coeficiente linear de expansão

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Métodos Experimentais da Física III LOM3230
Investigação da influência da temperatura
sobre a condutividade de Fe, Si, Nb e Cu
Bruno Brunello Vieira1, Fábio de O. e Silva Marques1,
Felipe Todaka da Silva1, Fernando H. C. de Almeida Cardoso1
1Universidade de São Paulo, Escola de Engenharia de Lorena, Departamento de Engenharia de Materiais
30 de junho de 2021
Resumo
Na era da tecnologia, faz-se imprescindível compreender as diversas propriedades dos materiais, pois, ao passo que as
propriedades são entendidas, a manipulação destas podem ser benéficas para aplicações tecnológicas. Através do presente
documento, buscou-se entender os conceitos relacionados as propriedades de dilatação térmica de três materiais: alumínio,
alumina e teflon. Utilizando-se de um termistor em conjunto com um extensômetro considerando-se um intervalo de
temperatura de aproximadamente 77K até a temperatura ambiente (300K), pôde-se realizar as devidas medições para
que a análise dos parâmetros de interesse fosse realizada. Graças ao ajuste linear para os intervalos em que cada material
apresentou uma significativa linearidade, fez-se possível obter o coeficiente linear de expansão para cada caso em estudo.
Para o alumínio e a alumina, os erros associadas foram baixos, sendo de 0, 93% e 7, 88%, respectivamente. Já para o
teflon, obteve-se um elevado valor de erro (52, 57%). Os erros devem possuir, sobretudo, relação com as impurezas dos
materiais e a sensibilidade dos equipamentos. Considerando a sensibilidade dos equipamentos utilizados na experimentação
e a disponibilidade dos dados teóricos encontrados na literatura, pode-se aferir que, os conceitos relacionados com as
propriedades de dilatação térmica dos materiais estudados foram compreendidos com êxito e os resultados teóricos foram
coerentes com os presentes na literatura.
Palavras-chave: dilatação térmica – alumina – alumínio – teflon – ajuste linear – coeficiente linear
1 Introdução
Dilatação térmica é a mudança das dimensões de um ma-
terial, sem alterar sua massa, devido a variação de temperatura,
seja tal variação positiva ou negativa. Tal propriedade do ma-
terial é estudada em diversos ramos da área de tecnologia, seja
por suas implicações no ramo da engenharia civil ou no estudo
para aprimorar o conhecimento na área de engenharia dos ma-
teriais [1]. No presente trabalho, utilizou-se os conceitos acerca
desse tema para estudar as propriedades de dilatação térmica
do alumínio, alumina (Al2O3) e Teflon1.
1.1 Dilatação Térmica
É comum utilizar o conceito de expansão linear para ma-
teriais considerados bidimensionais e pode-se definir um coefi-
ciente de expansão linear α [1]:
αi =
1
Li
∂Li
∂T
. (1)
Para um material isotrópico o coeficiente linear será igual
para os três eixos principais, caso o material tenha geometria
cúbica pode-se utilizar o coeficiente térmico de expansão volu-
1 Nome comercial da substância inerte politetrafluoretileno, paten-
teado pela empresa DuPont.
métrica β, dado por
β = 1
V
∂V
∂T
, (2)
que se relaciona com alpha da seguinte forma α = β/3. Se
o sólido for um material anisotrópico, cada eixo principal (i =
1, 2, 3) terá um coeficiente térmico linear próprio. Portanto,
a dilatação térmica pode ser calculada de forma direta através
da Equação 3 [1].
∆l
l0
= αl∆T (3)
As propriedades termodinâmicas de um sólido são contidas
na energia livre de Helmholtz, F (V, T ) = U − TS, onde U é
a energia interna, T a temperatura absoluta e S a entropia,
resultando numa equação de estado
P (V, T ) = −
(
∂F
∂V
)
T
, (4)
a entropia
S(V, T ) = −
(
∂F
∂T
)
V
, (5)
e a capacidade térmica para volume constante
CV (V, T ) = −
(
∂U
∂T
)
V
= −
(
∂2F
∂T 2
)
V
. (6)
Grüneisen propôs um modelo através da conclusão de que
o coeficiente de expansão térmica deveria ser proporcional a
2 B. Brunello Vieira et al.
capacidade térmica, dado por
β = γCV
BTV
, (7)
onde γ é um número adimensional de ordem unitária, chamado
de parâmetro de Grüneisen. E para baixas temperaturas (T <<
θ), a energia livre da rede pode ser expressa por
F (V, T ) = Tf (T/θ) . (8)
Em temperaturas inferiores a temperatura de Debye
(T << θ0) , que corresponde à temperatura na qual é atingido
um limite finito da frequência e número de vibrações no sólido,
a capacidade térmica é dada por [1]:
CV =
12
5 π
4NkB
(
T
θ0
)3
= bT 3 . (9)
1.2 Ponte de Wheatstone
O extensômetro é um dispositivo comumente utilizado
com uma ponte de Wheatstone que realiza medições de distân-
cia entre dois pontos em materiais quando sofrem deformação.
Eles respondem com uma mudança em seu comportamento
elétrico, usualmente a resistência, quando submetidos à um es-
tresse físico, expansão ou compressão. Seu principal parâmetro
é chamado de fator Gage k e pode ser definido como
k = ∆R/R∆l/l , (10)
onde R é a resistência elétrica e l refere-se ao comprimento da
amostra [2].
A configuração mais utilizada com um extensômetro é a
ponte de Wheatstone de baixa energia, apresentada na Figura
1. Considerando que a ponte é abastecida por uma fonte de
tensão constante com baixa resistência interna, tem-se a se-
guinte relação de tensão de entrada UA e tensão captada UE
[2]:
UE
UA
= R1
R1 +R2
− R4
R3 +R4
, (11)
sendo o balanceamento inicial:
R1R3 = R2R4 (12)
Substituindo a Equação 12 em 11, adotando R1,R2 e R3
constantes e utilizando R4 = R4 + ∆R4, tem-se que a tensão
de saída UE relaciona-se com R4 da seguinte forma:
UE
UA
= (1 + n)∆R4
R4
(13)
A utilização de uma ponte de Wheatstone se dá pela van-
tagem de que ela é menos suscetível à erros cometidos pelo
operador ou imprecisões de medidas devido a falta de calibra-
ção, já que no multímetro é necessário a passagem de corrente
elétrica pelo mesmo, podendo ocasionar uma leve imprecisão
na medida devido ao “roubo” de corrente para o funcionamento
do equipamento [3].
Figura 1. Ponte de Wheatstone convencional. Fonte: [2].
1.3 Termistor
Os termistores, ou também conhecidos como resistores ter-
micamente sensíveis, são dispositivos que apresentam signifi-
cante variação de resistência elétrica devido a temperatura. Os
termistores são produzidos através de semicondutores, os quais
a resistência pode variar em grande escala, de até milhares de
vezes apenas pela presença de impurezas, tratamento térmico
ou dopagem. Portanto é importante compreender como esses
materiais se comportam, um semicondutor pode ser definido
como um material que possui condutividade elétrica à tempe-
ratura ambiente muito menor que de um metal, mas conside-
ravelmente maior que a de um isolante típico [4].
Para uma variação de temperatura de 0 a 300 graus cen-
tígrados, a resistência de um semicondutor pode diminuir em
até três ordens de grandeza. Enquanto que para uma mesma
faixa de temperatura a resistência de um metal típico como a
platina, aumenta em um fator de duas vezes [4].
Os semicondutores podem ser classificados de acordo com
os portadores de carga que apresentam quando aplicada uma
tensão, que podem ser chamados de semicondutores tipo N e
tipo P. Nos semicondutores tipo N os portadores de carga são
defletidos por um campo magnético de maneira semelhante à
como partículas carregadas negativamente se comportariam, e
contrariamente à como partículas positivamente carregadas se
comportariam [4].
O termistor gerou grande interesse como um componente
de circuito eletrônico devido a sua versatilidade e compactação,
sendo um de seus principais usos no estudo da relação entre
resistência e temperatura. Já que a característica resistência-
temperatura desse dispositivo permite que ele seja utilizado
como um termômetro sensível, controlador de temperatura ou
como um compensador para efeitos de variação de tempera-
tura ambiente em outros elementos de um aparato experimen-
tal. Para aplicações na termometria os termistores apresentam
grande estabilidade e durabilidade, com precisão semelhante a
termômetros de platina [4].
3
2 Materiais e Métodos
Na Tabela 1, encontram-se os equipamentos e os materiais
utilizados ao longo deste estudo experimental.Tabela 1. Equipamentos e materiais utilizados. Fonte: [5].
Equipamento Descrição
Multímetro digital Keithley – 2000
Ponte de Wheatstone National Instruments – NI-9237
Termístor tipo PT1000 em platina
Extensômetro —
Amostras Teflon, alumínio e alumina
Computador usado para aquisição de dados
Cabo USB —
Cabo RJ 50 —
Conector RJ 50 —
Chapa de cobre —
Recipiente de isopor —
Nitrogênio líquido —
Fita adesiva fita de alumínio
Equipamentos de solda ferro de solda e estanho
Outros componentes Fios, cabos e conectores
Inicialmente os extensômetros foram posicionados sob a
face polida das amostras com a utilização da fita adesiva de
alumínio. Em seguida, seus terminais foram cuidadosamente
conectados ao terminal RJ 50 e, com o cabo RJ 50, conecta-
dos consequentemente ao módulo NI-9237. Esse equipamento
foi ligado, através de um cabo USB, ao notebook, para a aqui-
sição dos dados com o software Labview. Da mesma forma,
o termístor também foi posicionado sob a amostra com a fita
adesiva e ligado, com fios de cobre, ao termístor.
Em sequência a isso, foi utilizado um recipiente de iso-
por como criostato, preenchido com nitrogênio líquido, onde
a amostra, e consequentemente o extensômetro e o termístor,
mantiveram-se submergidos e sob a mesma temperatura. O
aparato experimental finalmente montado pode ser visualizado
na Figura 2.
Figura 2. Aparato experimental montado. Fonte: [5].
Dessa forma, encontrou-se em homogeneidade térmica, o
aparato experimental, à temperatura de aproximadamente 77 K
no criostato. Conforme o conjunto ganhava calor do ambiente,
aquela temperatura fora aumentando até a temperatura ambi-
ente. Ao longo deste aquecimento, os valores da resistência do
termístor e as variações dimensionais da amostra foram cole-
tados e lidos pelo computador. Esse mesmo procedimento foi
feito para todas os materiais estudados nessa experimentação.
Na Figura 3, há um fluxograma que resume os procedimentos
experimentais a partir da montagem do aparato.
Montagem do aparato experimental
Resfriamento
Equilíbrio térmico
Aquisição de dados
Resistência
do termístor
Dilatação
da amostra
Figura 3. Fluxograma da metodologia. Fonte: os Autores.
Na Figura 4, pode-se visualizar uma fotografia da ban-
cada onde o experimento foi realizado, em que se pode ver os
equipamentos utilizados e o aparato montado.
Figura 4. Bancada do experimento. Fonte: [5].
3 Resultados
A partir dos dados fornecidos, foi possível obter os coe-
ficientes lineares de expansão. A Figura 5 mostra a curva da
4 B. Brunello Vieira et al.
deformação em função da temperatura para a alumina. O in-
tervalo de análise para esse material foi de 100 - 150K, sendo
a região mais linear do gráfico.
Figura 5. Deformação X temperatura do Alumina
A curva da deformação em função da temperatura do alu-
mínio teve um comportamento mais linear, portanto a região
de análise foi de 100 - 250K como mostrado na Figura 6.
Figura 6. Deformação X temperatura do Alumínio
Por fim, foi possível determinar a curva para o Teflon,
a Figura 7. A região analisada para calcular o coeficiente de
expansão foi de 100 - 150K.
Figura 7. Deformação X temperatura do Teflon
A Tabela 2 mostra os resultados dos coeficientes de tem-
peratura para cada um dos materiais e a faixa de temperatura
analisada para cada um dos materiais.
Tabela 2. Coeficientes de expansão linear. Fonte: Autores.
Amostra Coeft. Linear (K−1) Faixa de Temperatura
Teflon 6, 0 × 10−5 200 K – 250 K
Alumínio 3, 0 × 10−5 100 K – 250 K
Alumina 4, 8 × 10−5 100 K – 150 K
4 Discussão
A Tabela 3 mostra a comparação dos resultados experi-
mentais com resultados de literatura fornecidos [1, 6]. Os erros
dos resultados foram calculados utilizando:
E% =
∣∣∣ ideal − realideal ∣∣∣ × 100% (14)
Tabela 3. Dados experimentais X literatura.
Os erros das medidas vêm principalmente da diferença da
faixa de temperatura realizada nas medidas. Quanto maior a
temperatura, menor o valor do coeficiente linear, uma vez que
as moléculas alcançam um limite de vibração, dessa forma há
um limite para sua expansão térmica para temperaturas mais
altas. Além disso, problemas na fixação do extensômetro na
amostra pode trazer problemas nas medições.
Outro fator importante nas medidas, é o processo de equi-
líbrio da ponte H. Qualquer fator externo pode trazer problemas
nas medidas de deformação pela ponte, por isso, esse sistema
deve ter uma precisão quase exata para ser possível medir a
resistência correta no circuito e transformá-la em temperatura
para os cálculos. Um fator importante também é o termistor. É
possível haver diferenças nas medições por conta de seu posi-
cionamento. Se ele não estiver em uma posição estratégica no
material, as suas medições de temperatura serão diferentes da
temperatura real do material.
Apesar de todos esses fatores, e analisando dados de lite-
ratura de outros materiais, o fator que mais traz diferenças nas
medições foi a faixa de temperatura analisada. Como foi dis-
cutido, para temperaturas mais baixas, a rede cristalina possui
mais liberdade na expansão, na medida em que a temperatura
aumenta e a vibração associada também aumenta, o material
vai sofrendo uma espécie de saturação, dessa forma para uma
5
mesma variação de faixa de temperatura, o material sofrerá
menos deformação em altas temperaturas do que em baixas
temperaturas.
5 Conclusão
O erro associado ao coeficiente linear do alumínio e da
alumina foram relativamente baixos, sendo de 0, 93% e 7, 88%,
respectivamente, revelando que, para esses materiais, a expe-
rimentação ocorreu de uma maneira controlada e, além disso,
o controle de pureza deles deve ter sido maior, fazendo com
que os dados encontrados na literatura coincidissem com os da
experimentação.
O erro percentual do teflon foi de 52, 57%, revelando que
a experimentação está em desacordo com a teoria. Dito isto,
devido ao fato dos equipamentos utilizados na experimentação
serem extremamente sensíveis a quaisquer interferências, os er-
ros e a imperícia humana devem ter prejudicado o resultado em
demasia. Outro motivo extremamente importante e que deve
ser mencionado, são as possíveis impurezas presentes no te-
flon que, provavelmente, prejudicaram nos resultados obtidos
de maneira significativa.
A ausência de uma mesma faixa de temperatura entre os
dados experimentais e os presentes na literatura, é um outro fa-
tor que prejudicou na análise e, consequentemente, contribuiu
para a diferença percentual entre os respectivos erros percen-
tuais.
Por mais que os erros encontrados tenham sido conside-
ráveis, a experimentação, em um contexto geral, ocorreu de
maneira satisfatória, pois, fez-se possível compreender como é
que se determina o coeficiente linear de expansão experimen-
talmente e, consequentemente, qual o seu significado físico.
Referências
[1] Frederick Robert Kroeger Jr. The absolute thermal expansion of
copper and aluminum between 5 k and 330 k. Digital Repository
at Iowa State University, 1974.
[2] Stefanescu, Dan Mihai. Strain gauges and wheatstone brid-
ges—basic instrumentation and new applications for electrical
measurement of non-electrical quantities. Eighth International
Multi-Conference on Systems, Signals & Devices, pages 1–5,
2011.
[3] Shreem Ghosh, Aninda Mukherjee, Kunal Sahoo, Sunit Kumar
Sen, and Arindam Sarkar. A novel sensitivity enhancement tech-
nique employing wheatstone’s bridge for strain and temperature
measurement. Proceedings of the 2015 Third International Con-
ference on Computer, Communication, Control and Information
Technology (C3IT), pages 1–6, 2015.
[4] JA Becker, CB Green, and GL Pearson. Properties and uses of
thermistors—thermally sensitive resistors. Electrical Engineering,
65(11):711–725, 1946.
[5] Repositório da Disciplina Métodos Experimentais da Física III
(LOM3230). Disponível em: https://edisciplinas.usp.br/
enrol/index.php?id=75705. Acesso em: 10 de junho de 2021.
[6] Sergio Machado Rezende. Materiais e dispositivos eletrônicos.
Editora Livraria da Física, 2004.
https://edisciplinas.usp.br/enrol/index.php?id=75705https://edisciplinas.usp.br/enrol/index.php?id=75705
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