figura 7,
fez-se possível obter y = −0, 0382+9, 2824x,
o que, novamente, corresponde com a rea-
lidade pela mesma explicação. Vale ressal-
tar que, para o coeficiente linear, a unidade é
kA/m e para o coeficiente angular, mm−1.
Através da Equação 15 e a linearização rea-
lizada, torna-se possível encontrar o valor real
7
Figura 7: Linearização do tipo y = a+bx para o campo
magnético H em função da corrente negativa I . (Fonte:
os Autores).
de Nreal. Ou seja,
b =
N
2L
L/2√
(L/2)2 +R2e
(16)
para a parte positiva analisada, Nideal+ = 730.
Já para a negativa, Nideal− = 730. Pode-se
notar que, em ambos os casos, o valor encon-
trado foi o mesmo, o que revela que as lineari-
zações realizadas foram satisfatórias. Para que
a comparação seja feita de maneira completa, a
corrente média (Im = 0, 975) já utilizada para
cálculos anteriores, será utilizada novamente,
mas, para encontrar o campo magnético real
H com o auxílio da Equação 15 e os novos va-
lores encontrados de N . Logo,
Hreal+ = 9, 052 kA/m
consequentemente,
Hreal− = −9, 052 kA/m
Utilizando-se da Equação 17, faz-se possí-
vel comparar e analisar o erro entre os resul-
tados experimentais e ideais. Para facilitar em
tal análise, observe a Tabela 4, a qual traz to-
dos os erros percentuais pertinentes ao pre-
sente documento.
%E =
∣∣∣∣ Ideal− RealIdeal
∣∣∣∣ · 100% (17)
Tabela 4: Comparação entre os dados reais e ideais.
Dado analisado Erro percentual (%)
Número de espiras (N ) 54,661
Campo magnético (H) 54,656
Fonte: os Autores.
Da Tabela 4, nota-se que o erro, em am-
bos os casos, foi muito elevado. Entre os mo-
tivos para tal, o raio efetivo deve ter grande
relevância, pois, como não se fez possível a
contagem do número de espiras para a bobina
devido ao fato do grupo não poder realizar o
experimento presencialmente, considerar um
raio efetivo pode ser um problema, afinal, di-
ficilmente as espiras estariam dispostas igual-
mente. Além disso, problemas na construção
da bobina como a dificuldade de se colocar os
fios exatamente paralelos entre si até o pre-
enchimento total da mesma, podem diminuir
drasticamente o valor do campo gerado no in-
terior da bobina.
4. Conclusão
O presente documento foi importante para
se fazer possível compreender conceitos rela-
cionados ao campo magnético gerado por uma
corrente elétrica em um solenoide, bem como
a maneira correta de realizar a caracterização
do campo e, além disso, quais equipamentos
se deve utilizar.
8
Através da análise entre o campo magné-
tico ideal e o real, fez-se possível notar que
existe uma grande discrepância entre tais va-
lores, pois o erro percentual foi de 54,656%.
Consequentemente, o erro em relação ao nú-
mero de espiras real e ideal foi muito elevado
(54,661%), concordando com o resultado do
campo. Aparentemente, os principais motivos
para essa diferença entre o valor real e o ideal,
devem estar na fabricação do solenoide, tendo
em vista que é muito difícil de se conseguir
construir a bobina com todos os fios dispos-
tos exatamente pararelos, sem que um acabe
cruzando o outro e a inexperiência de quem
operou os equipamentos, interferindo na resul-
tante do campo magnético.
Referências
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http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-1117201000300012&nrm=iso
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	Introdução
	Campos Magnéticos e Solenoides
	Efeito Hall
	Materiais e Métodos
	Sensor Hall
	Gaussímetro
	Ponte H
	Aparato experimental
	Resultados e discussão
	Conclusão