Determinação experimental da resistividade do Cobre

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Métodos Experimentais da Física III LOM3230
Determinação experimental da resistividade do Cobre
Bruno Brunello Vieira1, Fábio de O. e Silva Marques1,
Felipe Todaka da Silva1, Fernando H. C. de Almeida Cardoso1
1Universidade de São Paulo, Escola de Engenharia de Lorena, Departamento de Engenharia de Materiais
18 de maio de 2021
Resumo
O presente trabalho teve como objetivo calcular o valor de resistividade elétrica do cobre através de medições utilizando
três conjuntos de fios de cobre comercial de diferentes diâmetros, referenciados neste trabalho como fino, médio e grosso.
As medições de tensão para cada diâmetro foram feitas em amostras de comprimentos de 5 cm, 10 cm e 15 cm utilizando
o método das quatro pontas, tornando possível o cálculo da resistência elétrica e posteriormente da resistividade elétrica
através da segunda Lei de Ohm. Com os dados obtidos observou-se a dependência linear da resistência elétrica em relação ao
comprimento, e a curva V × I do material, que demonstrou um comportamento linear característico de materiais ôhmicos,
categoria a qual o cobre pertence. A resistividade elétrica é uma característica intrínseca do material, portanto seu valor
independe dos parâmetros geométricos da amostra, os quais foram diversificados para obtermos maior amostragem de
dados. Dos quais foi calculado o valor de ρ = 16,94 nΩ · m apresentando um resultado satisfatório do experimento com
um erro percentual de 1,683% do valor teórico utilizado como referência.
Palavras-chave: cobre – Ohm – resistência – resistividade
1 Introdução
O estudo de novos materiais e suas aplicações possuem
extrema importância na ciência e no mercado atual nos setores
de construção civil, tecnologias de automação ou também nos
fenômenos de supercondutividade. Um ramo desse estudo está
relacionado aos condutores e como variam seus valores de re-
sistência, de forma a determinar o melhor tipo de material para
uma determinada aplicação [1].
A resistência elétrica de um material está relacionada à
dificuldade de fluxo de elétrons nesse material. A vibração da
rede (fônons) contribui para o aumento dos espalhamentos des-
ses elétrons e portanto contribui para o aumento da resistência
elétrica. Com o aumento da temperatura, essa vibração na rede
cristalina aumenta, e isso aumenta a probabilidade de ocorrer
o espalhamento entre os elétrons e os átomos da rede [2].
Um outro fator importante é a quantidade de defeitos no
material como as lacunas ou “buracos” e também impurezas
de outros elementos presentes na liga. A resistência intrínseca
de todos os materiais terá um valor mínimo diferente de zero,
primeiro pelo fator da temperatura e também pelas impure-
zas presentes (isso apenas em materiais que não possuem o
comportamento de supercondutividade) [2].
Outros fatores que influenciam na resistência R de um
material são descritos na segunda Lei de Ohm:
R = ρL
A
. (1)
Dessa forma, a resistividade ρ de um material, assim como fa-
tores geométricos do comprimento L e da área de seção do
segmento A analisado possuem grande influência no compor-
tamento da resistência do material [3].
O valor da resistência R de um material foi determinado
previamente pela primeira Lei de Ohm [4]:
R = V
I
. (2)
Nela, podemos determinar a resistência através de uma curva
característica dos materiais. A curva característica é a relação
entre a tensão e corrente no material [4].
Através de medições da tensão e da corrente elétrica, po-
demos distinguir entre dois tipos de materiais: os ôhmicos – que
possuem curva característica linear, ou seja, resistência cons-
tante; e os não ôhmicos – curva característica não linear, indi-
cando resistência variável [4].
A Figura 1 mostra diferentes tipos de curvas característi-
cas, e através delas é possível determinar quais materiais pos-
suem maior ou menor resistência [4].
Figura 1. Curva característica para materiais ôhmicos. Fonte: [4].
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Line
Line
Line
2 B. Brunello Vieira et al.
Nesse experimento, foram feitas medidas das curvas ca-
racterísticas V × I do cobre, utilizando o método das quatro
pontas, com diferentes comprimentos de fio (L) e área de seção
transversal (A). A partir dos dados experimentais obtidos, foi
possível determinar o valor de resistividade do cobre e compará-
los com os valores de referência.
A resistividade do cobre é relativamente baixa, igual a
1,723 ·10−8 Ω · m, sendo esse material classificado como um
condutor [2]. Através dos valores medidos de tensão e corrente,
espera-se chegar a um valor próximo ao de referência.
Possíveis diferenças desse valor podem ser consequência do
erro dos instrumentos de medição e também dos outros fatores
discutidos anteriormente como a temperatura e a pureza do
material. Outro fator importante a se considerar é a geometria
da seção medida, por não ser totalmente simétrica, podendo
acarretar em pequenas alterações no valor final.
2 Materiais e Métodos
Neste experimento, amostras de fios de cobre de diâmetros
e comprimentos diferentes foram preparadas para serem sub-
metidas a uma passagem de corrente elétrica contínua. Isso, a
fim de serem realizas medições de tensão em cada uma delas.
Os equipamentos e materiais utilizados no experimento estão
descritos na Tabela 1.
Tabela 1. Materiais utilizados ao longo dos procedimentos experi-
mentais. Fonte: os Autores.
Material Descrição
fios cobre – 3 diâmetros diferentes
régua plástico – comprimento 30 cm
micrômetro analógico Mituyou – Série 103 – 0-25 mm
fonte de corrente Keithley – 2400 Series SourceMeter
multímetro Keithley – 196 System DMM
Da mesma forma, a metodologia a ser descrita mais mais
à frente está sintetizada por meio do fluxograma que pode ser
visualizado na Figura 2.
2.1 O Método das Quatro Pontas
Atualmente, o Método das Quatro Pontas é a técnica ana-
lítica de medição de resistividade elétrica mais aplicada à ca-
racterização de materiais condutores e semicondutores. A sua
origem remete ao começo do século XX, sendo inicialmente
empregada na medição da resistividade elétrica do solo; mas só
posteriormente, já no ano de 1945, sendo utilizada na resisti-
vidade de semicondutores [5].
Essa técnica, como mostrado na Figura 3, consiste na utili-
zação de quatro pontas em contato com o material de maneira
alinhada. Os terminais positivo e negativo de uma fonte de
Preparação do fio
Lixamento
Esticamento
Medição 1
Comprimento (L)
Diâmetro
micrômetro
Solda
fio
Medição 2
régua
Aplicação de corrente
Aquisição 
de dados
variação de corrente
conectores do multímetro
Figura 2. Fluxograma da metodologia. Fonte: os Autores.
Figura 3. Arranjo experimental do método sendo utilizado na deter-
minação da resistividade de um material. Fonte: extraído de [5].
corrente elétrica i são colocados em contato com o material
ao longo de uma direção. Entre eles, sob a mesma linha, são
introduzidos os terminais de um multímetro para aferição da
tensão V experimentada [5].
2.2 Preparação das Amostras
O experimento foi conduzido para três diferentes diâmetros
de fios comerciais de cobre (ver Figura 4). Inicialmente, amos-
tras foram lixadas para garantir que eventuais camadas oxidan-
tes não interferissem nos resultados. Em seguida, utilizou-se
Determinação experimental da resistividade do Cobre 3
uma régua de plástico de 30 cm a fim de promover um formato
mais retilíneo aos fios já lixados.
Figura 4. Os três tipos de fio com diâmetros diferentes utilizados
para o experimento. Fonte: extraído de [6].
Posteriormente, cada espessura teve medições aferidas por
meio de um micrômetro externo analógico da marca Mituyou,
da Série 103. Dentre as suas especificações, destaca-se a sua
capacidade de 0-25 mm com erro de ± 0,002 mm [7]. Essas
medidas são encontradas na Tabela 2.
Tabela 2. Medidas dos diâmetros dos três fios por meio do micrô-
metro, com erro de ± 0,002 mm. Fonte: extraído de [6].
Fino (mm) Médio (mm) Grosso (mm)
0,500 0,810 1,255
0,500 0,815 1,300
0,505 0,805 1,275
0,480 0,780 1,290
0,510 0,820 1,260
0,505 0,795 1,260
0,505 0,805 1,300
0,505 0,795 1,2650,500 0,815 1,300
A etapa seguinte consistiu na solda dos cabos do multí-
metro, para a realização das medidas de tensão, às amostras.
A distância entre cada ponto de solda levou em consideração
a escolha de três distâncias L nominais: 5, 10 e 15 cm. Após
os fios e cabos já soldados, foram realizadas medições de L
utilizando-se de uma régua, disponíveis na Tabela 3.
2.3 Procedimentos de Medição
Utilizando o Método das Quatro Pontas ao aparato expe-
rimental, como já mencionado, dois pontos separados por uma
distância L das amostras de fio foram soldados aos cabos do
multímetro. Esse esquema está ilustrado na Figura 5.
A fonte de corrente usada no experimento é uma 2400
Series SourceMeter, da marca Keithley, cujo valor máximo de
confiança é de ± 210 mV na faixa dos 200 mV [8]. Já o multí-
metro fora o 196 System DMM, também da Keithley, capaz de
Tabela 3. Medidas com régua das distâncias entre os pontos de solda
L para cada tipo espessura de fio, com erro de ± 0,03 mm. Fonte:
extraído de [6].
Fio Fino
Fio 5 cm (mm) Fio 10 cm (mm) Fio 15 cm (mm)
50,07 100,92 149,15
50,47 100,16 149,44
49,41 101,28 148,22
50,52 101,41 148,55
49,90 100,75 149,69
Fio Médio
Fio 5 cm (mm) Fio 10 cm (mm) Fio 15 cm (mm)
49,75 98,49 146,14
49,15 98,45 146,35
49,43 98,83 145,07
50,20 98,38 145,99
49,73 98,36 146,34
Fio Grosso
Fio 5 cm (mm) Fio 10 cm (mm) Fio 15 cm (mm)
50,37 96,80 150,95
51,41 98,50 151,14
51,81 98,74 150,34
50,58 99,16 150,77
51,77 97,75 150,48
Figura 5. Esquema da disposição do fio de cobre com os cabos dos
equipamento. Os cabos vermelhos se referem ao multímetro, solda-
dos ao fio, enquanto os cabos pretos se referem à fonte de corrente,
presos ao fio por garras. Fonte: os Autores.
realizar medições DC em um intervalo de ± 100 nV a ± 300
V e com resolução de 100 nV na faixa dos 300mV [9].
Com todos os equipamentos e materiais prontos, fora ini-
ciada a aquisição de dados. Ela, por sua vez, se deu de maneira
automatizada, segundo um intervalo constante de corrente elé-
trica, indo de 0 a 100 mA. No conjunto de equipamentos utili-
zados (ver Figura 7), utilizou-se também um computador com
matlab para a visualização dos dados.
4 B. Brunello Vieira et al.
Figura 6. Equipamentos utilizados para geração das medidas de ten-
são em função da corrente. Em cima, a fonte de corrente, e, abaixo,
o multímetro. Fonte: extraído de [10].
Figura 7. Conjunto, incluindo computador com matlab, utilizado
tanto para as medições de V × I como na visualização dos dados.
Fonte: extraído de [10].
3 Resultados
Utilizando-se das Tabelas 2 e 3, fez-se possível o cálculo
do comprimento médio L de cada fio utilizado com o respectivo
diâmetro D. Os resultados de cada cálculo se encontram nas
Tabelas 4, 5 e 6.
Como foram utilizados valores médios, fez-se necessário
determinar a incerteza de tais médias. Assim, através do desvio
padrão da média, a incerteza da média dos dados em questão
foi calculada com o auxílio da Equação 3,
Sm =
√
1
n− 1Σ(xi −m)
2 = s√
n
(3)
onde n, m, s e xi são, respectivamente, o número de medidas,
a o valor médio das n medições, o desvio padrão e o valor
de cada medida. Através dos dados fornecidos da corrente I
e tensão V , fez-se possível a plotagem de três gráficos e suas
respectivas análises através da lei de Ohm (ver Equação 2).
Tabela 4. Comprimento com o respectivo diâmetro médio do fio fino
(menor diâmetro). Fonte: os Autores.
L (mm) D (mm)
50,17 ± 0,14 0,501 ± 0,003
101,90 ± 0,22 0,501 ± 0,003
149,01 ± 0,27 0,501 ± 0,003
Tabela 5. Comprimento com o respectivo diâmetro médio do fio
médio (diâmetro intermediário). Fonte: os Autores.
L (mm) D (mm)
49,25 ± 0,18 0,804± 0,004
98,50 ± 0,09 0,804± 0,004
145,98 ± 0,24 0,804± 0,004
Tabela 6. Comprimento com o respectivo diâmetro médio do fio
grosso (maior diâmetro). Fonte: os Autores.
L (mm) D (mm)
51,12 ± 0,30 1,278± 0,006
98,18 ± 0,42 1,278± 0,006
150,74 ± 0,15 1,278± 0,006
Em um primeiro momento, a análise será realizada sobre
os fios de cobre de, teoricamente, cinco centímetros de com-
primento (L ≈ 5cm), onde, trata-se de três fios com diâmetros
diferentes. Vale ressaltar que, para a completa análise, foram
realizadas regressões lineares do tipo y = a + bx para cada
caso.
O resultado das linearizações, para o gráfico descrito pela
Figura 8 (L ≈ 5cm), em ordem crescente de diâmetro, foi,
respectivamente, y = (4, 15 ·10−3)x, y = (1, 65 ·10−3)x e y =
(6, 58 · 10−4)x, o que era esperado, tendo em vista que trata-
se da lei de Ohm descrita pela Equação 2 (o coeficiente linear
a da reta, em todos os casos, possui seis ordens de grandeza
a menos do que o coeficiente angular b, podendo, assim, ser
desprezado).
Determinação experimental da resistividade do Cobre 5
Figura 8. Linearizações do tipo y = a+ bx para a tensão em função
da corrente para os três fios com L ≈ 5cm. Fonte: os Autores.
Portanto, igualando a Lei de Ohm com cada linearização
acima, faz-se possível obter o valor da resistência elétrica R,
em Ω, como na Equação 4:
V
I
= y
x
⇒ R = b . (4)
Para cada valor de R, encontrou-se o respectivo coeficiente de
determinação (R2), pois trata-se de uma regressão linear. Os
valores médios de V e I estão na Tabela 7.
Tabela 7. Tensão média e corrente média para o respectivo com-
primento, onde tem-se um aumento progressivo de diâmetro e a
incerteza associada a corrente é ± 2,92 mA. Fonte: os Autores.
V (mV) I (mA) L (mm)
0,208 ±1, 21 · 10−2 50,0 50,17 ± 0,14
8,24 ·10−2 ± 4, 80 · 10−3 50,0 49,25 ± 0,18
3,29 ·10−2 ± 1, 92 · 10−3 50,0 51,12 ± 0,30
4,27 ·10−1 ± 2, 49 · 10−2 50,0 101,90 ± 0,22
1,65 ·10−1 ± 9, 63 · 10−3 50,0 98,50 ± 0,09
6,50 ·10−2 ± 3, 79 · 10−3 50,0 98,18 ± 0,42
6,37 ·10−1 ± 3, 71 · 10−2 50,0 149,01 ± 0,27
2,54 ·10−1 ± 1, 48 · 10−2 50,0 145,98 ± 0,24
9,97 ·10−2 ± 5, 81 · 10−3 50,0 150,74 ± 0,15
Esses valores foram utilizados na determinação das incer-
tezas associadas a R, através da Equação 5:
σ2R =
(
∂R
∂V
)2
σ2V +
(
∂R
∂I
)2
σ2I . (5)
As informações de R e R2 se encontram na Tabela 8.
Agora, tem-se a análise do fio teoricamente com 10 cen-
tímetros (L ≈ 10 cm), realizada como a anterior. Assim, as
regressões lineares foram do mesmo tipo, onde, fez-se possível
obter, em ordem crescente de diâmetro, respectivamente, atra-
vés da Figura 9, y = (8, 53 · 10−3)x, y = (3, 30 · 10−3)x e
y = (1, 30 · 10−3)x, indo de encontro, mais uma vez, com a
lei de Ohm. Portanto, da Equação 4, fez-se possível encontrar
R com o respectivo R2 para L ≈ 10 cm (ver Tabela 9).
Tabela 8. Resistência elétrica e o coeficiente de determinação para
a Figura 8, onde se tem um aumento progressivo do diâmetro para
L ≈ 5 cm. Fonte: os Autores.
R (mΩ) R2
4,15 ±3, 43 · 10−4 0,999999
1,65 ±1, 36 · 10−4 0,999997
6,58·10−1 ± 5, 43 · 10−5 0,999981
Figura 9. Linearizações do tipo y = a+ bx para a tensão em função
da corrente para os três fios com L ≈ 10cm. Fonte: os Autores.
Tabela 9. Resistência elétrica e o coeficiente de determinação para
a Figura 9, onde se tem um aumento progressivo do diâmetro para
L ≈ 10 cm. Fonte: os Autores.
R (mΩ) R2
8,53 ±7, 05 · 10−4 1,00000
3,30 ±2, 73 · 10−4 0,999999
1,30 ±1, 07 · 10−4 0,999995
Para a análise do fio teoricamente com 15 cm (L ≈ 15
cm), nada foi realizado de maneira diferente. Ou seja, para
L ≈ 15 cm, através da Figura 10, as linearizações resultaram,
em ordem crescente de diâmetro, respectivamente, em y =
(1, 27 · 10−2)x, y = (5, 08 · 10−3)x e y = (1, 99 · 10−3)x,
respeitando a lei de Ohm.
6 B. Brunello Vieira et al.
Figura 10. Linearizações do tipo y = a+bx para a tensão em função
da corrente para os três fios com L ≈ 15 cm. Fonte: os Autores.
Da Equação 4, foi obtido o valor de R e o respectivo
R2 para L ≈ 15 cm (ver Tabela 10). A partir dos cálculos
apresentados, faz-se possível calcular a resistividade do cobre,
o objetivo do presente documento.
Tabela 10. Resistência elétrica e o coeficiente de determinação para
a Figura 10, onde se tem um aumento progressivo do diâmetro para
L ≈ 15 cm. Fonte: os Autores.
R (mΩ) R2
12,7±1, 05 · 10−3 1,00000
5,08 ±4, 19 · 10−4 0,9999991,99 ±1, 65 · 10−4 0,999998
Portanto, através da Equação 1, foram obtidos os valores
da resistividade de interesse (ver Tabela 11).
Tabela 11. Resistividade do cobre para o respectivo comprimento e
resistência, onde se tem um aumento progressivo do diâmetro. Fonte:
os Autores.
ρ (nΩ·m) R (mΩ) L (mm)
16,31±0, 78 4,15 ±3, 43 · 10−4 50, 17 ± 0,14
17,01±0, 68 1,65 ±1, 36 · 10−4 49, 25 ± 0,18
16,51±0, 63 6,58·10−1 ± 5, 43 · 10−5 51, 12± 0,30
16,50±0, 79 8,53±7, 05 · 10−4 101, 90± 0,22
17,01±0, 68 3,30±2, 73 · 10−4 98, 50 ± 0,09
16,99±0, 64 1,30±1, 07 · 10−4 98, 18 ± 0,42
16,80±0, 81 12,7±1, 05 · 10−3 149, 01 ± 0,27
17,67±0, 70 5,08±4, 19 · 10−4 145, 98± 0,24
16,94±0, 64 1,99±1, 65 · 10−4 150, 74± 0,15
É importante salientar que, a incerteza associada a resis-
tividade ρ foi calculada através da Equação 6.
σ2ρ =
(
∂ρ
∂R
)2
σ2R +
(
∂ρ
∂A
)2
σ2A +
(
∂ρ
∂L
)2
σ2L (6)
Outro cálculo importante que será discutido no tópico se-
guinte, é o erro relativo, pois revela a percentagem de erro
com relação ao valor encontrado na literatura [11]. Através da
Equação 7, pode-se calcular o erro relativo da resistividade.
Pensando em tornar a análise mais interessante, através da Ta-
bela 11, um valor médio da resistividade foi utilizado como
experimental (16, 94 nΩ·m) e outro, encontrado na literatura
(17, 23 nΩ·m, [2]), como sendo o teórico na Equação 7.
%E =
∣∣∣∣ρteo − ρexpρteo
∣∣∣∣ · 100% (7)
Vale ressaltar que, como se sabe, a resistividade possui alta
dependência para com a temperatura. Assim, como as condi-
ções em que o experimento foi realizado são as consideradas
ambientes na cidade de Lorena, foi considerada a resistividade
para a temperatura T = 300K e os resultados estão presentes
na Tabela 12.
Tabela 12. Erro relativo da resistividade. Fonte: os Autores.
ρexp(nΩ·m) ρteo(nΩ·m) Erro (%E)
16,94 17,23 1,683
4 Discussão
Primeiramente, pode-se notar nas Figuras 8, 9 e 10 que
todas as curvas estão de acordo com a lei de Ohm, descrita
pela Equação 2, onde a tensão e a corrente possuem uma rela-
ção linear. Além disso, pode-se notar que, quando se tem um
aumento na área da seção transversal A do fio, para um mesmo
comprimento L, a resistência R diminui.
Para ficar mais claro essa análise, basta observar as Tabe-
las 8, 9 e 10, onde, para um mesmo L e o aumento progressivo
de D, nota-se a diminuição de R. Essa diminuição, descrita
pela segunda lei de Ohm, é explicada devido ao fato dos elé-
tros livres no metal possuírem, justamente, maior área para se
movimentarem, fazendo com que as colisões entre elétrons e
íons fixos, ocorram com uma frequência menor [12].
Outro fator importante no aumento da resistência do fio,
é o comprimento L para o caso em que tem-se uma mesma
área de seção transversal A. Dito isto, analisando a segunda lei
de Ohm juntamente com as Tabelas 8, 9 e 10, pode-se notar
Determinação experimental da resistividade do Cobre 7
tal comportamento ocorrendo, evidenciando que, os resultados
estão de acordo com o que é definido na literatura.
Para todos os valores encontrados de R, o respectivo coe-
ficiente de determinação R2 foi próximo do ideal (R2 = 1). Ou
seja, a regressão linear está correta, onde a variável I consegue
explicar a variável V com grande êxito.
Através da Tabela 12, pode-se notar que, o valor experi-
mental da resistividade (ρexp) está muito próximo do teórico
(ρteo), onde o erro é de apenas 1, 683%. Ou seja, o erro relativo
encontrado revela que o experimento foi realizado com grande
êxito e, além disso, a análise realizada ocorreu de maneira sa-
tisfatória.
5 Conclusão
Pôde-se calcular experimentalmente a resistividade elétrica
do cobre comercial através da aplicação da segunda Lei de Ohm
e do método das quatro pontas, sendo o valor obtido para a
resistividade ρ experimental, 16,94 nΩ ·m, com erro percentual
de 1,683% do valor teórico de referência (17,23 nΩ ·m).
O método das quatro pontas, utilizado neste trabalho, é
no geral o mais utilizado para determinação de resistividade
elétrica de condutores metálicos e semicondutores, já que o
mesmo minimiza os efeitos das chamadas resistências parasi-
tas, causadas pela resistência elétrica nos contatos e a resistên-
cia elétrica de propagação da corrente, presentes no método de
duas pontas. Portanto, mesmo com a minimização desses efei-
tos o método não é totalmente preciso, os quais podem ser
a causa da pequena variação do valor experimental calculado
para o valor teórico de referência [5].
Uma das limitações do método é a precisão dos equipa-
mentos utilizados como fonte de corrente e para a medição da
tensão, já que para materiais considerados bons condutores, a
corrente elétrica aplicada para a medição efetiva da tensão ge-
rada no material, seguindo o método das quatro pontas, pode
ser perto dos limites de confiança do equipamento.
Referências
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[8] Keithly Instruments, Inc. Model 2400 Series SourceMeter
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[12] Charles Kittel. Introducción a la física del estado sólido.
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