Maquinas_Eletricas_I

Prévia do material em texto

MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
1
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Máquinas 
Elétricas I
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
2
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
CAPÍTULO 01
ELEMENTOS DE MÁQUINAS SIMPLES
A habilidade de um engenheiro, de um projetista, de um 
inventor, é a característica pessoal capaz de fazer com que 
a necessidade de uma aplicação seja satisfeita através de 
uma máquina. Essa máquina é a realização de uma ideia 
através de um projeto construtivo.
Para que esse projeto seja realizado em uma máquina 
é preciso que seus componentes sejam devidamente 
dimensionados, de forma a garantir seu funcionamento, 
mas que também não haja excesso de material ou de 
investimento na sua construção.
No dimensionamento dos componentes de uma máquina 
é que está a disciplina de elementos de máquinas, 
sendo responsável pelo estudo de cada componente de 
forma detalhada, indicando o tamanho, a localização, e 
a forma como serão montadas. O dimensionamento dos 
elementos de máquinas passa por várias etapas e revisões, 
de forma a garantir o dimensionamento adequado e a 
melhor opção para cada elemento.
Dentre os elementos mais comuns serão vistos:
• Roscas e Pinos;
• Cabos de Aço;
• Tambores;
• Polias;
• Ganchos;
• Suportes;
• Eixos;
• Árvores;
• Barramentos;
• Guias Lineares;
• Mancais de Deslizamento;
• Mancais de Rolamento;
• Acoplamentos;
• Correias;
• Engrenagens;
• Correntes de Transmissão.
 
Os elementos de máquinas são classificados de acordo 
com sua função, sendo divididos em elementos de 
máquina para fixação e elementos de máquinas de 
transmissão.
No dimensionamento de elementos de máquinas são 
consideradas algumas características que irão determinar 
o dimensionamento e a seleção do elemento escolhido. 
Algumas características são: Confiabilidade; Resistência; 
Utilidade; Peso; Custo.
Para a correta escolha dos elementos é preciso que o 
projetista tenha o conhecimento técnico básico para 
os cálculos de resistência e dos conceitos básicos de 
mecânica aplicada para compreender os esforços 
envolvidos nos elementos e dessa maneira determinar a 
forma, dimensões e materiais de cada elemento. Também 
é preciso as propriedades fisicas dos materiais. Também 
não se prescinde do bom senso, como em qualquer 
atividade humana, especialmente para a tomada de 
decisão de que fonte será usada e de que tipo de cálculo 
será feito, podendo ser feito com o simples uso de um 
catálogo ou uma forma mais aprofundada.
Os cuidados com os custos estão sempre presentes no 
projeto, já que um dos objetivos é também um projeto 
econômico.
Os processos de fabricação envolvidos são conhecimentos 
que serão utilizados igualmente no projeto de um 
componente ou de uma máquina.
De toda forma é necessário ter em mente que o elemento 
deve resistir aos esforços envolvidos de modo a garantir o 
bom funcionamento da máquina de uma forma segura e 
com um custo adequado.
Grandezas vetoriais e escalares
Segundo Máximo e Alvarenga (2006), toda e qualquer 
grandeza que fica completamente definida quando se 
fornece seu valor é uma grandeza Escalar. Isso acontece, 
por exemplo, quando citamos o volume de um recipiente 
ou a temperatura em um determinado ambiente.
• Direção e sentido: Fazendo a análise das se guintes 
retas, podemos tirar algumas con clusões a respeito 
de seu sentido e direção (uma em relação à outra):
Figura 1.1 - Retas. Fonte: etb®, 2016.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
3
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
• R2 não é paralela a R1;
• R2 tem direção diferente de R1;
• R3 é paralela a R1, portanto ambas têm a mesma 
direção.
Podemos concluir que toda reta parale la tem a mesma 
direção e que se duas retas possuírem qualquer inclinação 
que seja entre si, tem direções diferentes. Tendo agora 
uma direção definida, segue análise da reta:
Figura 1.2 - Dois sentidos na mesma direção. Fonte: etb®, 
2016.
Nesta reta podemos deslocar tanto de A para B, quanto 
de B para A. Portanto, podemos definir que temos dois 
sentidos possíveis nesta direção. Sendo assim, só é 
admissível concluir que se tratando de traçar sentidos 
opostos, só podemos estar falando de uma mesma 
direção. Por exemplo: se em algum momento tratarmos 
da direção horizontal, existem duas direções possíveis 
(direita e esquerda).
Os conceitos de direção e sentido são muito importantes 
quando se fala de grandezas vetoriais, pois uma grandeza 
vetorial só está plenamente definida quando informamos 
seu módulo, sentido e direção em que atua. As grandezas 
vetoriais podem estar relacionadas a:
• Deslocamento;
• Força;
• Velocidade;
• Aceleração.
Figura 1.3 - Vetor de uma força. Fonte: etb@, 2016.
Representação de uma grandeza vetorial: Considerando 
um veículo que se desloca de uma cidade A até B, sabemos 
que, por uma questão geográfica e de características da 
estrada, não há como traçar uma linha reta de uma cidade 
até outra, então dizemos que esse caminho traçado se 
trata da distância que o carro percorreu para chegar em 
seu destino, e que essa distância é uma grandeza escalar, 
pois as direções que o carro tomou para alcançá-la não 
têm importância.
Entretanto, podemos dizer que a linha reta que existe 
entre essas cidades representa o deslocamento de uma 
a outra, e essa é uma grandeza vetorial, pois precisamos 
definir uma direção e sentido para traçar essa reta de A 
até B.
Existe uma forma correta de representar uma grandeza 
vetorial e escalar. A flecha sob a letra que representa a 
grandeza indica se ela é escalar ou vetorial:
: representa o vetor (módulo, direção e sentido)
d: representa apenas o módulo do vetor
Vínculos Estruturais
Segundo Hasse (2012), vínculos estruturais são apoios 
para os elementos de construção que impedem os 
movimentos de uma estrutura. Existem três tipos 
diferentes de vínculos:
• Vínculo Simples ou Móvel:
O vínculo simples impede somente a movi mentação na 
direção normal ao plano de apoio, fornecendo assim 
uma única reação (normal ao plano de apoio), como o 
exemplo a seguir:
Figura 1.4 - Representação gráfica do vínculo simples ou 
móvel. Fonte: etb®, 2016.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
4
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
• Vínculo Duplo ou Fixo:
Impossibilita o movimento de translação em duas 
direções: na normal e paralela ao plano de apoio, 
podendo desta forma fornecer duas reações de apoio, 
como mostrado na figura a seguir referente a esse tipo 
de apoio:
Figura 1.5 - Representação gráfica do vínculo duplo ou 
fixo. Fonte: etb®, 2016.
• Engastamento:
Esse tipo de vínculo impede a translação da estrutura 
para qualquer direção, assim como a rotação, gerando um 
contramovimento, que não permite que o plano gire em 
torno de um ponto fixo, como mostra o exemplo da figura 
a seguir:
Figura 1.6 - Representação gráfica do engastamento. 
Fonte: etb®, 2016.
A partir dos tipos de vínculos conhecidos anteriormente, 
podemos montar estruturas, que podem ser de três tipos:
• Estruturas Hipostáticas: são muito instáveis, levando 
a uma estaticidade por possuírem mais incógnitas do 
que equações, sendo assim muito pouco estudadas.
• Estruturas Isostáticas: Possuem as equações 
necessárias para restringirem quaisquer movimentos 
da estrutura, ou seja, a estrutura encontra-se estática, 
ideal para o estudo das reações.
• Estruturas Hiperestáticas: Não possuem reações da 
estática suficientes para calcularem as reações nos 
apoios.
ESFORÇOS MECÂNICOS
Equilíbrio de forças e momento 
Momento
Segundo Antônio Máximo e Beatriz Alva renga (2008), 
supondo quetenhamos um pon to fixo “O” em um corpo 
rígido, aplicando uma força “F” em um ponto a uma 
distância “d” desse mesmo ponto fixo, fica claro que 
haverá rotação desse corpo em torno do ponto fixo.
Figura 1.7 - Força “F” aplicando torque em relação ao 
ponto “O”. Fonte: etb@, 2016.
Em experimentos, podemos verificar que quanto maior a 
distância entre o ponto fixo e o ponto de aplicação das 
forças ou a força aplicada, mais acentuada será a rotação do 
corpo rígido. Tendo essa situação, os físicos denominaram 
essa grandeza como torque ou momento. Para medir o 
efeito de rotação de uma força, foi descoberta a seguinte 
relação:
M = F . d
Considera-se nessa equação que o momento M de uma 
força “F’’, atuante em um corpo rígido, é igual ao módulo 
dessa força multiplicado pela distância “d” entre o ponto 
fixo de rotação e o ponto de aplicação da força.
Equílíbrio de forças
Na física clássica, o equilíbrio de forças é entendido como 
a soma de forças atuantes sobre determinado corpo em 
repouso, considerando que a resultante dessas forças tem 
módulo igual a zero. Isso significa que qualquer corpo que 
possua movimento acelerado ou não está desprovido de 
forças atuando em si, ou as mesmas se anulam, levando 
em conta o sen tido e direção em que atuam no dado 
corpo.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
5
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
A figura anterior exemplifica uma situação de equilíbrio 
de rotação pela atuação das forças F1 e F2, opostas entre 
si. A força F2 produz rotação da barra em torno do ponto 
“O’’, em contrapartida a força F1 e em direção e sentido 
oposto a F2, que tende a anular o torque pro duzido, 
mantendo assim a barra parada e em equilíbrio.
No entanto, as distâncias entre os pontos nos quais as 
forças são aplicadas são diferentes. Isso se justifica pelo 
fato de que não necessariamente as forças devem ser 
iguais para se anularem, e sim os momentos gerados 
por cada uma. Apesar da distância d1 ser menor que d2, 
certamente F1 é maior que F2. Veja o esquema:
M = F . d;
M1 = M2;
M1 = F1 .d1 e M2 = F2 . d2; 
Portanto:
F1 .d1 = F2 . d2
Segundo Máximo e Alvarenga (2008), quando um 
corpo rígido está em equilíbrio, as forças que atuam 
nele possuem módulo e di reções que devem obedecer 
as seguintes con dições: ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 e ∑M = 0, 
conside rando:
∑Fx = Somatório das forças no eixo x do pla no cartesiano
∑Fy = Somatório das forças no eixo y do pla no cartesiano
∑M = Somatório dos momentos gerados no corpo rígido
Figura 1.8 - Equilíbrio de rotação em uma barra. Fonte: 
etb®, 2016.
Figura 1.9 - Condição de Equilíbrio de um corpo rígido: 
Fl, F2, F3 e F4 se anulam segundo as regras de equilíbrio. 
Fonte: etb®, 2016.
Com o estudo dos momentos de força, foram 
possíveis vários avanços na utilização de ferramentas, 
principalmente com o princípio de alavanca, que 
determina que é possível reduzir os esforços aplicados em 
uma atividade. Um exemplo de utilização de alavancas é 
o içamento de matérias pesados, como mostra a figura a 
seguir:
Figura 1.10 - Forças em içamento de bloco. Fonte: etb®,
2016.
Como é possível observar, a força F1 utilizada pelo homem 
é menor que F2 (que representa o peso do bloco), porém 
a sustentação do bloco torna-se possível pelo fato do 
homem estar usando uma alavanca, que vai aumentar a 
distância entre o ponto fixo “O” e o ponto no qual ele aplica 
a força. Assim, o homem consegue produzir um momento 
de módulo suficiente para igualar o momento gerado pelo 
bloco, ou até mesmo superá-lo e gerar rotação na haste e 
fazer com que o bloco adquira movimento e suba.
TRAÇÃO
A tração pode ser definida como sendo a força aplicada 
sobre um corpo numa direção perpendicular à sua 
superfície de corte que provavelmente resultará em sua 
ruptura.
Figura 1.11 - Barra sujeita a forças de tração F (em 
vermelho) nas duas extremidades (na direção X). Fonte: 
etb®, 2016.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
6
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
A tração faz com que a peça tenda a se alongar no sen-
tido da força, aumentar seu comprimento e diminuir a 
área de sua seção transversal. Observe na figura a seguir 
a ten dência de alongamento do material em função da 
tração exercida:
Figura 1.12 - Alongamento em função da Tração. Fonte: 
etb®, 2016.
Como mostra a figura anterior, após aplicação das forças 
F, o comprimento L sofre variação, aumentando de 
tamanho. Em contrapartida, ocorre a redução da seção 
transversal.
Na maioria das situações, são cabos de aço, cordas e 
demais produtos semelhantes que são submetidos a 
esforços de tração. Nesse caso, segundo Domiciano 
Marques, outra forma de medir a força de tração de um 
objeto ou corpo é igualando a tração com o peso. Sob um 
corpo suspenso, atua somente a força de tração e a força 
peso.
Figura 1.13 - Forças de Tensão e Peso. . Fonte: etb®, 2016.
De acordo com a segunda Lei de Newton, temos:
FR=m.a
Como o corpo se encontra equilibrado, a aceleração 
é zero.
FR=0
T-P=O => T=P => T=m.g
Assim, concluímos que a tração é o próprio peso do corpo 
nesse caso.
Um exemplo simples de corpo submetido aos esforços de 
tração é o do cabo dos elevado res, tracionado pelo peso 
do elevador e de seus ocupantes e pelo motor e aparatos 
que o puxam ou o mantém estático em determinada 
posição.
Podemos verificar a atuação das forças de tração nos mais 
diversos tipos de construções, máquinas e ferramentas.
Existem meios de testar a resistência de um material em 
relação à tração, verificando se ele pode realmente ser 
submetido a determinado esforço e se resiste sem romper 
ou deformar ao ser submetido a um esforço. Chamados 
de Ensaios de Tração, esses testes podem ainda mensurar 
e registrar em forma de gráfico a resistência à tração de 
vários materiais.
ENSAIO DE TRAÇÃO
No ensaio de tração, submete-se um corpo de prova 
de geometria padronizada por normas a um esforço 
crescente na direção axial do corpo de prova, levando-o 
a se romper. Os esforços utilizados para realização do 
ensaio são medidos na própria máquina.
O equipamento utilizado para a realização do ensaio de 
tração possui basicamente um dispositivo de fixação 
do corpo de prova acoplado a uma máquina, dotada de 
sistema eletromecânico ou hidráulico para aplicação de 
forças crescentes de tração.
O ensaio de tração é feito em corpos de prova de dimensões 
padronizadas por normas nacionais e internacionais. 
Confira a seguir modelos comuns de corpos de prova para 
ensaio de tração.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
7
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 1.14 - Corpos de Prova. Fonte: etb@, 2016.
A capacidade do equipamento de ensaio influencia 
diretamente na escolha das dimensões do corpo de prova. 
O corpo de prova é constituído de cabeças (uma em cada 
extremidade) e parte útil.
As cabeças são utilizadas para fixar o corpo de prova no 
equipamento de ensaio. A parte útil é a secção reduzida 
do corpo de prova na qual acontece o “afinamento” do 
material até sua ruptura na parte útil serão feitas as 
diversas medições para obtenção dos resultados.
Obtém-se como resultado do ensaio a curva tensão/
deformação por meio de medições da força aplicada e da 
variação do corpo de prova.
Figura 1.15 - Curva Tensão/Deformação. Fonte: etb®, 
2016.
A tensão a é calculada dividindo a força F (ou carga 
aplicada) pela área da secção inicial da parte útil do corpo 
de prova, S0.
σ = F
 S0
A deformação ou alongamento é a variação de 
comprimento entre dois pontos do corpo de prova. 
Geralmente, é expressa em porcentagem e seu cálculo 
se dá dividindo a variação de comprimento inicial e final 
medido entre dois pontos (A€) pelo próprio comprimento 
inicial(L0).
ϵ=Δl= L-L0
 L0 L0
A avaliação dos resultados é feita pela comparação entre 
os valores das proprieda des mecânicas do material 
obtidos no ensaio de tração e os valores mínimos 
especificados pelas normas vigentes. Quando os valores 
das propriedades atenderem aos valores mínimos 
conforme determinam as normas, o material testado é 
considerado aprovado.
COMPRESSÃO
A compressão é resultado da aplicação de uma força de 
compressão a um material, resultando em uma redução 
em seu volume quando a força utilizada for suficiente. 
Sendo exatamente o contrário da tração, quando aplicada 
uma força axial, o material tende a aumentar sua seção 
transversal e reduzir seu comprimento.
Um exemplo característico de objeto submetido a esforços 
de compressão são as colunas dos prédios, que recebem, 
com a mesma direção de seu eixo, as cargas acima delas.
A compressão ocorre quando a força axial aplicada estiver 
atuando com o sentido dirigido para o interior da peça. 
Por exemplo: uma pequena chapa de aço engastada em 
uma morsa, sendo gradativamente comprimida pelos dois 
engastes, estará recebendo forças com direções opostas 
apontando para seu interior.
Quando submetemos um corpo de prova à compressão, 
nos primeiros instantes ocorrerá a deformação, período 
no qual pode haver deformação tanto da tração quanto da 
compressão, podendo o material após essa fase retornar 
à sua forma original.
No entanto, quando atinge sua tensão de escoamento, 
a peça passará a entrar em sua deformação plástica 
e o material será deformado permanentemente. A 
compressão acontece quando a peça estiver sendo 
"empurrada", ao contrário da tração, situação em que ela 
está sendo "puxada".
Os cálculos para obtenção da tensão e da deformação 
são muito parecidos com os do en saio de tração. Observe 
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
8
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
a seguir uma tabela com cálculos para obtenção desses 
cálculos.
Tabela 1.1 - Cálculos de Tensão e Deformação.
Fórmula Significado
T = F
 S
T - tensão de compressão
F - força de compressão
S - área da seção do corpo
ϵ=L0 - Lf
 L0
- deformação
Lo - Lf - variação do
comprimento do corpo
Lo - comprimento inicial do
corpo
Fonte: Adaptado de Curso Técnico de Mecânica 2005.
O ensaio de compressão possui algumas limitações. 
Ele não é muito utilizado para os metais em razão das 
dificuldades para medir as propriedades desejadas. Os 
valores possuem interpretação complexa, podendo levar 
a erros. O atrito entre o corpo de prova e as placas da 
máquina de ensaio é um problema comum, barrando a 
deformação lateral do corpo de prova. As faces superior 
e inferior do corpo de prova são revestidas com materiais 
de baixo atrito (como parafina e teflon) para minimizar ao 
máximo esse problema.
Outra questão é a possível ocorrência do encurvamento do 
corpo de prova, a flambagem, decorrente da instabilidade 
na compressão do metal dúctil. O encurvamento 
dependerá da forma como a peça for comprimida.
Figura 1.16 - Curva Tensão/Deformação. Fonte: etb®, 
2016.
Os cientistas podem utilizar máquinas para induzir a 
compressão. Esse tipo de experimento é chamado de 
ensaio de compressão, sendo utilizado para comprovar as 
características mecânicas de uma peça, descobrindo assim 
a que tensão ela sofrerá uma ruptura. Caracterizam-se 
como ensaios destrutivos, considerando que a peça fica 
normalmente inutilizada após o ensaio.
ENSAIO DE COMPRESSÃO
Quando se deseja especificar características de um 
determinado material (como resistência à compressão) 
que não se deforme facilmente e garanta boa precisão 
dimensional, deve-se recorrer ao ensaio de compressão, 
principalmente quando se trata de materiais frágeis, 
como ferro fundido, madeira, pedra e concreto. Esse 
procedimento é também recomendado para produtos 
acabados, como molas e tubos.
Figura 1.17 - Ensaio de compressão Fonte: etb®, 2016.
Nos ensaios de compressão, é necessário que sob os 
corpos de prova seja aplicada uma força axial para dentro, 
distribuída de modo uniforme em toda a seção transversal 
do corpo de prova.
O ensaio de compressão pode ser executado na máquina 
universal de ensaios com a adaptação de duas placas. É 
entre elas que o corpo de prova é apoiado e fixo para que 
haja adequada compressão do mesmo.
Um corpo submetido à compressão também sofre uma 
deformação elástica e, em seguida, uma deformação 
plástica, assim como na tração. Na fase de formação 
elástica, o corpo volta ao tamanho original quando se 
retira a carga de compressão.
Na fase de deformação plástica, o material ficará 
permanentemente deformado depois de ser descarregado. 
As figuras a seguir demonstram respectivamente os 
efeitos do ensaio de compressão deformando o material 
elasticamente e plasticamente:
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
9
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 1.18 - Deformação elástica. Fonte: Adaptado de 
Curso Técnico de Mecânica do SENAI, 2005.
Figura 1.19 - Deformação plástica. Fonte: Adaptado de 
Curso Técnico de Mecânica do SENAI, 2005.
O Ensaio de compressão é mais indicado em determinadas 
situações e para determinados materiais, tais como:
• Materiais frágeis: ferro fundido, madeira, concreto, 
etc.;
• Materiais cerâmicos: construção civil (concreto, 
tijolos, etc.);
Cerâmicos possuem maior resistência a compressão do 
que atração em até 100 vezes, sendo também utilizados 
para materiais plástico e compósitos.
No ensaio de compressão, o corpo de prova pode se 
comportar de maneira diferente, de acordo com a situação 
na qual esteja submetido. Observe a seguir algumas 
deformações características decorrentes do ensaio:
Figura 1.20 - Tipos de deformação. Fonte: do autor, adaptação etb@, 2015.
O ensaio de compressão pode ser feito em um equipamento 
universal de ensaios ou ter um equipamento específico.
CISALHAMENTO PURO
No caso de metais, podemos praticar o cisalhamento 
com tesouras, prensas de corte, dispositivos especiais ou 
simplesmente aplicando esforços que resultem em forças 
cortantes. Ao ocorrer o corte, as partes se movimentam 
paralelamente, por escorregamento e uma sobre a 
outra, separando-se. A esse fenômeno damos o nome de 
cisalhamento.
A resistência ao cisalhamento é uma característica que 
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
10
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
todo material possui, e conhecer o quanto o material 
resiste é importantíssimo para atividades como recorte 
de metais, estamparia, caldeiraria e utilização de rebites, 
pois essas atividades são bons exemplos de situações nas 
quais a força cisalhante é o esforço mais importante.
A força de cisalhamento é aplicada no plano da seção 
transversal (plano de tensão, e em resposta ao esforço de 
corte, haverá uma resistência ao cisalhamento).
Ensaio de cisalhamento - Trata-se de todo processo de 
conformação que for imposto a um material e que causará 
variações na resistência ao cisalhamento do mesmo. Por 
esse motivo é mais comum que materiais já acabados 
(como pinos, rebites, parafusos, cordões de solda, barras 
e chapas) sejam submetidos ao ensaio de cisalhamento.
Sendo assim, não faz sentido existirem normas que ditem 
diretrizes para o ensaio, pois cada empresa define o seu 
próprio procedimento e critérios de aceitação.
Na execução do ensaio (como no ensaio de tração e 
compressão), a força cisalhante que atingirá o corpo de 
prova deverá ser aplicada lentamente para não afetar os 
resultados do ensaio. Normalmente, o ensaio é realizado 
na máquina universal de ensaios, que permite a adaptação 
de alguns dispositivos dependendo do tipo de produto a 
ser ensaiado. Normalmente, são ensaiados pinos, rebitese parafusos. Vejamos o esquema representado na figura 
a seguir:
Figura 1.21 - Esquema de cisalhamento de pino. Fonte: do 
autor, adaptação etb®, 2016.
Para calcular a tensão de cisalhamento (TC) usamos a 
seguinte fórmula:
TC = F
 S
Nessa operação, a força F cortante deve ser dividida pela 
área S da seção transversal do corpo de prova.
FLEXÃO
A flexão é definida como a ação de uma ou mais forças 
atuando sob um determinado corpo, tendendo a 
deformá-lo em função da forma como esse corpo está 
apoiado, conforme observado no exemplo a seguir de 
corpos apoiados, respectivamente, sob dois e um ponto.
Figura 1.22 - Flexão em corpos. Fonte: do autor, adaptação 
etb®, 2016.
A força F que atua sob um corpo causando flexão tenderá 
a comprimir uma região desse corpo, fazendo ainda com 
que a área seja tracionada. Entre essas duas regiões, 
uma linha neutra não sofrerá alteração nenhuma de suas 
dimensões. Em materiais homogêneos, a linha neutra 
fica a igual distância das superficies externas inferior e 
superior a do corpo ensaiado.
Figura 1.23 - Flexão em corpos. Fonte: do autor, adaptação 
etb®, 2016.
A flexão e dobramento de um material são duas etapas de 
um mesmo processo, pois se durante o esforço o material 
deformar apenas elasticamente, quando ele ainda pode 
retornar às suas dimensões originais, se encontra em 
processo de flexão, e se o material deformar plasticamente, 
há a deformação permanente das dimensões do corpo. 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
11
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Esse processo tem o nome de dobramento.
Existem algumas diferenças básicas quanto a aplicação 
de ensaio de tração e de dobramento, como podemos 
observar a seguir:
• Ensaio de Flexão - materiais de alta resistência.
• Ensaio de dobramento - materiais dúcteis.
 
O ensaio de flexão e o ensaio de dobramento utilizam 
praticamente a mesma montagem, adaptada à máquina 
universal de ensaios:
Dois roletes, com diâmetros determinados em função 
do corpo de prova e que funcionam como apoios estão 
afastados entre si a uma distância preestabelecida. Um 
cutelo semicilíndrico é ajustado na parte superior da 
máquina de ensaios.
• Ensaio de dobramento: O ensaio consiste em 
dobrar um corpo de prova de eixo retilíneo e seção 
circular (maciça ou tubular), retangular ou quadrada, 
assentado em dois apoios afastados a uma distância 
especificada, de acordo com o tamanho do corpo de 
prova e por meio de um cutelo, que aplica um esforço 
perpendicular ao eixo do corpo de prova, até que seja 
atingido um ângulo desejado.
• Ensaio de flexão: É realizado em materiais frágeis 
e resistentes, como o ferro fundido, alguns aços, 
estruturas de concreto e outros materiais que em seu 
uso são submetidos a situações nas quais o principal 
esforço é o de flexão.
A diferença em relação ao ensaio de dobramento é que se 
coloca um extensômetro no centro e embaixo do corpo 
de prova para fornecer a medida de formação flecha 
correspondente à posição de flexão máxima.
Nos materiais frágeis, as flechas medidas são muito 
pequenas. Consequentemente, para determinar a tensão 
de flexão, utilizamos a carga que provoca a fratura do 
corpo de prova.
 
MOMENTO FLETOR
Aplicando um esforço próximo a um dos apoios de 
uma barra, a flexão da barra será pequena. Porém, se 
nos aproximarmos do centro da barra, a flexão vai ser 
máxima, pois estaremos na distância média entre os 
pontos de apoio, fazendo com que a tendência de girar a 
barra em torno dos pontos fixos seja máxima. O momento 
alcançará seu maior valor nesse sistema.
Figura 1.24 - Momento fletor. Fonte: do autor, adaptação etb®, 2016.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
12
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
O produto da força pela distância do ponto de aplicação 
da força ao ponto de apoio origina o que chamamos de 
momento, que no caso da flexão é o momento fletor (Mf).
Nos ensaios de flexão, a força é sempre aplicada na região 
média do corpo de prova e se distribui uniformemente 
pelo corpo. Na fórmula para calcular o momento fletor, 
considera-se a metade do valor da força e a metade 
do comprimento útil do corpo de prova. A fórmula 
matemática para calcular o momento fletor é:
Mf= F x L → Mf = FL
 2 2 4
Outro elemento é o momento de inércia da seção 
transversal. Deve-se ressaltar que as dimensões do 
material influenciam muito sua resistência à flexão. O 
exemplo a seguir auxilia a entender melhor esse conceito:
Figura 1.25 - Régua apoiada. Fonte: do autor; 
adaptação etb®, 2016.
Figura 1.26 - Régua apoiada. Fonte: do autor, 
adaptação etb®, 2016.
Existem momentos de inércia diferentes em relação à 
forma com que a régua foi apoia da. Podemos perceber isso 
quando a variação da flexão da régua no primeiro caso foi 
mui to maior do que no segundo. O momento de inércia 
(J) é calculado pelas seguintes fórmulas matemáticas:
• Corpos de seção circular:
• Corpos de seção retangular:
TORÇÃO
Diferente da compressão, da tração e do cisalhamento, 
que são esforços aplicados no sentido longitudinal ou 
transversal, a torção é um esforço aplicado no sentido de 
rotação.
Figura 1.27 - Torção em um corpo. Fonte: do 
autor, adaptação etb®, 2016.
Para obter as propriedades do material através do 
ensaio de tração, são necessários cálculos matemáticos 
complexos.
Na torção, uma parte do material está sendo tracionada e 
outra parte é comprimida. Geralmente, podemos usar os 
dados do ensaio de tração para prever o comportamento 
de um material em um ensaio de tração.
O corpo tenderá a girar no sentido da força e, como 
a outra extremidade está fixa, ele sofrerá uma torção 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
13
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
sobre seu próprio eixo. Se um certo limite de torção for 
ultrapassado, o corpo se romperá.
Momento de uma força é o produto da intensidade da 
força (F) pela distância do ponto de aplicação ao eixo do 
corpo sobre o qual a força está sendo aplicada (C).
Em linguagem matemática, o momento de uma força (Mf) 
pode ser expresso pela fórmula.
Mf = F X C
De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI), 
Figura 1.28 - Torção em um corpo. Fonte: do autor, adaptação etb®, 2016.
O ensaio de torção é bastante utilizado para verificar 
o comportamento de eixos de transmissão, barras de 
torção, partes de motor e outros sistemas sujeitos aos 
esforços de torção. É interessante, para se obter melhores 
resultados, que sejam ensaiados os próprios produtos 
acabados.
Para melhor precisão do ensaio, utilizam-se corpos de 
prova de seção circular cheia ou va zada, isso é, barras 
ou tubos. Esses últimos de vem ter um mandril interno 
para impedir ambos samentos pelas garras do aparelho 
de ensaio.
Não são somente peças com seção circular que são 
ensaiadas, pois em situações diferen ciadas são utilizadas 
peças com outras formas de seção.
Normalmente, as dimensões não são pa dronizadas, 
pois raramente se escolhe esse en saio como critério 
de qualidade de um material, a não ser em situações 
especiais, como para verificar os efeitos de vários tipos de 
tratamentos térmicos em aços, principalmente naqueles 
em que a superfície do corpo de prova ou da peça é a mais 
atingida.
a unidade de momento é o newton metro (Nm). Quando 
se trata de um es forço de torção, o momento de torção 
(ou mo mento torsor) é também chamado de torque.
Semelhante ao ensaio de tração, o ensaio de torção 
determina as seguintes propriedade do material, porém 
todos em relação ao esfor ço de tração:
• Momento máximo;
• Momento de ruptura;
• Limite de escoamento;
• Limite de proporcionalidade.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - MáquinasElétricas I
14
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
CAPÍTULO 02
MAGNETISMO
Introdução
Os gregos já sabiam, há mais de 2000 anos, que certas 
pedras da região da Magnésia (na Ásia Menor) se atraíam 
e também atraíam pedaços de ferro.
Essas pedras são conhecidas hoje como Magnetista. 
As primeiras experiências com o magnetismo 
referiam-se, principalmente, ao comportamento dos 
ímãs permanentes. Na China, observou-se durante o 
século I a.c. que um imã suspenso por um fio, alinha-se, 
aproximadamente, na direção norte-sul terrestre. Isso 
deu origem à bússola.
A bússola é simplesmente um ímã permanente em forma 
de agulha, suspenso no seu centro de gravidade e que 
pode girar livremente sobre um eixo para indicar a direção 
geográfica norte-sul. O lado da agulha que aponta para 
o norte geográfico convencionou-se a ser chamado de 
norte magnético. Não se sabe quando a bússola foi usada 
pela primeira vez na navegação, mas existem referências 
escritas sobre esse uso que datam do século XII.
Em 1260, o francês Petrus Peregrinus observou que as 
extremidades de um imã pos suem um poder maior de 
atração pelo ferro: são os polos magnéticos. Ele também 
obser vou que os polos não existem separadamente.
Em 1269, Pierre de Maricourt fez uma im portante 
descoberta ao colocar uma agulha so bre um ímã esférico 
natural em várias posições e marcou as direções de 
equilíbrio da agulha. Descobriu então que as linhas 
envolviam o ímã, da mesma forma que os meridianos 
en volviam a Terra, e passavam por dois pontos situados 
sobre as extremidades de um diâme tro da esfera.
Em virtude da analogia com os meridianos terrestres, 
esses dois pontos foram denomi nados de polos do ímã. 
Muitos observadores verificaram que, qualquer que fosse 
a forma do ímã, sempre existiam dois polos: um polo norte 
e um polo sul, no qual a força do ímã era mais intensa. 
Os polos de mesmo nome de dois ímãs repeliam-se e os 
de nome oposto atraiam-se. A figura a seguir ilustra essa 
situação observada.
Figura 2.1 - Atração e repulsão magnética. Fonte: etb®, 2016.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
15
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Em 1600, William Gilbert, fisico e médico da corte da 
rainha Elizabeth IdaInglaterra, descobriu a razão pela qual 
a agulha de uma bússola orienta-se em direções definidas: 
a própria Terra era um ímã permanente. Quando o polo 
norte da agulha da bússola é atraído para o polo norte 
geográfico, esse polo norte geográfico da Terra é, na 
realidade, um polo sul magnético.
Os polos geográficos e magnéticos da terra não coincidem 
exatamente. O ângulo entre eles é chamado de declinação 
magnética. A declinação magnética e a intensidade do 
campo magnético terrestre variam lentamente ao longo 
de milhões de anos.
A atração e a repulsão dos polos magnéticos foram 
estudadas quantitativamente em 1750 por John Michell. 
Usando uma balança de torção, Michell mostrou que a 
atração e a repulsão dos polos de dois ímãs tinham igual 
intensidade e variavam inversamente com o quadrado 
da distância entre os polos. Esses resultados foram 
confirmados pouco depois por Coulomb.
A lei da força entre dois polos magnéticos é semelhante a 
existente entre duas cargas elétricas, mas há uma diferença 
importante: os polos magnéticos ocorrem sempre aos 
pares. É impossível isolar um único polo magnético. Se 
um ímã for quebrado ao meio, aparecem polos iguais 
e opostos no ponto de fratura, de modo que se formam 
dois novos ímãs, com polos iguais e opostos. Coulomb 
explicou esse resultado, admitindo que o magnetismo 
estava contido em cada molécula do ímã.
Em 1920 foram desenvolvidos ímãs de maior capacidade 
com ligas de alnico (compostas por alumínio, níquel e 
cobalto), que retêm um magnetismo muito intenso e 
são usados na fabricação de alto-falantes, por exemplo. 
Vinte anos depois, grandes avanços foram feitos no 
desenvolvimento de ímãs cerâmicos orientados (ferrites) 
feitos com ligas de Manganês e Zinco (MnZn), níquel e 
zinco (NiZn).
No ano de 1970 foram obtidos impressionantes aumentos 
de forças magnéticas a partir de ligas de samário cobalto 
(terras raras), mas com custos elevados. Em 1980, da 
família das terras raras, os ímãs de neodímio-ferro-boro 
surgiram com capacidades magnéticas ainda maiores 
e com custos menores, porém muito sensíveis a 
temperaturas elevadas.
Hoje, o magnetismo tem importância fundamental em 
quase todos os equipamentos eletroeletrônicos mais 
usados na indústria, no comércio, nas residências e 
na pesquisa. Geradores de energia, motores elétricos, 
transformadores, disjuntores, televisores, computadores, 
videocassetes, discos rígidos de computadores 
(HDs), telefones, cartões magnéticos e muitos 
outros equipamentos usam efeitos magnéticos para 
desempenhar uma série de funções importantes. (Texto 
extraído e adaptado de: TIPLER, P. A.; Física vol. 2, 2a ed., 
Ed. Guanabara Dois, 1982).
A ORIGEM DO MAGNETISMO
O magnetismo é a expressão de uma forma de energia, 
normalmente associada a forças de atração e de repulsão 
entre alguns tipos particulares de materiais, chamados 
de ímãs. Os ímãs naturais encontrados na natureza, 
chamados de magnetitas, são compostos por óxido de 
ferro (Fe304).
Os ímãs artificiais são materiais geralmente compostos 
de metais e ligas cerâmicas, aos quais se transmitem as 
propriedades magnéticas e que podem ser temporários 
ou permanentes. Os temporários são fabricados com 
ferro doce (mais puro), e os permanentes são produzidos 
com ligas de aço (ferro e carbono), geralmente contendo 
níquel ou cobalto.
Não é ainda completamente conhecida a natureza das 
forças magnéticas de atração e repulsão, embora 
conheçamos as leis que orientam suas ações e como 
utilizá-las.
Assim como qualquer forma de energia, o magnetismo 
é originado na estrutura física da matéria, ou seja, no 
átomo. O elétron gira sobre seu eixo (spin eletrônico) e ao 
redor do núcleo de um átomo (rotação orbital).
 
Na maioria dos materiais, a combinação entre direção e 
sentido dos efeitos magnéticos gerados pelos seus elétrons 
tem um resultado nulo, originando uma compensação e 
produzindo um átomo magneticamente neutro.
No entanto, pode acontecer uma resultante magnética 
quando uma quantidade de elétrons gira em um sentido 
e um número menor de elétrons giram em outro. É o caso 
do átomo de ferro. Embora exista, de fato, um movimento 
de cargas elétricas em nível atômico, a corrente elétrica 
(fluxo ordenado de elétrons) não está presente nos ímãs. 
Não devemos confundir esses dois fenômenos.
Figura 2.2 - Movimentos dos elétrons no 
átomo. Fonte: etb®, 2016.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
16
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Assim, muitos dos elétrons dos átomos dos ímãs, girando 
ao redor de seus núcleos em direções determinadas e 
em torno de seus próprios eixos, produzem um efeito 
magnético em uma mesma direção. Resulta, então, 
na expressão magnética externa. Essa expressão é 
conhecida como campo magnético permanente e é 
representado pelas linhas de campo, como será estudado 
posteriormente.
Figura 2.3 - Átomo de ferro magnetizado. 
Fonte: etb®,2016.
Teoria de Weber
Em 1260, o francês Petrus Peregrinus observou que os 
polos de um imã não existem separadamente. Cortando-se 
um imã em duas partes iguais, que por sua vez podem ser 
divididas novamente em outras, observa-se que cada uma 
dessas partes constitui um novo imã que, embora menor, 
tem sempre dois polos.
É possível continuar esse processo de divisão, até que 
chega-se a um ponto em que encontra-se o átomo ou 
molécula do material de que ele é feito. Cada átomo ou 
molécula do imã possui propriedades magnéticas devido 
à orientação dosseus spins. Esses átomos ou moléculas 
reúnem-se em pequenos conjuntos de mesma orientação, 
denominados imãs elementares.
A teoria mais popular do magnetismo considera este 
alinhamento atômico ou molecular do material. Isso é 
conhecido como teoria de Weber. Esta teoria assume que 
toda substância magnética é composta de ímãs muito 
pequenos, chamados de ímãs elementares.
Qualquer material não magnetizado tem as forças 
magnéticas de seus ímãs elementares neutralizados pelos 
ímãs elementares adjacentes, eliminando assim algum 
efeito magnético possível.
Figura 2.4 - Inseparabilidae dos polos de um 
imã (a) e outro imã elementar (b). Fonte: etb®, 
2016.
Um material magnetizado terá a maioria de seus ímãs 
elementares organizados em fileiras, com o polo norte de 
cada átomo ou molécula apontando em uma direção e 
a face do polo sul em direção oposta. Um material com 
átomos ou moléculas alinhadas dessa maneira terá polos 
magnéticos efetivos.
 
Uma ilustração da teoria de Weber é mostrada na figura a 
seguir, na qual uma barra de ferro é magnetizada quando 
submetida a um campo magnético externo, resultando no 
alinhamento de seus ímãs elementares.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
17
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 2.5 - Barra de ferro sendo magnetizada. 
Fonte: etb®, 2016.
Um material apresenta propriedades magnéticas quando 
há uma predominância de imãs elementares orientados 
sobre os não orientados. Assim, genericamente, pode-se 
dizer que:
• Materiais magnéticos: são aqueles que permitem a 
orientação dos seus imãs elementares. Exemplos: 
ferro, níquel e algumas ligas metálicas, como o aço.
• Materiais não-magnéticos: não permitem a orientação 
dos seus imãs elementares. Exemplos: alumínio, 
madeira e plástico.
Teoria dos domínios magnéticos
Nos materiais com melhores características magnéticas de 
estrutura cristalina, além de alguns átomos apresentarem 
resultante magnética, eles se concentram em regiões 
de mesma direção magnética. Isso é chamado de 
acoplamento de troca.
 
Isso significa que um exame microscópico revela que um 
imã é, na verdade, composto por pequenas regiões, na 
sua maioria com 1mm de largura ou comprimento, que 
se comportam como um pequeno ímã independente com 
os seus dois polos. Essas regiões são conhecidas como 
domínios magnéticos. Num material desmagnetizado, 
os domínios estão desalinhados, ou seja, estão numa 
disposição aleatória. Os efeitos de um domínio cancelam o 
de outro e o material não apresenta um efeito magnético 
resultante.
Quando submetidos a campos magnéticos externos 
(aproximação de um ímã, por exemplo), esses materiais 
têm a maioria de seus domínios alinhados ao campo 
externo.
Na verdade, existe um aumento daqueles domínios que 
se encontravam inicialmente em direções próximas à 
direção do campo em detrimento daqueles domínios que 
apresentavam direções opostas, com a diminuição de 
tamanho desses últimos.
CAMPO MAGNÉTICO
Campo magnético é a região ao redor de um imã na qual 
ocorre um efeito magnético. Esse efeito é percebido pela 
ação de uma força magnética de atração ou de repulsão. O 
campo magnético pode ser definido pela medida da força 
que o campo exerce sobre o movimento das partículas de 
carga, tal como um elétron.
A representação visual do campo magnético é feita através 
de linhas de campo magnético, também conhecidas por 
linhas de indução magnética ou ainda por linhas de fluxo 
magnético, que são linhas envoltórias imaginárias. As 
linhas de campo magnético são linhas fechadas que saem 
do polo norte e entram no polo sul.
A figura a seguir mostra as linhas de campo representando 
visualmente o campo magnético. Na imagem seguinte, as 
linhas de campo são visualizadas com limalha de ferro 
sobre um vidro.
Figura 2.6 - Representação das linhas de fluxo 
magnético de um ímã. Seu fluxo é sempre do 
polo norte para o paio sul, como indicam as 
setas. Fonte: do autor, adaptação etb®, 2016.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
18
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 2.7 - Na figura podem ser observadas 
as limalhas de ferro sobre uma falha. Elas se 
posicionaram conforme o campo magnético do 
ímã, posto na versa na falha.Fonte: Publicado 
por Windell Oskay, "Magnetic Fields-11", 
20101 Ftickr®, sob a licença Creative Commons 
Attribution 2.0 Generlc. link da página: ftickr.
com/phatos/oskay/4581190922. Acesso em: 
25/02/2016.
As características das linhas de campo magnético são:
• São sempre linhas fechadas: saem e voltam a um 
mesmo ponto;
• As linhas nunca se cruzam;
• Fora do ímã, as linhas saem do polo norte e se dirigem 
ao polo sul;
• Dentro do ímã, as linhas são orientadas do polo sul 
para o polo norte;
• Saem e entram na direção perpendicular às superfícies 
dos polos;
• Nos polos, a concentração das linhas é maior: quanto 
maior concentração de linhas, mais intenso será o 
campo magnético numa dada região;
Uma verificação das propriedades das linhas de campo 
magnético é a chamada inclinação magnética da bússola. 
Nas proximidades da linha do equador, as linhas de campo 
são praticamente paralelas à superfície.
Na medida que nos aproximamos dos polos, as linhas vão 
se inclinando até se tornarem praticamente verticais na 
região polar. Assim, a agulha de uma bússola acompanha 
a inclinação dessas linhas de campo magnético e pode -se 
verificar que na região polar a agulha da bússola tenderá 
a ficar praticamente na posi ção vertical.
Se dois polos diferentes de ímãs são aproximados, haverá 
uma força de atração entre eles e as linhas de campo 
se concentrarão nessa região, e seus trajetos serão 
completados através dos dois ímãs. Se dois polos iguais 
são aproximados, haverá uma força de repulsão e as linhas 
de campo divergirão, ou seja, serão distorcidas e haverá 
uma região entre os ímãs na qual o campo magnético será 
nulo.
No caso de um imã em forma de ferradura, as linhas 
de campo entre as superficies paralelas dispõem-se 
praticamente paralelas, originando um campo magnético 
uniforme. No campo magnético uniforme, todas as linhas 
de campo têm a mesma direção e sentido em qualquer 
ponto. Na prática, dificilmente encontra-se um campo 
magnético perfeitamente uniforme. Entre dois polos 
planos e paralelos, o campo é praticamente uniforme 
se a área dos polos for maior que a distância entre eles. 
Nas bordas de um elemento magnético existem sempre 
algumas linhas de campo que não são paralelas às outras. 
Essas distorções são chamadas de "espraiamento", como 
mostra a figura a seguir.
Figura 2.8 - Espraiamento de linhas num 
campo magnético praticamente uniforme. 
Fonte: etb®, 2016.
Densidade de campo magnético ou densidade de fluxo 
magnético
O fluxo magnético, simbolizado por φ, é definido como 
o conjunto de todas as linhas de campo que atingem 
perpendicularmente uma dada área, como mostra a 
figura a seguir. A unidade de fluxo magnético é o weber 
(Wb). Um weber corresponde a 1 x 108 linhas do campo 
magnético [Giancoli].
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
19
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 2.9 - Fluxo magnético - quantidade de 
linhas de campo numa área. Fonte: etb®, 2016.
A densidade de campo magnético (também conhecida 
como densidade de fluxo magnético ou simplesmente 
campo magnético) é uma grandeza vetorial representada 
pela letra B, cuja unidade é o Teslal (T) e é determinada 
pela relação entre o fluxo magnético ϕ e a área de 
uma dada superfície perpendicular à direção do fluxo 
magnético. Assim:
B = φ
 A
Considerando:
B - Densidade de campo magnético ou densidade de fluxo 
magnético, tesla (T);
φ- fluxo magnético, em Weber (Wb);
A - área da seção perpendicular ao fluxo magnético,expressa em m2.
A partir dessa equação, podemos verificar que 
1T = 1Wb/m2.
A direção do vetor densidade de campo magnético B 
é sempre tangente às linhas de campo magnético em 
qualquer ponto, como mostra a figura a seguir. O sentido 
do vetor densidade de campo magnético é sempre o 
mesmo das linhas de campo.
O número de linhas de campo magnético que atravessam 
uma dada superfície perpendicular por unidade de área é 
proporcional ao módulo do vetor B na região considerada. 
Assim sendo, nos locais em que as linhas de indução estão 
muito próximas umas das outras, B terá alto valor. Caso as 
linhas estiverem muito separadas, B será pequeno.
Observação: se as linhas de campo não forem 
perpendiculares à superfície considerada, devemos 
tomar a compo nente perpendicular,como será estuda 
do posteriormente.
Figura 2.10 - Vetor densidade de campo 
magnético tengente às linhas de campo. fonte: 
etb@, 2016.
Nikola Tesla (1856-1943) foi um inventor e engenheiro 
eletricista croata-americano que desenvolveu o motor de 
corrente alternada e vários outros inventos, entre os quais 
a Bobina de Tesla, indutores, transformadores, sistemas 
polífásicos e sistemas de iluminação.
No interior de um ímã, as linhas de campo encontram-se 
mais concentradas e, portanto, a intensidade do campo 
magnético é elevada. Há, portanto, alta densidade de 
fluxo magnético.
Externamente ao ímã, as linhas de campo encontram-se 
mais dispersas ao longo dos caminhos entre os polos, 
como mostra claramente a figura. Podemos concluir que 
a intensidade do campo magnético nessa região é menor, 
ou seja, há menor densidade de fluxo magnético.
No entanto, percebemos que o número de linhas de campo 
no interior do ímã e no exterior é exatamente o mesmo, 
já que são linhas fechadas. Assim, o fluxo magnético no 
interior e no exterior de um ímã é exatamente o mesmo, 
porém percebemos que a densidade de fluxo magnético 
é maior no interior do ímã que no exterior, pois o mesmo 
número de linhas está concentrado numa área menor.
A densidade de fluxo magnético também pode ser medida 
em Gauss, no sistema CGS: 1T=104 Gauss.
B = dφ
 dA
dφ = B x dA
ʃ dφ = ʅ B x dA
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
20
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
INDUÇÃO MAGNÉTICA - IMANTAÇÃO
Indução magnética é o fenômeno de imantação de um 
material provocado pela proximidade de um campo 
Figura 2.11- Este é um processo típico de Imantação, onde o ímã está em contato com o 
primeiro clips e este passa a possuir propriedades magnéticas passando de um para o outro. 
Fonte: Publicado por Waifer X, "20100325499", 2010, Flickr®, sob a licença Creative Commons 
Attribution 2.0 Generic. Link da página: flickr.com/photos/walferx/4463902740. Acesso em: 
25/02/2016.
Quando o ferro encontra-se próximo de um imã, o campo 
magnético faz com que a barra de ferro se transforme 
temporariamente em um imã. Isso acontece porque na 
presença de um campo magnetizante (ou campo indutor) 
os domínios magnéticos do ferro, que normalmente estão 
orientados em todas as direções ao longo da barra, ficam 
orientados em uma direção predominante, como num 
imã.
Quando afastamos o ímã indutor, a maioria dos domínios 
magnéticos do ferro volta ao estado de orientação 
desorganizada, fazendo com que o material praticamente 
perca as suas propriedades magnéticas. Materiais com 
esse comportamento, como o ferro puro, são chamados 
de materiais magneticamente moles.
Os materiais nos quais os domínios magnéticos não perdem 
a orientação obtida com a aproximação de um campo 
magnético são chamados de materiais magneticamente 
duros, como o aço e o ferrite. Isso acontece porque 
nessas ligas os átomos de ferro, uma vez orientados sob 
a ação do campo magnético, são impedidos de voltar à 
sua orientação inicial pelos átomos do outro do material 
da liga, permanecendo magnetizados. É assim que são 
fabricados os ímãs permanentes.
Porém, aquecendo-se uma barra de ferro sob a ação de 
um campo magnético acima de uma certa temperatura, 
no caso 770ºC, ela deixa de ser atraída pelo imã. Essa 
temperatura é denominada ponto Curie. Isso acontece 
pois o aquecimento provoca uma agitação nos átomos de 
ferro, de tal maneira que eles se desorganizam e a barra 
de ferro perde as suas propriedades magnéticas. Quando 
a barra de ferro é esfriada, ela novamente será atraída 
pelo imã.
magnético. Como pode-se observar na figura a seguir, 
o ímã induz magneticamente (imanta) os pregos, que 
sucessivamente imantam uns aos outros e atraem-se.
Figura 2.12 - Saturação magnética. Fonte: etb®, 2016.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
21
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Um material também pode perder suas propriedades 
magnéticas quando submetido a choques mecânicos que 
propiciem a desorien tação dos seus átomos.
É possível que um material tenha seus átomos orientados 
até um determinado limite. O efeito devido à limitação 
na orientação e alinhamento dos átomos do material, 
mesmo sob a ação de campos magnéticos intensos, é 
chamado de saturação magnética.
Classificação das substãncias quanto ao comportamento 
magnético
As substâncias são classificadas em quatro grupos quanto 
ao seu comportamento magnético: ferromagnéticas, 
paramagnéticas, diamagnéticas e ferrimagnéticas.
Substâncias ferromagnéticas:
Seus ímãs elementares sofrem grande influência do campo 
magnético indutor. Assim, eles ficam majoritariamente 
orientados no mesmo sentido do campo magnético 
aplicado e são fortemente atraídos por um ímã. Exemplos: 
ferro, aços especiais, cobalto, níquel, algumas ligas (alloys) 
como Alnico e Permalloy, entre outros.
Substâncias paramagnéticas:
Seus ímãs elementares ficam fracamente orientados no 
mesmo sentido do campo magnético indutor. Surge, então, 
uma força de atração fraca entre o imã e a substância 
paramagnética. Exemplos: alumínio, manganês, estanho, 
cromo, platina, paládio, oxigênio líquido, etc.
Substâncias diamagnéticas:
As substâncias diamagnéticas são aquelas que, quando 
colocadas próximas a um campo magnético indutor 
proveniente de um imã, fazem com que os ímãs 
elementares sofrem uma pequena influência, de modo 
que eles ficam fracamente orientados em sentido 
contrário ao campo externo aplicado. Surge então entre 
o imã e a substância diamagnética uma força de repulsão 
fraca. Exemplos: cobre, água, mercúrio, ouro, prata, 
bismuto, antimônio, zinco, etc.
Substâncias ferrimagnéticas:
O ferrimagnetismo permanente ocorre em sólidos cujos 
campos magnéticos associados com átomos individuais 
se alinham espontaneamente, alguns de forma paralela, 
ou na mesma direção (como no ferrimagnetismo) e 
outros geralmente antiparalelos, ou ainda emparelhados 
em direções opostas, como ilustra a próxima figura. 
O comportamento magnético de cristais de materiais 
ferrimagnéticos pode ser atribuído ao alinhamento 
paralelo; o efeito desses átomos no arranjo antiparalelo 
mantém a força magnética desses materiais geralmente 
menor do que a de sólidos puramente ferromagnéticos 
como o ferro puro.
O ferrimagnetismo ocorre principalmente em óxidos 
magnéticos conhecidos como ferrítas. O alinhamento 
espontâneo que produz o ferrimagnetismo também é 
completamente rompido acima da temperatura de Curie, 
característico dos materiais ferromagnéticos. Quando a 
temperatura do material está abaixo do ponto Curie, o 
ferrimagnetismo aparece novamente.
Se um material não magnético como vidro ou cobre 
for colocado na região das linhas de campo de um ímã, 
haverá uma imperceptível alteração na distribuição das 
linhas de campo.
Entretanto, caso um material magnético, como o ferro, 
for colocado na região das linhas de campo de um ímã, 
elas passarão através do ferro em vez de se distribuírem 
no ar ao seu redor porque elas se concentram com maior 
facilidadenos materiais magnéticos.
Este princípio é usado na blindagem magnética de 
elementos e instrumentos elétricos sensíveis e que podem 
ser afetados pelo campo magnético. A figura mostra um 
exemplo de blindagem magnética, pois as linhas de campo 
ficam concentradas na carcaça metálica não atingindo o 
instrumento no seu interior.
Portanto, um material na proximidade de um ímã pode 
alterar a distribuição das linhas de campo magnético. Se 
diferentes materiais com as mesmas dimensões físicas são 
usados, a intensidade com que as linhas são concentradas 
varia. Essa variação se deve a uma grandeza associada aos 
materiais chamada permeabilidade magnética (µ).
A permeabilidade magnética de um material é uma 
medida da facilidade com que as linhas de campo podem 
atravessar um dado material. Podemos entender a 
permeabilidade magnética como um conceito similar ao 
con ceito da condutividade elétrica dos materiais.
 
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
22
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 2.13 - A imagem ilustra a situação em que dois 
materiais, um ferromagnético e outro diamagnético, 
são submetidos a um campo magnético o material 
ferromagnético atrai as linhas de fluxo do campo para sua 
estrutura, já o material diamagnético não causa nenhuma 
alteração. Fonte: do autor, adaptação etb®, 2016.
A unidade de permeabilidade também pode ser expressa 
por Tesla-metro por Ampère (Tm/A) ou ainda Henry por 
metro (H/m). As sim: H=Wb/A.
A permeabilidade magnética de todos os materiais não 
magnéticos, como o cobre, alumínio, madeira, vidro e ar 
é aproximadamente igual à permeabilidade magnética do 
vácuo.
Os materiais que têm a permeabilidade um pouco inferior 
à do vácuo recebem o nome de materiais diamagnéticos. 
Aqueles que têm a permeabilidade um pouco maior que 
a do vácuo são chamados de materiais paramagnéticos. 
Materiais magnéticos como o ferro, níquel, aço, cobalto 
e ligas desses materiais (alloys) têm permeabilidade 
centenas e até milhares de vezes maiores que a do 
vácuo. Esses materiais são conhecidos como materiais 
ferromagnéticos.
A relação entre a permeabilidade de um dado material e 
a permeabilidade do vácuo é chamada de permeabilidade 
relativa, obtida a partir da seguinte fórmula:
Considerando:
• µr - permeabilidade relativa de um material 
(adimensional);
• µm - permeabilidade de um dado material;
• µo - permeabilidade do vácuo.
Geralmente, µr 2: 100 para os materiais ferromagnéticos, 
valendo entre 2.000 e 6.000 nos materiais de máquinas 
elétricas e podendo chegar até a 100.000 em materiais 
especiais. Para os não-magnéticos, µr é = 1.
A tabela a mostra uma relação simplifica da dos valores 
de permeabilidade relativa dos materiais, e a tabela b 
apresenta valores de permeabilidade magnética relativa 
para alguns materiais ferromagnéticos utilizados em 
dispo sitivos eletroeletrônicos.
Observação: devemos ter em men te que a 
permeabilidade de um mate rial ferromagnético não é 
constante e que seu valor depende da densidade de 
campo magnético ao qual está submeti do. Esse assunto 
será estudado no item sobre curvas de magnetização.
Tabela 2.1- Materiais quanto a permeabilidade 
relativa
Permeabilidade 
relativa(µr)
 Tipo de Material
>>1 Ferromagnéticos
≈1 Paramagnéticos
<1 Diamagnéticos
Fonte: do autor, 2016.
Tabela 2.1- Permeabilidade relativa de materiais 
ferromagnéticos
Tipo de Material Permeabilidade 
relativa(µr)
Ferro comercial 9.000
Ferro purificado 200.000
Ferro silicio 55.000
Permalloy 1x106
Supermalloy
Permendur
Ferrite
Fonte: do autor, 2016.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
23
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Relutância magnética
A relutância magnética é uma medida da oposição que 
um meio oferece ao estabele cimento e concentração das 
linhas de campo magnético. A relutância magnética é 
determi nada pela seguinte equação:
Considerando:
 - relutância magnética, em reis ou Ae/Wb (Amperes-
espiras por Weber);
l - comprimento médio do caminho magné tico das linhas 
de campo no meio, m;
µ - permeabilidade magnética do meio 
A unidade Amperes-espiras está associada ao número 
de espiras de uma bobina eletro magnética. Esse assunto 
será estudado poste riormente.
A relutância magnética é uma grandeza análoga à 
resistência elétrica que pode ser de terminada pela 
seguinte equação que relaciona a resistividade e as 
dimensões de um material:
Podemos notar que a resistência elétrica R e a relutância 
magnética R são inversamente proporcionais à área A, ou 
seja, quanto maior a área, menor será a resistência ao 
fluxo de cargas elétricas e ao fluxo de linhas de campo.
Essas grandezas são diretamente proporcionais ao 
comprimento l do material. Entretanto a relutância é 
inversamente proporcional à permeabilidade magnética, 
enquanto a resistência é diretamente proporcional à 
resistividade elétrica p.
Materiais com alta permeabilidade, como os 
ferromagnéticos, têm relutâncias muito baixas e, 
portanto, proporcionam grande concentração das linhas 
de campo magnético.
Quando dois materiais de permeabilidades diferentes 
apresentam-se como caminho magnético para as linhas do 
campo, elas se dirigem para o de maior permeabilidade.
Isso é chamado de princípio da relutância mínima. Esse 
princípio pode ser aplicado quando se necessita uma 
blindagem magnética, ou seja, liberar um dispositivo das 
influências magnéticas.
Na próxima imagem podemos perceber que o ferro, 
de alta permeabilidade, represen ta um caminho 
magnético de menor relutância para as linhas de campo, 
concentrando-as. Já o vidro, de baixa permeabilidade, não 
propor ciona grande concentração das linhas de cam po. 
Isso representa um caminho magnético de alta relutância.
Figura 2.14- Caminhos magnéticos de alta e baixa 
relutância. Fonte: etb®, 2016.
ELETROMAGNETISMO
Descobertas de Oersted
Até o início do século XIX, acreditava-se que não existia 
relação entre os fenômenos elétricos e magnéticos. Em 
1820, o professor e físico dinamarquês chamado Hans 
Christian Oersted observou que uma corrente elétrica era 
capaz de alterar a direção de uma agulha magnética de 
uma bússola.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
24
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 2.15 - A imagem ilustra a situação em que dois 
materiais, um ferromagnético e outro diamagnético, 
são submetidos a um campo magnético. O material 
ferromagnético atrai as linhas de fluxo do campo para sua 
estrutura, já o material diamagnético não causa nenhuma 
alteração. Fonte: etb®, 2016.
Quando havia corrente elétrica no fio, Oersted verificou 
que a agulha magnética movia-se, orientando-se numa 
direção perpendicular ao fio, evidenciando a presença 
de um campo magnético produzido pela corrente, como 
mos tra a figura anterior. Esse campo originava uma força 
magnética capaz de mudar a orientação da bússola.
A esse campo magnético de origem elétrica chamamos de 
campo eletromagnético. Interrompendo-se a corrente, a 
agulha retornava a sua posição inicial ao longo da direção 
norte-sul. Observou-se, então, a existência de uma relação 
entre a eletricidade e o magnetismo.
Oersted concluiu que todo condutor percorrido 
por corrente elétrica cria em torno de si um campo 
eletromagnético. Surge, a partir daí, o estudo do 
eletromagnetismo. Em decorrência dessas descobertas, 
foi possível estabelecer o princípio básico de todos os 
fenômenos magnéticos. Quando duas cargas elétricas 
estão em movimento, manifesta-se entre elas uma força 
magnética além da força elétrica (ou força eletrostática).
Fenômenos do eletromagnetismo
A partir da Lei da ação e reação de Newton, podemos 
concluir que, se um condutor percorrido por corrente 
provocauma força de origem magnética capaz de mover 
a agulha da bússola, que é um ímã, então um imã deve 
provocar uma força num condutor percorrido por 
corrente.
Além disso, os cientistas concluíram que, se uma corrente 
elétrica é capaz de gerar um campo magnético, então o 
contrário é verdadeiro, ou seja, um campo magnético é 
capaz de gerar corrente elétrica.
São três os principais fenômenos eletromagnéticos 
que regem todas as aplicações tecnológicas do 
eletromagnetismo:
I. Condutor percorrido por corrente elétrica produz campo 
magnético.
II. Campo magnético provoca ação de uma força magnética 
sobre um condutor percorrido por corrente elétrica.
lll. Fluxo magnético variante sobre um condutor gera 
(induz) corrente elétrica.
Campo magnético criado por corrente elétrica
Um campo magnético pode ser criado por meio do 
movimento de cargas elétricas, tal como o fluxo de 
corrente num condutor. Esse campo magnético é 
originado pelo momento de giro do dipolo magnético 
(referente ao spin do elétron) e pelo momento da órbita 
do dipolo magnético de um elétron dentro de um átomo. 
A esse campo magnético originado por uma corrente 
elétrica dá-se o nome de campo eletromagnético.
No mesmo ano que Oersted comprovou a existência de 
um campo magnético produzido pela corrente elétrica, 
o cientista francês André Marie Ampere preocupou-se 
em descobrir as características desse campo. Nos anos 
seguintes, outros pesquisadores como Michael Faraday, 
Karl Friedrich Gauss e James Clerk Maxwell continuaram 
investigando e desenvolveram muitos dos conceitos 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
25
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
básicos do eletromagnetismo.
Quando o condutor retilíneo da figura é percorrido por 
uma corrente elétrica, pode-se observar pela orientação 
das agulhas das bússolas a existência de um campo 
que o envolve longitudinalmente (ao longo de seu 
comprimento), e as linhas de campo magnético que o 
representam são círculos concêntricos.
As linhas de campo magnético são linhas envoltórias 
concêntricas e orientadas. O sentido das linhas de campo 
Figura 2.16 - A imagem ilustra a regra da mão direita. Percebe-se que o polegar está no mesmo sentido da corrente e 
os demais dedos Indicam o sentido do campo magnético, B. A Imagem também demonstra como o campo magnético 
se comporta ao redor do condutor. Fonte: etb®, 2016.
Regra de Ampere - regra da mão direita
Utilizando a regra de Ampere, a mão direita envolve 
o condutor com o polegar, apontando-o para o sentido 
convencional da corrente elétrica, enquanto os demais 
dedos indicam o sentido das linhas de campo que 
envolvem o condutor.
Para a representação do sentido das linhas de campo ou 
de um vetor qualquer perpendicular a um plano (como 
o plano do papel), podemos usar a seguinte simbologia:
representa um fio, uma linha de campo ou um vetor com 
direção perpendicular ao plano da figura (papel), com 
sentido de saída deste plano.
magnético produzido pela corrente no condutor é dado 
pela regra de Ampere.
A regra de Ampere, também chamada de regra da 
mão direita é usada para determinar o sentido das 
linhas do campo magnético con siderando-se o sentido 
convencional da corren te elétrica. Com a mão direita 
envolvendo o condutor e o polegar apontando para o 
sentido convencional da corrente elétrica, os demais 
dedos indicam o sentido das linhas de campo que 
envolvem o condutor.
representa um fio, uma linha de campo ou um vetor com 
direção perpendicular ao plano da figura (papel), com 
sentido de entrada neste plano.
Figura 2.17a - Simbologia para representação do sentido 
das linhas de campo no plano do papel. Fonte: do autor, 
2016.
O campo magnético gerado por um condutor percorrido 
por corrente pode ser representado por suas linhas 
desenhadas em perspectiva, ou então com a simbologia 
estudada, como ilustra a figura a seguir.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
26
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 2.17b - Campo eletromagnético produzido por 
um condutor em perspectiva (a) e indicado no plano (b). 
Fonte: do autor, 2016.
FONTES DO CAMPO MAGNÉTICO
Além dos ímãs naturais (magnetita) e os ímãs permanentes 
feitos de materiais magnetizados, podemos gerar campos 
magnéticos através da corrente elétrica em condutores. Se 
esses condutores tiverem a forma de espiras ou bobinas, 
podemos gerar campos magnéticos muito intensos.
Campo magnético gerado em torno de um condutor 
retilíneo
A intensidade do campo magnético gerado em torno de 
um condutor retilíneo percorrido por corrente elétrica 
depende da intensidade dessa corrente. Uma corrente 
intensa produzirá um campo intenso, com diversas linhas 
de campo que se distribuem até regiões bem distantes do 
condutor. Uma corrente menos intensa produzirá poucas 
linhas numa região próxima ao condutor. A figura a seguir 
ilustra essa situação.
Figura 2.18 - Representação do campo magnético em 
função da intensidade da corrente. Fonte: do autor, 2016.
Na próxima figura, o vetor B que representa a densidade 
de campo magnético ou densidade de fluxo em qualquer 
ponto apresenta direção sempre tangente às linhas de 
campo no ponto considerado.
Isso pode ser comprovado pela observação da orientação 
da agulha de uma bússola em torno de um condutor 
percorrido por corrente elétrica. O vetor densidade 
de campo magnético B é sempre tangente às linhas de 
campo.
Figura 2.19 - Vetor campo magnético tangente às linhas 
de campo. Fonte: etb®, 2016.
A densidade de campo magnético B num ponto p 
considerado é diretamente proporcional à corrente no 
condutor, inversamente proporcional à distância entre 
o centro do condutor e o ponto e depende do meio. 
Matematicamente, tem-se que:
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
27
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Considerando:
B = Densidade de campo magnético (ou densidade de 
fluxo magnético) num ponto p [T, Tesla];
r = distância entre o centro do condutor e o ponto p 
considerado [m];
I= intensidade de corrente no condutor [A].
µ = permeabilidade magnética do meio [T.m/A]
A permeabilidade magnética do vácuo (µ0) é igual a 4 . 
n . 10-7 (T.m/A). Esta equação é válida para condutores 
longos, ou seja, quando a distância for bem menor que o 
comprimen to do condutor (r<<Ɩ).
Campo magnético gerado no centro de uma espira 
circular
Um condutor em forma de espira circular, quando 
percorrido por corrente elétrica, é ca paz de concentrar 
as linhas de campo magné tico no interior da espira. Isso 
significa que a densidade de campo magnético resultante 
no interior da espira é maior que a produzida pela mesma 
corrente no condutor retilíneo.
Para a determinação do campo magnético no centro de 
uma espira circular, a regra da mão direita também é 
válida. O polegar indi ca o sentido da corrente elétrica na 
espira, e os demais dedos da mão direita o sentido das 
linhas de campo magnético que envolvem o condutor da 
espira circular.
Assim, para os campos magnéticos repre sentados na 
figura a seguir temos:
Considerando:
B = densidade de campo magnético no cen tro da espira 
circular [T, Tesla]
R = raio da espira [m]
I= intensidade de corrente na espira circu lar [A]
µ = permeabilidade magnética do meio [T.m/A]
Na figura, podemos verificar que as linhas de campo 
geradas no condutor são concentradas no interior da 
espira.
Figura 2.20 a- A corrente ao circular por uma espira faz 
surgir um campo magnético ao redor do condutor que 
forma a espira. Este campo magnético possui linhas 
concêntricas ao condutor, e, no centro da espira, há a 
interseção de campos magnéticos. Isto faz com que a 
intensldade do campo magnético seja maior. Fonte: do 
autor, adaptaçãoetb®, 2016.
Campo magnético gerado no centro de uma bobina 
longa ou Solenoide
Um solenoide é uma bobina longa obtida por um fio 
condutor isolado e enrolado em espiras iguais, lado a 
lado, e igualmente espaçadas entre si.
Quando a bobina é percorrida por corrente, os campos 
magnéticos criados em cada uma das espiras que formam 
o solenoide somam-se, e o resultado final é idêntico a 
um campo magnético de um imã permanente em forma 
de barra. Podemos observar que as linhas de campo são 
concentradas no interior do solenoide.
Figura 2.20b - Quando a corrente passa pela bobina, 
as espiras do solenoide formam um campo magnético 
equivalente ao de um imã permanente com formato de 
barra. Fonte: do autor, adaptação etb®, 2016.
 
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
28
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 2.21 - Campo magnético de um imã em barra e de um solenoide são semelhantes. Fonte: do autor, 2016.
Na figura a seguir, podemos observar uma bobina 
cujas espiras estão afastadas umas das outras. Entre 
duas espiras, os campos anulam -se pois têm sentidos 
opostos. No centro do solenoide, os campos somam-se. 
Podemos ob servar que no interior do solenoide o campo 
é praticamente uniforme. O radical "solen" se origina do 
grego e significa tubo.
Quanto mais próximas estiverem as espi ras umas das 
outras, mais intenso e mais uni forme será o campo 
magnético, como mostra a figura seguinte.
Figura 2.22 - Campo magnético no solenoide com espiras esparadas (à esquerda) e justapostas (à direita). Fonte: do 
autor, 2016.
Para solenoides suficientemente longos (nos quais o 
comprimento longitudinal é bem maior que o diâmetro 
das suas espiras), pode-se considerar o campo magnético 
constante e uniforme em praticamente toda a extensão 
do interior do solenoide. Portanto, a densidade do campo 
magnético (densidade de fluxo magnético) no centro de 
um solenoide é expressa por:
Considerando:
B = é a densidade de campo magnético no centro do 
solenoide [T, Tesla]
N = número de espiras do solenoide
I= é a intensidade de corrente elétrica que percorre o 
solenoide [A]
1 = comprimento longitudinal do solenoide [m]
µ = permeabilidade magnética do meio (nú cleo do 
solenoide) [T.m/A]
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
29
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Observação: O comprimento l é o comprimento longitudinal do solenoide e não deve ser confundido com o 
comprimento do condutor do solenoide. O sentido das linhas de campo pode ser determinado por uma adaptação 
da regra da mão direita, como ilustra a figura a seguir.
Figura 2.22 - Regra da mão direita aplicada a uma bobina. Fonte: do autor, 2016.
A figura 2.22 mostra a semelhança entre os campos 
magnéticos produzidos por um solenoide e por um ímã 
permanente em forma de barra. A principal diferença 
entre eles é que a densidade de fluxo é maior no ímã 
permanente que no solenoide. A densidade de fluxo 
no solenoide pode ser sensivelmente aumentada pela 
inclusão de materiais ferromagnéticos no núcleo da 
bobina.
Figura 2.23 - Sentido do campo eletromagnético crtado 
por uma bomba perconida por corrente. Fonte: do autor, 
2016.
Um eletroímã é composto por uma bobina enrolada em 
torno de um núcleo de material ferromagnético de alta 
permeabilidade (ferro doce, por exemplo) para concentrar 
o campo magnético. Cessada a corrente, ele perde a 
magnetização, pois o magnetismo residual é muito baixo.
CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR UM TOROIDE
Uma bobina toroidal (ou simplesmente toroide) é um 
solenoide em forma de anel, como mostra a figura 2.24. 
Seu núcleo pode ser de ar ou de material ferromagnético. 
Geralmente, as bobinas toroidais são feitas com núcleos 
de ferrite.
Figura 2.24 a- Exemplo de um toraide. Fonte: do autor, 
2016.
Os toroides são o tipo de bobinas capaz de proporcionar 
a maior concentração das linhas de campo magnético. 
Pode ser provado matematicamente que a densidade de 
campo mag nético no interior das espiras (no núcleo) do 
toroide é dada por:
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
30
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Considerando:
B - densidade de campo magnético no interior do núcleo 
do toroide, [T]
µ - permeabilidade magnética do meio no interior das 
espiras do toroide (núcleo)
N - número de espiras da bobina toroidal
I- intensidade de corrente no condutor da bobina, [A]
R - raio médio do toroide, [m]
Observação: o raio médio é o raio da circunferência 
no meio do núcleo do toroide, como mostra a figura 
seguinte. É importante não confundir com o raio externo 
ou interno e nem com o raio das espiras.
Figura 2.24b- Identificação do raro médio de um toroíde. 
Fonte: do autor, 2016.
Também pode ser demonstrado matematicamente 
[Giancoli] que a densidade de campo magnético fora do 
núcleo do toroide, tanto na região externa como interna 
é nulo, pois como o núcleo tem forma circular, é capaz 
de produzir um caminho magnético enlaçando todas as 
linhas de campo.
Usando a regra da mão direita aplicada à bobina toroidal, 
podemos determinar o sentido das linhas de campo 
confinadas no núcleo do toroide, como mostra a figura 
a seguir.
Medições de características de comportamento de 
materiais magnéticos são, geralmente, feitas usando-se 
núcleos toroidais (toroide), pois eles são capazes de 
concentrar praticamente todas as linhas de campo.
Vetor campo magnético indutor - força magnetizante
Se para uma dada bobina mantivermos a corrente constante 
e mudarmos o material do núcleo (permeabilidade µ 
do meio), a densidade de fluxo magnético no interior 
da bobina será alterada em função da permeabilidade 
magnética do meio.
Podemos chamar de vetor campo magnético indutor 
ou vetor força magnetizante (H) ao campo magnético 
induzido (gerado) pela corrente elétrica na bobina, 
independentemente da permeabilidade magnética do 
material do núcleo (meio). O vetor densidade de campo 
magnético na bobina pode ser dado pela seguinte 
equação:
Figura 2.25-Figura ao Sentido das linhas de campo no 
núcleo da bobina toroidal. Fonte: do autor, 2016.
Simplificando a equação:
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
31
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
O módulo do vetor campo magnético indutor ou vetor 
força magnetizante H numa bobina pode ser dado por:
O vetor h tem as mesmas características de orientação 
do vetor densidade de campo magnético (densidade de 
fluxo) b, porém independe do tipo de material do núcleo 
da bobina. A unidade do vetor campo magnético indutor 
é expressa por ampere-espira por metro (ae/m).
Podemos, portanto, concluir que os vetores densidade 
de campo magnético e campo magnético indutor se 
relacionam pela equação:
B = µ x H
Isso significa que uma dada bobina percorrida por uma 
dada corrente produz uma dada força magnetizante 
ou campo magnético indutor. Se variarmos o valor da 
permeabilidade magnética do meio (alterando o material 
do núcleo da bobina, por exemplo), a densidade de campo 
magnético varia para esta mesma bobina.
Quanto maior a permeabilidade magnética µ do meio, o 
efeito da força magnetizante (campo magnético indutor) 
h no núcleo será tanto maior, ou seja, maior a densidade 
de campo magnético induzida no núcleo.
Podemos, portanto, entender a densidade de campo 
magnético (densidade de fluxo magnético) como o 
efeito de uma determinada força magnetizante (de 
um campo magnético indutor) num determinado meio 
de permeabilidade magnética µ. A densidade de fluxo 
magnético B é o efeito da força magnetizante H num dado 
meio µ.
Por analogia, podemos determinar por meio das fórmulas 
a seguira força magnetizante H produzida por um 
condutor retilíneo, para uma espira circular e para uma 
bobina toroidal.
• Para um condutor retilíneo:
H = I 
 2 x π x r
• Para uma espira circular:
H = I 
 2 x r
• Para uma bobina toroidal:
H = N x I 
 2 x π x r
Devemos ter em mente que a permeabilidade magnética 
de um material ferromagnético não é constante. É uma 
relação entre a força magnetizante e a densidade de fluxo 
magnético resultante. Essa relação é dada por:
π = B 
 H
Conclusão: genericamente falando, o campo 
eletromagnético resultante num dado ponto depende:
• da intensidade da corrente
• da forma do condutor (reto, espira ou solenoide)
• do meio (permeabilidade magnética)
• das dimensões
• do número de espiras
FORÇA MAGNETO-MOTRIZ
A intensidade de um campo magnético indutor (força 
magnetizante) H numa bobina depende da intensidade 
da corrente que flui numa dada quantidade de espiras. 
Quanto maior a corrente, mais forte o campo magnético. 
Além disso, quanto mais espiras, mais concentradas 
estarão as linhas de campo.
Podemos definir força magneto-motriz (FMM) como 
a causa da produção do fluxo no núcleo de um circuito 
magnético, analogamente à força eletromotriz que 
produz o fluxo de cargas elétricas (corrente) em um 
circuito elétrico. A força magneto-motriz produzida por 
uma bobina é dada pelo produto:
FMM = Nx1
Considerando:
FMM - Força magneto-motriz, em Ampere -espira [Ae]
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
32
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
N - Número de espiras
I-Intensidade da corrente elétrica, em Amperes [A]
Se uma bobina, com um certo número de Ampere-espira 
(FMM), for esticada até atingir o dobro do seu 
comprimento original (estaremos dobrando o valor de 1), 
a força magnetizante H e a densidade de fluxo B terá a 
metade do seu valor original, pois:
B = µ x N x I
 Ɩ
E
H = N x I 
 Ɩ
Como FMM = N . I, então:
H = FMM
 Ɩ
Finalmente:
FMM = Hx Ɩ
Considerando:
FMM - Força magneto-motriz, [Ae]
H - Força Magnetizante ou campo magnético Indutor, 
[Ae/m]
I - Comprimento médio do caminho do 
cir cuito magnético, [m]
Observação: O comprimento mé dio do caminho do circuito magnético é o 
comprimento total de uma linha de campo posicionada no centro do núcleo, 
como mostra a linha de campo grifada na figura a seguir:
Figura 2.26 - Comprimento médio do caminho do circuito magnético. Fonte: 
etb®, 2016.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
33
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Sabemos que a relutância magnética é dada por:
R = 1 
 µ x A
E que:
 µ = B
 H
Substituindo uma na outra, temos:
R = H x 1
 B x A
Como o Fluxo Magnético é dado por:
φ = B x A
Temos, portanto:
R = FMM
 φ
Ou ainda:
φ = FMM
 R
Essa equação é análoga à Lei de Ohm, na qual a resistência 
elétrica é dada pela relação entre a tensão e a corrente, 
ou seja:
I = V
 R
Pois:
Efeito = Causa 
 Oposição
A causa é a força magneto-motriz (análoga à tensão 
elétrica). O efeito que ela provoca é o fluxo magnético 
(análogo ao fluxo de cargas, a corrente elétrica) e a 
oposição ao efeito é a relutância magnética (análoga à 
resistência elétrica).
Através desse entendimento, os circuitos magnéticos 
(ou caminhos magnéticos) podem ser analisados como 
circuitos elétricos. Esse estudo será desenvolvido 
posteriormente.
Figura 2.27 - Representação de um circuito magnético 
fechado com material ferromagnético em seu núcleo 
com um equivalente de circuito elétrico. Fonte: do autor, 
adaptação etb®, 2016.
Observação: Apesar da analogia entre circuitos 
elétricos e magnéticos, devemos ter em mente que o 
fluxo magnético ϕ é estabelecido no núcleo através 
da alteração da estrutura atômi ca do núcleo devido à 
pressão externa da força magneto-motriz (FMM), e não 
é uma medida do fluxo de partículas car regadas como 
a corrente elétrica.
Lei de Ampere
A Lei de Ampere dá uma relação geral entre uma corrente 
elétrica em um condutor de qualquer forma e o campo 
magnético por ele produzido. Essa lei foi proposta logo 
após a descoberta de Oersted.
Considere um condutor percorrido por uma dada 
corrente através de uma área relativa a uma linha de 
campo. Se considerarmos um vetor da linha de campo 
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
34
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
de comprimento infinite-simal 7 dƖ , este será paralelo ao 
vetor densidade de campo magnético B.
A relação da Lei de Ampere é dada por:
Considerando:
B - vetor densidade de campo magnético, [T]
dƖ- vetor de comprimento infinitesimal pa ralelo ao vetor 
B, [m]
Ienv - corrente passando na área do condu tor envolvida 
pela linha de campo magnético em análise, [A]
 
Essa fórmula é válida para qualquer situa ção na qual 
os condutores e os campos magné ticos são constantes 
e Invariantes no tempo e sem a presença de materiais 
magnéticos.
Se considerarmos um condutor retilíneo como o da figura 
a seguir, podemos aplicar a Lei de Ampere:
A equação anterior é a mesma que determina a densidade 
de campo magnético em um dado ponto p em torno de 
um condutor retilíneo.
FORÇA EEETROMAGNÉTICA
Cargas elétricas em movimento (corrente elétrica) criam 
um campo eletromagnético. Vimos que esse campo 
exerce uma força magnética na agulha de uma bússola, 
por exemplo.
Pela terceira lei de Newton, podemos esperar que o 
reverso seja verdadeiro, ou seja, que um campo magnético 
de um ímã exerça uma força em um condutor conduzindo 
corrente, o que foi confirmado por Oersted.
Estando as cargas elétricas em movimento e inseridas 
em um campo magnético, há uma interação entre esse 
campo e o campo originado pelas cargas em movimento. 
Essa interação manifesta-se por forças que agem na 
carga elétrica. Essas forças são chamadas de forças 
eletromagnéticas e são conhecidas como o segundo 
fenômeno eletromagnético.
Força eletromagnética sobre um condutor retilíneo
Seja, por exemplo, um condutor retilíneo colocado entre 
os polos de um imã em forma de ferradura, como mostra 
a figura seguinte. Quando esse condutor for percorrido 
por corrente, uma força é exercida sobre ele. Essa força 
não age na direção dos polos do ímã, mas na direção 
perpendicular às linhas do campo magnético. Se o sentido 
da corrente for invertido, a direção da força continua a 
mesma, mas há uma inversão no sentido da força exercida 
sobre o condutor.
Figura 2.28 - Representação do sentido da força de um 
condutor. Fonte: do autor; adaptação etb@, 2016.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
35
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Um condutor percorrido por corrente elétrica submetido 
a um campo magnético sofre a ação de uma força 
eletromagnética.
Experimentalmente, podemos conferir que, se 
aumentarmos a intensidade da correnteI, aumentaremos 
a intensidade da força F exercida sobre o condutor. Da 
mesma forma, um campo magnético mais intenso (maior 
densidade B) provoca uma intensidade de força maior.
Também pode ser comprovado que se o comprimento I 
ativo do condutor sob a ação do campo (atingido pelas 
linhas de campo) for maior, a intensidade da força sobre 
ele será maior.
A intensidade da força eletromagnética exercida sobre 
o condutor também depende do ângulo entre a direção 
da corrente e a direção do vetor densidade de campo 
magnético.
Quando o campo for perpendicular à corrente, a força 
exercida sobre o condutor será máxima. Quando o campo 
e a corrente tiverem a mesma direção,a força sobre o 
condutor será nula.
Isso significa que a intensidade da força eletromagnética 
F exercida sobre o condutor é diretamente proporcional 
à densidade do campo magnético B que atinge o 
condutor, à intensidade de corrente elétrica que percorre 
o condutor,ao comprimento longitudinal do condutor 
atingido pelas linhas do campo e ao ângulo de incidência 
dessas linhas na superficie longitudinal do condutor.
Portanto, considerando-se um condutor retilíneo de 
comprimento I sob a ação de um campo magnético 
uniforme B percorrido por uma corrente elétrica de 
intensidade Ie sendo e o ângulo entre B e a direção do 
condutor, o módulo do vetor força magnética que age 
sobre o condutor pode ser dado por:
F = B x I x Ɩ x senƟ
Considerando:
F -Intensidade do vetor força eletromag nética [N]
B - Densidade de campo magnético ou den sidade de fluxo 
magnético [T]
I - Comprimento ativo do condutor sob efeito do campo 
magnético [m]
8 - Ângulo entre as linhas de campo e a su perfície 
longitudinal do condutor [o ou rad.]
Observação: devemos lembrar que o comprimento 
l não é necessariamente o comprimento total do 
condutor, mas apenas a parte ativa, ou seja, o com 
primento que está sob a ação do campo magnético 
uniforme.
Figura 2.29 - Força magnética sobre um condutor 
retilíneo. Fonte: do autor, 2016.
Figura 2.30 - A força magnética depende do ângulo de 
incidência do campo magnético. Fonte: do autor, 2016.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
36
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Se a direção da corrente é perpendicular à direção 
do campo (Ɵ = 90°), a força é máxima. Se a direção da 
corrente e do campo forem paralelas (Ɵ = 0°), a força será 
nula, como mostra a figura.
A direção da força é sempre perpendicular à direção da 
corrente e também perpendicular à direção do campo 
magnético. A direção e o sentido da força que o condutor 
sofre são determinados pela regra de Fieming para a mão 
esquerda - ação motriz, pois o resultado é uma força que 
tende a provocar movimento.
Considerando:
dF - força infinitesimal atuando no comprimento 
diferencial dƖ do condutor [N]
dƖ - comprimento diferencial [m]
B - vetor densidade de campo magnético [T]
A força total que age sobre o condutor deverá, neste caso, 
ser determinada por integração.
Regra de Fleming
Quando um condutor percorrido por corrente, é 
submetido a um campo magnético e com isso surge uma 
ação motriz devido à força magnética resultante. Por outro 
lado, quando um condutor em movimento é submetido 
a um campo magnético, surge nesse condutor uma ação 
geradora devido à indução magnética (esse fenômeno 
será estudado posteriormente).
A regra de Fleming é usada para determinar a relação 
entre os sentidos da força magnética, do campo magnético 
e da corrente elétrica, cujas direções são ortogonais 
(perpendiculares entre si), como mostra a figura seguinte. 
Para usarmos a regra de Fleming, devemos posicionar 
os dedos polegar, indicador e médio de tal forma que 
fiquem ortogonais entre si. Os dedos envolvidos na ação 
motriz - regra da mão esquerda exercem as seguintes 
funções:
• O dedo polegar indica o sentido da força magnética 
(F).
• O dedo indicador representa o sentido do vetor 
campo magnético (B).
• O dedo médio indica o sentido da corrente (I).
As figuras a seguir mostram a aplicação da regra de 
Fleming para ação motriz.
Observação: se quisermos analisar o comportamento de cargas elétricas em particular (e não a corrente), devemos 
lembrar que as cargas elétricas nega tivas têm movimento real contrário ao sentido convencional para a corrente 
elétrica.
Regra da mão esquerda - ação motriz
• O dedo polegar indica o sentido da força magnética 
(F).
• O dedo indicador representa o sentido do vetor 
campo magnético (B).
• O dedo médio indica o sentido da corrente (I).
Se o campo magnético não for uniforme ou se o condutor 
não for retilíneo (ou seja, 8 variável), temos:
Figura 2.31 - Regra de Fleming. Fonte: do autor, 2016.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
37
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Força eletromagnética sobre uma partícula carregada
No estudo anterior, vimos que um condutor percorrido 
por corrente elétrica e inserido num campo magnético 
sofre a ação de uma força eletromagnética. Como a 
corrente é provocada pelo movimento de cargas elétricas, 
podemos verificar que um movimento livre de partículas 
carregadas eletrostaticamente também sofre a ação de 
forças eletromagnéticas quando atravessa um campo 
magnético.
Uma partícula carregada eletrostaticamente e em 
movimento dentro de um campo magnético sofre a ação 
de uma força eletromagnética. Dependendo da situação, 
essa força pode desviar a trajetória da partícula carregada, 
como mostra a figura seguinte.
Figura 2.32 - Desvio da trajetória de pertículas em 
movimento na direção transversal à do campo. Fonte: do 
autor, 2016.
Sabemos que a corrente elétrica pode ser dada pela 
relação entre carga e tempo:
Conhecemos também que a distância é dada pela relação 
I = v . t:
I = q 
 t
Substituindo:
F = B x l x Ɩ x senƟ
Assim, a intensidade da força magnética sobre uma 
partícula carregada em movimento dentro de um campo 
magnético pode ser dada pela expressão:
F = B x q x v x senƟ
Considerando:
F - módulo do vetor força magnética resultante sobre a 
partícula carregada [N]
B - módulo da densidade de campo magnético ou 
densidade de fluxo (T)
q - quantidade de carga elétrica da partícula (C)
v - velocidade de deslocamento (m/s)
Ɵ - ângulo entre a direção de deslocamento e as linhas de 
campo [o ou rad.]
Dessa equação, podemos depreender que a força 
eletromagnética será máxima quando as partículas 
incidirem perpendicularmente às linhas de campo (v B). 
Quando as partículas se deslocam na mesma direção das 
linhas de campo, a força eletromagnética será nula (Ɵ=0° 
ou Ɵ=180°).
Considerando-se uma partícula carregada positivamente, 
são três as possíveis situações:
a) Partícula com carga positiva em deslocamento 
constante na direção do campo: nesse caso, como 
a partícula se desloca na mesma direção do campo 
magnéti co, não há interação entre os campos, e 
consequentemente a trajetória da partí cula não sofre 
alterações, mesmo que a partícula esteja se deslocando 
em sentido contrário ao do campo. O movimento será 
retilíneo uniforme (MRU). A figura seguinte mostra essa 
situação.
Figura 2.33 - Partícula positiva em movimento retilíneo 
uniforma na mesma direção do campo. Fonte: do autor, 
2016.
Como a força é sempre perpendicular ao deslocamento 
e a velocidade não varia, a partícula muda a direção do 
deslocamento caracterizando um movimento circular 
com aceleração centrípeta constante, pois a força aponta 
sempre para o centro do movimento. As figuras a seguir 
ilustram essa situação.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
38
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 2.34a - Força exercida sobre uma pertícuta em 
deslocamento transversal à direção do campo. Fonte: do 
autor, 2016.
Figura 2.34b - Partícula em movimento circular uniforme 
(MCU). Fonte: do autor, 2016.
e) Partícula com carga positiva em deslocamento oblíquo 
à direção do campo: nesse caso, a partícula executará um 
MRU pois a componente da velocidade está na mes ma 
direção do campo, e um MCU devido a componente 
da velocidade transversal ao campo. O resultado será 
um movimento helicoidal. A figura a seguir ilustra essa 
situação.
Figura 2.35 - Partícula em movimento heliciodal. Fonte: 
do autor, 2016.
É importante ressaltar que se a partícula for carregada 
negativamente, as forças serão de sentidos opostos e a 
trajetória será oposta nos casos analisados para uma carga 
positiva.A regra de Fleming para a mão esquerda (efei to 
motriz) auxilia na determinação do sentido da força e da 
trajetória das partículas.
Força magnética entre condutores paralelos
Quando dois condutores próximos e paralelos são 
percorridos por corrente elétrica, surge uma força devido 
à interação entre os campos eletromagnéticos por eles 
gerados.
Essa força poderá ser de atração ou de repulsão conforme 
os sentidos das correntes nos condutores. Aplicando 
da regra de Fleming para ação motriz (regra da mão 
esquerda), podemos verificar que a força é de atração 
quando os condutores são percorridos por correntes de 
mesmo sentido e de repulsão quando percorridos por 
correntes de sentidos contrários.
Sabemos que um condutor percorrido por corrente 
elétrica cria um campo magnético de intensidade dada 
por:
B = µ x 1 
 2 x π x r
No condutor 1, a corrente I1 cria um cam po magnético 
B1 que atua no condutor 2, que por sua vez está a uma 
distância d12 do pri meiro e pode ser dado por:
Figura 2.36 - Dois condutores parlelos percorridos por 
corrente sofrem interação de seus campos magnéticos. 
Fonte: do autor, 2016.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
39
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 2.37 - Força eletromagnética entre condutores paralelos nas situações de atração (a) e repulsão (b). Fonte: do 
autor, 2016.
Figura 2.38 - O vetor densidade de campo é perpendicular 
à superfície do condutor. Fonte: do autor, 2016.
Na figura podemos verificar que as linhas de campo 
geradas por um condutor atingem o outro condutor. 
Como o vetor densidade de campo é sempre tangente às 
linhas de campo, esse vetor é perpendicular à superficie 
longitudinal do condutor. Dessa forma, a força elétrica 
que atua no condutor 2 devido ao campo gerado pelo 
condutor 1, é dada pela seguinte equação:
Substituindo o valor de B1 na equação da força, temos:
A força que age no condutor 1 devido ao campo gerado 
pelo condutor 2 é análoga, devi do à lei da ação e da 
reação de Newton. Assim:
Genericamente:
Considerando:
F - Força elétrica mútua de interação entre condutores 
paralelos [N]
µ - Permeabilidade magnética do meio
I1, I2 - corrente elétrica nos condutores [A] 
I - comprimento dos condutores [m]
d12 - distância entre os centros dos condutores [m]
Da equação anterior, também podemos ex pressar a 
intensidade da força por unidade de comprimento em 
newton por metro (N/m):
Torque de giro numa espira
Uma espira condutora fixada por um eixo que a permita 
girar (pivot), quando submetida a um campo magnético e 
percorrida por corrente elétrica, sofre um torque de giro.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
40
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 2.39 a- Torque de giro numa espira percorrida por 
corrente e dentro de um campo magnético - vista lateral 
(a), superior (b) e composição vetorial. Fonte: do autor, 
2016.
Na figura anterior, podemos observar que nas situações a 
e b os condutores da espira percorridos por corrente I (no 
sentido horário na espira) e submetidos a uma densidade 
de campo magnético B (no sentido indicado, para a 
direita) sofrem a ação de forças magnéticas cujos sentidos 
são dados pela regra de Fleming (mão esquerda - ação 
motriz).
A composição dos vetores produz um torque girante. Na 
imagem c, verificamos a composição vetorial em função 
do ângulo e da posição da face da espira com relação 
à direção do campo magnético. A partir do estudo da 
mecânica, sabemos que torque é dado pela se guinte 
equação:
A força eletromagnética sobre o segmento 1 da espira é 
a mesma sobre o segmento 2 e pode ser dada por:
O torque total é a soma dos torques nos dois segmentos:
Substituindo a equação da força:
Assim:
A área da espira pode ser dada pelo pro duto A = a . b. 
Assim, o torque em uma espira fica sendo:
Se a espira faz um ângulo e com o campo magnético, a 
força não varia, mas o braço do torque varia para:
Então, o torque total para uma bobina de N espiras 
percorrida por corrente e girando em um campo 
magnético é dado por:
Considerando:
T - torque de giro [N.m] 
N - número de espiras
B - densidade de campo magnético [T] 
I- corrente elétrica na(s) espira(s) [A] 
A - área das espiras (a x b) [m2]
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
41
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Ɵ - ângulo da face da espira com a direção das linhas de campo [o ou rad.]
Observação: essa equação obtida de uma espira retangular serve para qualquer forma de espira 
plana, como pode ser comprovado matematicamente [Giancoli].
Fazendo µ = N.I.A, determinamos o momento do dipolo magnético da espira, que é considerado um vetor com direção 
perpendicular à área A, como mostra a parte c figura anterior. Assim, temos o produto vetorial:
O princípio do torque de giro em uma espira tem várias 
aplicações práticas, tais como: motores elétricos, 
instrumentos de medição analógicos (voltímetros, 
amperímetros, ohmímetros, etc.), entre outros 
dispositivos.
A figura a seguir mostra o princípio de funcionamento de 
Figura 2.39b - Amperímetro básico - vistas lateral (a) e superior (b). Fonte: do autor, 2016.
Para desenvolver o aprendizado, a parte a da figura 
a seguir apresenta o esquema básico de todo motor 
de corrente contínua. Na parte b da figura, há um 
um amperímetro (medidor de corrente elétrica) baseado 
no torque girante sobre uma bobina. Quanto maior a 
corrente, maior o torque girante capaz de vencer o 
contra-torque da mola, indicando assim uma dada escala 
pré-calibrada para a intensidade da corrente.
detalhamento do chamado comutador. Pesquise e utilize 
seus conheci mentos para explicar o funcionamento de 
um motor de corrente contínua básico.
Figura 2.40 - Motor de corrente contínua - estrutura básica (a) e detalhe do comutador (b). Fonte: do autor,2016.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
42
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Variação do fluxo magnético
 
De maneira simples, podemos dizer que o fluxo magnético 
é quantificado pelo número de linhas de campo que 
atravessam a área de uma superficie. Quanto mais linhas, 
maior o fluxo magnético, como mostra a próxima figura. 
O fluxo magnético é, genericamente, dado pela equação:
Consideremos uma superficie plana de área A, num local 
em que há um campo magnético uniforme (linhas de 
campo paralelas). As linhas de campo incidem nessa área, 
fazendo um ângulo e com o plano. A componente vertical 
do campo magnético B é o cateto oposto ao ângulo de 
incidência Ɵ, ou seja:
O Fluxo Magnético φ, como sabemos, é dado pelo produto 
da componente vertical do campo magnético B pela área 
de incidência das linhas de campo. Matematicamente,
φ = B x A x sen Ɵ
Considerando:
B - vetor densidade de campo magnético [T]
A - área de incidência das linhas [m2]
Ɵ - ângulo de incidência das linhas de campo com a 
superfície [o ou rad.]
φ - Fluxo Magnético [Wb]
A unidade do Fluxo Magnético é o Weber (Wb). Um Weber 
é equivalente a um campo magnético de intensidade 
de um Tesla (T), incidindo em uma área de um metro 
quadrado (m2). Assim: 1Wb = 1T.m2.
Figura 2.41 - Unhas de campo magnético atingindo uma 
superfície produzem fluxo magnético. Fonte: do autor, 
2016.
Figura 2.42 - Componentes vertical e paralela das linhas 
de campo atingindo uma superfície. Fonte: do autor, 2016.
Figura 2.43 - Fluxo Máximo - linhas de campo magnético 
incidindo perpendicularmente em relação à superfície. 
Fonte: do autor, 2016.
Casos limites
Se as linhas de campo incidirem perpendi cularmente 
à superfície, o ângulo de incidência será de 90° (seno 
de 90° = 1), e o fluxomag nético será máximo. A figura 
seguinte mostra essa situação.
Se as linhas de campo incidirem paralela mente à 
superfície, o ângulo de incidência será de O° (seno de 
O°=O), e o fluxo magnético será nulo. A próxima figura 
mostra essa situação.
Figura 2.44 - Fluxo Máximo - linhas de campo magnético 
incidindo perpendicularmente em relação à superfície. 
Fonte: do autor, 2016.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
43
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 2.45 - Variação de fluxo magnético pela redução da área. Fonte: do autor, 2016.
O fluxo magnético também pode variar devido a um movimento relativo entre a su perfície e as linhas de campo, como 
na bobina girando com relação ao campo magnético, de monstrado na figura a seguir.
Figura 2.46 - Variação do fluxo magnético numa bobina girando. Fonte: do autor, 2016.
A variação do fluxo magnético na área de uma bobina 
é importante para o estudo da indução magnética. A 
experiência mostra que, variando-se o fluxo magnético ϕ 
num circuito elétrico, surge uma corrente elétrica induzida 
devido a uma tensão elétrica induzida. A esse fenômeno 
dá-se o nome de indução eletromagnética. Esse fenômeno 
será estudado em detalhes na aula a seguir.
Figura 2.47 - Ângulo y entre a normal ao plano a as linhas de campo. Fonte: do autor, 2016.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
44
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Observação: muitas bibliografias assumem o ângulo y 
da normal ao plano (linha perpen dicular) com as linhas 
de campo magnético, como mostra a figura anterior. 
Com essa consi deração, o fluxo magnético é dado por:
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
Em 1820, Oersted descobriu que uma corrente elétrica 
produz campo magnético. A partir dessa descoberta, 
o inglês Michael Faraday e o americano Joseph Henry 
dedicaram-se a obter o efeito inverso, ou seja, obter 
corrente elétrica a partir do campo magnético.
Figura 2.48 - Representação do circuito utilizado nos 
experimentos de Faraday. Fonte: do autor, adaptação 
etb®, 2016.
A figura anterior mostra um dos dispositivos usados 
por Faraday. O enrolamento 1, chamado de primário, é 
uma bobina com N1 espiras de condutor isolado e está 
conectado, através de uma chave interruptora, à bateria 
(fonte de tensão contínua), fazendo circular uma corrente 
contínua que gera um campo magnético. Esse campo 
magnético é intensificado, pois as linhas de campo são 
concentradas pelo efeito caminho magnético do núcleo 
de material ferromagnético de alta permeabilidade.
As linhas de campo geradas pelo enrolamento 1 passam 
por dentro do enrolamento 2, chamado de secundário, 
que é uma bobina com N2 espiras de condutor isolado. 
O secundário está monitorado por um galvanômetro, que 
detectará qualquer corrente que circular no enrolamento. 
É importante ressaltar que não há contato elétrico entre 
os enrolamentos primário e secundário e nem destes com 
o material do núcleo, pois são bobinas de condutores 
isolados.
 
Durante 10 anos, Faraday tentou detectar corrente 
dessa forma, utilizando campos cada vez mais intensos e 
galvanômetros mais sensí veis, porém não obteve sucesso. 
Em 1831, ao acionar sucessivas vezes a chave interruptora 
no circuito do enrolamento primário, Faraday resolveu o 
problema e fez as seguintes observações:
• No momento em que a chave é fechada, o 
galvanômetro acusa uma pequena corrente de curta 
duração, como indica a figura se guinte;
• Após a corrente cessar e durante o tempo em que a 
chave permanecer fechada, o galvanômetro não mais 
acusa corrente;
• Ao abrir-se a chave, o galvanômetro volta a indicar 
uma corrente de curta duração, em sentido oposto, 
conforme observado na próxima figura.
Figura 2.49 - Representação do circuito utilizado nos 
experimentos de Faraday. Fonte: do autor, adaptação 
etb®, 2016.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
45
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Esses três momentos podem ser explica dos da seguinte 
maneira:
• Enquanto o campo magnético criado pela corrente no 
enrolamento primário cresce, é gerada uma corrente 
no enrolamento secun dário. Isso ocorre logo após 
a chave ser fe chada, pois a corrente é crescente. 
Quando o campo no enrolamento primário se esta 
biliza (se torna constante), a corrente cessa no 
enrolamento secundário.
• Enquanto o campo magnético permanece constante 
no enrolamento primário, não há corrente no 
enrolamento secundário.
• Enquanto o campo magnético diminui no en rolamento 
primário, é gerada uma corren te no enrolamento 
secundário, com sentido oposto à anterior. Isso 
ocorre logo após a chave ser aberta e cessa logo 
após o campo magnético se anular no enrolamento 
primá rio. 
Diante disso, Faraday concluiu que a simples presença do 
campo magnético não gera corrente elétrica. Para gerar 
correnter seria necessário variar o fluxo magnético.
A esse fenômeno dá-se o nome de indução 
eletromagnética. A indução eletromagnética é o terceiro 
fenômeno eletromagnético.
Figura 2.50 - Representação dos comportamentos 
do fluxo magnético e da corrente demonstrados pelo 
galvanômetro. Fonte: do autor, adaptação etb®, 2016.
O experimento de Faraday mostra que se numa região 
próxima a um condutor, bobina ou circuito elétrico houver 
uma variação de fluxo magnético, aparecerá nos seus 
terminais uma diferença de potencial (ddp), chamada 
de força eletromotriz induzida (fem), ou simplesmente 
tensão induzida. Caso o circuito elétrico esteja fechado, 
essa força eletromotriz induzida fará circular uma corrente 
elétrica induzida.
Michael Faraday enunciou a lei que rege este fenômeno, 
chamado de indução eletro magnética e que relaciona 
a tensão elétrica in duzida (fem) devida à variação do 
fluxo mag nético num circuito elétrico. A Lei de Faraday 
determina que em todo condutor sujeito a uma variação 
de fluxo magnético, é estabelecida uma força eletromotriz 
(tensão) induzida.
A Lei de Faraday demonstra que a tensão induzida em um 
circuito é igual ao resultado da taxa de variação do fluxo 
magnético no tempo e é dada pela divisão da variação do 
fluxo mag nético pelo intervalo de tempo em que ocorre, 
com sinal trocado. Ou seja: quanto mais o flu xo variar 
num intervalo de tempo, maior será a tensão induzida:
e = - dφ
 dt
Numa bobina, a tensão induzida é direta mente 
proporcional ao número de espiras.
Considerando:
e - força eletromotriz induzida (tensão in duzida) [V]
dφ/dt - taxa de variação do fluxo magnético no tempo 
[Wb/s)
N - número de espiras
Observação: para intervalos de va riações lineares 
do fluxo magnético, te remos uma força eletromotriz 
induzida média no intervalo, dada por:
 
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
46
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Com essa conclusão, podemos entender o que ocorre 
no circuito do experimento de Faraday. O enrolamento 
secundário envolve linhas do campo magnético produzido 
pela corrente no enrolamento primário.
Sendo assim:
• Mantendo a chave interruptora aberta, não há 
corrente nem campo magnético e, portanto, não 
existem linhas de campo. O fluxo magnético no 
núcleo é nulo. Sem variação de fluxo no enrolamento 
secundário, não há força eletromotriz induzida e, 
portanto, o galvanômetro não indica corrente.
• Quando a chave interruptora é fechada (no instante 
t1), a fonte de tensão (bateria) faz circular corrente 
no enrolamento primário. O número de linhas 
de campo magnético no núcleo passa a crescer 
exponencialmente num curto intervalo de tempo, 
pois a intensidade do campo vai aumentando em 
função da corrente imposta ao enrolamento primário.
Nesse intervalode tempo há, portanto, variação do fluxo 
magnético no núcleo. Essa variação de fluxo magnético 
atinge o enrolamento secundário, produzindo uma força 
eletromotriz induzida no enrolamento secundário. Há, 
por tanto, corrente induzida no enrolamento secun dário 
e o galvanômetro indica corrente.
Como a variação do fluxo é máxima nos instantes iniciais, 
a corrente induzida no enrolamento secundário é máxima 
nesses instantes. A corrente induzida observada no 
galvanômetro tem um pico inicial. À medida em que a 
variação do fluxo diminui, com estabilização da corrente 
no enrolamento primário, a corrente induzida no 
secundário diminui.
• Após o instante t2, a corrente imposta pela fonte de 
tensão contínua (bateria) está estabilizada. O campo 
magnético produzido pelo enrolamento primário 
torna-se constante e não há variação de fluxo 
magnético no núcleo. Como não há variação de fluxo 
magnético no núcleo e no enrolamento secundário, 
não há força eletromotriz induzida. O galvanômetro 
não indica corrente induzida no enrolamento 
secundário. No gráfico observamos que, a partir do 
instante t2, há fluxo magnético constante no núcleo e 
a corrente no galvanômetro é nula.
• No instante t3, quando a chave interruptora é 
novamente aberta, a corrente no enrolamento 
primário, que estava estabilizada, começa a diminuir 
exponencialmente, provocando a diminuição do 
campo e do fluxo magnético no núcleo.
O fluxo magnético varia no enrolamento secundário. 
Esta variação produz uma força eletromotriz induzida 
no enrolamento secundário e, portanto, o galvanômetro 
indica corrente induzida.
Uma observação importante é que o galvanômetro indica 
uma corrente com sentido contrário ao anterior. Esse 
fenômeno é conhecido como Lei de Lenz e será explicado 
a seguir. Logo após o instante t3, a variação do fluxo 
magnético no enrolamento secundário é máxima e a 
corrente induzida tem um pico.
No gráfico da figura este pico é negativo pois o sentido 
da corrente é contrário ao anterior. À medida que o 
fluxo magnético vai-se anulando, a corrente induzida no 
enrolamento secundário vai diminuindo.
• Após o instante t4, o fluxo magnético anu lou-se 
e não há mais corrente induzida no enrolamento 
secundário.
A indução eletromagnética é regida por duas leis: Lei 
de Faraday e Lei de Lenz. Pela análise do experimento 
de Faraday observa mos que quando o fluxo magnético 
variante era crescente a corrente induzida tinha 
um sentido. Quando o fluxo magnético variante era 
decrescente a corrente induzida assumiu um sentido 
contrário. Esse fenômeno observa do é explicado pela Lei 
de Lenz.
Devemos lembrar que a corrente induzida circula num 
determinado sentido devido à po laridade da força 
eletromotriz induzida (tensão induzida).
Em um condutor imerso em um fluxo mag nético variável 
chamado de fluxo magnético in dutor, é induzida uma 
força eletromotriz. A po laridade da força eletromotriz 
induzida será tão intensa que, se o circuito elétrico for 
fechado, circulará uma corrente que criará um próprio 
fluxo magnético, chamado de fluxo magnético induzido, 
que irá se opor à variação do fluxo magnético indutor 
causador da tensão (fem) induzida.
Leí de Lenz
O sentido da corrente induzida origina um fluxo magnético 
induzido, que se opõe à varia ção do fluxo magnético 
indutor. A Lei de Lenz é expressa pelo sinal negativo na 
equação da Lei de Faraday.
Na figura a seguir, um campo magnético de intensidade 
crescente atinge uma espira circu lar condutora. O fluxo 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
47
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
magnético que a atinge é, portanto, variável e crescente. 
Como esse fluxo magnético é variável, ocorre uma indu ção 
de força eletromotriz que proporciona a circulação de 
uma corrente elétrica na espira.
Essa corrente induzida que circula na espira cria, por 
sua vez, um fluxo magnético induzido que deve opor 
se à variação do fluxo magnético indutor. Como o 
fluxo magnético indutor está crescendo, a oposição 
será por meio de um fluxo magnético induzido e de 
sentido contrário, que irá enfraquecer o fluxo magnético 
indutor,tentando impedir o seu crescimento (variação 
positiva).
Para que haja esse fluxo magnético induzido contrário, 
a corrente induzida deve ter, segundo a regra da mão 
direita, o sentido anti-horário.
Na figura seguinte, o campo magnético que atinge a espira 
circular condutora é decrescente. O fluxo magnético que a 
atinge é, portanto, variável, decrescente e induz na espira 
uma força eletromotriz que proporciona a circulação de 
uma corrente elétrica induzida. Essa corrente induzida 
que circula na espira cria, por sua vez, um fluxo magnético 
induzido que deve opor-se à variação do fluxo magnético 
indutor.
Como o fluxo magnético indutor está agora decrescendo, 
a oposição será feita por meio de um fluxo magnético 
induzido de mesmo sentido, de tal forma que reforce o 
fluxo magnético indutor, tentando impedir sua redução 
(variação negativa). Para que haja esse fluxo magnético 
induzido de mesmo sentido, a corrente induzida deve 
ter,segundo a regra da mão direita, o sentido horário.
Figura 2.51a - A Imagem representa o fluxo indutor primeiramente crescente, que induz uma corrente a produzir fluxo 
induzido oposto e, depois, o decrescente, que induz uma corrente a produzir fluxo induzido com sentido Igual. Fonte: 
do autor, adaptação etb®, 2016.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
48
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
O fenômeno da indução eletromagnética também pode 
ser verificado no experimento apresentado na figura a 
seguir. Nela, a aproximação do imã provoca um aumento 
do fluxo magnético perto da bobina.
Consequentemente, começa a circular na bobina uma 
Figura 2.51b - Representação da indução eletromagnética através da utilização de um ímã e uma bobina. Fonte: do 
autor, adaptação etb®, 2016.
Enquanto a chave interruptora S estiver desligada, não há 
corrente na bobina 1 e nem fluxo magnético no núcleo 
do sistema. Portanto, não há força eletromotriz induzida 
e não circula corrente induzida na bobina 2. Na figura 
b, quando a chave interruptora S for ligada, a corrente 
proporcionada pela fonte de tensão (VCC) passa a circular 
na bobina 1, criando um campo magnético crescente 
e portanto gerando uma variação de fluxo magnético 
crescente no núcleo do sistema.
Essa variação de fluxo atinge a bobina 2, induzindo uma 
força eletromotriz que propor ciona a circulação de uma 
corrente induzida. Essa corrente tem um sentido que 
origina um fluxo magnético na bobina 2, que por sua vez 
se opõe ao fluxo crescente gerado pela bobina
1. Circula na resistência R2 uma corrente com o sentido 
indicado na imagem b.
Após certo tempo, a corrente na bobina 1 se estabiliza 
devido à fonte de tensão contínua. O campo magnético 
torna-se constante e a variação de fluxo é nula.
A corrente na bobina 2 se extingue. Quando, na imagem 
c, a chave for aberta, o campo magnético estabilizado 
devido à corrente constante na bobina 2 passa a decrescer, 
provocando novamente uma variação de fluxo magnético 
no núcleo do sistema.
Uma força eletromotriz é induzida na bobina 2 e circula 
uma corrente induzida, cujo sentido provoca a criação 
de um fluxo induzido na mesma direção do fluxo indutor, 
tentando impedir a sua variação. Após um certo tempo, a 
corrente se extingue juntamente com o campo magnético 
na bobina 1. Com isso, a corrente na bobina 2 também se 
extingue.
corrente que cria um campo magnético com polaridade 
inversa a do imã. O campo criado tenta impedir a 
aproximação do imã e interromper a ação do imã para 
manter o fluxo magnético constante (variação de fluxo 
nula). Quando o ímã se afasta, o efeito é contrário.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
49
COPYRIGHT© 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 2.52 - Experimento de Faraday. Fonte: do autor, 2016.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
50
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
TRANSFORMADOR MONOFÁSICO
Introdução
O primeiro equipamento a ser estudado, largamente 
empregado na vida moderna, tanto nas indústrias corno 
no comércio, distribuição de energia e nas residências, 
é o transformador. Muitas vezes a aplicação a que ele 
se destina acompanha o nome, como, por exemplo, 
transformador de medição, trans formador de corrente, 
transformador de RF, transformador de pulso etc. Além 
disso, o transformador pode ser isolador ou não.
CAPÍTULO 03
Transformador elementar
Um transformador é um equipamento utilizado 
para redução ou aumento de tensão. Segundo esta 
aplicabilidade, ele pode ser definido como trans formador 
abaixador ou elevador (de tensão). Um transformador é 
constituído normalmente de um enrolamento primário 
(em que aplicamos a tensão de entrada), um enrolamento 
secundário (em que obtemos a tensão de saída desejada) 
e um caminho otimizado para o fluxo magnético, que é o 
grande responsável pela transformação , Figura 3.1.
Figura 3.1
Funcionamento do transformador
O funcionamento do transformador baseia-se nos 
fundamentos do eletromagnetismo, especialmente 
os estudados por Faraday e Lenz. Constata-se que, ao 
movimentar um campo magnético diante de um condutor, 
surge uma conente induzida. Em outras palavras, um 
campo magnético variável produz um fluxo magnético 
variável, que é responsável pela conente induzida.
De imediato não conseguimos ligar o fundamento 
eletromagnético ao transformador da Figura 3.1, mas 
se fizermos algumas observações, chega remos a uma 
conclusão satisfatória. Primeiramente observe que o 
primário e o secundário são duas bobinas com núcleo 
comum. Se são bobinas, se alimen tarmos o primário ou o 
secundário com sua respectiva tensão nominal, teremos 
um fluxo magnético no núcleo de ferro. Se a fonte 
utilizada para a alimentação do primário, por exemplo, for 
de corrente contínua, não teremos uma transformação de 
tensão constante no secundário, pois o fluxo magnético 
gerado pela corrente contínua não é variável ao longo do 
tempo.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
51
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Se alimentarmos o primário com tensão alternada, ele 
produz um fluxo magnético variável, já que a corrente 
alternada oscila em 60 Hz. Esse fluxo magnético variável, 
ao agir no interior do núcleo, atinge o secundário, 
provocando o aparecimento de uma tensão alternada 
nesse emolamento por conta da indução magnética. A 
tensão que aparece no secundário por conta do fluxo 
magnético variável gerado pelo primário recebe o nome 
de tensão induzida.
A tensão induzida é sempre proporcional ao número de 
espiras da bobina e de acordo com a indução magnética 
que a provocou, podendo ser calcu lada pela relação de 
transformação a seguir:
Uprim = Nprim
U sec N sec
Sendo:
• Uprim =tensão no primário
• N sec = número de espiras do secundário
Analisando a equação, podemos concluir que quanto 
maior o número de espiras, maior a tensão. Se não temos 
o número de espiras dos enrolamentos, podemos calcular 
o número de espiras do primário com a equação:
Np = Upx 1 00000000 
 4,44 x 60 x SL x B
Sendo:
• Up = tensão no primário
• f = frequência
• SL =seção líquida do núcleo
• B = densidade magnética do núcleo (gauss)
 
As densidades mais aplicadas a núcleos de ferro são:
• 8.000 = 2% de silício
• 10.000 = 3% de silício
• 12.000 = 4% de silício
Nota
A equação está adaptada para receber gauss e cm2 
tabelas de chapas para núcleos, por Isso os 100000000.
 
A relação entre o número de espiras e a corrente que 
circula no enrola mento é inversamente proporcional, isto 
é, quanto menor o número de espiras, maior a corrente. 
A equação a seguir pode confirmar isso:
 Iprim = Nsec
 Isec Nprim
Podemos concluir que o transformador não funciona em 
corrente contínua, pois precisamos de um fluxo magnético 
variável, portanto é preciso alimentá-lo com CA. A 
relação entre número de espiras e tensão é diretamente 
proporcio nal e a relação entre número de espiras e 
corrente é inversamente proporcional. A relação entre 
corrente e tensão está associada à potência aparente do 
trans formador, S=UxI, que deve ser aproximadamente a 
mesma para primário e secundário (desconsiderando as 
perdas).
Uma forma de ligar o transformador adequadamente 
pode ser vista na Figura 1.2.
Figura 3.2
Tipos de núcleo
Os dois tipos de núcleo mais utilizados em transformadores 
monofásicos são: núcleo envolvente em anel, "core", 
Figura 3.2, e núcleo envolvido, "shell" ou encouraçado, 
Figura 3.3.
Figura 3.3
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
52
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Existem transformadores especiais com outras formas 
de núcleo, por exemplo, transformadores de isolação 
com núcleo em toroide, mas para construção dos 
transformadores de núcleo envolvido ou envolvente 
normalmente são utilizadas as chapas representadas na 
Figura 1.4.
Figuras 3.4 - Chapas para transformadores.
Os valores constantes na tabela são importantes no 
projeto de um transformador por constituírem a seção 
do núcleo do transformador, conse quentemente com 
participação direta na sua potência, como veremos.
Correntes de parasitas
Nem tudo são flores no funcionamento de um 
transformador. O mesmo fluxo magnético variável, 
responsável pela tensão induzida no secundário, traz com 
ele efeitos indesejado s nesse tipo de máquina. O núcleo 
do transformador monofásico normalmente é constituído 
de material ferromagnético. Se construirmos um núcleo 
maciço com esse material, teremos um enorme problema.
O fluxo magnético variável, responsável pela indução 
magnética, age também sobre o núcleo de ferro maciço 
e produz correntes induzidas nesse ferro, que produzem 
campos magnéticos contrários ao campo que deu origem 
a essas correntes. Quanto menor a resistência elétrica 
desse núcleo, maiores os efeitos provocados pelas 
correntes parasitas, que são perda de rendimento e 
aquecimento.
Essa característica da corrente induzida foi descoberta 
pelo fisico russo Heinricb Lenz e pode ser aproveitada 
em alguns equipamentos, como, por exemplo, medidores 
de energia. Quando úteis, chamamos essas correntes 
de correntes de Foucault, afinal não ficaria bem chamar 
o fundamento de trabalho de um equipamento de 
"correntes parasitas".
Para minimizar os efeitos das correntes parasitas, não 
se utiliza um núcleo maciço para o transformador. São 
utilizadas chapas de ferro magnético, de espessura 
reduzida, isoladas eletricamente uma da outra e 
montadas em forma de núcleo. Por estarem isoladas 
eletricamente, não facilitam a circulação das correntes 
parasitas, reduzindo o aquecimento e a influência 
negativa no campo magnético dessa origem. Isso explica, 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
53
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
de forma simples, por que o núcleo dos transformadores 
e o interior dos motores não são fabricados com material 
maciço.
Perdas no transformador 
Um transformador, além das perdas devido às correntes 
parasitas, possui outras perdas. A primeira que veremos é 
em úmção do enrolamento das bobinas. Como as bobinas 
são feitas de fio de cobre esmaltado e esse fio possui 
certa resistência, é justo assumir que a resistência total 
de uma bobina,sob influência de uma corrente elétrica, 
provoque aquecimento, e aquecimento significa potência 
desperdiçada. Essas perdas são chamadas de perdas no 
cobre.
Outra perda no transformador está relacionada à histerese 
magnética, que estudamos no capítulo 1. Ela provoca o 
atraso entre o campo magnético e a indução magnética. 
Como essa perda está relacionada com a qualidade do 
material utilizado na montagem do núcleo, é parte das 
perdas no ferro.
O total das perdas deve ser considerado no projeto de 
transformadores. Quando isso não é feito, temos um 
transformador que na teoria fornece urna potência e na 
prática a potência que ele é capaz de suprir é bem menor. 
Alguns chegam a ter rendimentos absurdos de apenas 
60%.
Cálculo de pequenos transformadores
Agora que temos o conhecimento básico necessário sobre 
o transformador, vamos utilizar um método de cálculo para 
o projeto de pequenos transformadores. Não é um cálculo 
científico de precisão indiscutida, mas um cálculo prático 
que permite construir transform adores até 1000VA, baixa 
tensão, sem problemas. Para projetar um transformador 
, é preciso definir sua aplicação, regime de trabalho e 
potência máxima fornecida. Para exemplificar, suponha 
que necessitamos de um transformador para reduzir a 
tensão de 220 V para 24 V com I=5A. Adotando cosφ =1, 
temos como potência ativa e aparente no secundário:
Ps = Us x ls x cosφ = 24 V x 5 x 1 = 120 W e Ss = 120 VA
Em seguida calculamos a potência no primário, com base 
na do secundário, acrescentando 10% devido a perdas 
no transformador, considerando um rendimento de 90%. 
Esse valor de rendimento pode aumentar conforme a 
qualidade da chapa utilizada. Vamos utilizar chapa com 
densidade magnética de 10.000 gauss.
Pp = Ps x 1,1 = 132 W e Sp = 132 VA
Pela potência do primário determinamos a seção líquida 
do núcleo do transformador, isto é, a seção teórica 
necessária para que ele atinja a potência desejada para 
o secundário.
Para construir o núcleo do transformador, aplicamos um 
fator de 20% sobre a seção líquida, para compensar as 
perdas eventuais na construção do núcleo com as chapas 
comercia is disponiveis, chegando a uma seção bruta:
SB = SL x 1,2 = 13,787 cm2 , aproximadamente 14 cm2
Para construir esse núcleo, utilizamos um conjunto 
de chapas E I, cujas dimensões devem ser capazes 
de formar a seção necessária para o transformador. 
Na tabela de chapas para transformadores citada 
anteriormente, encontramos uma coluna em que temos 
a potência aparente ligada a um determinado número 
de chapa. Pode-se selecionar a chapa a partir dos dados 
obtidos ou aplicar um cosφ < 1(por exemplo, 0,9) à 
unidade transformadora, como segue:
 Sp = 132 w/COSφ => Sp = 132 W/0,9 = 146,6 VA
A linha que atende a esta potência é a de 150 VA, chapa 
n° 4. Agora precisamos calcular o número de chapas 
necessárias para construção do núcleo que será retangular 
e com a medida "a" em um dos lados; "a" da chapa n° 4 
é igual a 3,5 cm. Com o seguinte cálculo determinamos a 
medida do outro lado do núcleo :
14 / 3,5 = 4 cm
Para atingirmos 4 cm, necessitamos de uma quantidade 
"x" de chapas com espessura igual a 0,3556 mm:
4 cm / 0,03556 cm= 113 chapas E e 113 chapas I para o 
conjunto E I.
Agora vamos calcular o número de espiras para o 
enrolamento primário utilizando a fórmula dada 
anteriormente:
Np= Up X 100000000 = 220 X 100000000 = 718,79=
 4,44 X BxfxSL 4,44 X 10000X 60 X 11,489
 719 espiras no primário
Para o secundário pode ser utilizada a relação de 
igualdade:
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
54
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Uprim = Nprim = 220V = 719 → Nsec = 78,436 = 79 espiras
U sec N sec 24V Nsec
Calculado o número de espiras, o próximo passo é 
determinar a seção do fio magnético esmaltado a ser 
utilizado para cada enrolamento. Para efetuar esse 
cálculo, necessitamos da corrente disponível dos dois 
enrolamentos e a densidade de corrente do condutor a ser 
utilizado. A densidade de corrente trata da condução de 
corrente por seção do condutor de acordo com a condição 
de trabalho do transformador. Quanto mais ventilado e 
limpo o ambiente, maior a densidade de corrente desse 
fio magnético.
Tabela de densidades de corrente D
Sem ventilação 2 A/mm2
Má ventilação 4 A/mm2
Ventilação regular 6 A/mm2
Boa ventilação 8 A/mm2
Para o projeto aplicaremos uma densidade de 4 A/ mm2.
A seção do fio do enrolamento primário pode ser calculada 
da seguinte manetra:
O condutor que possui seção igual ou superior a 0,15 mm2 
é o de 25 AWG, segundo a tabela de condutores dada a 
seguir.
Os mesmos cálculos devem ser efetuados para determinar 
a seção do fme para o enrolamento secundário:
Is = Ps = 120W= 5A seção secudário= Is = 5A = 1,25 mm2
 Us 24V D 4 
O condutor que possui seção igual ou superior a 1,25 
mm2 é o de 16 AWG.
Precisamos determinar se há possibilidade de 
enrolamento ou teremos de alterar a forma prevista 
para o núcleo do transformador. Verificar a possibilidade 
de enrolamento significa calcular a área ocupada pelas 
bobinas sobrepostas e conferir se o espaço em volta 
do núcleo montado comporta as bobinas. O espaço em 
volta do núcleo é estabelecido em cumplicidade com 
a medida "b" da chapa. O empilhamento máximo de 
espiras não deve atingir esse valor em nenhuma hipótese. 
O enfileiramento de espiras não deve exceder a altura do 
núcleo que é determinada pela subtração ("d"- "c").
Colocando no papel:
"b" = 1,8 cm
("d"-"c") = (5,3 - 1,8) = 3,5 cm
 Área disponível = 6,3 cm2
Da tabela de fios podemos extrair os diâmetros dos 
condutores utilizados:
25 AWG = 0,45 mm = 0,045cm 16AWG = 1,29 mm = 0,129 cm
Multiplicando os respectivos diâmetros pelas quantidades 
de espiras calculadas e depois novamente pelos mesmos 
diâmetros, temos, aproximadamente, a área ocupada 
pelo enrolamento:
Aep = 0,045 x 719 x 0,045 = 1,456cm2
Aes = 0,129 x 79 x O,129 = 1,315cm2
Atotal = 2,77 cm2
2,77 cm2 cabem em 6,3 cm2 ;
agora temos de nos preocupar apenas com o espaço 
ocupado pelos materiais isolantes utilizados durante o 
enrolamento.
Além do enrolamento, há também o espaço ocupado pelo 
material isolante instalado no carretel antes de iniciarmos 
o enrolamento e o material isolante normalmente 
colocado entre camadas. Deve ser uma preocupação se a 
área ocupada pelos enrolamentos estiver muito próxima 
da área disponível entre o ferro e o carretel.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
55
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Bitola do 
fio AWG
n°
Diâmetro
em mm
Seção em 
mm2
Resistência em 
�/Km a 20°C
Correntes admissíveis para as densidades
1A/mm2 2A/mm2 3A/mm2 4A/mm2 5A/mm2
6 3,21 8,37 2,07 8,37 16,74 25,11 33,48 41,85
9 2,91 6,63 2,59 6,63 13,26 19,89 26,52 33,15
10 2,59 5,26 3,27 5,26 10,52 15,72 21,04 26,30
11 2,30 4,17 4,15 4,17 8,34 12,51 16,06 20,85
12 2,05 3,31 5,22 3,31 6,62 9,93 13,24 16,55
13 1,83 2,62 6,56 2,62 5,24 7,86 10,46 13,10
14 1,63 2,06 8,26 2,06 4,16 6,24 8,32 10,40
15 1,45 1,65 10,40 1,65 3,30 4,95 6,60 8,25
16 1,29 1,31 13,20 1,31 2,62 3,93 5,24 6,55
17 1,15 1,04 16,60 1,04 2,08 3,12 4,16 5,20
18 1,02 0,82 21,10 0,82 1,64 2,46 3,28 4,10
19 0,91 0,653 26,50 0,653 1,306 1,959 2,612 3,265
20 0,81 0,518 33,50 0,518 1,036 1,554 2,072 2,590
21 0,72 0,40 42,30 0,410 0,620 1,230 1,640 2,050
22 0,64 0,326 53,60 0,326 0,652 0,978 1,250 1,630
23 0,57 0,2552 57,60 0,2552 0,5104 0,7658 1,0206 1,2760
24 0,51 0,2043 84,40 0,2043 0,4086 0,6129 0,8172 1,0215
25 0,45 0,1590 108,40 0,1509 0,3180 0,4770 0,6360 0,7950
26 0,40 0,1258 137,0 0,1258 0,2512 0,3768 0,5024 0,6280
27 0,38 0,1018 169,0 0,1018 0,2036 0,3054 0,4072 0,5090
28 0,32 0,0604 214,0 0,0804 0,1608 0,2412 0,32160,4020
29 0,29 0,0660 261,0 0,0660 0,1320 0,1980 0,2640 0,330
30 0,25 0,0491 351,0 0,0491 0,0982 0,1473 0,1964 0,2455
31 0,23 0,0415 415,0 0,0415 0,0830 0,1245 0,1660 0,2075
32 0,20 0,0314 549,0 0,0314 0,0628 0,0942 0,1256 0,1570
33 0,18 0,0254 679,0 0,0254 0,0508 0,0762 0,1016 0,1270
34 0,16 0,0201 858,0 0,0201 0,0402 0,0603 0,0804 0,1005
35 0,14 0,0154 1119,0 0,0154 O,0308 0,0462 0,06 16 0,0770
36 0,13 0,0132 1306,0 0,0132 0,0261 0,0396 0,0528 0,0660
37 0,11 0,0095 1815,0 0,0095 0,0190 0,0285 0,0360 0,0475
38 0,10 0,0078 2210,0 0,0078 0,0156 0,0234 0,0312 0,0390
39 0,09 0,0063 2737,0 0,0063 0,0126 0,0189 0,0252 0,0315
40 0,08 0,0050 3446,0 0,0050 0,0100 0,0150 O,0200 0,0250
Tabela de Bitola de Fio Magnético Esmaltado
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
56
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Considerações sobre isolantes e impregnação 
Para enrolar um transformador, não basta apenas fio 
magnético esmaltado, centenas de espiras, chapas de ferro 
e um carretel para enrolamento das bobinas e montagem 
das chapas. Outros materiais se fazem necessários para 
viabilizar seu uso e melhorar a resistência de isolação. O 
próprio FME deve ser escolhido, tendo como critérios as 
condições de trabalho do transformador, temperatura 
máxima etc.
Pelos menos dois tipos de papel isolante serão utilizados 
para construir o enrolamento. O papel "cinza" (Kraft) de 
maior espessura serve para forrar o carretel e cobrir o 
enrolamento todo quando tudo estiver pronto. Um papel 
mais fino (Cristal) deve ser utilizado como isolante entre 
as camadas de espiras.
Espaguetes podem ser necessários para dar proteção 
mecânica aos fios que ligarem o enrolamento às conexões 
externas, se eles não forem soldados a cabos flexíveis ao 
terminar a última camada. Se isso ocorrer, a solda deve 
ser bem feita e isolada da camada de espiras elétrica e 
mecanicamente.
Após realizar todas as ligações e fechar o transformador, 
um banho de verniz pode ser aplicado para a completa 
impregnação do transformador. Geralmente esse banho 
é feito mergulhando o transformador em verniz aquecido 
a uma temperatura que melhore sua impregnação ao 
enrolamento.
Circuito Equivalente
Figura 3.5 - Transformador real.
Um transformador, visto pelos profissionais da área de 
máquinas, não se resume a apenas duas bobinas e um 
núcleo de ferro. Existem parâmetros "escondidos", que 
muitas vezes necessitam ser mapeados, e o controle 
desses parâmetros determina o funcionamento 
adequado de uma máquina. O transformador real está 
longe do modelo ideal, como mostra a Figura 3.5. Todas as 
variáveis expostas têm uma razão de existir e para iniciar 
precisamos conhecer cada uma delas pelo nome:
• r1 = resistência do enrolamento primário;
• x1= reatância indutiva do emolamento primário;
• Rm= resistência de magnetização, que retrata as 
perdas no ferro;
• Xm = reatância indutiva de magnetização;
• r2 = resistência do enrolamento secundário;
• x2 = reatância indutiva do enrolamento secundário.
Com o nome das variáveis em mãos precisamos utilizar 
os métodos (ensaios) para determinação de cada uma 
delas.
Considerações sobre ensaios
Os ensaios e testes em transformadores estão previstos 
em normas, como, por exemplo, NBR5380: Transfonnador 
de Potência- Método de Ensaio.
Por meio de ensaios e testes verifica-se se os parâmetros 
reais do transformador não estão fora do escopo do 
projeto ou se algum parâmetro vai comprometer a sua 
vida útil quando em funcionamento. Além disso, os 
ensaios permitem dar dimensões às variáveis definidas no 
modelo do transformador real, Figura 3.5,possibilitando a 
utilização do modelo em simulaçõe-s.
O primeiro teste normalmente realizado é medir a 
resistência de isolação com um megôhmetro. A medição 
deve ser feita entre as bobinas do primário e do secundário 
e entre as bobinas e o núcleo de ferro. Em seguida, 
medimos a resistência ôhmica dos enrolamentos, 
marcando nesse momento o lado de maior resistência 
como primário.
Rendimento, perdas e parâmetros para o modelo 
do transformador são obtidos por meio de ensaios 
específicos, os quais veremos a seguir.
Perdas no ferro 
Ao realizar ensaio para determinar as perdas no ferro, 
ensaio em vazio, além de mensurarmos as perdas em si, 
conseguimos calcular os parâmetros magnéticos para a 
construção do circuito equivalente do transformador. 
Esses parâmetros são:
• Rm =resistência do circuito magnético;
• Xm= indutância do circuito magnético;
• Zm = impedância do circuito magnético;
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
57
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
• Cosφ = fator de potência do transformador .
Serão medidos no ensaio:
• P0 = potência ativa em vazio;
• U0 = tensão de alimentação em vazio;
• I0 = corrente em vazio .
Equações utilizadas:
Perdas no cobre
Como perdas no cobre, entenda as perdas por ocasião 
da resistividade do cobre utilizado para a fabricação do 
fio magnético esmaltado. Com o ensaio em curto-circuito 
determinamos o valor da resistência, a impedância e a 
reatância indutiva do enrolamento primário e do secundário 
com cálculos e auxilio da leitura dos instrumentos, além 
do fator de potência dos enrolamentos.
As equações utilizadas são as seguintes:
Quando são conhecidos os valores precisos de r1, r2, x1 
e x2, pode-se utilizar o conceito de impedância refletida 
para determinar os valores Rcc e Xcc:
Como Z1 = V1/I1, podemos fazer 
 Z1 = a x U2= a2 x U2 = a2 x Z2
 I2 / a I 2
em que a2 x Z2 é a impedância do secundário refletida no 
primário.
 
A partir dessa dedução temos: Rcc=r1+a2 xr2 e Xcc= x1+a2 
xx2
Como nessa aproximação não estão previstos métodos 
para separação de r1 e a2.r2, se obtivermos Rcc, 
podemos separar os termos usando dois métodos 
conhecidos:
é levada em consideração a relação de transformação a. 
Desta maneira obtemos a separação dos valores embutidos 
em Rcc e Xcc mais facilmente e essa aproximação se 
adapta melhor a determinadas condições de ensaio, 
mostrando valores mais próximos a medições efetuadas 
com instrumentos de baixa precisão ou que, por exemplo, 
não levem em consideração o efeito pelicular da CA.
No segundo método encontrado, Rcc é dividido igualmente 
entre primário e secundário, refletindo ao primário ou 
secundário, conforme a necessidade.
2.13. lmpedância Percentual 
Outro dado de extrema importância nos transformadores 
e que também pode ser determinado no ensaio de curto-
circuito é a impedância percentual ou tensão de curto-
circuito percentual. Essa irnpedânci a está relacionada 
com a tensão aplicada ao primário para fazer circular a 
corrente nominal secundária, com o secundário em curto. 
Esse valor vem como dado de placa do transformador, 
pois é extremamente importante e deve ser considerado 
na associação paralela de transformadores. O valor fica 
em tomo de 3% a 9%.
Olhando de outro modo, com o secundário em curto, se 
não houvesse resistividade do cobre e reatância indutiva 
da bobina , a tensão de curto-circuito seria 0V, resultando 
uma impedância percentual de 0%. Como existe 
resistividade do cobre e reatância indutiva por parte da 
bobina, podemos esperar que, em curto, a sorna vetorial 
da resistência do enrolamento e da reatância resulte uma 
impedância e seja parte da carga encontrada para o nível 
de tensão de curto-circuito que aplicamos ao primário do 
transformador.
Como o secundário está em curto e seu enrolamento foi 
calculado com base em uma máxima potência fornecida, 
deve-se iniciar a inserção da tensão no primário em 0V e ir 
aumentando até que a In do transformador seja atingida. 
É óbvio que há necessidade de instrumentos conectados o 
tempo todo ao secundário e, principalmente, ao primário 
do transformador, como veremos na seção de ensaios.
Se tivermos a tensão de curto-circuitoe a tensão nominal 
do primário, podemos calcular a impedância percentual, 
que é uma relação entre as duas:
Z% = Ucc x 100
Up
• Ucc = tensão de curto-circuito para atingir In no 
primário
• Up = tensão nominal do primário
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
58
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Podemos utilizar a impedância percentual para determinar 
a corrente de curto-circuito do transformador:
Icc = 100 x In
 Z%
In = corrente nominal atingida no ensaio de curto-circuito
Rendimento do transformador 
Rendimento sempre foi uma relação entre resultado 
e gasto. Em um transformador dimensionamos o 
rendimento estabelecendo uma relação entre a potência 
fornecida pelo secundário e a potência absorvida pelo 
primário para fornecer a potência no secundário.
A equação primária do rendimento, isto é, a 20°C, é 
apresentada a seguir:
Re nd = Ps 
 Ps + Pcu + Pfe
Ensaios
Atenção
As atividades seguintes devem ser realizadas sob a orientação e 
supervisão de um profissional habilitado, seguindo as normas de 
segurança com relação a equipamentos de proteção individual, como 
calçados e óculos de proteção, entre outros, e respeitando as normas 
técnicas e os limites dos equipamentos. Um procedimento altamente 
profissional é recomendado,pois ao trabalhar com eletricidade,o risco 
de morte é reale constante.
Instrumentos e equipamentos: megôhmetro, multímetro, 
voltímetro, am perímetro e wattímetro. A escala dos 
instrumentos depende do equipamento ensaiado.
Anote os dados de placa do transformador monofásico a 
ser ensaiado.
Teste de continuidade e isolação do transformador
Objetivo: Verificar se o transformador está em condições 
de uso e pode ser utilizado para realização dos ensaios 
elétricos. É necessário o cálculo da resistência de isolação 
mínima do transformador utilizando a seguinte equação:
Risol= Un + 1 (equação adotada da NBR 5383- Máquinas 
Girantes) 
Sendo: Risol em M�, Un em KV
Observação
Consulte as normas NBR5380 e NBR10295 para obter equações e 
tabelas de correção normatizadas para o respectivo transformador 
ensaiado.
1. Com um megôbmetro meça a resistência de isolação 
entre os emola mentos primário e secundário e 
registre.
2. Meça a resistência de isolação entre o primário e a 
carcaça e registre.
3. Meça a resistência de isolação entre o secundário 
e a carcaça e registre.
4. Calcule a resistência de isolação mínima para um 
transformador de 220V/110V e compare com os 
valores encontrados. Qual a sua avaliação técnica do 
transforma dor testado?
Relação de Transformação
Objetivo: Determinar a relação de transformação e 
verificar o funcio namento do transformador. Serão 
efetuados cálculos aproximados dos valores mecânicos e 
elétricos do transformador.
1. Anote os dados de placa do transformador.
2. Meça com o ohmímetro a resistência dos enrolamentos 
e identifique o primário e o secundário.
3. Alimente o primário com baixa tensão e anote a 
tensão medida no secundário. Qual a relação de 
transformação?
4. Meça a seção do núcleo de ferro com uma régua e 
anote.
5. Calcule a potência do primário e do secundário do 
transformador a partir da seção medida.
6. Calcule a corrente nominal do primário e a corrente 
nominal do secundário a partir do valor da potência 
calculada no item 5.
7. Qual a quantidade aproximadade chapas utilizadas no 
transformador?
8. Com o valor da seção, para uma densidade magnética 
na chapa de 12.000 gauss, calcule o número de espiras 
do enrolamento primário.
9. Calcule o número de espiras do enrolamento 
secundário.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
59
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
10. Calcule a bitola do condutor utilizado no primário e 
a bitola do condutor utilizado no secundário.
11. Meça o ângulo de defasagem entre a tensão no 
primário e a tensão no secundário do transformador 
com um osciloscópio.
Ensaio a vazio
Objetivo: Determinar as perdas no ferro e obter 
parâmetros elétricos para a construção do circuito 
equivalente do transformador real.
Nota
O ensaio seguinte, devido à complexidade por utilizar muitos 
instrumentos, tem uma conotação demonstrativa. Ele foi realizado 
com um determinado transformador e os resultados registrados. 
Foram efetuados os cálculos e anotados os resultados, portanto repita 
o ensaio com outro transformador e refaça os passos. Elabore um 
relatório com os resultados encontrados e suas observações .
Características do transformador utilizado: 
220 V/ 110+110 V 2 A 440 VA, Figura 3.6.
Figura 3.6 Figura 3.7
Monte o circuito da Figura 3.7. Preocupe-se em ligar os 
instrumentos corretamente, principalmente o wattímetro. 
Com o secundário aberto, a vazio, execute os seguintes 
procedimentos:
1. Conecte os terminais 1 e 2 a urna fonte CA ajustável.
2. Arrume a fonte CA ajustável para tensão nominal, 
neste caso 220 V.
3. Meça a potência ativa absorvida com a leitura do 
wattimeto e registre.
Po = 20W
4. Meça a tensão no primário com a ajuda do voltímetro 
e registre.
Upo = 220 V
5. Meça a corrente no primário com o amperímetro e 
anote.
Ipo = 160mA
6. Calcule a potência aparente absorvida pelo primário 
com os valores:
So = Uo x lo = 35,2 VA
7. Utilize as equações seguintes para calcular os 
parâmetros de magneti zação do transformador:
Cos φ = Po IRm = Io x Cos φ Im ag = Io x Sen φ
 Vo x Io 
Zm= Vo Rm = Vo Xmag = Vo Q var = Vo2 
 Io IRm Imag Xmag
• IRm = corrente através da resistência de magnetização 
do ferro
• Imag = corrente através da reatância de magnetização 
Calculando os valores:
Cosφ = 0,57 Irm = 91,2 mA Imag = 132 mA
 Xm = 1666,7 Ω Rm = 2412,3 Ω Zm = 1375Ω
Calcule a potência reativa gasta pelo transformador:
Qvar = 29 VAr
Ensaio em curto - circuito
Objetivo: Determinar as perdas no cobre nos enrolamentos 
primário e secundário pelo ensaio em curto-circuito, 
Figura 3.8.
Atenção
É possível conectar um amperímetro também no secundário. A tensão 
inicial no primá rio deve ser 0V. Desligue a fonte de tensão no primário 
antes de posicionar o amperí metro para medir a Icc no secundário.
Figura 3.8
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
60
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
1. Com uma fonte de tensão alternada ajustável, 
alimente o primário do transformador como na figura. 
Certifique-se de que a tensão de saída inicial da fonte 
seja O V.
2. Aumente gradativamente a tensão aplicada ao 
primário através da fonte até que a corrente 
indicada no amperímetro seja a corrente nominal do 
transformador.
3. Anote os valores da Pcc,Vccp e In medidos.
 Pcc = 12 W Vccp = 12 V In= 2 A
Observação
In é a corrente de curto nesta condição.
4. Calcule os dados do circuito equivalente com os valores 
registrados anteriormente utilizando as equações:
Observação
Np relação de transformação
 Ns
Cálculo: Rcc = _3Ω_Zcc = _6Ω_Xcc = _5,2Ω_ Cosφ=_0,5_
r1 = r2 x 220V → r1= r2→ como Rcc = r1+r2 e r1=r2
 220V
então → r1= Rcc
 2
r1 = r2 = 1,5Ω
O mesmo raciocinio aplicamos para a reatância: x1=x2=
Xcc = 2,6 Ω.
 2
Calcule o total de perdas no cobre:
O total das perdas no cobre, a 20°C, pode ser calculado 
pela equação:
Pcu = r1 x I12 + r2 x I22 Pcu = 12 W
Notas
Considerar I1 e I2 iguais à corrente nominal 
de curto-circuito no ensaio 2A.
Note que a relação de transformação é de 1:1, isolador, o 
que facilitou os cálculos.
1) Com os dados encontrados com os cálculos, desenhe o 
circuito equi valente do transformador com os valores dasrespectivas resistências e reatâncias anotadas.
Valores em ohms
2. Observe o cálculo da impedância percentual do 
transformador e da corrente em um eventual curto-circuito 
no secundário.
3. Cálculo do rendimento da unidade transfomadora a 
20°C (adotar cosφ = 1 para rendimento máximo):
Noções de enrolamento de transformadores
Objetivo: Fornecer noções de como é executado o 
enrolamento amador de transformadores de baixa 
tensão, os chamados pequenos transformadores.
Atenção
É recomendável que procure uma escola especializada em enrolamento 
de máquinas, se este for um assunto de seu interesse. Essas escolas 
possuem professores com longa experiência nesta arte que podem lhe 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
61
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
passar algumas técnicas.
Para enrolar um transformador, alguns materiais e 
ferramentas precisam estar disponíveis e em quantidade 
suficiente. A lista seguinte traz as ferramentas e materiais 
básicos que podem ser utilizados no enrolamento do um 
transformador.
1. FME com as seções calculadas para o primário e 
secundário em quantidade suficiente. Normalmente 
para estabelecer essa quantidade, ao desenrolar um 
transformador queimado, os profissionais pesam o fio 
magnético descartado para ter uma base de quanto 
vão gastar.
2. Papel kraft e papel cristal para isolação externa e 
entre camadas respectivamente.
3. Barbante ou cadarço para enrolamento para travar as 
terminações das bobinas no carretel.
4. Ferramentas: alicate, canivete, ferro de solda, 
bobinadeira com conta-voltas.
Para emolar o transformador , acompanhe os seguintes 
passos:
a) Primeiramente devemos preparar o carretel para o 
enrolamento, cobrindo a base interna com papel isolante 
cinza.
b) Em seguida instalamos o carretel na bobinade ira e 
preparamos o rolo de fio magnético esmaltado n° 25, 
para enrolarmos as camadas das bobinas do primário . 
Deixe uma sobra de fio para realizar as conexões elétricas 
posteriores com a bobina.
c) Não se esqueça de colocar uma camada de papel 
isolante mais fino entre as camadas de espiras do primário, 
aumentando a isolação.
d) Terminado o primário, deixamos uma sobra de fio para 
ligação externa e cobrimos o primário com papel isolante 
cinza.
e) Preparamos o rolo de fio n°19 para enrolarmos o 
secundário.
f) Novamente é necessário colocar uma camada de papel 
cristal entre as camadas de fio no secundário.
g) Terminado o secundário,cobrimos com papel kraft, 
soldamos cabos flexíveis às pontas de FME de saída e 
entrada do transformador.
h) A última etapa inclui testes mínimos para verificar 
se seu transformador pode receber tensão e realizar a 
função a que ele se destina Para isso realizamos testes 
como isolação, continuidade, resistência ôhmica das 
bobinas e ensaio de relação de transformação.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
62
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
CAPÍTULO 04
TRANSFORMADOR TRIFÁSICO
Introdução
Largamente empregado na indústria e em sistemas 
de distribuição, o transformador trifásico merece um 
capítulo especial. Vamos estudar os aspectos construtivos 
mais importantes, polarização do transformador, ligações 
e aplicações.
Aspectos construtivos
Os transformadores trifásicos podem ser vistos como um 
conjunto de três transformadores monofásicos, figura 4.1. 
Temos então três primários e ao menos três secundários 
que devem trabalhar juntos. Para trabalharem juntos, 
existem alguns cuidados a serem tomados e observações 
a serem feitas, e a partir destas podemos estabelecer 
padrões de ligação para o transformador trifásico e 
chamá-los de ligação estrela, ligação triângulo etc.
Três enrolamentos primários 
e três secundários, cada qual 
em uma coluna do entreferro 
do transformador. Os terminais 
do primário foram identificados 
com a letra H (alta tensão), o 
secundário com a letra X (baixa 
tensão).
Sendo o transformador trifásico um conjunto de três 
transformadores monofásicos, inseridos no mesmo núcleo 
de ferro, é correto presumir que esses transformadores 
deveriam ter as mesmas características construtivas, 
número de espiras, seção dos condutores, potência e 
principa lmente a irnpedância percentual, que deve ser 
igual para os três. Em conjunto eles formam um único 
transformador trifásico.
Para calcular a potência de uma unidade trifásica formada 
por três transformadores de potência nominal Sn, 
utilizamos a seguinte equação:
Sn3F = 3 . Sn
Um transfonnador trifásico pode apresentar-se de diversas 
formas, Figura 4.2, mas sempre teremos o cuidado de 
dissipar, de alguma maneira, o calor desenvolvido pelo 
equipamento em trabalho. Para dissipação de calor em 
transformadores de grande e médio portes, geralmente 
o enrolamento permanece mergulhado em óleo isolante 
que está em contato com as aletas externas, melhorando 
a dissipação de calor. Transformadores menores têm seus 
enrolamentos em contato com o ar, que é suficiente para 
dissipar o calor gerado.
Figura 4.2- Transformadores trifásicos.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
63
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Normalmente os transfonnadores trifásicos possuem 
uma caixa de ligações ou bomes em que podemos efetuar 
as conexões e ligações. Para identificar os terminais do 
primário, é utilizada a letra H seguida do número do 
terminal e para identificar os terminais secundários, é 
utilizada a letra X, também seguida do número do terminal. 
Em transformadores de alta e média tensões, os bornes 
de ligação são sustentados por isoladores que os mantêm 
a uma distância adequada da carcaça do transformador.
Classes de proteção
É importante salientar que, além das características 
elétricas, os transformadores devem ser projetados ou 
escolhidos de acordo com uma classe de proteção. O 
que vem a ser classe de proteção? As características de 
trabalho do transformador são importantíssimas, mas de 
igual importância é o ambiente em que esse transformador 
vai desenvolver esse trabalho e as proteções operacionais 
que deve possuir.
Para mensurar essas características temos as classes 
de proteção indicadas pelo índice de proteção IP, que é 
construído com dois algarismos, o primeiro da Tabela 1 e 
o segundo da Tabela 2.
Numeral Descrição sucinta do grau de proteção
0 Não protegido
1 Protegido contra objetos sólidos de Ø 50 mm e mais
2 Protegido contra objetos sólidos de Ø 12 mm e mais
3 Protegido contra objetos sólidos de Ø 2,5 mm e mais
4 Protegido contra objetos sólidos de Ø 1,0 mm e mais
5 Protegido contra poeira
6 Totalmente protegido contra poeira
Tabela 4.1 - Graus deproteção contra apenetração de objetos sólidos estranhos indicados pelo primeiro numeral 
característico.
Numeral Descrição sucinta do grau de proteção
0 Não protegido
1 Protegido contra gotas-d'água caindo verticalmente
2 Protegido contra queda de gotas-d'água caindo 
verticalmente com invólucro inclinado até 15°
3 Protegido contra aspersão de água
4 Protegido contra projeção de água
5 Protegido contra jatos de água
6 Protegido contra jatos potentes de água
7 Protegido contra efeitos de imersão temporária em água
8 Protegido contra efeitos de imersão contínua em água
Tabela 4.2 - Graus de proteção contra a penetração de água indicados pelo segundo numeral característico.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
64
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Transformadores trifásicos em paralelo
Existem situações, geralmente em sistemas de potência 
para fornecimento de energia, em que são associados 
dois ou mais transformadores em paralelo, para aumentar 
a potência fornecida.Para que isso seja possível, é 
necessário que os projetistas, técnicos e engenheiros 
tenham um profundo conhecimento de máquinas 
elétricas e de sistemas de potência.
Algumas regras devem ser seguidas. Para associarmos 
dois transformadores em paralelo, eles devem ter a 
mesma impedância percentual e a mesma defasagem 
angular. Quando duas fases R de dois transformadores 
não têm a mesma defasagem angular, há uma diferença 
de potencial entre elas e isso ocasiona um curto-circuito. 
Se dois transformadores possuem impedâncias 
percentuais diferentes, um enxerga o outro como carga e 
há desperdício de potência.
Grupos de transformadores
Os dois grupos mais conhecidos de transformadores são o 
A e o B. A defasagem angular do transformador determjna 
a que gmpo ele pertence. Os transformadores do grupo A 
possuem defasagem angular 0° e os do grupo B possuem 
defasagem angular 30°.
Como visto anteriormente, não podemos ligar 
transformadores com defasagens angulares diferentes em 
paralelo, portanto não podemos ligar transformadores de 
grupos diferentes em paralelo. A defasagem depende de 
como foi enrolado o transformador e do tipo de ligação 
do primário e do secundário. O fabricante determina as 
ligações para o transformador de acordo com o grampo.
Além das defasagens de 0° e 30°, são encontrados no 
mercado transfor madores com defasagem angular de 
180° e 210°.
Polarização do Transformador
Polarizar o transformador é organizar todas as suas 
bobinas, tanto as do primário quanto do secundário, de 
forma que elas tenham polaridade defmida e conhecida, 
evitando que, ao executarmos uma ligação, haja 
inversão de polaridade não planejada, o que provocaria 
subtração de tensão entre as bobinas. Eristem algumas 
formas conhecidas de executarmos a polarização de 
um transformador. A primeira delas é conhecida como 
golpe indutivo e a outra como polarização em CA. As 
diferenças entre os dois métodos de polarização estão na 
complexidade de execução do método, necessidades de 
instrumentos incomuns e risco de descargas na execução 
do ensaio.
O golpe indutivo é o método mais simples e rápido de 
polarizar um transformador e é aplicado separadamente 
em cada um dos três enrolamentos que formam o 
transformador trifásico. Se o secundário tiver mais de um 
enrolamento, esse ensaio deve ser executado para cada 
um dos enrolamentos do secundário. O golpe indutivo 
consiste em aplicar uma tensão CC no primário e observar 
a resposta em um galvanômetro conectado no secundário. 
O mesmo padrão de resposta deve ser considerado para 
os três enrolamentos que são marcados de acordo com 
esta resposta.
A polarização em CA é mais complexa e trabalhosa, 
mas exige menos instrumentos e recursos de bancada, 
bastando uma fonte CA ajustável para sua realização. 
Deve-se ter extremo cuidado, pois trabalhamos com o 
transformador energizado a maior parte do tempo. Esse 
método consiste em alimentar um dos enrolamentos 
com tensão reduzida e ligar os outros enrolamentos em 
série até que tenhamos a soma das tensões de cada 
enrolamento. A cada etapa marcamos os terminais dos 
enrolamentos já polarizados.
Felizmente, os transformadores vêm de fábrica com 
todos os enrolamentos organizados e com polaridade 
definida. Os terminais são marcados e basta seguir as 
orientações do fabricante para efetuar a ligação desejada. 
Apenas em situações especiais, fábricas, ensaios e 
em transfonnadores sem identificação, realiza-se a 
polarização do transformador.
Para auxiliá-lo no ensaio que está por vir, vamos fazer 
algumas reflexões teóricas com relação à polaridade, que 
é a base do ensaio por golpe indutivo. Consideremos o 
transformador monofásico das Figuras 4.3 e 4.4:
Ospequenos pontos nos 
enrolamentos indicam 
apolaridade do enrolamento. 
Um transfonnador com a 
polaridade indicada reagiria 
como nafigura, se aplicada 
uma corrente no sentido 
indicado. Supondo que esse 
transformador tivesse um 
primário as com Un - 110 V e 
as bobinas do secundaria com 
Un = 55 V cada, poderíamos 
obter vários níveis de tensão 
a partir de umafonte 110 V. 
Exemplo: 55 V, 110 V e 220.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
65
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Para obter 110 volts, é relativamente simples. Basta 
seguir os sinais depolaridade das bobinas do primário e 
ligar a entrada de uma na saída da outra. Considerando 
o lado marcado como a entrada da bobina ou lado 
''positivo", igualmente simples é perceber quando ligamos 
erradamente o secundário, pois se ligamos entrada com 
entrada, teremos O V de tensão resultante.
Até agora pode não ser novidade, mas como fazer para 
obter 220 V de um transformador 110/55+55 V?
Se observada a montagem de um transformador, 
percebe-se que temos enrolamentos de primário e de 
secundário cuja conversão de energia é realizada por 
entreferro. Pelo desenho notamos que estão em posição 
oposta, portanto, para conseguir 220 V, é preciso associar 
os potenciais dos dois enrolamentos.
Observe a ligação para conseguirmos 220 V nos terminais 
do transformador. As colunas de tensão do primário e do 
secundário foram somadas de maneira a obter o nível de 
tensão desejado. Na prática obteríamos a soma das duas 
colunas ou a subtração delas (leitura próxima de zero). 
Se a marcação de polaridade foi feita sem inversão (0"), 
conectando saída do primário (sem ponto) com entrada 
do secundário (ponto), temos 220V entre os terminais 1 
e 2.
Este raciocínio é usado constantemente na polarização e 
identificação dos terminais do transformador.
Ensaios físicos-químicos
 
Os transformadores imersos em óleo isolante passam 
periodicamente por ensaios incomuns para os estudantes 
de máquinas elétricas, que são os ensaios físico-químicos. 
Com certa frequência a rigidez dielétrica do óleo isolante 
deve ser testada, pois esse óleo tem um tempo de vida 
útil. O teste geralmente é executado por empresas 
especializadas em testes de laboratório em que são 
verificadas as condições do óleo isolante para determinar 
uma possível troca.
Normalmente as empresas retiram uma amostra do óleo 
por um dreno, com o transformador desligado, e enviam 
para análise. De acordo com os resultados, o óleo deve ou 
não ser substituído.
Ligações em transformadores trifásicos
Os transformadores trifásicos possuem enrolamentos 
primário e secun dário preparados para serem ligados 
de acordo com o esquema de ligações fornecido pelo 
fabricante. Os esquemas de ligações do fabricante 
geralmente trazem a identificação dos terminais de alta 
e baixa tensões com as letras H e X, respectivamente, 
mas além disso, as bobinas componentes das fases são 
identificadas com a numeração normalizada. Para fase 
R:(1;4),(7;10); fase S:(2;5),(8; 11);fase T:(3;6),(9; 12).
Para reequilibrar as correntes desequilibradas no 
secundário, os transfor madores trifásicos de distribuição 
têm o enrolamento primário conectado em triângulo. De 
acordo com a defasagem angular, o fabricante recomenda 
um grupo de ligações para o transformador. Nos esquemas 
seguintes temos uma ligação típica, triângulo/estrela, 
para transformadores do grupo B.
Figura 4.6
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
66
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
As ligações devem ser efetuadas de acordo com os 
padrões de ligação e respeitar a numeração nos terminais 
das bobinas. Seguem os esquemas de ligação para 
transformadores com mais de seis terminais:
Figura 4.7 - Transformador Trifásico
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
67
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Qualquer máquina elétrica industrial, antes de ser 
conectada à rede de energia, deve passar primeiramente 
por um teste de isolação elétrica. O transformadornão é diferente e devemos executar o teste medindo a 
isolação entre bobinas e entre bobinas e carcaça. Deve-se 
também verificar a continuidade das bobinas e sua 
resistência ôhmica, procurando anomalias ou diferenças 
entre enrolamentos.
Se passar pela fase de testes de isolação e resistência, em 
ensaios de laboratório, devemos testar o transformador 
para todas as possibilidades de ligação indicadas pelo 
fabricante. Na atividade industrial, após ensaios de 
isolação, testa-se o transformador no futuro ambiente 
de trabalho, ligando-o conforme a necessidade e para as 
condições previstas.
Isolação mínima a 75°C de transformadores trifásicos a 
óleo:
Sendo:
• R em MΩ
• U em KV
• F em HZ
 
Uma consulta à NBR5380 deve ser realizada para obtenção dos 
fatores de ajuste de temperatura e para detalhes na determinação 
daresistência de isolação de transformadores a óleo e a seco.
Ensaio: transformador trifásico
 Atenção
Este ensaio deve ser executado sob a supervisão de um 
profissional experiente e habilitado, pois os riscos estão 
presentes. Se você já é um profissional habilitado, deve 
entender o que tentamos esclarecer e tomar todas as 
medidas preventivas necessárias para redução de risco, 
evitando acidentes.
Ensaio de polarização por tensão CA 
Objetivo: Organizar as bobinas do transformador trifásico 
de modo que possam ser executadas as ligações previstas, 
mantendo o equilibrio entre as tensões e correntes do 
Figura 4.8 - Transformador Trifásico
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
68
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
primário e do secundário, em que acontecem as respos 
tas de tensões desejadas. Novamente este ensaio é um 
exemplo de aplicação, devendo o aluno tomá-lo como 
base para seu ensaio e reflexões. Anote seus resultados; 
não copie os do livro.
Dados iniciais: Para polarização por tensão CA, o único 
dado de que necessitamos é a tensão nominal de cada 
bobina no primário. Sabendo que a tensão de alimentação 
do primário para ligação triângulo é de 220 V, podemos 
concluir que cada bobina primária suporta no máximo 
220 V. A relação de transformação individual das colunas 
do transformador em teste é aproxi madamente 3/1 (1V no 
secundário para cada 3V aplicado à bobina do primário).
Fórmula para o ensaio: UL = UF * √3
As Figuras 4.9 e 4.10 mostram, respectivamente, o 
transformador experi mental e o esquema elétrico do 
transformador depois da polarização. Note que após a 
polarização temos todos os enrolamentos com sentido 
marcado por ponto e números nos terminais.
Figura 4.9 Figura 4.10 
1. Desenhe a vista frontal dos bomes de ligação do 
transformador trifásico, Figura 4.11. Com o auxílio 
de um multímetro, identifique todas as bobinas 
do enrolamento primário e as do enrolamento 
secundário e marque no desenho. Anote o valor da 
resistência ôhmica das bobinas. No exemplo foram 
encontradas uma bobina secundária e três bobinas 
primárias. Registre todas as etapas de identificação 
e, se for necessário, faça vários desenhos como na 
Figura 4.11.
No exemplo observamos a medição e a identificação de 
algumas bobinas doprimário e do secundário. As bobinas 
do lado de maior tensão têm maior resistência. Como a 
resistência das bobinas é muito baim, podemos esperar 
erros de medição, portanto o valor medido aproxima-se 
do real. O transformador ensaiado tem relação 
220 V/36+36 V.
Figura 4.11
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
69
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
2. Se não for possível saber quais são as bobinas do 
enrolamento central, coluna 2, você precisa fazer esse 
teste antes de continuar. Alimente um dos enrolamentos 
primários com tensão aproximadade 60V (30% de 
220 V). Meça a tensão nas seis bobinas do secundário. 
Se o enrolamento primário energizado for o enrolamento 
central, as tensões medidas terão a seguinte configuração: 
• Bobina 1:8,9 V 
• Bobina 2:9 V
 
• Bobina 3:9 V
 
• Bobina 4:18 V 
 
• Bobina 5:8,9 V 
 
• Bobina 6:18 V
 
Temos duas bobinas com valores iguais e superiores 
ao valor das outras quatro bobinas que também são 
aproximadamente iguais. Isso configura que alimentamos 
o enrolamento primário central e o fluxo magnético 
variável atinge primeiro o secundário central, por isso a 
maior tensão é encontrada nas bobinas do secundário 
desse enrolamento.
O fluxo variável atinge as outras colunas com a mesma 
intensidade, pois elas têm praticamente a mesma distância 
do centro, por isso os valores são iguais nas outras bobinas. 
O mesmo procedimento pode ser utilizado para achar 
as bobinas das colunas direita e esquerda. Se alimentar 
o primário dessas colunas com 60 V, encontram-se 
18 V apenas no secundário das bobinas das respectivas 
colunas. Apenas tenha o cuidado de alimentar e testar 
uma coluna de cada vez.
Organizando:
• Bobinas da coluna 2 central: bobinas 4 e 6→ 18 V
• Bobinas da coluna 3 direita: bobinas 2 e 3 → 9 V
• Bobinas da coluna 1 esquerda: bobinas 1 e 5→ 8,9 V
3. Com o auxílio dos desenhos faça as conexões entre 
os enrolamentos primários das colunas 2 e 3 do seu 
transformador, conforme a Figura 4.12. Alimente o 
primário da coluna 3 à esquerda com uma tensão 
equivalente a 30% da tensão nominal.
Conecte um voltímetro entre as bobinas 
das colunas 2 e 3. Se a polaridade estiver 
correta, o valor da tensão medida deve 
ser próximo à tensão aplicada. Se o valor 
medidofor muito menor, inverta aspontas 
da terceira coluna e refaça a medição.
Vaplicada = _60 V_
 
Vmedida= _60 V_
4. Se a tensão medida ficou próxima da tensão aplicada, então marque os enrolamentos conforme a Figura 4.13.
Figura 4.12
As colunas seguem a numeração padrão 
para as bobinas das fases , considerando 
coluna 2 - fase 2, coluna 3 - fase 3. 
Lembre-se de que é um exemplo.No seu 
caso uma das pontas do voltímetro estará 
conectada ao 2 (entrada da coluna 2) e a 
outra ao 6 (saida da coluna 3).
Figura 4.13
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
70
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
5. O mesmo procedimento deve ser seguido com relação ao enrolamento da coluna 1. Conforme a Figura 4.14 , 
alimente o enrolamento da coluna 3 com tensão de 30% da tensão nominal e meça a tensão entre os enrolamentos 
das colunas 1 e 2.
Ligue os enrolamentos dos primários das colunas 
1 e 2 conforme o desenho. A tensão no voltímetro 
deve estar próxima da tensão indicada. Se for 
muito menor, inverta as bobinas da coluna 
1.Anote o valor da tensão medida:
Vmedida= _60 V_
6. Se a tensão medida ficou próxima da tensão aplicada, então marque os enrolamentos conforme a Figura 4.15.
O enrolamento primário está todo identificado 
com a numeração das bobinas de acordo com 
asfases. Execute o teste 6.a para ter certeza 
de que está tudo corretamente polarizado no 
primário antes de passarmos ao secundário.
a) Para ter certeza de que o primário está polarizado 
e numerado corretamente, feche-o em estrela, com o 
secundário sem ligação nenhuma. Aplique 220 V trifásico 
no primário e meça as tensões de fase e de linha. Se o 
primário estiver corretamente polarizado e numerado, a 
relação das tensões deve ser a seguinte:
• UF = 127 V das três fases para o neutro
• UL = 220 V entre as três fases
Se algo estiver errado, isto é, alguma bobina estiver 
invertida (S, por exemplo), você encontra as seguintes 
tensões de fase e de linha: 
UF_R= 190 V, UF_S = 318 V, UF_T = 190 V
Nota-se 1,5 x UF em duas fases e 2,5 x UF na fase invertida. 
Quando uma fase está invertida no primário, é assim que 
as tensões se apresentam. Na linha temos:
U_RS = 220 V, U_ST =220 V, U_RT = 220 V
Se a maior tensão se apresenta na fases, a bobina invertida 
é a da fase S. Reverta a bobina da fasee normalize a 
situação.
Registre nos desenhos a mudança.
Figura 4.14
Figura 4.15
Figura 4.16
Como o primário está ligado àfonte, é dificil enxergar a 
soma das tensões de fase (que deveria ser zero) com uma
fase invertida.
Do ponto de vista do secundário, fica maisfácil entender o 
que ocorre quando há umafase invertida.
Se estiverem corretamente polarizadas, as três fases 
aplicadas.flcam 120° defasadas entre si. Como a fase S 
está invertida, a defasagem entre R e S, S e T fica menor, 
60°. Consequentemente, a tensão de linha entre essa.fase 
é menor.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
71
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
7) Alimente o enrolamento central, com tensão reduzida, como na figura:
Meça a tensão em cada uma das bobinas do secundário, 
com o enrolamento primário da coluna central alimentado 
com tensão reduzida. Anote os valores noformato:
• Coluna 1
• Bobina secundária 1:_8,9_Volts 
• Bobina secundária 2: _8,9_Volts 
• Coluna 2
• Bobina secundária 1: _18_Volts
• Bobina secundária 2: _18_Volts
• Coluna 3
• Bobina secundária 1: _9_Volts 
• Bobina secundária 2: _9_Volts
Figura 4.17
8. Ligue as bobinas do secundário em série, conforme a Figura 4.18, e meça a tensão no secundário de cada coluna.
Figura 4.18
A tensão indicada no voltimetro deve ser superior às 
tensões individuais das bobinas. Se isso não ocorrer, 
inverta a ligação das bobinas, ligue entrada com entrada 
ou saída com saída e meça novamente. Anote o valor 
medido.
Coluna 1 => Vmed = _17 V_
9. Repita o procedimento anterior para as bobinas 
do secundário das colunas 2 e 3, anotando os valores 
encontrados.
• Coluna2 → Vmed = _36 V_
Meça a tensão nas extremidades das colunas conforme 
indicado. A tensão indicada deve ser próxima da soma 
das tensões medidas nos secundários das colunas 
separadamente. Se nãofor, inverta a ligação entre as 
colunas. Anote o valor da tensão medida.
Vmedida = _53 V_
• Coluna3 → Vmed = _18,3 V_
10. Ligue em série os conjuntos de bobinas do secundário 
da primeira e segunda colunas de acordo com a Figura 
4.19.
Figura 4.19
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
72
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Nota
Nesse momento numere as pontas dos secundários, tendo em mente que, como estamos interligando colunas, 
devemos ligar saída com saída, pois há defasagem de 120° de uma coluna para a outra.
11. Interligue as colunas 1 e 2 já polarizadas com a coluna 3, como demonstra a Figura 4.20.
Figura 4.20
Meça a tensão entre as colunas 2 e 3, conforme afigura ao 
lado. Obviamente o resultado deve aproximar-se da soma 
das tensões individuais das duas colunas. Se houver uma 
diferença significativa, inverta os terminais do conjunto 
da coluna 3.
Anote o valor da tensão medida.
Vmedida = _54,3 V_
12. Numere os enrolamentos em sequência de acordo com o resultado obtido e como exemplificado em seguida.
Após marcadas todas as bobinas com os 
respectivos números, é hora de testar os esquemas 
de ligações para o tran formador. Não se esqueça 
de que, após realizada a ligação no primário, os 
terminais passarão a ser identificados como H1, 
H2 e H3. O secundário como X1, X2 e X3.
Para verificar se está rudo ligado corretamente, utilize 
a ligação estrela 12 pontas para o secundário, ligue o 
primário em estrela e ali mente com 220 V. Meça as 
tensões de fase e de linha no secundário. Se houver 
diferenças, proceda como exemplificado no item 6, Figura 
3.13, aplicando ao secundário. Os resultados dos testes 
no secundário podem ser vistos a seguir:
UF_R = 72V, UF_S = 72 V, UF_T = 72V 
U_RS = 124 V, U_ST = 124 V, U_RT = 124 V
Testar ligações e relações de transformação
Objetivo: Verificar as possibilidades de ligações para 
o transformador trifá sico disponível. Anotar todos os 
valores de tensão de fase e de linha possíveis.
Atenção
Sempre que for realizar alteração nas ligações do 
transformador, desligue a alimentação. Mantenha o 
transformador energizado apenas enquanto estiver 
realizando medições.
1) Teste cada um dos esquemas de ligação, anote a tensão 
de linha medida para as ligações triângulo e as tensões 
de linha e de fase para as ligações estrela no secundário.
Figura 4.21
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
73
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Primário Δ Δ Δ Δ
Secundário λ λλ Δ ZZ
Tensões de
linha e de fase
medidas nas
fases R, S e T
respectivam ente
em volts
UL = 220 UL = 111 UL=127 UL = 190
UF = 127 U F= 63
 
Uf =127/63 UF = 111/64
UL = 220 UL = 111V UL = 127 UL = 190
UF = 127 UF = 63V UF = 127/63 UF = 111/64
UL = 220 UL = 111 UL = 127 UL = 190
UF = 127 UF = 63 UF = 127/63 UF = 111/64
Primário λ λ λ λ λ
Secundário Δ ΔΔ λλ ZZ λ
Tensões de
linha e de fase
medidas nas
fases R, S e T
respectivam ente
em volts
UL= 74 UL=36 UL =63 UL=111 UL= 128
UF= 74/37 UF=36 UF =36 UF=62/37 UF=74
UL=74 UL=36 UL =63 UL=111 UL= 128
UF=74/37 UF=36 UF =36 UF=62/37 UF=74
UL =74 UL=36 UL =63 UL=111 UL= 128
UF=74/37 UF=36 UF =36 UF=62/37 UF=74
2) Construa duas tabelas semelhantes às anteriores 
e anote os valores calculados para as ligações. Utilize 
a relação de transformação encontrada e considere 
para ligação triângulo UF = UL e para ligação estrela 
UL = UF x √3.Para ligação ZZ considerar UL = UF x √3 nas 
extremidades e UL = UF x 3 no joelho. Compare seus 
cálculos com os valores medidos.
Ensaio de polarização por golpe indutivo 
Objetivo: Determinar a polaridade das bobinas do 
transformador através de golpe indutivo aplicado no lado 
de tensão mais alta.
Importante
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
74
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
O golpe indutivo deve ser aplicado do lado de alta 
para o lado de baixa tensão. Desobedecida esta regra, o 
risco de descarga elétrica é altissimo.
Figura 4.22
O ensaio de polaridade por golpe indutivo é mais 
simples de ser realizado, mas exige um instrumento não 
convencional para indicar o sentido da corrente do golpe, 
o galvanômetro. Além disso, são necessários uma fonte 
de corrente contínua e um botão de pulso em série para 
comandar o pulso de tensão aplicado no primário.
O galvanômetro deve supmiar o golpe refletido no 
secundário e o pulso de tensão deve ser aplicado sempre 
no enrolamento de tensão mais alta com tensão contínua 
calculada. O procedimento desse ensaio é ligar o positivo 
da bateria a determinado terminal do enrolamento e 
marcar esse terminal com um ponto (como na figura 
anterior).
Aplicado o golpe, o sentido da corrente refletida no 
galvanômetro deve ser positivo e o mesmo para todos 
os enrolamentos do lado de tensão mais baixa, sendo 
marcado com ponto também.
Banco de transformadores monofásicos
Aplicando os conhecimentos adquiridos, é possível 
montar uma unidade transformadora trifásica com 
três transformadores monofásicos. O aspecto geral da 
montagem fica como representado na Figura 4.23.
Temos três transformadores monofásicos compolaridades 
iguais trabalhandojuntos em um sistema trifásico. O 
primário e o secundárioforam fechado sem estrela no 
exemplo.
Figura 4.23
Se houver disponibilidade de três transformadores 
monofásicos com relação de transformação, impedância 
percentual e defasagem angular seme lhantes, é possível 
realizar o experimento. No exemplo citado temos três 
trans formadores monofásicos 220/127 V fechados em 
estrela e ligados a uma rede de 380 V. Na saída temos uma 
rede trifásica de 220 V com tensão de fase 127V.
Outros Transformadores
Autotransformador
Para reduzir custos ou em situações específicas, 
pode-se optar pela utilização ou construção de um 
autotransformador.Ele não difere muito de um 
transformador monofásico no que diz respeito ao 
ferromagnético desse equipamento. A grande diferença 
e, consequentemente, o segredo está no sistema de 
bobinas. No autotransforrnador não há mais primário e 
secundário como dois enrolamentos distintos, na verdade 
temos apenas um enrolamento que serve como primário 
e corno secundário ao mesmo tempo, Figura 4.24.
Com isso se esperam menos perdas no cobre e consequente 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
75
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
aumento no rendimento. O aspecto comercial de um 
autotransformador para uso domiciliar pode ser visto na 
Figura 4.25.
Figura 4.24
Figura 4.25
Obviamente há uma economia, já que não temos mais 
dois enrolamentos, mas tudo tem um preço. Perdemos 
a isolação elétrica entre entrada e saída, pois o mesmo 
caminho elétrico que constitui a entrada constitui a saída. 
Outro fator importantíssimo que deve ser levado em 
consideração antes da opção por um autotransformador 
é a potência do equipamento.
Pode-se observar que não circula a mesma corrente 
nas duas seções do enrolamento; por exemplo, um 
autotransformador de 210 V/70 V fornece uma corrente 
de 10 A para uma determinada carga com 70 V através do 
secundário, então temos 700 VA e 10 A fornecidos à carga. 
Se há uma carga de 700 VA, o primário deve garantir esses 
700 VA; a 21O V temos uma corrente fornecida de 3,33 A.
A corrente fornecida percorre o segmento do enrolamento 
superior primário, descendo, encontrando-se com os 
6,66 A produzidos por indução no segmento do secundário 
e suprindo a necessidade da carga. Passando pela carga, 
esse total de 10A retoma a fonte pelo fio comum da forma 
apresentada na Figura 4.26. 
Figura 4.26
Em outro exemplo, se desejamos uma potência de 300 VA 
na saída, a entrada deve suprir a futura demanda. Portanto, 
para um transformador de 300 VA/ 110 V no primário 
e 48 V no secundário, temos I primária = 2,73 A. Para o 
secundário, de mesma potência, desconsiderando perdas, 
temos uma corrente I secundário = 300 VA/48 V = 6,25 A.
Conclusão: Se fabricarmos o autotransformador com o 
condutor dimen sionado segundo a corrente primária, 
ocorrem perdas enormes, aquecimento e possível queima 
(S = 48 V x 2,73 A = 131,4 VA) se ultrapassada a potência 
máxima com esse condutor, o que não é raro de ser 
observado em transforma dores e autotransformadores 
de procedência duvidosa.
Figura 4.27
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
76
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
A aplicação de autotransformadores é indicada quando 
não há necessidade de isolação elétrica entre primário e 
secundário e a redução de tensão não ultrapassa 50% da 
tensão primária, como, por exemplo, o autotransformador 
trifásico para sistemas de compensação de partida de 
motores (chave compensadora), que possui taps de 50%, 
65% e 85% da tensão de entrada, Figura 4.27.
Existem situações em que encontramos a filosofia do 
autotransformador aplicada em outros dispositivos. Em 
aplicações CC em que se deseja uma elevada tensão CC 
de saída a partir de pulsos de entrada, pode-se utilizar 
autotransformadores desenhados e projetados para esse 
fim. Exemplos: bobinas de ignição, flybacks etc.
Autotransformador ajustável
Em equipamentos industriais, em que existe uma fonte 
de CA ajustável, é comum encontrar como elemento ativo 
dessa fonte um simples autotrans formador ajustável. 
Como dito anteriormente, uma razão forte para isso é a 
economia, outra a simplicidade de um autotransformador 
ajustável, Figura 4.28. Normalmente, por questão física 
do equipamento, o enrolamento é bobinado sobre um 
núcleo em forma de toroide.
Figura 4.28
Aproveita-se o mesmo enrolamento primário como 
secundário, mas desta vez a saída funciona selecionando o 
número de espiras necessárias para produzir determinada 
tensão na saída do transformador. Em laboratórios 
encontramos autotransformadores ajustáveis que operam 
em equipamentos como o VARIAC. Um ponto importante 
e que mesmo em equipamentos comercializados não se 
leva em consideração é que o fusível de proteção nesses 
equipamentos, por ser indutivo, não deveria ser de ação 
rápida.
Transformador de potencial
As aplicações para transformadores são muitas, mas 
em alguns casos esses equipamentos têm papel 
tão importante em uma aplicação que recebem um 
sobrenome. O transformador de potencial, Figura 4.29, 
por exemplo, é utilizado em sistemas de proteção para 
sistemas de potência.
Figura 4.29
Suponhamos um sistema de potência em 13,8 KV que 
necessite de sinalização de nível de tensão na porta do 
seu painel de comando. É óbvio que não podemos instalar 
um voltímetro de painel que meça diretamente os 13,8 KV. 
O transformador de potencial, neste caso, participa do 
sistema de medição, abaixando o nível de tensão para 
ser aplicado ao voltímetro. O voltímetro possui escala de 
0 a 13,8 KV proporcional à baixa tensão aplicada.
O transformador de potencial também pode ser usado 
para acionar as bo binas de gatilho de disjuntores de alta 
tensão, pois seria inviável comandá-las em alta tensão, 
sendo aplicados em sistemas de proteção.
Transformador de corrente
O transformador de corrente também é um equipamento 
de extrema importância em sistemas de potência. Assim 
como o transformador de potencial, podemos encontrar 
transformadores de corrente para medição, Figura 4.30, 
e para proteção, Figura 4.31. Sua aplicação pode ser 
deduzida da necessidade de indicação da corrente de 
linha em um sistema cuja corrente instantânea é 2000 A.
Como podemos ter essa indicação de corrente em um 
painel de comando?
É neste caso que entra o transformador de corrente. Com 
relação de 2.000 A para 5 A temos uma conente reduzida 
em sua saída, mas equivalente à corrente real medida. 
Existem outras relações de transformação. Para ter acesso 
a elas consulte os diversos fabricantes de TCs presentes 
no mercado.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
77
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 4.30 Figura 4.31
Há uma diferença entre os transformadores de corrente 
para medição e os transformadores de corrente para 
proteção, principalmente no aspecto cons trutivo. 
Primeiramente veremos a máxima corrente de secundário 
em regime permanente, que deve ser igual à nominal 
descrita no manual do transformador , por exemplo, 5A. Em 
regime transitório, isto é, em situações em que a corrente 
ultrapassa a nominal por algum tempo, deve-se consultar 
o fabricante a respeito do tempo que o transformador 
pode suportar uma determinada sobrecorrente.
Em transformadores para proteção, a tensão de isolação 
do TC é maior e a corrente transitória suportada mais 
ampla. Os manuais de fabricante geralmente vêm com 
todas as especificações necessárias ao projeto e é possível 
notar isso.
Alguns aspectos importantes com relação ao TC só são 
entendidos com uma pequena análise matemática do 
dispositivo. A Figura 4.32 mostra o modelo matemático 
do TC.
Sendo:
• IP =corrente primária
• I1 = corrente secundária total
• Is = corrente secundária
• Xmag =reatância de magnetização
• Xd = reatância do amperímetro
• E = tensão nos terminais do TC
Supondo um TC com relação 500/5 A, instalado em um 
sistema com Ip = 500 A e corrente secundária = 5 A, 
temos a seguinte situação: I1= 5 A, E = 10 V, Imag = 0,1 A, 
Is = 4,9 A, lido no amperímetro.
Calculando, temos: Xt = Xd // Xmag = E / Is = 2,04 Ω
Se o transformador de corrente for aberto, isto é, o 
amperímetro for retirado dos terminais de medição, a 
tensão nesses terminais sobe consideravel mente, pois a 
reatância de magnetização,que é alta, é o único caminho 
para a conente de 5 A:
Xt = Xmag
Aplicando essa corrente à curva de magnetização do TC, 
Figura 4.33, temos uma tensão de 800 V. O TC pode não 
resistir a essa tensão e haverá uma ruptura dielétrica.
Figura 4.32
Observe a tensão nos terminais do TC de acordo com a 
corrente de magnetização. Fica claro que essa corrente 
deve ser mantida baixa, portanto nada de abrir os terminais 
do TC enquanto ele trabalha. A curva de magnetização é 
fornecida pelo fabricante .
Figura 4.33
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
78
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
A instalação correta de um instrumento de medição de 
corrente eventual ligado a um TC pode ser observada na 
Figura 4.34.
Figura 4.34
Sendo bl um botão de leitura que, ao ser pressionado, 
permite que a corrente do secundário do TC chegue ao 
amperímetro, possibilitando a leitura. Para instrumentos 
que realizam medidas constantes, deve-se ligar o 
amperímetro direto ao TC, com o cuidado de realizar a 
conexão com o sistema desligado. Se não for possível, 
feche os terminais do TC em curto, conecte o amperímetro 
e então retire o curto.
Ensaio: regulação de tensão em transformadores
Objetivo: Estudar o comportamento da tensão de saída 
do transformador com o aumento de corrente para os três 
principais tipos de carga: resistiva, indutiva e capacitiva.
Equipamentos utilizados: transformador isolador 
120/120 V, fonte CA ajustável de 0 a 220 VCA, conjunto 
de capacitares, conjunto de indutores e conjunto de 
resistências , todos com reatância equivalente às indicadas 
nas tabelas de ensaio e dissipação de potência adequada. 
São necessários dois amperímetros CA e dois voltímetros 
CA que façam a leitura dos níveis de tensão utilizados com 
segurança.
Nota
Podem ser utilizados outros transformadores com valores 
diferentes e reatâncias também diferentes como carga. 
Apenas refaça as tabelas e os gráficos de acordo com seus 
equipamentos. A análise final deve levá-lo às mesmas 
conclusões.
Procedimentos
1) Monte o circuito representado na Figura 4.35. 
Mantenha a fonte CA desligada.
Figura 4.35
2) Monte inicialmente a tabela para cargas puramente 
resistivas , Tabela 4.1. Com o secundário aberto, sem carga, 
ligue a fonte e ajuste-a para 120 VCA. Anote os valores 
lidos no voltímetro, no amperímetro do secundário e no 
amperímetro do primário na Tabela 4.1.
ZL(ohms) I primário (mA) I secundário (mA) V secundário (V)
Sem carga 20 0 120
1200 100 100 119
600 200 190 117
400 290 285 115
300 395 380 112,5
240 480 475 110
Tabela 4.1
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
79
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
3) Desligue a fonte, aplique a carga de 1.200 Ω, religue 
a fonte, execute as medições e preencha a tabela como 
foi feito na Tabela 4.1. Repita o procedimento para os 
outros valores de impedância de carga constantes na 
tabela. Ao terminar, desligue a fonte.
4) Construa um gráfico que expresse a variação de corrente 
e tensão no secundário em função da carga puramente 
resistiva aplicada.
5) Repita os procedimentos dos itens 2 e 3, agora para cargas indutivas, e preencha a Tabela 4.2.
ZL(ohms) I primário (mA) I secundário (mA) V secundário (V)
Sem carga 20 0 120
1200 105 100 118
600 202 197 115
400 300 290 112
300 375 370 110
240 460 450 108
Tabela 4.2
6) Construa um gráfico que expresse a variação de corrente e tensão no secundário em função da carga indutiva 
aplicada.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
80
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
7) Repita os procedimentos constantes nos itens 2 e 3, agora para cargas capacitivas, e preencha a Tabela 4.3.
ZL(ohms) I primário (mA) I secundário (mA) V secundário (V)
Sem carga 20 0 120
1200 105 100 122
600 202 230 125
400 300 330 127
300 375 445 130
240 460 530 132
Tabela 4.3
8) Construa um gráfico que expresse a variação de corrente e tensão no secundário em função da carga capacitiva 
aplicada.
9) Analise os dados obtidos e os gráficos construídos e 
responda às questões a seguir com relação ao ensaio:
a) Calcule a regulação de tensão em % do transformador 
para cada tipo de carga, utillzando os dados do ensaio 
com carga puramente resistiva, puramente indutiva e 
puramente capacitiva. Utilize a fórmula:
R% = UsaídaSC - UsaídaCC x 100 
UsaídaCC
Sendo:
• UsaídaSC = tensão de saída sem carga
• UsaídaCC = tensão de saída com carga
b) Por que a tensão na carga elevou-se com a elevação da 
impedância da carga capacitiva?
c) Pense bem! Se tivermos as mesmas condições de 
carga em potência (VA) para carga resistiva, indutiva e 
capacitiva, qual desses tipos de carga produziria menos 
aquecimento do trans formador? Por quê?
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
81
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
CAPÍTULO 05
INTRODUÇÃO ÀS MÁQUINAS ROTATIVAS
Conceitos Elementares
A Equação 1.27, e = dλ/dt pode ser usada para determinar 
as tensões induzidas por campos magnéticos variáveis no 
tempo. A conversão eletromagnética de energia ocorre 
quando alterações no fluxo concatenado λ decorrentes 
do movimento mecânico. Nas máquinas rotativas, as 
tensões são geradas nos enrolamentos ou grupos de 
bobinas quando esses giram mecanicamente dentro de 
um campo magnético, ou quando um campo magnético 
gira mecanicamente próximo aos enrolamentos, ou ainda 
quando o circuito magnético é projetado de modo que a 
relutância varie com a rotação do rotor. Por meio desses 
métodos, o fluxo concatenado em uma bobina específica 
é alterado ciclicamente e uma tensão variável no tempo 
é gerada.
Um grupo dessas bobinas, conectadas em conjunto, é 
referido comumente com o enrolamento de armadura. Em 
geral, o termo enrolamento de armadura de uma máquina 
rotativa é usado para se referir a um enrolamento ou grupo 
de enrolamentos que conduzam corrente alternada. Em 
máquinas CA, tais como as síncronas ou as de indução, 
os enrolamentos de armadura alojam-se tipicamente na 
parte estacionária do motor conhecida como estator, 
caso em que esses enrolamentos podem ser referidos 
também como enrolamentos de estator. A fig. 5.1 mostra, 
em construção, o enrolamento de estator de um motor 
síncrono trifásico multipolos de grande porte.
Em uma máquina CC, o enrolamento de armadura 
encontra-se na parte rotativa conhecida como rotor. 
A Figura 5.2 mostra o rotor de uma máquina CC. Como 
veremos, o enrolamento de armadura de uma máquina 
CC consiste em muitas bobinas conectadas entre si para 
formar um laço fechado. Quando o rotor está girando, um 
contato mecânico rotativo é usado para fornecer corrente 
ao enrolamento de armadura.
Tipicamente, as máquinas síncronas e CC apresentam um 
segundo enrolamento (ou conjuto de enrolamentos) que 
conduz corrente contínua e que é usado para produzir o 
fluxo principal de operação da máquina. Tal enrolamento 
é referido tipicamente como enrolamento de campo. O 
enrolamento de campo em uma máquiga CC encontra-se 
no estator, ao passo que, no caso de uma máquina 
síncrona, ele é encontrado no rotor, caso em que a 
corrente deve ser fornecida ao enrolamento de campo por 
meio de um contato mecânico rotativo. Como ja vimos, 
os imãs permanentes também produzem fluxo magnético 
constante e, em algumas máquinas, são usados no lugar 
dos enrolamentos de campo.
Figura 5.1 - Estator de um gerador hidrelétrico trifásico de 190 MVA, 12 kV e 375 rpm. Os condutores contêm passagens 
ocas para a circulação da água de refrigeração. (Brown Boveri Corporation)
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
82
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADEINTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Na maioria das máquinas rotativas, o estator e o rotor são 
feitos de aço elétrico e osenrolamentos são instalados 
em ranhuras alojadas nessas estruturas. O uso de um 
material como esse, de alta permeabilidade maximiza o 
acoplamento entre as bobinas e aumenta a densidade 
de energia magnética associada com a interação 
eletromecânica. Também permite que o projetista de 
máquinas dê forma aos campos magnéticos e distribua-os 
de acordo com as exigências de projeto de cada máquina 
em par ticular.
O fluxo variável no tempo, presente nas estruturas da 
armadura dessas máquinas, tende a induzir correntes, 
conhecidas como correntes parasitas, no aço elétrico. As 
corren tes parasitas podem ser uma grande fonte de perdas 
nessas máquinas e podem reduzir sig nificativamente 
o seu desempenho. Para minimizar os efeitos das 
correntes parasitas, a estrutura da armadura é construida 
tipicamente de chapas delgadas de aço elétrico isoladas 
entre si. Isso está ilustrado na figura 5.3, em que se mostra 
para um motor CA, o núcleo do estator sendo construído 
como um empilhamento ou pacote de chapas individuais.
Em algumas máquinas tais como máquinas de 
retulância variável e motores de passo, o rotor não tem 
enrolamentos. A operação dessas máquinas depende da 
não uniformidade da retulância entreferro, associada as 
variações de posição do rotor, e também das correntes 
no tempo que são aplicadas aos seus enrolamentos de 
estator. Em tais máquinas, tanto as estruturas do estator 
como as do rotor estão sujeitas a um fluxo magnético 
variável no tempo e, como resultado, ambas podem 
necessitar de chapas para reduzir as perdas por correntes 
parasitas. 
Figura 5.2 - Armadura de um motor CC. (General Electric Company)
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
83
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 5.3 - Núcleo de um estator pacialmente terminado de um motor CA. ( Westinghouse Electric Company).
As máquinas elétricas rotativas assumem diversas formas 
e são conhecidas por diversos nomes: CC, síncronas, 
de imã permanente, de indução, de relutância variável, 
de histerese, sem escovas, e assim por diante. Embora 
essas máquinas aparentem ser bastante diferentes, 
os princípios físicos que regem o seu comportamento 
são bastante similares e freqüentemente é útil pensar 
nelas em termos de um mesmo ponto de vista físico. Por 
exemplo, a análise de máquina CC mostra que, associadas 
tanto ao rotor como ao estator, há distribuições fixas 
do fluxo magnético no espaço e que as características 
de produção de conjugado da má quina CC provêm da 
tendência desses fluxos a se alinhar entre si. Uma máquina 
de indução, apesar de muitas diferenças fundamentais, 
trabalha exatamente de acordo com o mesmo prin cipio. 
Épossível identificar distribuições de fluxo associadas ao 
rotor e o estator. Embora não estacionárias, mas estejam 
na realidade girando em sincronismo, como no motor CC, 
elas estão distanciadas entre si por uma separação angular 
constante, e o conjugado é produ zido pela tendência 
dessas distribuições de fluxo a se alinhar entre si.
Certamente, modelos analíticos são essenciais à análise 
e ao projeto de máquinas elétricas e, ao longo deste 
livro, tais modelos serão desenvolvidos. Entretanto, é 
importante tam bém reconhecer que um insight físico 
do desempenho desses dispositivos é igualmente útil. 
Um dos objetivos deste capítulo e dos subseqüentes é 
conduzir o leitor no desenvolvimentode tal insight.
Introdução às Máquinas CA e CC
Máquinas CA
As máquinas CA tradicionais classificam-se em duas 
categorias: síncronas e de indução. Nas máquinas síncronas, 
as correntes do enrolamento do rotor são fornecidas 
através de contatos rotativos fixados diretamente na 
parte estacionária do motor. Nas máquinas de indução as 
correntes são induzidas nos enrolamentos do rotor por 
meio da combinação da variação, no tempo, de correntes 
no estator e do movimento do rotor em relação ao estator.
Máquinas Sincronas Uma descrição prelimiar do 
desempenho de uma máquina síncrona pode ser obtida 
discutindo a tensão induzida na armadura do gerador 
síncrono CA de pólos salientes, muito simplificado, 
que está mostrado esquematicamente na figura 5.4. O 
enrolamento de campo dessa máquina produz apenas 
um par de pólos magnéticos (como os de uma barra 
imantada), e por essa razão essa máquina é referida como 
máquina de dois pólos.
Com raras exceções, o enrolamento de armaduta de uma 
máquina síncrona localiza-se no estator, e o enrolamento 
de campo, no rotor, esse também é o caso da máquina 
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
84
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
simplificada na figura 5.4. O enrolamento de campo é 
excitado por uma corrente contínua que é levada até ele 
por meio de escovas estacionárias de carvão que fazem 
contato com anéis coletores ou anéis deslizantes girantes. 
Usualmente, essa disposição para os dois enrolamentos 
é ditada por fato res de ordem prática: é vantajoso ter o 
enrolamento de campo, único e de baixa potência, no 
rotor e enrolamento de armadura, de potência elevada e 
geralmente polifásico no estator.
O enrolamento de armadura consiste aqui em uma única 
bobina de N espiras. Está mos trada por meio de uma 
vista transversal dos seus dois lados a e -a que estão 
alojados em ranhuras estreitas, diametralmente opostas, 
localizadas na periferia interna do estator da Fig. 5.4. 
Os condutores que formam esses lados da bobina são 
paralelos ao eixo da máquina e são ligados em série por 
terminais de conexão (não mostrados na figura). O rotor 
é girado a velo cidade constante a partir de uma fonte de 
potência mecânica conectada ao seu eixo. Supõe-se que 
o enrolamento de armadura esteja em circuito aberto e, 
portanto, o fluxo dessa máquina será produzido apenas 
pelo enrolamento de campo. Os caminhos de fluxo estão 
mostrados es quematicamente por linhas tracejadas na 
Fig. 5.4.
Figura 5.4 - Vista esquemática de um gerador síncrono 
monofásico com um único enrolamento e dois pólos.
Em uma análise altamente idealizada dessa máquina 
será assumido que a distribuição do fluxo magnético no 
entreferro é senoidal. A distribuição radial resultante da 
densidade do fluxo B é mostrada na figura 5.5a como 
função do angulo espacial θ (medido em relação ao eixo 
magnético do enrolamento da armadura) ao longo da 
periferia do rotor. Na prática moldando-se as faces dos 
pólos de forma adequada, pode-se conseguir com que a 
densidade do fluxo, no entreferro de máquinas reais de 
pólos salientes, esteja muito próxima de uma distribuição 
senoidal.
À medida que o rotor gira, o fluxo concatenado do 
enrolamento da armadura varia tempo. Tendo em vista as 
suposições de distribuição senoidal da densidade de fluxo 
e de velocidade constante do rotor, a tensão resultante na 
bobina será senoidal no tempo, como está mostrado na 
Fig. 5.5b. A tensão da bobina passa por um ciclo completo 
a cada revolução da máquina de dois pólos da Fig. 5.4. 
Sua freqüência em ciclos por segundo (Hz) é a mesma 
que a velocidade do rotor em rotações por segundo: a 
freqüência elétrica da tensão gerada está sincronizada 
com a velocidade mecânica; sendo essa a razão para a 
expressão máquina "síncrona". Assim, uma máquina 
síncrona de dois pólos deve girar a 3600 rotações por 
minuto para produzir uma tensão de 60 Hz.
Um número bem elevado de máquinas síncronas tem 
mais de dois pólos. Como exemplo específico, a Fig. 
5.6 mostra esquematicamente um gerador monofásico 
de quatro pólos. As bobinas de campo estão ligadas de 
modo que os pólos tenham polaridades alternadas. 
Há dois comprimentos de onda completos, ou ciclos, 
na distribuição de fluxo ao longo da periferia, como se 
mostra na figura5.7.
Figura 5.5 - (a) Distribuição espacial da densidade de 
fluxo e (b) a forma de onda pondente da tensão gerada 
no gerador monofásico da Fig. 5.4.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
85
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
O enrolamento de armadura consiste agora em duas 
bobinas a1, -a1, -a e, -a2 ligadas em série pelos seus 
terminais de conexão. A cada bobina corresponde um 
comprimento de onda de fluxo. Agora a tensão gerada 
passa por dois ciclos completos a revolução do rotor. A 
freqüência em hertz será assim o dobro da velocidade em 
rotações por segundo.
Quando uma máquina tem mais de dois pólos, é 
conveniente concentrar-se em apenas um par de pólos e 
assegurar-se de que as condições elétricas, magnéticas e 
mecânicas asso ciadas aos demais pares de pólos sejam 
repetições das do par considerado. Por essa razão, é 
conveniente expressar os ângulos em graus elétricos ou 
radianos elétricos em vez de unidades mecânicas. Um 
par de pólos em uma máquina de múltiplos pólos, ou um 
ciclo de distri buição de fluxo, é igual a 360 graus elétricos 
ou 2π radianos elétricos. Por exemplo, como há pólos/2 
comprimentos de onda, ou ciclos, a cada revolução 
completa, resulta, que
 θae = (pólos) θa (4.1)
 2
onde θae é o ângulo em unidades elétricas e θa é o ângulo 
espacial. Essa mesma relação apli ca-se a todas as medidas 
angulares de uma máquina de múltiplos pólos; seus 
valores em unidades elétricas serão iguais a (pólos/2) 
vezes seus valores espaciais reais.
A tensão de um a bobina de uma máquina de múltiplos 
pólos passa por um ciclo comple to toda vez que um par 
de pólos passa pela bobina ou (pólos/2) vezes a cada 
revolução. A frequencia elétrica fe da tensão gerada em 
uma máquina síncrona é portanto
 fe = (pólos) n Hz (4.2)
 2 60
onde n é a velocidade mecânica em rotações por minuto, 
e portando n/60 é a velocidade em por segundo. A 
freqüência elétrica da tensão gerada em radianos por 
segundo é ωe = (pólos/2)ωm onde ωm é a velocidade 
mecânica em radianos por segundo.
Os rotores mostrados nas Figs. 5.4 e 5.6 têm pólos salientes 
com enrolamentos concen trados. A Fig. 5.8 mostra 
esquematicamente um rotor de pólos não salientes, 
referidos tam bém cilíndricos ou lisos. O enrolamento de 
campo é um enrolamento distribuído de dois pólos; os 
lados da bobina estão distribuídos em múltiplas ranhuras 
ao longo da periferia do rotor e posicionados de modo tal 
que uma distribuição aproximadamente senoidal de fluxo 
radial, no entreferro, seja produzida.
Figura 5.6 - Vista esquemática de um gerador simples, 
síncrono monofásico e de quatro.
Figura 5.7 - Distribuição espacial da densidade de fluxo de 
entreferro em um gerador sincrono ideal de quatro pólos.
A relação entre a freqüência elétrica e a velocidade de um 
rotor, dada pela Equação 5.2 pode servir de base para se 
compreender a razão pela qual alguns geradores síncronos 
têm rotores com estruturas de pólos salientes, ao passo 
que outros têm rotores cilíndricos. A maioria dos sistemas 
de potência do mundo operam com freqüência de 50 ou 
60 Hz. Uma estrutura de pólos salientes é característica 
de geradores hidrelétricos porque as turbinas hidráulicas 
operam em velocidades relativamente baixas e, portanto 
um número relativamente elevado de pólos é necessário 
para produzir a freqüência desejada; a estrutura de 
pólos salientes é mecanicamente melhor adaptada a 
essa situação. O rotor de um gerador hidrelétrico de 
grande porte está mostrado na Fig. 5.9. Entretanto, as 
turbinas a vapor ou a gás operam melhor em velocidades 
relativamente elevadas. Como conseqüência, os 
alternadores acionados por turbinas ou geradores a 
turbina, são comumente máquinas de rotor cilíndrico de 
dois ou quatro pólos. Os rotores são feitos a partir de uma 
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
86
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
única peça forja da de aço, ou de diversas peças como 
mostrado nas Figs. 5.10 e 5.11.
A maioria dos sistemas de potência do mundo é trifásica e, 
consequentemente, os geradores síncronos são máquinas 
trifásicas com pouquíssimas exceções. Para se produzir 
um conjunto de três tensões defasadas de 120 graus 
elétricos no tempo, devem ser usadas no mínimo três 
bobinas defasadas de 120 graus elétricos no espaço. Uma 
Figura 5.8 - Enrolamento de campo elementar de um 
rotor cilíndrico de dois pólos.
vista esquemática simplificada de uma máquina trifásica 
de dois pólos, com uma bobina por fase, está mostrada na
Fig. 5.12a. As três fases são indicadas pelas letras a, b e c. 
Em uma máquina elementar de quatro pólos, um mínimo 
de dois conjuntos de bobinas como esse deve ser usado, 
como ilustra na Fig. 5.12b; em uma máquina elementar 
com múltiplos pólos, o número mínino de conjuntos de 
bobinas é dado pela metade do número de pólos.
Figura 5.9 - Rotor refrigerado a água pertencente ao 
gerador hidrelétrico 190 MVA cujo estator está mostrado 
na Fig. 5.1 (Brown Boveri Corporation)
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
87
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 5.10 - Rotor de um gerador a turbina de dois pólos e 3600 rpm.(Westinghouse Eletric Corporation). 
Figura 5.11 - Partes de um rotor composto por diversas peças, pertencente a um g trifásico a turbina de 1333 MVA 
e 1800 rpm. As peças forjadas ainda quentes são introduzidas no eixo e, durante o resfriamento, elas contraem-se 
firmando-se sobre o mesmo. Após é feita a usinagem final e a fresagem das ranhuras dos enrolamentos. A massa total 
do rotor é de aproximadamente 197.300 kg. (Brown Boveri Corporation)
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
88
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
As duas bobinas de cada fase da Fig. 5.12b são concetadas 
em série de modo que suas tensões são somadas, e as três 
fases podem então ser ligadas em Y ou em Δ. A fig. 5.12c 
mostra como as bobinas podem ser interligadas para 
formar uma ligação em Y. No entanto, observe que, como 
as tensões de cada fase são idênticas, uma conexão em 
paralelo também é possível, por exemplo, a bobina (a, -a) 
em paralelo com a bobina (a', -a'), e assim por diante. 
Quando um gerador síncrono fornece potência elétrica 
a uma carga, a corrente de armadura cria no entreferro 
uma onde de fluxo magnético que vira na velocidade 
síncrona, como mostra a Seção 5.5. Esse fluxo reage ao 
fluxo criado pela corrente de campo, resultando um 
conjugado eletromecânico apartir da tendência desses 
dois campos magnéticos a se alinhar entre si.
Figura 5.12 - Vistas esquemáticas de geradores trifásicos: (a) dois pólos, (b) quatro pólos, (c) ligação em Y 
dos enrolamentos.
Em um gerador, esse conjugado opõe-se à rotação, e 
então um conjugado mecânico deve ser aplicado a partir 
de acionador mecânico primário para que a rotação seja 
mantida. Esse conjugado eletromecânico é o mecanismo 
através do qual o gerador síncrono converte a energia 
mecânica em elétrica.
Por outro lado, um gerador síncrono pode funcionar 
também como motor síncrono. Uma vista em corte 
longitudinal de um motor trifásico síncrono de 60 Hz 
está mostrada na Fig. 5.13. Uma corrente alternada 
é aplicada ao enrolamento de armadura do estator, e 
uma excitação CC, ao enrolamento de campo do rotor. 
O campo magnético produzido pelas correntes de 
armadu ra gira em velocidade síncrona. Para produzir 
um conjugado eletromecânico constante, os cam pos 
magnéticos do estator e do rotor devem ser constantes 
em amplitude e estacionáriosum em relação ao 
outro. Em um motor síncrono, a velocidade de regime 
permanente é determinada pelo número de pólos e pela 
freqüência da corrente de armadura. Portanto, um motor 
síncrono, operado a partir de uma fonte CA de freqüência 
constante, funciona com velocidade constan te em regime 
permanente.
Em um motor, o conjugado eletromecânico tem o sentido 
da rotação e contrabalança o conjugado oposto necessário 
para movimentar a carga mecânica. O fluxo produzido 
pelas correntes, na armadura de um motor síncrono, gira 
à frente do fluxo produzido pelo campo. Portanto, arras ta
esse último (e conseqüentemente o rotor) fazendo 
trabalho. O oposto ocorre em um gerador síncrono, 
onde o campo faz trabalho quando seu fluxo arrasta o da 
armadura, que vem atrás. Tanto em geradores como em 
motores, são produzidas um conjugado eletromecânico e 
uma tensão rotacional. Esses são os fenômenos essenciais 
da conversão eletromecânica de energia.
Figura 5.13 - Vista em corte longitudinal de um motor 
síncrono de alta velocidade. A excitatriz mostrada no 
lado esquerdo do rotor é um pequeno gerador CA com 
um conjunto rotativo de retificadores semicondutores 
acoplado ao eixo. (General Electric Company)
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
89
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Máquinas de Indução Um segundo tipo de máquina CA 
é a máquina de indução. Como na máquina síncrona, o 
enrolamento do estator de uma máquina de indução é 
excitado com correntes alternadas. Contrastando com 
uma máquina síncrona, onde o enrolamento de campo do
rotor é excitado com corrente CC, correntes alternadas 
fluem nos enrolamentos do rotor de uma máquina 
de indução. Nas máquinas de indução, as correntes 
alternadas são aplicadas diretamente aos enrolamentos 
do estator, e, então, correntess do rotor são produzidas 
por indução, isto é, por ação de transformador. Desse 
modo, a máquina de indução pode ser vista como um 
transformador generalizado em que potência elétrica é 
transformada entre o rotor e o estator juntamente com 
uma mudança de freqüência e um fluxo de potência 
mecânica. Embora o motor de indução seja o mais 
comum de todos os motores, raramente é usado como 
gerador, pois as suas características de desempenho como 
gerador, na maioria das aplicações não são satisfatórias. 
No entanto, em anos recentes tem-se constatado que 
ele é bem adequado em aplicações envolvendo energia 
eólica. A máquina de indução também pode ser usada 
como conversor de freqüência.
No motor de indução, os enrolamentos de estator 
são essencialmente os mesmos de motor síncrono. 
Entretanto, os enrolamentos de rotor são eletricamente 
curto-circuitados e freqüentemente não têm conexões 
externas; as correntes são induzidas por ação de 
transformador. Uma vista em corte longitudinal de um 
motor de indução do tipo gaiola de esquilo está mostrada 
na Fig. 5.14. Aqui, os "enrolamentos" são na realidade 
barras sólidas de alumínio que são fundidas nas ranhuras 
do rotor e colocadas em curto circuito por anéis de 
alumínio fundido localizados em cada extremidade do 
rotor. Esse tipo de construção de rotor resulta em motores 
de indução que são relativamente baratos e altamente 
confiáveis, fatores esses que contribuem à sua imensa 
popularidade e ampla aplicação.
Como em um motor síncrono, o fluxo de armadura do 
motor de indução adianta-se em relação ao do rotor e 
produz um conjugado eletromecânico. De fato, como na 
máquina síncrona, veremos que há um sincronismo entre 
os fluxos do rotor, e do estator, quando esses giram, e que o 
conjugado está relacionado com o deslocamento relativo 
entre eles. Diferentemente de uma máquina síncrona, 
entretanto, o rotor em si de uma máquina de indução não 
gira em sincronismo; há um "escorregamento" do rotor 
em relação ao fluxo síncrono da armadura, dando origem 
as correntes induzidas no rotor e, portanto, ao conjugado.
 
Figura 5.14 - Vista em corte longitudinal de um motor de indução do tipo gaiola de esquilo. (Westinghouse Electric 
Corporation)
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
90
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Os motores de indução operam em velocidades inferiores
à velocidade mecânica síncrona. Uma cur va característica 
típica de velocidade versus conjugado para um motor de 
indução está mostrada na Fig. 5.15. 
Figura 5.15- Curva característica de velocidade versus 
conjugado de um motor de indução tipico.
Máquinas CC
Como já foi discutido, o enrolamento de armadura de um 
gerador CC está no rotor com a cor rente saindo dele por 
meio de escovas de carvão. O enrolamento de campo está 
no estator e é excitado por corrente contínua. Uma vista 
em corte longitudinal de um motor CC está mos trada na 
Fig. 5.16.
Figura 5.16- Vista em corte longitudinal de um típico 
motor CC de potência elevada. (ASEA Brown Boven).
Um gerador CC de dois pólos muito elementar está 
mostrado na Fig. 5.17. O enrolamento de armadura, 
consistindo em uma única bobina de N espiras, está 
indicado pelos dois lados da bobina a e -a colocados em 
pontos diametralmente opostos sobre o rotor com os 
condutores paralelos ao eixo. O rotor gira normalmente 
a velocidade constante a partir de uma fonte de potência 
mecânica conectada ao eixo. Usualmente, a distribuição 
de fluxo no entreferro aproxima-se de uma onda de picos 
achatados, ao ínvés da onda senoidal encontrada nas 
máquinas CA como se mostra na Fig. 5.18a. A rotação da 
bobina gera uma tensão de bobina que é uma função de 
tempo tendo a mesma forma que a da onda de distribuição 
da densidade de fluxo espacial.
Embora o propósito final seja a geração de uma tensão 
contínua, a tensão induzida em uma bobina individual de 
armadura é uma tensão alternada que, portanto, deve ser
retificada. A tensão de saída de uma máquina CA pode ser 
retificada usando retificadores semicondutores externos. 
Isso é diferente da máquina CC convencional, na qual a 
retificação é produzida mecanicamente por meio de um 
comutador. Esse é um cilindro formado de segmentos de 
cobre isolados entre si por mica, ou algum outro material 
altamente isolante, e montado, mas isolado, sobre o 
eixo do rotor. Escovas estacionárias de carvão, mantidas 
apoiadas contra a superfície do comutador, conectam 
o enrolamento aos terminais externos da armadura. O 
comutador e as escovas podem ser vistos facilmente na 
Fig. 5.16. A necessidade de comutação é a razão pela 
qual os enrolamentos de armadura das máquinas CC são 
colocados no rotor.
No caso do gerador CC elementar, o comutador assume 
a forma mostrada na Fig. 5.17. Para o sentido de rotação 
mostrado, o comutador em qualquer instante conecta 
o lado da bobina que está próximo do pólo sul à escova 
positiva, e o que está próximo do pólo norte, à escova 
negativa. O comutador executa uma retificação de onda 
completa, transformando a forma de onda de tensão, 
presente entre as escovas, na forma de onda da Fig. 5.18b, 
e tornando disponível uma tensão unipolar para o circuito 
externo. Naturalmente, a máquina CC da Fig.5.17 foi 
simplificada até o ponto de estar fora da realidade 
em termos práticos e, posteriormente, será essencial 
examinar a ação de comutadores mais realísticos.
O efeito da corrente contínua no enrolamento de campo 
de uma máquina CC é a criação de uma distribuição de 
fluxo magnético estacionária em relação ao estator. De 
modo similar, o efeito do comutador é tal que, quando uma 
corrente contínua flui através das escovas, a armadura 
cria uma distribuição de fluxo magnético que também 
é fixa no espaço e cujo eixo, determinado pelo projeto 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
91
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
da máquina e pela posição das escovas,é tipicamente 
perpendicular ao eixo do fluxo de campo.
Assim, exatamente como nas máquinas CA discutidas 
anteriormente, é a interação dessas distribuições de 
fluxo que cria o conjugado da máquina CC. Se a máquina 
estiver atuando como gerador, esse conjugado opõe-se 
à rotação. Se estiver atuando como motor, o conjugado 
eletromecânico atua no sentido da rotação. Comentários 
semelhantes aos já feitos em relação aos papéis 
desempenhados, no processo de conversão de energia 
das máquinas síncronas, pela tensão gerada e pelo 
conjugado eletromecânico aplicam-se igualmente bem às 
máquinas CC.
FMM de Enrolamentos Distribuídos
A maioria das armaduras tem enrolamentos distribuídos, 
isto é, enrolamentos que se estendem por diversas 
ranhuras ao redor da periferia do entreferro, como nas 
Figs. 5.2 e 5.1. As bobinas individuais são conectadas 
entre si de modo que resulte um campo magnético com 
o mesmo número de pólos que o enrolamento de campo.
Os campos magnéticos dos enrolamentos distribuídos 
podem ser estudados examinando-se o campo magnético 
prouzido por um enrolamento que tenha uma única 
bobina de N espiras compreendendo 180 graus elétricos, 
como se mostra na Fig. 5.19a. Uma bobina que se estende 
por 180 graus elétricos é conhecida como bobina de passo 
pleno. Os pontos e cru zes indicam fluxos de corrente que se 
aproximam ou se afastam do leitor, respectivamente. Por 
simplicidade, o rotor cilíndrico mostrado é concêntrico. 
As linhas tracejadas da Fig.5.19a. mostram, de forma 
genérica, a natureza do campo magnético produzido pela 
corrente na bobina. Como as permeabilidades do ferro 
da armadura e do campo são muito maiores que a do ar, 
podemos supor com exatidão suficiente para os propósitos 
aqui presentes que toda a retulância do circuito magnético 
encontra-se no entreferro. Pela simetria da estrutura, é 
evi dente que a intensidade do campo magnético Hg de 
entreferro na posição angular θa, sob um pólos, é a mesma 
em módulo que aquela localizada no ângulo θa + π, sob o 
pólo oposto. Entretanto, os campos apresentam sentidos 
opostos.
Figura 5.17- Máquinas CC elementar com comutador.
Figura 5.18 - (a) Distribuição espacial da densidade de 
fluxo no entreferro de uma máquina CC elementar; (b) 
forma de onda da tensão entre as escovas.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
92
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 5.19 - (a) Vista esquemática do fluxo produzido por um enrolamento concentrado de passo pleno em uma 
máquina de entreferro uniforme. (b) A FMM produzida no entreferro por uma corrente nesse enrolamento.
Ao longo de qualquer dos caminhos fechados, mostrados 
pelas linhas de fluxo na Fig. 5. 19a, a FMM é Ni. A 
suposição de que toda a relutância do circuito magnético 
esteja no entreferro leva ao resultado de que a integral 
de linha H dentro do ferro é muito pequena podendo ser 
desprezada. Assim, é razoável desprezarmos as quedas de 
FMM que ocorrem nas partes do circuito magnético que 
estão dentro do ferro. Por simetria, podemos argumentar 
que os campos Hg no entreferro nos lados opostos do rotor 
são iguais em módulo mas oposto em sentido. Segue-se 
que a FMM no entreferro deve estar distribuída de modo 
uniforme. Como cada linha de fluxo cruza o entreferro 
duas vezes, a queda de FMM no entreferro deve ser igual 
à metade do total ou Ni/2.
A Fig. 5.19b mostra o entreferro e o enrolamento em 
forma desenvolvida, isto é, dispostos em forma plana. 
A distribuição da FMM no entreferro é mostrada pela 
distribuição de amplitude Ni/2 semelhante a degraus. 
Supondo que as aberturas das ranhuras sejam estreitas, 
a FMM um salto abrupto de Ni ao se passar de um lado a 
outro da bobina. Essa distribuição de FMM será discutida 
novamente na Seção 4.4, onde os campos magnéticos 
resultantes serão calculados.
Máquinas CA
A análise de Fourier pode mostrar que a FMM produzida 
no entreferro por uma única bobina, como a de passo 
pleno da Fig. 5. 19, consiste em uma componente espacial 
harmônica fundamental mais uma série de componentes 
harmônicas de ordem mais elevada. No projeto de 
máquinas CA, sérios esforços são feitos para distribuir 
as bobin as construindo-se os enrolamentos de modo a 
minimizar as componentes harmônicas de ordem mais 
elevada e a produzir uma onda de FMM de entreferro 
que é constituída predominantemente pela componente 
espacial fundamental senoidal. Assim, é adequado 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
93
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
assumir que isso foi feito e concentrar a nossa atenção na 
componente fundamental.
A onde retangular da FMM de entreferro da bobina 
concentrada de dois pólos e passo pleno da Fig. 5.19b pode 
ser decomposta em uma serie de Fourier compreendendo 
uma componente fundamental e uma série de harmonicas 
ímpares. A componete fundamental Fg1 é
 Fg1 = 4 (Ni) cos θa (4.3)
π 2
onde é medido a partir do eixo magnético da bobina 
do estator, como mostrado pela senói de tracejada na 
Fig. 5.19b. É uma onda senoidal espacial de amplitude
 ( Fg1 ) = pico = 4 (Ni) (4.4)
 π 2
com seu pico alinhado com o eixo magnético da bobina.
Agora considere um enrolamento distribuído, consistindo 
em bobinas distribuídas por di versas ranhuras. Por 
exemplo, a Fig.5.20a mostra a fase a do enrolamento de 
armadura de uma máquina CA trifásica de dois pólos que 
foi um tanto simplificada. As fases b e c ocupam as ranhuras 
vazias. Os enrolamentos das três fases são idênticos 
e estão posicionados tendo os seus eixos magnéticos 
separados de 120 graus entre si. Vamos dar nossa atenção 
apenas à FMM de ferro da fase a. Deixaremos a discussão 
dos efeitos das três fases para a Seção 4.5. O enrolamento 
está disposto em duas camadas. Cada bobina de passo 
pleno de Nb espiras tem um lado no topo de uma ranhura 
e o outro lado no fundo de uma ranhura distanciada de 
um pólo. Em máquinas reais, essa disposição de duas 
camadas simplifica o problema geométrico de se passar 
as espiras dos terminais das bobinas individuais umas 
pelas outras.
A Fig. 5.20b mostra um pólo desse enrolamento 
desenvolvido no plano. Com as bobinas conectadas em 
série e, desse modo, conduzindo a mesma corrente, a onda 
de FMM é uma de degraus de altura 2Nbia cada um (igual 
aos ampéres-espiras na ranhura), onde ia, é a corrente de 
enrolamento. Sua componente fundamental espacial é 
mostrada pela senóide. Pode-se ver que o enrolamento 
distribuído produz uma onda que se aproxima mais de 
uma on da de FMM senoidal do que a bobina concentrada 
da Fig. 5.19.
A amplitude da componente harmônica fundamental 
espacial da onda de FMM de um enrolamento distribuído 
é menor do que a soma das componentes fundamentais 
das bobinas individuais porque os eixos magnéticos das 
bobinas individuais não estão alinhados com a resultante. 
A forma modificada da Equação 5.3 para um enrolamento 
distribuído de múltiplos pólos tendo Nfase espiras por fase 
em série é
(4.5)
em que o fator 4/π surge da análise da série de Fourier 
da onda retangular da FMM de uma bo bina concentrada 
com passo pleno, como na Equação 4.3, e o fator de 
enrolamento kenr leva em consideração a distribuição do 
enrolamento. Esse fator é necessário porque as FMMs 
produzidas pelas bobinas individuais de qualquer grupo 
de uma fase têm eixos magnéticos diferentes. Quando 
elas são ligadas em série para formar o enrolamento de 
fase, a sua soma fasorial é então menor do que a sua 
soma numérica. (Veja o Apêndice B para detalhes.) Para 
a maioria dos enrolamentos trifásicos, o valor de kenr, está 
tipicamente no intervalo de 0,85 a 0,95.
O fator kenr Nfase é o número efetivo de espiras porfase em 
série para a FMM fundamen tal amplitude de pico dessa 
onda de FMM é
(4.6)
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
94
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 5.20 - A FMM de uma fase de um enrolamento trifásico distribuído de dois pólos bobinas de passo pleno.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
95
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
O enrolamento da fase a da armadura de dois pólos da 
Fig. 5.20a pode ser considerado consistindo em 8 bobinas, 
de passo pleno e Nb espiras, ligadas em série, com cada 
ranhura contendo duas bobinas. Há um total de 24 
bobinas de armadura, e assim cada ranhura está separada 
por 360°/24 = 15°. Suponha que o ângulo θ3 seja medido a 
partir do eixo magnético da fase a de modo que as quatro 
ranhuras contendo os lados indicados por a das bobinas 
em θ3= 67,5°, 82,5°, -97,5° e 112,5°. Os lados opostos 
das bobinas estão assim nas ranhuras localizadas em 
-112,5°,-97,5°, -82,5° e -67,5°, respectivamente. Assuma 
que esse enrolamento está conduzindo uma corrente ia.
(a) Escreva uma expressão para a FMM espacial 
fundamental produzida pelas duas bobinas cujos lados 
estão nas ranhuras em θa= 112,5° e -67,5°. (b) Escreva 
uma expressão a FMM espacial fundamental produzida 
pelas duas bobinas cujos lados estão nas ranhuras em 
θa= 67,5° e -112,5°. (c) Escreva uma expressão para a 
FMM espacial fundamental do enrolamento completo da 
armadura. (d) Determine o fator de enrolamento kenr para 
esse enrolamento distribuído.
Solução
Observando que o eixo magnético desse par de bobinas 
está em θa= (112,5° - 67,5°)/2 = 22,5° e que o total de 
ampères-espiras na ranhura é igual a 2Nbia, a FMM 
produzida por es se par de bobinas pode ser obtido em 
analogia com a Equação 4.3, obtendo-se
b. Esse par de bobinas produz a mesma FMM espacial 
fundamental que o par da parte (a) com a exceção de que 
essa FMM está centrada em θa= -22,5°. Assim
Em analogia com as partes (a) e (b), a FMM espacial 
fundamental total pode ser escrita como
Verificando que, para esse enrolamento, Nfase = 8Nb, a 
FMM total da parte (c) pode ser rees crita como
Uma comparação com a Equação 4.5 mostra que, nesse 
enrolamento, o fator de enrolamento é kenr = 0,958.
A Equação 4.5 descreve a componente espacial 
fundamental da onda de FMM produzida pela corrente 
da fase a de um enrolamento distribuído. Se a corrente 
da fase a for senoidal tempo, por exemplo, ia= lm cos ωt, 
o resultado será uma onda de FMM que é estacionária 
espaço e varia senoidalmente em relação a θa e ao tempo. 
Na Seção 4.5, estudaremos o efeito das correntes em 
todas as três fases e veremos que a aplicação de correntes 
trifásicas produzirá uma onda girante de FMM.
De modo semelhante, freqüentemente os enrolamentos 
do rotor são distribuídos nas ranhuras para reduzir os 
efeitos das harmônicas espaciais. A Fig. 5.21a mostra o 
rotor de um pico de dois pólos e rotor cilíndrico. Embora 
o enrolamento seja simétrico em re lação ao eixo do rotor, 
o número de espiras por ranhura pode ser variado para 
controlar as diversas harmônicas.
Figura 5.21 - A FMM de entreferro do enrolamento 
distribuído do rotor de um gerador de rotor cilíndrico.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
96
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Na Fig. 5.21b, pode-se ver que há menos espiras nas 
ranhuras próximas da face do pólo. Além disso, o 
projetista pode variar o distanciamento entre as ranhuras. 
Em relação aos enrolamentos distribuídos de armadura, 
a onda fundamental de FMM no entreferro de um 
enrolamento de rotor de múltiplos pólos pode ser obtida 
a partir da Equação 4.5 em termos do número total N, de 
espiras em série, a corrente de enrolamento Ir, e um fator 
de enrolamento kr, obtendo-se
(4.7)
onde θr é o ângulo espacial medido em relação ao eixo 
magnético do rotor, como mostrado na Fig. 5.21b. Sua 
amplitude de pico é
(4.8)
Máquinas CC
Devido às restrições impostas pelo comutador à colocação 
do enrolamento, a onda de FMM da armadura de uma 
máquina CC aproxima-se mais da forma de onda em dente 
de serra do que da forma de onda senoidal das máquinas 
CA. Por exemplo, a Fig. 5.22 mostra esquematicamente 
em corte transversal a armadura de uma máquina CC de 
dois pólos. (Na prática, em todas as máquinas CC, com 
exceção das muito pequenas, um número mais elevado 
de boninas e ranhuras seria provavelmente usado.) Os 
sentidos das correntes são mostrados por pontos e cruzes. 
As conexões da bobina do enrolamento da armadura são 
tais que esse enrolamento produz um campo magnético 
cujo eixo é vertical, sendo assim perpendicular ao eixo 
do en rolamento de campo. À medida que a armadura 
gira, as conexões entre as bobinas e os circui tos externos 
são alteradas pelo comutador de modo tal que o campo 
magnético da armadura permaneça vertical. Assim, 
o fluxo da armadura está sempre perpendicular ao 
produzido pe lo enrolamento de campo, resultando um 
conjugado unidirecional contínuo. A ação do comutador 
será discutida com algum detalhe na Seção 7.2.
A Fig. 5.23a mostra esse enrolamento desenvolvido no 
plano. A onda de FMM está mostrada na Fig. 5.23b. 
Assumindo que as ranhuras sejam estreitas, ela consistirá 
em uma série de de degraus. Supondo-se um enrolamento 
de duas camadas e bobinas de passo pleno, a altura de 
cada degrau será igual ao número de ampères-espiras 
2Nbib em um a ranhura, onde Nb é o número de espiras em 
cada bobina e ib é a corrente da bobina. O valor de pico 
da onda de FMM ocorre na direção do eixo magnético 
da armadura, a meio caminho entre os pólos do campo. 
Esse enrolamento é equivalente a uma bobina de 12Nbib 
ampères-espiras distribuídos ao redor da armadura. 
Supondo-se que os pólos sejam simétricos, o valor de 
pico da onda de FMM em cada pólo de armadura é 6Nbib 
ampères-espiras.
Figura 5.22 - Corte transversal de uma máquina CC de 
dois pólos.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
97
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 5.23 - (a) Desenvolvimento no plano da máquina CC da Fig. 5.22; (b) onda de FMM; (c) onda equivalente em 
dente de serra da FMM, sua componente fundamental, e a corrente retangular laminar equivalente.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
98
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Essa onda de FMM pode ser aproximada pela forma 
de onda em dente de serra da Fig. 5.23b e repetida na 
Fig. 5.23c. Em um enrolamento mais realístico, com um 
número mais elevado de ranhuras de armadura por pólo, 
a distribuição triangular torna-se uma aproximação muito 
satisfatória. Essa onda de FMM seria produzida por uma 
distribuição retangular da densidade de corrente na 
superfície da armadura, como mostrado na Fig. 5.23c.
Neste nosso estudo preliminar, é conveniente decompor 
as ondas de FMM dos enrolamentos distribuídos em 
suas componentes de série de Fourier. A componente 
fundamental da forma de onda em dente de serra da 
FMM da Fig. 5.23c é mostrada pela onda senoidal. Seu 
valor de pico é 8/π2 = 0,81 vezes a altura da onda em 
dente de serra. Essa onda fundamental de FMM é a que 
seria produzida pela componente harmônica espacial 
fundamental da distribuição retangular de densidade de 
corrente da Fig. 5.23c. Essa lâmina de corrente distribuída 
senoidalmente está mostrada em forma tracejada na 
Fig. 5.23c.
Observe que a distribuição de FMM nos entreferros 
depende apenas da disposição dos enrolamentos e 
da simetria das estruturas magnéticas em cada pólo. 
Entretanto, a densidade de fluxo magnético nos 
entreferros dependenão apenas da FMM mas também 
(4.9)
onde
Ca = número total de condutores no entreferro de 
armadura
m = número de caminhos paralelos no enrolamento de 
armadura
ia= corrente de armadura, A
Essa equação leva em consideração o fato de que em 
alguns casos a armadura pode estar en rolada com 
(4.10)
das condições magnéticas nos contornos, principalmente 
o comprimento do entreferro, o efeito das abertu ras 
das ranhuras, e a forma das faces dos pólos. O projetista 
leva em consideração esses efeitos por meio de análises 
detalhadas com as quais, no entanto, não precisamos nos 
ocupar aqui.
As máquinas CC têm freqüentemente uma estrutura 
magnética com mais de dois pólos. Por exemplo, a 
Fig. 5.24a mostra esquematicamente uma máquina 
CC de quatro pólos. O enrolamento de campo produz 
alternadamente polaridades norte-sul-norte-sul, e os 
condutores da armadura são distribuídos em quatro feixes 
nas ranhuras conduzindo correntes alternadamente em 
direção, e para longe do leitor, como se simboliza pelas 
áreas hachuradas. Essa má quina está mostrada em forma 
desenvolvida na Fig. 5.24b. A onda correspondente da 
FMM em forma de dente de serra também está mostrada. 
Supondo que haja simetria nos enrolamen tos e pólos do 
campo, cada par sucessivo de pólos é igual a qualquer 
outro par. Então, as con dições magnéticas no entreferro 
podem ser determinadas examinando-se um par qualquer 
de pólos adjacentes, isto é, de 360 graus elétricos.
O valor de pico da onda em dente de serra da FMM de 
armadura pode ser escrito em termos do número total de 
condutores nas ranhuras da armadura como
múltiplos caminhos de corrente em paralelo. Essa é a 
razão pela qual freqüente mente é mais conveniente 
pensar na armadura em termos do número de condutores 
(sendo que cada condutor corresponde a um único 
caminho que conduz corrente dentro de uma ra nhura. 
Assim, ia/m é a corrente em cada condutor. Essa equação 
vem diretamente da integral de linha calculada ao longo 
do caminho fechado tracejado da Fig. 5.24b, que cruza 
o entreferro duas vezes e envolve Ca/pólos condutores, 
cada um desses conduzindo a corrente ia/m no mesmo 
sentido. Em forma mais compacta,
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
99
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 5.24 - (a) Seção transversalde uma máquina CC de quatro pólos; (b) planificação da corrente laminar e da onda 
de FMM.
onde Na = Ca/(2m) é o número de espiras em série da 
armadura. Da série de Fourier da onda de FMM, em 
forma de dente de serra, da Fig. 5.24b, o valor de pico da 
fundamental espacial é dado por
(4.11)
Campos Magnéticos em Máquinas Rotativas
Nossas investigações preliminares de máquinas CA e 
CC estão baseadas na suposição de que as distribuições 
espaciais de FMM sejam senoidais. Constataremos que 
essa suposição levará a resultados muito satisfatórios 
na maioria dos problemas que envolvem máquinas CA, 
porque comumente seus enrolamentos estão distribuídos 
de modo a minimizar os efeitos das harmônicas espaciais. 
Inerentemente, devido às restrições impostas pelo 
comutador em relação à disposição dos enrolamentos, 
as ondas de FMM das máquinas CC aproximam-se mais 
de perto de uma onda em forma de dente de serra. No 
entanto, a teoria baseada no modelo senoidal evidencia 
as características fundamentais da teoria das máquinas 
CC. Sempre que necessário, os resultados podem ser 
prontamente modificados para explicar quaisquer 
discrepâncias significativas.
Freqüentemente é mais fácil começar examinado-se uma 
máquina de dois pólos, na qual os ângulos e as velocidades 
elétrica e mecânica são iguais. Os resultados podem ser 
extrapolados imediatamente a máquinas de múltiplos 
pólos lembrando que ângulos elétricos e velocidades 
angulares estão relacionados com os ângulos mecânicos 
e as velocidades angulares pelo fator pólos/2 (veja, por 
exemplo, a Equação 4.1).
O comportamento das máquinas elétricas é determinado 
pelos campos magnéticos criados por correntes nos 
diversos enrolamentos da máquina. Essa seção discute 
como esses campos magnéticos e correntes se relacionam.
Máquinas com Entreferros Uniformes
A Fig. 5.25a mostra uma bobina, de N espiras e passo 
pleno, alojada em uma estrutura magnética de alta 
permeabilidade (µ →∞), e um rotor cilíndrico concêntrico. 
A FMM Fg de entreferro dessa configuração está plotada, 
em função do ângulo θa, na Fig. 5.25b. Para essa estrutura, 
com um entreferro uniforme de comprimento g e raio rr, 
(muito maior que g), pode-se supor com boa exatidão que 
o campo magnético H no entreferro está orientado apenas 
radialmente e que seu módulo é constante no entreferro.
A distribuição de FMM no entreferro da Fig.5.25b é igual 
à integral de linha de Hg através do entreferro. Nesse caso 
de Hg radial constante, essa integral é simplesmente igual 
ao produto do campo magnético radial Hg no entreferro 
vezes o comprimento g do entreferro, e assim Hg pode ser 
obtido dividindo-se simplesmente a FMM do entreferro 
pelo comprimento deste:
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
100
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
 Hg = Fg (4.12)
 g
Assim, na Fig. 5.25c, pode-se ver que o campo radial Hg e 
a FMM apresentam forma idêntica, relacionando-se entre 
(4.13)
si simplesmente pelo fator 1/g .
A componente harmônica espacial fundamental de Hg 
pode ser obtida diretamente componente fundamental 
Fg1, dada pela Equação 4.3,
Figura 5.25 - A FMM de entreferro e a componente radial de Hg para um enrolamento concentrado de passo pleno.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
101
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
É uma onda espacial senoidal de amplitude
(4.14)
Para um enrolament o distribuído, como o da Fig. 5.20, a 
intensidade do campo magné tico de entreferro é obtida 
facilmente, tão logo a FMM de entreferro seja conhecida. 
Assim, a componente fundamental de Hg pode ser 
encontrada dividindo-se a componente fundamental da 
FMM de entreferro (Equação 4.5) pelo comprimento de 
entreferro g
(4.15)
Essa equação foi escrita para o caso geral de uma máquina 
de múltiplos pólos, e Nfase é o nú mero total de espiras em 
série por fase.
Observe que a FMM espacial fundamental de entreferro 
Fg1 e o campo magnético entreferro Hg1 produzidos por 
um enrolamento distribuído com fator de enrolamento 
Kenr e Nfase /pólos espiras em série por pólo, são iguais 
aos produzidos por um enrolamento contrado de passo 
pleno com (Kenr Nfase)/pólos espiras por pólo. Na análise 
de máquinas com enrolamentos distribuídos, esse 
resultado é útil porque, quando se consideram grandezas 
fundamentais espaciais, permite que a solução distribuída 
seja obtida a partir da solução para única bobina de N 
espiras e passo pleno, simplesmente substituindo N 
pelo número efetivo espiras, Kenr Nfase, do enrolamento 
distribuído.
Exemplo 4.2
Um gerador CA síncrono de quatro pólos com um entreferro 
uniforme tem um enrolamento de rotor distribuído com 
263 espiras em série, um fator de enrolamento de 0,935 
e um entreferro de comprimento 0,7 mm. Supondo que a 
queda de FMM no aço elétrico seja despresível, encontre 
a corrente de enrolamento de rotor necessária para 
produzir uma densidade fluxo magnético fundamental 
espacial de pico de 1,6 T no entreferro da máquina.
Solução
A densidade de fluxo magnético fundamental espacial 
no entreferro pode ser obtida multiplicando-se a 
permeabilidade do vácuo µ0 pelo campo magnético 
do entreferro, que por sua vez pode ser encontrado a 
partir da componente fundamental espacial da FMM no 
entreferro dividida pelo comprimento de entreferro g. 
Assim, da Equação 4.8
e Ir pode ser obtidade
Problema prático 4.2
Uma máquina síncrona de dois pólos tem um comprimento 
de entreferro de 2,2 cm e um enrolamento de campo com 
um total de 830 espiras em série. Quando excitada por 
uma te de campo de 47 A, a densidade de fluxo magnético 
fundamental espacial de pico no entreferro da máquina é 
medida como sendo 1,35 T.
Com base na densidade de fluxo medida, calcule o fator 
de enrolamento kr do enrolamento de campo.
Solução
 
kr = 0,952
Máquinas com Entreferros Não Uniformes
A Fig. 5.26a mostra a estrutura de uma máquina CC típica e 
a Fig. 5.26b mostra a estrutura de uma máquina síncrona 
típica de pólos salientes. Ambas as máquinas consistem 
em estruturas magnéticas com entreferros extremamente 
não uniformes.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
102
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 5.26 - Estrutura de máquinas típicas de pólos salientes: (a) máquina CC e (b) máqui na síncrona de pólos salientes.
Nesses casos, a distribuição de campo magnético no 
entreferro é mais complexa do que a de máquinas de 
entreferro uniforme.
A análise detalhada das distribuições de campo magnético 
nessas máquinas requer so luções completas para o 
problema do campo. Por exemplo, a Fig. 5.27 mostra a 
distribuição de campo magnético em um gerador CC 
de pólos salientes (obtida por uma solução baseada 
em elementos finitos). No entanto, a experiência tem 
mostrado que, por meio de diversas sim plificações, 
pode-se desenvolver técnicas analíticas que produzem 
resultados com exatidão razoável. Essas técnicas serão 
ilustradas em capítulos posteriores, onde os efeitos das 
saliên em máquin as CC e CA são discutidos.
Ondas Girantes de FMM em Máquinas CA
Para se compreender a teoria e a operação das máquinas 
CA polifásicas, é necessário estudar a natureza da onda de 
FMM produzida por um enrolamento polifásico. A atenção 
estará foca da em uma máquina de dois pólos ou em um 
par de pólos de um enrolamento de múltiplos pólos. Para 
desenvolver um insight do caso polifásico, é útil começar 
com a análise de um enrolamento monofásico.
Onda de FMM de um Enrolamento Monofásico
A Fig. 5.28a mostra a componente fundamental espacial 
da distribuição de FMM de um en rolamento monofásico, 
onde, a partir da Equação 4.5,
(4.16)
Quando esse enrolamento é excitado por uma corrente 
que varia de forma senoidal no tempo com a freqüência 
ωe segundo a equação
ia = Ia cos ωet
Figura 5.27 - Solução baseada em elementos finitos para 
a distribuição do campo magnétio em um gerador CC de 
pólos salientes. Bobinas de campo excitadas: bobinas de 
armadura sem corrente.(General Electric Company)
(4.17)
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
103
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
a distribuição da FMM é dada por
(4.18)
A Equação 4.18 foi escrita de forma a enfatizar o fato de 
que o resultado é uma distribuição de FMM de amplitude 
máxima
(4.19)
Essa distribuição de FMM permanece fixa no espaço com 
uma amplitude que varia de forma senoidal no tempo com 
a freqüência ωe, como se mostra na Fig.5.28a. Observe 
(4.20)
mostrando que a FMM de um enrolamento monofásico 
pode ser decomposta em duas ondas girantes de FMM, 
cada uma de amplitude igual à metade da amplitude 
máxima de Fg1 com uma delas, Fg1, deslocando-se no 
sentido +θa e a outra, Fg1, deslocando-se no sentido -θa 
, ambas com velocidade angular elétrica ωe (igual a 
velocidade angular mecânica de 2ωe/pólos):
que, para simplificar a notação, a Equação 4.1 foi usada 
para expressar a distribuição de FMM da Equação 4.18 
em termos do ângulo elétrico θae.
O uso de uma identidade trigonométrica comum1 permite 
reescrever a Equação 4.18 na forma
Figura 5.28 - FMM espacial fundamental de entreferro para um enrolamento monofásico: (a) distribuição de FMM para 
um enrolamento de uma fase em vários tempos; (b) FMM total Fg1 decomposta em duas ondas progressivas F- e F ⁺; (c) 
decomposição fasorial de Fg1.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
104
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
(4.21)
(4.22)
Esta decomposição está mostrada graficamente na Fig. 
5.28b e em representação fasorial na figura 5.28c.
O fato de que a FMM no entreferro de um enrolamento 
monofásico, excitado por uma fonte corrente alternada, 
pode ser decomposta em duas ondas progressivas 
girantes, posi tiva e negativa, é um passo conceitual 
importante na compreensão das máquinas CA. Como 
mostrado na Seção 4.5.2, em máquinas CA polifásicas, os 
enrolamentos estão deslocados igualmente em fase no 
espaço, e as correntes de enrolamento estão deslocadas 
de modo similar em termos de fase no tempo, com a 
conseqüência de que as ondas progressivas negativas de 
fluxo dos vários enrolamentos somam-se anulando-se, 
ao passo que as ondas progressivas positivas de fluxo 
reforçam-se, resultando uma única onda progressiva 
positiva de fluxo.
Em máquinas elétricas monofásicas, a onda progressiva 
positiva de fluxo produz conjugado útil ao passo que a onda 
progressiva negativa de fluxo produz conjugado negativo 
pulsante e perdas. Essas máquinas são projetadas de 
modo a minimizar os efeitos da onda progressiva negativa 
de fluxo, embora, diferentemente do caso de máquinas 
polifásicas, esses efeitos não possam ser totalmente 
eliminados.
4.5.2 Onda de FMM de um Enrolamento Polifásico
Nesta seção, estudaremos as distribuições de FMM em 
enrolamentos trifásicos, como as encontradas no estator 
de máquinas trifásicas síncronas e de indução. As análises 
apresentadas podem ser prontamente estendidas para 
um enrolamento polifásico com qualquer número fases. 
Novamente, a atenção estará focada em uma máquina de 
dois pólos ou em um par pólos de um enrolamento de 
múltiplos pólos.
Em uma máquina trifásica, os enrolamentos das fases 
individuais estão afastados entre si por 120 graus elétricos 
no espaço ao redor da circunferência de entreferro, como 
mostrado pelas bobinas a,-a, b, -b e c, -c na Fig.5.29. 
As bobinas concentradas de passo pleno mostradas 
aqui podem ser consideradas como representando 
enrolamentos distribuídos que produzem ondas senoidais 
de FMM centradas nos eixos magnéticos das respectivas 
fases. As ondas senoidais fundamentais espaciais de 
FMM das três fases estão afastadas respectivamente de 
120 graus elétricos no espaço. Cada fase é excitada por 
uma corrente alternada que varia de forma senoidal no 
tempo. Sob condições de equilíbrio trifásico, as correntes 
instantâneas são
(4.23)
(4.24)
(4.25)
onde Im é o valor máximo de corrente e a origem do tempo 
é tomada arbitrariamente como sendo o instante em que 
a corrente da fase a é máxima positiva. Assume-se que 
seqüência de fases seja abc. As correntes instantâneas 
estão mostradas na Fig. 5.30.
Figura 5.29 - Enrolamento de estator trifásico simplificado 
de dois pólos.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
105
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 5.30 - Correntes de fase instantâneas sob condições 
de equilíbrio trifásico.
Os pontos e cruzes nos lados das bobinas (Fig. 5.29) 
indicam os sentidos de referência para cor rentes positivas 
de fase.
Foi mostrado anteriormente que a FMM da fase a é
onde
(4.26)
(4.28)
(4.27)
e
(4.29)
Observe que para evitar uma complexidade excessiva de 
notação, o subscrito g foi des cartado. Aqui o subscrito a1 
indica a componente espacial fundamental da FMM da 
fase a no entreferro.
Do mesmo modo, para as fases b e c, cujos eixos estão em 
θa= 120° e θa= -120°, res pectivamente,
(4.30)
(4.31)
(4.32)
e
(4.33)
(4.34)
(4.35)
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
106
COPYRIGHT ©2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
A FMM total é a soma das contribuições de cada uma das 
três fases
(4.36)
Essa soma pode ser realizada bem facilmente em termos 
de ondas progressivas positivas e negativas. A soma das 
ondas progressivas negativas resulta em zero
(4.37)
ao passo que as ondas progressivas positivas reforçam-se
(4.38)
Assim, o resultado de se deslocar os três enrolamentos de 
120° em termos de fase espacial e de 120° em termos de 
fase temporal é um a onda progressiva positiva de FMM
(4.39)
A onda de FMM de entreferro, descrita pela Equação 
4.39, é uma função senoidal fundamental espacial do 
ângulo espacial elétrico θae (e conseqüentemente do 
ângulo espacial θa = (2/pólos)θae). Ela tem uma amplitude 
constante de (3/2)Fmax, isto é, 1,5 vezes a amplitude da onda 
de FMM de entreferro, produzida pelas fases individuais 
sozinhas, e apresenta um pico positivo no ângulo θa = (2/
pólos)ωet. Assim, sob condições de equilíbrio trifásico, 
o enrolamento fásico produz uma onda de FMM de 
entreferro que gira na velocidade angular síncrona ωs,
(4.40)
onde
ωe= freqüência angular da excitação elétrica aplicada 
[rad/s]
ωs= velocidade angular espacial síncrona da onda de FMM 
de entreferro [rad/s]
A correspondente velocidade síncrona ns, em rpm 
(rotações por minuto), pode ser expressa em termos da 
freqüência elétrica aplicada fe = ωe/(2π), em Hz, como
(4.41)
Em geral , um campo girante de amplitude constante será 
produzido por um enrolamento de q fases excitado por 
q correntes de fase equilibradas de freqüência fe, quando 
os respctivos eixos de fase estiverem afastados de 2π/q 
radianos elétricos no espaço. A amplitude dessa onda de 
fluxo será q/2 vezes a contribuição máxima de qualquer 
fase em particular, e a velocidade angular síncrona 
permanecerá ωs = (2/pólos) ωe radianos por segundo.
Nessa seção, vimos que um enrolamento polifásico 
excitado por correntes polifásicas equilibradas produz 
uma onda de FMM girante. A produção de uma onda de 
FMM girante e o fluxo magnético girante correspondente 
é a chave da operação das máquinas elétricas rotativas 
polifásicas. É a interação dessa onda de fluxo magnético 
com o fluxo do rotor que produz conjugado. Conjugado 
constante é produzido quando o fluxo magnético 
produzido pelo rotor gira em sincronismo com o do 
estator.
Análise Gráfica de FMM Polifásica
Para correntes trifásicas equilibradas, como dadas pelas 
Equações 4.23 a 4.25, a produção de uma FMM girante 
também pode ser mostrada graficamente. Considere a 
situação em t = 0 Fig. 5.30), instante em que a corrente 
de fase a está em seu valor máximo Im. Então, a FMM 
da fase a está com o seu valor máximo Fmax, como 
mostrado pelo vetor Fa= Fmax desenhado ao longo do eixo 
magnético da fase a na máquina de dois pólos, mostrada 
esquematicamente na Fig. 4.31a. Nesse momento, as 
correntes ib e ic são ambas Im/2 no sentido negativo, como
está mostrado pelos pontos e cruzes na Fig. 5.31a 
indicando os sentidos reais instantâneos. As FMMs 
correspondentes das fases b e c são mostradas pelos 
vetores Fb e Fc, ambos de módulo Fm/2 desenhados no 
sentido negativo ao longo dos eixos magnéticos das fases 
b e c, respec tivamente. A resultante, obtida pela soma 
das contribuições individuais das três fases, é um vetor 
de módulo F= 3/2 Fmax centrado no eixo da fase a. Ela 
representa uma onda senoidal es pacial com o seu pico 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
107
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
positivo centrado no eixo da fase a e tendo uma amplitude 
3/2 vezes a da contribuição da fase a sozinha.
Em um tempo posterior ωet = π/3 (Fig. 5.30), as correntes 
das fases a e b são a meta de do máximo positivo, e a da 
fase c é um máximo negativo. As componentes de FMM 
in dividuais e suas resultantes estão mostradas agora na 
Fig. 5.31b. A resultante tem a mesma amplitude que em 
t = 0, mas agora ela girou 60 graus elétricos no espaço 
em sentido anti- horário. Do mesmo modo, em ωet = 2π/3 
(quando a corrente de fase b é um máximo positivo e as 
correntes de fase a e c são a metade do máximo negativo), 
a mesma distribuição de FMM resultante é novamente 
obtida, mas ela girou ainda mais 60 graus elétricos além 
em sentido anti-horário e agora está alinhada com o eixo 
magnético da fase b (veja a Fig. 5.31c). À medida que o 
tempo passa, então, a onda da FMM resultante retém a 
forma senoi dal e a amplitude, mas gira progressivamente 
ao redor do entreferro; pode-se ver que o resultado 
líquido é uma onda de FMM de amplitude constante 
girando com uma velocidade angular uniforme.
Depois de um ciclo, a FMM resultante deve estar de volta 
à posição da Fig.5.31a. Por tanto, a onda de FMM executa 
uma revolução por ciclo elétrico em uma máquina de dois 
pó los.
Em uma máquina de múltiplos pólos, a onda progride 
um par de pólos a cada ciclo elétri co e, portanto, uma 
revolução em pólos/2 ciclos elétricos.
Figura 5.31 - A produção de um campo magnético girante por meio de correntes trifásicas.
Exemplo 4.3
Considere um estator trifásico excitado com correntes 
equilibradas de 60 Hz. Obtenha a velocidade angular 
síncrona em rad/s e a velocidade em rpm para estatores 
com dois, quatro e seis pólos.
Solução
Para uma freqüência de fe = 60 Hz, a freqüência angular 
elétrica é igual a
ωe = 2π fe = 120π ≈ 377rad/s
Usando as Equações 4.40 e 4.41, a seguinte tabela pode 
ser construída:
Pólos ns rpm ωs (rad/s)
2 3600 120π ≈ 377
4 1800 60π
6 1200 40π
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
108
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Problema Prático 4.3
Repita o Exemplo 4.3 para um estator trifásico excitado 
por correntes equilibradas de 50 Hz
Solução
Pólos ns rpm ωs (rad/s)
2 3000 100π
4 1500 50π
6 1000 100π/3
TENSÃO GERADA
A natureza geral da tensão induzida já foi discutida na 
Seção 4.2. Agora, expressões quantita tivas para a tensão 
induzida serão determinadas.
Máquinas CA
Uma máquina CA elementar está mostrada em corte 
(4.42)
transversal na Fig. 5.32. As bobinas do rotor e também 
as do estator estão ilustradas como sendo concentradas, 
de múltiplas espiras e de passo pleno. Como vimos, 
uma máquina com enrolamentos distribuídos pode ser 
repre sentada desse modo simplesmente multiplicando 
o número de espiras em série no enrolamen to por um 
fator de enrolamento. Supondo um entreferro pequeno, 
pode-se assumir que o en rolamento de campo produz um 
fluxo radial espacial fundamental com uma densidade de 
flu xo de pico Bpico no entreferro. Embora a Fig. 5.32 mostre 
uma máquina de dois pólos, a análi se apresentada aqui 
é para o caso geral de uma máquina de múltiplos pólos. 
Como foi dedu zido no Exemplo 4.2, se o entreferro for 
uniforme, o valor de Bpico poderá ser obtido de
Figura 5.32 -Vista em seção transversal de uma máquina elementar CA trifásica.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
109
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
onde
 
g = comprimento do entreferro
Nr = total de espiras em série no enrolamento de campo
kr = fator de enrolamento do enrolamento de campo
Ir= corrente de campo
Quando os pólos do rotor estão alinhados com o eixo 
magnético de uma fase do estator, o fluxo concatenado 
com o enrolamento de uma fase do estator é kenr Nfase 
,ɸp onde ɸp é o fluxo de entreferro por pólo [Wb]. Para 
a densidade de fluxo senoidal de entreferro, que foi as 
sumida, tem-se
(4.43)
ɸp pode ser obtido como sendo a integral da densidade 
de fluxo sobre a área do pólo
(4.44)
Aqui,
θr= ângulo medido a partir do eixo magnético do rotor
r= raio até o entreferro
l = comprimento axial do ferro do estator/rotor
À medida que o rotorgira, o fluxo concatenado varia 
senoidalmente com o ângulo en tre os eixos magnéticos 
das bobinas do estator e do rotor. Com o rotor girando a 
uma veloci dade angular constante ωm, o fluxo concatenado 
com a bobina de estator da fase a é
(4.45)
onde o tempo t é escolhido arbitrariamente como sendo 
zero quando o pico da onda de densidade de fluxo coincide 
com o eixo magnético da fase a. Aqui,
(4.46)
é a velocidade mecânica do rotor expressa em radianos 
por segundo elétricos. Pela lei de Faraday, a tensão 
induzida na fase a é
(4.47)
A polaridade dessa tensão induzida é tal que, se a bobina 
do estator for colocada em curto-circuito, a tensão 
induzida dará origem a uma corrente que fluirá em um 
sentido que se oporá a quaisquer alterações no fluxo 
concatenado da bobina do estator. Embora a Equação 
4.47 tenha sido deduzida supondo-se que apenas o 
enrolamento de campo estivesse produzindo fluxo de 
entreferro, a equação aplica-se igualmente bem ao caso 
geral em que ɸP é o fluxo líquido por pólo no entreferro, 
produzido por correntes tanto no rotor como no estator.
O primeiro termo do segundo membro da Equação 4.47 
é uma tensão de transformador e está presente apenas 
quando a amplitude da onda de fluxo de entreferro varia 
no tempo. O segundo termo é tensão de velocidade 
gerada pelo movimento relativo da onda de fluxo de 
entreferro em relação à bobina de estator. Na operação 
normal em regime permanente maioria das máquinas 
rotativas, a amplitude da onda de fluxo de entreferro é 
constante. Nessas condições, o primeiro termo é zero e 
a tensão gerada é simplesmente a tensão de velocidade. 
O termo força eletromotriz (abreviado FEM) é usado 
freqüentemente para a tensão velocidade. Assim, para 
um fluxo constante de entreferro,
(4.48)
Exemplo 4.4
A chamada equação de cruzamento de fluxo exprime que 
a tensão v induzida em um fio comprimento l (no quadro 
do fio), movendo-se em relação a um campo magnético 
constante com uma densidade de fluxo de módulo B, é 
dada por
onde v˔ é a componente da velocidade do fio perpendicular 
à direção da densidade de fluxo magnético.
Considere a máquina trifásica elementar de dois pólos da 
Fig. 5.32. Suponha que a densidade de fluxo de entreferro 
produzida pelo rotor seja da forma
Bg(θr) = Bpico sen θr
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
110
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
e que o rotor gire a uma velocidade angular constante ωe. 
(Como trata-se de uma máquina dois pólos, observe que 
ωm = ωe). Supondo que os lados da bobina do enrolamento 
de armadura estejam no entreferro e não nas ranhuras, 
mostre que, para uma fase, a tensão induzida em uma 
bobina concentrada de armadura, de passo pleno 
e N espiras, pode ser calculada a partir da equação 
de cruzamento de fluxo e que é idêntica à calculada 
usando-se a Equação 4.48. O raio médio do entreferro é r 
e o comprimento do entreferro é g (g «r).
Solução
Começamos observando que a equação de cruzamento 
de fluxo exige que o condutor esteja se movimentando e 
que o campo magnético não varie no tempo. Assim, para 
que ela seja aplicada no cálculo do campo magnético, 
devemos passar o nosso quadro de referên cia para o rotor.
No quadro de referência do rotor, o campo magnético 
é constante e os lados da bobina do estator, quando 
movendo-se em relação ao centro do entreferro no raio 
r, aparenta estar se movimento com uma velocidade 
ωmer, perpendicular ao fluxo de entreferro orientado 
radial mente. Se assumirmos que os eixos magnéticos das 
bobinas de rotor e de fase estejam alinha dos no tempo 
t = 0, a posição de um lado da bobina em função do tempo 
será dada por θr= -ωmet. A tensão induzida em um lado de 
uma espira pode, portanto , ser calculada como
Há N espiras por bobina e dois lados por espira. Assim, a 
tensão total na bobina é dada por
Da Equação 4.48, a tensão induzida na bobina de estator, 
de passo pleno e dois pólos, é dada por
Usando ɸP = 2BpicoIr da Equação 4.44 e substituindo, 
obtém- se 
que é idêntica à tensão determinada usando-se a equação 
de cruzamento de fluxo.
Na operação normal de máquinas CA em regime 
permanente, estamos usualmente interessados nos 
valores eficazes de tensões e correntes ao invés de seus 
valores instantâneos. Da Equação 4.48, o valor máximo da 
tensão induzida é
 Emax = ωmekenrNfase ɸP = 2πfmeKenrNfaseɸP (4.49)
(4.50)
Onde fme é a velocidade elétrica do rotor medida em Hz, 
que também é igual à freqüência elétrica da tensão gerada. 
Observe que essas equações são idênticas em forma às 
equações corres pondentes de FEM de um transformador. 
Em uma máquina rotativa, o movimento relativo en tre 
uma bobina e uma onda de densidade de fluxo espacial 
e amplitude constante produz ten são da mesma forma 
que um fluxo variável no tempo o faz em associação com 
as bobinas es tacionárias de um transformador. A rotação 
introduz o elemento de variação no tempo e transforma 
a distribuição espacial de densidade de fluxo em uma 
variação de tensão no tempo.
A tensão induzida em um único enrolamento é uma tensão 
monofásica. Para a produção de um conjunto de tensões 
trifásicas equilibradas, resulta que três enrolamentos 
deslocados de 120 graus elétricos no espaço devem ser 
usados, como mostrado de forma elementar na Fig. 5.12. 
A máquina da Fig. 5.12 está mostrada em ligação Y e, 
assim, cada tensão de enrolamento é uma tensão de fase. 
Assim, a Equação 4.50 fornece a tensão eficaz de fase 
produzida nessa máquina quando Nfase é o número total 
de espiras em série por fase. Para uma máquina ligada em 
Δ, a tensão de enrolamento calculada a partir da Equação 
4.50 seria uma tensão de linha da máquina.
Exemplo 4.5
Um gerador de 60 Hz síncrono trifásico de dois pólos ligado 
em Y e rotor cilíndrico tem um enrolamento de campo 
com Nr espiras distribuídas e um fator de enrolamento kr. 
O enrolamento de armadura tem Na, espiras por fase e 
fator de enrolamento ka. O comprimento do entreferro é 
g, e o raio médio do entreferro é r. O comprimento ativo 
do enrolamento de armadura é L. As dimensões e os 
dados do enrolamento são
Nf = 68 espiras em série kf = 0,945
Na = 18 espiras em série/fase ka = 0,933
r = 0,53 m g = 4,5 cm
l = 3,8 m
O rotor é acionado por uma turbina a vapor a uma 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
111
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
velocidade de 3600 rpm. Para uma corrente contínua 
de campo de Ir= 720 A, calcule (a) a FMM fundamental 
de pico (Fg1)pico produzida pelo enrolamento de campo, 
(b) a densidade de fluxo fundamental de pico (Bg1)pico no 
entreferro, (c) o fluxo fundamental por pólo ɸP, e (d) o 
valor eficaz da tensão gerada em circuito aberto na 
armadura.
 Solução
a. Da Equação 4.8,
b. Usando a Equação 4.12, obtemos
Devido ao efeito das ranhuras que contêm o enrolamento 
de armadura, a maioria do fluxo de entreferro está 
confinada aos dentes do estator. A densidade de fluxo 
dos dentes no centro de um pólo é mais elevada que o 
valor calculado na parte (b), provavelmente cerca 2 vezes 
mais. Em um projeto detalhado, essa densidade de fluxo 
deve ser calculada para se determinar se os dentes estão 
excessivamente saturados.
c. Da Equação 4.44
d. Da Equação 4.50, com fme =60Hz, a tensão de fase é
A tensão de linha é, portanto,
Problema Prático 4.4
O rotor da máquina do Exemplo 4.5 deve ser reenrolado. 
O novo enrolamento de campo terá um total de 76 espiras 
em série e um fator de enrolamento de 0,925. (a) Calcule 
a corrente campo da qual resultará uma densidade 
de fluxo de pico no entreferro de 0,83 T. (b) Calcule a 
correspondente tensão eficaz de linha de circuito aberto 
que resultará se essa máquina modificada for operadacom esse valor de corrente de campo e 3600 rpm.
Solução
a. Ic =696A
b. Eef,linha = 26,0 kV eficazes
Máquinas CC
Em uma máquina CC, embora o objetivo final seja a 
geração de tensão CC, tensões CA são produzidas nas 
bobinas do enrolamento de armadura à medida que 
essas bobinas giram através da distribuição de fluxo CC 
do enrolamento de campo estacionário. Portanto, a 
tensão alternada do enrolamento de armadura deve ser 
retificada. A retificação mecânica é obtida por meio do 
comutador, como foi discutido na Seção 4.2.2.
Considere uma das bobinas de armadura de N espiras 
da máquina elementar de dois pó los da Fig. 5.17. O 
comutador simples de dois segmentos proporciona 
a retificação de onda completa da tensão de bobina. 
Embora tipicamente a distribuição espacial do fluxo de 
entreferro em máquinas CC esteja muito longe de ser 
senoidal, podemos aproximar o valor da tensão gerada 
supondo uma distribuição senoidal. Como vimos, uma tal 
distribuição de fluxo produzirá uma tensão CA senoidal na 
bobina de armadura. A ação de retificação do comuta dor 
produzirá uma tensão CC sobre as escovas, como na 
Fig. 5.33. O valor médio, ou CC, dessa tensão pode ser 
encontrado obtendo-se a média da Equação 4.48,
Em máquinas CC, usualmente é mais conveniente 
expressar a tensão Ea em termos da velocidade mecânica 
ωm (rad/s) ou n (rpm). A substituição da Equação 4.46 
na Equação 4.51, para uma máquina de múltiplos pólos, 
fornece
(4.51)
(4.52)
Em sentido prático, o enrolamento de bobina CC 
subentendido aqui está, naturalmente fora da realidade. 
Mais adiante será essencial examinar com mais cuidado a 
ação dos comutadores. Na realidade, em termos práticos, 
a Equação 4.52 também fornece resultados corretos para 
o caso de enrolamentos distribuídos CA de armadura, 
desde que N seja tomado como sendo o número total 
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
112
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
de espiras em série entre os terminais de armadura. 
Usualmente, a tensão é expressa em termos do número 
total de condutores ativos Ca do número m de caminhos 
paralelos no enrola mento de armadura. Como são 
necessários dois lados de uma bobina para perfazer uma 
espira e 1/m dessas estão conectadas em série, o número 
de espiras em série é Na= Ca/(2m). Então, subs tituindo na 
Equação 4.52, obtém-se
(4.53)
Figura 5.33- Tensão entre as escovas da máquina 
elementar CC da Fig. 5.17.
Conjugado em Máuinas de Pólos não Salientes
O comportamento de qualquer dispositivo 
eletromagnético, atuando como componente de um 
sistema eletromecânico, pode ser descrito em termos 
de suas equações de terminais elétricos e de seu 
deslocamento e conjugado eletromecânico. O objetivo 
desta seção é deduzir as equações de tensão e conjugado 
para uma máquina elementar ideal. Os resultados 
podem ser prontamente estendidos posteriormente para 
máquinas mais complexas. Deduziremos essas equações 
dede dois pontos de vista e mostraremos que basicamente 
elas originam-se das mesmas idéias.
O primeiro ponto de vista é essencialmente o mesmo da 
Seção 3.6. A máquina será vista como um elemento de 
circuito cujas indutâncias dependem da posição angular 
do rotor. O fluxo concatenado λ e a co-energia do campo 
magnético serão expressos em termos das correntes e 
indutâncias. Então, o conjugado pode ser encontrado 
a partir da derivada parcial energia ou co-energia em 
relação à posição do rotor, e as tensões de terminal, a 
partir da soma das quedas de tensão Ri nas resistências 
e as tensões da lei de Faraday dλ/dt. O resultado será 
um conjunto de equações diferenciais não-lineares que 
descrevem o desempenho dinâmico da máquina.
O segundo ponto de vista considera a máquina como 
dois grupos de enrolamentos produzem fluxo magnético 
no entreferro: um grupo no estator e o outro no rotor. 
Fazendo suposições adequadas em relação a esses 
campos (similares às usadas para se deduzir expressões 
analíticas para as indutâncias), expressões simples podem 
ser desenvolvidas para o fluxo concatenado e a co-energia 
de entreferro em termos das grandezas de campo. O 
conjugado e a tensão gerada podem ser encontrados então 
a partir dessas expressões. Desse modo, o conjugado pode 
ser expresso explicitamente como a tendência de dois 
campos magnéticos a se alinhar, do mesmo modo que 
imãs permanentes tendem a se alinhar, e a tensão gerada 
de ser expressa em termos do movimento relativo entre 
um campo e um enrolamento. Essas expressões levam a 
uma descrição física simples do comportamento normal 
das máquinas elétricas em regime permanente.
Ponto de Vista de Circuito Acoplado
Considere a máquina elementar de entreferro uniforme 
da Fig. 5.34 com um enrolamento no estator e um no 
rotor, em que Ɵm é o ângulo mecânico entre os eixos 
dos dois enrolamentos. Esses enrolamentos estão 
distribuídos por um dado número de ranhuras de modo 
que suas ondas de FMM possam ser aproximadas por 
senóides espaciais. Na Fig. 5.34a, os lados das bobinas 
s,-s e r, -r marcam as posições dos centros dos feixes de 
condutores constituídos pelos enrolamentos distribuídos.
Um outro modo de se desenhar esses enrolamentos 
está mostrado na Fig.5.34b também mostra os sentidos 
de referência para as tensões e as correntes. Assume-se 
aqui que uma corrente com o sentido da seta produz um 
campo magnético no entreferro também com o sentido 
da seta, de modo que uma única seta define os sentidos 
de referência da corrente e do fluxo.
O estator e o rotor são cilindros concêntricos e as aberturas 
das ranhuras são desprezadas. Conseqüentemente, 
o nosso modelo elementar não inclui os efeitos dos 
pólos salientes, que serão investigados em capítulos 
posteriores. Supomos também que as relutâncias dos 
ferros do estator e do rotor são desprezíveis. Finalmente, 
embora a Fig. 5.34 mostre uma máquina de dois pólos, 
escreveremos os desenvolvimentos seguintes para o caso 
geral de uma máquina de múltiplos pólos, substituindo 
Ɵm pelo ângulo elétrico do rotor
(4.54)
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
113
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Com base nessas suposições, pode-se ver que as 
indutâncias próprias Lee e Lrr do estator e do rotor são 
constantes, mas a indutância mútua entre o estator e 
o rotor depende do ângulo elétrico Ɵme entre os eixos 
magnéticos dos enrolamentos do estator e do rotor.
 
Figura 4.34 - Máquina elementar de dois pólos com entreferro uniforme: (a) distribuição de enrolamentos e (b) 
representação esquemática.
A indutância mútua está em seu máximo positivo 
quando Ɵme = 0 ou 2π , é zero quando Ɵme = ±π/2, e está 
em seu máximo negativo quando Ɵme= ±π. Supondo 
ondas senoidais de FMM e um entrefer ro uniforme, a 
distribuição espacial do fluxo de entreferro é senoidal, e a 
indutância mútua se rá da forma
 Ler (Ɵme )= Ler cos (Ɵme) (4.55)
�nde a letra manuscrita L denota uma indutância que 
é função do ângulo elétrico Ɵme . A letra maiúscula em 
itálico L denota um valor constante.Assim, Ler é o valor da 
indutância mútua; seu valor quando os eixos magnéticos 
do estator e do rotor estão alinhados (Ɵme = 0).Em ter mos 
de indutâncias, os fluxos concatenados λe e λr do estator 
e do rotor são
(4.56)
(4.57)
onde as indutâncias podem ser calculadas como no 
Apêndice B . Em notação matricial
(4.58)
As tensões ve e vr dos terminais são
(4.59)
(4.60)
ode Re e Rr são as resistências dos enrolamentos do estator 
e do rotor respectivamente.
Quando o rotor está girando, Ɵme deve ser tratado como 
uma variável. A diferenciação Equações 4.56 e 4.57, 
substituindo os resultados nas Equações 4.59 e 4.60, leva 
a
(4.61)
(4.62)
onde
(4.63)
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
114
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADEINTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
é a velocidade instantânea em radianos elétricos por 
segundo. Em uma máquina de dois pólos ( como a da 
Fig. 5.34), Ɵme e ωme são iguais aos valores instantâneos 
do ângulo Ɵm no eixo, e da velocidade ωm no eixo, 
respectivamente. Em uma máquina de múltiplos pólos, 
eles estão relacionados entre si por meio das Equações 
4.54 e 4.46. Os segundos e terceiros termos, nos segundos 
membros das Equações 4.61 e 4.62, são tensões induzidas 
L(di/dt) como as induzidas em circuitos estacionários 
acoplados tais como enrolamentos de transformadores. Os 
quartos termos são causados pelo movimento mecânico 
e são proporcionais à velocidade instantânea. São os 
termos das tensões de velocidade que correspondem à 
troca de potência entre os sistemas elétrico e mecânico.
O conjugado eletromecânico pode ser obtido a partir da 
co-energia. Usando a Equação 3.70, tem-se
(4.64)
Observe que a co-energia da Equação 4.64 foi expressa 
especificamente em termos do ângulo no eixo Ɵm, porque 
a expressão do conjugado da Equação 3.68 exige que o 
conjugado seja obtido a partir da derivada da co-energia 
em relação ao ângulo espacial Ɵm e não em relação ao 
ângulo elétrico Ɵme. Assim , da Equação 3.68,
(4.65)
onde T é o conjugado eletromecânico que atua acelerando 
o rotor (isto é, um conjugado positivo atua aumentando 
Ɵm). O sinal negativo na Equação 4.65 significa que o 
conjugado eletromecânico atua em um sentido tal que 
leva os campos magnéticos do estator e do rotor ao 
alinhamento.
As Equações 4.61, 4.62 e 4.65 são um conjunto de três 
equações que relacionam as variáveis elétricas ve, ie, vr, 
ir, com as variáveis mecânicas T e Ɵm. Essas equações, 
junto com as restrições impostas às variáveis elétricas 
pelas redes conectadas aos terminais (fontes ou cargas e 
impedâncias externas), e as impostas ao rotor (conjugado 
aplicado e conjugados inercial, elástico e de atrito), 
determinam o desempenho do dispositivo e as suas 
características como dispositivo de conversão entre os 
sistemas externos elétricos e mecânicos. Essas equações 
diferenciais são não-lineares e de difícil solução exceto em 
circunstâncias especiais. Não estamos interessados em 
sua solução aqui; estamos usando-as meramente como 
degraus do desenvolvimento da teoria das máquinas 
rotativas.
Exemplo 4.6
Considere a máquina elementar de dois pólos e dois 
enrolamentos da Fig. 5.34. Seu eixo está acoplado a um 
dispositivo mecânico que pode ser levado a absorver 
ou entregar conjugado mecânico dentro de um amplo 
intervalo de velocidades. Essa máquina pode ser conectada 
e operada de diversos modos. Para esse exemplo, vamos 
considerar a situação em que o enrolamento do rotor é 
excitado com corrente contínua Ir, e o enrolamento do 
estator é conectado a uma fonte de corrente CA que pode 
tanto absorver como entregar potência elétrica.
Seja a corrente de estator
ie = Ie cos ωet
onde t = 0 é escolhido arbitrariamente como sendo o 
momento em que a corrente de estator tem seu valor de 
pico.
a. Deduza uma expressão para o conjugado magnético 
desenvolvido pela máquina quando a sua velocidade é 
variada sob controle do dispositivo mecânico conectado 
a seu eixo.
b. Encontre a velocidade para a qual produz-se conjugado 
médio quando a freqüência do es tator é 60 Hz.
c. Com as excitações assumidas para as fontes de corrente, 
que tensões são induzidas nos en rolamentos de estator e 
de rotor na velocidade síncrona ( ωm = ωe)?
Solução
a. Da Equação 4.65 para uma máquina de dois pólos
Para as condições dadas neste problema, com Ɵm = ωmt + ᴕ,
onde ωm é a velocidade angular em sentido horário 
aplicada ao rotor pelo acionamento mecânico e ᴕ é a 
posição angular do rotor em t =0. Usando uma identidade 
trigonomé trica,2 temos
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
115
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
O conjugado consiste em dois termos senoidais, variáveis 
no tempo, de freqüências ωm + ωe e ωm - ωe. Como foi 
mostrado na Seção 4.5, uma corrente CA aplicada ao 
enrolamento mo nofásico do estator de dois pólos da 
máquina da Fig.4.34 cria duas ondas de fluxo, uma 
des locando-se no sentido de Ɵm positivo com velocidade 
angular ωe e a segunda, no sentido de Ɵm negativo 
também com velocidade angular ωe.É da interação do 
rotor com essas duas on das de fluxo que resultam as duas 
componentes da expressão do conjugado.
b. Exceto quando ωm = ± ωe, o conjugado médio em 
um intervalo de tempo suficientemente longo é zero. 
Entretanto, quando ωm = ωe, o rotor está girando em 
sincronismo com a on da de fluxo de estator que se desloca 
em sentido positivo, e o conjugado torna-se
O primeiro termo de seno é um componente de freqüência 
dupla cujo valor médio é zero. O segundo termo é o 
conjugado médio
Um conjugado médio diferente de zero também será 
produzido quando ωm= - ωe, o que sim plesmente 
significa rotação em sentido anti-horário; o rotor está se 
deslocando agora em sin cronismo com a onda de fluxo 
do estator que se desloca em sentido negativo. O sinal 
negativo na expressão de Tmédio significa que um valor 
positivo de Tmédio atua diminuindo ᴕ.
Trata-se de uma máquina síncrona monofásica ideal. 
Com uma freqüência de estator de 60 Hz, produzirá um 
conjugado médio diferente de zero para velocidades de 
±ωm = ωe= 2π60 rad/s, correspondendo a velocidades de 
±3600 rpm, como se pode ver na Equação 4.41.
c. A partir dos segundo e quarto termos da Equação 4.61 
( com Ɵe = Ɵm = ωmt + ᴕ), a tensão induzida no estator, 
quando ωm = ωe, é
A partir do(s) terceiro e quarto termos da Equação 4.62, a 
tensão induzida no rotor é
A componente de rotação para trás do fluxo no estator 
induz uma tensão de freqüência dupla no rotor, ao 
passo que a componente de rotação para frente, que 
está girando em sincronismo com o rotor, aparece como 
um fluxo CC ao rotor, e conseqüentemente não induz 
nenhuma tensão no enrolamento do rotor.
Agora considere um a máquina de entreferro uniforme 
com diversos enrolamentos de estator e rotor. Os mesmos 
princípios gerais, que se aplicam ao modelo elementar 
da Fig. 5.34, aplicam-se também à máquina de múltiplos 
enrolamentos. Cada enrolamento tem a sua indutância 
própria em particular assim como indutâncias mútuas 
com outros enrolamentos. As indutâncias próprias e 
mútuas entre pares de enrolamentos do mesmo lado 
do entreferro são constantes, supondo-se um entreferro 
uniforme e saturação magnética desprezível. Entretanto 
as indutâncias mútuas entre pares de enrolamentos de 
estator e rotor variam proporcionalmente ao co-seno do 
ângulo entre os seus eixos magnéticos. O conjugado resulta 
da tendência do campo magnético dos enrolamentos do 
rotor a se alinhar com o dos enrolamentos estator. Pode 
ser expresso pela soma de termos como o da Equação 
4.65.
Exemplo 4.7
Considere uma máquina síncrona trifásica de quatro pólos 
com um entreferro uniforme. Suponha que as indutâncias 
próprias e mútuas do enrolamento de armadura sejam 
constante.
Laa=Lbb=Lcc
Lab=Lbc=Lca
Do mesmo modo, suponha que a indutância própria Lf 
do enrolamento de campo seja constante, ao passo que 
as indutâncias mútuas entre o enrolamento de campo e 
os três enrolamentos de fase da armadura variem com o 
ângulo Ɵm entre os eixos magnéticos do enrolamen to de 
campo e o da fase a
Laf = Laf cos2Ɵm
Lbf = Laf cos (2Ɵm - 120°)
Lcf = Laf cos(2Ɵm + 120°)
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
116
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Mostre que, quando o campo é excitado com corrente 
constante If e a armadura é exci tada com correntes 
trifásicas equilibradas da forma
ia= Ia cos (ωet +ᴕ)
ib = Iacos (ωet - 120° +ᴕ)
ic = Ia cos (ωet + 120° + ᴕ)
então o conjugado será constante se o rotor girar na 
velocidade síncrona, como dadopela Equação 4.40.
Solução
O conjugado pode ser calculado a partir da co-energia 
como foi descrito na Seção 3.6. Essa máquina em 
particular é um sistema de quatro enrolamentos. Assim, 
a co-energia consistirá em quatro termos envolvendo 
metade da indutância própria multiplicada pelo quadrado 
da correspondente corrente de enrolamento, assim 
como termos de produtos que consistem em indutâncias 
mútuas entre pares de enrolamentos multiplicadas pelas 
correspondentes corren tes de enrolamento. Observando 
que apenas os termos que envolvem as indutâncias mútuas 
entre o enrolamento de campo e os três enrolamentos de 
fase da armadura conterão termos que variam com Ɵm, 
podemos escrever a co-energia na forma
O conjugado pode ser encontrado agora a partir da 
derivada parcial de Wcampo em rela ção a Ɵm
Dessa expressão, vemos que o conjugado será constante 
quando o rotor girar na velocidade síncrona ωs tal que
em cujo caso o conjugado será igual a
T = 3LafIaIf sen ᴕ
Observe que, diferentemente do caso da máquina 
monofásica do Exemplo 4.6, o conjugado dessa máquina 
trifásica, operando na velocidade síncrona sob condições 
trifásicas equilibra das, é constante. Como vimos, isso é 
devido ao fato de que a onda de FMM do estator consis te 
em uma única onda de fluxo girante, ao contrário do caso 
monofásico em que a corrente de fase do estator produz 
duas ondas de fluxo, uma para frente, e outra para trás. 
Essa onda de fluxo para trás não está em sincronismo com 
o rotor e portanto é responsável pela componen te de 
conjugado variável no tempo de freqüência dupla vista no 
Exemplo 4.6.
Problema Prático 4.5
Para a máquina de quatro pólos do Exemplo 4.4.7, 
encontre a velocidade síncrona na qual um conjugado 
constante será produzido se as correntes do rotor forem 
da forma
Solução
No Exemplo 4.7, encontramos que, sob condições 
equilibradas, uma máquina síncrona de quatro pólos 
produz conjugado constante quando a velocidade angular 
de rotação é igual à metade da freqüência elétrica de 
excitação. Esse resultado pode ser generalizado para 
mostrar que, sob condições equilibradas de operação, 
uma máquina síncrona multifásica e de múltiplos pólos 
produzirá conjugado constante na velocidade de rotor 
em que este gira em sincro nismo com a onda girante de 
fluxo produzida pelas correntes do estator. Por isso, ela 
é conhecida como velocidade síncrona da máquina. Das 
Equaçõe s 4.40 e 4.41, a velocidade síncrona é igual a 
ωs = (2/pólos)ωe em rad/s ou ns= (120/pólos)fe em rpm.
Ponto de Vista do Campo Magnético
Na discussão da Seção 4.7.1, as características de uma 
máquina rotativa vista de seus tenru nais elétricos e 
mecânicos foram expressas em termos de suas indutâncias 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
117
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
de enrolamento. Esse ponto de vista dá pouco insight dos 
fenômenos físicos que ocorrem dentro da máquina. Nesta 
seção, iremos explorar uma formulação alternativa em 
termos dos campos magnéticos interatuantes.
Como vimos, as correntes nos enrolamentos da máquina 
criam fluxo magnético entre o estator e o rotor, sendo 
que os caminhos de fluxo são completados através do 
ferro do estator e do rotor. Essa condição corresponde ao 
surgimento de pólos magnéticos em ambos o estator e 
o rotor, centrados em seus respectivos eixos magnéticos, 
como mostrado na Fig. 5.35a para uma máquina de dois 
pólos com entreferro uniforme. O conjugado é produzido 
pela tendência dos dois campos magnéticos componentes 
a alinhar os seus eixos magnéticos. Uma visão física útil é 
que isso é muito semelhante à situação de duas barras 
magnéticas pivotadas em seus centros no mes mo eixo. 
Haverá um conjugado, proporcional ao deslocamento 
angular entre as barras magné ticas, que atuará de modo 
a alinhá-los. Na máquina da Fig. 5.35a, o conjugado 
resultante é proporcional ao produto das amplitudes das 
ondas de FMM do estator e do rotor e é também uma 
função do ângulo ᴕer medido desde o eixo da onda de 
FMM do estator até o do rotor. De fato mostraremos que, 
em uma máquina de entreferro uniforme, o conjugado é 
proporcional a ᴕer.
Em uma máquina típica, a maioria do fluxo produzido 
pelos enrolamentos de estator e rotor cruzam o entreferro 
e acoplam ambos os enrolamentos. Isso é chamado de 
fluxo mútuo em analogia direta com o fluxo mútuo ou 
de magnetização de um transformador. Entretanto uma 
parte do fluxo produzido pelos enrolamentos do rotor e 
do estator não cruzam o entreferro, em analogia ao fluxo 
de dispersão de um transformador.
Figura 5.35 - Máquina de dois pólos simplificada: (a) modelo elementar e (b) diagrama ve torial das ondas de FMM. O 
conjugado é produzido pela tendência a se alinhar dos campos magnéticos do rotor e do estator. Observe que essas 
figuras são desenhadas com ᴕer, positivo, isto é, com a onda de FMM do rotor Fr, à frente da Fe do estator.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
118
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Esses componentes de fluxo são conhecidos como fluxo 
de dispersão do rotor e fluxo de dispersão do estator. Os 
componentes desse fluxo de dispersão incluem fluxos 
dispersivo de ranhura e de topo de dente, fluxo dispersivo 
de terminação de espira, e harmônicas espaciais no 
campo de entreferro.
Apenas o fluxo mútuo é de interesse direto para a produção 
de conjugado. Entretanto, os fluxos de dispersão afetam 
de fato o desempenho das máquinas, devido às tensões 
que eles induzem em seus respectivos enrolamentos. Seus 
efeitos sobre as características elétricas são explicados 
por meio de indutâncias, de forma análoga ao uso da 
inclusão de indutâncias de dispersão nos modelos de 
transformadores.
Quando se expressa o conjugado em termos de correntes 
de enrolamento ou de suas FMMs correspondentes, 
as expressões resultantes não incluem termos que 
contenham indutâncias de dispersão. Nossa análise 
aqui será então em termos do fluxo mútuo resultante. 
Iremos desenvolver uma expressão para a co-energia 
magnética armazenada no entreferro em termos das 
FMMs de estator e rotor e do ângulo ᴕer, entre seus eixos 
magnéticos. O conjugado pode então ser obtido a partir 
da derivada parcial da co-energia em relação ao ângulo 
ᴕer.
Para simplificar a análise, iremos supor que o comprimento 
radial g do entreferro (o espaço livre entre o rotor e o 
estator) seja pequeno, quando comparado com o raio 
do rotor ou do estator. Em uma máquina com entreferro 
uniforme, construída com aço elétrico de permeabilidade 
magnética elevada, é possível mostrar que resultará um 
fluxo de entreferro orientado basicamente em forma 
radial, e que há uma diferença relativamente pequena 
entre as densidades de fluxo na superfície do rotor, 
na superfície do estator, ou a qualquer distância radial 
intermediária no entreferro. O campo no entreferro 
pode então ser representado como um campo radial Hg 
ou Bg cuja intensidade varia com o ângulo ao redor da 
periferia. A integral de linha de Hg através do entreferro 
é então simplesmente Hgg e é igual à FMM resultante Fer, 
de entreferro produzida pelos enrolamentos de estator e 
rotor; assim
 Hgg = Fer (4.66)
onde F denota a onda de FMM em função do ângulo ao 
redor da periferia.
As ondas de FMM do estator e do rotor são ondas 
senoidais espaciais nas quais ᴕer, é o ângulo de fase entre 
seus eixos magnéticos em graus elétricos. Elas podem ser 
representadas pelos vetores espaciais Fe Fr, desenhadas 
ao longo dos eixos magnéticos das ondas de FMM do 
estator e do rotor respectivamente, como na Fig. 5.35b. 
A FMM resultante Fer, também uma onda senoidal que 
atua no entreferro, é a soma vetorial delas. Da fórmula 
trigonométri ca da diagonal de um paralelogramo, o valor 
de pico é obtidode
 F2er = F2e + F2r + 2FeFr cos ᴕer (4.67)
em que os Fs são os valores de pico das ondas de FMM. O 
campo radial resultante Hg é uma onda senoidal espacial 
cujo valor de pico Hg,pico é, da Equação 4.66,
 (Hg)pico = Fer (4.68)
 g
Agora, considere a co-energia do campo magnético 
armazenada no entreferro. Da Equa ção 3.49, a densidade 
de co-energia em um ponto, em que a intensidade de 
campo magnético é H, é (µ0/2)H2 em unidades do SI. 
Assim, a densidade média de co-energia em todo o 
volume do entreferro é µ0/2 vezes o valor médio de H2g. 
O valor médio do quadrado de uma onda senoidal é a 
metade de seu valor de pico. Assim,
A co-energia total é obtida então como sendo
w'campo = (densidade média de co-energia)(volume de 
entreferro)
(4.70)
onde I é o comprimento axial do entreferro e D é o seu 
diâmetro médio.
Da Equação 4.67, a co-energia armazenada no entreferro 
pode ser expressa agora termos das amplitudes de pico 
das ondas de FMM de estator e rotor e do ângulo de fase 
espacial entre elas; assim
(4.71)
Verificando que manter uma FMM constante é equivalente 
a manter uma corrente constante, uma expressão para 
o conjugado eletromecânico T pode ser obtida agora, 
em termos dos campos magnéticos interatuantes, 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
119
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
calculando-se a derivada parcial da co-energia do campo 
em relação ao ângulo. Para uma máquina de dois pólos
(4.72)
A expressão geral para o conjugado de uma máquina de 
múltiplos pólos é
(4.73)
Nessa equação, ᴕer é o ângulo elétrico de fase espacial 
entre as ondas de FMM do rotor e do estator e o 
conjugado T atua no sentido em que o rotor é acelerado. 
Assim, quando o ᴕer é positivo, o conjugado é negativo 
e a máquina está funcionando como gerador. De modo 
semelhante, um valor negativo de ᴕer, corresponde a um 
conjugado positivo e, correspondentemente, funciona 
como motor.
Essa importante equação exprime que o conjugado é 
proporcional aos valores de pico das ondas de FMM Fe 
e Fr do estator e do rotor, e ao seno do ângulo elétrico 
de fase espacial ᴕer, entre elas. O sinal de menos significa 
que os campos tendem a se alinhar entre si. Conjugados 
iguais e opostos são exercidos sobre o estator e o rotor. 
O conjugado sobre o estator é transmitido através da 
carcaça da máquina à fundação.
Agora, pode-se comparar os resultados da Equação 4.73 
com os da Equação 4.65. Verificando que Fe é proporcional 
a ie e Fr é proporcional a ir, pode-se ver que são semelhantes 
na forma. De fato, eles devem ser iguais, como pode 
ser verificado substituindo-se Fe,Fr, (Seção 4.3.1) e Ler, 
(Apêndice B) por expressões apropriadas. Observe 
que esses resultados foram deduzidos supondo que a 
relutância do ferro fosse desprezível. No entanto, as duas 
técnicas são igualmente válidas para uma permeabilidade 
finita do ferro.
Referindo-se à Fig. 5.35b, pode-se ver que Fr senᴕer, é a 
componente da onda Fr em quadratura elétrica espacial 
com a onda Fe. De modo semelhante, Fe senᴕer é a 
componente da onda Fe em quadratura com a onda Fr. 
Assim, o conjugado é proporcional ao produto de campo 
magnético pela componente do outro em quadratura 
consigo, muito semelhante ao produto vetorial da análise 
vetorial. Observe também que, na Fig. 5.35b,
 Fe sen ᴕer = Fer senᴕr (4.74)
e
 Fr sen ᴕer = Fer senᴕe (4.75)
O conjugado, que atua acelerando o rotor, pode então 
ser expresso em termos da onda de FMM resultante. 
Substituindo-se a Equação 4.74 ou a Equação 4.75 na 
Equação 4.73, obtêm-se
(4.76)
(4.77)
A comparação das Equações 4.73, 4.76 e 4.77 mostra que 
o conjugado pode ser expresso em termos dos campos 
magnéticos componentes devidos a cada corrente 
isoladamente, como na Equação 4.73, ou em termos do 
campo resultante e de qualquer um dos componentes, 
como nas Equações 4.76 e 4.77, desde que usemos o 
ângulo correspondente entre os eixos dos campos. A 
capacidade de pensar em qualquer uma dessas formas é 
útil na análise de máquinas.
Nas Equações 4.73, 4.76 e 4.77, os campos foram 
expressos em termos dos valores de pico de suas ondas 
de FMM. Quando se despreza a saturação magnética, os 
campos podem, naturalmente, ser expressos em termos 
dos valores de pico de suas ondas de densidade de fluxo, 
ou em termos do fluxo total por pólo. Assim, o valor de 
pico B.de campo devido a uma onda de FMM distribuída 
senoidalmente em um entreferro uniforme de máquina é
µ0Fg,pico/g, onde Fag,pico é o valor de pico da onda de FMM. 
Por exemplo, a FMM resultante Fer produz uma onda 
de densidade de fluxo resultante cujo valor de pico é 
Ber= µ0Fer/g. Assim, Fer = g Ber/µ0 e substituindo na Equação 
4.77, obtém-se
(4.78)
Uma das limitações inerentes ao projeto de aparelhos 
eletromagnéticos é a densidade de fluxo de saturação dos 
materiais magnéticos. Devido à saturação nos dentes da 
armadura, o valor de pico Ber da onda de densidade de 
fluxo resultante no entreferro é limitado a cerca de 1,5 
a 2,0 T. O valor máximo admissível para a corrente de 
enrolamento, e conseqüentemente a correspondente 
ond a de FMM, é limitado pela elevação de temperatura 
do enrolamento e por outros requisitos de projeto. Como 
a densidade de fluxo resultante e a FMM aparecem 
ex plicitamente na Equação 4.78, essa equação está em 
uma forma conveniente aos propósitos de projeto. Ela 
pode ser usada para estimar o conjugado máximo que 
é possível de se obter com uma máquina de um dado 
tamanho.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
120
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Exemplo 4.8
Um motor síncrono de quatro pólos, operando a 1800 rpm 
e 60 Hz, tem um entreferro de 1,2 mm. O diâmetro médio 
do entreferro é 27 cm, e seu comprimento axial é 32 cm. 
O enrola mento do rotor tem 786 espiras e um fator de 
enrolamento de 0,976. Supondo que razões tér micas 
limitem a corrente do rotor a 18 A, estime o conjugado e 
a potência de saída máximos que se pode esperar obter 
dessa máquina.
Solução
Primeiro, podemos determinar a FMM de rotor máxima a 
partir da Equação 4.8
Supondo que o valor de pico do fluxo de entreferro 
resultante esteja limitado a 1,5 T, podemos estimar o 
conjugado máximo a partir da Equação 4.78 tornando ᴕr 
igual a -π/2 (lembrando que valores negativos de ᴕr, com 
a FMM do rotor atrasada em relação à FMM resultante , 
correspondem a um conjugado positivo, motor).
Para uma velocidade síncrona de 1800 rpm, 
tem-se ωm = ns (π/30) = 1800 (π/30) rad/s, e as sim a 
potência correspondente pode ser calculada como 
Pmax = ωm Tmax = 337 kW.
Problema Prático 4.6
Repita o Exemplo 4.8 para um motor síncrono de dois 
pólos e 60 HZ com um comprimento de entreferro de 
1,3 mm, um diâmetro médio de entreferro de 22 cm e um 
comprimento axi al de 41 cm. O enrolamento do rotor tem 
900 espiras e um fator de enrolamento de 0,965. corrente 
máxima de rotor é 22 A.
Solução
Tmax = 2585 N. m e Pmax = 975 kW
Formas alternativas da equação de conjugado surgem 
quando se verifica que o fluxo re sultante por pólo é
 
ɸP= (valor médio de B em um pólo)(área do pólo) (4.79)
e que o valor médio de uma senóide no intervalo de meio 
comprimento de onda é 2/π vezes o seu valor de pico. 
Assim,
(4.80)
onde Bpico é o valor de pico da respectiva onda de 
densidade de fluxo. Por exemplo, usando o valor de pico 
do fluxo resultante Ber,e substituindo a Equação 4.80 na 
Equação 4.78, obtém-se
(4.81)
onde ɸer é o fluxo por pólo resultante que é produzido 
pelo efeito combinado das FMMs do estator e do rotor.
Recapitulando, temos agora diversas formas para 
expressar o conjugadode uma máquina de entreferro 
uniforme em termos de seus campos magnéticos. 
Todas são simplesmente expressões de que o conjugado 
é proporcional ao produto dos módulos dos campos 
interatuantes, e ao seno do ângulo espacial elétrico entre 
os seus eixos magnéticos. O sinal negativo indica que o 
conjugado eletromecânico atua em um sentido tal que 
a distância angular entre os campos diminui. Em nossa 
discussão introdutória dos tipos de máquinas, a Equação 
4.81 será a forma preferida.
Além disso, pode-se fazer um outro comentário relativo 
às equações de conjugado ao processo de raciocínio que 
leva a elas. Durante a dedução, não houve restrições em 
rela ção a manter as ondas de FMM ou de densidade de 
fluxo estacionárias no espaço. Elas po dem permanecer 
estacionárias ou serem ondas em deslocamento, como 
foi discutido na Se ção 4.5. Como vimos, se os campos 
magnéticos do estator e do rotor forem constantes 
e amplitude e se deslocarem ao redor do entreferro 
na mesma velocidade, um conjugado constante será 
produzido pela tendência dos campos do estator e do 
rotor a se alinhar entre si de acordo com as equações do 
conjugado.
Máquinas Lineares
Em geral, cada um dos tipos de máquinas discutidos neste 
livro pode ser produzido em ver sões lineares além das 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
121
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
versões rotativas que comumente são encontradas e que 
serão extensi vamente discutidas nos próximos capítulos. 
De fato, pela clareza da discussão, muitos dos ti pos de 
máquinas discutidos neste livro são desenhados em 
suas formas desenvolvidas ou pla nificadas (coordenadas 
cartesianas), tal como na Fig. 5.19b.
Talvez o uso mais largamente conhecido dos motores 
lineares seja no campo dos transportes. Nessas aplicações, 
motores de indução lineares são usados. Tipicamente 
o "estator" CA está no veículo em movimento, e um 
"rotor'' estacionário condutor constitui os trilhos. Nesses 
sistemas, além de propiciar a propulsão, as correntes 
induzidas nos trilhos podem ser usadas para produzir 
levitação, oferecendo assim um mecanismo de transporte 
a alta velocidade, sem as dificuldades associadas com 
as interações que ocorrem entre as rodas e os trilhos no 
transporte mais convencional efetuado com trilhos.
Os motores lineares também encontraram aplicação na 
indústria de máquinas ferramentas e em robótica onde o 
movimento linear (necessário para o posicionamento e a 
operação de manipuladore s) é um requisito comum. Além 
disso, máquinas alternativas (recíprocas) lineares estão 
sendo construídas para o acionamento de compressores 
(4.82)
Se uma máquina real tiver um enrolamento distribuído 
(similar a seu equivalente circu lar, mostrado na Fig. 5.20) 
consistindo em um total de Nfase, espiras distribuídas em p 
(4.83)
e alternadores recíprocos.
A análise de máquinas lineares é muito similar à das 
máquinas rotativas. Em geral, dimensões e distâncias 
lineares substituem as angulares, e forças substituem 
os conjugados. Com essas exceções, as expressões 
para os parâmetros de máquina são desenvolvidas de 
modo análogo aos apresentados aqui para as máquinas 
rotativas, e os resultados são semelhantes em forma.
Considere o enrolamento linear mostrado na Fig. 5.36. 
Esse enrolamento, consistindo em N espiras por ranhura 
e conduzindo uma corrente i, é diretamente análogo ao 
enrolamento circular mostrado em forma desenvolvida 
na Fig. 5.25. De fato, a única diferença é a substituição da 
posição angular Ɵa pela linear z.
A componente fundamental da onda de FMM da 
Fig. 5.36 pode ser encontrada diretamente da Equação 
4.13 simplesmente verificando que esse enrolamento tem 
um comprimento de onda igual a β e que a componente 
fundamental dessa onda de FMM varia de acordo com 
(2πz/β). Assim, substituindo o ângulo Ɵa, na Equação 4.13 
por 2πz/β, podemos obter a componente fundamental da 
onda de FMM diretamente como
períodos ao longo de z (isto é, em um comprimento de pβ), 
a componente fundamental de Hg pode ser encontrada, 
por analogia com a Equação 4.15, como sendo
onde kenr é o fator de enrolamento.
De modo análogo à discussão da Seção 4.5.2, um 
enrolamento trifásico linear pode ser construído a partir 
de três enrolamentos como os da Fig. 5.31. Cada fase está 
deslocada em posi ção de uma distância β/3, e as fases 
são excitadas por correntes trifásicas equilibradas de 
freqüên cia angular ωe
 ia = lm COS ωet (4.84)
 ia = lm COS ωet (4.85)
 ib = lm COS (ωet -120°) (4.86)
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
122
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 5.36 - A FMM e o campo H de um enrolamento linear concentrado de passo pleno
Seguindo o desenvolvimento das Equações 4.26 até 4.38, 
podemos ver que haverá uma única FMM progressiva 
positiva que pode ser escrita diretamente da Equação 
4.38, simplemente substituindo Ɵa por 2πz/β, obtendo-se
(4.87)
onde Fmax é dada por
(4.88)
Da Equação 4.87, podemos ver que o resultado é 
uma onda de FMM que se desloca direção z com uma 
velocidade linear
(4.89)
Onde fe é a frequencia de excitação em hertz.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
123
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Exemplo 4.9
Um motor CA trifásico linear tem um enrolamento com 
um comprimento de onda de β= 0,5m e um entreferro 
com 1,0 cm de comprimento. Um total de 45 espiras, com 
um fator de enrolamento de kenr = 0,92, é distribuído em 
um comprimento total de enrolamento de 3β = 1,5m. 
Suponha que os enrolamentos sejam excitados com 
correntes trifásicas equilibradas de amplitude de pico de 
700 A e freqüência de 25 Hz. Calcule (a) a amplitude da 
onda de FMM resultante, (b) a densidade de fluxo de pico 
correspondente no entreferro e (c) a velocidade dessa 
onda progressiva de FMM.
Solução
a. Das Equações 4.87 e 4.88, a amplitude da onda de FMM 
resultante é
b. A densidade de fluxo de pico no entreferro pode ser 
obtida a partir do resultado da parte (a) dividindo pelo 
comprimento do entreferro e multiplicando por µ0:
c. Finalmente, a velocidade da onda progressiva pode ser 
determinada a partir da Equação 4.89:
v = feβ = 25 x 0,5 = 12,5 m/s
Problema Prático 4.7
Um motor síncrono trifásico linear tem um comprimento 
de onda de 0,93 m. Observa-se que ele está se deslocando 
a uma velocidade de 83 km/h. Calcule a freqüência da 
excitação elétri ca necessária sob essas condições de 
operação.
Solução
f = 24,8Hz
As máquinas lineares não são discutidas de forma 
específica neste livro. No entanto, re comenda-se com 
insistência que o leitor verifique a correspondência direta 
existente entre os fundamentos do desempenho e da 
análise das máquinas lineares e os de seus equivalentes 
ro tativos. Uma diferença maior entre esses dois tipos 
de máquinas é que as máquinas lineares têm efeitos de 
extremidade*, correspondendo aos campos magnéticos 
que se "dispersam" do entreferro à frente e atrás da 
máquina. Esses efeitos estão além do escopo deste livro e 
foram tratados em detalhe na literatura.3
Saturação Magnética
As características das máquinas elétricas dependem em 
muito do uso de materiais magnéti cos. Esses materiais 
são necessários para formar o circuito magnético e são 
usados pelos projetistas de máquinas para obter as 
características específicas das máquinas. 
À medida que o fluxo magnético é aumentado, eles 
começam a saturar, com o resultado de que suas 
permeabilidades magnéticas começam a diminuir assim 
como a sua efetividade em contribuir à densidade de 
fluxototal da máquina.
O conjugado eletromecânico e a tensão gerada em todas 
as máquinas dependem dos fluxos concatenados em seus 
enrolamentos. Para FMMs específicas nos enrolamentos 
os fluxos dependem das relutâncias das partes de ferro 
dos circuitos magnéticos e das retulâncias dos entreferros. 
Portanto, a saturação pode influenciar apreciavelmente 
as caracteristicas das máquinas.
Um outro aspecto da saturação, mais sutil e difícil de 
ser avaliado sem comparações experimentais e teóricas, 
relaciona-se com a influência da saturação sobre as 
premissas básica a partir das quais a abordagem analítica 
das máquinas é desenvolvida. Especificamente, as relações 
envolvendo a FMM de entreferro baseiam-se tipicamente 
na suposição de que a retulância do ferro é desprezível. 
Quando essas relações são aplicadas às máquinas na 
prática com graus variados de saturação no ferro, erros 
significativos nos resultados das análises podem ser 
esperados. Por essas razões, para aperfeiçoar tais relações 
analíticas, a máquina real pode ser substituída por uma 
máquina equivalente, uma cujo ferro tem relutância 
desprezível mas cujo entreferro é aumentado de um valor 
suficiente para absorver a queda de potencial magnético 
no ferro da máquina real.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
124
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Do mesmo modo, os efeitos das não-uniformidades, tais 
como as ranhuras e os condutos de ventilação, também 
podem ser incorporados aumentando-se o comprimento 
efetivo entreferro. No final, essas diversas técnicas 
de aproximação devem ser verificadas e confirmadas 
experimentalmente. Nos casos em que se constatar 
que essas técnicas simples são inadequadas, análises 
detalhadas, como as que empregam elementos finitos 
ou outras técnicas numéricas, podem ser usadas. No 
entanto, deve-se ter em mente que o uso dessas técnicas 
representam um aumento significativo da complexidade 
da modelagem.
As características de saturação das máquinas rotativas são 
apresentadas tipicamente na forma de uma característica 
de circuito aberto ou a vazio, também chamada curva de 
magnetização ou curva de saturação. Um exemplo está 
mostrado na Fig. 5.37. Essa característica representa a 
curva de magnetização para a geometria do ferro e do ar 
em particular da máquina sob análise. Para uma máquina 
síncrona, a curva de saturação de circuito aberto é obtida 
operando a máquina em velocidade constante e medindo 
a tensão de armadura de circuito aberto em função da 
corrente de campo. A linha reta tangente à porção inferior 
da curva é a linha de entreferro, correspondendo aos 
níveis baixos de fluxo dentro da máquina. 
Figura 5.37 - Curva característica de circuito aberto típica e linha de entreferro.
Sob essas condições, a relutância do ferro da máquina é 
tipicamente desprezível, e a FMM necessária para excitar 
a máquina é simplesmente a necessária para superar a 
relutância do ar. Se não fosse pelos efeitos da saturação, 
a linha de entreferro e a característica de circuito aberto 
iriam coincidir. Assim, o afastamento entre a curva e a 
linha de entreferro é uma indicação do grau de saturação 
presente. Em máquinas típicas, na tensão nominal, a razão 
entre a FMM total e a requerida apenas pelo entreferro 
está usualmente entre 1,1 e 1,25.
Na fase de projeto, a característica de circuito aberto pode 
ser calculada a partir de técnicas de projeto de dados 
como a análise de elementos finitos. Uma solução típica 
de elementos finitos para a distribuição de fluxo ao redor 
do pólo de uma máquina de pólos salientes está mostrada 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
125
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
na Fig. 5.38. A distribuição do fluxo de entreferro obtida 
com essa solução, junta mente com as componentes 
fundamental e de terceira harmônica, está mostrada na 
Fig. 5.39.
Além dos efeitos de saturação, a Fig. 5.39 ilustra 
claramente o efeito de um entreferro não uniforme. Como 
esperado, a densidade de fluxo ao redor da face polar, 
onde o entreferro é peque no, é muito mais elevada que 
nas regiões mais afastadas do pólo. Esse tipo de análise 
detalhada é de grande utilidade para um projetista obter 
as propriedades específicas de uma máquina.
Como vimos, a curva de magnetização de uma máquina 
síncrona existente pode ser de terminada operando a 
máquina como um gerador sem carga, e medindo os 
valores da tensão terminais correspondentes a uma 
série de valores de corrente de campo. Para um motor 
de indução, a máquina é operada na, ou próxima da, 
velocidade síncrona (caso em que uma corrente muito 
baixa será induzida nos enrolamentos do rotor), e valores 
de corrente de mag netização são obtidos para uma 
série de valores aplicados de tensão de estator. Deve ser 
enfa tizado, no entanto, que a saturação em uma máquina 
totalmente sob carga ocorre como resul tado da FMM 
total que atua no circuito magnético. Como a distribuição 
de fluxo sob carga é diferente em geral de quando não 
há carga, os detalhes das características de saturação da 
má quina podem ser diferentes da curva de circuito aberto 
da Fig. 5.37.
Figura 5.38 - Solução de elementos finitos para a distribuição de fluxo ao redor de um pólo saliente. (General Electric 
Company)
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
126
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 5.39 - Onda de densidade de fluxo correspondente à Fig. 5.38 com suas componentes fundamental e de terceira 
harmônica.
Fluxos Dispersivos
Na Seção 2.4, mostramos que em um transformador de 
dois enrolamentos, o fluxo criado por cada enrolamento 
pode ser decomposto em dois componentes. Um dos 
componentes consiste no fluxo que concatena ambos os 
enrolamentos, e o outro consiste no fluxo que concatena 
apenas o enrolamento que cria o fluxo. O primeiro 
componente, chamado fluxo mútuo, é responsável pelo 
acoplamento das duas bobinas. O segundo, conhecido 
como fluxo dispersivo contribui apenas à indutância 
própria de cada bobina.
Observe que o conceito de fluxos mútuo e dispersivo é 
significativo apenas no contexto de sistemas de múltiplos 
enrolamentos. Para sistemas de três ou mais enrolamentos
a contabilidade deve ser feita com muito cuidado. 
Considere, por exemplo, o sistema de três enrolamentos 
da Fig. 5.40. Os vários componentes de fluxo, criados 
por uma corrente no enrolamento 1, estão mostrados 
esquematicamente. Aqui, ϕ123 é claramente um fluxo 
mútuo que concatena todos os três enrolamentos, e ϕ1d 
é claramente um fluxo dispersivo porque ele concatena 
apenas o enrolamento 1. Entretanto, ϕ12 é um fluxo 
mútuo com respeito ao enrolamento 2 e fluxo dispersivo 
em relação ao rolamento 3, ao passo que ϕ13 é fluxo 
mútuo com respeito ao enrolamento 3 e dispersivo em 
relação ao enrolamento 2.
Freqüentemente as máquinas elétricas contêm sistemas 
com múltiplos enrolamentos, exigindo uma contabilidade 
cuidadosa para explicar as contribuições de fluxo dos 
vários enrolamentos. Embora os detalhes de tal análise 
estejam além do escopo deste livro, é util discutir esses 
efeitos de modo qualitativo e descrever como afetam as 
indutâncias básicas da máquina.
Fluxos de Harmônicas Espaciais no Entreferro - N e s t e 
capítulo, vimos que, embora as bobinas distribuídas 
isoladamente produzam fluxo de entreferro com uma 
quantidade significativa de conteúdo harmônico espacial, 
é possível distribuir esses enrolamentos de modo 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
127
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
componente fundamental espacial seja enfatizada ao 
passo que os efeitos das harmônicassejam grandemente 
reduzidos. Como resultado, podemos desprezar os 
efeitos das harmônicas e considerar apenas os fluxos 
das fundamentais espaciais ao deduzir as expressões de 
indutâncias própria e mútua das Equações B.26 e B .27.
Figura 5.40 - Sistema de três bobinas mostrando os componentes de fluxo mútuo e dispersivo produzidos pela corrente 
na bobina 1.
Mesmo sendo freqüentemente pequenas, as 
componentes harmônicas espaciais existem de fato. Em 
máquinas CC, elas constituem fluxos úteis produtores de 
conjugado e, portanto, podem ser contabilizadas como 
fluxo mútuo entre os enrolamentos do rotor e do estator. 
Em máquinas CA, entretanto, elas podem gerar tensões 
harmônicas no tempo ou ondas de fluxo que giram 
assincronamente. Geralmente, não há como inclui-las 
com rigor na maioria das analises comuns. No entanto, 
é consistente com as suposições básicas dessas análises 
consta tar que esses fluxos formam uma parte do fluxo 
dispersivo dos enrolamentos individuais que os produzem.
Fluxo Dispersivo de Ranhura - A Fig. 5.41 mostra o fluxo 
criado por um único lado de uma bobina em uma ranhura. 
Observe que, além do fluxo que cruza o entreferro, 
contribuindo para o fluxo de entreferro, há componentes 
de fluxo que atravessam a ranhura. Como esse fluxo 
concatena apenas a bobina que o está produzindo , ele se 
constitui também em um compo nente da indutância de 
dispersão do enrolamento que o produz.
Dispersão de Cabeça de Espira - A Fig. 5.42 mostra as 
terminações dos enrolamentos (cabeça do estator em 
uma máquina CA. A distribuição do campo magnético 
criada pela cabeça das espiras é extremamente complexa. 
Em geral, esses fluxos não contribuem para o fluxo mútuo
entre o rotor e o estator, contribuindo também desse 
modo para a indutância de dispersão.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
128
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Figura 5.41 - Fluxo criado por um lado de uma bobina em uma ranhura.
Figura 5.42 -Vista da extremidade do estator de um gerador a turbina de 26 kV, 908 MVA e 3600 rpm com enrolamentos 
refrigerados a água. Conexões hidráulicas para o fluxo de refrigeração são fornecidas para cada espira determinação do 
enrolamento. (General Elec Company)
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
129
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Dessa discussão vemos que a expressão da indutância 
própria da Equação B.26 deve, em geral, ser modificada 
por um termo adicional Ld, que representa a indutância de 
dispersão do enrolamento. Essa indutância de dispersão 
corresponde diretamente à indutância de dispersão de 
um enrolamento de transformador. Embora indutância 
de dispersão seja usualmente difícil de ser calculada 
analiticamente e deva ser determinada por técnicas 
aproximativas ou empíricas, ela desempenha um papel 
importante no desempenho das máquinas.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
130
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
APANHADO GERAL
ASPECTOS CONSTRUTIVOS
A Fig. 15.1 mostra a secção transversal da parte útil de uma 
máquina assíncrona enquanto que a Fig. 15.2 apresenta 
uma vista geral da máquina. Suas partes constitutivas 
são as seguintes: Estator Constituído de chapas de ferro-
silício laminado, com ranhuras uniformemente espaçadas 
onde estão alojados os condutores de um enrolamento 
polifásico (em geral trifásico), semelhante ao de uma 
máquina síncrona. Em máquinas normais, esta parte é 
fixa, podendo ser livre para girar em algumas máquinas 
especiais. Rotor Constituído também de chapas de ferro-
silício laminado, com ranhuras uniformemente distribuídas, 
onde estão alojados os condutores do enrolamento 
do rotor (também denominado de enrolamento 
rotórico). São dois os tipos de enrolamentos rotóricos.
CAPÍTULO 06
Fig. 15.1 Secção transversal de uma máquina assíncrona.
O primeiro deles, presente em aproximadamente 95% 
das máquinas assíncronas, é construído com barras de 
material condutor, em geral alumínio, que preenchem as 
ranhuras do rotor em toda a sua extensão. As extremidades 
destas barras são curto-circuitadas por um anel condutor, 
perfazendo-se o que é convencionalmente denominado 
de gaiola de esquilo.
A segunda forma construtiva do enrolamento rotórico 
de uma máquina assíncrona consiste em alojar-se nas 
ranhuras rotóricas um enrolamento polifásico (em geral 
trifásico) semelhante ao do estator e com o mesmo 
número de polos deste. Por esta razão, na extremidade do 
seu eixo são colocados anéis deslizantes, conectados aos 
terminais do enrolamento rotórico, para que através de 
escovas os mesmos possam ser acessados externamente.
Quandoa máquina assíncrona opera como motor (sua 
forma mais comum de trabalho), o motor de gaiola de 
esquilo é denominado de motor de indução de gaiola, 
ao passo que na segunda forma construtiva o motor é 
denominado de motor de indução de anéis.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
131
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Fig. 15.2 Vista explodida de máquina assíncrona de gaiola de esquilo.
15.2 Princípio de funcionamento 
A Fig. 15.3 mostra um estator elementar de uma máquina 
assíncrona, com seis ranhuras uni formemente espaçadas, 
onde estão alojadas 3 bobinas com o mesmo número de 
espiras, conectadas em ligação estrela (poderia ser em 
ligação triângulo). O rotor, nesta etapa do estudo, pode 
ser suposto como sendo um ci l indro fer romagnét ico 
laminado desprovido de qualquer enrolamento.
Fig. 15.3 Secção transversal de uma máquina assíncrona.
Suponhamos agora que as bobinas deste enrolamento 
sejam percorridas por correntes trifásicas equilibradas, 
isto é, correntes que tenham a mesma amplitude porém 
defasadas de 1200 uma da outra. Temos portanto:
(15.1)
Como já foi discutido em experiência anterior, este 
enrolamento, quando percorrido por estas correntes, 
produz uma distribuição de campo magnético 
(aproximadamente) senoidal no entreferro.
Esta distribuição de campo gira ao redor do estator com 
uma rotação denominada de rotação síncrona, dada por:
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
132
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
(15.2)
A distribuição de campo magnético, no instante (t=0) em 
que a corrente pela fase A é máxima está mostrada na 
Fig. 15.4. Note que nos instantes seguintes esta mesma 
distribuição de campo se repete em posições diferentes 
do estator.
Fig. 15.4 Distribuição de campo magnético.
Suponhamos agora que um enrolamento trifásico, semelhante ao do estator, seja alojado nas ranhuras da 
superfície do rotor, como mostra a Fig. 15.5.
Fig. 15.5 Corte do motor mostrando de modo esquemáticos os 
enrolamentos do estator e rotor.
Fig. 15.6 
Enrolamentos do 
estator e rotor.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
133
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Suponhamos que os terminais do rotor estejam em aberto 
e que o rotor esteja parado.
Alimentando-se o enrolamento do estator com correntes 
trifásicas, o campo magnético produzido pelo estator 
será “visto” pelos condutores do rotor como um campo 
magnético rotativo girando a uma velocidade igual à 
rotação sincrona. Por esta razão, um condutor do rotor 
observa um máximo da onda de campo magnético 
passando por ele em uma frequência idêntica à do 
estator, provocando o aparecimento de uma tensão 
induzida na mesma frequência do estator. Note que este 
tipo de operação se assemelha muito a um transformador 
operando em vazio.
Suponhamosagora que os terminais do rotor sejam 
colocados em curto-circuito. Neste instante, correntes 
induzidas trifásicas aparecem no rotor. Face as diferenças 
construtivas existentes entre os dois enrolamentos 
(materiais, número de espiras, etc), as correntes do 
rotor estarão defasadas (no tempo, e por conseguinte, 
também no espaço - de um ângulo α) das correntes do 
estator, como é indicado na Fig. 15.7. Esta figura mostra 
a distribuição de correntes no estator e no rotor de uma 
máquina assíncrona com o rotor em curto-circuito. Nesta 
condição, a máquina assíncrona pode ser analisada 
como constituída de duas bobinas (rotativas) cujos eixos 
magnéticos estão desalinhados de uma ângulo α.
Fig. 15.7 Esquerda: distribuiçao de correntes no estator e rotor (correntes induzidas). 
Direita: representaçãoo na forma de bobinas equivalentes deslocadas de ângulo α.
Pelo princípio do conjugado de mútua indutância, é 
desenvolvido um conjugado entre essas bobinas no 
sentido do alinhamento entre elas, de modo que o rotor 
começa a girar no sentido do campo girante. Desta forma, 
a máquina assíncrona se comporta como motor com 
conjugado de partida diferente de zero. Este conjugado de 
partida atua no sentido de levar o rotor a girar no mesmo
sentido do campo girante estabelecido pelo estator.
15.3 Escorregamento
Saindo do repouso, o rotor atingirá uma rotação n[rpm].
Define-se nesta etapa uma grandeza denominada de 
escorregamento, que mede a velocidade relativa entre 
o campo girante e o rotor, como uma fração da rotação 
síncrona:
(15.3)
Esta grandeza é de fundamental importância na operação 
da máquina assíncrona e está diretamente associada à 
frequência das tensões induzidas no rotor.Como exemplo, 
suponhamos a máquina assíncrona de dois polos em 
análise, alimentada por correntes de frequência 60 
Hz. Quando o rotor está parado, um condutor do rotor 
“enxerga” o máximo da onda de campo magnético 
passando por ele com uma frequência idêntica à das 
correntes do estator, ou seja, 60 vezes por segundo. Deste 
modo, a frequência da f.e.m. induzida no rotor é idêntica 
à frequência das correntes do estator, isto é, f2 = f1.
Suponhamos agora que o rotor está girando a uma rotação 
de 20 rotações por segundo (rps), no mesmo sentido do 
campo girante, correspondente a um escorregamento 
de s=2/3. Neste caso, um condutor do rotor “enxerga” 
o máximo da onda de campo passando por ele 40 vezes 
por segundo, resultando no rotor uma f.e.m. induzida de 
frequência 40 Hz, ou seja, 2/3 da frequência das correntes 
do estator. Assim sendo, para um escorregamento 
genérico, a frequência da f.e.m. rotórica f2 é dada por:
(15.4)
15.4 F.E.M induzidas
As f.e.m. induzidas no estator e rotor (à semelhança do 
transformador) são dadas por:
(15.5)
(15.6)
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
134
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
onde ϕM é o fluxo mútuo e são os fatores que dependem 
dos enrolamentos do estator e (ke1, ke2) rotor.
Na medida em que o rotor está em movimento, a f.e.m. 
induzida no rotor difere da tensão induzida quando o 
mesmo está parado, devido à mudança da frequência 
rotórica. Assim sendo, supondo o rotor em movimento 
(caracterizado por um dado escorregamento s) e 
lembrando que f2 = sf1, podemos escrever:
(15.7)
na qual é a tensão induzida no 
enrolamento rotórico quando o rotor está travado.
Note que quando o rotor está parado (n=0), temos s=1, 
implicando n f.e.m. induzida máxima no rotor (E2). À medida 
que a rotação aumenta, o escorregamento diminui, com 
uma consequente redução da f.e.m. induzida no rotor E. 
Esta redução na f.e.m. induzida no rotor ocasiona uma 
2 correspondente redução nas correntes induzidas no 
enrolamento rotórico.
No limite, quando a rotação se aproxima da rotação 
síncrona (n → ns), a f.e.m induzida e a s corrente do 
enrolamento rotórico tendem a zero, implicando 
produção de conjugado nulo. Como sempre existem 
atritos mecânicos em qualquer sistema, o motor de 
indução nunca opera precisamente na rotação síncrona.
15.5 Fluxo de potência no motor de indução
O motor elétrico de indução é um conversor 
eletromecânico de energia que converte parte da energia 
recebida da rede elétrica em energia mecânica disponível 
em seu eixo.
A diferença entre a energia mecânica disponível no eixo 
e a energia fornecida pela rede elétrica são as perdas 
oriundas da conversão de energia. Tais perdas podem ser 
classificadas emm três tipos:
a) Perdas Joule r I 2 , devidas à circulação de correntes nos 
enrolamentos do estator e do rotor.
b) Perdas no material ferromagnético, que são as perdas 
por histerese e Foucault nas chapas laminadas do estator 
e do rotor, semelhante ao fenômeno presente nos 
transformadores.
c) Perdas mecânicas, que estão associadas ao atrito 
existente nos rolamentos e com o ar, além da parcela de 
conjugado necessária para a ventilação do próprio motor.
Fig. 15.8 Fluxo de potência em máquina assíncrona.
O rendimento do motor de indução é dado pela relação:
(15.8)
Máquinas de indução pequenas (da ordem de dezenas 
de HP) apresentam rendimentos na faixa de 70 a 85%, 
nas condições nominais de operação. Máquinas de 
maior potência podem atingir rendimentos consideráveis 
(até 95%), evidenciando a importância dos motores de 
indução nos acionamentos elétricos industriais. Tais 
qualidades são acompanhadas de uma robustez mecânica 
considerável e de um custo relativamente baixo.
15.6 A característica conjugado × rotação
A característica mais importante de um motor, 
independentemente de seu tipo, é a característica 
conjugado × rotação. Com esta característica, torna-se 
possível projetar com precisão sistemas de acionamento 
de cargas utilizando-se destes motores.
Para o motor de indução esta curva característica tem o 
aspecto da Fig. 15.9:
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
135
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Fig. 15.9 Curva característica conjugado × rotação para 
operação como motor.
Existem 3 pontos notáveis nesta curva:
• Ponto 1 = Conjugado de partida = conjugado desenvolvido 
pelo motor com rotação nula;
• Ponto 2 = Conjugado máximo = conjugado máximo que 
o motor consegue desenvolver;
• Ponto 3 = Conjugado nominal = máximo conjugado que 
o motor pode desenvolver em regime contínuo.
Quando um motor elétrico é utilizado para o acionamento 
de uma carga, é fundamental comparar as curvas 
características conjugado×rotação do motor com a da 
carga mecânica a ser acionada. A Fig. 15.10 mostra as 
duas curvas características sobrepostas no caso típico do 
acionamento de um ventilador.
Fig. 15.10 Sobreposição das curvas características 
conjugado × rotação do motor e da carga.
Verifica-se que desde a partida (n=0) até a rotação final 
(n=nf) o conjugado n desenvolvido pelo motor é superior 
ao exigido pela carga, implicando em uma aceleração do 
conjunto. No ponto P indicado, no qual (n=nf), o conjugado 
desenvolvido pelo motor é igual ao exigido pela carga. 
Neste ponto o conjugado acelerante (diferença entre o 
conjugado motor e o conjugado resistente oferecido pela 
carga) é nulo, implicando velocidade constante para o 
conjunto. O ponto P é denominado de ponto de trabalho 
do acionamento. Um acionamento bem dimensionado 
apresenta um ponto de trabalho coincidente com as 
condições nominais do motor.
15.7 Influência da tensão de alimentação
Uma das características relevantes a ser mencionada é 
que a tensão de alimentação afeta de maneira
quadrática a característica conjugado × rotação do motor 
de indução. Ou seja:
 Conjugado α V2 (15.9)
Esta característica pode ser deduzida fisicamente a 
partir da Fig. 15.11 ao lado. Se a tensão de alimentação 
do estator fôr reduzida, as correntes no estator 
diminuirão proporcionalmente, assim como o fluxo 
visto pelo rotor. Por conseguinte, as tensões ecorrentes 
induzidas no rotor também serão reduzidas na mesma 
proporção. O conjugado depende do produto das forças 
magnetomotrizes do estator e rotor. Assim, conclui-se 
que a dependência do conjugado em relação à tensão é 
quadrática, na forma indicada pela Eq. 15.9.
Fig. 15.11 Diagrama auxiliar do motor de indução para 
mostrar a influência da tensão sobre o conjugado.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
136
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
CAPÍTULO 07
RELAÇÕES DE POTÊNCIA E ENERGIA; 
RENDIMENTO, SELEÇÃO DA CAPACIDADE E 
MANUTENÇÃO DE MÁQUINAS ELÉTRICAS 
GIRANTES
Generalidades
O capítulo ocupa-se principalmente de máquinas 
elétricas girantes de vários tipos, quer genérica quer 
especificamente. Como tal, elas servem como dispositivos 
de conversão de energia, convertendo energia mecânica 
em elétrica ou vice-versa. Em alguns casos, como no do 
conversor síncrono ou dinamotor, a energia elétrica é 
convertida em energia mecânica, que, por sua vez, produz 
nova mente energia elétrica. Quando e se esta conversão 
de energia ocorre numa relação uniforme, isto é, quando 
a energia entregue à máquina por unidade de tempo e 
 Pin = �out + �perdas (12-1)
onde Pin é a potência total recebida por uma máquina
 Pout é a potência útil entregue pela máquina para exe cutar o trabalho
 Pperdas é a perda total produzida dentro de uma máquina, como resultado da conversão de energia, isto é,
 �in- �out'
aquela entregue pela máquina na unidade de tempo forem 
ambas uniformes e constantes, podemos considerar que 
a máquina está atuando como dispositivo de conversão 
de potência.
Uma máquina é um dispositivo dinâmico. Não desenvolverá 
uma conversão de potência (ou energia) quando não há 
movimento, ou seja, num estado estático. Ela deve estar 
funcionando ou operando a fim de converter energia. Por 
esta razão, é incapaz de contar com a propriedade de 
armazenar energia. Por esta razão, também, de acordo 
com a lei da conservação de energia, a potência total 
recebida por uma máquina a qualquer instante deve 
igualar a potência por ela entregue naquele instante. A 
potência total recebida por uma máquina deve igualar 
sua potência de saída (útil) e sua perda total de potência, 
de acordo com a lei de conservação de potência, ou
É evidente, da Eq. (12-1), que a potência entregue a uma 
máquina deve ser sempre maior que a potência de saída 
ou a potência transformada pela máquina em trabalho útil. 
Isto significa que um motor ou um gerador nunca podem 
converter toda a potência recebida em potência de saída 
útil, elétrica ou mecânica. Como também estabelece a 
Eq. (12-1), a diferença entre a potência de entrada e a 
de saída da máquina é a sua perda de potência, que não 
realiza trabalho útil. Desde que esta perda de potência 
não produz nem energia elétrica nem mecânica (ambas 
úteis à máquina), ela pode apenas produzir calor, luz 
ou energia química. Quase toda a perda aparece como 
energia ou potência térmica.1
Quanto maior for a perda de potência, na Eq. (12-1), em 
percentagem da potência total de entrada, maior será a 
potência térmica e mais quente a máquina funcionará, ou 
seja, maior será o seu aumento de temperatura.
O rendimento da máquina pode ser definido em função 
da Eq. (12-1), portanto, como a relação, η onde
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
137
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Como se verá abaixo, a Eq. (12-2b) leva ao rendimento do 
motor, enquanto a Eq. (12-2c) ao do gerador.
A relação da Eq. (12-2a), expressa percentualmente, é 
também uma medida da quantidade de potência térmica 
produzida em relação à potência de entrada total. Uma 
máquina que funcione a um alto rendimento ou uma 
relação elevada da potência de saída para a potência 
de entrada, produz, comparativamente, pouco calor em 
proporção às suas potências de entrada ou de saída. 
Inversamente, uma máquina que funciona a um baixo 
rendimento produz uma grande quantidade de calor 
em proporção à sua saída.
Dependendo da capacidade termodinâmica da máquina 
de dissipar o calor internamente gerado, a temperatura 
da máquina tenderá a aumentar até que seja atingida 
uma temperatura na qual a potência dissipada sob a 
forma de calor iguale o calor internamente gerado. Se esta 
temperatura final de equilíbrio for excessiva ou seja, se 
ultrapassar o limite que os materiais isolantes utilizados 
na máquina podem suportar, requerer-se-á a utilização 
de uma das, seguintes alternativas:
(1) devem-se empregar dispositivos de ventilação externa, 
a fim de que a capacidade nominal da máquina (potência 
de saída) permaneça a mesma: ou (2) a saída deve ser 
reduzida (reduzindo a entrada e as perdas) a valores tais 
em que as perdas e o aumento de temperatura não sejam 
excessivos (V. Seçs. 12-16 e 12-19).
No caso de um motor, é mais fácil medir a potência elétrica 
de entrada que a potência mecânica de saída, donde o uso 
da Eq. (12-2b). No caso de um gerador, é mais fácil medir 
a potência elétrica de saída que a potência mecânica de 
entrada, donde o uso da Eq. (12-2c). Em ambos os casos, 
pois, as perdas devem ser avaliadas.
É precisamente devido à capacidade de saída (expressa 
em HP para um motor ou em kW ou kVA para um gerador) 
que se fará uma tentativa de estudar os fatores que 
afetam o rendimento de uma máquina, para assegurar 
que as perdas e a potência térmica sejam reduzidas e o 
rendimento seja elevado. Primeiramente, consideraremos 
os fatores que afetam os diferentes tipos de perdas 
térmicas e, então, consideraremos os fatores que afetam 
a capacidade da máquina e a seleção das máquinas a 
partir destas perdas.
PERDAS DE POTÊNCIA DAS MÁQUINAS
As perdas de potência çlas máquinas podem ser divididas 
em duas grandes classes: (1) as que são produzidas 
pela circulação de corrente pelas diferentes partes do 
enrolamento da máquina, chamadas perdas elétricas; 
e (2) as que são função direta do movimento dinâmico 
da máquina, chamadas perdas rotacionais (ou potência 
extraviada). Estas últimas, as perdas rotacionais (ou 
potência extra viada) são normalmente divididas em duas 
categorias: (a) as perdas mecânicas resultantes da rotação, 
e (b) as perdas no ferro ou no núcleo, que resuitam da 
rotação.
A análise das perdas revela que algumas delas são o 
resultado direto da carga (e variam com ela), enquanto 
que outras são independentes da carga. A Tabela 12-1 
é, pois, um quadro-levantamento das perdas elétricas e 
rotacionais, alistando as perdas a vazio e as perdas sob 
carga, e dando as fórmulas e equações que contêm
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
138
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
TABELA 12-1
DISTRIBUIÇÃO DAS PERDAS DE POTÊNCIA DAS MÁQUINAS
 A. PERDAS ELÉTRICAS
 
Descrição e fórmulas para as perdas compo nentes
1. Perda no circuito de excitação CC do campo
No reostato, I2∫R, } V∫1∫
No enrolamento de campo, I2∫R∫
2. Perda no enrolamento da armadura, I2aRa
3. Perda na excitação CA do estator, I2aRa
4. Perda no enrolamento do rotor, I2rRr
5. Perda na escova ou na resistência do contato tecla-escova (ou perda nos anéis), VcIa
6. Perdas nos interpolos enrolamentos de com pensação, campos-série, campos de controle, etc.
 
Efeitos da aplicação de carga
1. Razoavelmente constante com a carga mas pode aumentar um pouco, dependendo da regulação requerida 
e do fator de potência - uma função de I∫
2. Aumenta com o quadrado da carga.3. Aumenta com o quadrado da carga.
4. Aumenta com o quadrado da carga.
5. Aumenta com a carga.
6. Aumentam com o quadrado da carga.
 
B. PERDAS ROTACIONAIS (POTÊNCIA EXTRAVIADA)
Descrição e fórmulas para as componentes das perdas 
Perdas mecânicas
1. Atrito nos rolamentos
2. Ventilação (atrito com o ar) no rotor
3. Atrito nas escovas
4. Perda no ventilador
5. Perdas na bomba de resfriamento efou de óleo dos rolamentos (se montada no eixo do rotor)
Perdas no núcleo (ou no ferro)
1. Perdas por histerese, Ph= KhBxfV
2. Perdas por correntes parasitas
 Pe= K1 B2 f2t2 V
 
Efeitos da aplicação de carga
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
139
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Efeitos da aplicação de carga
Estas perdas são constantes a uma velocidade constante; variam apenas na proporção direta da variação 
da velocidade.
Estas perdas são constantes a uma velocidade constante; variam na proporção direta das va riações do fluxo e 
da velocidade (freqüência).
C. PERDAS ADICIONAIS SOB CARGA
Fluxo disperso nos dentes, cantos de ranhuras, estrutura-suporte, faces polares, etc.
Fluxo de reação da armadura nos dentes, cantos de ranhuras, estrutura-suporte, faces polares, etc. As perdas 
adicionais são usualmente estabelecidas como sendo de 1 por cento da potência de saída de geradores 
acima de 150 kW e de motores acima de 200 HP; são consideradas desprezíveis para máquinas abaixo destas 
potências.
os fatores que contribuem para as perdas. Desta tabela, 
é possível generalizar as perdas que são função da carga 
e as que são independentes dela.
As perdas elétricas, mostradas na Tabela 12-1, são 
aquelas que resultam pri mariamente da circulação da 
corrente elétrica. Se, por exemplo, o campo-série de um 
gerador compound CC é curto-circuitado (mantendo-se 
inalteradas todas as demais condições), as perdas totais 
serão reduzidas do valor das perdas no co bre para o 
campo-série e o rendimento aumentará (embora possa 
piorar a regu lação em tensão, como conseqüência). As 
perdas elétricas são, algumas vezes, citadas como perdas 
no "cobre", mas nem as escovas nem as resistências de 
contato das escovas são feitas de cobre. Mais ainda, os 
enrolamentos do rotor e da arma dura são ocasionalmente 
construídos de alumínio fundido, e o termo "enrolamento" 
é mais descritivo e tecnicamente mais correto que o termo 
"cobre". Todas estas perdas elétricas tendem a variar com 
o quadrado da corrente de carga, exceto aque las, tais 
como a perda no campo, que é independente da carga, e 
a perda nas escovas que varia diretamente com a carga.
As perdas rotacionais são subdivididas naquelas que 
são função apenas da velocidade (as chamadas perdas 
mecânicas, que são essencialmente perdas por atrito) 
e nas que são função de ambos, o fluxo e a velocidade 
las chamadas perdas no núcleo). Estas perdas ocorrem 
quando uma estrutura de ferro de armadura ou rotor 
gira num campo magnético, ou quando ocorre uma 
variação do fluxo concatenado numa estrutura de ferro. 
A perda por histerese Ph é uma medida da energia 
elétrica necessária para superar a retentividade do ferro 
no caminho do fluxo magnético; usando o watt como 
unidade,
 Ph = KhBx f V (12-3)
onde V é o volume de ferro da máquina sujeita à variação de fluxo 
 Kh é uma constante para o tipo de ferro empregado
 B é a densidade de fluxo elevada ao expoente de Steinmetz. Para os tipos atualmente usados de ligas para 
máquinas, x não é mais 1,6, mas sim um valor próximo a 2,0 (Isto não implica em que, para um dado volume, V, 
as perdas no ferro tenham aumentado, uma vez que Kh foi reduzido consideravelmente.)
e 
 F é a freqüência, em Hz, correspondente ao inverso do fluxo.
As perdas por correntes parasitas ocorrem não apenas no núcleo da máquina, mas em todos os materiais 
condutivos situados no caminho do fluxo associado ao campo magnético girante ou variável da máquina. As perdas 
por correntes parasitas, Pe, em watts são:
 Pe = K1 t2 B2f2V (12-4)
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
140
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
onde K1 é uma constante para correntes parasitas relativa ao material condutivo
 t é a espessura do material condutivo
 B é a densidade de fluxo
 f é a freqüência, em Hz, do inverso do fluxo
 V é o volume do material sujeito à variação de fluxo.
Para uma máquina CC, a freqüência, f, do inverso do fluxo varia com a velo cidade. Assim, as perdas por histerese 
variam diretamente com a velocidade, enquanto que as perdas por correntes parasitas variam com o quadrado da 
velocidade. Ambas variam aproximadamente com o quadrado da densidade de fluxo. Por esta razão, as perdas no 
núcleo são consideradas como função tanto da velocidade como do fluxo. As perdas no núcleo são essencialmente 
as que ocorrem no ferro da máquina, donde a denominação de perdas no ferro.
As perdas adicionais sob carga representam, como o nome indica, as perdas adicionais devidas à carga e descritas 
na Tabela 12-1C. Estas perdas são maiores em motores de indução e outras máquinas de pequeno entre ferro. Elas 
representam:
( 1) as perdas no ferro devidas à distorção de fluxo (reação da armadura) em máquinas CC e às harmônicas do fluxo 
em máquinas CA
(2) as perdas por efeito pelicular na armadura ou nos condutores do estator
(3) as perdas no ferro nos elementos estruturais das máquinas.
12-3. DIAGRAMAS DE FLUXO DE POTÊNCIA
Uma visão mais clara da máquina, operando quer como 
motor, quer como gerador, é dada pelos diagramas de 
fluxo de potência da Fig. 12-1. À esquerda do diagrama 
está a potência mecânica, e à direita a potência elétrica. 
Usaremos este diagrama como meio de analisar o 
rendimento de motores e geradores.
Fig. 12.1 - Diagrama combinado de circulação de potência para ação motora e ação geradora.
12-3.1 Fluxo de Potência do no Gerador
Se uma potência mecânica é aplicada ao eixo de 
uma máquina, como a entrada, a potência no eixo é: 
TN/5.252 HP. Uma máquina acionada mecanicamente 
como gerador tem algumas perdas rotacionais. A diferença 
entre a potência mecâ nica de entrada e as perdas 
rotacionais representa a potência mecânica líquida, 
que é convertida em potência elétrica pela conversão 
eletromecânica (EgIa). Mas o gerador tem também perdas 
elétricas internas, que devem ser subtraídas da po tência 
elétrica desenvolvida. A potência elétrica líquida de saída 
é, assim, EgIa menos as perdas elétricas, ou a tensão nos 
terminais vezes a corrente total entregue à carga, VtIt, 
representada à direita na Fig. 12-1.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
141
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Em suma, para uma máquina operando como gerador ou como alternador:
 Potência elétrica de saída = Potência mecânica de entrada _ (Perdas rotacionais) 
 + Perdas elétricas
 
EgIa = Potência mecânica de entrada - Perdas rotacionais
 = Potência elétrica de saída + Perdas elétricas
Fluxo de Potência no Motor
A potência elétrica aplicada aos terminais (lado direito da 
Fig. 12-1) de um motor, VtIt , é imediatamente reduzida 
por certas perdas elétricas dentro do motor. A diferença 
aparece como potência elétrica, EcIa, que é convertida 
em potência mecânica pela conversão eletromecânica. 
A potência mecânicadisponível, produzida pelo torque 
interno do motor (EcIa/746) deve também suprir algumas 
perdas mecânicas internas. A diferença entre estas 
perdas mecânicas e a potência mecânica, produzida pela 
conversão eletromecânica, é a potência mecânica de 
saída.
Em suma, para uma máquina funcionando como motor:
 Potência mecânica de saída = Potência elétrica de entrada _ ( Perdas elétricas ) 
 + Perdas rotacionais
 
EcIa = Potência elétricas de entrada - Perdas elétricas
 = Potência mecânica de saída + Perdas mecânicas
Assim, a máquina é, realmente, muito simples e sóbria, 
como mostra a Fig.12-1. A área da potência mecânica 
está à esquerda da linha pontilhada vertical, e a área 
da potência elétrica está à direita dela. A área central é 
representada pela mudança de estado de energia, ou 
conversão eletromecânica (desde que não se pode criar ou 
destruir energia) onde não ocorrem perdas. A introdução 
de potência elétrica nrma máquina acarreta perda de 
potência elétrica, mudança de estado da energia, perda 
de potência mecânica e potência elétrica de saída. O leitor 
deve estudar com muito cuidado a Fig. 12-1, uma vez que 
ela é fundamental para a com preensão do assunto.
Determinação das Perdas
Seria (e é) assunto relativamente simples (1) medir-se 
a entrada mecânica da máquina, e (2) usarem-se 
instrumentos elétricos para medir sua saída elétrica; 
e chegar-se assim ao rendimento da máquina como 
gerador. No caso de máquinas menores (abaixo de 
1.000 W), o rendimento, seguidamente, é determinado 
diretamente, isto é, por medidas diretas da entrada e 
da saída, usando-se dinamômetros ou freios de Prony e, 
algumas vezes, máquinas calibradas cujo rendimento é 
conhecido previamente.
No caso de máquinas maiores, entretanto, não é nem 
economicamente possível, nem mesmo conveniente, a 
determinação do rendimento através do carregamento 
direto.2 É, entretanto, possível determinar as perdas (agora 
que sabemos quais são elas) ou simular as condições 
de perdas através de certos métodos convencionais 
(funcionamento a vazio) ou por testes de rotor bloqueado, 
e usar estas informações na Eq. (12-2) para determinar o 
rendimento. O valor do rendimento de todas as grandes 
máquinas elétricas rotativas é invariavelmente um valor 
cal culado com base em medidas a vazio (convencionais) 
específicas. Consideraremos, primeiramente, a 
determinação do rendimento das máquinas CC, seguida 
da consideração das máquinas síncronas CA e, então, 
das máquinas de indução, usando-se os métodos 
convencionais em todos os casos.
Rendimento das Máquinas CC
Independentemente do fato da máquina CC operar como 
motor ou como gerador, suas perdas rotacionais podem 
ser determinadas fazendo-as funcionar como motor sem 
qualquer carga mecânica (a vazio), à sua velocidade 
nominal e com uma tensão aplicada à armadura (que 
corresponda à sua fcem induzida ou gerada a plena 
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
142
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
carga). As ligações dos instrumentos elétricos para um tal 
ensaio a vazio são mostradas na Fig. 9-12a. A tensão nos 
terminais CC, Vt, é neste caso ajustada (1) à fcem de plena 
carga computada, [Ec na Eq. (1-9)], se se quer determinar 
o rendimento de um motor; ou (2) à fcem gerada a 
plena carga [Eg na Eq. (1-10)], se se quer determinar o 
rendimento de um gerador.
Fig. 12-2 - Métodos par a determinação de perdas rotacionais de máquinas 'CC.
Fazer uma máquina funcionar como motor a vazio 
significa não retirar po tência mecânica da mesma. Se a 
potência elétrica de entrada for medida e compu tadas 
as perdas elétricas, a diferença entre a potência elétrica 
total de entrada e as perdas elétricas computadas deve 
Perdas rotacionais = Potência elétrica de entrada - Perdas elétricas
 Potência elétrica de entrada - (Perdas no circuito do campo + Perdas com binadas no circuito da
 armadura)
Perdas rotacionais= VaIL- (VaIf + I2 aRa)
 
 VaIL - VaIf - I2 aRa
 
 Va(IL- If) - I2 aRa
representar as perdas rotacionais do motor à velocidade 
nominal, como mostra a Fig. 12-1. Estabelecendo isto 
(para a má quina CC funcionando como motor) em função 
de uma equação:
Perdas rotacionais (potência extraviada) =
 = Vala - I2a Ra≈ VaIa (12-5)
A Eq. (12-5) é uma verificaÇão da Fig. 12-1, uma vez 
que estabelece que as perdas rotacionais de um motor 
funcionando a vazio (sem saída mecânica) são iguais à 
potência elétrica de entrada ao circuito da armadura 
menos as perdas elétricas na armadura ( I2aRa). Como se 
verá no Exemplo 12-1a, as perdas elétricas na armadura, 
a vazio, são tão pequenas que podem ser desprezadas, e 
as perdas rotacionais podem então ser imaginadas iguais 
a VaIa, como estabelece a Eq. 12-5.
EXEMPLO 
Um gerador-derivação de 10 kW, 230 V, 1.750 rpm foi posto 
a funcionar como 12-1: motor, a vazio, para determinar 
suas perdas rotacionais à carga nominal. A tensão aplicada 
aos terminais da armadura, Va, para o ensaio foi de 245 
V, e a corrente solicitada pela armadura 2A. A resistência 
do campo do gerador é 230 � e a resistência medida do 
circuito da armadura 0,2 �. Calcule:
a. As perdas rotacionais (potência extraviada) a plena 
carga
b. As perdas do circuito da armadura, a plena carga, e as 
perdas no campo
c. O rendimento do gerador a 1/4, 1/2 e 3/4 da carga 
nominal; à carga nominal e a 1114 dela.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
143
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Solução:
 
a. Perdas rotacionais = VaIa - I2aRa [da Eq. (12-5)]
 = (245 X 2) - (22 X 0,2) = 490 - 0,8 = 489,2 W
Note-se que se pode usar 490 W com um erro desprezível, devido à pequena perda elétrica na armadura.
b. À carga nominal,
 
 IL = W = 10.000 w - 43,5 A
 Vt 230 V 
 Ia = If + IL = 230 V + 43,5 = 44,5 A
230�
 
A perda da armadura a plena carga
I2a Ra = (44,5)2 X 0,2 = 376 w
 
A perda no campo
 
VfIf = 230 V x 1 A = 230 w
 
c. O rendimento, a qualquer carga, do gerador, usando a Eq. (12-2c) é
 ᶯ = Potência de saída para aquela carga
P. saída para aquela carga + Perdas rotacionais + Perdas elétricas àquela carga
Rendimento a 1/4 da carga = 10.000/4 
 (10.000/4) + 489,2 + [(376/16) + 230] x
 x 100 = 77 por cento
Rendimento a 1/2 carga = 10.000/2 
 (10.000/2) + 489,2 + [(376/4) + 230] x
 x 100 = 86,2 por cento
Rendimento a 3/4 de carga = 10.000 X (3/4) 
 [10.000 (3/4)] + 489,2 + ([376 (91/6)] + 230) X
 x 100 = 89 por cento
Rendimento a plena carga= 10.000X 100
 10.000 + 489,2 + [ 376 + 230]
 = 90,1 por cento 
Rendimento a 11/4 da carga nominal (ou 5/4 da carga nominal)
 
 = 10.000 X (5/4) 
 [10.000 (5/4)] + 489,2 + ([376 (25/16)] + 230)
 = 90,6 por cento
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
144
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Deve-se notar que o rendimento parece aumentar com 
a carga, no exemplo acima. Deve-se também notar que 
há uma perda fixa (invariável), que consiste (1) da perda 
no campo de 230 W e (2) da perda rotacional de 489,2 
W, ou seja, um total de 719,2 W. Esta perda fixa existe 
mesmo quando o gerador tem um rendimento nulo, isto 
é, quando ele não está entregando qualquer corrente 
à carga e a sua saída é zero. Há também uma perda 
variável, a perda no cobre da armadura I2aRa, que varia 
com o quadrado da corrente da armadura. Mesmo a 125 
por cento da carga nominal, este componente da perda 
variável no cobre, no Exemplo 12-1, é 588 W e ainda não é 
suficientemente grande para igualar a perda fixa- total de 
719,2 W. Em que ponto ocorrerá o rendimento máximo?
Rendimento Máximo 
Uma análise da Tabela 12-1 revela que, para a máquina 
CC, a soma das perdas no campo (VfIf) e das perdas 
rotacionais (determinadas a partir do ensaio a vazio 
como sendo VaIa) pode ser considerada como um valor 
combinado de perdas fixas que não variam com a 
corrente de carga, Ia. (O Exemplo 12-1 ignorou as perdas 
nas escovas e nos contatos das escovas VeIa, para maior 
simplicidade do problema que ilustra a determinação 
do rendimento.) As perdas variáveis, então, consistem 
nas perdas combinadas do enrolamento da armadura e 
da corrente associada à armadura, I2aRa e VeIa, a primeira 
variando com o quadrado da cor rente de armadura e a 
segunda em proporção direta com aquela corrente.
O rendimento do gerador, para qualquer carga, pode ser 
expresso como 3
onde K representa as perdas no campo mais as perdas rotacionais, portanto, as perdas fixas.
A fim de determinar o rendimento máximo, é necessário derivar esta expressão em relação a Ia e igualar a primeira 
derivada a zero:
o que leva a
simplificando
K - IaR2a ₌ 0
ou
 K = I2aRa (12-6)
A Eq. (12-6) estabelece, pois, que o rendimento máximo 
é obtido quando as perdas fixas, K, são iguais àquelas 
que variam com o quadrado da corrente de carga. Desde 
que, na maioria das máquinas (quer de CC, quer de CA), 
estas perdas que variam diretamente com a corrente de 
carga são pequenas (mesmo incluindo as perdas em anéis 
coletores e escovas), podemos concluir que o rendimento 
máximo ocorre quando as perdas fixas são iguais a todas 
as perdas variáveis. Esta relação aplica-se igualmente a 
todas as máquinas rotativas, independentemente do tipo; 
aplica-se às máquinas mecânicas e também às turbinas, 
bem como a todas as máquinas elétricas abordadas neste 
livro e também a dispositivos não rotativos, como sejam 
transformadores, amplificadores de potência, fontes 
de suprimento, etc.4 No Exemplo 12-1 mostrou-se que, 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
145
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
a meia carga, o rendimento era 86,2 e que, a 125 por 
cento de carga, o rendimento era 90,6 por cento e ainda 
em crescimento. Aparentemente, as perdas variáveis 
crescentes ainda não eram iguais às perdas fixas, mesmo 
para esta carga de 125 por cento. Na gama das 
cargas próximas do rendimento máximo, o rendimento 
não parece variar muito, de modo que não é importante 
tentar obter-se o rendimento máximo para a carga 
nominal. A maioria das máquinas comerciais, de fato, 
apresenta o rendimento máximo a uma carga algo menor 
que a nominal. O método usado para encontrar aquele 
valor da carga nominal correspondente ao rendimento 
máximo, para a máquina do Exemplo 12-1, é ilustrado no 
Exemplo 12-2.
EXEMPLO Usando os dados do Exemplo 12-1, calcule:
 12-2: a. a percentagem da carga nominal para a qual ocorre o 
rendimento máximo
 b. o rendimento máximo em percentagem
 c. o rendimento a 1,5 vezes a carga nominal.
Solução
a. I2aRa = K = VIf + VaIa [a partir da Eq. 12-6; K = perdas no 
campo + perdas rotacionais]
 I2aRa = 230 + (245 x 2) = 720 w 
 Ia = = 60 A; IL = Ia - If = 60-01 = 59 A
Percentagem da carga nominal : IL = 59 A = 135,5%
 IL nominal 43,5A
b. Rendimento máximo
 
 = 230 X 59 X 100 = 90,75%
 (230 X 59) + 720 + 720
c. Rendimento a 1,5 da carga nominal
 = 10.000 X (3/2) =100 = 90,55%
 [10.000 (3/2)] + 489,2 + (376 (9/4)] + 230
Deve-se notar que a relação acima, com respeito ao 
rendimento máximo, é verdadeira porque as perdas 
rotacionais manti eram-se constantes, isto é, o gerador 
ou máquina é imaginado como sendo acionado a uma 
velocidade constante. No caso de motores de velocidade 
constante, como sejam os síncronos, ou aqueles que têm 
uma boa regulação em velocidade, como os de indução 
ou os motores- derivação de corrente contínua, a relação 
pode ainda ser usada. No caso de motores de velocidade 
variável, entretanto, é necessário levar a um gráfico os 
rendimentos calculados versus as correntes de carga, 
e determinar graficamente o valor da carga para a qual 
ocorre o rendimento máximo. O cálculo da variação das 
perdas rotacionais baseia-se na hipótese de que a perda 
é uma função direta da variação da velocidade. Isto é 
ilustrado no Exemplo 12-3.
EXEMPLO Um motor composto de 150 HP, 600 V tem 
 12-3: 250 A de corrente nominal para a velocidade 
nominal de 1.500 rpm. A resistência do 
circuito do campo-derivação 300 ohms; a 
resistência total do circuito da armadura é 
0,05 ohm; e a resis tência do campo-série 
é 0,1 ohm. Quando foi posto a girar a 
vazio, como motor, à velocidade nominal 
e com uma tensão aplicada, Va, de 570 V, 
a armadura soli citou 6 A. A velocidade; a 
vazio, do motor foi 1.800 rpm. Calcule:
 
a. As perdas rotacionais a plena carga e para 1/4, 1/2, 3/4 
e 11/4 da plena carga.
 
b. As perdas elétricas variáveis a plena carga e também as 
perdas elétricas variá veis para as cargas do item (a).
c. O rendimento do motor para as cargas do item (a).
Solução:
 
a. Perdas rotacionais = Va�a = 570 V x 6 A=
= 3.420 W a 1.500 rpm (carga nominal) (12-5)
Velocidade a 1/4 da carga =
= 1.800 - 300 = 1.800 - 75 = 1.725 rpm
 4 
Perdas rotacionais a 1.725 rpm =
= 1.725 x 3.420 W = 3.930 W
 1.500
 
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
146
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Perdas rotacionais a 1.425 rpm = 1.425 x 3.420 W = 3.250 W
 1.500
b. I2a(Ra + Rs) = (203)2 (0,05 + 0,1) = 6.150 W a plena carga
 = perda variável a plena carga
Perdas variáveis a 1/4 da carga= 6.150 W x (1/4)2 = 384 W
Perdas variáveis a 1/2 da carga= 6.150 W x (1/2)2 =1.535W
Perdas variáveis a 3/4 da carga= 6.150 W x (3/4)2 =3.450W
Perdas variáveis a 5/4 da carga = 6.150W x (5/4)2= 9.600W
c. 
Rendimento do motor = Potência de entrada - Perdas (12-2b)
 Potência de entrada
onde Potência de entrada = volts x amperes x fração de carga
 
Perdas = perdas no campo+perdas rotacionais+perdas eletricas 
variáveis
Entrada a 1/4 da carga = 600 x 205 x 1/4 = 30.750 W (em 
números redondos)
Entrada a 1/2 da carga = 600 x 205 x 1/2 = 61.500 W
Entrada a 3/4 da carga= 600 x 205 x 3/4 = 92.250 W
Entrada a 4/4 da carga = 600 x 205 x 4/4 = 123.000 W
Entrada a 5/4 da carga = 600 x 205 x 5/4 = 153.750 W
Perdas no campo, para cada uma das condições de carga =
= 600 V X 2 A = 1.200 W
As perdas rotacionais foram calculadas, para cada condição, 
no item (a) 
As perdas elétricas variáveis, para cada condição, foram 
calculadas no item (b)
Rendimento a 1/4 da carga = 30.750- (1.200 + 3.930 + 384)=
 30.750
= 0,826 ou 82,6 %
Rendimento a 1/2 a carga = 61.500- (1.200 + 3.760 +1.535) 
 61.500
= 0,894 ou 89,4 %
Rendimento a 3/4 a carga = 92.250 - (1.200 +3.590 + 3.450)
 92.250
=0,912 ou 91,2%
Rendimento a 4/4 a carga = 123.000 - (1.200 + 3.420 + 6.150)
 123.000
= 0,9125 ou 91,25 %
Rendimento a 5/4 a carga = 153.750 + (1.200 + 3.250 + 9.600)
 153.750
=0,909 ou 90,9%
Os resultados estão tabelados na pagma seguinte.
O Exemplo 12-3 indica que, embora a perda no campo 
seja substancialmente constante, as perdas rotacionais 
decrescem na mesma proporção da velocidade.
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
147
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Ao mesmo tempo, as perdas variáveis aumentam com o 
quadrado da corrente da armadura. A fim de determinar 
(com alguma exatidão) o ponto para o qual ocorre o 
rendimento máximo, é necessário escolher vários valores 
de Ia imediatamente acima e abaixo do ponto da carga 
nominal e plotar no gráfico os dados resultantes do 
rendimento versus a corrente da armadura. O valor de Ia, 
para o qual ocorre o rendimento máximo, pode então ser 
determinado graficamente.
Um método alternativo é plotar ambas no gráfico, as 
perdas rotacionais e as perdas elétricas variáveis, em 
ordenadas, contra Ia em abscissas. O ponto para o qual as 
perdas se cruzam revela exatamente o valor de Ia para o 
rendimento máximo, determinado por via gráfica.
PERDAS EXPRESSAS EM WATTS
ITEM 1/4 DA CARGA 1/2 DA CARGA 3/4 DA CARGA 4/4 DA CARGA 5/4 DA CARGA
Perdas de entrada 30.750 61.500 91.150 113.000 153.750
Perdas no campo 1.200 1.200 1.200 1.200 1.200
Perdas rotacionais, do item 
(a)
3.930 3.760 3.590 3.420 3.250
Perdas elétricas variáveis, do 
item (b)
484 1.535 3.450 6.150 9.600
Total das perdas 5.514 6.495 8.140 10.770 14.050
η, Rendimento em 
porcentagem
81,6% 89,4% 91,1% 91,15% 90,9%
Os Exemplos 12-1 e 12-3 indicam que os dados obtidos 
do ensaio a vazio (no qual a máquina CC gira a vazio, 
como motor) podem ser usados na determinação do 
rendimento, tanto do gerador como do motor. Os cálculos 
para o rendimento do motor são algo mais complexos, 
devido à variação da velocidade.
Duplicação do Fluxo e da Velocidade
Uma análise das perdas indicadas na Tabela 12-1 indicará 
que a suposição feita nos Exemplos 12-1 e 12-3 não é 
absolutamente correta no que diz respeito às perdas 
rotacionais, isto é, que as perdas rotacionais variem 
apenas com a velocidade se a excitação da máquina 
(corrente de campo) for mantida cons tante. Conforme 
aumenta a carga da máquina, aumenta a reação da 
armadura, produzindo uma alteração na densidade do 
fluxo que afeta as perdas no núcleo. Ao mesmo tempo, há 
também uma alteração da fem gerada ou fcem (da qual de 
pende a potência mecânica desenvolvida pela armadura) 
com o acréscimo da carga.
A fem gerada ou fcem varia diretamente com o fluxo e 
com a velocidade, e as perdas rotacionais também variam 
diretamente com o fluxo e a velocidade. Por tanto, para 
uma máquina cuja velocidade varia (Exemplo 12-3) 
ou cuja fem gerada. pode variar (Exemplo 12-1), seria 
melhor repetir o ensaio a vazio sob várias con dições de 
funcionamento, que reproduzam as condições de fluxo e 
velocidade da máquina. Como mostra a Fig. 12-2b, uma 
resistência é ligada em série com o circuito da armadura, 
a fim de reduzir a tensão aplicada à armadura até o 
valor calculado da fem gerada ou fcem para a velocidade 
requerida (ou reduzida).
Como o ensaio é realizado a vazio, a queda de tensão 
no circuito da armadura é muito pequena, e a tensão 
v. aplicada à armadura pode ser tomada como a fem 
gerada ou a fcem para quaisquer condições dadas. Para 
qualquer valor predeterminado de velocidade, portanto, 
a perda rotacional é igual à leitura de Va Xa, menos as 
pequenas perdas no cobre a vazio, que podem também 
ser desprezadas. Assim, ao duplicar-se a fcem, também 
são duplicadas as condições de fluxo e velocidade.
O Exemplo 12-4 ilustra o método no caso da determinação 
do rendimento do motor, mas ele pode igualmente ser 
utilizado para o rendimento do gerador.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
148
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
EXEMPLO Um motor composto de 150 HP, 600 V tem a 
12-4: velocidade nominal de 1.500 rpm e a corrente 
nominal de 205 A. A resistência do campo-derivação é 300 
ohms, a do circuito da armadura é 0,05 ohm e a do campo 
série 0,1 ohm. Para a carga nominal, calcule:
a. A fcem a ser aplicada à armadura quando funcionando 
a vazio, nas mesmas condições de fluxo e velocidade. 
b. As perdas rotacionais, se a corrente da armadura é 6 
A quando se aplica a tensão apropriada e a velocidade é 
1.500 rpm.
Solução:
A plena carga, Ia= IL- If= 205 A - 600 V = 203 A
 300 Ω
 
a. A plena carga, Ec = Vt - Ia (Ra + Rs) = 600 - 203 (0,15) = 
600 - 30,5 =
= 569,5 V
b. Pperdas= Va Ia= 569,5 x 6 = 3.410W = perdas rotacionais
Note-se que o valor das perdas rotacionais, obtido em (b) 
no Exemplo 12-4, compara-se de maneira favorável com o 
obtido à carga nominal em (a), no Exemplo 12-3.
Rendimento da Máquina Síncrona CA
Essencialmente, a única diferença real entre um 
alternador síncrono e um ge rador CC é o fato de que, 
no primeiro, a armadura é estacionária e o campo está 
girando a uma velocidade constante. A resistência 
efetiva (CA) da armadura, por fase, do alternador é 
obtida normalmente da mesma maneira que a utilizada 
no método da impedância síncrona para determinação 
da regulação do alternador (Seç. 6-10, Fig. 6-7a) através 
da medição da resistência a CC. A perda do cobre no 
circuito do campo-derivação VfIf é também determinada 
por medição em CC.
Como no caso das máquinas CC, independentemente 
de ser o rendimento de um motor síncrono ou de 
um alternador o que se quer determinar, a máquina 
síncrona CA é posta a funcionar como motor síncrono 
a vazio, à velocidade sín crona (o método convencional 
de funcionamento a vazio). A corrente de campo é 
normalmente ajustada ao valor da placa correspondente 
ao fator de potência para o qual ocorre a operação 
normal ou, no caso de um motor síncrono, para prover 
a corrente mínima (fator de potência unitário). Ligam-se 
os instrumentos conforme a Fig. 12-3a, para se lerem as 
correntes de armadura trifásicas balanceadas, à tensão de 
linha nominal, e determina-se ainda a potência de entrada 
(usando o método de um, dois ou três wattímetros). 
As perdas rotacionais, como no caso das máquinas CC,são iguais à potência de entrada na armadura menos as 
perdas no cobre a vazio, ou
Fig. 12-3 - Métodos para determinação do rendimento de máquinas síncronas CA.
Perdas rotacionais de máquinas síncronas CA (P,) =
= Potência de entrada a vazio na armadura - Perdas no 
cobre da armadura
 (12-7)
onde Ia é a corrente da armadura de fase ou de linha e Ra 
é a resistência efetiva da armadura por fase.
Uma vez que ambos, motor síncrono e alternador, são 
operados à velocidade constante a uma freqüência fixa, 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
149
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
as perdas rotacionais podem ser consideradas constantes. 
O rendimento à plena carga, para o fator de potência 
unitário ou qualquer outro, é então calculado como 
mostra o Exemplo 12-5.
EXEMPLO
12-5:
 
O alternador trifásico, ligação em estrela, testado pelo 
método da impedância síncrona no Exemplo 6-4 é posto 
a girar a vazio como um motor síncrono ali mentado à sua 
tensão nominal, para determinar suas perdas rotacionais. 
A corrente da armadura a vazio é 8 A e a potência de 
entrada é 6 kW. Uma tensão de linha a circuito aberto de 
1.350 V é obtida com uma excitação CC de 18 A a 125 V no 
campo. Supondo que não variem as perdas no núcleo e a 
excitação CC, desde a vazio até a carga nominal, calcule:
a. as perdas rotacionais da máquina síncrona
b. a perda no cobre do campo
c. as perdas elétricas na armadura para 1/4, 1/2, 3/4, 
e para a plena carga 
d. o rendimento para estas cargas a um fator de 
potência de 0,9 em atraso.
Solução:
A partir do Exemplo 6-4,
Ra = 0,45 Ω/fase; Ia(n) = 52,5 A
a. Da Eq. (12-7), Pr = 6.000- (3 x 82 x 0,45)
 = 6.000 - 86,4 = 5.914 W (perdas rotacionais)
b. Perdas no campo = 125 V x 18 A = 2.250 W
c. Perdas elétricas no cobre da armadura =
= 3I2anRa = 3 x (52,5)2 x 0,45 = 3.725 W
Perdas no cobre da armadura
a 1/4 da plena carga = 3.725 = 233w
 16
a 1/2 da plena carga = 3.725 = 932w
 4
a 4 da plena carga = 3.725 x 16 = 2.100 W
d. Rendimento em percentagem
 = (potência nominal x a carga) x 100
 (potência nominal x a carga)+ perdas
Nota: A capacidade é dada como 100 kVA, o que é igual a 100.000 
VA e, a um fator de potência de 0,9 em atraso, a potência se torna 
90.000 watts. Este valor será o utilizado nos cálculos a seguir. As perdas 
rotacionais determinadas em (a) eram 5.914 W e as perdas no campo 
determinadas em (b) eram 2.250 W. As perdas elétricas variáveis 
na armadura (no cobre) foram determinadas em (c). No cálculo 
do rendimento para as várias cargas, as perdas totais aparecem no 
denominador, em cada caso, como se verá abaixo. Assim, o rendimento 
per centual η é
a 1/4 da carga =
 = (100.000 x 0,9) x 1/4 x 100
 [(100.000 x 0,9) x (1/4)] + (5.914 +2.250) + 233
= 90.000 x (1/4) x 100 = 22.500 x 100
 [90.000 x (1/4)] + 8.164 + 233 30.897 
= 72,7%
a 1/2 da carga = 
= 90.000 x (1/2) x 100 = 83,2%
 [90.000 x (1/2)] + 8.164 + 932
a 3/4 da carga = 
= 90.000 x (3/4) x 100 = 86,8%
 [90.000 x (3/4)] + 8.164 + 2.100
a plena carga ou 4/4 da carga
 ᶯ = 90.000 x (4/4) x 100 = 88,25%
 [90.000 x (4/4)] + 8.164 + 3.725
 
Ventilação dosAlternadores
Uma porção das perdas rotacionais do Exemplo 12-5 
corresponde ao deslocamento de ar criado pelo 
movimento do rotor e pelo ventilador montado no 
eixo do alternador. O resfriamento a ar por meio de 
ventiladores internos é normalmente inadequado para 
alternadores de tamanhos maiores, entretanto, para 
os quais se utilizam métodos de ventilação confinada e 
forçada, a fim de: ( 1) remover o calor produzido com uma 
razoável elevação da temperatura tanto do alternador 
como do gás refrigerante empregado; (2) utilizar um gás 
refrigerante com uma perda por circulação de ar menor, 
e, possivelmente, com um calor específico maior que o 
do ar; (3) confinar o sistema de ventilação do alternador 
para manter afastadas sujeiras e umidade (elementos 
estranhos estes que encurtariam a vida do alternador); 
(4) aumentar o rendimento e (5) aumentar a capacidade 
do alternador.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
150
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
Em turboalternadores modernos, que giram a altas 
velocidades e que utilizam sistemas confinados de 
ventilação forçada a ar, a metade ou mais das perdas 
rotacionais totais à plena carga (V. Exemplo 21-5) 
resulta normalmente do ar forçado através dos dutos 
axiais praticados no rotor e na armadura do estator. O 
hidrogênio tem menos viscosidade que o ar, cerca de oito 
vezes a sua condutividade térmica e aproximadamente 
a mesma capacidade calorífica por volume, de modo 
que a refrigeração com um dado fluxo de hidrogênio, 
em relação ao ar (1) é mais eficiente no abaixamento da 
temperatura do alternador e (2) requer menos perdas 
por deslocamento gasoso do meio refrigerante. Duas 
vantagens adicionais do uso do hidrogênio são (3) não se 
produz oxidação no isolamento, porque há efeito corona 
com o hidrogênio, e (4) é necessário um potencial mais 
elevado para a perduração do corona numa atmosfera de 
hidrogênio-ar do que numa atmosfera comum de ar.
Algumas misturas de ar e hidrogênio são, entretanto, 
extremamente explosivas, mas a experiência tem 
demonstrado que as explosões serão inibidas numa gama 
de 6 por cento de hidrogênio e 94 por cento de ar até 
71 por cento de hidrogênio e 29 por cento de ar. Quando 
há mais que 71 por cento de hidrogênio, a quantidade de 
oxigênio no gás é insuficiente para manter a combustão. 
Como resultado, empregam-se misturas com 90 por cento 
de hidrogênio, não havendo perigo de explosão, mesmo 
em altas temperaturas de ignição.
Quando o hidrogênio é usado como meio refrigerante, o 
sistema deve ser completamente vedado. O hidrogênio é 
posto a circular por ventiladores, através do estator e do 
rotor, passando após sobre serpentinas de resfriamento 
dentro da carcaça hermética; as serpentinas contêm um 
meio refrigerante-normalmente óleo ou água-para trocar 
calor com o hidrogênio circulante. O gás é mantido a uma 
pressão maior que a atmosférica, para impedir prováveis 
ingressos no sistema de ar, que o contaminaria, e a pressão 
é medida cuidadosamente para permitir a detecção de 
vazamentos, e evitá-los.
A refrigeração por meio de hidrogênio aumenta o 
rendimento total à plena carga de aproximadamente 1 
por cento, mas aumenta a capacidade do alternador de 
25 por cento. Este último é o principal fator que justifica 
a sua utilização.
Rendiemnto de Máquinas Síncronas CA através do 
Métododo Motor CC Calibrado
Um procedimento recomendado pelo AIEE (agora IEEE) 
para determinar o rendimento do alternador (ou motor) 
síncrono CA, e simultaneamente a regu lação em tensão 
daquele, é ilustrado na Fig. 12-3b, na qual um motor 
CC é aco plado ao alternador, e é descrito através dos 
passos seguintes. O motor é um motor calibrado, cujo 
rendimento é conhecido em toda a gama, desde a vazio 
até a plena carga.
Procedimento
1. Acione o alternador à velocidade síncrona, sem 
excitação no circuito de campo, através do motor CC 
calibrado.
2. Repita o procedimento 1, mas excite o campo do 
alternador com a excitação normal, isto é, a exci tação a 
circuito aberto que produ zirá a tensão nominal à carga 
nominal.5
3. Reduza a excitação do campo a zero, curto-circuitea 
armadura do alternador e execute o ensaio de curto-circuito 
ou de impedância da máquina síncrona (Seç. 6-10), isto é, 
eleve a corrente de campo até que a corrente nominal da 
armadura seja produzida a velo cidade nominal.
4. Remova o curto-circuito dos ter minais da armadura e 
meça a ten são a circuito aberto da armadura, para esta 
excitação do circuito de campo (ensaio a circuito aberto).
Finalidade
1. A potência de entrada do motor CC vezes o seu 
rendimento (co nhecido) é a potência de entrada do 
alternador, que representa as suas perdas por atrito e 
desloca mento de ar.
2. O acréscimo na potência de en trada do motor vezes 
o seu rendi mento representa o acréscimo da potência 
de entrada do alternador ou as perdas no núcleo (por 
his terese ou por correntes parasitas). As perdas no cobre 
do campo CC são também obtidas (ou seja, VfIf), bem 
como são incluídas também as perdas nas escovas. Todas 
estas perdas são perdas fixas.
3. As perdas no cobre são conside radas desprezáveis 
por ser tão baixa a excitação. A potência de entrada do 
motor vezes o seu rendimento representa agora as perdas 
totais à plena carga no enrolamento da armadura, mais as 
perdas por atrito e ventilação (procedimento 1 acima). A 
dife rença entre os valores obtidos em 3 e 1 é a perda no 
cobre à plena carga.
4. Este passo permite determinar-se a impedância e 
a reatância sín crona por fase (esta última cal culada da 
forma normal).
A vantagem óbvia do método do AIEE, que usa o motor 
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
151
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
CC calibrado, é que o rendimento de um alternador (ou 
motor) síncrono, bem como a regulação de tensão (pelo 
método da impedância síncrona) são determinados 
simultanea mente. Dadas as perdas por corrente contínua 
no campo, as perdas à plena carga no cobre da armadura, 
e as perdas rotacionais (atrito, ventilação e perdas 
no núcleo) à velocidade nominal, a determinação do 
rendimento é feita da mesma maneira que se procedeu 
no Exemplo 12-5.
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
152
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
CAPÍTULO 08
RENDIMENTO DAS MÁQUINAS 
ASSÍNCRONAS DE INDUÇÃO
A máquina de indução quer funcionando como motor, 
quer como gerador, experimenta uma variação na 
velocidade do rotor com a carga, bem como uma variação 
na freqüência do rotor resultante desta variação da 
velocidade.
De maneira distinta às máquinas síncronas, nem as 
perdas rotacionais (que são função da velocidade e 
da freqüência), nem as perdas elétricas do rotor e 
do estator (que são função da carga) são constantes. 
Devem, portanto, ser empregados outros métodos para 
determinar-se o rendimento das máquinas de indução 
síncronas CA. Uma vez que raramente interessa conhecer 
o rendimento dos geradores de indução, a discussão 
que se segue limitar-se-á principalmente a máquina de 
indução funcionando como motor tanto monofásica, 
como polifasicamente alimentado.
Dois são os métodos geralmente empregados. O primeiro 
é um método convencional, no qual não se envolve 
carregamento do motor de indução, chamado método 
dos ensaios a circuito aberto e de curto-circuito (rotor 
bloqueado). Este método é normalmente empregado 
para motores de indução extremamente grandes, para 
os quais o carregamento direto seria pouco prático, 
inconveniente ou anti econômico.
O segundo método é o indicado pelo AIEE, a partir 
do escorregamento em função da carga e do circuito 
equivalente. Este método é geralmente mais preciso 
que o método convencional do rotor bloqueado, mas 
requer a medida do escorregamento para várias cargas, 
desde a situação a vazio até a plena carga (nominal) do 
motor de indução. É normalmente aplicado a pequenos 
motores de indução, que podem ser carregados por freios 
de Prony ou a geradores elétricos. Isto sugere, é claro, 
que, se o carregamento é possível, um gerador calibrado 
pode ser usado para determinar o rendimento. Este é 
evidentemente um terceiro processo, e o rendimento pode 
ser eletricamente calculado como a relação da potência 
de entrada do gerador calibrado (potência de saída do 
motor) para a potência elétrica de entrada do motor, para 
uma dada carga. Como se estabeleceu previamente, o 
rendimento de pequenos motores de indução polifásicos 
pode também ser determinado (um quarto método) por 
meio de um dinamômetro ou freio de Prony que tenha os 
valores das potências de saída do motor medidos, para 
determinadas cargas, enquanto as potências de entrada 
são medidas eletricamente. Os três últimos métodos são 
apenas aplicáveis a pequenos motores de indução. O 
primeiro método se aplica a qualquer tipo de motores de 
indução, grandes ou pequenos.
Deter-nos-emos mais detidamente apenas no método 
convencional (Seç. 12-13) e no método do AIEE 
(Seç. 12-14).
Resistência Equivalente de um Motor de Indução
Ambos os testes acima descritos para a determinação do 
rendimento do motor de indução requerem uma expressão 
da resistência equivalente entre os terminais de linha do 
motor, relativa aos circuitos do rotor e do estator, referida 
ao estator, nas condições de rotor' bloqueado. É, pois, 
necessário derivar esta expressão. A Fig. 12-4a mostra 
um motor de indução com o estator ligado em delta e 
o rotor bloqueado. No momento da partida, ou seja, 
com o rotor bloqueado, o estator ligado em delta pode 
ser considerado como o primário de um transformador, 
cujo secundário é o rotor em curto-circuito. A resistência 
equivalente total entre linhas Rel, referida a qualquer 
dos terminais do estator na Fig. 12-4a, é, pela teoria do 
circuito paralelo:
e também (12-8)
Ra = 3 Rel
 2
Se o rotor está bloqueado, uma tensão de excitação de 
menos de 10 por cento da nominal pode ser aplicada 
ao estator, de modo a desenvolver a corrente nominal 
da armadura no estator, Ia, uma vez que a tensão 
corresponderá à queda na resistência do rotor Rr, 
produzida pela corrente de carga nominal. A esta excitação 
reduzida, as perdas no núcleo são desprezíveis, Wc x B2 
( 1 )2 uma vez que
 10
uma vez que representam menos de um centésimo de seu 
valor da tensão nominal.6
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
153
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
A potência de entrada no estator representa, em repouso, 
apenas as perdas no cobre equivalentes do rotor e do 
estator combinadas, Pc, na Fig. 12-4a, ou
Substituindo, nesta equação, Ra por seu valor tirado da 
Eq. (12-8), temos
 Pc = 3 I2l �el (12-9)
Fig. 12-4 - Determinação da resistência equivalente do 
estator (e rotor), através de medição entre linhas do 
estator.
onde Il é a corrente de linha de um motor de indução 
trifásico é Re1 é a resistência equivalente total entre linhas 
de um tal motor (representando as resistências combina-
das do estator e do rotor), referida ao estator.
Semelhantemente, imaginando que o estator do motor é 
ligado em estrela, como mostra a Fig. 12-4b:
Rel = 2Ra e Ra = Rel (para um estator ligado em estrela)
 2
A potência de entrada ou perda equivalente no cobre, 
para um estator ligado em estrela, à tensão reduzida, é
 Pc = 3 I2a�a = 3 I2l�a = 3 I2l � el (12-9a) 
Note-se que esta expressão é a mesma da Eq. (12-9) 
para um estator ligado em delta. É assim completamente 
desnecessário saber se o estator está ligado em estrela ou 
em delta. A perda no cobre equivalente pode ser medida 
entre linhas, e a resistência equivalente total entre linhas 
podeser determinada a partir da Eq. (12-9) para os valores 
da resistência total doestator e rotor combinados e 
referidos ao estator. Isto será bem ilustrado no Exemplo 
12-6.
Rendimento do Motor de Indução a partir dos 
Ensaios a Circuito Aberto e de Curto-Circuito (Rotor 
Bloqueado)
O circuito de um motor de indução funcio nando sob carga 
(bem como no instante da partida) pode ser representado 
como o de um transformador [V. Fig. 9-11 e Eqs. (9-9a) e 
(9-16)]. Os métodos convencionais para a determinação 
do rendimento do transformador 7, usando os ensaios 
a Circuito aberto (a vazio) e em curto-circuito (rotor 
bloqueado) do transformador, aplicam-se também, 
convenientemente, ao motor de indução. Como no 
transformador8, a determinação do rendimento é 
processada em duas etapas:
Ensaio a Vazio, a Circuito Aberto
O motor de indução é ligado a uma linha, que o alimenta à 
sua tensão nominal, e é posto a girar sem carga acoplada 
ao seu eixo. Sob estas condições, como no caso dos ensaios 
"a vazio" já vistos, a potência de entrada no estator de 
um motor de indução representa (1) as perdas rotacionais 
(no núcleo e perdas mecânicas), e (2) uma pequena perda 
equivalente a vazio, no cobre do esiator e do rotor. (A 
última não é desprezível, como mostra o Exemplo 12-6b.)
Ensaio de Curto-Circuito a Rotor Bloqueado
O motor é desligado da alimentação e seu rotor é 
bloqueado, de modo que não possa girar. Uma tensão 
trifásica, cujo valor possa ser gradativamente aumentado, 
é aplicada (a partir de um variac trifásico ou de um 
regulador de indução polifásico) ao estator, até que 
circule a corrente de linha nominal de placa. Como no 
ensaio de curto-circuito do transformador, e pelas razões 
demonstradas na Seç. 12-11, as perdas no núcleo (ferro) 
são desprezáveis, e não há perdas mecânicas, uma vez 
que o motor está parado. A potência total solicitada pelo 
motor representa, pois, as perdas elétricas no cobre, 
a plena carga, correspondendo ao estator e ao rotor. A 
resistência total equivalente (entre linhas) do motor é 
calculada pela Eq. (12-9). Este valor é então usado no 
cálculo das perdas rotacionais, a partir do ensaio a vazio 
do item anterior, como na determinação do rendimento.
O Exemplo 12-6 ilustra o tratamento dos dados e a 
determinação do rendimento por este método.
EXEMPLO 
 12-6: 
Um motor de indução trifásico, de 5 HP, 60Hz, 220 V, 
fator de potência 0,9 tem uma corrente nominal de placa 
de 16 A, correspondendo à corrente de linha, e uma 
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
154
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
velocidade de 1.750 rpm. Os dados obtidos pelos ensaios de circuito aberto e de curto-circuito são:
 Ensaio de circuito aberto Ensaio a curto-circuito
 
Corrente de linha 6,5 A 16 A
Tensão de linha 220 V 50 V
Wattímetro polifásico 300 W 800 W (perdas no cobre equivalentes, 
à plena carga)
Calcule:
a. A resistência total equivalente, entre linhas, do motor de indução.
b. As perdas rotacionais.
c. As perdas equivalentes no cobre a 1/4, 1/2, 3/4 e 11/4
d. O rendimento para estas cargas.
e. A potência de saída em HP para estas cargas.
f. O torque de saída à plena carga.
Solução:
a. Rel = P� = 800 x 2 = 2,08Ω
 (3/2) I2 = 162 x 3 
b. Perdas rotacionais = Pr - I2l Rel = 300 - 6,52 x 2,08 = 300 - 132 = 168 W
c. Perdas equivalentes no cobre para as várias frações de carga
A 1/4 da carga = 800 W x (1/4)2 = 50 W
A 1/2 da carga = 800 x (1/2)2 = 200 W
A 3/4 da carga = 800 x (3/4)2 = 450 W
A plena carga = 800 W, conforme indicaram os dados do ensaio a curto circuito
 
A 1/4 da carga = 800 x (5/4)2 = 1.250 W
 
d. O rendimento em percentagem, para o motor é, pela Eq. (12-2b)
ɳ = (P. de entrada à plena carga vezes a fração da carga) menos as perdas x 100
 (Potência de entrada à plena carga vezes a fração da carga)
 
A potência de entrada à plena carga = √3 x 220 x 16 x 0,9 = 5.480 W 
As perdas rotacionais, da parte (b) = 168 W
As perdas equivalentes no cobre foram calculadas em (c)
O rendimento percentual
A 1/4 da carga = (5.480/4) - (168 + 50) x 100 = 1.370 - 218 x 100 = 84,2%
 (5.480/4) 1.370
MUNDI - UNIVERSO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
155
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
A 1/2 da carga= ( 5.480/2) - (168+200) x 100 = 86,5%
 (5.480/2)
A 3/4 da carga= [( 5.480(3/4)] - (168+450) x 100 = 84,9%
 5.480 (3/4)
 
A 4/4 da carga= [( 5.480(4/4)] - (168+800) x 100 = 82,1%
 5.480 (4/4)
A 5/4 da carga= [( 5.480(5/4)] - (168+1250) x 100 = 79,3%
 5.480 (5/4)
e. Potencia e saída em HP = Potência de entrada - Perdas
 746 W/HP
Potência de saída em HP
A 1/4 da carga = (5.480/4) - 218 = 1,545 HP
 746
A 1/2 da carga = (5.480/2) - 368 = 3,18 HP
 746
A 3/4 da carga = [5.480 X (3/4)] - 618 = 4,68 HP 
 746
A 4/4 da carga = [5.480 X (4/4)] - 968 = 6,04 HP 
 746
A 5/4 da carga = [5.480 X (5/4)] - 1.418 = 7,28 HP 
 746
f. Torque de saída = HP x 5.252
 Velocidade
A plena carga, o torque de saída
T= 6,04 x 5.252 = 18,1 1b- pé
 1,750 
Foram feitas várias hipóteses para a determinação 
do rendimento do motor de indução pelos ensaios a 
circuito aberto e a curto-circuito ou rotor bloqueado, 
pelo método visto no Exemplo 12-6. Como se mostrou 
na solução, imaginou-se uma perda rotacional constante 
para todos os pontos de carga. A Tabela 12-1 indica que 
as perdas mecânicas, tais como atritos nos mancais e 
deslocamento de ar são função da velocidade. Além 
disto, as perdas no núcleo, ou no ferro, são função da 
velocidade e (parcialmente) da freqüência do rotor, que 
aumenta com o escorregamento. A freqüência algo maior 
tende a contrabalançar o decréscimo da velocidade, de 
modo que a suposição é justificada. Mais ainda, desde 
que o escorregamento à plena carga raramente excede 
5 por cento, e, desde que as perdas rotacionais são uma 
pequena parcela das perdas totais à medida que aumenta 
a carga, este erro introduzido no rendimento não é muito 
significativo.
O ensaio a rotor bloqueado, além disto, supôs as perdas 
no núcleo desprezáveis. Estas variam com a tensão de 
excitação aplicada ao estator nas condições de rotor 
bloqueado. Se a tensão de excitação é uma pequena 
percentagem da tensão nominal, isto é, menos de 10 por 
MUNDI - UNIVESO EDUCACIONAL Módulo II - Máquinas Elétricas I
156
COPYRIGHT © 2007 by@ MUNDI LTDA. PROPRIEDADE INTELECTUAL PROTEGIDA. PROIBIDA SUA REPRODUÇAO TOTAL OU PARCIAL 
cento, a hipótese é justificada. Mas alguns motores de 
indução, devido à elevada reatância a rotor bloqueado, 
reque rem tensões que chegam a 33% da nominal, para 
que a corrente nominal de linha circule no estator. Nestas 
circunstâncias, as perdas no núcleo a rotor bloqueado 
não são 1/100 das perdas com excitação nominal, mas 
1/9 delas. O valor não é mais desprezável, devendo